考研数学线性代数题型归纳.doc
2024考研数学一线性代数历年考题详解
2024考研数学一线性代数历年考题详解线性代数是2024考研数学一科目中的一个重要内容，对于考生来说，掌握线性代数的知识点和解题技巧非常关键。
本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年考题进行详解，帮助考生更好地备考。
一、第一节：向量与矩阵1. 2010年考题考题描述：已知向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性无关，向量\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]可由向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性表示，且\[{\beta}_1 = 2{\alpha}_1 +3{\alpha}_2\]，\[{\beta}_2 = 4{\alpha}_1 + 5{\alpha}_2 + {\alpha}_3\]，\[{\beta}_3 = 7{\alpha}_1 + 10{\alpha}_2 + 2{\alpha}_3\]，则向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为多少？解题思路：根据题意，我们可以建立如下矩阵：\[A =\begin{bmatrix}2 &3 & 0 \\4 &5 & 1 \\7 & 10 & 2 \\\end{bmatrix}\]然后通过对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形。
最后，行最简形的矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩。
在本题中，通过计算可知行最简形为：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]因此，向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为3。
2. 2014年考题考题描述：设矩阵\[A =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]，若矩阵\[B = (A - 2I)^2 - I\]，其中\[I\)为单位矩阵，求矩阵\[B\)的秩。
2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳
2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳线性代数是考研数学一科目中的重要内容之一，涉及到矩阵、向量、线性方程组等多个概念和方法。
了解历年考研数学一专题线性代数的题目，可以帮助考生更好地掌握该专题的重点和难点，提高解题能力。
本文将对2024年考研数学一专题线性代数历年题目进行归纳，以供考生参考。
1. 矩阵运算题矩阵的加法、减法、乘法是线性代数的基本内容，考研中常涉及到矩阵的运算性质和运算规律。
如下是一道历年考研数学一专题线性代数中的矩阵运算题目：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，矩阵C=（c_{ij}）_{p×k}，试证明：(A×B)×C=A×(B×C)。
解析：首先我们需要明确矩阵的乘法运算满足结合律。
对于(A×B)×C，先计算矩阵A和矩阵B的乘积，得到(m×p)的矩阵D。
然后将矩阵D与矩阵C相乘，得到(m×k)的矩阵E，即(A×B)×C=E。
同样地，对于A×(B×C)，先计算矩阵B和矩阵C的乘积，得到(n×k)的矩阵F。
然后将矩阵A与矩阵F相乘，得到(m×k)的矩阵G，即A×(B×C)=G。
因此，(A×B)×C=E=A×(B×C)=G，即(A×B)×C=A×(B×C)。
2. 矩阵的秩题矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组中所含向量的个数。
在考研数学一专题线性代数中，关于矩阵的秩有很多题目，如下所示：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，且秩(A)=r，秩(B)=s。
试证明：1) 秩(AB)≤min{r,s}；2) 如果r=s，且r=min{m,n,p}，则秩(AB)=r。
考研数学线代典型题型总结
式等等)的计算方法也应掌握．常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.。
矩阵是线性代数的核心,是后续**章的基础。
矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。
这部分考点较多,重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。
这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。
常见题型有以下几种:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程．向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是［参数1］的重点。
提醒2021年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从**个侧面对线性相关性的理解．常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
往年考题中，方程组出现的频率较高,几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。
本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解(含对参数取值的讨论）.主要题型有:线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是［参数１］的重点之一，题多分值大,共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。
重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。
