高中复数知识点及相关练习学习资料

复数

复数基础知识

一、复数的基本概念

（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当时的复数a + b i 为虚数；

纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b

（5）复数的模：对于复数z a bi =+

，把z =叫做复数z 的模； 二、复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+

（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；

（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =6

1i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅

三、复数的化简

c di

z a bi

+=

+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22

ac bd ad bc i

c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R

d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且

对于()0c di z a b a bi +=

⋅≠+，当c d

a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi

+==+进一步建立方程求解

一、知识梳理

1、复数的有关概念

（1）复数的概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中,a b 分别是它的 。若 ，则a bi +为实数，若 ，则a bi +为虚数，若 ，则a bi +为纯虚数。

（2）复数相等：a bi c di +=+⇔ (,,,)a b c d R ∈。 （3）共轭复数：a bi +与c di +共轭⇔ (,,,)a b c d R ∈。

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 。实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各象限内的点都表示 。

（5）复数的模：向量OZ uuu r

的模r 叫做复数z a bi =+的模，记作： ，即

z a bi =+= 。

2、复数的几何意义

（1）复数z a bi =+ 复平面上的点(,)(,)Z a b a b R ∈。

（2）复数z a bi =+ 复平面上的向量OZ uuu r

。

3、复数的运算 （1）复数的四则运算

设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈，则 ①加法：12z z += ； ②减法：12z z -= ；

③乘法：12z z ⋅= = ；

一一对应 一一对应

④除法：

1

2

z z = = = （0c di +≠）。 （注：分母实数化） （2）复数的运算定律：

12z z += ；123z z z ++= ； 12z z ⋅= ；123()z z z += ；

m n z z ⋅= ；()n

m z = ；()12n

z z ⋅= 。

4、几个重要的结论

（1）)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++； （2）22||||z z z z ==⋅；

（3）若z 为虚数，则22||z z ≠。

复数最重要的一点就是：记住

例1：已知()14z a b i =++-，求 （1） 当,a b 为何值时z 为实数 （2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数 （3） 当,a b 为何值时z 为虚数

（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。 例2：已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z

例3：已知1z i =-，求z ，z z ⋅；

1i 2-=

变式：1是虚数单位,等于 ( ) A ．i

B ．-i

C ．1

D ．-1

变式2：已知i 是虚数单位，3

2i 1i

=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --

变式3：已知i 是虚数单位，复数131i

i

--= （ ）

A 2i +

B 2i -

C 12i -+

D 12i --

变式4：已知i 是虚数单位，复数1312i

i

-+=+（ ）

(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

变式5：已知i 是虚数单位，则

()=-+1

13i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)i 变式6：已知

=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

变式7：i 是虚数单位，若

，则乘积的值是 （A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15真题实战：

1．（2005）若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a +=（ ）

A ．0

B ．2

C ．

2

5

D ．5

2．（2005）已知向量,//),6,(),3,2(x 且==则x = . 3.（2007）若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b= A ．-2 B ．12-

C. 1

2

D ．2 4．（2008）已知02a <<，复数z a i =+（i 是虚数单位），则||z 的取值范围是（ ）

A ．(1

5)，

B ．(13)， C

．(1

D ．

5.（2009）下列n 的取值中，使n

i =1(i 是虚数单位）的是

A. n=2

B. n=3

C. n=4

D. n=5

i 4

1i ()1-i

+1i

Z

＋17(,)2i

a bi a

b R i

+=+∈-ab