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(完整word版)北京初二数学知识点与常见题型总结,推荐文档
知识点复习与基本题型总结1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形这个定义包含两层意义：①四边形；②两组对边分别平行2．对角线的定义平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线3．平行四边形的性质①从边看：平行四边形的对边平行且相等②从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补③从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点4．平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．5.平行四边形的判别方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形6.平行四边形的性质与判定的区别平行四边形的性质是指平行四边形的边,角,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形7.矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形8.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质②矩形的四个角都是直角③矩形的对角线相等④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴9.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形③有三个角是直角的四边形是矩形另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形10.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半11.矩形对角线产生的三角形的特点矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形12.有关矩形面积的计算①面积公式:矩形面积=长⨯宽②如图.矩形ABCD的两条对角线相交于O,则14 ABO BCO CDO ADOS S S S S∆∆∆∆====矩形ABCDOAB CD13.菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形14.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质②菱形的四条边都相等③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴15.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②对角线互相垂直的平行四边形是菱形③四条边都相等四边形是菱形16.有关菱形的面积计算由于菱形的对角线互相垂直平分,11()22ABD CBDS S S BD OA OC BD AC ∆=+=+=⋅ABC DO也可以用平行四边形的面积计算公式=底⨯高17.正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形18.正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质①边:四边相等,对边平行②角:四个角都是直角③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45︒④正方形是轴对称图形,有四条对称轴19.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征②菱形+矩形的一条特征③平行四边形+一个直角+一组邻边相等说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形20.正方形对角线产生的三角形特点正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形21.正方形常用的辅助线添加方法①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题②有垂直时做垂线构造正方形③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件22.平行四边形,菱形,矩形,和正方形四者之间的关系对角线垂直对角线相等一个内角为直角一组邻边相等正方形菱形平行四边形矩形23.梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰梯形的高:梯形两底之间的距离叫做梯形的高等腰梯形:两腰相等的梯形直角梯形:一腰垂直于底的梯形24.梯形的判定①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行②一组对边平行但不相等的四边形是梯形25.等腰梯形的性质①两底平行,两腰相等②等腰梯形在同一底上的两个角相等③等腰梯形的两条对角线相等④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴26.等腰梯形的判定①两腰相等的梯形是等腰梯形②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)27.梯形的面积面积=（上底+下底）×高÷228．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线．梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半梯形辅助线的添法（图一） （图二） （图三）（图四） （图五） （图六）（图七） （图八）基础题型1．如图在平行四边形ABCD 中，:5:3A B ∠∠=，求这个平行四边形各内角的度数ABCD解：Q 四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，180A B ∠+∠=︒ 由于:5:3A B ∠∠=故设5A x ∠=，则3B x ∠=中点中点即53180x x +=︒解得22.5x =︒ 因此522.5112.5A ∠=⨯︒=︒，322.567.5B ∠=⨯︒=︒ ∴平行四边形各内角度数分别是112.5︒，67.5︒，112.5︒，67.5︒ ２．已知平行四边形ABCD 的周长为38cm ，AC ，BD 相交于O ，且AOB ∆的周长比BOC ∆的周长小于3cm ，如图，求平行四边形ABCD 各边的长 解：Q 四边形ABCD 为平行四边形∴OA OC =，AB CD =，BC AD =Q AOB ∆的周长＝OA OB AB ++ BOC ∆的周长＝OC OB BC ++且AOB ∆的周长比BOC ∆的周长小于3cm ∴()()3OC OB BC OA OB BC ++-++= 3BC AB ∴-=又Q 平行四边形ABCD 的周长为38cm ∴19BC AB +=∴8AB =cm ，11BC =cm ∴8CD =cm ，11AD =cm３．如图，已知：在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于E ，CF BD ⊥于F 求证：AE CF =DCBAEF证明：方法一：Q 四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB CD ∥，AB CD = ∴ABE CDF ∠=∠ Q AE BD ⊥，CF BD ⊥ ∴AEB CFD ∠=∠∴()ABE CDF AAS ∆≅∆ ∴AE CF =O DCBAEF方法二：连接AC ，交BD 于O Q 四边形ABCD 是平行四边形∴OA OC =，又AE BD ⊥，CF BD ⊥ ∴AEO CFO ∠=∠，而AOE COF ∠=∠ ∴AEO CFO ∆≅∆（AAS ）∴AE CF = ４．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AC ，CA 延长线上的点，且CE AF =，则BF 与DE 具有怎么样的位置关系？试说明理由EF ABCD解：BF DE ∥证明：方法一：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD =， ∴BAC DCA ∠=∠Q 180BAC BAF ∠+∠=︒，180ACD DCE ∠+∠=︒ ∴BAF DCE ∠=∠又Q AF CE = ∴AFB CED ∆≅∆()SAS方法二．连接BD ，交AC 于O在平行四边形ABCD 中，AO CO =，BO DO = Q AF CE = ∴OF OE =Q FOB EOD ∠=∠ ∴BOF DOE ∆≅∆（SAS ） ∴F E ∠=∠ ∴BF DE ∥OEF ABC DOEF ABCD方法三．连接BD ，交AC 于O ，连接DF ，BE 由方法二知．OF OE =，OB OD = ∴四边形BEDF 为平行四边形 ∴BF DE ∥５．如图，已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，38AC =cm ，24BD =cm ，14AD =cm ，那么OBC ∆的周长为＿＿＿＿＿ODCBA解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知14BC AD ==cm ，11241222OB BD ==⨯=cm ，11381922OC AC ==⨯=cm∴OBC ∆的周长为14121945BC OB OC ++=++=cm６．如图平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，GH AD ∥，EF 与GH 交于O ，则该图形中的平行四边形的个数共有（ ）Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ． 10FED CB AGHO由题意可知图中的平行四边形分别是：DEOH ，EAGO ，HOFC ，OGBF ，DAGH ，HGBC ，DEFC ，EABC ，DABC 所以共有9个７.如图，平行四边形ABCD 中，AF 平分DAB ∠交CD 于N ，交BC 的延长线于F ，DE AF ⊥，交AB 于M ，交CB 延长线于E ，垂足为O ，试证明：BE CF =ON MF EABCD证明：Q 四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD BC ∥，AB CD ∥，AB CD =∴DAF F ∠=∠，ADE E ∠=∠，EDC AMD ∠=∠ Q DE AF ⊥，∴90AOM AOD ∠=∠=︒ Q AF 平分DAB ∠，∴DAF BAF ∠=∠ Q OA OA = ∴AOM AOD ∆≅∆（ASA ）∴ADM AMD ∠=∠，BAF F ∠=∠，EDC E ∠=∠ ∴AB BF =，CD CE =BF CE ∴=∴BE CF =８．如图，已知：D ，E ，F 分别在ABC 的各边上，DE AF ∥，DE AF =，延长FD 到G ，使2FG FD =．求证：AG 与DE 互相平分．ABCDEFGABC D EF G证明：连接AD ，EGQ DE AF ∥，DE AF =∴四边形AEDF 是平行四边形 ∴DF AE =，DF AE ∥又Q 2FG FD =∴12DG DF FG ==∴DG AE =，而DF AE ∥ ∴四边形AEGD 为平行四边形 ∴AG 与DE 互相平分９．如图，已知D 是ABC ∆的边AB 的中点，E 是AC 上的一点DF BE ∥，EF AB ∥试说明：AE 与DF 互相平分ABCDEFABCDE F证明：连接AF ，DE Q DF BE ∥，EF AB ∥∴四边形BDFE 为平行四边形，∴EF BD = Q D 是AB 中点 ∴BD AD =∴AD EF =，AD EF ∥ ∴四边形ADEF 为平行四边形 ∴AE 与DF 互相平分10．如图，点M ，N 分别在平行四边形ABCD 的边BC ，AD 上，且BM DN =，ME BD ⊥，NF BD ⊥，垂足分别为E ，F ，求证：MN 与EF 互相平分MNABCDEF MNABCDE F证明：连接EN ，MFQ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC AD ∥，∴CBD ADB ∠=∠Q 90MEF NFE ∠=∠=︒，90MEB NFD ∠=∠=︒ ∴ME NF ∥Q BM DN = ∴BME DNF ∆≅∆()AAS∴ME NF =∴四边形EMFN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴MN 与EF 互相平分11．如图，AF 与BE 互相平分，交点为M ，EC 与DF 互相平分，交点为N ，那么，四边形ABCD 是平行四边形么？你是怎么判定的？NM EFABCDNM EFABCD解：四边形ABCD 是平行四边形证明：连接AE ，BF ，EF ，DE ，CF Q AF 与BE 互相平分∴四边形ABFE 是平行四边形 ∴EF AD ∥，EF AD = Q EC 与DF 互相平分∴四边形BCEF 是平行四边形 ∴EF BC ∥，EF BC = ∴AD BC =，AD BC ∥∴四边形ABCD 是平行四边形12.如图，已知BE ,CF 是ABC ∆的高，D 是BC 的中点．求证：DE DF =ABCDEF证明：Q BE ，CF 是ABC ∆的高，∴BFC ∆，BEC ∆均为直角三角形 Q D 是BC 的中点∴DF 是Rt BFC ∆斜边上的中线，DE 是Rt BEC ∆斜边上的中线∴12DF BC =，12DE BC =∴DE DF =13.如图，先将矩形纸片ABCD 对折一次折痕为EF ，展开后又将纸片折叠使点A 落在EF 上，此时折痕为BM ，求NBC ∠度数的大小MNABCDEF GFEDCBAN M提示：根据题意得111222AE BE DF FC CD AB BN ======过点N 作NG BC ⊥，垂足为G则12NG BN =，∴30NBC ∠=︒（直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）14.