考研数学三(线性代数)历年真题汇编1.doc
考研数学三（线性代数）历年真题汇编1(总分：50.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设n阶方阵A的秩r(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中【】（分数：2.00）A.必有，一个行向量线性无关．B.任意r个行向量都线性无关．C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组．D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出．3.设A为n阶方阵且∣A∣=0，则【】（分数：2.00）A.A中必有两行(列)的元素对应成比例．B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．D.A中至少有一行(列)的元素全为0．4.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是【】（分数：2.00）A.α1，α2，…，αs均不为零向量．B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示．D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k 1，…，k m，使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0，则【】（分数：2.00）A.α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关．B.α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关．C.α1 +β1，…，αm +βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关．D.α1 +β1，…，αm +βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关．6.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【】（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1D.α1 +α2 +α3，2α1一3α2 +22α3，3α1 +5α2一5α37.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。
考研数学真题归纳线性代数
专题一：行列式1、利用行列式的性质计算例、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .例、已知：100010001001a a A a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1100b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）计算行列式||A ；（2）已知线性方程组Ax b =有无穷多解，求a ，并求Ax b =的通解。
例、设矩阵2221212n na a aa a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,现矩阵A 满足方程=AX B , 其中()1,,T n x x =X ,()1,0,,0=B ,(1)求证()1nn a =+A .(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x . (3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.2、利用矩阵的性质计算 例、设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = . 例、设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .专题二：矩阵1、逆矩阵例、设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________. 例、设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则 (A)-E A 不可逆,+E A 不可逆(B)-E A 不可逆,+E A 可逆(C)-E A 可逆,+E A 可逆(D)-E A 可逆,+E A 不可逆例、设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,1010038⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .例、设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 (A)**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭(B)**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭(C)**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭2、初等矩阵例、设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 例、设A 为3阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第3行得到单位阵E ，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*******P ，则A=（ ）A 21P PB 211P P - C 12P P D 121P P -例、设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP例、设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭例、设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B(B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B3、矩阵的秩例、TT=+A ααββ,Tα为α的转置,Tβ为β的转置.证明:(1)()2r ≤A .(2)若,αβ线性相关,则()2r <A .例、设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T xx E -的秩为________。
