信用评价模型

《信用评价模型》一， 某企业有五笔债务，其偿债能力和经营能力评分如下表所示试用最短距离法对他们进行分类（距离采用绝对值距离），标准化方法为规格化变换。

(A) 解：(1)规格化变换公式为：}{min }{max }{min 111''ij ni ij ni ij ni ij ij x x x x x ≤≤≤≤≤≤--=（2）由于两个边来南国的数量水平不同，故先采用规格化变换将原始数据变换如下表（3）样品间采用绝对值距离：j i j i ij y y x x d -+-=计算出初始距离阵)0(D 为（4）初始距离矩阵)0(D 中最小的元素为对应的元素是G 2}{G 1G 3G 21,34.01212，合并成新一类，记作与所以将===G d D（5）再将Ｇ３与其它类的距离进行计算03.1}03.1,37.1m in{),m in(231363===d d D .1.}1,34.1m in{),m in(241464===d d D 33.1.}67.1,33.1m in{),m in(251565===d d D债务 偿债能力 经营能力123 4 5 0 债务 1 2 3 4 5债务能力 0 0 0．7 1 1 经营能力 1 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=067.0030.163.0067.1103.1033.134.137.134.0054321)0(G G G G G D G1 G2 G3 G4 G5由此的距离阵)1(D 为(6)找出距离矩阵)1(D 最小元素，它是63.034=D 所以将G3,G4合并，记作G7={ G3,G4},然后计算G7与其它各类的距离1}1,63.1m in{),m in(646367===d d D 67.0}67.0,30.1m in{),m in(453575===d d D由此的距离阵)2(D 为(7)距离矩阵)2(D 中的最小元素为67.075=D ，所以将G7,G5合并，记作G8={ G7,G5},然后计算G8,G6的距离1}33.1,1m in{),m in(567686===d d D由此可得距离矩阵)3(D 为(8)最后将G6,G8合并最短距离法的聚类谱试图如图所示 G1 G2 G3 G4 G5 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=067.0033.110G5G7G6)2(D G6 G7 G5⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=067.0030.163.0033.1103.105436)1(G G G G D G6 G3 G4 G5⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0108686)3(G G G G D(9)有谱试图可以看出,五笔债务可以分成两组,G1,G2组成的组委偿债能力差的组,有G3,G4,G5组成的组委偿债能力强的组.分成3组时,可以分成偿债能力差的组(G1,G2),经营能力强且偿债能力强的组(G3,G4),经营能力差但偿债能力强的组(G5).二，两类距离判别法 1,基本术语 随即样本()),,()()2()1('⋯⋯==⨯n p n ij x x x x x，样本均值向量∑==ni i x n x 1)(_1样本叉积矩阵∑='--=ni i i x x x x1_)(_)())((A =()pp ija ⨯样本协差矩阵 ()p p ij s A nS ⨯==12,判别函数与判别规则等协方差矩阵:)()()(211u u S u x x W T--=- 非等协方差矩阵)]()()()[(21)(11112122u x S u x u x S u x x W T T -----=-- 判别规则 W(x)≧0,x ∈组1; W(x)< 0,x ∈组2 式中21,u u 为两组均值向量,u 为)(2121u u +，S1,S2为泄方差矩阵 (3)某公司债务分为按时偿还和不按时偿还两类.从按时偿还债务数据库汇总抽取4笔,从不按时偿还债务数据中抽取4笔,分别列出每笔债务在偿债能力所得分数和经营能力所得分数,其数据矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8.394.373.365.25)1(x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0.386.264.252.23)2(x 试根据上述资料判断新债务x=(5,1)的偿还情况(4)计算两类样本均值向量和二者的平均数向量)25.3,75.6()1(1_'=x )55.2,5.5()2(2_'=x)9.2,125.6(2)2(2_)1(1__'=+=x x u(5)计算两者的共同协方差阵和协方差的逆矩阵分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=55.025.215.025.005.075.075.075.1)()1(_)1()1(0_ij ijx x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=45.05.205.05.015.05.035.05.2)()2(_)2()2(0_ijij x x x两样本各自的叉积矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='=89.055.255.275.8)1(0)1(01x x S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='=35.01.21.213)2(0)2(02x x S两类共同协方差矩阵的估计为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-+==∑∧2067.07750.07750.06250.3)(212121S S n n S 由此可得共同协差矩阵的逆矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∑-∧4093.242174.52174.53913.11（6）判别系数向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∑=-∧∧5610.109130.1)()2(0_)1(0_1x x α 判别函数为：9098.185610.109130.1)9.2(5610.10)125.6(9130.1)()(2121<-+-=-+--=-=∧x x x x u x x W Tα 所以该债务属于不能按时偿还的债务。

三，多类距离判别法 设有k 类总体)()3()2()1(,,,,k G G G G⋯⋯，若它们的均值不同，分别为)()3()2()1(,,,,k μμμμ⋯⋯，而协方差矩阵相同，有∑=∑=⋯⋯=∑=∑k 21则这时判别函数仍为线性函数k j i u u u u x x W j i T j i ⋯⋯=-∑+-=-2,1,),()2()()()(1)()(ij其判别规则为: 若x ∈)(i G,若)(ij x W 〉0，对于一切j ≠i 均成立，i=1，2……k代判，若0)()()(ijr ij2ij1==⋯⋯==x W x W x W ，1≦r ≦k 若有k 个总体，则有判别函数就需要算k(k-1)/2个。

