人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷(2)
高中数学人教A版(2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积
必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积一、单选题1．如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为R ，球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，球冠底面圆的周长为C .已知球冠的表面积公式为2S Rh π=，若65000,500S C ππ==，则球冠所在球的表面积为（ ）A ．1620000πB ．1690000πC ．1720000πD ．1790000π 2．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)813．已知ABC O 的球面上，若球O 的体积为32π3，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 4．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．128πD ．144π5．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且12BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．319aB ．332aC ．313aD ．与点M 的位置有关6．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且正四棱锥P ABCD -的底面面积为6，侧面积为，则球O 的表面积为（ ）A ．323πBC ．16πD ．32π 7．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）AB C D 8．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的，约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比在几何世界中有很多黄金图形，在三角形中，如果相邻两边之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高，以短直角边的边长作为底面正方形的边心距(正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离)，斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（ ）A B C ．1 D ．149．阿基米德（Archimedes ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为36π，则圆柱的体积为 （ ）A ．36πB ．45πC ．54πD ．63π 10．平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，且2224AB BD +=，沿BD 将四边形折起成平面ABD ⊥平面BDC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．2πC ．4πD ．16π 11．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．122ππ+B ．144ππ+C ．12ππ+ D ．142ππ+ 12．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）A B ．C D ．二、填空题13．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．14．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为______.15．已知圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面）是一个边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________．16．若球的大圆的面积为9π，则该球的体积为________17．若五棱台11111ABCDE A B C D E -的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为______．三、解答题18．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和.19．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点．（1）求证：//OB 平面1ACD ；（2）求几何体111ACB A D 的体积．20．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm ，高为30cm ，杯内有20cm 深的溶液．如图①，现将水杯倾斜，且倾斜时点B 始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图①中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．21．“圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否成立？答案第1页，共1页 参考答案：1．B2．D3．C4．D5．A6．C7．C8．D9．C10．C11．A12．A13．114．9π15．2π16．36π17．518．圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为25a π. 19．（1）见解析；（2）4.20．(1)2πα-；(2)45°﹒21．答案见解析。
必修第二册 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 习题 (新人教A版)
课时2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(35分钟 100分)基础 达标 了解旋转体的体积和表面积公式,并能进行简单的计算,解决球的组合体及三视图中球的有关问题 素养突破培养学生数学运算和直观想象素养1.简单组合体有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成的;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的.2.在处理与球有关的相接、相切问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,而这类截面往往指的是轴截面(球的大圆)等.几个常用结论(1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径; (2)球外接于长方体,长方体的顶点均在球面上,长方体的对角线长等于球的直径;(3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径;(4)球与棱锥相切,则可利用V 棱锥=13S 底h=13S 棱锥表R ,R 为球的半径.题组一 几何体的表面积和侧面积1.(7分)某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小的底面的半径为 ( )A .7B .6C .5D .32.(7分)一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积S= ( )A .32+πB .32+2πC .28+2πD .28+π3.