2020年北京市第十一中学高三一模数学试卷(带答案)
2020年高三一模数学(理)北京东城区试题Word版带解析
2020年高三一模数学(理)北京东城区试题Word版带解析数学〔理科〕2019.4第一部分〔选择题 共40分〕【一】选择题共8小题,每题3分,共40分,在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 集合()(){|120}A x x x =+-≥,那么R A =ð〔 〕.A 、{}|12x x x <->,或B 、{|1x x -≤或}2x ≥C 、{}|12x x -<<D 、{}|12x x -≤≤解析:()(){|120}A x x x =+-≥={2A x x =≥≤或x -1},所以R A =ð{}|12x x -<<2. 复数i1i=-〔 〕. A 、11i 22+B 、11i 22-C 、11i 22-+D 、11i 22--解析:(1)11(1)(1)2ii i i i i i +-+==--+,答案C. 3. 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需把函数sin 2y x =的图象〔 〕.A 、向左平移π3个单位长度B 、向右平移π3个单位长度C 、向左平移π6个单位长度D 、向右平移π6个单位长度解析:函数平移满足左加右减,但是要在x 的基础上变换,所以答案为D 。
4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设39S =,530S =,那么789a a a ++=〔 〕.A 、27B 、36C 、42D 、63解析:因为数列是等差数列,利用等差中项的性质3229,393S a a ==∴=,53330,5306S a a ==∴=,d=3,789a a a ++=83a ,83521a a d =+=,789a a a ++=83a =63.5.在极坐标系中,点π4⎫⎪⎭,到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于〔 〕.ABCD 、2解析:把极坐标方程转化为标准方程cos ,sin x y ρθρθ==,所以点π4⎫⎪⎭,对应平面直角坐标系的点为〔1,1〕,c o s s i n 10ρθρθ--=,直线方程为x-y-1=0,利用点到直线的距离答案为A 。
2020年北京市西城区高三一模数学试题(含答案)
第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.在 吠 吠 h 的展开式中,常数项为
.(用数字作答)
12.若向量 ⸶ 吠hㄠhhㄠ ⸶ ㄠ吠h满足 㸴,则实数 吠 的取值范围是
.
13.设双曲线吠h t
h
h⸶
t ㄱh的一条渐近线方程为
⸶
h h
吠,则该双曲线的离心率为
(D) 吠 㸴hh h ⸶
6.设 ㄠ ㄠ 为非零实数,且 t ㄠ t ,则
(A)
t
(B) t h
(C)a b
h
t
(D) t
h
1/5
7.某四棱锥的三视图如图所示,记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则
(A)h h ㄠ且 h 㸴
(B)h h ㄠ且 h 㸴
(C)h h ㄠ且 h 㸴
(D)h h ㄠ且 h 㸴 8.设 ㄠ 为非零向量,则“൭
21.(本小题满分 14 分)
对于正整数 ,如果
h个整数 ㄠ hㄠ ㄠ 满足
h
,
且
h
⸶ ,则称数组 ㄠ hㄠ ㄠ h为 的一个“正整数分拆”.记 ㄠ hㄠ ㄠ 均为偶数的“正整数分拆”
的个数为 ㄠ ㄠ hㄠ ㄠ 均为奇数的“正整数分拆”的个数为쳌 .
(Ⅰ)写出整数 4 的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数
ㄠ㔰 两点和 ㄠ⺁ 两点.
ㄠㄱh,直线 h经过点 ㄠㄱh,直线 直线 h,且直线 , h分别与椭圆 相交于
(Ⅰ)若 ㄠ 分别为椭圆 的左、右焦点,且直线 吠 轴,求四边形 㔰 ⺁ 的面积;
(Ⅱ)若直线 的斜率存在且不为 0,四边形 㔰 ⺁ 为平行四边形,求证:
2020年北京市十一学校高考数学一模试卷
2020年北京市十一学校高考数学一模试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.(4分)已知集合2{|3100}M x x x =--<,2{|9}N x y x ==-,且M ,N 都是全集R 的子集,则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )A .{|35}x x <…B .{|3x x <-或5}x >C .{|32}x x --剟D .{|35}x x -剟2.(4分)下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为(0,)+∞的是( ) A .|(1)|y lg x =+B .12y x =C .2x y =D .||y ln x =3.(4分)已知双曲线221x y a -=的一条渐近线倾斜角为56π,则(a = )A .3B 3C .3D .3-4.(4分)下列不等式成立的是( )A .11sin cos 22>B .113211()()22>C .112311log log 32<D .113311()()23>5.(4分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是( ) A .112B .115C .118D .1146.(4分)设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A .若m n ⊥,//n α,则m α⊥B .若//m β,βα⊥,则m α⊥C .若m β⊥,n β⊥,n α⊥,则m α⊥D .若m n ⊥,n β⊥,βα⊥,则m α⊥7.(4分)数列{}n a 的通项公式为||()n a n c n N +=-∈.则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的( )条件. A .必要而不充分B .充要C .充分而不必要D .即不充分也不必要8.(4分)设函数21()(1||)1fx ln x x=+-+,则使得()f x f >(1)成立的x 的取值范围是( )A .(1,)+∞B .(-∞,1)(1-⋃,)+∞C .(1,1)-D .(1-,0)(0⋃,1)9.(4分)已知函数2sin ()1xf x x =+.下列命题: ①函数()f x 的图象关于原点对称; ②函数()f x 是周期函数; ③当2x π=时,函数()f x 取最大值;④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点. 其中正确命题的序号是( ) A .①③B .②③C .①④D .②④10.(4分)空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面α,β,γ两两互相垂直,点A α∈,点A 到β,γ的距离都是3,点P 是α上的动点,满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等,则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是( ) A .33-B .3C .33- D .32二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11.(5分)如图,在复平面内,复数1z ,2z 对应的向量分别是OA u u u r ,OB u u u r ,则12zz = .12.(5分)某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为 .13.(5分)角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(1,2)P ,则cos()πα-的值是 .14.(5分)平面向量(1,2)a =r ,(4,2)b =r ,()c ma b m R =+∈r r r ,且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r 的夹角,则m = .15.(5分)以1(a ,0),2(a ,0)为圆心的两圆均过(1,0),与y 轴正半轴分别交于1(0,)y ,2(0,)y ,且满足120lny lny +=,则点1(a ,2)a 的轨迹方程为 .16.(5分)某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为百分之 .三、解答题(本大题共6小题,共80分)17.如图所示,已知AC ⊥平面CDE ,//BD AC ,ECD ∆为等边三角形,F 为ED 边上的中点,且22CD BD AC ===, (1)求证://CF 面ABE ;。
2020届北京市东城区高三一模考试数学试题及答案
绝密★启用前2020届北京市东城区高三一模考试数学试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.已知集合{}10A x x =->,{}1,0,1,2B =-,那么A B =()A .{}1,0-B .{}0,1C .1,0,1,2D .{}2答案:D先化简集合A ,再利用交集的定义求解. 解:∵{}1A x x =>,{}1,0,1,2B =-, ∴{}2A B ⋂=. 故选:D. 点评:本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.2.函数()f x =() A .(]1,2- B .[)2,+∞C .()[),11,-∞-+∞D .()[),12,-∞-+∞答案:B首先根据()f x =2201x x -≥+,再解不等式即可. 解:函数()f x =,令2201x x -≥+,得20x -≥, 解得2x ≥,所以()f x 的定义域为[)2,+∞.故选:B 点评:本题主要考查函数的定义域,属于简单题.3.已知()211i a R ai=-∈+,则a =() A .1B .0C .1-D .2-答案:A利用复数的除法得出211ai i+=-,进而可求得实数a 的值. 解:211i ai=-+,()()()21211111i ai i i i i +∴+===+--+,因此,1a =. 故选:A. 点评:本题考查利用复数相等求参数,考查复数除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.4.若双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线与直线21y x =+平行,则b 的值为()A .1 BC D .2答案:D求出双曲线C 中斜率为正数的渐近线方程,根据该直线与直线21y x =+平行可求得b 的值. 解:双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线y bx =与直线21y x =+平行,可得2b =.故选:D. 点评:本题考查利用双曲线的渐近线与直线平行求参数,考查计算能力,属于基础题.5.如图所示,某三棱锥的正(主)视图、俯视图、侧(左)视图均为直角三角形,则该三棱锥的体积为()A .4B .6C .8D .12答案:A利用三视图作出几何体的直观图,然后利用锥体的体积公式可求得该几何体的体积. 解:由三视图知,几何体是一个三棱锥1D BCD ,根据三棱锥的三视图的数据,设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是4DC =,3BC =,12DD =,因此,三棱锥的体积是11432432⨯⨯⨯⨯=. 故选:A. 点评:本题考查利用三视图计算几何体的体积,解答的关键就是结合三视图还原几何体,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.6.已知1x <-,那么在下列不等式中,不成立的是() A .210x ->B .12x x+<- C .sin 0x x -> D .cos 0x x +>答案:D利用作差法可判断A 、B 选项的正误,利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 解:1x <-,则()()21110x x x -=-+>,()22112120x x x x x x x+++++==<,又sin x 、[]cos 1,1x ∈-,sin 0x x ∴->,cos 0x x +<.可得:ABC 成立,D 不成立. 故选:D. 点评:本题考查不等式正误的判断,一般利用作差法来进行判断,同时也要注意正弦、余弦有界性的应用,考查推理能力,属于中等题.7.在平面直角坐标系中,动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动,每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为12⎛ ⎝⎭,则运动到3分钟时,动点M 所处位置的坐标是()A .12⎫⎪⎪⎝⎭B .1,22⎛-⎝⎭C .221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D .12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭答案:C计算出运动3分钟时动点M 转动的角,再利用诱导公式可求得结果. 解:每12分钟转动一周,则运动到3分钟时,转过的角为32122ππ⨯=.设点M 的初始位置的坐标为()cos ,sin αα,则1cos 2α=,sin 2α=, 运动到3分钟时动点M 所处位置的坐标是cos ,sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得3cos sin 2παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭,1sin cos 22παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭, 所以,点M '的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选:C.点评:本题考查点的坐标的求解,考查了诱导公式的应用,考查计算能力,属于基础题.8.已知三角形ABC ,那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的() A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件答案:B在不等式AB AC AB AC +>-两边平方并化简得0AB AC ⋅>,判断出角A 的属性,再结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 解:三角形ABC 中,“AB AC AB AC +>-”0AB AC ⇒⋅>,可得A 为锐角,此时三角形ABC 不一定为锐角三角形.三角形ABC 为锐角三角形A ⇒为锐角.∴三角形ABC ,那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选:B. 点评:本题考查必要而不充分条件的判断,同时也考查了平面向量数量积的应用,考查推理能力,属于中等题.9.设O 为坐标原点,点1,0A ,动点P 在抛物线22y x =上,且位于第一象限,M 是线段PA 的中点,则直线OM 的斜率的范围为() A .(]0,1 B.⎛ ⎝⎭ C.⎛ ⎝⎦ D.⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案:C设点2,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭,可得出线段PA 的中点M 的坐标,利用基本不等式可求得直线OM 的斜率的取值范围. 解:设2,2y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,0y >,所以PA 的中点22,42y y M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 所以222222224OMyy k y y y y ===+++,因为2y y +≥102y y<≤=+,所以0,2OM k ⎛∈ ⎝⎦, 故选:C. 点评:本题考查直线斜率取值范围的计算,涉及基本不等式的应用,考查计算能力,属于中等题. 10.假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示,被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是()A .若在1t 、2t 时刻满足:()()12y t y t =,则()()12x t x t =B .如果()y t 数量是先上升后下降的,那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C .被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D .被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者的数量也会达到最大值 答案:C根据图形可判断A 选项的正误;根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误;根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误;取()10x t =,()100y t =可判断D 选项的正误. 解:由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故A 不正确;在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降,而()x t 是不断变小的,故B 不正确;捕食者数量最大时是在图象最右端,最小值是在图象最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处, 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值,故C 正确; 当捕食者数量最大时在图象最右端,()()25,30x t ∈,()()0,50y t ∈,此时二者总和()()()25,80x t y t +∈,由图象可知存在点()10x t =,()100y t =,()()110x t y t +=,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者数量也会达到最大值,故D 错误,故选:C. 点评:本题考查函数图象的性质,考查数据分析能力,比较抽象,属于中等题. 二、填空题11.已知向量(),1a m =,()1,2b =-,()2,3c =,若a b -与c 共线,则实数m =______. 答案:3求出向量a b -的坐标,利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式,进而可求得m 的值. 解:向量(),1a m =,()1,2b =-,()2,3c =,()1,3a b m ∴-=-,a b -与c 共线,1323m -∴=,解得实数3m =. 故答案为:3. 点评:本题考查利用向量共线求参数,考查计算能力,属于基础题. 12.在622()x x+的展开式中,常数项为_____.(用数字作答) 答案:60根据二项式展开式的通项公式,利用x 项的指数为0,即可求出常数项. 解: 在622()x x+的展开式中,通项公式为: 66316622()2r r r r r r r T C x C x x--+== 令6302r r -=∴=所以展开式的常数项为:226260C = 故答案为:60 点评:本题考查了二项式定理的通项公式,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题. 13.圆心在x 轴上,且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为______.答案:()22112x y -+=设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>,根据圆与直线1l 、2l 都相切可求得a 、r 的值,由此可得出所求圆的方程. 解:设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>,因为圆()()2220x a y r r -+=>与直线1:l y x =和2:2l y x =-r ==,解得1a =,22r,所以圆的方程为()22112x y -+=.故答案为:()22112x y -+=. 点评:本题考查圆的方程的求解,同时也考查了直线与圆相切的处理,考查计算能力,属于中等题.14.设函数()()1,0,22,0.x a a xa x x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论:①对0a ∀>,t R ∃∈,使得()f x t =无解;②对0t ∀>,a R ∃∈,使得()f x t =有两解;③当0a <时,0t ∀>,使得()f x t =有解;④当2a >时,t R ∃∈,使得()f x t =有三解.其中,所有正确结论的序号是______. 答案:③④取3a =,由一次函数的单调性和基本不等式,可得函数()f x 的值域,可判断①的正误;取0a =,判断函数()f x 的单调性,即可判断②;考虑0a <时,求得函数()f x 的值域,即可判断③;当2a >时,结合一次函数的单调性和基本不等式,以及函数()f x 的图象,即可判断④.综合可得出结论. 解:对于①,可取3a =,则()()3331,0,22,0.x xx x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩, 当0x <时,()()()31,3f x x =+∈-∞;当0x ≥时,()3333222222x x x x f x ----=+≥⋅=,当且仅当3x =时,取得等号, 故3a =时,()f x 的值域为R ,t R ∀∈,()f x t =都有解,故①错误;对于②可取0a =时,()0,022,0x xx f x x -<⎧=⎨+≥⎩,可得()f x 在(0,)+∞上单调递增, 对0t ∀>,()f x t =至多一解,故②错误;对于③,当0a <时,0x <时,()()1f x a x =+单调递减,可得()f x a >; 又0x ≥时,0x a ->,即有21x a ->.