过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF AC ⊥分别交AB ，DC 于E ,F ，点G 为AE 的中点，若30AOG ∠=︒，求证：13OG DC =GFEAB CDOODCBAEFG证明：连接CEQ 四边形ABCD 是矩形 ∴OA OC = Q EF AC ⊥∴EF 是线段AC 的垂直平分线 ∴EA EC =Q 30AOG ∠=︒ ∴60ACB ∠=︒，30OCE ∠=︒∴30BCE ∠=︒ ∴12BE EC =Q G 是AE 中点∴1122OG AG GE AE CE ==== ∴OG AG GE EB ===∴13OG DC =15.在矩形ABCD ，6AB =,8BC =，将矩形折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，在展开，求折痕EF 的长FEDCBAO解：Q 6AB =,8BC = ∴由勾股定理可得10AC =根据题意有AF CF =，设AF CF x ==，8BF x =-由勾股定理222AB BF AF +=，即2226(8)x x +-= 解得254x = ∴254FC =Q 2575642AFCE S CF AB =⨯=⨯=Y ，12AFCE S AC EF =⨯Y ∴152EF =（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） 16．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分BAD ∠，120AOD ∠=︒，求AEO ∠的度数EODC BA答案：提示ABE ∆为等腰直角三角形，OAB ∆为等边三角形，OBE ∆为等腰三角形 30OBE ∠=︒，75OEB ∠=︒，754530OEA ∠=︒-︒=︒17.如图，MN 为过Rt ABC ∆的直角顶点A 的直线，且BD MN ⊥于D ，CE MN ⊥于点E ，AB AC =，F 为BC 的中点，求证：DF EF =ABCDEFNMABCDEFNM证明：连接AFQ ABC ∆为直角三角形，F 为斜边BC 的中点 ∴BF AF CF ==Q 90BAC ∠=︒ ∴90BAM NAC ∠+∠=︒ Q BD MN ⊥，CE MN ⊥∴90BAM DBA ∠+∠=︒，90BDA AEC ∠=∠=︒∴DBA EAC ∠=∠，又Q AB AC = ∴DBA EAC ∆≅∆（AAS ）∴DB AE =Q AB AC =，90BAC ∠=︒，F 为BC 的中点 ∴45ABC FAC ∠=∠=︒∴DBA ABC CAF CAN ∠+∠+∠+∠，即DBF FAE ∠=∠又Q DB AE =，AF BF = ∴DBF EAF ∆≅∆（SAS ）∴DF EF =总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线18．如图E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分GHA BC DEFFEDCBAHG证明：Q 四边形ABCD 是菱形∴BAC DAC ∠=∠ Q AC EG ⊥，AH AH = ∴AHE AHG ∆≅∆（ASA ）∴AE AG = Q 12AE AD =∴12AG AB = Q AD BC ∥ ∴F AEG ∠=∠Q BGF AGE ∠=∠ ∴AGE BGF ∆≅∆（AAS ） ∴EG FG =，AG GB = 即AB 与EF 互相平分方法二：连接AF ，BE由12AE AD =，12AG AB =得AGE AEG BGF BFG ∠=∠=∠=∠，则AE AG BG BF === ∴AE BF ∥且AE BF =∴四边形AFBE 为平行四边形 ∴AB 与EF 互相平分19．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，交BC 于点D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ．求证：四边形CDEF 是菱形 ABCDEFH证明：Q AD 是A ∠的平分线 ∴CAD EAD ∠=∠ Q 90ACB ∠=︒，CH AB ⊥∴90CAD CDA ∠+∠=︒，90FAH AFH ∠+∠=︒ ∴CDA AFH ∠=∠ Q AFH CFD ∠=∠∴CFD CDF ∠=∠ ∴CF CD =Q AD 是A ∠的平分线，CD AC ⊥，DE AB ⊥ ∴CD DE = ∴CF DE = Q CH AB ⊥，DE AB ⊥∴CH DE ∥∴四边形CFED 是平行四边形Q CD CF = ∴平行四边形CFED 是菱形20．菱形ABCD 中，120DAB ∠=︒，如果它的一条对角线长为12cm ，求菱形ABCD 的边长 解：AB CDODCBA若对角线12AC =cm ，如图Q 四边形ABCD 为菱形，且120DAB ∠=︒∴60DAC BAC ∠=∠=︒则ADC ∆为等边三角形 ∴菱形ABCD 的边长为12cm 若对角线12BD =cm ，如图Q 四边形ABCD 为菱形，且120DAB ∠=︒∴60DAC BAC ∠=∠=︒则ADC ∆为等边三角形 又Q OD OB =∴6OD OB ==cm 设OA x =，2AD x =， 由勾股定理可得222(2)6x x =+，解得23x =，∴43AD =cm 综上所述：菱形ABCD 的边长为12cm 或43cm22．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，F 是BC 上的一点，且3BF FC = 求证：AE EF ⊥ABCDEFABCDEF证明：连接AF ，设FC k =，则4BC k =Q 四边形ABCD 是正方形 ∴90B C D ∠=∠=∠=︒，4AB BC CD AD k ==== Q E 为CD 中点 ∴2DE EC k ==在Rt ABF ∆中，222225AF AB BF k =+= 在Rt ECF ∆中，22225EF EC FC k =+= 在Rt ADE ∆中，222220AE AD DE k =+= 则222AE EF AF +=，∴AEF ∆是直角三角形∴90AEF ∠=︒ ∴AE EF ⊥（到初三的时候此题还有额外的证明方法）23．如图，过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE BC ⊥于E ，作PF CD ⊥于F ，连接AP ，EF ．求证：AP EF =，AP EF ⊥FEPABCDH DCBAPEF证明：连接PC ，延长AP 交EF 于点HQ 四边形ABCD 是正方形∴45ABP CBP ∠=∠=︒，AB BC =Q BP BP = ∴ABP CBP ∆≅∆（SAS ） ∴AP CP =，BAP BCP ∠=∠Q PE BC ⊥，PF CD ⊥，BC CD ⊥∴四边形PECF 为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形） ∴PC EF = ∴PA EF =Q PF EC =，90EPF PEC ∠=∠=︒ ∴PEF EPC ∆≅∆（HL ）∴PFE PCE ∠=∠ ∴PFE BAP ∠=∠Q AB BC ⊥，PE BC ⊥ ∴AB PE ∥ ∴BAP EPH ∠=∠Q 90PFE PEH ∠+∠=︒ ∴90EPH PEH ∠+∠=︒ ∴AP EH ⊥24．如图正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN DM ⊥，BN 平分CBE ∠，交MN 于N 求证：DM MN =NABCDEMFM EDCBAN证明：取线段AD 的中点F ，连接FM Q 四边形ABCD 为正方形∴AB AD =，90A ABC ∠=∠=︒ Q F 为AD 中点，M 为AB 中点 ∴DF AF AM MB ===∴45AFM AMF ∠=∠=︒ ∴135DFM ∠=︒ Q BN 平分CBE ∠ ∴45CBN EBN ∠=∠=︒ ∴135MBN ∠=︒ ∴DFM MBN ∠=∠ Q DM MN ⊥ ∴90DMA NMB ∠+∠=︒Q 90DMB ADM ∠+∠=︒ ∴ADM MBN ∠=∠在DMF ∆与MNB ∆中MDF NMB DF MB DFM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DMF MNB ∆≅∆()ASA ∴DM MN =思考：若点M 是线段AB 上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？M EDCB ANFM EDCBAN请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了25．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF BC ⊥，求证：梯形ABCD 为等腰梯形AB CDEF M NAB CDEF证明：过E 分别作AB ，DC 的平行线交BC 于M ，N ，易知四边形ABME 和四边形DCNE都是平行四边形∴AE BM =，DE NC =，AB EM =，DC EN =Q E ，F 分别是AD ，BC 的中点 ∴AE DE =，BF CF =∴BM CN = ∴BF BM CF NC -=- ∴MF NF ⊥Q EF BC ⊥ ∴EM EN = ∴EF 是线段MN 的垂直平分线 ∴ME NE = ∴AB CD = 故梯形ABCD 是等腰梯形26．已知等腰梯形ABCD 中，AB CD =，60B ∠=︒，15AD =cm ，49BC =cm ，求它的腰长DC B AEAB CD解：方法一：过点A 作AE DC ∥，交BC 于点E Q AD BC ∥ ∴四边形AECD 为平行四边形∴AD EC =，DC AE =Q AB DC = ∴AE AB = Q 60B ∠=︒ ∴四边形ABCD 为等边三角形∴BE AB = Q 15AD =，49BC = ∴491534BE BC CE BC AD =-=-=-= ∴34AB CD ==cm方法二MNABCD过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，过点D 作DN BC ⊥，垂足为N Q 四边形ABCD 为等腰梯形 ∴AB CD =，B C ∠=∠ Q 90AMB DNC ∠=∠=︒ ∴ABM DCN ∆≅∆（AAS ） ∴BM CN =Q 90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒∴四边形AMND 为矩形 ∴AD MN = 49BC =Q ，15AD =∴11()(4915)1722BM CN BC AD ==-=-=Q 60B ∠=︒ ∴30BAM ∠=︒ ∴234AB BM ==cm27．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，点E 是BC 的中点求证：①DE AB ∥ ②1()2DE AB AC =-ABCD EFE DCBA证明：①延长CD 交AB 于点FQ AD CD ⊥，∴90ADC ADF ∠=∠=︒ Q AD 平分BAC ∠ ∴DAC DAF ∠=∠ Q AD AD =∴ADC ADF ∆≅∆（ASA ）（AD 又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”） ∴AC AF =，FD DC = Q 点E 是BC 的中点∴DE 是三角形CBF ∆的中位线∴DE BF ∥，12DE BF =②Q AB AF BF -=∴BF AB AC =-∴1()2DE AB AC =-28．如图，在梯形ABCD 中，DC AB ∥，BC DC AB =+，E 是AD 中点 求证：90CEB ∠=︒ABCDEABCDEF证明：取BC 中点F ，连接EF 由梯形中位线性质可知EF DC AB ∥∥且1()2EF DC AB =+Q BC DC AB =+ ∴2EF BC = ∴EF CF FB == ∴90CEB ∠=︒ 基础知识达标一、精心选一选（每小题3分，共30分）1、在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）A ．1：2：3：4B ．1：2：2：1C ．2：2：1：1D ．2：1：2：1 2、菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线互相平分且相等 3、下列命题中的假命题是（ ）A ．等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B ．对角线相等的四边形是等腰梯形C ．等腰梯形是轴对称图形D ．等腰梯形的对角线相等 4、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（ ）A ．AO ＝OC ，OB ＝OD B ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD C ．AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD D ．AO ＝OC ＝OB ＝OD 5、给出下列四个命题⑴一组对边平行的四边形是平行四边形 ⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形中 点中 点中 点⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。
初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题知识分享
初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n ，则多边形的对角线条数为2)3(-n n 。