(7分)如图,已知平行于圆柱轴的截面ABB 1A 1是正方形,面积为12,它与轴的距离是底面半径的一半,则圆柱的底面半径为 .4.(15分)圆锥的高为h,底面半径为r,过两条母线作一截面,截得底面圆弧的14,求该截面的面积.题组二几何体的体积5.(7分)若分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周,则所形成的几何体的体积之比是()A.1∶√2∶√3B.6∶2√3∶√3C.6∶2√3∶3D.3∶2√3∶66.(7分)某几何体的三视图如图所示,则其体积为()A.3π4B.π+24C.π+12D.3π+247.(7分)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺=10寸).题组三与球有关的切、接问题8.(7分)若球O的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则S1S2=()A.π3B.π4C.π2D.π9.(7分)一平面截一球得到直径为2√5cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则该球的体积是()A.12π cm3B.36π cm3C.64√6π cm3D.108π cm310.(7分)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()πa2A.πa2B.73πa2D.5πa2C.11311.(7分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的半径为()A.2B.√5C.√6D.312.(15分)轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为1 cm,求球的体积.课时2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.A 解析:本题考查圆台的侧面积.设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r )·3=84π,解得r=7.2.A 解析:本题考查三视图与几何体的表面积.由三视图可知,此几何体的上半部分为半个球,下半部分是一个长方体,故其表面积S=4π×12+4×2×3+2×2+2×2-π=32+π.3.2 解析:本题考查圆柱的截面问题.∵正方形ABB 1A 1的面积为12,∴AA 1=AB=2√3, 设圆柱的底面半径为r ,则AB=2√r 2-(r2)2=2√3,解得r=2.4.解析:本题考查圆锥截面面积的求法.∵圆锥的高为h ,底面半径为r ,且过两条母线作一截面,截得底面圆弧的14, ∴∠AOB=π2,∴AB=√2r ;过点O 作OM ⊥AB 于点M ,连接PM ,∴PM ⊥AB , 在Rt △POM 中,OM=√22r ,∴PM=√ℎ2+(√22r )2, ∴截面△P AB 的面积为S=12AB ·PM=12×√2r×√ℎ2+(√22r )2=r√2ℎ2+r 22.5.C 解析:本题考查圆锥的体积.设Rt △ABC 中,∠BAC=30°,BC=1,则AB=2,AC=√3,求得斜边上的高CD=√32,旋转所得几何体的体积分别为V 1=13π(√3)2×1=π,V 2=13π×12×√3=√33π, V 3=13π(√32)2×2=12π,故V 1∶V 2∶V 3=1∶√33∶12=6∶2√3∶3.6.D 解析:本题考查三视图及几何体的体积.由几何体的三视图知,该几何体的一部分是以腰长为1的等腰直角三角形为底面,高为3的三棱锥,另一部分是底面半径为1,高为3的圆锥的四分之三.所以几何体的体积为13×3π4×3+13×12×1×1×3=3π4+12=3π+24,故选D 项.7.3 解析:本题考查数学史与几何体的体积.由题意知盆内所盛水的上底面直径为28+122=20寸,下底面半径为6寸,高为9寸,故体积为V=13×9×(π×102+π×62+π×10×6)=588π,又盆上口面积为π×142=196π.故平地降雨量为588π196π=3寸.8.C 解析:本题考查正方体的外接球问题.设球的内接正方体的棱长为a ,球的半径为R , 则3a 2=4R 2,所以a 2=43R 2,球的表面积S 1=4πR 2,正方体的表面积S 2=6a 2=6×43R 2=8R 2,所以S1S 2=π2.9.B 解析:本题考查球的截面问题.设球心为O ,截面圆心为O 1,连接OO 1,则OO 1垂直于截面圆O 1,如图所示.在Rt △OO 1A 中,O 1A=√5 cm,OO 1=2 cm,所以球的半径R=OA=√22+(√5)2=3 cm, 所以球的体积V=43×π×33=36π cm 3.10.B 解析:本题考查三棱柱的外接球问题.由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.如图,P 为三棱柱上底面的中心,O 为球心,易知AP=23×√32a=√33a ,OP=12a ,所以球的半径R=OA 满足R 2=(√33a )2+(12a )2=712a 2,故S 球=4πR 2=73πa 2.11.A 解析:本题考查四棱锥的外接球问题.设正四棱锥的底面边长为a , 由V=13a 2×3=a 2=6,得a=√6.由题意知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为r ,则(3-r )2+(√3)2=r 2,解得r=2.12.解析:本题考查内切球问题.如右图所示,作出轴截面,O 是球心,与边BC ,AC 相切于点D ,E. 连接AD ,OE ,∵△ABC 是正三角形,∴CD=12AC.∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ,∴OE AO =CDAC . ∵CD=1 cm,∴AC=2 cm,AD=√3 cm,设OE=r cm,则AO=(√3-r ) cm,∴√3-r =12,∴r=√33 cm,V 球=43π(√33)3=4√327π cm 3,即球的体积等于4√327π cm 3.。
高中数学必修二 8 3 2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 练习(含答案)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、选择题1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A．1∶2B．1C．1D2【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．2．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径2r==，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h⎛⎫==⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，故选B.3．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A．2πB．3πC．πD．4π【答案】D【解析】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．故选：D．4．圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为()．A．81πB．100πC．14πD．169π【答案】B【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，．5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为22RπB．圆锥的侧面积为22RπC．