可得222x a a x --+>,则()f x 的值域为(),a +∞,0t ∀>,()f x t =都有解,故③正确;对于④,当2a >时,0x <时,()()1f x a x =+递增,可得()f x a <;当0x ≥时,()222x a a x f x --=+≥,当且仅当x a =时,取得等号,由图象可得,当23t <<时,()f x t =有三解,故④正确. 故答案为:③④.点评:本题考查分段函数的应用,主要考查方程根的个数问题,注意运用反例法判断命题不正确,考查推理能力,属于中等题. 三、双空题15.ABC 是等边三角形,点D 在边AC 的延长线上,且3AD CD =,27BD =,则CD =______;sin ABD ∠=______.答案:2321由3AD CD =可得2AC CD =,在BCD 中利用余弦定理可求得CD 的长,在ABD △中,利用正弦定理可求得sin ABD ∠的值. 解:如图所示,等边ABC 中,3AD CD =,所以2AC CD =.又7BD =2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠,即(()22227222cos120CD CD CD CD +-⋅⋅⋅=,解得2CD =,所以6AD =;由sin sin AD BD ABD A =∠∠,即67sin sin 60ABD =∠,解得321sin 14ABD ∠=. 故答案为:2;32114. 点评:本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查计算能力,属于中等题. 四、解答题16.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥面ABCD ,底面ABCD 为平行四边形,AB AC ⊥,1AB AC ==,1PD =.(Ⅰ)求证://AD 平面PBC ;(Ⅱ)求二面角D PC B --的余弦值的大小. 答案:(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)3-. (Ⅰ)根据四边形ABCD 是平行四边形得出//AD BC ,再利用线面平行的判定定理可证得//AD 平面PBC ;(Ⅱ)过D 作平行于AC 的直线Dx ,以D 为坐标原点,DC 、DP 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角D PC B --的余弦值. 解: (Ⅰ)证明:底面ABCD 为平行四边形,//AD BC ∴,BC ⊂平面PBC ,AD ⊄平面PBC ,//AD ∴平面PBC ;(Ⅱ)解:过D 作平行于AC 的直线Dx ,AB AC ⊥,Dx DC ⊥,又PD ⊥面ABCD ,∴以D 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.则()0,1,0C 、()0,0,1P 、()1,2,0B ,()1,1,0CB =,()0,1,1CP =-,设平面PCB 的一个法向量为(),,n x y z =,由00n CB x y n CP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩,取1y =,得()1,1,1n =-.取平面PCD 的一个法向量()1,0,0m =,则cos ,31m n m n m n⋅<>===-⨯⋅.由图可知,二面角D PC B --为钝角,∴二面角D PC B --的余弦值为3-点评:本题考查线面平行的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值,考查推理能力与计算能力,属于中等题.17.已知函数()()2sin 22cos 066f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且满足_______. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及最小正周期;(Ⅱ)若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解,求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1,②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π,③()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭.这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答. 答案:满足①或②或③;(Ⅰ)()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,最小正周期为π;(Ⅱ)47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭; (Ⅰ)利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式,根据①或②或③中的条件求得1a =,可得出()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期;(Ⅱ)令()1f x =,得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得3x k ππ=+,k Z ∈,可得出方程()1f x =在区间[]0,m 上的实数根,进而可得出实数m 的取值范围. 解:(Ⅰ)函数()2sin 22cos 66f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2163a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 21662a x x πππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2166a x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1sin 216a x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,若满足①()f x 的最大值为1,则12a +=,解得1a =,所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则函数()f x 的最小正周期为22T ππ==; (Ⅱ)令()1f x =,得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得2262x k πππ-=+,k Z ∈,即3x k ππ=+,k Z ∈;若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解,则3x π=或43π; 所以实数m 的取值范围是47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 若满足②,()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π, 且()f x 的最小正周期为22T ππ==,所以()113a -+-=-,解得1a =; 以下解法均相同.若满足③,()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭,则()1sin 1066f a ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭,解得1a =;以下解法均相同. 点评:本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式,同时也考查了利用正弦型函数方程的根的个数求参数,考查计算能力,属于中等题.18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下,北斗二代和北斗三代定位模块,分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值,其中“⋅”表示北斗二代定位模块的误差的值,“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.(单位:米)(Ⅰ)从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个,求此点横坐标误差的值大于10米的概率; (Ⅱ)从图中A ,B ,C ,D 四个点位中随机选出两个,记X 为其中纵坐标误差的值小于4-的点位的个数,求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.(结论不要求证明) 答案:(Ⅰ)0.06;(Ⅱ)分布列见解析,1;(Ⅲ)北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.(Ⅰ)通过图象观察,在北斗二代定位的50个点中,横坐标误差的绝对值大于10米有3个点,由古典概率的计算公式可得所求值;(Ⅱ)通过图象可得,A ,B ,C ,D 四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点:C ,D ,则X 的所有可能取值为0,1,2,分别求得它们的概率,作出分布列,计算期望即可;(Ⅲ)通过观察它们的极差,即可判断它们的方差的大小.解:(Ⅰ)由图可得,在北斗二代定位的50个点中,横坐标误差的绝对值大于10米有3个点,所以从中随机选出一点,此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.06 50=;(Ⅱ)由图可得,A,B,C,D四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点:C,D,所以X的所有可能取值为0,1,2,()022416CP XC===,()112224213C CP XC===,()2224126CP XC===,所以X的分布列为所以X的期望为()1210121636E X=⨯+⨯+⨯=;(Ⅲ)北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.点评:本题考查古典概率的求法,以及随机变量的分布列和期望的求法,方差的大小的判断,考查数形结合思想和运算能力、推理能力,属于中档题.19.已知椭圆E:22221x ya b+=(0a b>>),它的上,下顶点分别为A,B,左,右焦点分别为1F,2F ,若四边形12AF BF 为正方形,且面积为2.(Ⅰ)求椭圆E 的标准方程;(Ⅱ)设存在斜率不为零且平行的两条直线1l ,2l ,它们与椭圆E 分别交于点C ,D ,M ,N ,且四边形CDMN 是菱形,求出该菱形周长的最大值.答案:(Ⅰ)2212x y +=;(Ⅱ)(Ⅰ)由题意可得22212222b c c b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩,解出即可;(Ⅱ)设1l 的方程为1y kx m =+,2l 的方程为2y kx m =+,联立直线与椭圆方程并消元得韦达定理的结论,根据弦长公式可求得CD ,MN ,由四边形CDMN 为菱形可得0MC ND ⋅=,可得2213220m k --=,再根据基本不等式即可求出最值.解:解:(Ⅰ)∵四边形12AF BF 为正方形,且面积为2,∴22212222b cc b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩,解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,∴椭圆的标准方程2212x y +=;(Ⅱ)设1l 的方程为1y kx m =+,()11,C x y ,()22,D x y , 设2l 的方程为2y kx m =+,()33,M x y ,()44,N x y ,联立12222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()22211124220k x km x m +++-=, 由>0∆可得()()22221116412220k m km-+->,化简可得221210k m +->,①1122412km x x k -=++,211222212m x x k-+=,12CD x x-===,同理可得MN =, ∵四边形CDMN 为菱形,∴CD MN =,∴2212m m =,又∵12m m ≠,∴12m m =-,∴1l ,2l 关于原点对称,又椭圆关于原点对称, ∴,C M 关于原点对称,,D N 也关于原点对称,∴3131x x y y =-⎧⎨=-⎩且4242x x y y =-⎧⎨=-⎩,∴()112,2MC x y =,()222,2ND x y =, ∵四边形CDMN 为菱形,可得0MC ND ⋅=, 即12120x x y y +=,即()()1211210x x kx m kx m +++=, 即()()2121122110kx xkm x x m ++++=,可得()221111222224012121m km km m k kk -+=--++++=⋅, 化简可得2213220m k --=,∴菱形CDMN的周长为4l CD ==28312k=+()222122142312k k k +++≤=+ 当且仅当222214k k +=+,即212k =时等号成立, 此时211m =,满足①,∴菱形CDMN 的周长的最大值为 点评:本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查椭圆的几何性质,考查一元二次方程根与系数的应用,考查基本不等式的应用,考查转化与划归思想,考查计算能力,属于难题. 20.已知函数()()ln f x x x ax =-(a R ∈).(Ⅰ)若1a =,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; (Ⅱ)若()f x 有两个极值点,求实数a 的取值范围; (Ⅲ)若1a >,求()f x 在区间(]0,2a 上的最小值.答案:(Ⅰ)y x =-;(Ⅱ)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭;(Ⅲ)()22ln 22a a a ⎡⎤-⎣⎦.由题意得()1ln 2f x x ax '=+-;(Ⅰ)当1a =时,求得()11f '=-,()11f =-,根据点斜式方程即可求出切线方程;(Ⅱ)由题意得1ln 2xa x +=两个不等的正根,令()1ln x g x x +=,则()2ln x g x x -'=,由此可得函数()g x 的单调性,由此可求出答案;(Ⅲ)由题意可得()12f x a x''=-,由二阶导的取值符号可得到f x 的单调性,得到()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭,由此可求出函数()f x 在(]0,2a 上单调递减,从而求出最值.解:解:∵()()ln f x x x ax =-, ∴()1ln 2f x x ax '=+-;(Ⅰ)当1a =时,()11f '=-,()11f =-,∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y x --=--, 即y x =-;(Ⅱ)∵若()f x 有两个极值点,∴()1ln 20f x x ax '=+-=有两个不等的正根,即1ln 2xa x+=两个不等的正根, 令()1ln xg x x +=,0x >,()2ln x g x x-'=, 令()01g x x ='⇒=,当()0,1x ∈时0g x,此时()g x 单调递增,01g e ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭()(,1)g x ∈-∞;当()1,x ∈+∞时0g x ,此时()g x 单调递减,()(0,1)g x ∈∴函数()g x 在1x =处取得极大值,也是最大值()11g =,因为1ln 2xa x+=两个不等的正根, ∴021a <<,得102a <<, ∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭;(Ⅲ)∵()()ln f x x x ax =-,∴()1ln 2f x x ax '=+-,()12f x a x''=-, ∵1a >,(]0,2x a ∈,令()102f x x a''=⇒=, 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x ''>,此时f x 单调递增,当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ''<,此时f x 单调递减,故()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭, ∴()f x 在(]0,2a 上单调递减,故()f x 在(]0,2a 上的最小值为()()222ln 22f a a a a ⎡⎤=-⎣⎦.点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值,考查利用导数求曲线的切线方程,考查计算能力,考查转化与化归思想,属于难题.21.数列A :1x ,2x ,3x ,…,n x ,…,对于给定的t (1t >,t +∈N ),记满足不等式:()*n t x t x t n -≥-(n +∀∈N ,n t ≠)的*t 构成的集合为()T t .(Ⅰ)若数列2:n A x n =,写出集合()2T ; (Ⅱ)如果()T t (t +∈N ,1t >)均为相同的单元素集合,求证:数列1x ,2x ,…,n x ,…为等差数列;(Ⅲ)如果()T t (t +∈N ,1t >)为单元素集合,那么数列1x ,2x ,…,n x ,…还是等差数列吗?如果是等差数列,请给出证明;如果不是等差数列,请给出反例.答案:(Ⅰ)[]3,5;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)是等差数列,证明见解析.(Ⅰ)由题意得,()2*42n tn -≥-,分1n =和2n >两类讨论解出不等式,再根据()2T 的定义即可求出;(Ⅱ)由题意,若()T t 中均只有同一个元素,不妨设为a ,当1n t =+时,由题意可得1t t x x a +-≥,当1n t =-时,有1t t x x a --≤,则1t t x x a +-=成立,从而得出证明;(Ⅲ)不妨设(){}T i a =,(){}T j b =,1i j <<,a b ,由题意可得()j i x x a j i -≥-,()j i x x b j i -≤-,则()()j i a j i x x b j i -≤-≤-,则a b ≤;设(){}i T i t =,则23n t t t ≤≤≤≤,则i j t t ≤,首先证2t =时的情况,不妨设21x x >,由212x x t -≤,()2T 为单元素集,则212x x t -=;再证332t x x =-,由3t 和2t 的定义可证323x x t -=,则3322t x x t =->,则存在正整数4m ≥使得()222m m t x x -=-,而()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑,得出矛盾,从而32t t =,同理可证2345t t t t ====,由此可得结论. 解:(Ⅰ)解:由题意得,()2T 为满足不等式()*22n n x x t-≥-的*t 构成的集合,∵数列2:n A x n =, ∴()2*42n t n -≥-,即()()()*222n n n t ≥--+,当1n =时,上式可化为*3t ≤,当2n >时,上式可化为*2n t +≥,得*5t ≥,∴()[],235T =;(Ⅱ)证:对于数列A :1x ,2x ,3x ,…,n x ,…,若()T t 中均只有同一个元素,不妨设为a ,下面证明数列A 为等差数列,当1n t =+时,有1t t x x a +-≥,①当1n t =-时,有1t t x x a --≤,②∵①②两式对任意大于1的整数均成立,∴1t t x x a +-=成立,∴数列1x ,2x ,…,n x ,…为等差数列;(Ⅲ)解:对于数列A :1x ,2x ,…,n x ,…,不妨设(){}T i a =,(){}T j b =,1i j <<,a b ,由(){}T i a =,知()j i x x a j i -≥-,由(){}T j b =,知:()i j x x b i j -≥-,即()j i x x b j i -≤-,∴()()j i a j i x x b j i -≤-≤-,∴a b ≤;设(){}i T i t =,则23n t t t ≤≤≤≤,这说明1i j <<,则i j t t ≤,∵对于数列A ,()T t 中均只有一个元素,首先证2t =时的情况,不妨设21x x >,∵212x x t -≤,又()2T 为单元素集,∴212x x t -=,再证332t x x =-,证明如下:由3t 的定义可知:332t x x ≥-,3132x x t -≥,∴31332max 2,x x t x x -⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭, 由2t 的定义可知32221x x t x x -≥=-, ∴32213133222x x x x x x t x x -+--≥-≥=,∴323x x t -=, ∵32t t >,∴3322t x x t =->,则存在正整数()4m m ≥,使得()222m m t x x -=-,③∵212323431k k x x t x x t x x x x --=≤-≤≤-≤≤-≤, ∴()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑,这与③矛盾,∴32t t =,同理可证2345t t t t ====,即232314x x x x x x =-=--⋅⋅⋅, ∴数列1x ,2x ,…,n x ,…还是等差数列.点评:本题主要考查数列的新定义问题,考查定义法证明等差数列,考查计算能力与推理能力,考查分类讨论思想,考查转化与化归思想,属于难题.。
北京市西城区 2020届高三第一次模拟考试 (数学)解析版
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示:在边长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中,四棱锥 C1 − ABCD 满足条件,故
{ } S = 2, 2 2, 2 3 ,得到答案.
