江苏省东台市三仓中学2015届高三12月月考数学试题 Word版含答案

江苏省东台市三仓中学2015届高三12月月考数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{－1,0,1}，则A ∪B ＝____________. 2．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 __________________ ． 3．已知向量(1,2),(2,)a b k ==-，且a b ∥，则实数=k .4．已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为______________． 5．已知(,)2παπ∈，且tan 2α=-，则cos 2α= ___ ．6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，2－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≥1的x 的取值范围是____________． 7．已知函数()1ln f x x x=-，若函数()f x 的零点所在的区间为()(),1k k k Z +∈，则 k = ___ .8．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝____________(用向量a 和b 表示)．9．若函数()()(2)f x x a b x a =++(,)a b R ∈是偶函数，且它的值域为(,8]-∞，则ab = ．10．1()sin()(0)26f x x πωω=+>的图象与直线y m =相切，相邻切点之间的距离为π． 若点00(,)A x y 是()y f x =图象的一个对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则0x = ___ ． 11．已知定义在R 上的偶函数f(x)在恒成立，则实数a 的取值范围是______________．12．函数()2()241f x x x x R =-+∈，若12()()f x f x =，且12x x >，则221212x x x x +-的最小值为 ___ ．13． 已知向量OA ，OB 满足||1OA =，||2OB =，||7AB =()()AC OA OB R λλ=+∈，若||7BC =λ所有可能的值为 _________ ．14． 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，若函数f(x)在区间上是单调减函数，则a 2＋b 2的最小值为____________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答卷纸相应位置上． 15．（本题满分14分）已知函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域16．（本题满分14分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知向量()cos ,sin m B B =，()sin 2sin ,cos n C A C =-，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若7a c +=，b =，求BA BC ⋅的值.17．（本小题满分14分） 已知函数f(x)＝2x －11－x，若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称． (1) 写出函数g(x)的解析式；(2) 记y ＝g(x)的定义域为A ，不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0的解集为B.若A 是B 的真子集，求a 的取值范围18．（本小题满分16分）某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x500万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%. (1) 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2) 在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的最大值是多少？19．（本小题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1＝2，且对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝ba n ＋c ，其中b ，c 是常数．(1) 若数列{a n }是等差数列，且c ＝2，求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{a n }是等比数列，且|b|＜1，当从数列{a n }中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{a n }的前n 项和S n ＜341256成立的n 的取值集合．20．（本小题满分16分） 已知函数2()6f x ax x=++，其中a 为实常数. （1）若()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （2）已知34a =，12,P P 是函数()f x 图象上两点，若在点12,P P 处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；（3）设定义在区间D 上的函数()y s x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:()l y t x =，当0x x ≠时，若()()0s x t x x x ->-在D 上恒成立，则称点P 为函数()y s x =的“好点”．试问函数2()()g x x f x =是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．二、解答题15、(1) ∵ f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sinx －cosx)(sinx ＋cosx)(3分) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(6分) ∴ f(x)最小正周期T ＝2π2＝π.(8分)(2) ∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴ 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，(10分) ∴ sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6max ＝1，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6min ＝－12，(12分) 即f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1.(14分) 16、（1）因为m n ⊥，所以()cos sin 2sin sin cos 0B C A B C -+=，即：()()sin 2cos sin sin 12cos 0B C B A A B +-=-= ································ 3分 因为()0,A π∈，所以sin 0A ≠，故1cos 2B =， ············································· 5分 因为()0,B π∈，所以3B π=. ············································································ 7分（2）由（1）可知，因为3B π=，b =所以2222132cos3a c ac a c ac π=+-=+-， ① ····························· 9分又7a c +=， ②由①②解得12ac = ······················································································· 11分 所以cos 6BC BA ac B ⋅== ·········································································· 14分17、(1) 在函数y ＝g(x)的图象上任取一点P(x ，y)，则P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y)在y ＝f(x)的图象上，(2分)则－y ＝2(－x )－11－(－x )＝－2x －1x ＋1＝－－2x －1x ＋1.