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【答案】CD【解析】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2224R R Rππ⨯=，∴A错误；圆锥的侧面积为2R Rπ=，∴B错误；球面面积为24Rπ，∵圆柱的侧面积为24Rπ，∴C正确；2322V R R Rππ=⋅=圆柱，2312233V R R Rππ⋅==圆锥，343V R=π球33324:2::3:1:233:V V V R R Rπππ∴==圆柱圆锥球，∴D正确.故选：CD.6．（多选题）如图所示，ABC 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D .下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36πC ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π【答案】AD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥 ∴侧面积为3515ππ⨯⨯=，体积为2134123ππ⨯⨯⨯=，∴A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，∴C 错误，D 正确.故选：AD .二、填空题7． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 【答案】92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=.8．如图，若球O 的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心O 在圆台的两底面之间），则圆台的体积为______．【答案】259π3【解析】解：作经过球心的截面（如图），由题意得13O A =，24O B =，5OA OB ==，则14OO =，23OO =，127O O =，所以()22π259347π33V ⨯⨯==.9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为_______．【答案】6π【解析】由题意，圆柱的截面是面积为4的正方形，可得其边长为2，可得圆柱的底面半径为1r =，母线2l =，所以该圆柱的表面积为221222212216S S S rl r πππππ=+=+=⨯⨯+⨯=。
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-学年人教A版(2019)高中数学必修第二册练习
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积练习一、单选题1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π2.已知正方体、等边圆柱(轴截面是正方形)、球的体积相等，它们的表面积分别为S正，S柱，S球，则下列不正确的是()A. S正<S球<S柱B. S正<S柱<S球C. S球<S柱<S正D. S球<S正<S柱3.若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为()A. 1B. 12C. √32D. 344.一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比()A. 2:3B. 2:1C. 1:2D. 3:25.用与球心距离为1的平面去截球，截面面积为π，则球的体积为()A. 32π3B. 8π3C. 8√2πD. 8√2π36.祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A. ①②B. ①③C. ②④D. ①④7.已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A. 2√10B. 2√5C. 3D. 28.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为A. 3π+2B. 4π+2C. 3π+3D. 4π+39.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠()A. 98颗B. 106颗C. 120颗D. 126颗10.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的()A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且AD=3√3.若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA1=A. √2B. 2C. √5D. 2√212.将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的表面积最小值为()A. 16πB. (16+16√2)πC. 16D. 16√2π二、单空题13.已知四棱锥P−ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，，则该球的体积为______．且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为16314.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D−ABC体积的最大值为．15.已知圆锥的母线长为2，高为√3，则该圆锥的外接球的表面积是______．16.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了4cm，则钢球的半径是________．三、解答题17.如图(1)，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2√2，AD=2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．18.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为√3的圆柱，求圆柱的表面积．19.．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，(其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中)，容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD，其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x毫米.(注：V k=43πR3,V柱=Sℎ，其中R为球半径，S为圆柱底面积，h为圆柱的高)(1)求容器中防蚊液的体积y关于x的函数关系式；(2)如何设计AD与AB的长度，使得y最大？答案和解析1.【答案】A【解答】解：正四棱锥的高为3，体积为6，∴底面积为6，正方形边长为√6，正方形的对角线为√(√6)2+(√6)2=2√3，设球的半径为R，则R2=(3−R)2+(√3)2，∴R=2，∴球的表面积为4πR2=4π×4=16π．2.【答案】C【解答】解：正方体的棱长为a，体积V=a3，S正=6a2=6√V23，等边圆柱(轴截面是正方形)的高为2h，体积V=π⋅ℎ2⋅2ℎ=2πℎ3，S柱=6πℎ2= 3√2πV23，球的半径为R，体积V=43πR3，S球=4πR2=√36πV23，∴S球<S柱<S正，3.【答案】D【解答】解：轴截面，圆柱为矩形，圆锥为三角形，且高相等，所以它们的底面圆的半径之比为圆柱：圆锥=1：2；所以圆柱与圆锥的底面积之比为1：4，所以圆柱与圆锥的体积之比为3：4，4.【答案】D【解答】解：设球的半径为R，则球的表面积S球=4πR2，所以圆柱的底面半径为R，高为2R，则圆柱的全面积S柱=2×πR2+2πR×2R=6πR2，则圆柱的全面积与球的表面积之比等于6πR2：4πR2=3：2．