平面向量的正交分解及坐标表示-课件ppt
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平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
《平面向量的正交分解及坐标表示》人教版数学高一年级下册PPT课件
4．平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两 a＋b＝___(_x__1_＋____x__2_，___y__1_＋___y2)
个向量相应坐标的__和____
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的__差____
面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是 一__一___对____应___的．
第二章 平面向量
[知识点拨]点的坐标与向量的坐标的联系与区别 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向 量仅由大小和方向决定，与位置无关． 1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身 的坐标． (2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即
x i ＋ y j ， 我 们 把 有 序 实 数 对(x_，_ _y_)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫 做 向 量 a 的 坐 标 ， 记 作 a ＝ ( x ，
y ) ， 其 中 x 叫 做 向x量 a 在 _ _ _ _ _ _ 轴 上 的 坐 标 ， y 叫 做 y向 量 a 在 _ _ _ _ _ _ 轴 上 的 坐
A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
2A→B＋21A→C＝2(3，－1)＋21(－3,2)
3
9
＝(6，－2)＋(－2，1)＝(2，－1)．
『规律总结』 (1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数 乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向 量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方相向同 _单_位______的两个_基__底_____向量i，j作为________.
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
则m的长度为 2
5、若 a ( 1 ,sin) 为单位向量，则符合
2
题意的角 的取值集合为
；
(2)两个向量相等的充 件要 是条 它们的 对应坐标相等。
设a (x1, y1),b (x2, y2)
则a
b
xy11
x2 y2
例 题 1 、 已 知 向 量 a(2xy 1 ,xy2 ),
② b= ( lg2, lg5) ③ c= ( 2 x , 2 x )
④ d=(1-x,x)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、已知单位正方形ABCD，
A B a ,B C b ,A C c ,
求 2a3bc的模 5 。
3.已知p(3,1),且| p|5, 则 1 1 0 4.已知m2(sin cos,sin cos),
课后作业:
1.已知[0,2),OP1(cos,sin)
OP2 (3cos,4sin),则| P1P2|的
取值范围是
2、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回答下列问题: (1)求3a+b-2c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc) ∥ (2b-a),求实数k (4)设d=(x,y)满足(d-c) ∥(a+b)且
平面向量的ห้องสมุดไป่ตู้标表示及运算
y
M(x, y)
O
x
课前复习:
1 2
加向、量减坐法标法定则义..
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1)
3 实a数-与b=向( x量2 , 积y2)的- (运x1 ,算y法1)=则(x：2- x1 , y2-y1)
平面向量的正交分解及坐标表示 人教课标版精品课件
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示。
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
a (x1, y1)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标
例３.如图，已知A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求AB 的坐标。
y
解： AB OB OA
(x2 , y2 ) (x1, y1)
A
(x2 x1, y2 y1)
B
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标。
一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。 老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。 老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。 当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。 在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 课件(19张)
数学 必修4 A
第二章 平面向量
题点知识巩固
数学 必修4 A
第二章 平面向量
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
1．如果用 i，j 分别表示 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量，
且 A(2,3)，B(4,2)，则A→B可以表示为( )
A．2i＋3j
B．4i＋2j
C．2i－j
D．－2i＋j
解析：选 C 记 O 为坐标原点，则O→A＝2i＋3j，O→B＝4i＋
故选 D.数学 必修4 A第 Nhomakorabea章 平面向量
4．(2019·重庆八中高一期末)在▱ABCD 中，A＝(1,2)，B＝
(3,5)，A→D＝(－1,2)，则A→C＋B→D＝( )
A．(－2,4)
B．(4,6)
C．(－6，－2)
D．(－1,9)
解析：选 A 在▱ABCD 中，因为 A＝(1,2)，B＝(3,5)，所以
又 A，B，C 三点共线， 所以A→B∥A→C，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 11 时，A，B，C 三点共线．
数学 必修4 A
谢谢观看！
知识点三 平面向量共线的坐标表示
6．已知点 A(1,1)，B(4,2)和向量 a＝(2，λ)，若 a∥A→B，则
实数 λ 的值为( )
A．－23
B．32
2 C.3
D．－23
解析：选 C 根据 A，B 两点的坐标，可得A→B＝(3,1)，
∵a∥A→B，∴2×1－3λ＝0，解得 λ＝32，故选 C.