二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补； （2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ； ②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形ABDOC③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤方法4： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 三、矩形1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 矩形性质①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．3. 矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等识别矩形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等． ③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． 4. 矩形的面积① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ． 四、菱形1. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2021年整理)人教版八年级下册数学平行四边形知识点归纳及练习
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平行四边形复习 3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（5。
矩形的性质：因为ABCD 是矩形⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ABDOCA D BCAD BCO6. 矩形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321四边形ABCD 是矩形。
7．菱形的性质： 因为ABCD 是菱形⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（ 8．菱形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形。
9．正方形的性质： 因为ABCD 是正方形⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ CDAB（1）A BCD O（2）（3)CDBAOCDBAOADBCADB CO10．正方形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形ABCD 是正方形。
(完整word)八年级下册平行四边形专题
平行四边形专题专题笔记（一）平行四边形的定义及性质1. 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2.平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：平行四边形的对边相等平行四边形的对边平行（2）角的性质：平行四边形的对角相等（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分（4）平行四边形是中心对称图形（二）平行四边形的判定:1.平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（注意：①必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。
②有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形）2.两条平行线间的距离的定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等（三）三角形的中位线1.三角形中位线的定义：连接三角线两边中点的线段叫做三角形的中位线2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角线的第三边，且等于第三边的一半（要区别三角形中位线和中线不要搞混淆了，说的是中位线与第三边的位置关系，中位线与第三边的数量关系）（四）多边形的内角与外角和1.多边形及正多边形（1）多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
（2）多边形的分类：多边形按组成它的线段的条数分为三边形（三角形）、四边形、五边形……由n条线段组成的多边形叫做n边形（3）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线（4）正多边形：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形2.多边形的内角和与外角和（1）多边形的内角和：n变形的内角和等于（n-2）*180°（n≥3）（2）多边形的外角和：多边形的外角和等于360°（3）多边形的对角线有：(3)2n n专题强化训练。
(完整word版)新浙教版数学八年级下册平行四边形复习
课题 平行四边形复习知识点一：平行四边形的定义 知识点二：平行四边形的性质1.从边看：平行四边形两组对边平行且相等； 2．从角看：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．从对角线看：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；5．若一条直线过平行四边形的两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中心，且这条直线二等分平行四边形的面积。
如下图：有OE=OF ，且四边形AFED 的面积等于四边形FBCE 的面积；6. 平行四边形的对角线分平行四边形为四个等积的三角形。
例题讲解：1．如图，的对角线和交于，，，，则△的周长是（ ）．A ．56B ．45C ．51D ．59 2．中的对角线，相交于点，，，则取值范围 ( ）．A ．B ．C ．D ． 3．的周长为，，，与的距离，的面积＝__________．4. 平行四边形相邻的两个角的平分线所成的角是（ ）．A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不确定 5. 如果的的平分线交于，且，则的度数为（ ）．A ．B ．C ．D ．或6．在中，为的中点，若，则和的夹角的度数是（ ）．A ．100B ．95C ．90D ．857. 从平行四边形的一个锐角顶点作它所对两边的高线，如果这两条高线夹角为，则这个平行四边形的内角为______________．ABCD AC BD O 24=AC 38=BD 28=AD BOC ABCD AC BD O 10=AC 8=BD AD 1>AD 9<AD 91<<AD 0>AD ABCD 6cm 3ο60=∠B 6cm =AB AD BC ______=AE ABCD ABCD BAD ∠BC E BE AE =BAE ∠ο30ο60ο120ο60ο120ABCD M CD AD DC 2=AM BM ο135知识点三：1、从边上看（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
八年级初二数学 平行四边形知识归纳总结及解析
八年级初二数学 平行四边形知识归纳总结及解析一、选择题1．如图，将5个全等的阴影小正方形摆放得到边长为1的正方形ABCD ，中间小正方形的各边的中点恰好为另外4个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为2a b -（a 、b 为正整数），则+a b 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．如图，菱形ABCD 中，4, 120AB ABC =∠=，点E 是边AB 上一点，占F 在BC 上，下列选项中不正确的是( )A ．若4AE CF +=，则ADE BDF ∆∆≌B ．若, DF AD DE CD ⊥⊥， 则23EF =C ．若DEB DFC ∠=∠,则BEF ∆的周长最小值为423+D ．若DE DF =，则60ADE FDC ︒∠+∠=3．如图，正方形ABCD 的边长为2a ，点E 从点A 出发沿着线段AD 向点D 运动(不与点A 、D 重合)，同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动(不与点D 、C 重合)，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 中点，则有下列结论：①∠BGF 是定值；②BF 平分∠CBE ；③当E 运动到AD 中点时，GH=52a ；④当C △AGB = (2)6a +时，S 四边形GEDF =16a 2 ，其中正确的是( )A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①④4．如图，四边形,ABCD AD 与BC 不平行，AB CD =．,AC BD 为四边形ABCD 的对角线，,,E F ,G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点下列结论：①EG FH ⊥；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分;EHG ∠④()1 2EG BC AD =-；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE PE =；②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．26．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PD ＝2，下列结论：①EB ⊥ED ；②∠AEB ＝135°；③S 正方形ABCD ＝5+2；④PB ＝2；其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③7．如图，正方形ABCD （四边相等、四内角相等）中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE ＝FC ＝4，BE ＝DF ＝3，则EF 的平方为（ ）A ．2B ．125C ．3D ．48．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（ ）A ．222-B ．222+C ．252-D ．22+9．如图，矩形ABCD 和矩形CEFG ，AB ＝1，BC ＝CG ＝2，CE ＝4，点P 在边GF 上，点Q 在边CE 上，且PF ＝CQ ，连结AC 和PQ ，M ，N 分别是AC ，PQ 的中点，则MN 的长为（ ）A ．3B ．6C 37D 17 10．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．13．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．15．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．19．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．22．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．23．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度；（2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．24．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．25．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论； （3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．26．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ． （1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．27．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：①M 点的坐标为 ．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．28．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,3BC AD ==EF 的长.29．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
(完整word版)初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题(4),推荐文档
平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n ，则多边形的对角线条数为2)3(-n n 。
二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法． 2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ； ②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ⑤方法4： 对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 矩形性质①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角； ③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．3. 矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等识别矩形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角．4. 矩形的面积① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．四、菱形 1. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