【详解】如图所示:在边长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中,四棱锥 C1 − ABCD 满足条件.
-4-
当 a 与 b 共线,方向相反时, a + b ≠ a + b ,故不必要.
故选: A .
【点睛】本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.
9.已知函数 f ( x) = sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的
1+ 2sinx
图象可以与原图象重合的变换方式有( )
故选: B .
【点睛】本题考查了复数的运算,复数的模,意在考查学生的计算能力.
3.下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是( )
A. y= x + 2
B. y = sinx
C. y= x − x3
【答案】C
D. 20
D. y = 2x
-1-
【解析】 【分析】 依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. y= x + 2 ,值域为 R ,非奇非偶函数,排除;
B. (2,3)
C. (−∞,0) ∪ (2,3)
D. (−∞,3)
【答案】C 【解析】 【分析】 直接求交集得到答案.
【详解】集合 A ={x | x < 3},B ={x | x 0或x 2} ,则 A ∩ B = (−∞,0) ∪ (2,3) .
故选: C .
【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.
2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1.已知集合A={x|x﹣1>0},B={﹣1,0,1,2},那么A∩B=()A.{﹣1,0}B.{0,1}C.{﹣1,0,1,2}D.{2}2.函数的定义域为()A.(﹣1,2]B.[2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪[2,+∞)3.已知,则a=()A.1B.0C.﹣1D.﹣24.若双曲线的一条渐近线与直线y=2x+1平行,则b的值为()A.1B.C.D.25.如图所示,某三棱锥的正(主)视图、俯视图、侧(左)视图均为直角三角形,则该三棱锥的体积为()A.4B.6C.8D.126.已知x<﹣1,那么在下列不等式中,不成立的是()A.x2﹣1>0B.C.sin x﹣x>0D.cos x+x>07.在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动,每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为,则运动到3分钟时,动点M所处位置的坐标是()A.B.C.D.8.已知三角形ABC,那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设O为坐标原点,点A(1,0),动点P在抛物线y2=2x上,且位于第一象限,M是线段PA的中点,则直线OM的斜率的范围为()A.(0,1]B.C.D.10.假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x(t)表示,被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是:()A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知向量(m,1),(1,﹣2),(2,3),若与共线,则实数m =.12.在(x)6的展开式中常数项为.(用数字作答)13.圆心在x轴上,且与直线l1:y=x和l2:y=x﹣2都相切的圆的方程为.14.△ABC是等边三角形,点D在边AC的延长线上,且AD=3CD,,则CD =,sin∠ABD=.15.设函数给出下列四个结论:①对∀a>0,∃t∈R,使得f(x)=t无解;②对∀t>0,∃a∈R,使得f(x)=t有两解;③当a<0时,∀t>0,使得f(x)=t有解;④当a>2时,∃t∈R,使得f(x)=t有三解.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB⊥AC,AB=AC=1,PD=1.(Ⅰ)求证:AD∥平面PBC;(Ⅱ)求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小.17.已知函数,且满足_______.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及最小正周期;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=﹣3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.下图是在室外开放的环境下,北斗二代和北斗三代定位模块,分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值,其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值,“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.(单位:米)(Ⅰ)从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个,求此点横坐标误差的值大于10米的概率;(Ⅱ)从图中A,B,C,D四个点位中随机选出两个,记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.(结论不要求证明)19.已知椭圆,它的上,下顶点分别为A,B,左,右焦点分别为F1,F2,若四边形AF1BF2为正方形,且面积为2.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;(Ⅱ)设存在斜率不为零且平行的两条直线l1,l2,它们与椭圆E分别交于点C,D,M,N,且四边形CDMN是菱形,求出该菱形周长的最大值.20.已知函数f(x)=x(lnx﹣ax)(a∈R).(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围;(Ⅲ)若a>1,求f(x)在区间(0,2a]上的最小值.21.数列A:x1,x2,x3,…,x n,…,对于给定的t(t>1,t∈N+),记满足不等式:x n﹣x t≥t*(n﹣t)(∀n∈N+,n≠t)的t*构成的集合为T(t).(Ⅰ)若数列A:x n=n2,写出集合T(2);(Ⅱ)如果T(t)(t∈N+,t>1)均为相同的单元素集合,求证:数列x1,x2,…,x n,…为等差数列;(Ⅲ)如果T(t)(t∈N+,t>1)为单元素集合,那么数列x1,x2,…,x n,…还是等差数列吗?如果是等差数列,请给出证明;如果不是等差数列,请给出反例.参考答案一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合A={x|x﹣1>0},B={﹣1,0,1,2},那么A∩B=()A.{﹣1,0}B.{0,1}C.{﹣1,0,1,2}D.{2}【分析】可以求出集合A,然后进行交集的运算即可.解:∵A={x|x>1},B={﹣1,0,1,2},∴A∩B={2}.故选:D.【点评】本题考查了描述法、列举法的定义,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题.2.函数的定义域为()A.(﹣1,2]B.[2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪[2,+∞)【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0,列不等式求出解集即可.解:函数,令0,得x﹣2≥0,解得x≥2,所以f(x)的定义域为[2,+∞).故选:B.【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题,是基础题.3.已知,则a=()A.1B.0C.﹣1D.﹣2【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数相等的条件求解a值.解:∵,∴2=(1+ai)(1﹣i)=1+a+(a﹣1)i,∴,即a=1.故选:A.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题.4.若双曲线的一条渐近线与直线y=2x+1平行,则b的值为()A.1B.C.D.2【分析】利用双曲线的渐近线方程,得到关系式,求解即可.解:双曲线的一条渐近线y=bx与直线y=2x+1平行,可得b=2.故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题.5.如图所示,某三棱锥的正(主)视图、俯视图、侧(左)视图均为直角三角形,则该三棱锥的体积为()A.4B.6C.8D.12【分析】几何体是一个三棱锥,根据三视图的数据,画出直观图,求解体积即可.解:由三视图知,几何体是一个三棱锥,D1﹣BCD,根据三棱锥的三视图的面积,设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC=4,BC=3,DD1=2∴三棱锥的体积是4×3×2=4故选:A.【点评】本题考查由三视图求几何体的体积,考查由三视图还原平面图形,是基础题.6.已知x<﹣1,那么在下列不等式中,不成立的是()A.x2﹣1>0B.C.sin x﹣x>0D.cos x+x>0【分析】根据x<﹣1,利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论.解:∵x<﹣1,∴x2﹣1>0,x2,又∵sin x,cos x∈[﹣1,1],∴sin x﹣x>0,cos x+x<0.可得:ABC成立,D不成立.故选:D.【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.7.在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动,每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为,则运动到3分钟时,动点M所处位置的坐标是()A.B.C.D.【分析】根据题意画出图形,结合图形求出3分钟转过的角度,由此计算点M所处位置的坐标.解:每12分钟转动一周,则运动到3分钟时,转过的角为2π;点M的初始位置坐标为,运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′(,).故选:C.【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题,是基础题.8.已知三角形ABC,那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC,那么“”⇒•0,可得A为锐角.进而判断出结论.解:三角形ABC,那么“”⇒•0,可得A为锐角.此时三角形ABC不一定为锐角三角形.三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角.∴三角形ABC,那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.故选:B.【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.9.设O为坐标原点,点A(1,0),动点P在抛物线y2=2x上,且位于第一象限,M是线段PA的中点,则直线OM的斜率的范围为()A.(0,1]B.C.D.【分析】设P的坐标,看可得PA的中点M的坐标,进而求出OM的斜率,由均值不等式可得其取值范围.解:设P(,y),y>0,所以PA的中点M(,),所以k OM,因为y,所以0,所以k OM∈(0,],故选:C.【点评】本题考查抛物线的性质,及均值不等式的性质,属于中档题.10.假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x(t)表示,被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是:()A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合,逐一进行分析即可解:由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故A不正确;在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降,而x(t)是不断变小的,故B不正确;捕食者数量最大时是在图象最右端,最小值是在图象最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值,故C正确;当捕食者数量最大时在图象最右端,x(t)∈(25,30),y(t)∈(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)∈(25,80),由图象可知存在点x(t)=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者数量也会达到最大值,故D错误,故选:C.【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质,本题比较抽象,理解起来有一定的难度.二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知向量(m,1),(1,﹣2),(2,3),若与共线,则实数m =3.【分析】先求出(m﹣1,3),再由与共线,列方程能求出实数m.解:∵向量(m,1),(1,﹣2),(2,3),∴(m﹣1,3),∵与共线,∴,解得实数m=3.故答案为:3.【点评】本题考查实数值的求法,考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.12.在(x)6的展开式中常数项为160.(用数字作答)【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项.解:在的展开式中的通项公式为T r+1•2r•x6﹣2r,令6﹣2r=0,求得r=3,可得常数项为•23=160,故答案为:160.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.13.圆心在x轴上,且与直线l1:y=x和l2:y=x﹣2都相切的圆的方程为(x﹣1)2+y2.【分析】设所求圆的方程为(x﹣a)2+y2=r2,利用圆与直线l1:y=x和l2:y=x﹣2都相切,即可得出结论.解:设所求圆的方程为(x﹣a)2+y2=r2,因为圆与直线l1:y=x和l2:y=x﹣2都相切,则r,解得a=1,r,所以圆的方程为(x﹣1)2+y2.故答案为:(x﹣1)2+y2.【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础.14.△ABC是等边三角形,点D在边AC的延长线上,且AD=3CD,,则CD =2,sin∠ABD=.【分析】根据题意画出图形,利用余弦定理求出CD的值,再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值.解:如图所示,等边△ABC中,AD=3CD,所以AC=2CD;又,所以BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD,即(2CD)2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°,解得CD=2,所以AD=6;由,即,解得sin∠ABD.故答案为:2,.【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题,也考查了运算求解能力,是基础题.15.设函数给出下列四个结论:①对∀a>0,∃t∈R,使得f(x)=t无解;②对∀t>0,∃a∈R,使得f(x)=t有两解;③当a<0时,∀t>0,使得f(x)=t有解;④当a>2时,∃t∈R,使得f(x)=t有三解.其中,所有正确结论的序号是③④.【分析】可取a=3,由一次函数的单调性和基本不等式,可得f(x)的值域,即可判断①;取a=0,判断f(x)的单调性,即可判断②;考虑a<0时,求得f(x)的值域,即可判断③;当a>2时,结合一次函数的单调性和基本不等式,以及f(x)的图象,即可判断④.解:对于①,可取a=3,则f(x),当x<0时,f(x)=3(x+1)∈(﹣∞,3);当x≥0时,f(x)=2x﹣3+23﹣x≥22,当且仅当x=3时,取得等号,故a=3时,f(x)的值域为R,∀t∈R,f(x)=t都有解,故①错误;对于②可取a=0时,f(x),可得f(x)在R上单调递增,对∀t>0,f(x)=t至多一解,故②错误;对于③,当a<0时,x<0时,f(x)=a(x+1)递减,可得f(x)>a;又x≥0时,x﹣a>0,即有2x﹣a>1,可得2x﹣a+2a﹣x>2,则f(x)的值域为(a,+∞),∀t>0,f(x)=t都有解,故③正确;对于④,当a>2时,x<0时,f(x)=a(x+1)递增,可得f(x)<a;当x≥0时,f (x)=2x﹣a+2a﹣x≥2,当且仅当x=a时,取得等号,由图象可得,当2<t<3时,f(x)=t有三解,故④正确.故答案为:③④.【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查方程的解的个数,注意运用反例法判断命题不正确,以及数形结合思想,考查推理能力,属于中档题.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB⊥AC,AB=AC=1,PD=1.(Ⅰ)求证:AD∥平面PBC;(Ⅱ)求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小.【分析】(Ⅰ)由底面ABCD为平行四边形,得AD∥BC,再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC;(Ⅱ)过D作平行于AC的直线Dx,以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz.分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:∵底面ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∵BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC;(Ⅱ)解:过D作平行于AC的直线Dx,∵AB⊥AC,∴Dx⊥DC,又PD⊥面ABCD,∴以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz.则C(0,1,0),P(0,0,1),B(1,2,0),(1,1,0),(0,﹣1,1),设平面PCB的一个法向量为,由,取y=1,得;取平面PCD的一个法向量.则cos.由图可知,二面角D﹣PC﹣B为钝角,∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,是中档题.17.已知函数,且满足_______.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及最小正周期;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=﹣3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和诱导公式化简函数f(x),若满足①,利用最大值求出a的值,写出f(x)的解析式,求出最小正周期;(Ⅱ)令f(x)=1求得方程的解,根据方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解找出这两个解,从而写出实数m的取值范围.若满足②,利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值,以下解法均相同.若满足③,利用f(x)的图象过点,代入求出a的值,以下解法均相同.解:(Ⅰ)函数f(x)=a sin(2x)﹣2cos2(x)=a sin(2x)﹣cos(2x)﹣1=a sin(2x)﹣sin(﹣2x)﹣1=(a+1)sin(2x)﹣1,若满足①f(x)的最大值为1,则a+1=2,解得a=1,所以f(x)=2sin(2x)﹣1;f(x)的最小正周期为Tπ;(Ⅱ)令f(x)=1,得sin(2x)=1,解得2x2kπ,k∈Z;即x kπ,k∈Z;若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,则x或;所以实数m的取值范围是[,).若满足②f(x)的图象与直线y=﹣3的两个相邻交点的距离等于π,且f(x)的最小正周期为Tπ,所以﹣(a+1)﹣1=﹣3,解得a=1;以下解法均相同.若满足③f(x)的图象过点,则f()=(a+1)sin1=0,解得a=1;以下解法均相同.【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题,也考查了三角函数图象与性质的应用问题,是中档题.18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.下图是在室外开放的环境下,北斗二代和北斗三代定位模块,分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值,其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值,“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.(单位:米)(Ⅰ)从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个,求此点横坐标误差的值大于10米的概率;(Ⅱ)从图中A,B,C,D四个点位中随机选出两个,记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.(结论不要求证明)【分析】(Ⅰ)通过图象观察,在北斗二代定位的50个点中,横坐标误差的绝对值大于10米有3个点,由古典概率的计算公式可得所求值;(Ⅱ)通过图象可得,A,B,C,D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点:C,D,则X的所有可能取值为0,1,2,分别求得它们的概率,作出分布列,计算期望即可;(Ⅲ)通过观察它们的极差,即可判断它们的方差的大小.