人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷(2)

人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷（2）

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1.若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()

A. 4π(r+R)2

B. 4πr2R2

C. 4πrR

D. π(R+r)2

2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()

A. 4

3πa2 B. 7

3

πa2 C. 8

3

πa2 D. 16

3

πa2

3.在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，

则V的最大值是()

A. 4π

B. 9π

2C. 6π D. 32π

3

4.体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()

A. 12π

B. 48π

C. 8π

D. 64π

5.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角

形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()

A. 8√6π

B. 4√6π

C. 2√6π

D. √6π

二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

6.已知正三棱柱底面边长是2，该三棱柱的体积为8√2，则该正三棱柱外接球的表面积是．

7.已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的体积是_________．

8.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体

的体积为____．

9.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，则三棱锥A−A1B1C的体积

是______ ．

10.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1挖

去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．

11.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为_______．

12.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱

O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则v1

的值是_______．

v2

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

13.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，

CD=2√2，AD=2，求四边形ABCD绕AD选择一周所成几何

体的表面积及体积．

14.一个正四棱台的上、下底面边长分别为4cm和10cm，高为4cm，求正四棱台的侧面积和体积．

15.如图，底面ABCD是边长为4的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=2，

EF//BD，且2EF=BD．

(1)求证：BF⊥AC：

(2)求几何体ABCDEF的体积．

16.三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点，

求四棱锥S−BCED的体积．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：

本题考查球与圆台的组合体问题，属于中档题，解题关键要知道圆台是球的外切圆台，

圆台的母线是R+r，则易计算出圆台的高为2√Rr，它就是球的直径，从而得球的表面积．

解：由题意知，圆台的母线长为R+r，

设圆台的高为h，由直角三角形的勾股定理知：ℎ=√(R+r)2−(R−r)2=2√Rr，

∴球的半径为ℎ

2

=√Rr，则球的表面积为4πRr．

故选C．

2.答案：B

解析：

本题主要考查了三棱柱的结构特征，以及外接球表面积的求解，属于基础题..

由题意作出图形，易知球心在三棱柱上、下底面的中心O，O1连线的中点O2处，利用几何关系即可求出答案．

解：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a．

设O，O1分别为下、上底面的中心，且球心O2为O1O的中点，

又AD=√3

2a，AO=√3

3

a，OO2=a

2

，设球的半径为R，

则R2=|AO2|2=1

3a2+1

4

a2=7

12

a2，

所以S球=4πR2=4π×7

12a2=7

3

πa2．

故选B．

3.答案：B

解析：

本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．

根据已知可得直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的内切球半径为32，代入球的体积公式，可得答案． 解：∵AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，∴AC =10．

要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，

设底面△ABC 的内切圆的半径为r ．

则12×6×8=12×(6+8+10)·r ，所以r =2．

2r =4>3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大．

由2R =3，即R =32．

即直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的内切球半径为32，此时V 的最大值43π⋅(32)3=

9π2，

故选B .

4.答案：B

解析：

此题考查球的表面积公式的应用，先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积.

解：正方体体积为64，可知其边长为4，

正方体的体对角线长为√42+42+42=4√3，

即为外接球的直径，所以半径为2√3，

所以球的表面积为4π(2√3)2

=48π.

故选B ． 5.答案：D