复变函数与积分变换留数定理习题课.
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一、形如 R(sin ,cos )d的积分
0
哈 尔 滨 工 程 大 学
2π
这里R(sin ,cos )表示 sin ,cos的有理函数 , 并且在[0,2 ]上连续. 令 z e i
2π
0
R(sin , cos )d
2 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z 1 z 1 dz R , 2 z iz 2iz z 1
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f ( x )dx lim
R
R R
f ( x )dx
2 i Res[f ( z ), zk ]
三、形如
哈 尔 滨 工 程 大 学
f ( x )e
imx
dx ( m 0)的积分
Pm ( x ) 满足条件 1) f ( x ) , nm 1 Qn ( x ) 2) Q( x ) 0
x2 dx (a 0) 2 2 2 (x a )
x2 z2 dx 2 iRes( 2 , ai ) 2 2 2 2 2 (x a ) (z a )
2 z lim 2 z ai ( z ai ) 4a
复 变 函 数 与 积 分 变 换
3.
哈 尔 滨 工 程 大 学
0
cos x dx (a 0) 2 2 x a
ix cos x 1 e dx Re dx 2 2 2 2 x a x a 2
1 I 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
e iz e ix dx 2 iRes 2 , ai 2 2 2 x a z a
imz
, zk ]}
计算下列积分
哈 尔 滨 工 程 大 学
1.
0
d 2 1 cos
复 变 函 数 与 积 分 变 换
2.
x2 dx (a 0) 2 2 2 (x a )
cos x dx (a 0) 2 2 x a
3.
0
哈 尔 滨 工 程 大 学
2.
e iz e 1 2 i lim z ai z ai a 1 cos x e 0 x 2 a 2 dx 2a
哈 尔 滨 工 程 大 学
1 2 1.已知函数f ( z ) 2 ，则z 0, z ， 1 cos z z 分别是f ( z )的哪类奇点？可去奇点、非孤立奇点
f ( z ) 2. 设z a为f ( z )的m阶极点，求Res ,a f (z) m za 3.已知a 0，f ( z ) ，C是 z a 内绕原点 za f (z) 的任一正向简单闭曲线，求积分 C z n1 dz .
( 1)n1 4 ia n
z 1
f ( z )dz 2πi Res f ( z ), z
k 1
n
k
.Fra Baidu bibliotek
哈 尔 滨 工 程 大 学
二、形如
f ( x )dx的积分
Pm ( x ) 满足条件 1) f ( x ) , nm 2 Qn ( x )
2) Qn ( x ) 0 复变函数f ( z )在上半平面内只有 有限个孤立奇点.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
哈 尔 滨 工 程 大 学
1 e sin 4. 设f ( z ) d , C : z 3正向 3 2 2 i C z 试求：
2
1) 当 | z | 3时，f ( z )在复平面上的函数表达式
2) f (0), f (1)及f ( i )
复 变 函 数 与 积 分 变 换
R( x )e
imx
dx 2 i Res[R( z )e
imz
, zk ]
R( x )cos mxdx Re{2 i Res[R( z )e imz , zk ]} R( x )sin mxdx Im{2 i Res[R( z )e
复 变 函 数 与 积 分 变 换
5. 计算积分
2cos x dx 2 x 4x 5
2 cos 2 e
0
哈 尔 滨 工 程 大 学
2π
这里R(sin ,cos )表示 sin ,cos的有理函数 , 并且在[0,2 ]上连续. 令 z e i
2π
0
R(sin , cos )d
2 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z 1 z 1 dz R , 2 z iz 2iz z 1
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f ( x )dx lim
R
R R
f ( x )dx
2 i Res[f ( z ), zk ]
三、形如
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f ( x )e
imx
dx ( m 0)的积分
Pm ( x ) 满足条件 1) f ( x ) , nm 1 Qn ( x ) 2) Q( x ) 0
x2 dx (a 0) 2 2 2 (x a )
x2 z2 dx 2 iRes( 2 , ai ) 2 2 2 2 2 (x a ) (z a )
2 z lim 2 z ai ( z ai ) 4a
复 变 函 数 与 积 分 变 换
3.
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0
cos x dx (a 0) 2 2 x a
ix cos x 1 e dx Re dx 2 2 2 2 x a x a 2
1 I 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
e iz e ix dx 2 iRes 2 , ai 2 2 2 x a z a
imz
, zk ]}
计算下列积分
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1.
0
d 2 1 cos
复 变 函 数 与 积 分 变 换
2.
x2 dx (a 0) 2 2 2 (x a )
cos x dx (a 0) 2 2 x a
3.
0
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2.
e iz e 1 2 i lim z ai z ai a 1 cos x e 0 x 2 a 2 dx 2a
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1 2 1.已知函数f ( z ) 2 ，则z 0, z ， 1 cos z z 分别是f ( z )的哪类奇点？可去奇点、非孤立奇点
f ( z ) 2. 设z a为f ( z )的m阶极点，求Res ,a f (z) m za 3.已知a 0，f ( z ) ，C是 z a 内绕原点 za f (z) 的任一正向简单闭曲线，求积分 C z n1 dz .
( 1)n1 4 ia n
z 1
f ( z )dz 2πi Res f ( z ), z
k 1
n
k
.Fra Baidu bibliotek
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二、形如
f ( x )dx的积分
Pm ( x ) 满足条件 1) f ( x ) , nm 2 Qn ( x )
2) Qn ( x ) 0 复变函数f ( z )在上半平面内只有 有限个孤立奇点.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
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1 e sin 4. 设f ( z ) d , C : z 3正向 3 2 2 i C z 试求：
2
1) 当 | z | 3时，f ( z )在复平面上的函数表达式
2) f (0), f (1)及f ( i )
复 变 函 数 与 积 分 变 换
R( x )e
imx
dx 2 i Res[R( z )e
imz
, zk ]
R( x )cos mxdx Re{2 i Res[R( z )e imz , zk ]} R( x )sin mxdx Im{2 i Res[R( z )e
复 变 函 数 与 积 分 变 换
5. 计算积分
2cos x dx 2 x 4x 5
2 cos 2 e