正余弦定理完美教案

正余弦定理教案

教学标题

正余弦定理及其应用

教学目标 熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式

会用正余弦定理解三角形 会做综合性题目

教学重难点 正弦定理、余弦定理的综合应用

授课内容：

梳理知识

1．正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C

⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪=

⎨⎪⎪+-=

⎪⎩

. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++===. 典型例题

探究点一 正弦定理的应用

例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．

解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝3

2

.

∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°.

当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22

；

当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，

c ＝b sin C sin B ＝6－22

.

综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋2

2

， 或A ＝120°，C ＝15°，c ＝

6－2

2

. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°.

由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ，

得b ＝a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C sin A ＝43＋4.

∴b ＝46，c ＝43＋4.

变式迁移1

(1)在△ABC 中，若tan A ＝1

3，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；

(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________.

探究点二 余弦定理的应用

例2 已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2

＝ac . (1)求角B 的大小；

(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．

解 (1)∵a 2＋c 2－b 2

＝ac ，

∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1

2.

∵0

3

.

(2)方法一 将c ＝3a 代入a 2

＋c 2

－b 2

＝ac ，得b ＝7a .

由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝57

14

.

∵0

∴sin A ＝1－cos 2

A ＝2114，

∴tan A ＝sin A cos A ＝3

5

.

方法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2

＝ac ， 得b ＝7a .

由正弦定理，得sin B ＝7sin A .

由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝21

14.

又b ＝7a >a ，∴B >A ，

∴cos A ＝1－sin 2

A ＝5714

.

∴tan A ＝sin A cos A ＝3

5

.

方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A .

∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π

3

－A ，

∴sin(2π

3－A )＝3sin A ，

∴sin 2π3cos A －cos 2π

3sin A ＝3sin A ，

∴

32cos A ＋1

2

sin A ＝3sin A ， ∴5sin A ＝3cos A ，

∴tan A ＝sin A cos A ＝3

5

.

变式迁移2

在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π

3

，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .

探究点三 正、余弦定理的综合应用

例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．

解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系． 解 方法一 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B ) ⇔a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正弦定理，得

sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ，

∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π， 得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，

即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．

方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得

a 2

b ×b 2＋

c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac

，

∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，

∴三角形为等腰三角形或直角三角形．

变式迁移3

在△ABC 中，AC AB ＝cos B

cos C

.

(1)证明：B ＝C ；

(2)若cos A ＝－1

3

，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．

课堂练习

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于 ( )

A ．－22

3

B.223

C ．－

63

D.63