数学物理方法第十二章

第12章

第12.1节

一、数学物理问题分为正向问题和逆向问题。

正向问题，即为已知源求场；逆向问题，即为已知场求源。

前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理所讨论的主要内容。

二、数学物理方程的类型和所描述的物理规律多数为二阶线性偏微分方程

1.振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程。

2.热传导问题和扩散问题满足热传导方程。

3.静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程。

三、三类典型的数学物理方程

1.双曲型方程（以波动方程为代表）

错误！未找到引用源。

2.抛物型方程（以热传导方程为代表）

错误！未找到引用源。

3.椭圆型方程（以泊松方程为代表）

错误！未找到引用源。当f(x,y,z)=0时，退化为拉普拉斯方程。

四、三类数学物理方程的一种最常用解法

分离变量法 -> 偏微分方程 -> 标准的常微分方程 ->标准解，即为各

类特殊函数

第12.2节

一、振动方程

1.弦的横振动

考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦．

确定弦的微分方程的方法：

1)要研究的物理量是弦沿垂直方向的位移u(x,t)

2)被研究的物理量遵循牛顿第二定律。

3)按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）

其中必须注意两点：（a）由于数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直

位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外

的任何位置作为考察点．（b）由于物理问题涉及的因素较多，往往还需要引

入适当假设才能使方程简化．

根据牛顿第二定律F =ma运动的方程可以描述为：

错误！未找到引用源。

仅考虑微小的横振动，夹角θ1 θ2为很小的量，

cosθ1≈cosθ2≈1

Sinθ1≈tgθ1sinθ2≈tgθ2

∆s≈ds≈∆x=dx

注意到:错误！未找到引用源。

故对本题有

错误！未找到引用源。

这样，(12.2.1a)和(12.2.1b)简化为

错误！未找到引用源。

因此在微小横振动条件下，可得出T2=T1，弦中张力不随x 而变， （实质是有变化的）可记为T=T2=T1 故有错误！未找到引用源。 变化量 dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立

错误！未找到引用源。

这样，弧ABC 段的运动方程就成为错误！未找到引用源。即g x u a t u

-∂∂=∂∂22222 其中 错误！未找到引用源。

上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 讨论：

（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式右端的重力加速度项可以忽略．

（2）由此得到下列齐次偏微分方程：

错误！未找到引用源。☆称式☆为弦的自由振动方程

（3）如果在弦的单位长度上还有横向外力F( x, t )作用，则式 ※应该

改写为错误！未找到引用源。 ⊙式中 f(x,t)=F(x,t)/ρ称为力密度，为t

时刻作用于x 处单位质量上的横向外力式⊙称为弦的受迫振动方程.

2、杆的纵振动

假设E为弹性模量,ε为杆的相对伸长量∂u/∂x

由胡克定律f=kx 知

轴向张应力σ=Eε

杆的横截面上的轴向张应力F=σS=ES∂u/∂x

故对所研究的这一小段杆，其质量为ρ0S∆x

其运动方程由牛顿第二定律可得：

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

把系数整理，并令a=错误！未找到引用源。，则得到杆的纵振动方程：

错误！未找到引用源。

讨论：

(1)对于均匀杆，E 和ρ是常数，方程错误！未找到引用源。

与弦的自由振动方程具有完全相同的形式．

（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程完全一样，只是其中f( x, t )应是

（3）杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力。

3. 传输线方程（电报方程）

一般的传输线方程:

错误！未找到引用源。

(1)无损耗线

错误！未找到引用源。

(2)无失真线

错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。

(3)无漏导，无电感线

错误！未找到引用源。

4.膜的横振动方程

错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。

二、热传导类型方程(推导一般固体的热传导方程时，需要利用能量

三、守恒定律和关于热传导的傅里叶定律。)一维热传导问题：一根长

四、为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为 k，

五、比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。分析：设杆长方向

六、为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm= ρdx，

七、热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度

八、分布为 u(x,t)，则由能量守恒定律

cdmdu=dQ

cρdx du =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt

于是有错误！未找到引用源。

由热传导定律q(x,t) = -ku x(x,t)

代入前面的式子，得到cρu t =ku xx

u t =a2u xx

推广1

这里直接由一维推广到三维的情况：此时温度u成为空间

变量x,y,z和时间t的函数方程：

cρu t(x,y,z,t)=k(u xx+u yy+u zz )

cρu t( 错误！未找到引用源。,t )=k ∇2 u(r ,t )

⇒ u t( r , t ) =a2∇2u(r ,t ) 其中 a2=错误！未找到引用源。

推广2

情况：内部有热源(或侧面不绝热)

分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为

F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt

方程：cρu t= ku xx+F

u t= a2u xx+ f(x,t)，其中a2=k/cρ， f=F/cρ

推广3

情况：细杆不均匀

分析：热传导系数k，比热c 或线密度ρ为x的