5.【答案】D【解答】解：设截面圆半径为r，截面面积为π，所以，又与球心距离d=1，所以球的半径R=√r2+d2=√2.，所以根据球的体积公式知V球=4πR33=8√2π3，6.【答案】D【解答】解：设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆半径为h，则截面圆环的面积为π(R2−ℎ2);②中截面圆的半径为R−ℎ，则截面圆的面积为π(R−ℎ)2;③中截面圆的半径为R−ℎ2，则截面圆的面积为④中截面圆的半径为√R2−ℎ2，则截面圆的面积为π(R2−ℎ2)，所以①④中截面的面积相等，故选D．7.【答案】A【解答】解：圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC=√22+62=2√10．8.【答案】A【解析】【解答】 解：由三视图可知，这个几何体是由一个底面半径为1且高为1的半圆柱，和一个半径为1的半球的前半部分组成．所以它的下底面为半圆，面积为π2，后表面为一个矩形加半圆，面积为2×1+π2， 前表面为半个圆柱侧面加14个球面，面积为π×1×1+14×4π×1=2π． 所以其表面积为3π+2．9.【答案】D【解答】解：作出在轴截面图如图，由题意，OP =8，O 1P =4，OA =3， 设O 1A 1=x ，则48=x 3，即x =32．则最大放入珍珠的体积V =13π×32×8−13π×(32)2×4=21π，一颗珍珠的体积是43π×(12)3=π6.由21ππ6=126．∴最多可以放入珍珠126颗．10.【答案】C【解答】解：设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V =43πr 3.当气球 的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为43π(2r)3=8×43πr 3．11.【答案】D【解答】解：由展开图可知，直三棱柱ABC—A 1B 1C 1的底面是边长为√3的等边三角形，其外接圆的半径满足2r =√3sin60∘=2，所以r =1．由4πR 2=12π得R =√3．由球的性质可知，球心O到底面ABC的距离为d=√R2−r2=√2，结合球和直三棱柱的对称性可知，AA1=2d=2√2，12.【答案】B【解答】解：由题意，当正方体为圆柱的内接正方体时，圆柱表面积最小，所以圆柱的底面半径为正方体底面对角线的一半为2√2，圆柱高为正方体的棱长，所以圆柱的表面积最小值为．13.【答案】8√6π【解析】解：设此球半径为R，因底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为163，则13×2×2×PA=163，∴PA=4，可以把四棱锥P−ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体，则这个长方体的外接球就是四棱锥P−ABCD的外接球，球心O就是PC的中点，∴(2R)2=PC2=AP2+AB2+AC2=42+22+22=24，∴R=√6，则该球的体积为4πR33=8√6π.14.【答案】18√3【解答】解：设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，∴12×AB2×sin60°=9√3，解得AB=6，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=23×√32×6=2√3，OO′=√42−(2√3)2=2，则三棱锥D−ABC高的最大值为：6，则三棱锥D−ABC体积的最大值为：13×9√3×6=18√3．故答案为：18√3．15.【答案】163π【解析】解：∵圆锥的母线长为2，高为√3， ∴该圆锥的底面半径为r =√4−3=1， 由题意，圆锥轴截面的顶角为60°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O 的半径为R ， 由勾股定理可得R 2=(√3−R)2+12， 解得R =2√33， ∴球O 的表面积为4πR 2=4π×(2√33)2=163π．16.【答案】3 cm【解答】解：设钢球的半径为r ，则36π=43πr 3，解得r =3 cm ．17.【答案】解：如图，∵∠ADC =135°，∴∠CDE =45°，又CD =2√2，∴DE =CE =2，又AB =5，AD =2， ∴BC =5．则圆台上底面半径r 1=2，下底面半径r 2=5，高ℎ=4，母线长l =5，圆锥底面半径r 1=2，高ℎ′=2．∴S 表面=S 圆台底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2√2 =(4√2+60)π；V =V 圆台−V 圆锥=13π(25+10+4)×4−13π×4×2=1483π．18.【答案】解：设圆柱的底面半径为r ，表面积为S ，则由三角形相似得r2=√16−4−√3√16−4，得r =1，∴S 底=2π,S 侧=2√3π， ∴S =2π+2√3π．19.【答案】解：(1)由2AB +2πx =100得AB =50−πx ，由AB >0得，x ∈(0,50π)，所以防蚊液体积y =12×43πx 3+πx 2(50−πx)=(23π−π2)x 3+50πx 2，x ∈(0,50π);(2)求导得，令得x ⩽1003π−2；令得x ⩾1003π−2，所以y 在(0,1003π−2)上单调增，在(1003π−2,50π)上单调减， 所以当x =1003π−2时，y 有最大值， 此时AD =2x =2003π−2，AB =50π−1003π−2，答：当AD 为2003π−2毫米，AB 为50π−1003π−2毫米时，防蚊液的体积有最大值．。
高中数学人教A必修第二册精英同步卷：83简单几何体的表面积与体积 含答案
精英同步卷：8.3简单几何体的表面积与体积1、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A.32413+ B.32213+C.22221413++ D.22221213++2、如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗线(实线、虚线)画出的是某几何体的三视图,其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一,则该几何体的表面积为( )A.20B.π204+ C.3π204+ D.5π204+3、若圆锥的侧面展开图的圆心角为90︒，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．2π16rB．23π16rC．2π4rD．25π16r4、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. 2843122++B. 3643122++C. 3642123++D. 44122+5、下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π6、若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是( )A. 32cmB.33cmC. 333cmD. 33cm7、已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，3BC =．若球心O 在三棱锥的高AQ 的三等分点处，则球O 的半径为（ ）A ．364B ．2C ．3D ．48、已知正方体的体积是64,则其外接球的表面积是( ) A. 323π B. 192πC. 48πD.无法确定9、已知SC 是球 O 的直径, ,?A B 是球 O 球面上的两点,且1,3CA CB AB ==,若三棱锥S ABC -的体积为1,则球 O 的表面积为( ) A. 4π B. 13π C. 16π D. 52π10、某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为（ ）A.16B.206π+C.142π+D.16π+11、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 。