数学 必修4 A
为( )
A.2，72 C．(3,2)
B．2，－12 D．(1,3)
第二章 平面向量
题点知识巩固
数学 必修4 A
第二章 平面向量
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
1．如果用 i，j 分别表示 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量，
且 A(2,3)，B(4,2)，则A→B可以表示为( )
A．2i＋3j
B．4i＋2j
C．2i－j
D．－2i＋j
解析：选 C 记 O 为坐标原点，则O→A＝2i＋3j，O→B＝4i＋
故选 D.数学 必修4 A第 Nhomakorabea章 平面向量
4．(2019·重庆八中高一期末)在▱ABCD 中，A＝(1,2)，B＝
(3,5)，A→D＝(－1,2)，则A→C＋B→D＝( )
A．(－2,4)
B．(4,6)
C．(－6，－2)
D．(－1,9)
解析：选 A 在▱ABCD 中，因为 A＝(1,2)，B＝(3,5)，所以
又 A，B，C 三点共线， 所以A→B∥A→C，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 11 时，A，B，C 三点共线．
数学 必修4 A
谢谢观看！
知识点三 平面向量共线的坐标表示
6．已知点 A(1,1)，B(4,2)和向量 a＝(2，λ)，若 a∥A→B，则
实数 λ 的值为( )
A．－23
B．32
2 C.3
D．－23
解析：选 C 根据 A，B 两点的坐标，可得A→B＝(3,1)，
∵a∥A→B，∴2×1－3λ＝0，解得 λ＝32，故选 C.
数学 必修4 A
为( )
A.2，72 C．(3,2)
B．2，－12 D．(1,3)
人教A版必修四平面向量的正交分解及坐标表示课件
新课
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
向量的合成与分解演示
向量的正交分解
如图，向量 i , j 是两个互相垂直的单位向量，
向量 a 与 i 的夹角是30°，且 a 4 ，以向量 i , j
为基底，向量 a 如何表示？
B
P
a
j
Oi
A
坐标系中向量的正交分解
y
D
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
y
1．以原点O为起点 y
a
A
作OA a，点A的
位置是唯一确定的 j
吗？由谁确定?
Oi
x
x
由 a 唯一确定.
y
axiyj y
a
A
OAxiyj
j
Oi
x
x
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
两者相同
向量 a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
练习1:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a(1,2)
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
(2)b(1,3)
. 解：B(1,2) y 3
2
ba
. A (1, 2 )
o -1
1
x
几何画板演示
练习2:
1.写 出 下 列 向 量 的 坐 标 ：
a i 3 j, b 2i 4 j, c 1 i j.
2
2 . 用 向 量 i、j表 示 下 列 向 量 ： a ( 2 , 1 ),
人教版高中数学 3平面向量基本定理正交分解及其坐标表示(共176张PPT)教育课件
直的单位向量，向量 a与 i 的夹角是30°,
且 a 4 ，以向量 i, j 为基底，向量 a如何表示？
B
P
a 2 3i 2j
a
j
Oi
A
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j为基底，则
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j为基底，则
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d， 并求出它们的坐标.
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d， 并求出它们的坐标.
A2
A
A1
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d， 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
A
A1
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d， 并求出它们的坐标.
M
向量d＝___e1＋___e2 d
e2 e1
向量d＝___e1＋___e2
d e2
e1
向量d＝___e1＋___e2
N
D
d
e2
O e1
M
向量d＝___2e1＋___4e2
N
D
d
e2
O e1
M
向量f＝___e1＋___e2 f
e2 e1
向量f＝___e1＋___e2
F f e2 e1
向量f＝___e1＋___e2
坐标，记作
a (x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的
坐标，①式叫做向量的坐标表示.
y
a
O
x
y
1．以原点O为起点
且 a 4 ，以向量 i, j 为基底，向量 a如何表示？
B
P
a 2 3i 2j
a
j
Oi
A
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j为基底，则
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j为基底，则
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d， 并求出它们的坐标.
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d， 并求出它们的坐标.
A2
A
A1
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d， 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
A
A1
例1:如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d， 并求出它们的坐标.
M
向量d＝___e1＋___e2 d
e2 e1
向量d＝___e1＋___e2
d e2
e1
向量d＝___e1＋___e2
N
D
d
e2
O e1
M
向量d＝___2e1＋___4e2
N
D
d
e2
O e1
M
向量f＝___e1＋___e2 f
e2 e1
向量f＝___e1＋___e2
F f e2 e1
向量f＝___e1＋___e2
坐标，记作
a (x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的
坐标，①式叫做向量的坐标表示.
y
a
O
x
y
1．以原点O为起点
人教版第二章平面向量的正交分解及坐标表示(共24张PPT)教育课件
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就是如果我 Nhomakorabea告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
(2, 3)
平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课件新人教A必修
•y
•4
•C
•B •3
•2 •D
•A •1
•-2 -1 •O •1 2 3 •x
•解得 •所以顶点D的坐标为（2，2）.
