高一第一学期数学知识点整理

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高一第一学期数学知识点整理一、集合与命题

1、集合及其表示法

概念：集合元素的性质：

⑴确定性⑵互异性⑶无序性

表示法：⑴列举法⑵描述法⑶图示法

注意：集合中的元素是确定的，各不相同的，注意最后的检验（有限集的互异性）。

2、集合之间的关系：

⑴子集⑵相等的集合

⑶真子集

含有n 个元素的集合

A ：有

n

2个子集，12

n

个真子集，

12

n

个非空子集，22

n

个非空真子集。

注意：集合与元素的属于关系与集合之间的包含关系，两者不能混淆。3、集合的运算：⑴交集⑵并集⑶补集

两个重要转化：①A B A B A ；②A B A A B 。

注意：⑴

认清集合，区分数集与点集．．．．．的不同运算意义。

⑵集合运算注意分类讨论和数形结合思想，注意节点处的等号问题，不要忽视

的存在

如

B A ，别忘了A 可能是；B

A ，别忘了

A 、

B 可能是

。

4、命题的形式及等价关系

四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题注意：⑴

确定一个命题是真命题，就必须证明；确定一个命题是假命题，只要举反例。

⑵互为逆否命题的两个命题为等价命题，原命题与逆否命题同真（假）

，逆命题与否命题同真（假）

5、充分条件，必要条件，充要条件

如：,A

B B 推不出A,则A 是B 的充分非必要条件

6、子集与推出关系：

设B A,是非空集合，A =具有性质

a a ，

B =具有性质

b b ，

则

A B 与

等价

二、不等式

1、不等式的基本性质（8条性质）

2、一元二次不等式的解法⑴

一元二次不等式的解集与字母系数的关系。

⑵利用二次函数图像，解决一元二次不等式特殊解集（

R ,）的问题。

注意：开口方向与判别式

⑶准确分类讨论，解含有字母参数的一元二次不等式。

注意：在不等式变形时，如遇两边同除以字母系数时，一定要对字母分0,0,0三种情况进行讨论。

3、其他不等式的解法

⑴分式不等式

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注意：⑴解分式不等式时，移项通分，一般不直接去分母，特殊情况分母符号确定可以去分母

⑵分母不为零．．．．．，尤其是出现

,不等号时，注意解集的开闭不同。

⑵绝对值不等式

解绝对值不等式关键是“去绝对值”．．．．．．

，通常有：①利用绝对值不等式的性质

②零点讨论③两边平方.

4、基本不等式及其应用

两个重要的基本不等式：（1）若R b

a,，则ab b a 222，当且仅当b a 时，取到“=”。

变形：①

2

2

2

()

2a b a

b

当且仅当

b a 时，取到“=”。

②2

()4a

b ab

=

2

2

b a ，2

2

2

b a

ab

，当且仅当

b a 时，取到“=”

。（2）若R b a,，则ab b

a 2，当且仅当

b a 时，取到“=”。

注意：运用基本不等式取到最值，必须同时满足三个条件．．．．（不等式成立、定值出现、“=”取到）。

5、不等式问题一些重要的思想方法

⑴借助函数图像，利用数形结合的思想，解一些非常规不等式。⑵高中阶段，比较两式大小的常用方法：①作差法；②

基本不等式；③

函数单调性。

⑶遇到含参不等式恒成立或者有解问题，

求其中某个参数的取值范围时通常采用分离参数法．．．．．，转化为求研究某

函数的最大值（或最小值）；

三、函数

1、函数的概念

函数三要素：定义域、对应法则、值域

定义域：（1）函数的定义域必须用区间或集合形式表示。

（2）求函数定义域

：①分式中分母不等于0 ②偶次方根,被开方数0

③零次幂底数不为

2、函数关系的建立

3、函数的运算

注意：和、积函数的定义域必须是两个函数的定义域的交集且非空。4、函数的基本性质

奇偶性：（1）证明偶函数：定义域

D 关于原点对称；任意,D x 都有)()(x f x f ，（或0)()

(x f x f ）。

（2）证明奇函数：定义域

D 关于原点对称任意

,D x

都有)()

(x f x f ，

（或0)

()(x f x f ）

。

.

（3）证明非奇非偶函数：定义域关于原点不对称；或举反例。

（4）若已知函数为奇或偶函数，求字母，可考虑定义域，或可取特例，但需检验一下；或用定义法。（5）填选题判断奇偶性可利用图像。

单调性：（1）定义是证明函数单调性的唯一方法：①任意

D x x 21,且21

x x ；②)

()(21x f x f （2）掌握常用函数的单调性。（关键利用函数图像）（3）会利用换元法处理复合函数的单调性。（关键注意换元后的定义域补充）

（4）知道和函数的单调性。

最值：求值域的最常用方法：

(1)二次函数配方

(2)基本不等式

(3)单调性

注意：（1）注意定义域

（2）换元法求复合函数的值域要注意换元后的定义域补充

（3）可利用常见函数的图像。两个常用函数的最值问题：（1）二次函数

c bx

ax y

2

，（0a

），D

x 讨论点：①开口方向a （0,0a a ）；②对称轴a

b x

2和区间

D 的位置关系及单调性。

⑵耐克函数x

b ax

y

，（0,0b

a ）

。讨论点：拐点

a b 和区间

D 的位置关系及单调性。

函数的零点：若对于函数

)(x f y

，有0)

(c f , 则称c 为函数)(x f y

的零点。

注意：零点是函数图象与x 轴交点的横坐标，不是点坐标。

求零点的方法为：①

解方程；②

数形结合；③

两分法（利用计算器），④零点存在性定理。

5、常见函数

一次函数、二次函数、分式型函数（反比例函数、耐克函数、)0,(b a x

b ax

y ）

6、函数与方程、不等式

（1）主要解题思想：运用函数的眼光，将方程、不等式的问题转化为相关函数之间关系的问题。（2）主要解题手段：

①系数分离——将字母讨论问题转化为常值函数．．．．a y

和确定函数．．．．D x x f y

),(之间关系的问题。

②看成另一字母的函数

,求值域

③数形结合——将非常规方程．．．．．和非常规不等式．．．．．．转化为常用函数．．．．之间关系的问题。

四、幂函数、指数函数

1、幂函数的性质与图像

：幂函数)

(,Q k

x y

k

研究幂函数一般从其定义域、值域、奇偶性、单调性和最值等方面着手，由第一象限图像得到完整图像

注意：图像与坐标轴或原点无交点

k