解:(Ⅰ)由图可得,在北斗二代定位的50个点中,横坐标误差的绝对值大于10米有3个点,所以从中随机选出一点,此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为0.06;(Ⅱ)由图可得,A,B,C,D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点:C,D,所以X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0),P(X=1),P(X=2),所以X的分布列为X12P所以X的期望为E(X)=0121;(Ⅲ)北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.【点评】本题考查古典概率的求法,以及随机变量的分布列和期望的求法,方差的大小的判断,考查数形结合思想和运算能力、推理能力,属于中档题.19.已知椭圆,它的上,下顶点分别为A,B,左,右焦点分别为F1,F2,若四边形AF1BF2为正方形,且面积为2.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;(Ⅱ)设存在斜率不为零且平行的两条直线l1,l2,它们与椭圆E分别交于点C,D,M,N,且四边形CDMN是菱形,求出该菱形周长的最大值.【分析】(Ⅰ)由题意可得b=c,bc=2,求得b,再由a,b,c的关系可得a,进而得到所求椭圆方程;(Ⅱ)设l1的方程为y=kx+m1,C(x1,y1),D(x2,y2),设l2的方程为y=kx+m2,M(x3,y3),N(x4,y4),分别联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,以及弦长公式,求得|CD|,|MN|,运用菱形和椭圆的对称性可得l1,l2关于原点对称,结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0,可得3m12﹣2k2﹣2=0,设菱形CDMN 的周长为l,运用基本不等式,计算可得所求最大值.解:(Ⅰ)因为四边形AF1BF2为正方形,且面积为2,所以b=c,且•2c•2b=2,解得b=c=1,a2=2,所以椭圆的标准方程:y2=1;(Ⅱ)设l1的方程为y=kx+m1,C(x1,y1),D(x2,y2),设l2的方程为y=kx+m2,M(x3,y3),N(x4,y4),联立可得(1+2k2)x2+4km1x+2m12﹣2=0,由△>0可得16k2m12﹣4(1+2k2)(2m12﹣2)>0,化简可得2k2+1﹣m12>0,①x1+x2,x1x2,|CD|•|x1﹣x2|•••,同理可得|MN|•,因为四边形CDMN为菱形,所以|CD|=|MN|,所以m12=m22,又因为m1≠m2,所以m1=﹣m2,所以l1,l2关于原点对称,又椭圆关于原点对称,所以C,M关于原点对称,D,N也关于原点对称,所以且,(2x1,2y1),(2x2,2y2),因为四边形CDMN为菱形,可得•0,即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m1)(kx2+m1)=0,即(1+k2)x1x2+km1(x1+x2)+m12=0,可得(1+k2)•km1•m12=0,化简可得3m12﹣2k2﹣2=0,设菱形CDMN的周长为l,则l=4|CD|•4,当且仅当2+2k2=1+4k2,即k2时等号成立,此时m12=1,满足①,所以菱形CDMN的周长的最大值为4.【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和椭圆的位置关系,注意联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,主要考查化简运算能力和推理能力,属于难题.20.已知函数f(x)=x(lnx﹣ax)(a∈一、选择题).(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围;(Ⅲ)若a>1,求f(x)在区间(0,2a]上的最小值.【分析】(Ⅰ)先利用导数的几何意义求出切线的斜率,然后求出切线方程;(Ⅱ)先把f(x)有两个极值点转化为方程2a有两个不等的正根,再利用数形结合求出a的取值范围;(Ⅲ)先利用导函数的符号判断f(x)在区间(0,2a]上的单调性,进而解决其最小值.解:∵f(x)=x(lnx﹣ax),∴f′(x)=1+lnx﹣2ax.(Ⅰ)当a=1时,f′(1)=﹣1,f(1)=﹣1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣(﹣1)=﹣(x﹣1),即y=﹣x;(Ⅱ)∵若f(x)有两个极值点,∴f′(x)=1+lnx﹣2ax=0有两个不等的正根,即2a两个不等的正根.令g(x),x>0,g′(x),令g′(x)=0⇒x=1,当x∈(0,1)时g′(x)>0,此时g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时g′(x)<0,此时g(x)单调递减;且g(1)=1,故0<2a<1,解得:a∈(0,).(Ⅲ)∵f(x)=x(lnx﹣ax),∴f′(x)=1+lnx﹣2ax,f″(x)2a,∵a>1,x∈(0,2a],令f″(x)=0⇒x,当x∈(0,)时,f″(x)>0,此时f′(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,f″(x)<0,此时f′(x)单调递减,故f′(x)max=f′()=﹣ln(2a)<0,∴f(x)在(0,2a]上单调递减,故f(x)在(0,2a]上的最小值为f(2a)=2a[ln(2a)﹣2a2].【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用,属于一道有难度的题.21.数列A:x1,x2,x3,…,x n,…,对于给定的t(t>1,t∈N+),记满足不等式:x n﹣x t≥t*(n﹣t)(∀n∈N+,n≠t)的t*构成的集合为T(t).(Ⅰ)若数列A:x n=n2,写出集合T(2);(Ⅱ)如果T(t)(t∈N+,t>1)均为相同的单元素集合,求证:数列x1,x2,…,x n,…为等差数列;(Ⅲ)如果T(t)(t∈N+,t>1)为单元素集合,那么数列x1,x2,…,x n,…还是等差数列吗?如果是等差数列,请给出证明;如果不是等差数列,请给出反例.【分析】(Ⅰ)推导出n2﹣4≥t*(n﹣2)(∀n∈N+,n≠t),当n>2时,上式可化为n+2≥t*,5≥t*,当n=1时,上式可化为3≤t*,由此能求出T(2)为[3,5].(Ⅱ)T(t)(∀t∈N+,t>l)中均只有同一个元素,不妨设为a.当n=t+1时,有x t+1﹣x t≥a,(∀t>1),当n=t﹣1时,有x t﹣x t﹣1≤a(∀t>1),由此能证明数列x1,x2,…,x n,…为等差数列.(Ⅲ)设T(i)={a},T(j)={b},1<i<j,a≠b,由T(i)={a},知x j﹣x i≥a(j ﹣i),由T(j)={b},知:x i﹣x j≥b(i﹣j),即x j﹣x i≤b(j﹣i),从而a(j﹣i)≤x j﹣x i≤b(j﹣i),a≤b.设T(i)={t i},则t2≤t3≤…≤t n≤…,1<i<j,则t i≤t j,推导出t2=t3=t4=t5=…,由此能证明数列x1,x2,…,x n,…还是等差数列.解:(Ⅰ)由于A:,T(2)为满足不等式(n﹣t)(∀n∈N+)的t*构成的集合,∴n2﹣4≥t*(n﹣2)(∀n∈N+,n≠t),当n>2时,上式可化为n+2≥t*,∴5≥t*,当n=1时,上式可化为3≤t*,∴T(2)为[3,5].(Ⅱ)证明:对于数列A:x1,x2,x3,…,x n,…,若T(t)(∀t∈N+,t>l)中均只有同一个元素,不妨设为a,下面证明数列A为等差数列,当n=t+1时,有x t+1﹣x t≥a,(∀t>1),①当n=t﹣1时,有x t﹣x t﹣1≤a(∀t>1),②∵①②两式对任意大于1的整数均成立,∴x t+1﹣x t=a(∀t>1)成立,∴数列x1,x2,…,x n,…为等差数列.(Ⅲ)对于数列A:x1,x2,…,x n,…,不妨设T(i)={a},T(j)={b},1<i<j,a≠b,由T(i)={a},知x j﹣x i≥a(j﹣i),由T(j)={b},知:x i﹣x j≥b(i﹣j),即x j﹣x i≤b(j﹣i),∴a(j﹣i)≤x j﹣x i≤b(j﹣i),∴a≤b.设T(i)={t i},则t2≤t3≤…≤t n≤…,这说明1<i<j,则t i≤t j,∵对于数列A:x1,x2,…,x n,…,T(t)(∀t∈N+,t>1)中均只有一个元素,首先考察t=2时的情况,不妨设x2>x1,∵x2﹣x1≤t2,又T(2)为单元素集,∴x2﹣x1=t2,再证t3=x3﹣x2,证明如下:由t3=x3﹣x2,证明如下:由t3的定义可知:t3≥x3﹣x2,,∴,由t2的定义可知x3﹣x2≥t2=x2﹣x1,∴t3≥x3﹣x2,∴x3﹣x2=t3,∵t3>t2,∴t3=x3﹣x2>t2,则存在正整数m(m≥4),使得(m﹣2)t2=x m﹣x2,③∵x2﹣x1=t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2(m﹣2)t2,这与③矛盾,∴t3=t2,同理可证t2=t3=t4=t5=…,∴数列x1,x2,…,x n,…还是等差数列.【点评】本题考查集合的求法,考查等差数列的证明,考查等比数列的判断与证明,考查推理论主能力、运算求解能力,考查化归与转化思想,是难题.。
2020届北京市第十一中学高三一模数学试题(解析版)
2020届北京市第十一中学高三一模数学试题一、单选题1.已知集合{}2|3100M x x x =--<,{}29N x y x ==-,且M 、N 都是全集R (R 为实数集)的子集,则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )A .{}35x x <≤ B .{3x x <-或}5x >C .{}32x x -≤≤- D .{}35x x -≤≤【答案】C【解析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R N M I ð,根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ,根据补集和交集定义可求得结果. 【详解】由韦恩图可知:阴影部分表示()R N M I ð,()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<Q ,{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤, (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-ð.故选:C . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算,涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解;关键是能够根据韦恩图确定所求集合.2.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为[)0,+∞的是( ) A .()lg 1y x =+ B .12y x =C .2x y =D .ln y x =【答案】B【解析】分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果. 【详解】对于A ,()lg 1y x =+图象如下图所示:则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调,A 错误; 对于B ,12y x x ==的图象如下图所示:则y x =在定义域上单调递增,且值域为[)0,+∞,B 正确;对于C ,2xy =的图象如下图所示:则函数2xy =单调递增,但值域为()0,∞+,C 错误;对于D ,ln y x =的图象如下图所示:则函数ln y x =在定义域上不单调,D 错误. 故选:B . 【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.3.已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π,则a =( )A .3 B. C.D .3-【答案】D【解析】由双曲线方程可得渐近线方程,根据倾斜角可得渐近线斜率,由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知:0a <,渐近线方程为:y x =, Q 一条渐近线的倾斜角为56π,5tan 63π==-,解得:3a =-. 故选:D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题,关键是明确直线倾斜角与斜率的关系;易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求. 4.下列不等式成立的是( )A .11sin cos 22>B .11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .112311log log 32<D .11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】 对于A ,1024π<<Q ,11sin cos 22∴<,A 错误; 对于B ,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减,11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,B 错误;对于C ,1221log log 313=>Q ,1331log log 212=<,112311log log 32∴>,C 错误; 对于D ,13y x =Q 在R 上单调递增,11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝,D 正确.故选:D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题;关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如16511=+,30723=+.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是( ) A .114B .112C .328D .以上都不对【答案】A【解析】首先确定不超过20的素数的个数,根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,从这8个素数中任选2个,有2828C =种可能;其中选取的两个数,其和等于20的有()3,17,()7,13,共2种情况, 故随机选出两个不同的数,其和等于20的概率212814P ==. 故选:A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,属于基础题.6.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A .若m n ⊥,//n α,则m α⊥B .若//m β,βα⊥,则m α⊥C .若m β⊥,n β⊥,n α⊥,则m α⊥D .若m n ⊥,n β⊥,βα⊥,则m α⊥ 【答案】C【解析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A ,当m 为α内与n 垂直的直线时,不满足m α⊥,A 错误;对于B ,设l αβ=I ,则当m 为α内与l 平行的直线时,//m β,但m α⊂,B 错误; 对于C ,由m β⊥,n β⊥知://m n ,又n α⊥,m α∴⊥,C 正确; 对于D ,设l αβ=I ,则当m 为β内与l 平行的直线时,//m α,D 错误. 故选:C . 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析,考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况,属于基础题.7.数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈.则“2c <”是“{}na 为递增数列”的( )条件. A .必要而不充分 B .充要 C .充分而不必要 D .即不充分也不必要 【答案】A【解析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->,解得12c n <+,由此得到若{}n a 是递增数列,则32c <,根据推出关系可确定结果. 【详解】若“{}n a 是递增数列”,则110n n a a n c n c +-=+--->, 即()()221n c n c +->-,化简得:12c n <+, 又n *∈N ,1322n ∴+≥,32c ∴<, 则2c <¿{}n a 是递增数列,{}n a 是递增数列2c ⇒<,∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件.故选:A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断,涉及到根据数列的单调性求解参数范围,属于基础题.8.设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是( ). A .()1,+∞ B .()(),11,-∞-+∞U C .()1,1- D .()()1,00,1-U【答案】B【解析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数,由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增,由此知()f x 在(],0-∞上单调递减,从而将所求不等式化为1x >,解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知:()f x 定义域为R ,()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-Q ,()f x ∴为偶函数, 当0x ≥时,()()21ln 11f x x x =+-+, ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增,211y x=+在[)0,+∞上单调递减, ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增,则()f x 在(],0-∞上单调递减,由()()1f x f >得:1x >,解得:1x <-或1x >,x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选:B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式. 9.已知函数2sin ()1xf x x =+.下列命题:①函数()f x 的图象关于原点对称;②函数()f x 是周期函数;③当2x π=时,函数()f x 取最大值;④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点,其中正确命题的序号是( ) A .①④ B .②③C .①③④D .①②④【答案】A【解析】根据奇偶性的定义可判断出①正确;由周期函数特点知②错误;函数定义域为R ,最值点即为极值点,由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭知③错误;令()()1g x f x x =-,在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点,知④正确. 【详解】由题意得:()f x 定义域为R ,()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+Q ,()f x ∴为奇函数,图象关于原点对称,①正确;sin y x =Q 为周期函数,21y x =+不是周期函数,()f x ∴不是周期函数,②错误;()()()2221cos2sin1x xx xf xx+-'=+Q,02fπ⎛⎫'∴≠⎪⎝⎭,2fπ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭不是最值,③错误;令()()221sin1sin111x xx xg x f xx x x x--=-=-=++,当0x>时,sin x x<,1x>,()0g x∴<,此时()f x与1yx=无交点;当0x<时,sin x x>,1x<,()0g x∴>,此时()f x与1yx=无交点;综上所述:()f x与1yx=无交点,④正确.故选:A.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用,涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解;本题综合性较强,对于学生的分析和推理能力有较高要求.10.空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面α,β,λ两两互相垂直,点Aα∈,点A 到β,γ的距离都是3,点P是α上的动点,满足P到β的距离与P到点A的距离相等,则点P的轨迹上的点到β的距离的最小值是()A.33-B.3 C.33-D.32【答案】D【解析】建立平面直角坐标系,将问题转化为点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值,利用P到x轴的距离等于P到点A的距离得到P点轨迹方程,得到()26399y x=-+≥,进而得到所求最小值.【详解】如图,原题等价于在直角坐标系xOy中,点()3,3A,P是第一象限内的动点,满足P到x轴的距离等于点P到点A的距离,求点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值.设(),P x y ,则()()2233y x y =-+-,化简得:()23690x y --+=,则()26399y x =-+≥,解得:32y ≥, 即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是32. 故选:D . 