八年级下平行四边形专题汇总
八年级平行四边形专题汇总一、平行四边形与等腰三角形专题例题1已知：如图.平行四边形ABCD中.E为AD的中点.BE的延长线交CD的延长线于点F．（1）求证：CD=DF；（2）若AD=2CD.请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形．训练一1．如图.在▱ABCD中.分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF.延长CB交AE于点G.点G在点A、E之间.连接CE、CF.EF.则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④2．如图.四边形ABCD是平行四边形.△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称.AD和B′C相交于点O.连接BB′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：△AB′O≌△CDO．3.如图.已知AD和BC交于点O.且△OAB和△OCD均为等边三角形.以OD和OB为边作平行四边形ODEB.连接AC、AE和CE.CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．4.如图.已知：平行四边形ABCD中.∠BCD的平分线CE交边AD于E.∠ABC的平分线BG交CE于F.交AD于G．求证：AE=DG．二、平行四边形与面积专题例题2 已知平行四边形ABCD.AD=a.AB=b.∠ABC=α．点F 为线段BC 上一点（端点B.C 除外）.连接AF.AC.连接DF.并延长DF 交AB 的延长线于点E.连接CE ．（1）当F 为BC 的中点时.求证：△EFC 与△ABF 的面积相等；（2）当F 为BC 上任意一点时.△EFC 与△ABF 的面积还相等吗？说明理由．训练二1. 如图.过▱ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH.那么图中的▱AEMG 的面积S 1与▱HCFM 的面积S 2的大小关系是（ ）A. S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1=S 2 D ．2S 1=S 22．农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物.现需将该实验田划成四个平行四边形地块（如图）.已知其中三块田的面积分别是14m 2.10m 2.36m 2.则第四块田的面积为3．如图.AE ∥BD.BE ∥DF.AB ∥CD.下面给出四个结论：（1）AB=CD ；（2）BE=DF ；（3）S ABDC =S BDFE ；（4）S △ABE =S △DCF ．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4．在面积为15的平行四边形ABCD 中.过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E.作AF 垂直于直线CD 于点F.若AB=5.BC=6.则CE+CF 的值为（ ）A ．231111+B ．231111-C ．231111+或231111-D ．231111+或231+5.平行四边形ABCD 的周长为20cm.AE ⊥BC 于点E.AF ⊥CD 于点F.AE=2cm.AF=3cm.求ABCD 的面积．6．如图.四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P.过点P 作直线交AD于点E.交BC 于点F ．若PE=PF.且AP+AE=CP+CF ．（1）求证：PA=PC．（2）若BD=12.AB=15.∠DBA=45°.求四边形ABCD的面积．7．如图.平行四边形ABCD中.AB：BC=3：2.∠DAB=60°.E在AB上.且AE：EB=1：2.F是BC的中点.过D分别作DP⊥AF于P.DQ⊥CE于Q.则DP：DQ等于（）A．3：4 B．13：5 C．13：6 D．13：5三、平行四边形与角度专题例题3 如图.在平行四边形ABCD中.∠BAD=32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF.使BE=BC.DF=DC.∠EBC=∠CDF.延长AB交边EC于点G.点G在E、C两点之间.连接AE、AF．（1）求证：△ABE≌△FDA；（2）当AE⊥AF时.求∠EBG的度数．训练三1.如图.将一平行四边形纸片ABCD沿AE.EF折叠.使点E.B′.C′在同一直线上.则∠AEF=度．2.如图.已知平行四边形ABCD.DE是∠ADC的角平分线.交BC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）若BE=CE.∠B=80°.求∠DAE的度数．3.如图.E、F是▱ABCD对角线AC上的两点.且BE∥DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）∠1=∠2．四、平行四边形与线段专题例题4 如图.ABCD为平行四边形.AD=2.BE∥AC.DE交AC的延长线于F点.交BE于E点．（1）求证：EF=DF；（2）若AC=2CF.∠ADC=60°.AC⊥DC.求DE的长．训练四1. 如图.□ABCD的对角线相交于点O.过点O任引直线交AD于E.交BC于F.则OE OF（填“＞”“=”“＜”）.并说明理由．2．如图.在▱ABCD中.对角线AC、BD相交于点O.如果AC=14.BD=8.AB=x.那么x的取值范围是3．已知：如图.在▱ABCD中.∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E.DF与AE 相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10.AB=6.AE=4.求DF的长．4. 如图.已知△ABC是等边三角形.点D、F分别在线段BC、AB上.∠EFB=60°.DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF.求证：AE=AD．5．如图.E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点.且AE=CF.AF和BE相交于点G.DF和CE相交于点H.求证：EF和GH互相平分．6．已知：平行四边形ABCD中.对角线AC、BD相交于点O.BD=2AD.E.F.G分别是OC.OD.AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．7. 如图.▱ABCD 中.点E 在边AD 上.以BE 为折痕.将△ABE 向上翻折.点A 正好落在CD 上的F 点.若△FDE 的周长为8 cm.△FCB 的周长为20 cm.则FC 的长为 cm ．8. 如图.已知：在△ABC 中.∠BAC=90°.延长BA 到点D.使AD=21AB.点G 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点．求证：DF=BE ．五、三角形中位线专题例题5 如图.△ABC 的周长为26.点D.E 都在边BC 上.∠ABC的平分线垂直于AE.垂足为Q.∠ACB 的平分线垂直于AD.垂足为P.若BC=10.则PQ 的长为（ ）A ．23B ．25 C ．3 D ．4 训练五1. 如图.AB ∥CD.E.F 分别为AC.BD 的中点.若AB=5.CD=3.则EF 的长是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．如图.在四边形ABCD 中.点P 是对角线BD 的中点.点E 、F 分别是AB 、CD 的中点.AD=BC.∠PEF=30°.则∠PFE 的度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°3．如图.D 是△ABC 内一点.BD ⊥CD.AD=6.BD=4.CD=3.E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点.则四边形EFGH 的周长是（ ）A ．7B ．9C ．10D ．11六、平行四边形综合探究专题例题6如图所示.在□ABCD中.AB＞BC.∠A与∠D的平分线交于点E.∠B与∠C的平分线交于F点.连接EF．（1）延长DE交AB于M点.则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条？说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”.其它条件不变.EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论．训练六1.如图.分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE.F为AB的中点.DE.AB相交于点G.若∠BAC=30°.下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是2．如图所示.△ABC为等边三角形.P是△ABC内任一点.PD∥AB.PE∥BC.PF∥AC.若△ABC的周长为12.则PD+PE+PF=3.如图.▱ABCD中.对角线AC与BD相交于点E.∠AEB=45°.BD=2.将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内.若点B的落点记为B′.则DB′的长为4．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点.点D是平面内任意一点.若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形.则在平面内符合这样条件的点D有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5.在平行四边形ABCD中.E是AD上一点.AE=AB.过点E作直线EF.在EF上取一点G.使得∠EGB=∠EAB.连接AG．（1）如图①.当EF与AB相交时.若∠EAB=60°.求证：EG=AG+BG；（2）如图②.当EF与CD相交时.且∠EAB=90°.请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系.并证明你的结论．6. 在▱ABCD中.对角线AC、BD相交于点O.直线EF过点O.分别交AD、BC于E、F.如图①（1）求证：AE=CF；（2）将图①中▱ABCD沿直线EF折叠.使得点A落在A1处.点B落在B1处.如图②设FB1交CD于点G.A1B1分别交CD、DE于点P、Q.求证：EQ=FG．7．如图1.在四边形ABCD中.AB=CD.E、F分别是BC、AD的中点.连接EF并延长.分别与BA、CD的延长线交于点M、N.则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中.连接BD.取BD的中点H.连接HE、HF.根据三角形中位线定理.证明HE=HF.从而∠1=∠2.再利用平行线性质.可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2.在四边形ADBC中.AB与CD相交于点O.AB=CD.E、F分别是BC、AD的中点.连接EF.分别交DC、AB于点M、N.判断△OMN的形状.请直接写出结论；问题二：如图3.在△ABC中.AC＞AB.D点在AC上.AB=CD.E、F分别是BC、AD的中点.连接EF并延长.与BA的延长线交于点G.若∠EFC=60°.连接GD.判断△AGD的形状并证明．。