人教版高中数学必修第二册8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.棱长为3的正方体的表面积为()A.27B.64C.54D.362.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图L8-3-1),则三棱锥B1-ABC的体积V=()图L8-3-1A.1B.12C D3.如图L8-3-2,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V1,E为棱CC1上的点,且CE=13CC1,三棱锥E-BCD 的体积为V2,则 2 1=()图L8-3-2A.13B.16C.19D.1184.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为5,则该正四棱锥的体积为()A.43B.23C.43D5.已知正三棱柱的高为4,体积为43,则底面三角形的边长为()A.1B.2C.3D.46.如图L8-3-3,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,正三棱锥D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是()图L8-3-3.2B.3C.3D.27.如图L8-3-4,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则V1∶V2=()图L8-3-4A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶58.如图L8-3-5,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,水面的高为()图L8-3-5A.6B.7C.2D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.有一个正四棱台形的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别为60cm和40cm,则它的高为cm.10.已知正四棱柱的底面边长为22,体积为32,则此四棱柱的表面积为.11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四棱锥A1-EFGH的体积为.12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB,AC,AA1两两成60°角,点E,F,G分别为AB,AC,AA1上的点,且AE=12AB,AF=13AC,AG=23AA1,则三棱锥G-AEF的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2,3,6.(1)求这个长方体的体对角线长;(2)求这个长方体的体积.14.(10分)正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,求正四棱台的表面积.15.(5分)在《九章算术》中,堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图L8-3-6,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=AB=2,则当阳马B-A1ACC1的体积最大时,堑堵ABC-A1B1C1的体积为.图L8-3-616.(15分)如图L8-3-7是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2.(1)求该几何体的体积;(2)求截面ABC的面积.图L8-3-7参考答案与解析1.C[解析]所求表面积为6×32=54.2.D[解析]V=13×33.D[解析]由题意得,V1=S长方形ABCD·CC1,V2=13S△BCD·CE=13×12S长方形ABCD×13CC1=118S长方形ABCD·CC1,则 2 1=118.故选D.4.D[解析]由题知该正四棱锥底面的对角线的长度为22,故该正四棱锥的高h=5−2=3,所以其体积V=13×4×3=D.5.B[解析]设正三棱柱底面三角形的边长为a,则底面三角形的面积2,由正三棱柱的体积2×4=43,得a=2,故选B.6.B[解析]设正方体的棱长为1,则正方体的表面积为6,正三棱锥D-A1BC1的棱长均为2,其表面积为4×12×2sin60°×2=23,∴正三棱锥D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比B.7.C[解析]∵E是PC的中点,∴P,C到平面ABE的距离相等,∴V三棱锥P-ABE=V三棱锥C-ABE,又D是PB的中点,∴D到平面ABE的距离等于P到平面ABE的距离的12,∴V三棱锥D-ABE=12V三棱锥P-ABE=14V三棱锥P-ABC ,∴ 1 2= 三棱锥 - 三棱锥 - =14.故选C.8.A[解析]根据题意,当侧面AA1B1B水平放置时,有水的部分为四棱柱,其底面是梯形,设△ABC的面积为S,则S梯形=34S,水的体积V水=34S×A1A=6S.当底面ABC水平放置时,有水的部分为三棱柱,设水面的高为h,则V水=Sh=6S,故h=6,故选A.9.75[解析]设正四棱台的体积为V mL,上、下底面的面积分别为S'cm2,S cm2,高为h cm,则V=13(S+ '+S')h,即h=3×1900003600+2400+1600=75,故高为75cm.10.16+322[解析]设正四棱柱的高为h,则4,所以此四棱柱的表面积为4×4×22+2×22×22=322+16.11.43[解析]∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴四边形EFGH是边长为2的正方形,又点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2,∴四棱锥A1-EFGH的体积V=13×d×S正方形EFGH=13×2×2×2=43.12.127[解析]设三棱柱ABC-A1B1C1的高为H,三棱锥G-AEF的高为H',则三棱锥G-AEF的体积V=13×S△AEF×H'=13×S△AEF×23H.设△AEF的边AF上的高为h',则根据点E为AB的中点得,△ABC=12×AF×h'=12×13AC×h'=16AC×h',S△ABC=12×AC×2h'=AC×h',则三棱锥G 的边AC上的高为2h',所以S△AEF-AEF的体积V1=127AC×H×h',三棱柱ABC-A1B1C1的体积V2=AC×h'×H,故所求体积之比为127. 13.解:(1)设此长方体共顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则ab=2,bc=3,ac=6,解得c=3,a=2,b=1.故这个长方体的体对角线长为(2)2+(3)2+12=6.(2)由(1)可知这个长方体的体积V=abc=6.14.解:∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,∴=3,∴一个侧面的面积为12×(2+4)×3=33,∴正四棱台的表面积为4+16+33×4=20+123.15.2[解析]设AC=x,BC=y,则由题意得x>0,y>0,x2+y2=4.阳马B-A1ACC1的体积V1=13×2x×y=23xy,∵xy≤ 2+ 22=2,当且仅当x=y=2时取等号,∴当阳马B-A1ACC1的体积最大时,AC=BC=2,此时堑堵ABC-A1B1C1的体积V2=S△ABC·AA1=12×2×2×2=2.16.解:(1)如图,过C作平行于△A1B1C1的截面A2B2C,分别交AA1,BB1于点A2,B2.由题知,该几何体的体积V=三棱柱 1 11- 2 2+ 四棱锥- 2 2=12×2×2×2+13×12×(1+2)×2×2=6.(2)在△ABC中,AB=22+(4−3)2=5,BC=22+(3−2)2=5,AC=(22)2+(4−2)2=23,则S=12×23×(5)2-(3)2=6.△ABC。