【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解,关键是能够准确求得动点轨迹方程,进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.二、填空题11.如图,在复平面内,复数1z ,2z 对应的向量分别是OA u u u r ,OB uuu r,则12z z =_______.【答案】12i -+【解析】试题分析:由坐标系可知122,z i z i =--=12212z ii z i--∴==-+ 【考点】复数运算12.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为________. 【答案】20【解析】由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有600人,根据抽样比可求得结果. 【详解】设高一、高二、高三人数分别为,,a b c ,则2b a c =+且1800a b c ++=, 解得:600b =,用分层抽样的方法抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为60060201800⨯=人. 故答案为:20. 【点睛】本题考查分层抽样问题的求解,涉及到等差数列的相关知识,属于基础题.13.角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(1,2)P ,则的值是 .【答案】25【解析】试题分析:由三角函数定义知5cos 5α==,又由诱导公式知5cos()cos παα-=-=-,所以答案应填:.【考点】1、三角函数定义;2、诱导公式.14.平面向量(1,2)a =r ,(4,2)b =r ,c ma b =+r r r (m ∈R ),且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r的夹角,则m = .【答案】2【解析】试题分析:()()()1,24,24,22c ma b m m m =+=+=++r r r ,c r 与a r的夹角等于c r 与b r的夹角,所以··2520a c b c m a c b c===r r rr r r r r 【考点】向量的坐标运算与向量夹角15.以()1,0a ,()2,0a 为圆心的两圆均过(1,0),与y 轴正半轴分别交于()10y ,,()20,y ,且满足12ln ln 0y y +=,则点()12,a a 的轨迹方程为_________.【答案】21xy x =- 【解析】根据圆的性质可知()1,0a 在线段AB 的垂直平分线上,由此得到21112y a =-,同理可得22212y a =-,由对数运算法则可知121y y =,从而化简得到12121a a a =-,由此确定轨迹方程. 【详解】()1212ln ln ln 0y y y y +==Q ,121y y ∴=,()1,0A Q 和()10,B y 的中点坐标为11,22y ⎛⎫⎪⎝⎭,且()1,0a 在线段AB 的垂直平分线上,11121112y y a ∴⋅=---,即21112y a =-,同理可得:22212y a =-, ()()()2121212121a a y y ∴--==,12121a a a ∴=-,∴点()12,a a 的轨迹方程为21xy x =-. 故答案为:21xy x =-. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题,关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出12,a a 满足的方程,由此得到结果.16.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为百分之________.【答案】91【解析】设共有选票100张,且1,2,3票对应张数为,,x y z ,由此可构造不等式组化简得到9z x =+,由投票有效率越高z 越小,可知min 9z =,由此计算可得投票有效率. 【详解】不妨设共有选票100张,投1票的有x ,2票的有y ,3票的有z ,则由题意可得:23887546209100,,x y z x y z x y z N ++=++=⎧⎪++=⎨⎪∈⎩,化简得:9z x -=,即9z x =+, 投票有效率越高,z 越小,则0x =,9z =,故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为1009100%91%100-⨯=.故答案为:91%. 【点睛】本题考查线性规划的实际应用问题,关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.三、解答题17.如图所示,已知AC ⊥平面CDE ,BD AC P ,ECD V 为等边三角形,F 为边ED 上的中点,且22CD BD AC ===.(Ⅰ)求证:CF P 面ABE ; (Ⅱ)求证:平面ABE ⊥平面BDE ; (Ⅲ)求该几何体E ABDC -的体积.【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ3【解析】(I )取BE 的中点G ,连接,AG FG ,通过证明四边形AGFC 为平行四边形,证得//CF AG ,由此证得//CF 平面ABE .(II )利用CF ED CF BD ⊥⊥,,证得CF ⊥平面BDE ,从而得到AG ⊥平面BDE ,由此证得平面ABE ⊥平面BDE .(III )作EH CD ⊥交CD 于点H ,易得EH ⊥面ABDC ,利用棱锥的体积公式,计算出棱锥的体积. 【详解】(Ⅰ)取BE 的中点G ,连接,AG FG ,则12FG BD P ,12AC BD P , 故四边形AGFC 为平行四边形. 故CF AG P .又CF ⊄面ABE ,AG ⊂平面ABE ,所以CF P 面ABE .(Ⅱ)ECD V 为等边三角形,F 为DE 中点,所以CF ED ⊥.又CF BD ⊥, 所以CF ⊥面BDE .又CF AG P ,故AG ⊥面BDE ,所以面ABE ⊥平面BDE .(Ⅲ)几何体ABECD 是四棱锥E ABDC -,作EH CD ⊥交CD 于点H ,即EH ⊥面ABDC ,()1112232E ABDC V -=⋅⋅+⋅=【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查四棱锥体积的求法,考查空间想象能力,所以中档题.18.在锐角ABC V 中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,()2,cos m b c C =-r,(),cos n a A =r ,且//m n r r .(1)求角A 的大小;(2)求函数22sin cos 23y B B π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的值域. 【答案】(1)3A π=;(2)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】(1)由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得cos A ,进而得到A ;(2)利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为1sin 26y B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据B 的范围可确定26B π-的范围,结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.【详解】(1)//m n r rQ ,()2cos cos 0b c A a C ∴--=,由正弦定理得:()2sin sin cos sin cos 0B C A A C --=, 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A A C B A B -+=-=,0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,sin 0B ∴≠,1cos 2A ∴=,又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3A π∴=.(2)在锐角ABC V 中,3A π=,62B ππ∴<<.2132sin cos 21cos 2cos 2sin 2322y B B B B Bπ⎛⎫∴=+-=-++ ⎪⎝⎭311sin 2cos21sin 226B B B π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭. 62B ππ<<Q,52666B πππ∴<-<,1sin 2126B π⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭,322y ∴<≤,∴函数2sin 2cos 23y B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的值域为3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题;涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.19.某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:月收入(单位:百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 5 c10 5 5 频率 0.1 ab0.2 0.1 0.1 赞成人数 4812521(1)若所抽调的50名市民中,收入在[35,45)的有15名,求a ,b ,c 的值,并完成频率分布直方图.(2)若从收入(单位:百元)在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查,选中的2人中恰有X 人赞成“楼市限购令”,求X 的分布列与数学期望.(3)从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民,恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”,根据表格数据,判断这3名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你的判断结果.【答案】(1)0.2,0.3,10a b c ===,频率分布直方图见解析;(2)分布列见解析,()45EX =;(3)来自[)65,75的可能性最大. 【解析】(1)由频率和为1可知0.5a b +=,根据1550b =求得,a b ,从而计算得到频数c ,补全频率分布表后可画出频率分布直方图;(2)首先确定X 的所有可能取值,由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率,由此得到分布列;根据数学期望的计算公式可求得期望; (3)根据[)65,75中不赞成比例最大可知来自[)65,75的可能性最大. 【详解】(1)由频率分布表得:0.10.20.10.11a b +++++=,即0.5a b +=.Q 收入在[)35,45的有15名,150.350b ∴==,0.2a ∴=,0.25010c ∴=⨯=, 则频率分布直方图如下:(2)Q 收入在[)55,65中赞成人数为2,不赞成人数为3,X ∴可能取值为0,1,2,则()23253010C P X C ===;()113225315C C P X C ===;()22251210C P X C ===, X ∴的分布列为: X12P31035110()3314012105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=. (3)来自[)65,75的可能性更大. 【点睛】本题考查概率与统计部分知识的综合应用,涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识;考查学生的运算和求解能力.20.已知函数2()2ln 4f x x mx x =-++. (1)当5m =时,求()f x 的单调区间.(2)设直线l 是曲线()y f x =的切线,若l 的斜率存在最小值-2,求m 的值,并求取得最小斜率时切线l 的方程.(3)已知()f x 分别在1x ,()212x x x ≠处取得极值,求证:()()122f x f x +<. 【答案】(1)单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,()2,+∞;单调递减区间为1,22⎛⎫⎪⎝⎭;(2)6m =,210x y +-=;(3)证明见解析.【解析】(1)由()f x '的正负可确定()f x 的单调区间;(2)利用基本不等式可求得1x =时,()f x '取得最小值4m -,由导数的几何意义可知42m -=-,从而求得m ,求得切点坐标()()1,1f 后,可得到切线方程; (3)由极值点的定义可知12,x x 是2220x mx -+=的两个不等正根,由判别式大于零得到m 的取值范围,同时得到韦达定理的形式;化简()()12f x f x +为264m-+,结合m 的范围可证得结论. 【详解】(1)由题意得:()f x 的定义域为()0,∞+, 当5m =时,()252ln 4f x x x x =-++,()()21222252225x x x x f x x x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'∴=-+==,∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()2,+∞时,()0f x '>;当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x ∴的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭,()2,+∞;单调递减区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)0x Q >,所以()224f x x m m m x '∴=+-≥=-(当且仅当22x x =,即1x =时取等号),Q 切线l 的斜率存在最小值2-,42m ∴-=-,解得:6m =,()16141f -+∴=-=,即切点为()1,1-,从而切线方程():121l y x +=--,即:210x y +-=.(3)()22222x mx f x x m x x-+'=+-=,()f x Q 分别在1x ,()212x x x ≠处取得极值,1x ∴,()212x x x ≠是方程2220x mx x-+=,即2220x mx -+=的两个不等正根.则2160m ∆=->,解得:216m >,且1202mx x +=>,121=x x . ()()()()221212121282ln f x f x x x m x x x x ∴+=+-+++()()()212121212282ln x x x x m x x x x =+--+++222182ln16224m m m m ⎛⎫=-⨯-⨯++=-+ ⎪⎝⎭,216m >Q ,2624m ∴-+<, 即不等式()()122f x f x +<成立. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等式等知识;本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.21.已知椭圆C:22221x y a b+=(a >b >0)的两个焦点分别为F 1,0)、F 2,0).点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点N 的坐标为(3,2),点P 的坐标为(m ,n )(m≠3).过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,设直线AN 、NP 、BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3,若k 1+k 3=2k 2,试求m ,n 满足的关系式.【答案】(1)2213x y +=;(2)m -n -1=0 【解析】试题分析:(1)利用M 与短轴端点构成等腰直角三角形,可求得b 的值,进而得到椭圆方程;(2)设出过M 的直线l 的方程,将l 与椭圆C 联立,得到两交点坐标关系,然后将k 1+k 3表示为直线l 斜率的关系式,化简后得k 1+k 3=2,于是可得m ,n 的关系式.试题解析:(1)由题意,c,b =1,所以a=故椭圆C 的方程为2213x y +=(2)①当直线l 的斜率不存在时,方程为x =1,代入椭圆得,y =不妨设A (1),B (1) 因为k 1+k 3=223322-++=2 又k 1+k 3=2k 2,所以k 2=1 所以m ,n 的关系式为23n m --=1,即m -n -1=0 ②当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y =k (x -1)将y =k (x -1)代入2213x y +=,整理得:(3k 2+1)x 2-6k 2x +3k 2-3=0设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则22121222633,3131k k x x x x k k -+==++ 又y 1=k (x 1-1),y 2=k (x 2-1)所以k 1+k 3=121221121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x x x x x ----+--+=----=12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+----++ =121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++-++=222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++--⨯+++ =222(126)126k k ++=2 所以2k 2=2,所以k 2=23n m --=1 所以m ,n 的关系式为m -n -1=0 综上所述,m ,n 的关系式为m -n -1=0. 【考点】椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,22.对于非负整数集合S (非空),若对任意,x y S ∈,或者x y S +∈,或者x y S -∈,则称S 为一个好集合.以下记S 为S 的元素个数. (1)给出所有的元素均小于3的好集合.(给出结论即可) (2)求出所有满足4S =的好集合.(同时说明理由)(3)若好集合S 满足2019S =,求证:S 中存在元素m ,使得S 中所有元素均为m 的整数倍.【答案】(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}.(2){0,,,}b c b c +;证明见解析.(3)证明见解析.【解析】(1)根据好集合的定义列举即可得到结果;(2)设{},,,S a b c d =,其中a b c d <<<,由0S ∈知0a =;由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=,分别讨论两种情况可的结果;(3)记1009n =,则21S n =+,设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅,由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤,从而得到22n M x nm ==,从而得到S ,可知存在元素m 满足题意. 【详解】(1){}0,{}0,1,{}0,2,{}0,1,2.(2)设{},,,S a b c d =,其中a b c d <<<, 则由题意:d d S +∉,故0S ∈,即0a =,考虑,c d ,可知:0d c S <-∈,d c c ∴-=或d c b -=, 若d c c -=,则考虑,b c ,2c b c c d <+<=Q ,c b S ∴-∈,则c b b -=,{},,2,4S a b b b ∴=,但此时3b ,5b S ∉,不满足题意;若d c b -=,此时{}0,,,S b c b c =+,满足题意,{0,,,}S b c b c ∴=+,其中,b c 为相异正整数.(3)记1009n =,则21S n =+,首先,0S ∈,设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅,其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=, 分别考虑M 和其他任一元素i x ,由题意可得:i M x -也在S 中,而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<,()21i n i M x x i n -∴-=≤≤,2n M x ∴=, 对于1i j n ≤<≤,考虑2n i x -,2n j x -,其和大于M ,故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈, 特别的,21x x S -∈,2122x x m ∴==,由31x x S -∈,且1313x x x x <-<,3213x x x m ∴=+=, 以此类推:()1i x im i n =≤≤,22n M x nm ∴==,此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,故S 中存在元素m ,使得S 中所有元素均为m 的整数倍. 【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解,关键是明确已知中所给的新定义的具体要求,根据集合元素的要求进行推理说明,对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求,属于较难题.。
2024年北京市东城区第十一中学高三数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