四，两类费歇尔判别（1）判别函数 判别规则：2)()()2()1(_)2()1(1u u u u x x +=-∑'=-μϕ )}()(:{)}()(:{)}()(:{21μϕϕμϕϕμϕϕ=<=>=x x x x D x x D 待判，（2）具体协方差阵的计算 共同阵：)(212121S S n n S +-+==∑∧不同阵：22111-11-1S n S n S +==∑∧（3）判别函数的具体形式，在共同阵的情况下)()()()2(_)1(_121xxS S x x -+'=-ϕ（4）某企业能够按时偿还和不能按时偿还两类债务数据如下，现有新债务待分类（6.4.5），试判别该债务属于哪一类(B)按时偿还不按时偿还债务衡量指标 债务衡量指标 偿债经营 品德 偿债 经营 品德 1 9 8 7 1 4 4 4 2 7 6 6 2 3 6 6 3 8 7 8 3 6 3 3 4 8 5 5 4 2 4 5 5 9 9 3 5 1 2 2 6 8 9 7 7 7 5 6 合计564942合计 161920()1876X '=（） ()3.2 3.8 4.0X '=（2）两组产品的离差矩阵即中心化变换的数据矩阵为：10111110002021123021120X ⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭（） 00.80.200.2 2.222.80.811.20.212.2 1.82X ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭（2）两类的叉积矩阵分别为：1110046261812116S X X -⎛⎫ ⎪'==- ⎪ ⎪--⎝⎭（）（）20014.80 1.2001.208.8090910S X X ⎛⎫⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭（2）（2）由此可得两类的共同叉积矩阵及其逆矩阵为：()1218.807.2027.2026.8082826S S S -⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪-⎝⎭10.061970.019900.010890.019900.047480.016140.010890.016140.04427S --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭（6）判别系数向量为：()()()1211 4.80.25563.20.02412.00.0892SX X S --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判别函数为：()()()()1211230.25560.02410.0892x x SX X x x x -'Φ=-=++ 两组均值向量为：()()()()121 5.6 5.452X X X ''=+= 判别函数的阈值为0075.250892.04.50241.06.52556.0)(=⨯+⨯+⨯=x ϕ新债务判别值为：)(0075.20760.250892.040241.062556.0)(x x ϕϕ=>=⨯+⨯+⨯= 所以新债务应属于按时偿还这一类 五,多类费歇尔判别 设有k 类母体)()3()2()1(,,,,k G G G G⋯⋯，各类均值向量分别为)()3()2()1(,,,,k μμμμ⋯⋯，协方差为k 21,,,∑⋯⋯∑∑，样本组间叉积阵为∑='--=ki i i i x x x xn 1_)(_)())((B ，样本组内叉积阵为∑∑=='--=ikn j i i ji i jki x xx x1)(_)()(_)(1))((E设判别函数为m m x a x a x a x +⋯⋯+='=11)(ϕ组间平方和为B a a '，组内平方和为Ea a '判别效率EaBa)(L a a a ''=a 的求法：判别系数a 应为样本组间叉积矩阵B 相对于样本组内叉积矩阵E 的特征向量，即：解线形方程组0(1=--a B E I ）λ 判别规则 x ∈)(i G，若)()(min )()()(_1)(_j kj j xx xx ϕϕϕϕ-=-≤≤待判，若)()()()()(_)(_j i xx x x ϕϕϕϕ-=-六,Bayes 判别使用距离判别法,当多类时,需建立k(k-1)/2个判别函数,而使用Bayes 判别法,则要简化的多 (1) 设有k 类母体)()3()2()1(,,,,k G G G G⋯⋯，分别具有m 维分布密度),,()(),(),(2,121m k x x x x x p x p x p ，，其中⋯⋯='⋯⋯(2) 设k q q q ，⋯⋯,,2,1是一个样本被随即地选择为属于)()3()2()1(,,,,k G G G G⋯⋯的各个概率,即将k 个母体混合,并随机的从这个单一混合母体中抽取一个样品,抽出的该样品将来自)(i G的概率为i q .(3) 贝叶斯判别的解为k j k l x p q x p q x D l l lj j j ⋯⋯=⋯⋯===,2,1},,2,1),(m ax )(:{或者写成: 令k j k l x G P x G P x D i lj j ⋯⋯=⋯⋯===,2,1},,2,1),/(max )/(:{)()((4) 具体实例:一般假定)()3()2()1(,,,,k G G G G ⋯⋯均服从正态分布(两类的情况)判别函数: )()()()2()1(1_u u u x x -∑'-=-ϕ判别规则为:)/ln()()(})/ln()()(:{})/ln()()(:{12)2()1(1_12)2()1(1_212)2()1(1_1q q u u u x q q u u u x x D q q u u u x x D >-∑'-<-∑'-=>-∑'-=---待判： (5) 具体实例(多类的情况) 判别函数)(1)(1)(21ln )(l l l l l u u x u q x --∑'-∑'+=ϕ判别规则k j k l x x x D l lj j ⋯⋯=⋯⋯===,2,1},,2,1),(max )(:{ϕϕ某企业有三类债务，信用等级好的4笔债务，信用等级普通5笔债务，信用等级差4种债务，衡量指标有偿债能力，经营能力，品德情况，相关数据如下表，试根据该资料建立贝叶斯判别函数，现有一新债务，各项指标评分为偿债能力，经营能力，品德评分660。