高中数学新教材必修第二册第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积(南开题库含详解)
第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积一、选择题（共40小题；共200分）1. 一个四面体的所有棱长都为 √2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( ) A. 3πB. 4πC. 3√3πD. 6π2. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm ），该几何体的表面积和体积为 ( )A. 24π,12πB. 15π,12πC. 24π,36πD. 以上都不正确3. 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的 12，则其体积缩小到原来的 18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线 x +y +1=0 与圆 x 2+y 2=12 相切．其中真命题的序号是 ( ) A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③4. 如图，是一个几何体的三视图，其主视图、左视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，俯视图为边长为 2 的正方形，则此几何体的表面积为 ( )A. 8+4√2B. 8+4√3C. 6+6√2D. 8+2√2+2√35. 一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于 ( )A. 8√3B. 16√3C. 24√3D. 48√36. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA1=3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1=V AEA1−DFD1，V2=V EBE1A1−FCF1D1，V3=V B1E1B−C1F1C．若V1:V2:V3=1:4:1，则截面A1EFD1的面积为( )A. 4√10B. 8√3C. 4√13D. 167. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为( )A. π+√33B. 2π+√33C. 2π+√3D. π+√38. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 64B. 72C. 80D. 1129. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120∘，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A. 32π B. 52π C. 72π D. 92π10. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 180B. 240C. 276D. 30011. 已知某四棱锥的三视图，如图所示．则此四棱锥的体积为( )A. 6B. 5C. 4D. 312. 正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( )A. π3a B. π2a C. 2πa D. 3πa13. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A. √3+√6B. √3+√5C. √2+√6D. √2+√514. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 8−2πB. 8−πC. 8−π2D. 8−π415. 直三棱柱ABC−A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是( )A. AB1∥平面BDC1B. A1C⊥平面BDC1C. 直三棱柱的体积V=4D. 直三棱柱的外接球的表面积为4π16. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A. 9πB. 10πC. 11πD. 12π17. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A. 1+2π2πB. 1+4π4πC. 1+2ππD. 1+4π2π18. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 23π+4 B. 2π+4 C. π+4 D. π+219. 在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. 2π3B. 4π3C. 5π3D. 2π20. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为( )A. √23B. √33C. 43D. 3221. 小明在“欧洲七日游”的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新，现绘制该建筑物的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则小明绘制的建筑物的体积为( )A. 16+8πB. 64+8πC. 64+8π3D. 16+8π322. 正三棱锥的底面边长为a，高为√66a，则此棱锥的侧面积为( )A. 34a2 B. 32a2 C. 3√34a2 D. 3√32a223. 已知正方形ABCD的边长为6，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足∣MA∣+∣MB∣=10，则三棱锥A−BCM的体积的最大值是( )A. 48B. 36C. 30D. 2424. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. 18B. 17C. 16D. 1525. 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A. a33B. a34C. a36D. a31226. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. 2√23π B. 4√2π3C. 2√2πD. 4√2π27. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90∘，C为该球面上的动点，若三棱锥O−ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π28. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )A. 2B. 92C. 32D. 329. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. 500π3cm3 B. 866π3cm3 C. 1372π3cm3 D. 2048π3cm330. 一个棱锥三个侧面两两互相垂直，它们的面积分别为12cm2，8cm2，6cm2，那么这个三棱锥的体积为( )A. 8√2πB. 8√23C. 24√2D. 8√231. E，F分别是边长为1的正方形ABCD边BC，CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为( )A. 13B. 16C. 112D. 12432. 