确定应力边界条件的两种方法

，
，
ＢＣ边界：
，
，
ＣＤ边界：
，
，
以上数据分别代入式４，将得到与用比较法完全相同的
结果。由此可见，两种方法是相通的，是特殊与一般、个
性与共性的关系。
参考文献：（略）
02
当为平面问题时，公式退化为：
——（式４） 实质上，应力边界条件是弹性体内部各点的平衡条件 在其边界上的延续。 当边界面与坐标轴成一般角度时，不能用比较法，只 能用公式法。先求出边界面的外法线方向与坐标轴正向的 夹角的余弦，再代公式。 例３．写出图３所示楔形体的应力边界条件，液体容重 为。 解： 边界ＯＢ、ＯＡ与坐标轴成一般角度，用公式法。
在ＯＢ边界上：
方向余弦
，
面力分量 ，
代入式４得：
，
在ＯＡ边界上：
方向余弦：
面力分量：
，
代入式４得：
从上例可见，用公式法写应力边界条件是同样方便的。 最后，顺便提一下式３的记忆规律。在实际计算时，常 将此关系式表示成矩阵的形式：
——（式５）
写成张量形式：
——（式６）
式６表示应力二阶张量 和方向余弦ｌｊ一阶张量（矢
01
中国西部科技 ２００９年５月（下旬）第０８卷第１５期总第１７６期
时，式 １、式２右边取正号（正面取正号），否则取负号 （负面取负号）。产生这种差异的原因是应力和面力有不 同的符号规定。正应力 和切应力 是“正面正向、负面 负向为正”，而面力是沿坐标轴正向为正。下面再举一 例。
例２．试列出图２所示问题的全部边界条件。
量）做内积，该内积是一阶面力张量ｘｉ（矢量）。 ２ 两种方法的关系
当边界面与坐标轴平行或垂直时，用比较法求应力边
界条件比较方便。当边界面与坐标轴成一般角度时，只能
用公式法求应力边界条件。两种方法各有优点，公式法适
用的范围广，比较法适用的范围窄，比较法是公式法的特
例，如果例１中用公式法求解，则：
ＡＢ边界：
论
著
确定应力边界条件的两种方法
徐杏华
（孝感学院 城市建设学院，湖北 孝感 ４３２０００）
摘 要：弹性力学问题中，确定应力边界条件有两种方法——比较法和公式法。比较法就是当边界面与坐标轴平行或垂 直时，将微元体“移到”边界附近，把应力与边界面上的面力进行比较，从而求出应力边界条件。公式法就是当边 界面 与坐标轴成一般角度时，先求出边界面的外法线与坐标轴的方向余弦，再代公式。两种方法各有优点，它们是相通 的， 是特殊与一般、个性与共性的关系。 关键词： 弹性力学；应力边界条件；比较法；公式法
１４边与边界重合，并比较有：
，
。
同理，再比较边界微来自百度文库ｃ，有： ， 。
一般地，当 平行于ｙ轴时：
，
——（式
１）
当 平行于ｘ轴时：
， ——（式２）
注意当边界面的外法线方向与某一坐标轴正向一致
收稿日期：２００９－０４－１７ 修回日期：２００９－０５－２０ 作者简介：徐杏华（１９６６－），男，湖北孝感籍，硕士，孝感学院副教授，从事固体力学研究。
左边界（负面）：
，
，
ｘ＝ｌ的边界，即右边界，是它的次要边界，可以写成位
移边界条件。
右边界（正面）：
，
这两个位移边
界条件也可以改用三个积分的应力边界条件来表示。
从上述两例可以看出，用比较法写应力边界条件是非
常方便的。
１．２ 公式法
在空间问题上，应力边界条件的公式是：
——（式３）
其中ｌ、ｍ、ｎ是边界面外法线方向与ｘ、ｙ、ｚ轴正向夹 角的方向余弦， 、 、 为面力在ｘ、ｙ、ｚ轴上的投影。
弹性力学问题中，按照边界条件的不同，分为位移边 界条件、应力边界条件和混合边界条件三种情况。
（１）位移边界条件。当边界上的位移为已知时，物体 边界点上的位移与给定的位移相等。设给定位移的边界为 ｓｕ，则在此边界的位移分量有：
， 式中 、 ——ｓｕ上沿ｘ、ｙ方向的已知的位移分量。 （２）混合边界条件。混合边界条件，就是在边界上既 给出部分面力，又给出部分位移。 （３）应力边界条件。当边界上已知面力时，面力可以 用应力分量来表示，故称为应力边界条件。应力边界通常 用 表示。 三种边界条件中，应力边界条件最常用、最重要。本 文主要讨论应力边界条件的求法。 １ 应力边界条件的求法 １．１ 比较法 工程中许多构件在选用合适的坐标系时，边界的外法 线方向或与坐标轴平行，或与坐标轴垂直，在这种情形 下，求应力边界条件只需将微元体“移到”边界附近，把 应力与边界面上的面力 、 进行比较就可以得到。通过下 面的例题来说明比较法。 例１．试写出图１所示悬臂构件的应力边界条件。
（ａ）
（ｂ）
图１ 悬臂构件应力边界示意图
解：
首先，确定应力边界：悬臂梁的ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ边界为应
力边界；其次，画出所给坐标系的微元体，如图１（ｂ），
注意图上所有应力均按正号标出。
将微元体“移到”ＡＢ边界的边界微元ａ，微元体的３４边
与边界重合，并比较有： ， 。
又将微元体“移到”ＢＣ边界的边界微元ｂ，微元体的
