数学物理方法第十二章

第12章第12.1节一、数学物理问题分为正向问题和逆向问题。

正向问题，即为已知源求场；逆向问题，即为已知场求源。

前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理所讨论的主要内容。

二、数学物理方程的类型和所描述的物理规律多数为二阶线性偏微分方程1.振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程。

2.热传导问题和扩散问题满足热传导方程。

3.静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程。

三、三类典型的数学物理方程1.双曲型方程（以波动方程为代表）错误！未找到引用源。

2.抛物型方程（以热传导方程为代表）错误！未找到引用源。

3.椭圆型方程（以泊松方程为代表）错误！未找到引用源。

当f(x,y,z)=0时，退化为拉普拉斯方程。

四、三类数学物理方程的一种最常用解法分离变量法 -> 偏微分方程 -> 标准的常微分方程 ->标准解，即为各类特殊函数第12.2节一、振动方程1.弦的横振动考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦．确定弦的微分方程的方法：1)要研究的物理量是弦沿垂直方向的位移u(x,t)2)被研究的物理量遵循牛顿第二定律。

3)按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）其中必须注意两点：（a）由于数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点．（b）由于物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化．根据牛顿第二定律F =ma运动的方程可以描述为：错误！未找到引用源。

仅考虑微小的横振动，夹角θ1 θ2为很小的量，cosθ1≈cosθ2≈1Sinθ1≈tgθ1sinθ2≈tgθ2∆s≈ds≈∆x=dx注意到:错误！未找到引用源。

故对本题有错误！未找到引用源。

这样，(12.2.1a)和(12.2.1b)简化为错误！未找到引用源。

因此在微小横振动条件下，可得出T2=T1，弦中张力不随x 而变， （实质是有变化的）可记为T=T2=T1 故有错误！未找到引用源。

变化量 dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立错误！未找到引用源。

这样，弧ABC 段的运动方程就成为错误！未找到引用源。

即g x u a t u-∂∂=∂∂22222 其中 错误！未找到引用源。

上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 讨论：（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式右端的重力加速度项可以忽略．（2）由此得到下列齐次偏微分方程：错误！未找到引用源。

☆称式☆为弦的自由振动方程（3）如果在弦的单位长度上还有横向外力F( x, t )作用，则式 ※应该改写为错误！未找到引用源。

⊙式中 f(x,t)=F(x,t)/ρ称为力密度，为t时刻作用于x 处单位质量上的横向外力式⊙称为弦的受迫振动方程.2、杆的纵振动假设E为弹性模量,ε为杆的相对伸长量∂u/∂x由胡克定律f=kx 知轴向张应力σ=Eε杆的横截面上的轴向张应力F=σS=ES∂u/∂x故对所研究的这一小段杆，其质量为ρ0S∆x其运动方程由牛顿第二定律可得：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

把系数整理，并令a=错误！未找到引用源。

，则得到杆的纵振动方程：错误！未找到引用源。

讨论：(1)对于均匀杆，E 和ρ是常数，方程错误！未找到引用源。

与弦的自由振动方程具有完全相同的形式．（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程完全一样，只是其中f( x, t )应是（3）杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力。

3. 传输线方程（电报方程）一般的传输线方程:错误！未找到引用源。

(1)无损耗线错误！未找到引用源。

(2)无失真线错误！未找到引用源。

其中错误！未找到引用源。

(3)无漏导，无电感线错误！未找到引用源。

4.膜的横振动方程错误！未找到引用源。

其中错误！未找到引用源。

二、热传导类型方程(推导一般固体的热传导方程时，需要利用能量三、守恒定律和关于热传导的傅里叶定律。

)一维热传导问题：一根长四、为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。

其热传导系数为 k，五、比热为c，线密度为ρ。

求杆内温度变化的规律。

分析：设杆长方向六、为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm= ρdx，七、热容量为cdm。

设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度八、分布为 u(x,t)，则由能量守恒定律cdmdu=dQcρdx du =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有错误！未找到引用源。

由热传导定律q(x,t) = -ku x(x,t)代入前面的式子，得到cρu t =ku xxu t =a2u xx推广1这里直接由一维推广到三维的情况：此时温度u成为空间变量x,y,z和时间t的函数方程：cρu t(x,y,z,t)=k(u xx+u yy+u zz )cρu t( 错误！未找到引用源。

,t )=k ∇2 u(r ,t )⇒ u t( r , t ) =a2∇2u(r ,t ) 其中 a2=错误！未找到引用源。

推广2情况：内部有热源(或侧面不绝热)分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt方程：cρu t= ku xx+Fu t= a2u xx+ f(x,t)，其中a2=k/cρ， f=F/cρ推广3情况：细杆不均匀分析：热传导系数k，比热c 或线密度ρ为x的函数方程：c( x )ρ( x )u t=错误！未找到引用源。

