第8章 群和半群

(2)(同构) i)h是单射. a,b∈S,若h(a)=h(b)，即fa=fb, 则fa(e)=fb(e),a*e=b*e,即a=b. ii) h不一定是满射，其值域h(S) ⊆ SS 但，由定理7.2.3，<h(S), ◦>是<SS, ◦>的子代数。 （h(S)对合成运算◦封闭） 又∵ 1S=h(e)∈h(S), ∴<h(S), ◦, 1S >是<SS, ◦,1S>的 子独异点。 h:S→ SS ，限制在h(S)上为满射。 所以， <S,*,e>同构于 <h(S), ◦,1S>。
8.1.3 半群同态和独异点同态
定义 设<S1,*>和<S2, • >是半群，函数h:S1→S2.若 ∀a,b∈S1,有h(a*b)=h(a)•h(b),则称h为从<S1,*>到<S2, • >的半群同态。 设<M1,*,e1>和<M2, •,e2 >是独异点，函数h:M1→M2. 若∀a,b∈M1,有h(a*b)=h(a)•h(b),且h(e1)=e2,则称h为从 <M1,*,e1>到<M2, •,e2 >的独异点同态。
第8章 半群和群
8.1 半群和独异点
半群和独异点的定义
子半群和子独异点
半群同态和独异点同态
8.1.1 半群和独异点的定义
代数系统A=＜S，*＞，若*是满足结合律的二元运算，
则A称为半群。 若*同时满足交换律，则称为阿贝尔半群。 存在幺元的半群称为独异点，也称(含)幺半群，单位 半群。
若*同时满足交换律，则称为阿贝尔独异点。
8.2 群的定义及性质
群的定义 群的判定
群的性质
元素的阶
8.2.1 群的定义
代数系统〈G，*〉，其中二元运算*满足下列性质： 1) 结合律，即a,b,cG，a*（b*c ）= （a*b）*c 2) 存在幺元e，即aG，e*a=a*e=a 3) G中每个元素存在逆元 即aG，a-1 G,使a*a-1=a-1*a=e
定理 （独异点表示定理）任意独异点都同构于某一变换独异点 设S为集合， <SS, ◦, 1S >的子独异点称为变换独异点。 任意独异点都同构于某一变换独异点。 证：设<S,*,e>是任一独异点。 (1)作h:S→SS,a fa,则由定理8.1.2知，h是半群同态。 又因为h(e)=fe=1S,所以h是从<S,*,e>到<SS, ◦,1S>的独异 点同态。
证：若x是幂等元， 则：x=e*x=（x-1*x）*x
= x-1*（x*x）=x-1*x=e
群中消去律成立 证：群中每个元素都可逆， 则每个元素都可约， 所以消去律成立。
群中不可能有零元.
证：
若|G|=1，它的唯一元素视为幺元 若|G|>1，且<G，*>有零元， 则xG，都有x*=*x=e 无逆元，这与G是群矛盾.
8.2.3 群的性质
有关半群和独异点的性质在群中全部成立
半群 独异点 群 阿贝尔群
若群〈G，*〉的幺元为e,a，bG， 则 a)（a-1）-1=a； b)（a*b）-1=b-1*a-1 证明：a) ∵a*a-1=e ∴a是a-1的左逆元 a-1*a=e ∴a是a-1的右逆元 ∴(a-1)-1=a b) ∵(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e ∴b-1*a-1是a*b的右逆元 又∵(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b＝e ∴b-1*a-1是a*b的左逆元 ∴(a*b)-1=b-1*a-1
设<S,*,e>为独异点，T为S的非空子集。若T关于* 封闭，且e∈T,则称<T,*,e>是<S,*,e>的子独异点，记 为T≤S。
例
半群<I, · >有子半群<Ev, · >，<Od, · > 独异点<I, · ,1>有子独异点<Od, · ,1>