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平行四边形复习1 •四边形的内角和与外角和定理：(1)四边形的内角和等于360 °;(2)四边形的外角和等于360° .2.多边形的内角和与外角和定理：(1)n边形的内角和等于(n-2)180 ° ;(2)任意多边形的外角和等于360° .3 •平行四边形的性质:因为ABCD是平行四边形⑴两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;⑶两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分；(5) 邻角互补.4.平行四边形的判定:(1) 两组对边分别平行(2) 两组对边分别相等(3) 两组对角分别相等ABCD是平行四边形(4) 一组对边平行且相等(5) 对角线互相平分5.矩形的性质:(1)具有平行四边形的所有通性; 因为ABCD是矩形(2四个角都是直角；(3)对角线相等.D C6.矩形的判定：(1)平行四边形一个直角(2)三个角都是直角四边形ABCD是矩形.(3)对角线相等的平行四边形D C两条对称轴练习:、填空：（每小题2分，共24分） 1、对角线 ________ 平行四边形是矩形2、如图⑴已知 0是口ABCD 的对角线交点，AC = 24, BD = 38, AD = 14,那么△ OBC 的周长等A (3)D•/ ABCD 是梯形且 AD// BC••• AC =BD/ ••• ABCD 四边形是等腰梯形 B CA14.三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且 等于它的一半. B C15.梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半. B D C C^\BA B 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方 形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线 定理：中心对称的有关定理 ※「关于中心对称的两个图形是全等形 • 探2•关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 探3•如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 三公式: 1 • S 菱形=1 ab=ch. （a 、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长 22. S 平行四边形=ah. a 为平行四边形的边， h 为a 上的高） ,h 为c 边上的高） 13. S 梯形=一 （a+b ） h=Lh. （a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高 2 四常识： 丄为梯形的中位线） ※一若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是:2•规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似” n (n 3)2 3•如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系 4・常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形;仅是中心对称图形的有：平行四边形 ;是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆注意：线段有⑷3、 在平行四边形 ABCD 中，/ C = / B+ / D,则/ A = _____ ，/ D = _______ 。
八年级数学下册《平行四边形》知识总结(含答案)
1 第六章 平行四边形
一、平行四边形的性质
1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形的邻角互补
（3）平行四边形的对角相等
（4）平行四边形的对角线互相平分。
二、平行四边形的判定
1、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（4）定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
3、平行四边形的面积：S 平行四边形=底×高=ah
三、三角形的中位线
1、概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线）
2、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
四、多边形的内角和与外角和
1、多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
2、正多边形的每个内角都等于n
n 0
180)2(•-。
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平行四边 形 复 习1．四边形的内角和与外角和定理： A（ 1 ）四边形的内角和等于 360 °；D（ 2 ）四边形的外角和等于360 ° .2．多边形的内角和与外角和定理：BC（ 1 ） n 边形的内角和等于 (n-2)180 °； （ 2 ）任意多边形的外角和等于360 ° .3．平行四边形的性质：（）两组对边分别平行； 1（ ）两组对边分别相等；2因为 ABCD 是平行四边形 （ ）两组对角分别相等；3（4）对角线互相平分；（5）邻角互补 .4. 平行四边形的判定：（）两组对边分别平行1（ ）两组对边分别相等2（ ）两组对角分别相等 ABCD 是平行四边形 .3（ ）一组对边平行且相等4（ ）对角线互相平分55. 矩形的性质：（1）具有平行四边形的所 有通性 ;因为 ABCD 是矩形 （2）四个角都是直角 ;（3）对角线相等 .6. 矩形的判定：（1）平行四边形 一个直角（2）三个角都是直角四边形 ABCD 是矩形 .（3）对角线相等的平行四 边形A 4D 3 1 2 BCDCOABD COABD COA B DCA BD COA BDCA B7．菱形的性质：因为 ABCD是菱形（1）具有平行四边形的所有通性；（2）四个边都相等；（3）对角线垂直且平分对角.DOA CB8．菱形的判定：（1）平行四边形一组邻边等（2）四个边都相等四边形四边形ABCD是菱形 . （3）对角线垂直的平行四边形9．正方形的性质：因为 ABCD是正方形（1）具有平行四边形的所有通性；（2）四个边都相等，四个角都是直角；（3）对角线相等垂直且平分对角.DOA CBD C D COA B （ 1） A B （ 2）（ 3）10．正方形的判定：（）平行四边形一组邻边等一个直角1（2）菱形一个直角四边形 ABCD是正方形 . （3）矩形一组邻边等D(3) C A B∵ABCD是矩形又∵ AD=AB∴四边形ABCD是正方形11．等腰梯形的性质：（1）两底平行，两腰相等；因为 ABCD是等腰梯形（2）同一底上的底角相等；（3）对角线相等.12．等腰梯形的判定：A DOB C（1）梯形两腰相等（2）梯形底角相等四边形ABCD是等腰梯形（3）梯形对角线相等(3)ADOBC∵ ABCD 是梯形且 AD ∥ BC∵ AC=BD∴ ABCD 四 形是等腰梯形14．三角形中位 定理：三角形的中位 平行第三 ，并且等于它的一半 .15．梯形中位 定理：梯形的中位 平行于两底，并且等于两底和的一半 .一 基本概念： 四 形，四 形的内角，四 形的外角，多 形，平行 的距离，平行四 形，矩形，菱形，正方形，中心 称，中心 称 形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位 ，梯形中位.二 定理： 中心 称的有关定理 ※ 1．关于中心 称的两个 形是全等形.※ 2．关于中心 称的两个 形， 称点 都 称中心，并且被 称中心平分.※ 3．如果两个 形的 点 都 某一点，并且被 一点平分，那么 两个 形关于 一点 称 .三 公式：1． S 菱形 = 1ab=ch. （ a 、 b 菱形的 角,c 菱形的 ， h c 上的高）22． S 平行四 形=ah. a平行四 形的 ，ha 上的高）3． S 梯形 = 1（ a+b ） h=Lh. （ a 、 b 梯形的底，h 梯形的高,L 梯形的中位 ）2四 常 ：※ 1．若 n 是多 形的 数， 角 条数公式是：n ( n3).2矩 正 菱 方 形形形2． 形折叠一般“出一 全等，一 相似”.3．如 ：平行四 形、矩形、菱形、正方形的从属关系平行四边形.4．常 形中， 是 称 形的有：角、等腰三角形、等 三角形、正奇 形、等腰梯形 ⋯⋯ ；是中心 称 形的有：平行四 形 ⋯⋯ ；是双 称 形的有： 段、矩形、菱形、正方形、正偶形、 ⋯⋯ . 注意： 段有两条 称 .练习：一、填空：（每小题 2 分，共 24 分）1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。
八年级初二数学平行四边形知识归纳总结及答案
八年级初二数学平行四边形知识归纳总结及答案一、解答题1．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题: （1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．2．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）3．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．=；（1）求证：GF GC（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．4．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．∆沿BE折叠，点A的对应点为点5．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABEG．图1 图2（1）填空：如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是________；（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F．=+．①求证：BF AB DFAD=，试探索线段DF与FC的数量关系．②若36．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直、重合)，另一直角边与角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A B∠的平分线BF相交于点F．CBM(1)求证: ADE FEM∠=∠;(2)如图(1)，当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．8．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E与点D重合时，BF的长为；（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE=1，求BF的长；（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N.）（3）当点E在直线AD上时，若AE=4，请直接写出BF的长.9．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ． （1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM10．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝ ； （2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长； （3）若AG ＝517，请直接写出此时DE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒ 【分析】（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似; （2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题． 【详解】解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥） 理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒, ∴∠ABC=∠ACB=45︒, ∵∠BAC=∠DAF, ∴∠BAD=∠CAF, 在△BAD 和△CAF 中,BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）, ∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒, ∵∠ACB=45︒, ∴∠FCB=90︒, ∴CF ⊥BD,CF=BD, 故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立． 理由:由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒． ∵∠BAC=90︒, ∴∠DAF=∠BAC, ∴∠DAB=∠FAC, 又AB=AC,∴△DAB ≌△FAC （SAS ）, ∴CF=BD,∠ACF=∠ABD, ∵∠BAC=90︒,AB=AC,∴∠ACF=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF⊥BD．（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF⊥BD．理由:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG,由（1）可知:△GAD≌△CAF,∴∠ACF=∠AGD=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,即CF⊥BD．故答案为45︒．【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．2．（1）BC⊥CF，CF+CD=BC；（2）CF⊥BC，CF﹣CD=BC，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ， ∴∠BAD =∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°， ∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ， ∵BD +CD =BC ， ∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ． （2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ． 理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°， ∴∠ACB =∠ABC =45°， ∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ， ∴∠BAD =∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°， ∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ， ∴BC +CD =CF ，∴CF ﹣CD =BC ； （3）如图3中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°， ∴∠ACB =∠ABC =45°， ∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ， ∴∠BAD =∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5， ∵∠ABC =45°， ∴∠ABD =135°， ∴∠ACF =∠ABD =135°， ∴∠FCD =135°﹣45°=90°， ∴△FCD 是直角三角形． ∵OD =OF ， ∴DF =2OC =13，∴Rt △CDF 中，CD 2222135DF CF -=-12， ∴BC =DC ﹣BD =12﹣5=7， ∴AB =AC =722， ∴S △ABC 1272492224=⨯=． