四年级奥数幻方与数表

知识要点

幻方与数表

二、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方

阵称为n 阶幻方。

三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。

对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2

n 个数的和；所以，幻和2n S n

=个数

。

用1、2、……、2n 这2

n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2

n n n n ++++=

……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，

其幻和为21234567893(13)

1532

++++++++⨯+==。

四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中

心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。

中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平

均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数2

2

n S n =个数n

=幻和

。 用1、2、……、2n 这2

n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212

n +。

用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为2

1352

+=。

五、

在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====

，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2

b d

i +=。 i

h

g

f e d c b a

幻方

【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自

然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。（只要构造出一种）

一、 若一个n n ⨯的方阵

1111

n n nn

a a a a 是n 阶幻方，则方阵

1111n n nn a b c a b c

a b c

a b c

⨯+⨯+⨯+⨯+也是n 阶幻方。

数表

中心数

幻和

三阶幻方的性质

幻方的构造

幻方

幻方与数表

（本讲）

200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014

【分析】 （方法一）第一步——求幻和：

幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；

第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；

第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。 答案如图所示。

（方法二）与1~9的3阶幻方相比，每个空格上的数都增加2008； 根据1~9的3阶幻方的8个图可以求出原题的答案。答案如图所示。

【例2】 请构造出一个3阶幻方，使其幻和为2010。（只要构造出一种）

【分析】 因为3阶幻方的幻和为2010；

所以，中心数为20103670÷=。 与1~9的3阶幻方的中心数5相比，

中心数增加了6705665-=或者放大了6705134÷= 或者先增加62再放大10或者先放大150再减小80。 根据1~9的3阶幻方的图，

将每个方格上的数“665+”或者“134⨯”或者“先62+再10⨯”或者“先150⨯再

80-”

可以求出原题的答案。

答案如图所示，答案不惟一。

可以通过其它线性变换构造成幻方，也可以通过旋转或者镜像变换得到其它的幻

方。

_

64071066070063068069067065083516729449276

1

538

5201270220970820

70

6703701120673668670666671672667674669835167294每个方格上的数x 134每个方格上的数+665

49276153840267093880413410725361206268

【例3】 一个3阶幻方，每个方格里的数均为自然数，且其中最大的数为2009，最小的数

不小于1970，请试说明，这样的幻方中9个方格中的数全都不相同的有4种，并构造出这4种幻方。

【分析】 因为每个方格里的数均为自然数；

所以，这9个数组成从小到大排列的等差数列的公差为自然数。 所以，最大的数2009减去最小的数的差为8的倍数。

因为2009197039-=；所以，最大的数减去最小的数的差为8或16或24或32； 所以，符合题意的幻方共有4种。

公差为1的9个数：2001、2002、2003、2004、2005、2006、2007、2008、2009； 公差为2的9个数：1993、1995、1997、1999、2001、2003、2005、2007、2009； 公差为3的9个数：1985、1988、1991、1994、1997、2000、2003、2006、2009； 公差为4的9个数：1977、1981、1985、1989、1993、1997、2001、2005、2009。 构造成符合题意的3阶幻方如图所示。