浙江专升本《高数二》试卷及答案

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷

1．函数x e x x x

y --=)

1(sin 2的连续区间是____________________.

2．_______

____________________)

4(1lim 2

=

-+-∞

→x x x x .

3．写出函数

的水平渐近线

和

垂直渐近线

4．设函数⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1

)(2)1(1

2

x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点x=1处连

续.

5．设参数方程⎩⎨⎧==θ

θ

2sin 2cos 3

2r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则_____

__________=dx dy .

（2）当θ是常数，r 是参数时，则

=dx

dy

_____________

.

二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）

1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('

=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值.

)(A 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(B 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('x f , )(D 当c x a <≤时，0)('

). ()

2()3(lim

000=--+→h

h x f h x f h

).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A

3．设函数⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=--0

,0

0,0

x ,)(22

x e x e x f x x ，则积分⎰-1

1)(dx x f ＝（ ）.

.2)( ,e

1

)( 0)( ,1)(D C B A -

4．可微函数

在点处有是函数在点处取得极值的

（）。

充分条件，必要条件， 充分必要条件，既非充分又非必要条件。

5．设级数

∑∞

=1

n n

a

和级数

∑∞

=1

n n

b

都发散，则级数

∑∞

=+1

)(n n n

b a

是（ ）.

)(A 发散， )(B 条件收敛， )(C 绝对收敛，)( D 可能发散或者可能收敛.

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题7分，共70分）

1．求函数x

x x y )1(2

+-=的导数.

2. 求函数122

3+-=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值.

3. 求函数x

e x x

f 2

)(=的3阶导数3

3dx f

d .

4．计算极限)

1sin()

1(lim 1--+-→x x e e x x .

5．计算积分⎰+dx e x

211

. 6．计算积分⎰-+1

2)2(dx e x x x .

7．函数方程

，其中变量

是变量的函数，

求和

8．把函数1

1

+=

x y 展开成1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间.

9．求微分方程x y x dx

dy

x

sin )(sin cos =+的通解.

10．直线1=x 把圆42

2=+y x 分成左，右两部分，求右面部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积.

四．综合题： （本题共2个小题，每小题10分，共20分）

1．设m n ,是整数，计算积分⎰

π

cos cos mxdx nx .

2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(2

3， 其中常数0,,,,=+++d c b a d c b a 满足， （1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根，

（2）当ac b 832

<时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根.

2005年高数（二）答案（A 卷）

一．填空题：(每空格5分，共40分)

1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，

2．

21， 3．（1）0y =， （2）2x =

4．1,0-==b a ，

5．（1）y x r 2-， （2）x

y

23.

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,每小题7分，共70分）

1．解 ：令)1ln(ln 2

+-=x x x y ， （3分）

则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1

)

12([

222

'

+-+-++--= （7分） 2．解：)43(432

'-=-=x x x x y ，驻点为3

4,021==x x （2分）

（法一） 46'

'-=x y ，

04)0(''<-=y ， 1)0(=y （极大值）， （5分）

04)34(''>=y ， 27

5

)34(-=y （极小值）. （7分）

（5分）

当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值） （7分）

3．解：（法一）利用莱布尼兹公式x

e x x dx

f d ]66[23

3++= （7分） （法二）x

e x x x

f )2()(2'+=， （3分） x e x x x f )24()(2''++=， x e x x x f

)66()(2)

3(++= （7分）

4．解：)

1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x ＝)1cos(1lim 1-+→x e x x ＝1+=e

5．解：⎰+dx e x 211＝=+-+⎰dx e

e e x

x

x 22211 (3分) ++-=)1ln(2

1

2x e x C （7分）

6.解：⎰

-+1

2)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x e

x x x x 1

010

2

)12()2( （3分）

＝2－⎰

+1

)12(dx e x x

＝2－)13(-e +10

2x e

=

＝e e e -=-+-12233。 （7分）

7．解：