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16.doc
![[考研类试卷]考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/30802faf81c758f5f61f679f.png)
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编16一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0，必有（A）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．（B）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．（C）(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．（D）(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．2 4个平面a i x+b i y+c i z=d i(i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵=（A）1（B）2（C）3（D）43 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且则线性方程组（A）Ax=α必有无穷多解．（B）Ax=α必有唯一解．（C）=0仅有零解．（D）=0必有非零解．4 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（A）不存在．（B）仅含一个非零解向量．（C）含有两个线性无关的解向量．（D）含有3个线性无关的解向量．5 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为（A）+k1(η2—η1)．（B）+k1(η2—η1)．（C）+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．（D）+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6 对于方程组问k1与k2各取何值，方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在有无穷多解时．求其一般解．7 设方程组有解．(1)确定a、b的值；(2)求其导出组的基础解系，并用之表示原方程组的全部解．8 设向量α1=(1，一1，1)T，α2=(1，k，一1)T，α3=(k，1，2)T，β=(4，k2，一4)T．问k取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并求出此线性表示式．8 设有线性方程组9 证明：当a1，a2，a3，a4两两不等时，此方程组无解；10 设a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)时，β1=(一1，1，1)T，β2=(1，1，一1)T是方程组的两个解，写出此方程组的通解．11 设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B)．12 设A=X=(x ij)3×3问a、b、c各取何值时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时，求出全部解．13 设已知方程组Ax=0的解空间的维数为2，求c的值，并求出方程组Ax=0的通解．14 求解线性方程组，(a、b为参数)15 设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，求证：β，β+α1，…，α+αt线性无关．16 设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*，r(A)=r＜n，证明：方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解，而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解．17 设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．18 设齐次线性方程组A m×n x=0的解全是方程b1x1+b2x2+…+b n x n=0的解，其中x=(x1，x2，…，x n)T．证明：向量b=(b1，b2，…，b n)可由A的行向量组线性表出．19 设α1，α2，…，αk(k＞n)是R n中k个线性无关的列向量，证明：存在行阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．20 设矩阵A=(a ij)n×n的秩为，2，记A的元素a ij的代数余子式为A ij，并记A的前r 行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组α1=(A r+1，1，…，A r+1，n)Tα1=(A r+2，1，…，A r+2，n)T…… αn—r=(A n1，…，A nn)T是齐次线性方程组Bx=0的基础解系．21 设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：r(A*)=22 设有两个线性方程组：其中向量b=(b1，b2，…，b m)T≠0．证明：方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，y m)T都满足方程b1y1+b2y2+…+b m y m=0．23 已知齐次线性方程组其中a i≠0．试讨论a1，a2，…，a n和b满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．