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BAD ≌△CAF 是解本题的关键．3．（1）详见解析；（2）2BH AE =，理由详见解析 【分析】1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =，得结论；【详解】证明：（1）如图1，连接DF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒， ∵点A 关于直线DE 的对称点为F ， ∴ADE ∆≌FDE ∆，∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒， ∴90DFG ∠=︒， 在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，∵DF DC DG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），∴GF GC =；（2）2BH AE =，理由是：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，∵AD AB =， ∴DM BE =，由（1）知：12∠=∠，34∠=∠， ∵90ADC ∠=︒，∴123490∠+∠+∠+∠=︒， ∴222390∠+∠=︒， ∴2345∠+∠=︒， 即45EDG ∠=︒， ∵EH DE ⊥，∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形， ∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =， ∴1BEH ∠=∠， 在DME ∆和EBH ∆中，1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DME ∆≌EBH ∆ ∴EM BH =，Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，∴EM =，∴BH ；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．4．（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45° 【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠OAF ＝∠OCE ，OA ＝OC ，进而判断出△AOF ≌△COE ，即可得出结论；（2）先判断出∠BAC ＝∠AOF ，得出AB ∥EF ，即可得出结论；（3）先求出AC ＝2，进而得出A ＝1＝AB ，即可判断出△ABO 是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD 是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF ＝90°，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在▱ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠OAF ＝∠OCE ， ∵OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ， ∴△AOF ≌△COE （ASA ）， ∴OE ＝OF ；（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形，理由：∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∵∠AOF ＝90°，∴∠BAC ＝∠AOF ，∴AB ∥EF ，∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形；（3）在Rt △ABC 中，AB ＝1，BC∴AC ＝2，∴OA ＝1＝AB ，∴△ABO 是等腰直角三角形，∴∠AOB ＝45°，∵BF ＝DF ，∴△BFD 是等腰三角形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∴OF ⊥BD （等腰三角形底边上的中线是底边上的高），∴∠BOF ＝90°，∴∠α＝∠AOF ＝∠BOF ﹣∠AOB ＝45°．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO 是等腰直角三角形是解本题的关键．5．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；②设AB=DC=a ，则，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=14a ，即CF=14a ，DF=a-x=34a ，进而可得DF 与CF 关系． 【详解】 （1）四边形ABGE 的形状是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，∴四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，∴矩形ABGE 为正方形；故答案为：正方形．（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∴BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，∴∠EGF=∠D=90°，Rt △EGF 和Rt △EDF 中，EG ED EF EF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ），∴DF=FG ，∴BF=BG+GF=AB+DF ；②不妨假设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF=a+a-x=2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，即(2a-x)23a)2+x 2，整理得：x=14a ， ∴CF=14a ，DF=a-x=34a ， ∴DF=3CF ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的判定，三角形全等的判定，勾股定理等内容，根据图形作出辅助线找出线段的等量关系列出方程是解题的关键．6．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析【分析】（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．【详解】(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒，∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴ADE FEM ∠=∠;(2) ;DE EF =理由如下:如图，取AD 的中点N ，连接NE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD AB = ，∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴11,22AN DN AD AE EB AB ====， ∴,DN BE AN AE == 又∵90A ∠=︒∴45ANE ∠=︒∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒，又∵90CBM ∠=︒，BF 平分CBM ∠∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒．∴DNE EBF ∠=∠在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =(3) DE EF =.理由如下:如图，在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，∵四边形ABCD 是正方形， DN EB =，∴AN AE =，∴AEN △为等腰直角三角形，∵45ANE ∠=︒∴18045135DNE ∠=︒-︒=︒，∵BF 平分CBM ∠， AN AE =，∴9045135EBF ∠=︒+︒=︒，∴DNE EBF ∠=∠，在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE ≌△EBF ．7．（1）①详见解析；②45°-α；③2DF BF CF =+，详见解析；（2）2DF BF CF =，或2BF DF CF =，或2BF DF CF +=【分析】（1）①由题意补全图形即可；②由正方形的性质得出1452DBE ABC ∠=∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，得出2CF 即可得出结论；（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，2CF ，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出2CF ，即可得出结论；③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论．【详解】解：（1）①如图，②∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，1452DBE ABC ∠=∠=， ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，∵BF ⊥DE,∴∠BFE=90°，∴9045EBF BEF α∠=-∠=-,故答案为：45°-α；③线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系是2DF BF CF =+．证明如下：在DF 上截取DM =BF ，连接CM ．如图2所示，∵ 正方形ABCD ，∴ BC =CD ，∠BDC =∠DBC =45°，∠BCD =90°∴∠CDM =∠CBF =45°-α，∴△CDM ≌△CBF （SAS ）． ∴ DM =BF ， CM =CF ，∠DCM =∠BCF ．∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE=∠DCM+∠MCE=∠BCD =90°，∴ MF 2CF ． ∴2.DF DM MF BF CF =+=+（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，2CF ，理由如下：在BF 上截取BM=DF ，连接CM ，如图3所示，同(1) ③，得：△CBM ≌△CDF (SAS)，∴CM=CF ， ∠BCM=∠DCF ．∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，∴△CMF 是等腰直角三角形，∴MF=2CF ， ∴BF=BM+MF=DF+2CF ；③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ；理由如下：在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，如图4所示，同（1）③得：△CDM ≌△CBF ，∴CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，∴△CMF 是等腰直角三 角形，∴MF=2CF ,即DM+DF=2CF ，∴BF+DF=2CF ;综上所述，当点E 在直线BC 上时，线段BF ，CF ，DF 之间的数导关系为：2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=．【点睛】此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．8．（1）35；（2）41；（3）53101或【分析】（1）利用勾股定理即可求出.（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，证出ECD FEH ∆∆≌，进而求得MF ，BM 的长，再利用勾股定理，即可求得.（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.【详解】（1）由勾股定理得：22223635BF AB AF =+=+=（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，如图2所示：则FM=AH ，AM=FH∵四边形CEFG 是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，又∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH 又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ECD FEH ∆∆≌ ∴FH=ED EH=CD=3∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5在Rt △BFM 中，22225441BM MF +=+=（3）分两种情况：①当点E在边AD的左侧时，过点F作FM⊥BC交BC的反向延长线于点M，交DE于点N.