如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，D是棱AA1的中点，平面BDC1分此棱柱为上下两部分，则这上下两部分体积的比为( )A. 2:3B. 1:1C. 3:2D. 3:433. 正方体的全面积为a2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的半径是( )A. √36a B. √24a C. √22a D. √32a34. 如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1=2AA1=2，AB=CC1=3AA1，则多面体ABC−A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为( )A. 274B. 92C. 9D. 27235. 如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1，点P，Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为( )A. 2:1B. 3:1C. 3:2D. 4:336. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=( )A. 1B. 2C. 4D. 837. 如图所示，正方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ的棱长为1，E，F分别是棱AAʹ，CCʹ的中点，过直线E F的平面分别与棱BBʹ，DDʹ交于M，N，设BM=x，x∈[0,1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDDʹBʹ；②当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f(x)，x∈[0,1]是单调函数；④四棱锥Cʹ−MENF的体积V=ℎ(x)为常函数．以上命题中假命题的序号为( )A. ①④B. ②C. ③D. ③④38. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=√33．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E−BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线．其中，正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 439. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P−ABC的体积为( )A. 124B. 118C. 19D. 11240. 一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A. √5+3√3π2+3π2+1 B. 2√5+3√3π+3π2+1C. √5+3√3π2+3π2D. √5+3√3π2+π2+1二、填空题（共40小题；共200分）41. 已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为．42. 若一个球的体积为4√3π，则它的表面积为．43. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为．44. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4√3π，则该正方体的表面积为．45. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．46. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．47. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．48. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π，则正方体的棱长为．249. 如图是一个几何体的三视图．若它的体积是3√3，则a=．50. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．51. 用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．52. 用一张长为12米，宽为8米的矩形铁皮围成圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为．53. 有一个几何体的三视图及其尺寸（单位cm）如下图所示，则该几何体的表面积为：．54. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．55. 底面是正方形，容积为256的无盖水箱，它的高为时最省材料．56. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．57. 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．58. 已知一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为．59. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．60. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．61. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．62. 几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是．63. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．64. 用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．65. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．66. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．，则正视图与侧视图中x的值67. 一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为12π+8√53为．68. 如图是—个几何体的三视图，则该几何体的表面积为．69. 一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为．70. 如图所示，一款冰淇淋甜筒的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该甜筒的表面积为．71. ―个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．72. 正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2√3，则四面体A−B1CD1的外接球的体积为．73. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M−EFGH的体积为．74. 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1−BB1D1D的体积为．75. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球体积为．