•解法2：由平行四边形法则可得 •而
•y
•4
•C
•B •3
•2 •D
•A •1
•-2 -1 •O •1 2 3 •x
•所以顶点D的坐标为（2，2）.
•1.写出下列向量的坐标,其中 是与x轴、y轴方向相同的 单位向量.
•2.平面向量是否也有类似的表示呢?
•b
•A•(a,b
)
•a
• 如图，在光滑斜面上有一个 •木块受到重力 的作用，产生两 •个效果，一是木块受平行于斜面 •力 的作用，沿斜面下滑；一是 •木块产生垂直于斜面的压力 • 叫做把重力 分解.
• 由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 ,均可 •以分解为不共线的两个向量 和 ，使
•4
•如图， 分别是与x轴、y轴方向相同 •的单位向量，若以 为基底，则
•3 •5
• 这样，平面内的任一向量 都可 •由x、y唯一确定，我们把有序数对 •（x,y）叫做向量 的坐标，记作
•① •其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标， •①式叫做向量的坐标表示.
•显然，
•y •A
•O
，求 的坐标.
•y •A(x1,y1)
•B(x2,y2)
•O
•x
• 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标.
•小结：平面向量的坐标运算
•2.若A
，B
，则
•例3.已知
，求
的坐标.
•例4.如图，已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件共12张PPT
显然 i _(1_,_0_);
y
j _(_0,_1_);
a
y A(x, y)
a j
o
i
x
x
OA xi y j a ( x, y )
0 _(0_,_0_).
例1.如图，分别用基底{i, j}表示向量 a、b、c、d，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
y
如图， i, j 是分别与x轴、y轴方向相
a
同的单位向量，取{e1, e2}为基底，则
A
对于该平面内的任一向量 a ，
j
x
有且只有一对实数x、y，可使
o iB
a xi +y j 这里，我们把（x,y）叫做向量的（a 直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上 的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一 样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标 之差等于终点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有 关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐 标．
得
x1＝cos30°＝
23，y1＝sin30°＝12，所以
B
23，21.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝ 23，
所以 D－12
23.
复习回顾
平面向量基本定理:
高中数学--平面向量的正交分解及坐标表示优质课ppt课件
平面向量的正交分解及坐标运算
由平面向量的基本定理 ，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线 的两个向量
1 e1 __________ 2 e2 1 e1和2 e2 , 使a __________ _____
在 不 共 线 的 两 个 向 量， 中垂 直 是 一 种 很 重 要 的 量 ， 对 于 解 决 问 题 会来 带很 大 方 便 。
3a b
2a 5b
1 3 a b 2 2
例2． 已知平面上三点的坐标分别为 A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的 坐标使这四点构成平行四边形四个顶 点
例3： 已 知 点 A( 2,4), B(3,1), C ( 3,4)且 CM 3CA, CN 2CB , 求 点M、N及 MN的 坐标。
a xi y j
向量a的坐标 则把有序实数对（ x, y）叫做__________ _____
记作： a
（x , y）
纵坐标 横坐标 y叫做向量 a的 _________ x叫做向量 a的 _______
例如， a 3i 5 j b 3i 4 j c 4j d 6 i
情 形 ， 若 把 一 个 向 量解 分为 两 个 互 相 垂 直 的 向
一、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解. 一对有序实数（即坐标） 个点都可用 __________ __________ ______ 表示,
示呢？
思考：我们知道，在平 面直角坐标系中，每一
四．平面向量的坐标运算
若a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ),则
( x x , y y ) ab 1 2 1 2 ( x x , y y ) a b 1 2 1 2
由平面向量的基本定理 ，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线 的两个向量
1 e1 __________ 2 e2 1 e1和2 e2 , 使a __________ _____
在 不 共 线 的 两 个 向 量， 中垂 直 是 一 种 很 重 要 的 量 ， 对 于 解 决 问 题 会来 带很 大 方 便 。
3a b
2a 5b
1 3 a b 2 2
例2． 已知平面上三点的坐标分别为 A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的 坐标使这四点构成平行四边形四个顶 点
例3： 已 知 点 A( 2,4), B(3,1), C ( 3,4)且 CM 3CA, CN 2CB , 求 点M、N及 MN的 坐标。
a xi y j
向量a的坐标 则把有序实数对（ x, y）叫做__________ _____
记作： a
（x , y）
纵坐标 横坐标 y叫做向量 a的 _________ x叫做向量 a的 _______
例如， a 3i 5 j b 3i 4 j c 4j d 6 i
情 形 ， 若 把 一 个 向 量解 分为 两 个 互 相 垂 直 的 向
一、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解. 一对有序实数（即坐标） 个点都可用 __________ __________ ______ 表示,
示呢？
思考：我们知道，在平 面直角坐标系中，每一
四．平面向量的坐标运算
若a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ),则
( x x , y y ) ab 1 2 1 2 ( x x , y y ) a b 1 2 1 2
人教版高中数学2平面向量的正交分解及坐标表示-运算 (共21张PPT)教育课件
CD2i 3j
y
yj a 分别取与x轴、y轴方向相同的两
个单位向量i、j作为基底.