(6分) (直接写出解析式无过程，扣2分) (2) 由－2x ＋1x ＋1≥－1＜x ≤－12，即A ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12；(8分) x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤－1≤x ≤a ，即B ＝．(11分)因为A 是B 的真子集，故⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤－1a ≥－12，得－12≤a ≤0.(14分) 18、解：(1) 由题意得：10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥10×1 000，(4分) 即x 2－500x ≤0，又x ＞0，所以0＜x ≤500. 即最多调整500名员工从事第三产业．(6分)(2) 从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x)⎝⎛⎭⎫1＋1500x 万元， 则10⎝⎛⎭⎫a －3x500x ≤10(1 000－x)(1＋0.2x%)，(10分) 所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立．(12分)因为2500x ＋1 000x≥22x 500·1 000x＝4， 当且仅当2x 500＝1 000x ，即x ＝500时等号成立．(14分)所以a ≤5，即a 的最大值为5.(15分) 19、(1) 当c ＝2时，由已知得a 1＝2，a 2＝ba 1＋2＝2b ＋2，a 3＝ba 2＋2＝2b 2＋2b ＋2，因为{a n }是等差数列，所以a 1，a 2， a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2， 即2＋(2b 2＋2b ＋2)＝2(2b ＋2)，所以b 2－b ＝0，解得b ＝0，或b ＝1.(2分) 当b ＝0时，a n ＝2，对n ∈N *，a n ＋1－a n ＝0成立，所以数列{a n }是等差数列，当b ＝1时，a n ＋1＝a n ＋2，对n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2成立，所以数列{a n }是等差数列； 所以数列{a n }的通项公式分别为a n ＝2或a n ＝2n.(4分)(2)因为{a n }是等比数列，所以a 1，a 2，a 3成等比数列，所以a 1a 3＝a 22， 即2＝(2b ＋c)2，化简得2bc ＋c 2＝2c ，所以c ＝0或2b ＋c ＝2. 当2b ＋c ＝2时，a 2＝ba 1＋c ＝2b ＋c ＝2，所以a n ＝2，不满足S n ＜341256.当c ＝0时，若b ＝0，则与a 1＝2矛盾，所以b ≠0，因此a n ＝2b n －1.(8分)则a n ＋1＝2b n ，a n ＋2＝2b n ＋1，因为a n ，a n ＋1，a n ＋2按某种顺序排列成等差数列，所以有1＋b ＝2b 2，或1＋b 2＝2b ，或b ＋b 2＝2， 解之得b ＝1或b ＝－12或b ＝－2.(12分)又因为|b|＜1，所以b ＝－12，所以S n ＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ， 由S n ＜341256，得43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ＜341256，即⎝⎛⎭⎫－12n ＞11 024， 因为n 是正整数，所以n 的取值集合为{2,4,6,8}．(16分)20、解：（1）方法一：()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，即为2(3)620a x x -++>在(1,)+∞上恒成立，①3a =时，结论成立； ②3a >时，函数2()(3)62h x a x x =-++图象的对称轴为602(3)x a =-<-，所以函数2()(3)62h x a x x =-++在(1,)+∞单调递增， 依题意(1)0h >，即5a >-， 所以3a >； ③3a <不合要求，综上可得，实数a 的取值范围是3a ≥． ···························································· 4分 方法二：()3f x x >在(1,)+∞上恒成立等价于2263a x x>--+，令()222613153222h x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭因为1x >，所以101x<<，故()53h x -<< 所以3a ≥. （2）232'()4f x x =- 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，过点12,P P 的两切线互相平行， 则2212323244x x -=-，所以12x x =（舍去），或12x x =-， 过点1P 的切线1l ：111'()()y y f x x x -=-，即1111'()()'()0f x x y f x x f x -+-=， ··································································································································· 6分 过点2P 的切线2l ：2222'()()'()0f x x y f x x f x -+-=两平行线间的距离是d =11232322|()()|x x +--=8==因为2121254516x x +≥，所以d ≤=即两平行切线间的最大距离是 ································································ 10分 （3）232()()62g x x f x ax x x ==++，设()g x 存在“好点”00(,)P x y ，由2'()3122g x ax x =++，得000()'()()()h x g x x x g x =-+， 依题意()()0g x h x x x ->-对任意0x x ≠恒成立，因为0000()['()()()]g x g x x x g x x x --+-0000[()()]'()()g x g x g x x x x x ---=-， 323220000000[(62)(62)](3122)()ax x x ax x x ax x x x x x ++-++-++-=-22200000[()6()2](3122)a x x x x x x ax x =+++++-++22000(6)(26)ax ax x ax x =++-+， ·································································· 13分 所以22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立，①若0a ≤，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>不可能对任意0x x ≠恒成立，即0a ≤时，不存在“好点”；②若0a >，因为当0x x =时，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+=，要使22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立，。