24 设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，一1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?25 讨论三个平面：x+2y+z=1，2x+3y+(a+2)z=3，x+ay一2z=0的相互位置关系．26 设有向量α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T．试讨论当a、b为何值时， (1)β不能由α1，α2，α3线性表示；(2)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式； (3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．27 已知(1，一1，1，一1)T是线性方程组的一个解，试求： (1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足x2=x3的全部解．28 确定常数a的值，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，a)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．29 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．。
2024考研数学一线性代数历年真题全解析
2024考研数学一线性代数历年真题全解析线性代数是数学中的一个重要分支，也是考研数学一科目的必考内容之一。
掌握线性代数的基本理论和解题方法，对于考研的成功至关重要。
本文将对2024年考研数学一线性代数历年真题进行全面解析，帮助考生更好地理解和掌握这一内容。
一、第一题：（2024年考研数学一真题）题目描述：设A、B为n阶方阵，且满足A^2=AB-B^2。
求证：可以得出B^2=BA-A^2。
解析：根据题目中的等式A^2=AB-B^2，我们可以推导出：A^3 = (AB-B^2)A = ABA-BA^2将B^2=BA-A^2代入上式，得到：A^3 = A(BA-A^2) = ABA-A^3移项化简可得：2A^3 = ABA进一步整理：2A^3 - ABA = 0因此，我们证明了B^2=BA-A^2。
二、第二题：（2023年考研数学一真题）题目描述：已知线性变换T：R^3->R^3的矩阵为A=[a1,a2,a3]，其中a1、a2、a3分别为R^3的列向量，向量a3可以表示为a3=k1a1+k2a2，其中k1、k2为实数。
证明：线性变换T在R^3的任意向量上的投影运算P与反射运算S满足P^2=P，S^2=S。
解析：设矩阵A=[a1,a2,a3]，且a3=k1a1+k2a2，根据题目条件可知向量a3可由a1、a2线性表示。
由此，我们可以得到矩阵A的列向量组线性相关。
由于投影运算P的定义为P^2=P，这意味着对于任意向量x，有P(P(x))=P(x)，即P^2(x)=P(x)。
另一方面，反射运算S的定义为S^2=S，即S(S(x))=S(x)，即S^2(x)=S(x)。
根据线性变换T的定义，我们有T(x)=Ax，其中A=[a1,a2,a3]。
根据题意，向量a3可由a1、a2线性表示，说明向量a3可以写为a3=k1a1+k2a2。
我们知道，投影运算P的定义为P(x)=A(A^TA)^(-1)A^Tx，反射运算S的定义为S(x)=2P(x)-x。
历年研究生考试数学试卷分类——线性代数解答题.doc
征向量，其中 "A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.5. （03-1,8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为/] : ax + 2by + 3c = 0 , /2 : bx + 2cy + 3。
= 0 , 13 : cx + lay + 3/> = O.试证这二条直线交于一点的充分必要条件为a + b + c = Q. H —、（本题满分io 分）「2 2 o -若矩阵/= 8 2a 相似于对角阵A,试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使P~xAP K.0 0 6十二、（本题满分8分）已知平面上二条不同直线的方程分别为k : ax + 2by + 3c = 0 ,/2 : Zzx + 2cy + 3。
= 0 , /3 : cx + 2ay + 3b = 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为Q +人+ C = 0.（ 0 3 0 3 ）九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（。
1 + b ）X] + a 2x 2 + a 3x 3 H --------- F a n x n = 0, 。
1玉 + （。
2 + b ）x 2 + a 3x 3 H ----- F a n x n = 0,< a x x x + a 2x 2 +（Q3 + b ）x 3 H ---------------- F a n x n = 0, a x x x + a 2x 2 + a 3x 3 H -------------- （Q 〃 + b ）x n = 0,其中壬0.试讨论。
1，。
2，・・・,。
〃和b 满足何种关系时， i=l（1） 方程组仅有零解；（2） 方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型f(x 1,x 2,x 3) = X T AX = axl + 2%2 一+ 2bx r x 3(Z? > 0),「3 2 2「0 1 o -4 .( 0 3 — 1 , 1 0分)设矩阵,=2 3 2,P = 1 0 12 2 30 0 1B = P-'A*P ,求B+2E 的特征值与特( 0 4 0 2 ) (22) (本题满分9设 = (1,2,0)r ,a中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. ( 0 3 0 4 )九、(本题满分13分)设有向量组(I)： % = (1,0,2)', a 2 = (1,1,3)r> % = (l,-l,a + 2)‘和向量组(II)： /31 = (1,2,a+ 3)7, ”2 =(2,1,。
考研数学中线性代数常考题型归纳