2024年北京市东城区第十一中学高三数学第一学期期末复习检测模拟试题注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A .1B .12C .22D .522.如图,双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左,右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为( )A .2B 42C 2D .2333.已知函数()f x 的定义域为[]0,2,则函数()()282x g x f x =- ) A .0,1 B .[]0,2 C .[]1,2D .[]1,34.正方体1111ABCD A B C D -,()1,2,,12i P i =是棱的中点,在任意两个中点的连线中,与平面11A C B 平行的直线有几条( )A .36B .21C .12D .65.幻方最早起源于我国,由正整数1,2,3,……,2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形数阵就叫n 阶幻方.定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和,如(3)15f =,则(10)f =( )A .55B .500C .505D .50506.已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈,若()12f -=,则()1f 的值等于( ) A .2B .2-C .1a +D .1a -7.如图,圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆,其与BC 边相切于点D ,点M 为圆上任意一点,BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ,则2x y +的最大值为( )A 2B 3C .2D .228.已知向量(22cos 3m x =,()1,sin2n x =,设函数()f x m n =⋅,则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A .关于直线12x π=对称B .关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C .周期为2πD .()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 9.如图所示的程序框图输出的S 是126,则①应为( )A .5?n ≤B .6?n ≤C .7?n ≤D .8?n ≤10.已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位) ,则z 的虚部为( ) A .2B .2iC .4D .4i11.以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题,正确的是 A .函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B .直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C .点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D .将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位,可得到2sin 2y x =的图象 12.已知圆截直线所得线段的长度是,则圆与圆的位置关系是( ) A .内切B .相交C .外切D .相离二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020-2021北京市高三数学下期末一模试卷及答案
2020-2021北京市高三数学下期末一模试卷及答案一、选择题1.若43i z =+,则zz=( ) A .1B .1-C .4355i + D .4355i - 2.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A .$0.4 2.3y x =+ B .$2 2.4y x =- C .$29.5y x =-+D .$0.3 4.4y x =-+3.如图,12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点.若11::3:4:5AB BF AF =,则双曲线的渐近线方程为( )A .23y x =±B .22y x =±C .3y x =±D .2y x =±4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A L ,下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是( )A .7B .8C .9D .105.已知向量a v ,b v 满足2a =v,||1b =v ,且2b a +=v v ,则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为( ) A .2B .23C .2 D .2 6.某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数为( ) A .7B .8C .9D .107.在ABC V 中,若 13,3,120AB BC C ==∠=o ,则AC =( ) A .1B .2C .3D .48.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+,则下列结论错误的是( )x3 4 5 6 y 2.5t44.5A .产品的生产能耗与产量呈正相关B .回归直线一定过4.5,3.5() C .A 产品每多生产1吨,则相应的生产能耗约增加0.7吨D .t 的值是3.159.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A .相交B .平行C .异面而且垂直D .异面但不垂直10.在如图的平面图形中,已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v 则·BC OM u u u vu u u u v的值为A .15-B .9-C .6-D .011.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图,则该几何体的体积为A .72B .64C .48D .3212.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm ),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A .158B .162C .182D .324二、填空题13.若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距,则该双曲线的渐近线方程是___________.14.若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线,则m 的值为 . 15.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-,则a = .16.已知点()0,1A ,抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ,连接FA ,与抛物线C 相交于点M ,延长FA ,与抛物线C 的准线相交于点N ,若:1:3FM MN =,则实数a 的值为__________.17.幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.18.学校里有一棵树,甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒,乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°,量得10AB AC m ==,树根部为C (,,A B C 在同一水平面上),则ACB =∠______________.19.设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ,则()1z z -⋅=________. 20.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>,如图一平行于x 轴的光线射向抛物线,经两次反射后沿平行x 轴方向射出,若两平行光线间的最小距离为4,则该抛物线的方程为__________.三、解答题21.如图,在四棱锥P−ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o .(1)证明:平面P AB ⊥平面P AD ;(2)若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A −PB −C 的余弦值. 22.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,34a =,43a S =,数列{}n b 满足:对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.(1)求数列{},{}n n a b 的通项公式;(2)记,,2nn na C nb *=∈N 证明:12+2,.n C C C n n *++<∈N L 23.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为21x ty at=+⎧⎨=-⎩(t 为参数,a R ∈),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,线C 的极坐标方程是224πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,且7AB =a 的值.24.已知函数()32f x x ax bx c =+++,过曲线()y f x =上的点()()1,1P f 处的切线方程为31y x =+.(1)若函数()f x 在2x =-处有极值,求()f x 的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数()y f x =在区间[]3,1-上的最大值. 25.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值; (2)cos()B C -的值.26.如图,已知三棱柱111ABC A B C -,平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒,1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.(1)证明:EF BC ⊥;(2)求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【详解】 由题意可得 :22435z =+=,且:43z i =-,据此有:4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.2.A解析:A 【解析】试题分析:因为与正相关,排除选项C 、D ,又因为线性回归方程恒过样本点的中心,故排除选项B ;故选A .考点:线性回归直线.3.A解析:A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====,利用双曲线的定义求出3x =和a 的值,再利用勾股定理求c ,由by x a=±得到双曲线的渐近线方程.【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====,由双曲线的定义得:345x x +-=-,解得:3x =,所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=,所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程,解题时要注意如果题干出现焦半径,一般会用到双曲线的定义,考查运算求解能力.4.C解析:C 【解析】 【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数,结合茎叶图可得答案. 【详解】根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数.根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选:C . 【点睛】本题主要考查了循环结构,以及茎叶图的认识,解题的关键是弄清算法流程图的含义,属于基础题.5.D解析:D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=r r ,利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】由题意可知:2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ,解得:12a b ⋅=r rcos ,4a b a b a b ⋅∴<>===r r r rr r 本题正确选项:D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.6.D解析:D 【解析】试题分析:因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人,从高三年级应抽取10人.考点:本小题主要考查分层抽样的应用.点评:应用分层抽样,关键是搞清楚比例关系,然后按比例抽取即可.7.A解析:A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.8.D解析:D 【解析】 由题意,x =34564+++=4.5, ∵ˆy=0.7x+0.35, ∴y =0.7×4.5+0.35=3.5, ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3, 故选D .9.D解析:D 【解析】解:利用展开图可知,线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线,仅仅异面,所成的角为600,因此选D10.C解析:C 【解析】分析:连结MN ,结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解:如图所示,连结MN ,由2,2BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点, 则()33BC MN ON OM ==-u u u v u u u u v u u u v u u u u v ,由题意可知:2211OM ==u u u u v ,12cos1201OM ON o u u u u v u u u v ⋅=⨯⨯=-, 结合数量积的运算法则可得:()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v .本题选择C 选项.点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.11.B解析:B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形,高为5的正四棱柱,挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱锥,利用体积公式,即可求解。
最新2020年北京市十一中中考数学一模试卷(4月份)解析版
绝密★启用前2020年北京市十一中中考数学一模试卷(3月份)注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上,在试卷上作答无效,选择题需使用2B铅笔填涂一、选择题:每题2分1.(2分)中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划,“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人,这个数用科学记数法表示为()A.44×108B.4.4×109C.4.4×108D.4.4×10102.(2分)下列各式中运算正确的是()A.a2+a2=a4B.4a﹣3a=1C.3a2b﹣4ba2=﹣a2b D.3a2+2a3=5a53.(2分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是()A.a+b=0B.b<a C.ab>0D.|b|<|a|4.(2分)与是同类二次根式,符合条件的a的值可以是()A.12B.14C.D.245.(2分)关于下列二次函数图象之间的变换,叙述错误的是()A.将y=﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y=﹣2x2﹣2的图象B.将y=﹣2(x﹣1)2的图象向左平移3个单位得到y=﹣2(x+2)2的图象C.将y=﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y=2x2的图象D.将y=﹣2(x﹣1)2+1的图象沿y轴翻折得到y=﹣2(x+1)2﹣1的图象6.(2分)关于反比例函数y=﹣,下列说法正确的是()A.函数图象经过点(2,2)B.函数图象位于第一、三象限C.当x>0时,函数值y随着x的增大而增大D.当x>1时,y<﹣47.(2分)二次函数y=kx2+2x+1的部分图象如图所示,则k的取值范围是()A.k≤1B.k≥1C.k<1D.0<k<18.(2分)抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),且对称轴为直线x=﹣1,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论:①abc<0;②2a+b=0;③9a﹣3b+c=0;④若m>n>0,则x=m ﹣1时的函数值小于x=n﹣1时的函数值.其中正确结论的序号是()A.①③B.②④C.②③D.③④二、填空题每题2分9.(2分)计算:﹣2=.10.(2分)若分式有意义,则m的取值范围是.11.(2分)分解因式:a2b﹣4ab2+4b3=.12.(2分)若一个反比例函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,则此反比例函数表达式可以是.(写出一个即可)13.(2分)老师给出一个二次函数,甲、乙、丙、丁四名同学各指出这个函数的一个性质.甲:函数图象不经过第三、四象限;乙:当x<1时,y随x的增大而减小;丙:函数有最小值;丁:当x≠1时,y>0.已知这四位同学的描述都正确,请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式.14.(2分)《个人所得税》规定:全月总收入不超过3500元的免征个人工资薪金所得税,超过3500元,超过的部分(记为x)按阶梯征税,税率如下:级数x税率1不超过1500元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%………若某人工资薪金税前为7000元,则税后工资薪金为.15.(2分)两个函数y=ax+b和y=(abc≠0)的图象如图所示,请直接写出关于x的不等式ax+b >的解集.16.(2分)一道作图题如下:已知:如图1,∠ABC,及BC边上一点D.求作:一点P,使点P到∠ABC两边的距离相等,且到B,D两点的距离相等.下面是一位同学的作图过程(图2):(1)作∠ABC的平分线BE;(2)作线段BD的垂直平分线l,与BE交于点P.所以点P就是所求作的点.则该作图的依据是.三、解答题;17-22每题5分,23-26每题6分,27,28每题7分17.(5分)计算:2sin30°﹣|1﹣|﹣cos45°+.18.(5分)解不等式组:19.(5分)计算:.20.(5分)解方程:=1.21.(5分)2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开,小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作,本次志愿服务工作一共设置了三个岗位,分别是引导员、联络员和咨询员.请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率.22.(5分)二次函数y=x2+bx上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:x…﹣10123…y…30﹣10m…(1)直接写出此二次函数的对称轴;(2)求b的值;(3)直接写出表中的m值,m=;(3)在平面直角坐标系xOy中,画出此二次函数的图象.23.(6分)博文书店举行购书优惠活动:①一次性购书不超过100元,不享受打折优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折;③一次性购书200元以上一律打七折.小丽在这次活动中,两次购书总共付款229.4元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,那么小丽这两次购书原价的总和是多少元?24.(6分)某工厂甲、乙两个部门各有员工400人,为了解这两个部门员工的生产技能情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工,进行了生产技能测试,测试成绩(百分制)如下甲78867481757687707590 75798170748086698377乙93738881728194837783 80817081737882807040按如下分数段整理、描述这两组样本数据成绩x40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100人数部门甲0011171乙(说明:成绩80分及以上为生产技能优秀,70﹣79分为生产技能良好,60﹣﹣69分为生产技能合格,60分以下为生产技能不合格)两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示:部门平均数中位数众数甲78.377.575乙7880.581得出结论:a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为;b.可以推断出部门员工的生产技能水平较高,理由为(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)25.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,曲线y=经过点A.(1)求曲线y=的表达式;(2)直线y=ax+3(a≠0)与曲线y=围成的封闭区域为图象G.