如图3所示：∆≅∆同（2）得：ENF DEC∴EN=CD=3，FN=ED=7∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10∆中在Rt FMB由勾股定理得：2222=+=+=101101FB FM MB②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：∆≅∆同理得：CDE EFN∴NF=DE=1，EN=CD=3∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4∴BM=CB+CM=3+4=7∆中在Rt FMB由勾股定理得：22222753=+=+=FB FM MB或故BF53101【点睛】本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.9．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质证得BG=DE ，利用SAS 可证明ABG ≌ADE ，再利用全等的性质即可得到结论；（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，延长EF 交AB 于T ，根据ASA 可证明MHK △≌AED ，得到AE=MH ，再利用AAS 证明TNF △≌DAE △，得到NF=AE ，从而证得MH=NF ，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 与四边形CEFG 均为正方形，∴AB=AD=BC=CD ，CG=CE ，∠ABG=∠ADE=90°，∴BC －GC=CD －EC ，即BG=DE ，∴ABG ≌ADE ，∴AG=AE ；（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，则四边形MKCD 为矩形，∴∠MKH=∠ADE=90°，MK=CD ，∠AMK=90°，∴MK=AD ，∠AMP+∠HMK=90°，又∵FP AE ，∴∠EAD+∠AMP=90°，∴∠HMK=∠EAD ，∴MHK △≌AED ，∴MH=AE ，延长EF 交AB 于T ，则四边形TBGF 为矩形，∴FT=BG ，∠FTN=∠ADE=90°，∵ABG ≌ADE ，∴DE=BG ，∴FT=DE ，∵FP ⊥AE ，∠DAB=90°，∴∠N+∠NAP=∠DAE+∠NAP=90°，∴∠N=∠DAE ，∴TNF △≌DAE △，∴FN=AE ，∴FN=MH ，∴FN －FH=MH －FH ，∴NH=FM ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质、判定定理是解题的关键．10．（1）55；（2）109；（3）52或152． 【分析】（1）如图1，连接CG ，证明△CBD ≌△CBG （SAS ），可得G ，C ，D 三点共线，利用勾股定理可得AG 的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE ≌△BKG ，可得AK 和KG 的长，利用勾股定理计算AG 的长；（3）分三种情况：①当点E 在边CD 的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE ≌△BKG （AAS ），BC ＝BK ＝5，根据勾股定理可得KG 的长，即可CE 的长，此种情况不成立；②当点E 在边CD 上；③当点E 在DC 的延长线上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，连接CG ，∵四边形ABCD 和四边形EBGF 是正方形，∴∠CDB ＝∠CBD ＝45°，∠DBG ＝90°，BD ＝BG ，∴∠CBG ＝45°，∴∠CBG ＝∠CBD ，∵BC ＝BC ，∴△CBD ≌△CBG （SAS ），∴∠DCB ＝∠BCG ＝90°，DC ＝CG ＝5，∴G ，C ，D 三点共线，∴AG 22AD DG +22510+＝5故答案为：55（2）如图2，过点G 作GK ⊥AB ，交AB 的延长线于K ，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝22103+＝109；（3）（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝5172，由勾股定理得：KG22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭52，∴CE＝KG＝52，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝CD=5，∵AG＝517，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，∴DE＝CD-CE=52；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝KG＝52，∴DE＝5＋52＝152；综上，DE的长是52或152．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。
(完整版)八年级下平行四边形专题汇总
2．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．
7．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4B． ： C． ： D． ：
三、平行四边形与角度专题
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
5．如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
6．已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
3．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：（1）AB=CD；（2）BE=DF；（3）SABDC=SBDFE；（4）S△ABE=S△DCF．其中正确的有（ ）
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八年级平行四边形专题汇总一、平行四边形与等腰三角形专题例题1 已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延伸线交CD的延伸线于点 F．1）求证：CD=DF；2）若AD=2CD，请写出图中全部的直角三角形和等腰三角形．训练一1．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延伸CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CE、CF，EF，则以下四个结论必定正确的选项是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③C．只有③④ D．①②③④2．如图，四边形 ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC对于AC所在的直线对称，AD和B′C订交于点O，连结BB′．（1）请直接写出图中全部的等腰三角形（不增添字母）；（2）求证：△AB′O≌△CDO．3.如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连结AC、AE和CE，CE和AD订交于点 F．求证：△ACE为等边三角形．如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的均分线CE交边AD于E，∠ABC的均分线BG交CE 于F，交AD于G．求证：AE=DG．1二、平行四边形与面积专题例题2已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连结AF，AC，连结DF，并延伸DF交AB的延伸线于点E，连结CE．（1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相等；（2）当F为BC上随意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明原因．训练二1.如图，过?ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的?AEMG的面积S1与?HCFM的面积S2的大小关系是（）＞S B．S＜S C．S=S D．2S=S121212122．农业技术员在一块平行四边形的实验田里栽种四种不一样的农作物，现需将该实验田划成四个平行四边形地块（如图），已知此中三块田的面积分别是22214m，10m，36m，则第四块田的面积为3．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下边给出四个结论：（1）AB=CD；（2）BE=DF；（3）S=S；ABDCBDFE （4）S=S．此中正确的有（）△ABE△DCF个个个个4．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．11113B．11113C．11113或11113D．11113或13 222222平行四边形ABCD的周长为20cm，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE=2cm，AF=3cm，求ABCD的面积．26．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．1）求证：PA=PC．（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．7．如图，平行四边形A BCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（）A．3：4 B．13：5C．13：6D．13：5三、平行四边形与角度专题例题3如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延伸AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连结AE、AF．1）求证：△ABE≌△FDA；2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数．训练三1.如图，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同向来线上，则∠AEF=度．3如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角均分线，交BC于点E．1）求证：CD=CE；2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．如图，E、F是?ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；2）∠1=∠2．四、平行四边形与线段专题例题4如图，ABCD为平行四边形，AD=2，BE∥AC，DE交AC的延伸线于F点，交BE于E点．1）求证：EF=DF；2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求DE的长．训练四1.如图，□ABCD的对角线订交于点O，过点O任引直线交AD于E，交BC于F，则OE OF（填“＞”“=”“＜”），并说明原因．2．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，假如AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是43．已知：如图，在?ABCD中，∠ADC、∠DAB的均分线DF、AE分别与线段BC订交于点F、E，DF与AE订交于点G．1）求证：AE⊥DF；2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．5．如图，E、F分别是?ABCD的边AD、BC上的点，且AE=CF，AF和BE订交于点G，DF和CE订交于点H，求证：EF和GH相互均分．6．已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．5如图，?ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8cm，△FCB的周长为20cm，则FC的长为cm．18.如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延伸BA到点D，使AD= AB，点G、E、F分别为边AB、2BC、AC的中点．求证：DF=BE．五、三角形中位线专题例题5如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的均分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的均分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．3B．5C．3D．422训练五1.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4B．3C．2D．12．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．116六、平行四边形综合研究专题例题6如下图，在□ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D的均分线交于点E，∠B与∠C的均分线交于F点，连结EF．1）延伸DE交AB于M点，则图中与线段EM必定相等的线段有哪几条？说明原因；（不再此外增添字母和协助线）2）EF、BC与AB之间有如何的数目关系？为何？（3）假如将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其余条件不变，EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论．