独异点<∑*, · >,设A⊆∑，则<A*, · > 是 ,ε ,ε <∑*, · >的子独异点； ,ε 独异点<∑*, · >，设T={s| ||s||>10},<T, ·>是 ,ε <∑*, · >的子半群，但不是子独异点； ,ε 独异点<N,+,0>，设nN={nm|m N}, <nN,+,0>是 <N,+,0>的子独异点； 独异点<SS, ◦,1S>，其中S上的单射集合，满射集合和 双射集合都是<SS, ◦,1S>的子独异点。
=a’*(al*a)*al=a’*el*al =a’*al=el ii)再证el也是右单位元 a∈G, a*el=a*(al*a)=(a*al)*a=el*a=a 所以el是单位元； a∈G，al是a的逆元。 所以<G,*>是群。
定理2 设<G,*>是半群，若a,b∈G，方程a*x=b,y*a=b在G中 都有解，则<G,*>是群。 证： （利用定理1） i)取a∈G ，设el为y*a=a的一个解，el*a=a; b∈G,设c为a*x=b的一个解，a*c=b, 则，el*b=el*(a*c)=(el*a)*c=a*c=b, 所以，el是左单位元。 ii) a∈G,令al为y*a=el的一个解， 则al*a=el， 则al是a的左逆元。 由定理1,<G,*>是群。
2.有限半群一定含有幂等元
证明：设〈S，＊〉是半群,S是有限集，需证aS，有a＊a=a bS，因为运算封闭， b2=b＊bS, b3,b4…S
S有限 i，j∈N+，j>i 有bi=bj
bi =bj =bj- i＊bi 令p=j－i bi =bj =bp*bi
(1)
当q≥i ,bq=bp·q b
则〈G，*〉称为群。
有限群 若G是有限集，称〈G，*〉为有限群，｜G｜称为群的阶； 若G是无限集，称〈G，*〉为无限群。
阿贝尔群 若*满足交换律，称〈G，*〉为阿贝尔群，或可交 换群或加法群。 此时，‘*’符号可用‘+’代替； a-1可写为-a； a的n次幂an可写为na; 幺元e可写为0
<N,+,0>不是群，除0以外的元素无逆元 <I,+,0>是阿贝尔群 <I,*,1>不是群，0没有逆元 <Q,*,1>不是群，0没有逆元 <Q+,*,1>是阿贝尔群
<Nk,+k,0>是阿贝尔群，
<Nk,xk,1>不是群，0没有逆元 •设B(X,X)是集合X上的双射函数集合， 则< B(X,X) ,◦ ,1X>是一个群，但不是阿贝尔群 •<{M|M∈Mn∧ detM≠0}, ∙ ,1n>
对行列式非零的n阶方阵M，存在M-1,M∙M-1=M1∙M=1 n
N4={0,1,2,3},模4加法+4 的运算表如下：
8.2.2 群的判定
定理1 设<G,*>为半群，若
(1)有左单位元，即 el∈G, a∈G,el*a=a;
(2)每个元素有左逆元，即 a∈G, al∈G,al*a=el,
则<G,*>是群。
证：
i)先证 a∈G,a*al=el. ∵al∈G, ∴ a’∈G, a’*al=el.
则a*al=el*(a*al)=(a’*al)*(a*al)
*
a
b
a b
a a
b b
（x*y）*z=z
∴结合律成立 ∴〈S，*〉是一半群，该半群称为二元素右零半群
半群的性质:
1.独异点运算表中任何两行或两列均不相同 证明：设独异点<S,*>的幺元为e， a,bS，若ab ∵a*eb*e, ＜S,*＞运算表中a,b两行不同， 由a,b任意性，运算表中任两行不同 ∵ e*ae*b, ＜S,*＞运算表中a,b两列不同， 由a,b任意性，运算表中任两列不同．
又∵p≥1 ∴k ∈N+ 有kp≥i
由(1) bkp=bp＊bkp=bp＊(bp＊bkp)
k个
= bp＊(bp＊(bp＊bkp))=...= bp＊…bp＊ bkp =bkp＊bkp ∴令a=bkpS 则a＊a=a ∴ a是幂等元.
8.1.2 子半群和子独异点
设<S,*>为半群，T为S的非空子集。若T关于*封闭， 则称<T,*>是<S,*>的子半群，记为T≤S。
群〈G，*〉的运算表中的每一行(列)是G中元素的一个置换。 (定义：有限集合S到S的一个双射，称为S的一个置换.)