j Oi
xi
x
任作一个向量a,由平面向量基本 定理知,有且只有一对实数x、 y,
使得
a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常， 让得 失利 弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ，不 计较 ，也 不 刻意执 着； 让生 命中 各种的 喜怒 哀乐 ，就 像风 儿一 样，来 了， 不管 是清 风拂 面，还 是寒 风凛 冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦 然的 接受 命运的 馈赠 ，把 是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
人教版数学第二章2-3《平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算》(共27张PPT)教育课件
d 4i 2 j d (4,2)
3.（2014·北京高考）已知向量 a =（2,4），b =（-1,1），
则 2 a - b =（ A ） A.（5,7） C.（3,7）
B.（5,9） D.（3,9）
【解析】选Ａ. 2 a - b =2（2,4）-（-1,1）=（5,7）。
4.已知点A(3,1),a(x 2 ,2 xy 5 )，若向量 a OA, O为坐标原点，则x=___5_____,y=___-_4_____.
5 . 已 知 A ( - 1 ， - 5 ) 和 向 量 a = （ 2 ， 3 ） ， 若 A B = 3 a ， 则点B的坐标为_（__5_，__4__）_.
6.已知：点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)， 若 AP=AB+λAC(λ R) ，试求λ为何值时, （1）点P在一、三象限角平分线上? （2）点P在第三象限内?
， ，所
以
x
y
5 5 ，
4 7 .
所以P(5+5λ,4+7λ)，
（1）若点P在一、三象限角平分线上, 则 5+5λ=4+7λ，
所以 1. 2
（2）若点P在第三象限内，
则
5 4
5 7
0， 0，
所以
1 ， 4．
7
所以λ＜-1,即只要λ＜-1,点P就在第三象限内.
一、知识技能
1.平面向量的坐标表示 a xi y j (x, y).
——兰斯顿•休斯
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
6.3.2-4平面向量的正交分解、坐标表示、坐标加减运算-高中数学必修第二册课件(共48张ppt)
例5 :已知平行四边形ABCD的三个顶点
A(2,1), B(1,3),C(3, 4),求顶点D的坐标.
解：设D的坐标为（x, y) B(-1,3）
C(3,4)
uuur
DD(x,y)
Q AB (1, 2)
A(-2,1)
DC (3 x,4 y)
x
uuur uuur
有AB DC得：（1，2）（3-x, 4 y)
y
uuur AB
的坐标.
A(x1, y1)
(x2 , y2 ) (x1, y1) •
B(x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1)
•
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
r
r
例4：已知 a (2,1), b (3, 4),
r rr r r r
y
r
a
yA
r rr a xi +y j
uuur r r
r
OA xi +y j
jr
Oi x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终
点的坐标.
r 向量 a
一一对应
坐标(x,y)
两个向a量相b等，利x用1 坐标x如2且何y表1示？y2
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
6.3.2平面向量正交分解及坐标表示
思考？
在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
物理背景:
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在物理中，力是一个向量，力的合成就 是向量的加法运算.力也可以分解，任何一 个大小不为零的力，都可以分解成两个不同 方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向 量中来，就会形成一个新的数学理论.