Ｔｗｏ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ Ｓｔｒｅｓｓ ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ＸＵ Ｘｉｎｇ－ｈｕａ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｕｒｂａｎ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，Ｘｉａｏｇａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｏｇａｎ，Ｈｕｂｅｉ ４３２０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｓｔｒｅｓｓ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｉｎ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ— — ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｆｏｒｍｕｌａ ｍｅｔｈｏｄ． Ｔｈｅ ｆｏｒｍｅｒ ｉｓ， ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄｉｎｇ ｓｕｒｆａｃｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｏｒ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ａｘｉｓ， “ ｍｏｖｉｎｇ” ｔｈｅ ｔｉｎｙ ｂｏｄｙ ｖｉｃｉｎｉｔｙ ｔｏ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄｉｎｇ ｓｕｒｆａｃｅ， ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔｒｅｓｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｆｏｒｃｅ ｏｎ ｂｏｕｎｄｉｎｇ ｓｕｒｆａｃｅ， ｔｈｅｎ， ｃａｎ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｓｔｒｅｓｓ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｉｓ， ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄｉｎｇ ｓｕｒｆａｃｅ ａｎｄ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ａｘｉｓ ｗｅｒｅ ｐｕｔ ｉｎｔｏ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ａｎｇｌｅ， ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｃｏｓｉｎｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ａｘｉｓ ａｎｄ ｏｕｔｅｒ ｎｏｒｍａｌ ｏｎ ｂｏｕｎｄｉｎｇ ｓｕｒｆａｃｅ， ｔｈｅｎ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌｌｙ． Ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ ｈａｖｅ ｔｈｅｉｒ ｏｗｎ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ， ｔｈｅｙ ａｒｅ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌ， ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｉｔｙ ａｎｄ ｃｏｍｍｏｎｎｅｓｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｅｌａｓｔｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；Ｓｔｒｅｓｓ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；Ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ；Ｆｏｒｍｕｌａ ｍｅｔｈｏｄ
图２ 悬臂梁应力边界示意图
解：
采用比较法。因为图２与图１（ａ）坐标系相同，参照图
１（ｂ），它的边界条件是：
边界，即下边界和上边
界，是它的主要边界，应力边界条件应逐点（精确）满足。
下边界（正面）：
，
。
上边界（负面）：
，
。
ｘ＝０的边界，即左边界，是它的次要边界，应力边界条
件应放松（近似）满足。列出三个积分的应力边界条件。