[k(x)错误！未找到引用源。

]推广4情况：扩散问题分析：浓度→温度u，扩散系数D→热传导系数 k，质量守恒→能量守恒，扩散定律→热传导定律方程：u t = Du xx-----无外部影响u t =a2u xx+ F ----有外部影响三维扩散问题，类似三位热传导问题错误！未找到引用源。

九、拉普拉斯方程（或泊松方程）------稳定场方程1.概念产生：在热传导或扩散过程中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。

形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。

2.分类无外界作用情况拉普拉斯方程： u t(r ,t )=a2∇2u(错误！未找到引用源。

, t ) = 0有外界作用情况泊松方程：u t(r ,t)=a2∇2u(r ,t) -f(x,y,z)=03.静电场的电势方程直角坐标系中泊松方程为错误！未找到引用源。

若空间 V中无电荷，即电荷密度ρ=0，上式成为错误！未找到引用源。

称这个方程为拉普拉斯方程.4.稳定温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

第12.3节一、初始条件初始位置，用 u |t=0 = f(x)表示；初始速度，用 u t|t=0 = g(x)表示。

典型例子一根长为 l 的弦，两端固定于x=0 和x=l ,在距离坐标原点为b 的位置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有u t (x,t)|t=0 =u t(x,0)=0初始位移如图所示错误！未找到引用源。

例一根长为l的杆以常速v沿x轴方向运动，在某时刻在杆的中点处被突然钳住停止运动，试求其振动。

解：这是杆的振动问题，其振动方程为：错误！未找到引用源。

如果取杆中点突然停止运动的时刻为初始时刻，则该问题的初始条件是：u|t=0 =0 u t|t=0 = v二、边界条件1.振动问题的边界条件举例对右端边界单元由牛顿第二定律错误！未找到引用源。

因此令∆x→0 对上式取极限，即得x=l时的边界条件ESu x(l,t)+ku(l,t)=0对左端边界单元由牛顿第二定律错误！未找到引用源。

因此令∆x→0 对上式取极限，即得x=l时的边界条件ESux(0,t)-ku(0,t)=0显然，若杆的两端固定，则边界条件为：u(0,t)=u(l,t)=0若杆的两端按给定的规律移动，则边界条件为：u(0,t)=f(t)u(l,t)=g(t)若杆的两端自由，则边界条件为：u x (0,t)=u x(l,t)=0若杆的两端弹性固结，则边界条件为：ESu x(0,t)−ku(0,t)=0ESu x(l,t)+ku(l,t)=0例.考察一端固定，一端系有重物的竖直杆,在纵振动时的边界条件。

解：坐标系如图，考察x=l端的边界单元与重物W的情形。

对边界单元(l−∆x,l)有错误！未找到引用源。

对于重物W有错误！未找到引用源。

其中W是重力，x c是重物质心的坐标当∆x→0时，由两方程取极限，可得边界条件：错误！未找到引用源。

在x=0端的边界条件，显然为：u(0,t )=0 三、热传导方程的边界条件ⅰ若杆的两端的温度按给给定规律变化时，边界条件为：u(0,t)=f(t) u(l,t)=g(t)ⅱ若杆的两端是绝热的时，边界条件为：u x(0,t)=u x(l,t)=0ⅲ若杆的两端表面与外界通过对流方式进行热交换时，边界条件为：U x+hu(l,t)=0 u x−hu(0,t)=0其中错误！未找到引用源。

,α是热交换系数，κ是传热系数ⅳ若杆的表面与外界通过辐射方式进行热交换时，边界条件为：u x(0,t)=c(u4−u04)|x=0其中u表示表面温度，u0表示外界温度四、稳恒问题边界条件分为三类:1、在边界上直接给定未知函数u,即为第一类边界条件．u|Σ=f1(Σ,t)2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．错误！未找到引用源。

3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.错误！未找到引用源。

注、以上三类边界条件都是线性的，f=0时为齐次线性，否则为非齐次线性。

五、连接条件边界条件的类型除了前面我们介绍的第一、第二、第三类边界条件之外，还有其它边界条件，如自然边界条件，衔接条件, 周期性条件和无边界条件．衔接条件：所研究的物体材质不同，在不同材质的区域建立的数学物理方程不同，为了将他们联系起来所需要的一些条件就是连接条件。

第12.4节定解问题的适定性(1) 解的存在性看所归结出来的定解问题是否有解；(2) 解的唯一性看是否只有一个解(3) 解的稳定性当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.。