①当a=﹣1时,直接写出图象G上的整数点个数是;(注:横,纵坐标均为整数的点称为整点,图象G包含边界.)②当图象G内只有3个整数点时,直接写出a的取值范围.26.(6分)阅读材料:求1+2+22+23+24+…22017的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22017+22018,将下式减去上式得:2S﹣S=22018﹣1,即S=22018﹣1,即1+2+22+23+24+…22017=22018﹣1请你仿照此法计算(1)1+2+22+23+24 (29)(2)1+5+52+53+54…+5n(其中n为正整数).27.(7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=+nx﹣m与y轴交于点A,将点A向左平移3个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含m的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(﹣1,﹣m),Q(﹣3,1).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,若点P和点P1关于x轴对称,点P1和点P2关于直线l对称,则称点P2是点P关于x轴,直线l的二次对称点.例如:点Q(0,1)关于x轴,直线x=1的二次对称点是Q′(2,﹣1).(1)如图1,点A(0,﹣1).①若点B是点A关于x轴,直线l1:x=2的二次对称点,则点B的坐标为;②点C(﹣4,1)是点A关于x轴,直线l2:x=a的二次对称点,则a的值为;③点D(﹣1,0)是点A关于x轴,直线l3的二次对称点,则直线l3的表达式为;(2)如图2,⊙O的半径为2.若⊙O上存在点M,使得点M′是点M关于x轴,直线l4:x=b的二次对称点,且点M'在射线y=x(x≥0)上,求b的取值范围;(3)E(0,t)是y轴上的动点,⊙E的半径为2,若⊙E上存在点N,使得点N′是点N关于x 轴,直线15:y=x的二次对称点,且点N'在x轴上,直接写出t的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题:每题2分1.(2分)中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划,“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人,这个数用科学记数法表示为()A.44×108B.4.4×109C.4.4×108D.4.4×1010【解答】解:4 400 000 000=4.4×109,故选:B.2.(2分)下列各式中运算正确的是()A.a2+a2=a4B.4a﹣3a=1C.3a2b﹣4ba2=﹣a2b D.3a2+2a3=5a5【解答】解:A、合并同类项时,把同类项的系数相加作为结果的系数,字母和字母的指数不变,故A不符合题意;B、合并同类项时,把同类项的系数相加作为结果的系数,字母和字母的指数不变,故B不符合题意;C、合并同类项时,把同类项的系数相加作为结果的系数,字母和字母的指数不变,故C符合题意;D、不是同类项不能合并,故D不符合题意;故选:C.3.(2分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是()A.a+b=0B.b<a C.ab>0D.|b|<|a|【解答】解:根据图形可知:﹣2<a<﹣1,0<b<1,则|b|<|a|;故选:D.4.(2分)与是同类二次根式,符合条件的a的值可以是()A.12B.14C.D.24【解答】解:a=12时,=2a=14时,=a=时,=a=24时,=2其中,与是同类二次根式.故选:C.5.(2分)关于下列二次函数图象之间的变换,叙述错误的是()A.将y=﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y=﹣2x2﹣2的图象B.将y=﹣2(x﹣1)2的图象向左平移3个单位得到y=﹣2(x+2)2的图象C.将y=﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y=2x2的图象D.将y=﹣2(x﹣1)2+1的图象沿y轴翻折得到y=﹣2(x+1)2﹣1的图象【解答】解:A、将y=﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y=﹣2x2﹣2的图象,故A选项不符合题意;B、将y=﹣2(x﹣1)2的图象向左平移3个单位得到y=﹣2(x+2)2的图象,故B选项不符合题意;C、将y=﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y=2x2的图象,故C选项不符合题意;D、将y=﹣2(x﹣1)2+1的图象沿y轴翻折得到y=﹣2(x+1)2+1的图象,故D选项符合题意.故选:D.6.(2分)关于反比例函数y=﹣,下列说法正确的是()A.函数图象经过点(2,2)B.函数图象位于第一、三象限C.当x>0时,函数值y随着x的增大而增大D.当x>1时,y<﹣4【解答】解:A、关于反比例函数y=﹣,函数图象经过点(2,﹣2),故此选项错误;B、关于反比例函数y=﹣,函数图象位于第二、四象限,故此选项错误;C、关于反比例函数y=﹣,当x>0时,函数值y随着x的增大而增大,故此选项正确;D、关于反比例函数y=﹣,当x>1时,y>﹣4,故此选项错误;故选:C.7.(2分)二次函数y=kx2+2x+1的部分图象如图所示,则k的取值范围是()A.k≤1B.k≥1C.k<1D.0<k<1【解答】解:观察二次函数y=kx2+2x+1的部分图象可知:k>0,且4﹣4k>0即k<1,解得0<k<1.故选:D.8.(2分)抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),且对称轴为直线x=﹣1,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论:①abc<0;②2a+b=0;③9a﹣3b+c=0;④若m>n>0,则x=m ﹣1时的函数值小于x=n﹣1时的函数值.其中正确结论的序号是()A.①③B.②④C.②③D.③④【解答】解:①观察图象可知:a<0,b<0,c>0,∴abc>0,所以①错误;②∵对称轴为直线x=﹣1,即﹣=﹣1,解得b=2a,即2a﹣b=0,所以②错误;③∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),且对称轴为直线x=﹣1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣3,0),当a=﹣3时,y=0,即9a﹣3b+c=0,所以③正确;∵m>n>0,∴m﹣1>n﹣1>﹣1,由x>﹣1时,y随x的增大而减小知x=m﹣1时的函数值小于x=n﹣1时的函数值,故D正确;故选:D.二、填空题每题2分9.(2分)计算:﹣2=﹣1.【解答】解:原式=﹣×(﹣)+×(﹣)=﹣﹣=﹣1,故答案为﹣1.10.(2分)若分式有意义,则m的取值范围是m≠﹣3.【解答】解:∵分式有意义,∴2m+6≠0,解得:m≠﹣3.故答案为:m≠﹣3.11.(2分)分解因式:a2b﹣4ab2+4b3=b(a﹣2b)2.【解答】解:原式=b(a2﹣4ab+4b2)=b(a﹣2b)2,故答案为:b(a﹣2b)2.12.(2分)若一个反比例函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,则此反比例函数表达式可以是y=(答案不唯一)..(写出一个即可)【解答】解:只要使反比例系数大于0即可.如y=,答案不唯一.故答案为:y=(答案不唯一).13.(2分)老师给出一个二次函数,甲、乙、丙、丁四名同学各指出这个函数的一个性质.甲:函数图象不经过第三、四象限;乙:当x<1时,y随x的增大而减小;丙:函数有最小值;丁:当x≠1时,y>0.已知这四位同学的描述都正确,请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式y=(x﹣1)2.【解答】解:∵函数图象不经过第三、四象限,∴a>0,△≤0,∵当x≠1时,y>0,∴抛物线的顶点坐标为(1,0),当a取1时,对应的抛物线解析式为y=(x﹣1)2.故答案为y=(x﹣1)2.14.(2分)《个人所得税》规定:全月总收入不超过3500元的免征个人工资薪金所得税,超过3500元,超过的部分(记为x)按阶梯征税,税率如下:级数x税率1不超过1500元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%………若某人工资薪金税前为7000元,则税后工资薪金为6755元.【解答】解:税后工资薪金为:7000﹣1500×3%﹣(7000﹣3500﹣1500)×10%=6755(元),故答案为:6755元15.(2分)两个函数y=ax+b和y=(abc≠0)的图象如图所示,请直接写出关于x的不等式ax+b >的解集﹣3<x<0或x>1.【解答】解:当﹣3<x<0或x>1时,ax+b>,所以关于x的不等式ax+b>的解集为﹣3<x<0或x>1.故答案为﹣3<x<0或x>1.16.(2分)一道作图题如下:已知:如图1,∠ABC,及BC边上一点D.求作:一点P,使点P到∠ABC两边的距离相等,且到B,D两点的距离相等.下面是一位同学的作图过程(图2):(1)作∠ABC的平分线BE;(2)作线段BD的垂直平分线l,与BE交于点P.所以点P就是所求作的点.则该作图的依据是角平分线上的点到角的两边距离相等或线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等..【解答】解:∵点P在∠ABC的平分线上,∴点P到∠ABC两边的距离相等(角平分线上的点到角的两边距离相等),∵点P在线段BD的垂直平分线上,∴PB=PD(线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等),故答案为角平分线上的点到角的两边距离相等或线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.三、解答题;17-22每题5分,23-26每题6分,27,28每题7分17.(5分)计算:2sin30°﹣|1﹣|﹣cos45°+.【解答】解:2sin30°﹣|1﹣|﹣cos45°+=2×﹣+1﹣+=2﹣18.(5分)解不等式组:【解答】解:,解①得:x>﹣2,解②得:x<3,∴不等式组的解集为:﹣2<x<3.19.(5分)计算:.【解答】解:,=,=,=,=1.20.(5分)解方程:=1.【解答】解:去分母得:4+x(x+1)=x2﹣1,解得:x=﹣5,经检验:x=﹣5是原分式方程的根,则原分式方程的解为x=﹣5.21.(5分)2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开,小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作,本次志愿服务工作一共设置了三个岗位,分别是引导员、联络员和咨询员.请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率.【解答】解:分别用字母A,B,C代替引导员、联络员和咨询员岗位,记小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务为事件M.用列表法列举所有可能出现的结果:A B C小南小西A AA AB ACB BA BB BCC CA CB CC由表中可以看出,所有可能的结果有9种,并且这9种结果出现的可能性相等,所有可能的结果中,满足事件M的结果有3种,即AA,BB,CC,∴P(M)==.22.(5分)二次函数y=x2+bx上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:x…﹣10123…y…30﹣10m…(1)直接写出此二次函数的对称轴;(2)求b的值;(3)直接写出表中的m值,m=3;(3)在平面直角坐标系xOy中,画出此二次函数的图象.【解答】解:(1)观察表格发现图象经过(0,0),(2,0),∴对称轴x==1.(2)∵二次函数y=x2+bx的图象经过点(1,﹣1),∴b=﹣2.(3)根据对称性得:m=3(4)如图:23.(6分)博文书店举行购书优惠活动:①一次性购书不超过100元,不享受打折优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折;③一次性购书200元以上一律打七折.小丽在这次活动中,两次购书总共付款229.4元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,那么小丽这两次购书原价的总和是多少元?【解答】解:设小丽第一次购书的原价为x元,则第二次购书的原价为3x元,根据题意得:当3x≤100,即x≤时,x+3x=229.4,解得:x=57.35(舍去);当100<3x≤200,即<x≤时,x+0.9×3x=229.4,解得:x=62,∴x+3x=248;当3x>200且x≤100,即<x≤100时,x+0.7×3x=229.4,解得:x=74,∴x+3x=296;当x>100时,0.9x+0.7×3x=229.4,解得:x≈76.47(舍去).答:小丽这两次购书原价的总和是248元或296元.24.(6分)某工厂甲、乙两个部门各有员工400人,为了解这两个部门员工的生产技能情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工,进行了生产技能测试,测试成绩(百分制)如下甲78867481757687707590 75798170748086698377乙93738881728194837783 80817081737882807040按如下分数段整理、描述这两组样本数据成绩x人数部门40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙(说明:成绩80分及以上为生产技能优秀,70﹣79分为生产技能良好,60﹣﹣69分为生产技能合格,60分以下为生产技能不合格)两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示:部门平均数中位数众数甲78.377.575乙7880.581得出结论:a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240;b.可以推断出甲或乙部门员工的生产技能水平较高,理由为①甲部门生产技能测试中,平均分较高,表示甲部门员工的生产技能水平较高;②甲部门生产技能测试中,没有技能不合格的员工,表示甲部门员工的生产技能水平较高.或①乙部门生产技能测试中,中位数较高,表示乙部门员工的生产技能水平较高;②乙部门生产技能测试中,众数较高,表示乙部门员工的生产技能水平较高.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)【解答】解:填表如下:成绩x 人数部门40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙100710 2a.×400=240(人).故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240人;b.答案不唯一,理由合理即可.可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高,理由为:①甲部门生产技能测试中,平均分较高,表示甲部门员工的生产技能水平较高;②甲部门生产技能测试中,没有技能不合格的员工,表示甲部门员工的生产技能水平较高.或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高,理由为:①乙部门生产技能测试中,中位数较高,表示乙部门员工的生产技能水平较高;②乙部门生产技能测试中,众数较高,表示乙部门员工的生产技能水平较高.故答案为:1,0,0,7,10,2;240;甲或乙,①甲部门生产技能测试中,平均分较高,表示甲部门员工的生产技能水平较高;②甲部门生产技能测试中,没有技能不合格的员工,表示甲部门员工的生产技能水平较高;或①乙部门生产技能测试中,中位数较高,表示乙部门员工的生产技能水平较高;②乙部门生产技能测试中,众数较高,表示乙部门员工的生产技能水平较高.25.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,曲线y=经过点A.(1)求曲线y=的表达式;(2)直线y=ax+3(a≠0)与曲线y=围成的封闭区域为图象G.①当a=﹣1时,直接写出图象G上的整数点个数是3;(注:横,纵坐标均为整数的点称为整点,图象G包含边界.)②当图象G内只有3个整数点时,直接写出a的取值范围.【解答】解:(1)∵A(1,1),∴k=1.1∴.2(2)①当a=﹣1时,直线解析式为y=﹣x+3,如图所示,图象G上的整点有(1,1),(2,1),(1,2)有3个;故答案为3;②当直线经过(3,1)时,则﹣3a+3=1,解得a=﹣,观察图象可知:当图象G内只有3个整数点时,a的取值范围是.26.(6分)阅读材料:求1+2+22+23+24+…22017的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22017+22018,将下式减去上式得:2S﹣S=22018﹣1,即S=22018﹣1,即1+2+22+23+24+…22017=22018﹣1请你仿照此法计算(1)1+2+22+23+24 (29)(2)1+5+52+53+54…+5n(其中n为正整数).【解答】解:(1)设S=1+2+22+23+24 (29)则2S=2+22+23+24 (210)∴2S﹣S=210﹣1,即S=210﹣1,则1+2+22+23+24…+29=210﹣1;(2)设S=1+5+52+53+54…+5n,则5S=5+52+53+54…+5n+1,∴5S﹣S=5n+1﹣1,即4S=5n+1﹣1,则S=1+5+52+53+54…+5n=.27.(7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=+nx﹣m与y轴交于点A,将点A向左平移3个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含m的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(﹣1,﹣m),Q(﹣3,1).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.【解答】解:(1)∵抛物线y=+nx﹣m,∴当x=0时,y=﹣m,∴点A的坐标为(0,﹣m),∴点B的坐标为(﹣3,﹣m);(2)∵点A(0,﹣m)和点B(﹣3,﹣m)都在抛物线上,∴该抛物线的对称轴是直线x=;(3)当m>0时,点A(0,﹣m)在y轴负半轴,此时,点P,Q位于抛物线内部(如图1).所以,抛物线与线段PQ无交点;当m<0时,点A(0,﹣m)在y轴正半轴,当AQ与x轴平行,即A(0,1)时(如图2),抛物线与线段PQ恰有一个交点Q(﹣3,1).此时,m=﹣1.当m>﹣1时(如图3),结合图象,抛物线与线段PQ无交点.当﹣1<m<0时(如图4),结合图象,抛物线与线段PQ恰有一个交点.综上,m的取值范围是﹣1≤m<0.28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,若点P和点P1关于x轴对称,点P1和点P2关于直线l对称,则称点P2是点P关于x轴,直线l的二次对称点.例如:点Q(0,1)关于x轴,直线x=1的二次对称点是Q′(2,﹣1).(1)如图1,点A(0,﹣1).①若点B是点A关于x轴,直线l1:x=2的二次对称点,则点B的坐标为(4,1);②点C(﹣4,1)是点A关于x轴,直线l2:x=a的二次对称点,则a的值为﹣2;③点D(﹣1,0)是点A关于x轴,直线l3的二次对称点,则直线l3的表达式为y=﹣x;(2)如图2,⊙O的半径为2.若⊙O上存在点M,使得点M′是点M关于x轴,直线l4:x=b 的二次对称点,且点M'在射线y=x(x≥0)上,求b的取值范围;(3)E(0,t)是y轴上的动点,⊙E的半径为2,若⊙E上存在点N,使得点N′是点N关于x 轴,直线15:y=x的二次对称点,且点N'在x轴上,直接写出t的取值范围.【解答】解:(1)①∵点A(0,﹣1)关于x轴的对称点是(0,1),点(0,1)关于直线l1:x =2的对称点是(4,1),∴点B的坐标为(4,1),故答案为:(4,1);②∵点A(0,﹣1)关于x轴的对称点是(0,1),点C(﹣4,1)是点A关于x轴,直线l2:x =a的二次对称点,∴2a=0+(﹣4),解得,a=﹣2,即a的值是﹣2,故答案为:﹣2;③∵点A(0,﹣1)关于x轴的对称点是(0,1),点D(﹣1,0)是点A关于x轴,直线l3的二次对称点,∴直线l3的函数解析式为y=﹣x,故答案为:y=﹣x;(2)如图2,设⨀O与x轴的两个交点为M1(﹣2,0),M3(2,0),与射线y=x(x≥0)的交点为M4,则M4的坐标为(1,),M4关于x轴的对称点为M2,当点M在M1的位置时,b=﹣1,当点M在M2的位置时,b=1,当点M在M3的位置时,b=1,当点M在劣弧M1M2上时,﹣1≤b≤1,当点M在劣弧M2M3上时,b的值比1大,当到劣弧M2M3的中点时,达到最大值(如图3),∵y=x,∴此时点OM对应的函数解析式为y=x,∴点M的坐标为(,1),点M关于直线x=b的对称点的坐标为(,1),∴b=+=,即b的最大值为,由上可得,b的取值范围是﹣1≤b≤,故答案为:﹣1≤b≤;(3)∵x轴和直线y=x关于直线y=x对称,如图4所示,直线y=x和直线y=﹣x关于x轴对称,∴⨀E只要与直线y=x和y=﹣x有交点即可,当⨀E恰好与直线y=x相切时,t=4,同理可得,当⨀E恰好与直线y=﹣x相切时,t=﹣4,∴t的取值范围是:﹣4≤t≤4.。
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷+答案