新课
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
向量的合成与分解演示
向量的正交分解
rr
如r 图，r 向量
uuur uuur
且 BC 2AD，则顶点D的坐标为（ ）
7
A. （2，2 ） C. （3，2）
B.（2，
1 2
）
D.（ 1，3）
i,
j 是两个互相垂直的单位向量，
r
rr
向量 a 与
i
的夹角是30°，且
r
a
4，以向量 i,
j
为基底，向量 a如何表示？
Br
P
ra
j
O
r i
A
坐标系中向量的正交分解
rr
y
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同
D a
的单位r 向r 量，C（1,2）uu，ur D（3,5）
C
若以 i, j 为基底，则 CD=
r c
1
r i
ur j.
2 rr
2.用向量i、j表示下列向量：
r a
(
2
,
1
),
r 34
b (3,1),
r
c (1, 5)
例：用基底
r i,
r j
分别表示向量
rrr a,b, c,
ur d
并求出它们的坐标.
r rr
y
b 2i 3 j r
5
(2, 3)
b
4
3
B
uuur AB
r 2i
r 3j
r
a (2,3)
2
1r
A
rr
-r4 -3 -2
c 2i 3 j
-1 O -1
jr i
1
2
34
x
(2, 3)
r
-2
c
ur d
ur r
r
d 2i 3 j
(2, 3)
归纳:
若 则
Au(uxur1, y1), B(x2, AB （x2 x1,
y2 )
y2
y1
)
探究训练:
r a 1.若向量 =（1，-2）的终点在原点，那么
r 向量 a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
练习1:在同一直角坐标系内画出下列向量.
r
r
(1)a (1, 2)
(2)b (1, 3)
. 解：B(1,2) y 3
. r
b
2
r a
A(1, 2)
o -1
1
x
几何画板演示
练习2:
1.写出下列向量的坐标： r r ur a i 3 j, r rr b 2i 4 j,
，
这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
uur
F1 ur G
uur F2
uur
F1 uur
ur G
F2
重力 Gur产生两个效果，一是木块受平行于
斜面的力的作用uFur1，沿斜面下滑；一是木块产
生垂直于斜面的压力 uur uur
uFur2.也就是说，u重r 力
Gur的
uur
uur
效果等价于F1和F2 的合力效果，即 G = F1 + F2.
y
A
rr
那么如何用基底 i, j uuur
来表示 OA 呢？
r
j
O
r i
x
x
uuur r r OA xi y j.
（演示）
结论：向量发生平移，对应系数不变
这样，平面内的任一向量 a 都可由x，y唯 一确定，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）
坐标，记作 r a (x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的
0 =（0，0）
概念理解
y
r
a
1．以原点O为起点 y
A
uuur r
作OA a，点A的 r
位置是唯一确定的 吗？由谁确定?
j
O
r i
x
x
r
由 a唯一确定.
y
rrr a xi y j y
r a
A
uuur r r
OA xi y j r
j
O
r i
x
x
r
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
两者相同
探究训练:
r
4.若将向量a (2，1)
向旋转 π 得到向量 3
围r 绕原点按r 逆时针方 b ，则 b 的坐标为
（
）.
小结：平面向量的坐标表示：
y
y
A
a
j
rrr
o
i
x
r
பைடு நூலகம்
x
a xi y j
a (x, y)
高考链接
已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),
j
x
oi
CD 2i 3 j
y
D
rr
a C
如图，i, j 是分别与rx轴r 、y轴方向相同 A
的单位向量，若以 i, j为基底，则
j
x
r
o iB
对于该平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数x、y，可使 rrr a xi y j.
思考：
如图
uuur OA
r a
y
r a
rrr a xi y j.
2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示
高一数学 人教版必修四
柳林县联盛中学 刘辉
复习：
平面向量的基本定理
r ur uur a 1e1 2e2
其实质：同一平面内任一向量都可以用 两个不共线向量来表示.
引入
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为
Gur，下滑力为
uFur1，木块对斜面的压力为
uur F2
这个向量的始点坐标是 （-1，2） ．
探究训练:
r 2.向量 a (2，1) 关于x轴、y轴、坐标原点、
直线y=x对称的坐标是？
探究训练:
向量平移演示
uuur
3.已知点A(8,2)，点B(3,5) ，u将uurAB 沿x轴 向左平移5个单位得到向量 CD ，则 uuur CD ________ .
坐标，①式叫做向量的坐标表示.
平面向量的坐标表示
rr
y
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同
D a
的单位r 向r 量，C（1,2）uu，ur D（3,5）
C
若以 i, j 为基底，则 CD=
j
x
CuDuur 2i 3 j
oi
CD =(2, 3) 特别地：
r
i r
=（1，0）
j =（0，1）
r