考研数学中线性代数常考题型归纳考研数学中线性代数常考题型归纳我们在进入考研数学的中线性代数复习时，需要把一些常考的题型归纳好。
店铺为大家精心准备了考研数学中线性代数常考题型指导，欢迎大家前来阅读。
考研数学中线性代数常考题型总结线性代数这门学科在考研数学中占有重要的地位，它和高数与概率统计相比，有其自身的特点，而我们同学们在学习这门课时应该要注重对知识点的总结归纳。
线性代数还是以计算题为主，证明题为辅，因此，这要求我们必须注重计算能力的培养及提高。
现在的考研趋势是越来越注重基础，淡化技巧，下面吴方方老师具体落实到章节来谈。
关于行列式这一块，它在整个考研数学试卷中所占分量不是很大，一般主要是以填空选择题为主，这一块是考研数学中必考内容，它不单单考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也是很多的，比如在逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组解的判断、特征值的求解、正定二次型与正定矩阵的判断等问题中都会用到行列式的有关计算。
因此，对于行列式的计算方法我们一定要熟练掌握。
关于矩阵这一块：矩阵是线性代数的核心知识，它是后面其他各章节的基础，在向量组、线性方程组、特征值、二次型中均有体现。
矩阵的概念、运算及理论贯穿整个线性代数的知识部分。
这部分的考点涉及到伴随矩、逆矩阵、初等矩阵、矩阵的秩以及矩阵方程，这些内容是有关矩阵知识中的一类常见的试题。
关于向量这部分：它既是重点又是难点，主要是因为其比较抽象，因此很多考生对这一块比较陌生，进而就会导致我们同学们在学习理解以及做题上的困难。
这一部分主要是要掌握两类题型：一是关于一个向量能否由一组向量线性表出的问题，二是关于一组向量的线性相关性的问题。
而这两类题型我们一般是与非齐次线性方程组和齐次线性方程组一一对应来求解的。
关于线性方程组这一块;线性方程组在近些年出现的频率较高，几乎每年都有考题，它也是线性代数部分考查的重点内容。
所以对于线性方程组这一部分的内容，同学们一定要掌握。
线性代数考试题及答案考研
线性代数考试题及答案考研一、选择题1. 设矩阵A的秩为1，矩阵B与矩阵A相抵消，那么矩阵B的秩为：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 不确定2. 若矩阵A可逆，且AB=0，则：- A. A可逆，B不可逆- B. B可逆，A不可逆- C. A和B都可逆- D. A和B都不可逆二、填空题1. 若向量组\[a_1, a_2, a_3\]线性相关，则至少存在不全为零的实数\[c_1, c_2, c_3\]，使得\[c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3 =\_\_\_\_\_\_。
2. 设矩阵\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，矩阵\[A\]的特征值是\_\_\_\_\_\_。
三、解答题1. 已知矩阵\[B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵\[B\]的逆矩阵。
2. 设\[x\]是\[3 \times 1\]的列向量，\[A\]是\[3 \times 3\]的矩阵，若\[Ax = 0\]，证明\[x\]是矩阵\[A\]的零空间的基。
答案一、选择题1. 正确答案：A. 0解析：若矩阵B与矩阵A相抵消，则B的列向量是A的行向量的线性组合，因此B的秩小于等于A的秩。
由于A的秩为1，所以B的秩为0。
2. 正确答案：D. A和B都不可逆解析：若AB=0，则A和B至少有一个是不可逆的。
因为如果A可逆，则AB=I，这与AB=0矛盾。
同理，如果B可逆，则AB=I，也与AB=0矛盾。
二、填空题1. 正确答案：0解析：线性相关意味着存在不全为零的系数使得向量和为零向量。
2. 正确答案：2, -1解析：通过计算特征多项式\[|A - λI| = 0\]，解得特征值为2和-1。
三、解答题1. 解：矩阵B的逆矩阵计算如下：\[B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \text{adj}(B)\]其中，\[\det(B) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 0\]，因此矩阵B 不可逆，没有逆矩阵。
考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(二).doc
考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(二)(总分：108.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：54，分数：108.00)1.设矩阵A的秩为t，则秩r(A T A)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________2.已知（分数：2.00）填空项1:__________________3.已知三阶矩阵A的特征值是（分数：2.00）填空项1:__________________4.设A是主对角线元素之和为-5的三阶矩阵，且满足A2+2A-3E=0，那么矩阵A的三个特征值是______．（分数：2.00）填空项1:__________________5.已知α(a，1，1)T是矩阵A=（分数：2.00）填空项1:__________________6.设α=(1，-1，a)T是（分数：2.00）填空项1:__________________7.设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，且Aα1=α1，Aα2=-α3，Aα3=α2+2α3则矩阵A的三个特征值是______．（分数：2.00）填空项1:__________________8.已知α是3维列向量，αT是α的转置，若矩阵ααT相似于（分数：2.00）填空项1:__________________9.已知A是三阶方阵，其特征值分别为1，2，一3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和A11+A22+A33=______．（分数：2.00）填空项1:__________________10.