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷2020.5 本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷(选择题 共40分)一、选择题:共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内,复数i(2i)-对应的点位于(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 2. 已知集合{|03},{1}A x x A B =<<=,则集合B 可以是 (A ){1,2}(B ){1,3}(C ){0,1,2}(D ){1,2,3}3. 已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率是5,则b 的值为(A )1 (B )2 (C )3 (D )44. 已知实数,,a b c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 (A )b a c a -<+ (B )2c ab < (C )c c b a>(D )||||b c a c <5. 在61(2)x x-的展开式中,常数项为(A )120- (B )120 (C )160-(D )1606. 如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚到圆M '时,圆M '与直线l 相切于点B ,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3π2,则点M '到直线BA '的距离为 (A )1 (B )32(C )22(D )127. 已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为 (A )[1,)-+∞(B )(,1]-∞-(C )[2,)-+∞(D )(,2]-∞-8. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为 (A )5 (B )22 (C )23 (D )139. 若数列{}n a 满足12a =,则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件10. 形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数,记为n F .数学家费马根据01234,,,,F F F F F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那么5F 的位数是(参考数据:lg 20.3010≈) (A )9(B )10(C )11(D )12第II 卷(非选择题 共110分)二、填空题:共5小题,每小题5分,共25分。
2020届北京市十一学校高三(12月)月考数学试题(解析版)
2020届北京市十一学校高三(12月)月考数学试题一、单选题 1.复数()2211i i+++的共轭复数是 A .1i + B .1i -C .1i -+D .1i --【答案】B【解析】()()22121121112i i i i i ⋅-++=+-+=++Q ,故其共轭复数是1i - ,选B 2.若集合{}1M x x =≤,{}2,1N y y x x ==≤,则( ) A .M N = B .M N ⊆C .N M ⊆D .M N ⋂=∅【答案】C【解析】首先根据题意分别化简集合M 和集合N ,再结合选项即可找到答案. 【详解】由题知:{|1}{|11}M x x x x =≤=-≤≤, 2{|,1}{|01}N y y x x y y ==≤=≤≤,所以N M ⊆. 故选:C 【点睛】本题主要考查集合间的关系,同时考查了不等式的解法和二次函数的值域,属于简单题.3.若a >b ,则 A .ln(a −b )>0 B .3a <3b C .a 3−b 3>0 D .│a │>│b │【答案】C【解析】本题也可用直接法,因为a b >,所以0a b ->,当1a b -=时,ln()0a b -=,知A 错,因为3xy =是增函数,所以33a b >,故B 错;因为幂函数3y x =是增函数,a b >,所以33a b >,知C 正确;取1,2a b ==-,满足a b >,12a b =<=,知D错. 【详解】取2,1a b ==,满足a b >,ln()0a b -=,知A 错,排除A ;因为9333a b =>=,知B 错,排除B ;取1,2a b ==-,满足a b >,12a b =<=,知D 错,排除D ,因为幂函数3y x =是增函数,a b >,所以33a b >,故选C . 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.4.设α,β为两个平面,则α//β的充要条件是( ) A .α内有无数条直线与β平行 B .α内有两条相交直线与β平行 C .α,β平行于同一条直线 D .α,β垂直于同一平面【答案】B【解析】采用排除法,结合面面平行的判定,可得结果. 【详解】易知A 、C 、D 选项中α与β可能相交, 故选:B. 【点睛】本题主要是考查面面平行的判定,属基础题.5.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S .若3a ,4a ,8a 成等比数列,则( )A .10a d ≤,40dS ≤B .10a d <,40dS <C .10a d >,40dS <D .10a d <,40dS >【答案】B【解析】首先根据3a ,4a ,8a 成等比数列,得到21503d a d -=<,再计算4dS 即可找到答案. 【详解】由题知: 2438=a a a ,即2111(3)(2)(7)a d a d a d +=++.化简为:2135a d d =-,即21503d a d -=<.22224114352(4)46460233d d dS d a d a d d d ⨯-=+=+=⨯+=-<.故选:B 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质,同时考查了等差数列的前n 项和,属于中档题.6.已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++>,<,()f x 是奇函数,直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π,则( ) A .()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B .()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C .()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D .()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】A【解析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由函数为奇函数可得4πϕ=-,由最小正周期公式可得4ω=,结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得:()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,函数为奇函数,则当0x =时:()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得:22ππω=,解得:4ω=.故函数的解析式为:()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,函数在所给区间内单调递减; 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()40,x π∈,函数在所给区间内不具有单调性;据此可知,只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用,考查了三角函数的周期性、单调性,三角函数解析式的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知点D ,E 分别是边长为1的正ABC ∆的边AB ,BC 的中点,F 是DE 的中点,则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为( ) A .18- B .18C .14-D .14【答案】A【解析】由题意画出图形,把AF u u u r 用AB u u u r和BC uuu r 表示出来,再计算AF BC ⋅u u u r u u u r 即可.【详解】 如图所示:111131()242444AF AD DF AB AC AB AB BC AB BC =+=+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .23131()4444AF BC AB BC BC AB BC BC ⋅=+=+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g321111cos 4348π=⨯⨯⨯+=- 故选:A 【点睛】本题主要考查向量的加减法,同时考查平面向量的数量积运算,属于中档题. 8.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(2π,π)单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A .①②④ B .②④C .①④D .①③【答案】C【解析】化简函数()sin sin f x x x =+,研究它的性质从而得出正确答案. 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数,故①正确.当2x ππ<<时,()2sin f x x =,它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减,故②错误.当0x π≤≤时,()2sin f x x =,它有两个零点:0,π;当0x π-≤<时,()()sin sin 2sin f x x x x =--=-,它有一个零点:π-,故()f x 在[],-ππ有3个零点:0-π,,π,故③错误.当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时,()2sin f x x =;当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时,()sin sin 0f x x x =-=,又()f x 为偶函数,()f x ∴的最大值为2,故④正确.综上所述,①④ 正确,故选C .【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象,由图象可得①④正确,故选C .二、填空题9.已知1a =r ,2b =r ()a ab ⊥-r r r ,则向量a r 与向量b r 的夹角是________.【答案】4π 【解析】根据()a ab ⊥-r r r 得到1a b =r r g ,再带入夹角公式即可.【详解】因为()a a b ⊥-r r r ,所以()0a a b ⋅-=r r r.即20a a b -⋅=r r r,10a b -⋅=r r ,1a b ⋅=r r.2cos 22a b a b θ===r r g r r 所以夹角是4π.故答案为:4π【点睛】本题主要考查向量的夹角公式,熟练掌握夹角公式为解题的关键,属于简单题。
2020年北京市东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷(含答案及解析)
限购令”,根据表格数据,判断这名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你的判断结 果.
20. 已知函数. ( 1 )当时,求的单调区间.
/
( 2 )设直线是曲线的切线,若的斜率存在最小值,求的值,并求取得最小斜率时切线的方程. ( 3 )已知分别在,()处取得极值,求证:.
得
,∴
.
故答案为:
.
的值 ,可
14. 平面向量
,
,
则
.
【答案】
,且 与 的夹角等于 与 的夹角,
/
【解析】 由已知可得
,且
,
所以
,即
,
即
,解得
.
15. 以
,
为圆心的两圆均过
,与 轴正半轴分别交于
,
,且满足
,则点
的轨迹方程为
.
【答案】
【解析】 ∵
,
∴
,
和
的中点坐标为
,
∵
在线段 的垂直平分线上,
∴
,
∴
( 2 )求函数
的值域.
【答案】( 1 )
;
,
/
(2)
【解析】( 1 )由
,得
,
,
,
在锐角
中,
,
,故有
;
( 2 )在锐角
中,
,故
.
.
,
,
,
,
函数
的值域为
.
19. 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了 名市民,他们月收入频
2020北京海淀高三一模数学含答案
2020北京海淀高三一模数学 2020春本试卷共6页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内,复数i(2−i)对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 己知集合A={x|0<x<3},A∩B={1},则集合B可以是A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3. 已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5,则b的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5. 在(1x−2x)6的展开式中,常数项为A. −120B. 120C. −160D. 1606. 如图,半径为1的圆M与直线l相切于点A,圆M沿着直线l滚动,当圆M滚动到圆M’时,圆M’与直线l相切于点B,点A运动到点A’,线段AB的长度为3π2,则点M’到直线BA’的距离为A. 1B. √3C. √22D. 127. 已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称,若g(x)在区间(1,2)内单调递减,则m的取值范围为A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139. 若数列{a n}满足a1=2,则“∀p,r∈N∗,a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数,记为F n.数学家费马根据F0,F1,F2,F3,F4都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出F5不是质数,那么F5的位数是(参考数据:lg2≈0.3010)A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分(非选择题共110份)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
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一、选择题
(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1. 已知集合
,
,且 、 都是全集 ( 为
实数集)的子集,则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为( ).
A.
B.
或
C.
D.
2. 下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为
的是( ).
A.
B.
C.
D.
3. 已知双曲线 A.
( 3 )证明见解析.
【解析】( 1 ) ,
,
,
.
( 2 )设
,其中
,
则由题意:
,故
,即
,
考虑 , ,可知
,
所以
或
,
若
,则考虑 , ,
由于
,
所以
,因此
,
所以
,但此时考虑 , ,但 ,
,
不满足题意.
若
,此时
满足题意,
所以
,其中 , 为相异正整数.
( 3 )记
,则
,
首先,
,设
,
其中
,
分别考虑 和其他任一元素 ,由题意可得
B. 充要 D. 即不充分也不必要
,则使得 C.
成立的 的取值范围是( ). D.
9. 已知函数
.下列命题:①函数 的图象关于原点对称;②函数 是周期函
数;③当
时,函数 取最大值;④函数 的图象与函数
的图象没有公共点,
其中正确命题的序号是( ).
A. ①④
B. ②③
C. ①③④
D. ①②④
10. 空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点
A.
B.
C.
D. 以上都不对
6. 设 、 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A. 若
,
Hale Waihona Puke , B. 若, , C. 若
, , D. 若
,,
则
则
,则
,则
7. 数列 的通项公式为 条件. A. 必要而不充分 C. 充分而不必要
8. 设函数
A.
B.
.则“
”“是 为递增数列”的( )
到这个平面的距离.已知平面 , , 两两互相垂直,点
,点 到 , 的距离都是 ,
点 是 上的动点,满足 到 的距离与 到点 的距离相等,则点 的轨迹上的点到 的距离
的最小值是( ).
A.
B.
C.
D.
二、填空题
(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
11. 如图,在复平面内,复数 , 对应的向量分别是 , ,则
的图象草图,则函数
在定义域
根据题意可画出函数
的图象,由图象可知,
增,且值域为
,故 正确;
C 选项:
在定义域上单调递
根据题意可作出
的大致图象,由图象可知,此函数单调递增,但值域为
,故 错误;
D 选项:
根据题意可作出 错误;
故选 B .
的大致图象,由图象可知,此函数在定义域上不单调,故
3. D
【解析】 题目中双曲线方程可知,
( 2 )求出所有满足
的好集合.(同时说明理由)
( 3 )若好集合 满足
,求证: 中存在元素 ,使得 中所有元素均为 的整数
倍.
2020年北京市第十一中学高三一模数学试卷(答案)
一、选择题
1. C
【解析】
,
,
图中表示的是
,
∵
,
∴
.
故选 .
2. B 【解析】 A 选项:
根据题意可画出函数 上不单调,故 错误; B 选项:
也在 中,
而
,
所以
,
所以
,
对于
,考虑
,
,其和大于 ,
故其差
,
特别的,
,
所以
,
由
,且
,
所以
,
通过归纳可得:
,
所以
,此时,
,
故 中存在元素 ,使得 中所有元素均为 的整数倍.
.
12. 某高中共有 人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从
中抽取 人,那么高二年级被抽取的人数为
.
13. 角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点
是
.
,则
的值
14. 平面向量
,
,
则
.
,且 与 的夹角等于 与 的夹角,
15. 以
,
为圆心的两圆均过
,与 轴正半轴分别交于
的有 名,求 , , 的值,并完成频率分布直
方图.
频率 组距
收入 百元
( 2 )若从收入(单位:百元)在
的被调查者中随机选取 人进行追踪调查,选中的 人
中恰有 人赞成“楼市限购令”,求 的分布列与数学期望.
( 3 )从月收入频率分布表的 组市民中分别随机抽取 名市民,恰有一组的 名市民都不赞成
“楼市限购令”,根据表格数据,判断这 名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你
( 2 )已知点 的坐标为
,点 的坐标为
.过点 任作直线 与椭圆 相
交于 , 两点,设直线 , , 的斜率分别为 , , ,若
,试求 满足的关系式.
22. 对于非负整数集合 (非空),若对任意 ,
,或者
,或者
,则称
为一个好集合.以下记 为 的元素个数.
( 1 )给出所有的元素均小于 的好集合.(给出结论即可)
,
,且满足
,则点
的轨迹方程为
.
16. 某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详
见选票.这 名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的 , , ,则本次
投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为百分之
.
“我身边的榜样”评选选票
候选人 甲 乙 丙
符号 注:
则
,
且
,
解得
,
用分层抽样的方法抽取 人,那么高二年级被抽取的人数为
人.
13.
【解析】 由于角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点
得
,∴
.
故答案为:
.
,可
14.
【解析】 由已知可得
,且
,
所以
,即
,
即
,解得
.
15.
【解析】 ∵
,
∴
,
和
的中点坐标为
,
∵
在线段 的垂直平分线上,
∴
,
∴
,
如图,原题等价于在直角坐标系 中,点
、 是第一象限内的动点,满足
到 轴的距离等于点 到点 的距离,则点 的轨迹上的点到 轴的距离的最小值
是多少.设
,则
,化简得
,则
,故
,即点 的轨迹上的点到 的距离的最小值
是 ,故选 .
二、填空题
11.
【解析】 由图可知 .
,
,所以
12. 人
【解析】 设高一、高二、高三人数分别为 、 、 ,
的体积.
18. 在锐角
中, 、 、 分别是角 、 、 的对边,
,
,且
.
( 1 )求角 的大小;
( 2 )求函数
的值域.
19. 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了 名市民,他们月收入频
数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:
月收入(单位:百元)
频数
频率
赞成人数
( 1 )若所抽调的 名市民中,收入在
【解析】( 1 )取 的中点 ,连接 , ,
则
,
,
∴
,
∴四边形
为平行四边形,
∴
.
又
面
,
平面
,
∴
面
.
(2)
为等边三角形, 为 中点,
∴
.
又
,
∵
,
∴
面
.
又
,
∴
面
,
∴面
平面
.
( 3 )几何体
是四棱锥
,
作
交 于点 ,即
面
,
.
18. ( 1 )
;
(2)
【解析】( 1 )由
,得
,
,
,
在锐角
中,
,
,故有
;
( 2 )在锐角
∴ 可能取值为 , , ,
;
;
, ∴ 的分布列为:
∴
.
( 3 )来自
的可能性更大.
20. ( 1 )函数的单调递减区间为
.
(2)
,
.
( 3 )证明见解析.
【解析】( 1 )因为函数的定义域为
当
时,
, ,
,
所以由于
,解得
,
即函数的单调递减区间为
.
( 2 )因为
,所以
,
当且仅当
时取等号.因为直线 的斜率存在最小值 ,
中,
,故
.
, ,
. , ,
函数
的值域为
.
19. ( 1 )
,
,
( 2 ) 的分布列为:
,画图见解析.
∴ (3)
. .
【解析】( 1 )由频率分布表得
,
即
.
因为所抽调的 名市民中,收入(单位:百元)在