证：
i)先证一个元素在运算表中每一行(列)中不能出现两次(单射) ∵若a*b1=a*b2=k，且b1b2，与可约性矛盾 ii)再证G中任一元素在任一行（列）中均出现（满射） ∵考察对应于a的那一行，bG，则b=a*（a-1*b）
例 <∑+, ·>是最典型的半群，只满足结合律
<∑*, · >是最典型的独异点，只满足结合律，有幺元 ,ε
<N,+,0>是独异点，可交换独异点 <SS, ◦,1S>是独异点，不满足交换律，部分元素有逆元
b) 设S={a，b}，*定义如右表： 即a，b都是右零元 ∵x,y,zS ① x*yS ∴运算封闭 ② x*（y*z）=x*z=z
+4
<N4,+4,0>是阿贝尔群 <Nk,+k,0>是阿贝尔群 m+kn=m+n mod k -m=k-m；m+k(k-m)=(m+k-m) mod k=0 计算机中的整数实际上就是Nk;
-m的补码是k-m，这样：
n-232m=(n-m) mod 232
=(n+(232-m)) mod 232=n+232(232-m)
定理
设<S,*Leabharlann Baidue>为可交换独异点，T为S中所有幂等元的 集合，则<T,*,e>是<S,*,e>的子独异点。
证： (1)T对于*的封闭性 ∀a,b∈T,a*a=a,b*b=b,又由于*是可交换、可结合的，所 以 (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*a*b*b=a*b ∴ (a*b)也是幂等元，a*b∈T. (2)e∈T. ∵ e*e∈T, ∴e∈T. 所以<T,*,e>是<S,*,e>的子独异点。
若〈G，*〉是一个群，则a，bG a）存在唯一的x，使得a*x=b b）存在唯一的y，使得y*a=b
证：a）存在性:
令x=a-1*b，则a*(a-1*b)=a*a-1*b=e*b=b 唯一性: 若a*x=b，则a-1*a*x=a-1*b b）同理可证。 ∴x=a-1*b
幺元是群中唯一的幂等元
例8.1.4
设∑={a,b},<∑*, · >上的函数h:∑*→∑*定义如下： ,ε i)h(ε )=ε ; ii)h(a· s)=ab· h(s), h(b· s)=ba· h(s) 则h是<∑*, · >上的自同态。 ,ε
证：对s用归纳法证明∀s,t∈∑*:h(s· t)=h(s)· h(t) i)s=ε 时,h(ε · t)=h(t)= ε · h(t)=h(ε ) · h(t), ii)假设s=x时成立，即h(x· t)=h(x)· h(t) 则当s’=a· x时，h(s’·t)=h(a· t)=ab· t) x· h(x· = ab· h(x)· h(t)=h(a· h(t)=h(s’)· x)· h(t) 当s’=b· x时同理可证。 ∴∀s,t∈∑*:h(s· t)=h(s)· h(t) 又h(ε )=ε ， 所以h是∑*上的自同态。
定理3 设<G,*>是有限半群，若G中消去律成立，则<G,*>是群。 证：设G={a1,a2,...,an}. i)先证a,b∈G，a*x=b在G中有解。 作G’={a*a1, a*a2,..., a*an},则G’⊆G i,j,若ai≠aj，则a*ai≠a*aj(消去律的逆否)， 则|G’|=n,所以G’=G, 因为b∈G, 故b∈G’ 即存在k∈N,1<=k<=n，使得a*ak=b,所以方程a*x=b在G中有解。 ii)同理可证方程y*a=b在G中有解. 由定理2，<G,*>是群。
定理 半群<S,*>与<SS, ◦>同态 证：定义h:S→SS为：∀a∈S,h(a)=fa, 其中fa:S→S, ∀x∈S,fa(x)=a*x, 则h是同态映射，因为： ∀a,b∈S, ∀c∈S h(a*b)(c)=fa*b(c)=(a*b)*c=a*b*c (h(a)◦h(b))(c)=(fa◦fb)(c)=fa(fb(c))=a*(b*c)=a*b*c 所以h(a*b)(c)=(h(a)◦h(b))(c)， 即h(a*b) =h(a)◦h(b). 所以h是同态映射， 半群<S,*>与<SS, ◦>同态。 例8.1.5