初中数学中的解方程

代数部分 第三章:方程与方程组

基础知识点:

一、方程有关概念

1、方程:含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根:在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程

(1)一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0) (2)一元一次方程的最简形式:ax=b(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0)

(3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项与系数化为1。

(4)一元一次方程有唯一的一个解。

例题:、解方程: (1) 3131=+-

x x (2)x x x -=--+22

1

32 解: 解:

(3)【05湘潭】 关于x 的方程mx+4=3x+5的解就是x=1,则m= 。 2、一元二次方程

（1） 一般形式:()002

≠=++a c bx ax

（2） 解法:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

求根公式()002

≠=++a c bx ax ()

042422

≥--±-=

ac b a

ac b b x ①、解下列方程:

(1)x 2－2x ＝0; (2)45－x 2＝0;

(3)(1－3x )2＝1; (4)(2x ＋3)2－25＝0、 (5)(t －2)(t +1)=0; (6)x 2＋8x －2＝0

(7 )2x 2－6x －3＝0; (8)3(x －5)2＝2(5－x ) 解:

② 填空:

(1)x 2＋6x ＋( )＝(x ＋ )2; (2)x 2－8x ＋( )＝(x － )2;

(3)x 2＋2

3

x ＋( )＝(x ＋ )2

(3)判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系 当0>∆时有两个不相等的实数根 ,

当0=∆时有两个相等的实数根

当0<∆时没有实数根。

当△≥0时 有两个实数根

例题.一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程: (1)

2)3(2

1

2=+x ;(2)1322=+x x ;(3)22)2(25)3(4-=+x x 例2、解下列方程:

(1))(0)23(2

为未知数x b a x a x =+--;(2)0822

2=-+a ax x

3.(无锡市)若关于x 的方程x 2

＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根,则k 满足 ( )

A 、k ＞1

B 、k ≥1

C 、k ＝1

D 、k ＜1

4、(常州市)关于x 的一元二次方程01)12(2

=-+++k x k x 根的情况就是( )

(A)有两个不相等实数根(B)有两个相等实数根(C)没有实数根(D)根的情况无法判定

5.(浙江)已知方程

022=++q px x 有两个不相等的实数根,则p 、q 满足的关系式( )

A 、042>-q p

B 、02>-q p

C 、042

≥-q p D 、02≥-q p

6、根与系数的关系:x 1＋x 2=a

b

-

,x 1x 2=a c

例题: (浙江富阳市)已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ,则

2

11

1x x + 的值就是( ) A 、

11

2 B 、211 C 、11

2-

D 、2

11-

例3、求作一个一元二次方程,使它的两个根分别比方程052

=--x x 的两个根小3 根的判别式及根与系数的关系

例4、已知关于x 的方程:032)1(2

=+++-p px x p 有两个相等的实数根,求p 的值。 例5、已知a 、b 就是方程0122

=--x x 的两个根,求下列各式的值: (1)2

2

b a +;(2)

b

a 11+ 分式方程的解法步骤:

（1） 一般方法:选择最简公分母、去分母、解整式方程,检验 （2） 换元法

例题:①、解方程:21

14

42-=+-x x 的解为 06542

2=++-x x x 根为 ②、【北京市海淀区】当使用换元法解方程03)1

(2)1(2=-+-+x x x x 时,若设1+=x x y ,

则原方程可变形为( )A.y 2＋2y ＋3＝0 B.y 2－2y ＋3＝0 C.y 2＋2y －3＝0 D.y 2－2y －3＝0

(3)、用换元法解方程4

33322=-+-x

x x x 时,设x x y 32

-=,则原方程可化为( ) (A)043=-+

y y (B)043=+-y y (C)0431=-+y y (D)0431=++y

y 例、解下列方程:

(2)1

1

1

122-+=-x x ;(2)526222=+++x x x x 6、应用:

(1)分式方程(行程、工作问题、顺逆流问题)(2)一元二次方程(增长率、面积问题)(3)方程组实际中的运用

例题:①轮船在顺水中航行80千米所需的时间与逆水航行60千米所需的时间相同、已知水流的速度就是3千米/时,求轮船在静水中的速度、(提示:顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度) 解:

②乙两辆汽车同时分别从A 、B 两城沿同一条高速公路驶向C 城、已知A 、C 两城的距离为450千米,B 、C 两城的距离为400千米,甲车比乙车的速度快10 千米/时,结果两辆车同时到达C 城、求两车的速度 解

③某药品经两次降价,零售价降为原来的一半、已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率、(精确到0、1%) 解

④【05绵阳】已知等式 (2A -7B ) x +(3A -8B )=8x +10对一切实数x 都成立,求A 、B 的值

解

⑤【05南通】某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元、捐款情况如下

表:

捐款(元) 1 2 3 4 人 数

6

7

表格中捐款2元与3元的人数不小心被墨水污染已瞧不清楚、

若设捐款2元的有x 名同学,捐款3元的有y 名同学,根据题意,可得方程组

A 、272366x y x y +=⎧⎨+=⎩

B 、27

23100x y x y +=⎧⎨+=⎩

C 、273266x y x y +=⎧⎨+=⎩

D 、27

32100x y x y +=⎧⎨+=⎩

解

⑥已知三个连续奇数的平方与就是371,求这三个奇数、

⑦一块长与宽分别为60厘米与40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方米、求截去正方形的边长、

解:

四、方程组 4、 方

程