设（分数：2.00）填空项1:__________________11.已知A是三阶实对称矩阵，特征值是1，3，-2，其中α1=(1，2，-2)T，α2=(4，-1，a)T分别是属于特征值λ=1与λ=3的特征向量，那么矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量是______．（分数：2.00）填空项1:__________________12.设A是三阶实对称矩阵，存在正交阵Q=[ξ1，ξ2，ξ3]，使得Q-1AQ=Q T AQ=，则矩阵B=A-ξ1（分数：2.00）填空项1:__________________13.设α=(1，-1,a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______．（分数：2.00）填空项1:__________________14.已知矩阵（分数：2.00）填空项1:__________________15.已知A是四阶实对称矩阵，秩r(A)=3，矩阵A满足A4-A3-A2-2A=O则与A相似的对角矩阵是______．（分数：2.00）填空项1:__________________16.已知矩阵（分数：2.00）填空项1:__________________17.A是三阶矩阵，ξ，α，β是三个三维线性无关的列向量，其中Ax=0有解ξ，Ax=β有解α，Ax=α有解β，则A～______．（分数：2.00）填空项1:__________________18.设f(x1，x2)=（分数：2.00）填空项1:__________________19.已知三元二次型f(x1，x2，x3)=（分数：2.00）填空项1:__________________20.二次型f(x1，x2，x3，x4)=（分数：2.00）填空项1:__________________21.已知二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax=2x12+2x22+ax23+4x1x3+2tx2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=y12+2y22+7y32，则t=______．（分数：2.00）填空项1:__________________22.若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________23.设α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩阵，则k的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________24.已知矩阵与二次型x T Bx=（分数：2.00）填空项1:__________________25.已知（分数：2.00）填空项1:__________________26.设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A-6E，保证kE+A是正定阵，则k的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________27.设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=-aE+A T A是正定阵，则a的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________28.设两个相互独立事件A与B至少有一个发生的概率为（分数：2.00）填空项1:__________________29.已知事件A与B相互独立，P(A)=a，p(B)=b．如果事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________30.已知事件A、B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A，B至少有一个不发生的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________31.10个同规格的零件中混入3个次品，现进行逐个检查，则查完5个零件时正好查出3个次品的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________32.设A，B，C是两两相互独立且三事件不能同时发生的随机事件，且它们的概率相等．即P(A∪B∪C)的最大值为______．（分数：2.00）填空项1:__________________33.已知甲袋有3个白球，6个黑球，乙袋有5个白球，4个黑球．先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球放回甲袋，则甲袋中白球数不变的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________34.考试时有四道单项选择题，每题附有四个答案，现随意选择每题的答案，那么至少答对一道题的概率α=______；已知答对某道题，那么确实知道解答该题的概率β=______．（分数：2.00）填空项1:__________________35.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现二次的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________36.已知每次试验“成功”的概率为p，现进行n次独立试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止一次的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________37.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于（分数：2.00）填空项1:__________________38.某种产品由自动生产线进行生产，一旦出现不合格品就立即对其进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率为0.1．那么两次调整之间至少生产3件产品的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________39.