训练六如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB订交于点G，若∠BAC=30°，以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．此中正确结论的序号是2．如下图，△ ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=如图，?ABCD中，对角线AC与BD订交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其本来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为4．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内随意一点，若A、B、C、D四点恰能组成一个平行四边形，则在平面内切合这样条件的点D有（）A．1个B．2个C．3个D．4个在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=EAB，连结AG．1）如图①，当EF与AB订交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD订交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数目关系，并证明你的结论．7在?ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，直线EF过点O，分别交AD、BC于E、F，如图①（1）求证：AE=CF；（2）将图①中?ABCD沿直线EF折叠，使得点A落在A1处，点B落在B1处，如图②设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点P、Q，求证：EQ=FG．7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延伸，分别与BA、CD的延伸线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，依据三角形中位线定理，证明HE=HF，进而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD订交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD 的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延伸，与BA的延伸线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．8。
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八年级平行四边形专题汇总一、平行四边形与等腰三角形专题例题1已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延长线交CD的延长线于点F.(1)求证：CD=DF(2)若AD=2CD请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形.训练一1 .如图，在？ABCD中，分别以AB AD为边向外作等边△ ABE △ ADF,延长CB交AE于点G 点G在点A E之间，连接CE CF, EF,则以下四个结论一定正确的是( )①厶CDF^A EBC②/ CDF=/ EAF;③厶ECF是等边三角形；④ CGL AEA.只有①② B •只有①②③ C •只有③④ D •①②③④2 .如图，四边形ABCD是平行四边形，△ AB C和厶ABC关于AC所在的直线对称，AD和B'C相交于点Q连接BB .(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母)；(2)求证：△ AB Q^^ CDQ3. 如图，已知AD和BC交于点Q且厶QAB^D^ OCD均为等边三角形，以QDEB连接AC AE和CE, CE和AD相交于点F.求证：△ ACE为等边三角形.4. 如图，已知：平行四边形ABCD中, / BCD的平分线CE交边AD于E, / ABC的平分线BG交CE于F,交AD于G.求证：AE=DGS r0D和QB为边作平行四边形训练1.如图，过？ABCD 勺对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线 EF 与GH 那么图中的？AEMG的面积S i 与？HCFM 勺面积S 2的大小关系是（ ） A. S i > S 2B . Sv S 2C. S i =SaD. 2S i =S 22.农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，现需将该实验田划成四个平行四边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是14m 2，10m 2，36m i ，则第四块田的面积为 _______3 .如图，AE// BD BE// DF, AB// CD 下面给出四个结论： （1） AB=CD （2） BE=DF （ 3） S ABD =S BDF ;（4） S A ABE =S ^DCF.其中正确的有（）BC 于点E ,作AF 垂直于直线CD 于 点 F ,若 AB=5, BC=6,则 CE+CF 的值为（）A . 11 11 3B .2C .11 叩或 11 FA.1个B.2 个C.3 个D.4 个4 .在面积为15的平行四边形 ABCD 中,过点A 作AE 垂直于直线5. 平行四边形ABCD的周长为20cm, AE± BC于点E, AF丄CD于点F,AE=2cm AF=3cm 求ABCD勺面积.CE6. 如图，四边形ABCD勺对角线AC BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F.若PE=PF 且AP+AE=CP+CF(1)求证：PA=PC(2)若BD=12 AB=15, / DBA=45，求四边形ABCD勺面积.7 .如图，平行四边形ABCD中, AB: BC=3 2，/ DAB=60 , E在AB上，且AE EB=1: 2, F 是BC 的中点，过D分别作DPIAF于P, DQLCE于Q贝U DP DQ等于（）A. 3: 4 B . .. 13 : . 5 C . 13 : 6 D . 13 : 5三、平行四边形与角度专题例题3 如图，在平行四边形ABCD中，/ BAD=32 .分别以BC C 为边向外作△ BCE^D^ DCF 使BE=BC DF=D(C Z EBC2 CDF 延长AB交边EC于点G,点G在E、C两点之间，连接AE AF.(1)求证：△ ABE^A FDA(2 )当AE± AF时，求/ EBG的度数.训练三1. 如图，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E, B '，C'在同一直线上，则/ AEF= 度.£2. 如图，已知平行四边形ABCD DE是/ ADQ的角平分线，交BC于点E.(1) 求证：CD=CE(2) 若BE=CE / B=80°,求/ DAE的度数.3. 如图，E、F是？ABCD对角线AC上的两点，且求证：(ABE^A CDF(2)Z 仁/ 2.四、平行四边形与线段专题例题4如图，ABCD为平行四边形，AD=2, BE// AC,(1)求证：EF=DF(2 )若AC=2CF / ADC=60 , ACL DC 求DE 的长.训练四1. 如图，口ABCD勺对角线相交于点0,过点0任引直线交AD于E,交BC于F,贝U OE _OFDE交AC的延长线于F点，交BE于E点.E F D(填“〉”“ =”“v ”)，并说明理由.2. 如图，在？ABCD中，对角线AC BD相交于点0,如果AC=14, BD=8, AB=x那么x的取值范围是.6. 已知：平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O , BD=2AD , E , F , G 分别是0C , 0D , AB 的中点.求证：(1) BE 丄 AC ; (2) EG=EF .3.已知：如图，在 ？ABCD K/ ADC / DAB 的平分线DF 、AE 分别与线段 BC 相交于点F 、E , DF 与 AE 相交于点G.(1)求证：AE! DF ; (2 )若 AD=10 AB=6, AE=4,求 DF 的长. 4.如图，已知△ ABC 是等边三角形，点(1)求证：四边形 EFCD 是平行四边形; (2 )若 BF=EF 求证：AE=AD 5. 占 八、、 D F 分别在线段 BC AB 上，/ EFB=60 , DC=EF如图，E 、F 分别是？ABCD 的边AD BC 上的点，且 AE=CF AF 和BE 相交于点G, DF 和CE 相交于H,求证：EF 和GH 互相平分.7. _________________________________________________________ 如图，？ABCD中，点E在边AD 上，以BE为折痕，将厶ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F点, 若厶FDE的周长为8 cm , △ FCB的周长为20 cm，贝U FC的长为 _____________________________________ cm.例题5如图，△ ABC的周长为26，点D, E都在边BC上, /ABC的平分线垂直于AE垂足为Q / ACB的平分线垂直于AD垂足为P,若BC=1Q则PQ的长为（）3 5A. — B . C . 3 D . 42 2训练五1.如图，AB// CD E , F分别为AC, BD的中点，若AB=5 CD=3贝U EF的长是（）A. 4 B . 3 C . 2 D . 12 .如图，在四边形ABCD中 ,点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB CD的中点，AD=BC /8.如图，已知：在△ ABC中，/ BAC=90，延长BC AC的中点.求证：DF=BEBA到点五、三角形中位线专题D，，使AD」AB点G E、F分别为边AB2H分别是AB AG CD BD的PEF=30 ,则/ PFE的度数是（）A. 15° B . 20°C . 25° D . 30°3 .如图，D是厶ABC内一点, BDL CD AD=6BD=4, CD=3 E、F、G4 .点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点 恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点C . 3个D . 4个5. 在平行四边形 ABCD 中, E 是AD 上一点，AE=AB 过点E 作直线EF ,在EF 上取一点G,使得/ EGB= / EAB 连接AG(1)如图①，当 EF 与AB 相交时，若/ EAB=60，求证：EG=AG+B ； (2) 如图②，当EF 与CD 相交时，且/六、平行四边形综合探究专题例题6 如图所示，在 □ABCD 中, AB> BC, / A与/ D 的平分线交于点 E ,/ B 与/ C 的平分线交于 F 点，连接EF.(1) 延长DE 交AB 于M 点，则图中与线段 EM —定相等的线段有哪几条？说明理由；(不再另外添 加字母和辅助线)(2) EF 、BC 与AB 之间有怎样的数量关系？为什么？(3) 如果将条件“ AB> BC 改为“ AB< BC , 图形并证明你的结论. 其它条件不变， EF 、BC 与 AB 的关系又如何？请画出 训练六1.如图，分别以Rt △ ABC 的斜边AB 直角边 和厶ACE F 为AB 的中点，DE AB 相交于点 AC 为边向外作等边厶G,若/ BAC=30，下列结论：①EF 丄AC ②四边形 ADFE 为平行四边形；③ AD=4AG ④厶DBF◎ △ EFA 其中正确结论的序号是2 .如图所示，△ ABC 为等边三角形，P 是厶ABC 内任一点，PD// AB,PE// BC PF / AC 若厶 ABC 的周长为 12,贝U PD+PE+PF ______________ 3.如图，?ABCD 中，对角线 AC 与BD 相交于点 E ,/ AEB=45 , BD=2将厶ABC 沿 AC 所在直线翻折 D 是平面内任意一点，若 A 、B 、C 、D 四点 D 有( ) 3180°到其原来所在的同一平面内，若点 B 的落点记为B',则DB 的长为 ___________EAB=90，请你写出线段EG AG BG之间的数量关系，并证明你的结论.6. 在？ABCD中，对角线AG BD相交于点0,直线EF过点0,分别交AD BC于E、F,如图①(1)求证：AE=CF(2)将图①中？ABCD沿直线EF折叠，使得点A落在A处，点B落在B处，如图②设FB交CD于点G, AiBi分别交CD DE于点P、Q 求证：EQ=FG7. 如图1，在四边形ABCD中，AB=CD , E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD 的延长线交于点M、N，则/ BME= / CNE (不需证明).(温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而/ 1= / 2,再利用平行线性质，可证得/ BME= / CNE .)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点0, AB=CD , E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△ 0MN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ ABC中，AC >AB , D点在AC 上, AB=CD , E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G,若/ EFC=60，连接GD，判断△ AGD的形状并证明.。