袋中有8个球，其中3个白球5个黑球，现随意从中取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止．否则将4个球放回袋中，重新抽取4个球，直到出现2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则PX=k=______(k=1，2，…)．（分数：2.00）填空项1:__________________40.假设X服从参数为λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为（分数：2.00）填空项1:__________________41.假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且X落入区间(1，2)内的概率达到最大，则λ=______．（分数：2.00）填空项1:__________________42.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布．系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作．那么到48小时为止，系统仅更换一个元件的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________43.设随机变量X～N(μ，σ2)，σ＞0，设其分布函数F(x)的曲线的拐点坐标必为______．（分数：2.00）填空项1:__________________44.已知X的概率密度f(x)=（分数：2.00）填空项1:__________________45.假设随机变量X的密度函数f(x)=(x∈R,b，c为常数)在x=1处取最大值，则概率（分数：2.00）填空项1:__________________46.设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的概率分布密度f Y(y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________47.从1，2，…，N(N＞3)这N个数中任取三个数，记这三个数中中间大小的数为X，则随机变量X的分布律PX=k= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________48.设随机变量X的概率分布PX=k)=，k=1，2，…．其中a为常数，X的分布函数为F(x)，已知F(b)=（分数：2.00）填空项1:__________________49.设X是服从参数为2的指数分布的随机变量，则随机变量Y=X-（分数：2.00）填空项1:__________________50.设随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，其分布函数为F(x)，则有F(μ+xσ)+F(μ-xσ)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________51.设随机变量X服从参数为1的指数分布，随机变量函数Y=1-e-X的分布函数为F Y(y)，则F Y(（分数：2.00）填空项1:__________________52.已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ，σ2)，如果Pmax(X，Y)＞μ=a(0＜a＜1)，则Pmin(X，Y)≤μ等于______．（分数：2.00）填空项1:__________________53.设X～N(μ，σ2)，Y～N(2μ，)，X与Y相互独立，已知PX-Y≥1=（分数：2.00）填空项1:__________________54.假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且都服从0-1分布：PX i-1=p，PX i=0=1-p(i=1，2，3，4，0＜p＜1)，已知二阶行列式的值大于零的概率等于（分数：2.00）填空项1:__________________。
考研线性代数常考题型
线性代数部分题型一：行列式的性质1． 设321,,,,γγγβα为四维列向量，),,,(321γγγα=A ，),3,,(321γγγβ=B ，3||=A ，21||=B ，求||B A +。
解答：)2,4,2,(321γγγβα+=+B A ，|2,4,2,||2,4,2,||2,4,2,|||321321321γγγβγγγαγγγβα+=+=+B A16021316316|,3,,|316|,,,|16321321=×+×=+=γγγβγγγα。
2．设B A ,都是三阶矩阵，A 相似于B ，且0|3||2|||=−=−=−A E A E A E ，求|2|1E B +−。
解答：由0|3||2|||=−=−=−A E A E A E ，得A 的特征值为31,21,1321===λλλ， 因为B A ~，所以B 的特征值为31,21,1321===λλλ，1−B 的特征值为3,2,1，于是E B 21+−的特征值为5,4,3，故60|2|1=+−E B 。
3．设2164729541732152−−−−−=D ，（1）计算D ； （2）求343331M M M ++。
解答：（1）1313100123011602121522164729541732152M A D =×=−−−=−−−−−=91230930621012311621=−=−−=。
（2）34333231343331)1(101A A A A M M M ×−+×+×+×=++3131163640001127341522164110141732152M A =×=−−−−−=−−−−−= 632393332039034153212127415363612741512−=−−=×−=−−−−=−−−−=−−−−=A 。
4．设B A ,为三阶矩阵，且B A ~，且2,121==λλ为A 的两个特征值，2||=B ，求∗−+)2()(1B OO E A 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、线性方程组与向量常考的题型有：1.向量组的线性表出，2.向量组的线性相关性，3.向量组的秩与极大线性无关组，4.向量空间的基与过渡矩阵，5.线性方程组解的判定，6.齐次线性方程组的基础解系，7.线性方程组的求解，8.同解与公共解。
四、特征值与特征向量常考的题型有：1.特征值与特征向量的定义与性质，2.矩阵的相似对角化，3.实对称矩阵的相关问题，4.综合应用。
五、二次型常考的题型有：1.二次型及其矩阵，2.化二次型为标准型，3.二次型的惯性系数与合同规范型，4.正定二次型。
2019考研数学线性代数知识点总结
【行列式】
1、行列式本质——就是一个数
2、行列式概念、逆序数
考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。
3、二阶、三阶行列式具体性计算
考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。
4、余子式和代数余子式
考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。
5、行列式展开定理
考研：核心知识点，必考!
6、行列式性质
考研：核心知识点，必考!小题为主。
7、行列式计算的几个题型
①、划三角(正三角、倒三角)
②、各项均加到第一列(行)
③、逐项相加
④、分块矩阵
⑤、找公因
这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。
考研：经常运用在找特征值中。
⑥数学归纳法
⑦范德蒙行列式
⑧代数余子式求和
⑨构造新的代数余子式
8、抽象型行列式(矩阵行列式)
①转置
②K倍
③可逆
③伴随
④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型
(这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容)
考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。
【矩阵】
1、矩阵性质
考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。
2、数字型n阶矩阵运算
①方法一：秩是1
②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵
③方法三：利用二项式定理，拆写成E+B型
④方法四：利用分块矩阵
⑤方法五：P-1AP=B;P-1APP-1AP=B2
方法五涉及相似对角化知识。
方法三涉及高中知识。
考研：常见在大题出现，是大题的第一问!看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。
3、伴随矩阵
考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、K 倍、可逆、伴随的伴随结合考察。
4、二阶矩阵的伴随矩阵
法则：主对角线互换、副对角线填负号。
考研：如果让求某个二阶矩阵的可逆矩阵，难点转化成如何计算它的伴随矩阵。
5、可逆矩阵两种求法
考研：可逆矩阵可与行列式、转置、K倍、伴随矩阵、可逆的可逆结合考察。
6、分块矩阵
考研：以小题出现
7、初等矩阵
考研：小题出现
8、正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵
考研：第二章先知道张什么模样，这部分内容在二次型、相似对角化考察。
9、秩(十个公式)
考研：把秩比作答题的第二种方法，在解决向量、方程组等相关知识点，可以用传统方法(解题速度慢)，也可用秩，解题速度是传统方法的5倍!但是难懂。
【向量】
1、几组定义(向量内积、向量的长度、单位化、正交)
考研：考单位化，但是如果想理解线性代数本质，向量内积、向量的长度要懂。
2、线性相关、无关的三大判别方法
⑴、利用行列式
⑵、向量个数维度，必相关
⑶、利用秩
考研：小题出现，很少结合其他章节知识点。
3、线性相关无关证明题三种思路
⑴、利用定义法
⑵、用秩
⑶、反证法
考研：大题考点，这部分内容可以与线性方程组结合，也可以与特征值特征向量结合，也可以与秩结合。
至于如何结合，怎么结合，请自己归纳总结。
4、线性表出四大判别方法
⑴、利用行列式
⑵、利用秩
⑶、利用定义
⑷、利用方程组
考研：可小题、可大题，但是通是大题的某一问。
5、克拉默法则
考研：服务线性表出。
6、线性表出计算题三大思路
⑴、利用克拉默法则
⑵、构建方程组，抓0思想
⑶、与向量组结合考等价。
考研：大题考点!涉及部分方程组知识和初等行变换知识。
这部分内容涉及重要的数学思想：分类讨论!!!(大题爱考) 7、线性表出证明题四个理论
考研：大题小题都有，但是近几年小题居多。
8、极大线性无关组
考研：核心考点内容和2、3知识点一样，换汤不换药9、等价向量组
考研：小题居多，很少与其它章节知识点结合。
【线性方程组】
1、基础解系
(不懂就背下来，我当时考研到10月份才茅塞顿开。
)
2、齐次线性方程组与非齐次线性方程组
⑴、常规求解
⑵、解含参数的方程组
(这部分内容最难在于化简，矩阵基础要牢固!!)
⑶、利用解的三个性质
⑷、通过矩阵运算，构造方程组再求解
考研：大题核心考点，历年考题向量和方程组会出其中一道，而方程组的出题概率高于向量!原因如下
①、解题方法多。
②、能与矩阵相关知识联系结合。
3、公共解、同解两种题型
考研：重要考点题!
【特征值与特征向量】
1、特征值相关概念与计算
考研：必考题，这里面难点不在于特征值相关知识，而在于求解行列式相关知识。
2、特殊特征值
⑴、上三角矩阵、下三角矩阵。
⑵、秩为1的矩阵
⑶、某个矩阵拆分后，利用⑴和⑵结合。
3、相似矩阵概念及性质
考研：不会单独出，但一定会结合其他题目
4、相似矩阵两种考题
如果P-1AP=B
⑴若Aλ=λa→B(P-1a)=λ(P-1a)
⑵若Ba=λa→A(Pa)=λ(Pa)
考研：这部分内容是内容5的基础，但是如果单独出考题，不太可能。
5、对角矩阵的相似问题
核心内容：“搭桥”桥是Λ。
考研：核心重点考点!
本内容需要分类讨论、需要基础解系相关知识、又可以联系特征值、特征向量，性质方面也可全面考察。
6、反对称矩阵
考研：小题
7、实对称矩阵以及正交矩阵
考研：也是重要考点，大部分知识和前面一样，不同之处在于多一个史密斯正交化。
【二次型】
1、二次型相关概念
内容和微分方程有异曲同工之妙，记忆的内容比较多，但比较简单。
考研：出小题，比如填写一个负惯性指数。
2、矩阵的等价、相似、合同
考研：出小题，一定不可能出大题的。
3、化二次型为标准型、正定问题
考研：核心重点考点，内容本身没什么难度，只是把前面所有的知识综合起来。