76. 如图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm）可知该几何体的表面积为．77. 图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，该几何体的外接球表面积为cm278. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．79. 一个圆锥体被过其顶点的平面截去一部分，余下的几何体的三视图如图所示（单位：cm），则余下的几何体的体积为cm3．80. 棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为．三、解答题（共20小题；共260分）81. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．82. 三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点，求四棱锥S−BCED的体积．83. 在单位正方体AC1中，点E，F分别是棱BC，CD的中点．（1）求证：D1E⊥平面AB1F；（2）求三棱锥E−AB1F的体积；（3）设直线B1E，B1D1与平面AB1F所成的角分别为α，β，求cos(α+β)的值．84. 如图，三棱锥S−ABC内接于一个圆锥（有公共顶点和底面，侧棱与圆锥母线重合）．已知AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，SA=SB=SC=10cm，（1）求圆锥的侧面积及侧面展开图的中心角；（2）求A经过圆锥的侧面到B点的最短距离．85. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，BC=AP=5，AB=3，AC=4，M，N分别在线段AD，CP上，且AMMD =PNNC=4．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）求三棱锥P−AMN的体积．86. 如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45∘，AB=2AD=2，∠BAD=60∘．（1）求证：BD⊥平面ADG；（2）求此多面体的全面积．87. 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12(m)，高4(m)，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4(m)（高不变）；二是高度增加4(m)（底面直径不变）．（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些?88. 如图，ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，Eʹ和Fʹ是平面ABCD内的两点，EʹE和FʹF都与平面ABCD垂直．（1）证明：直线EʹFʹ垂直且平分线段AD．（2）若∠EAD=∠EAB=60∘，EF=2，求多面体ABCDEF的体积．89. 如图，三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A−MBC的体积．90. 如图，四棱锥 P −ABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形，PO ⊥ 底面 ABCD ，AB =2，∠BAD =π3，M 为 BC 上一点，且 BM =12．（1）证明：BC ⊥ 平面 POM ； （2）若 MP ⊥AP ，求四棱锥 P −ABMO 的体积．91. 如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB =60∘，AB =2，AD =4，将 △CBD 沿 BD 折起到 △EBD的位置，使平面 EBD ⊥ 平面 ABD ．（1）求证：AB ⊥DE ； （2）求三棱锥 E −ABD 的侧面积．92. 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为 12 m ，高 4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m （高不变）；二是高度增加 4 m （底面直径不变）． （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积； （3）哪个方案更经济些?93. 如图所示，三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为 A 1B 1，AA 1 的中点，点 F在棱 AB 上，且 AF =14AB ．（1）求证：EF ∥平面BC 1D ；（2）在棱 AC 上是否存在一个点 G ，使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 1:15，若存在，指出点 G 的位置；若不存在，请说明理由．94. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求四面体N−BCM的体积．95. 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（1）证明：平面AEC⊥平面BED；，求该三棱锥的侧面积．（2）若∠ABC=120∘，AE⊥EC，三棱锥E−ACD的体积为√6396. 如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120∘，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点．（1）求A1A与底面ABC所成的角；（2）证明A1E∥平面B1FC；（3）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．97. 如图1，∠ACB=45∘，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90∘（如图2所示）．（1）当BD的长为多少时，三棱锥A−BCD的体积最大；（2）当三棱锥A−BCD的体积最大时，设点E,M分别为棱BC,AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．98. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设二面角D−AE−C为60∘，AP=1，AD=√3，求三棱锥E−ACD的体积．99. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30∘，求四棱锥P−ABCD的体积．100. 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM= AN=1．（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．答案第一部分1. A2. A3. C4. A 【解析】由三视图知，该几何体是底面为正方形的四棱锥，其直观图如下图．所以其表面积为2×2+2×(12×2×2)+2×(12×2×2√2)=8+4√2．5. A【解析】由三视图可以看出，该几何体为四棱锥，所以V=13×12(2+4)×4×2√3=8√3．6. C7. A8. C 【解析】该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组合而成，V=4×4×4+13×4×4×3=80．9. A 【解析】如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．因为AB=2，BC=1.5，∠ABC=120∘，所以AE=ABsin60∘=√3，BE=ABcos60∘=1，设V1是以ACD为轴截面的圆锥的体积，V2是以ABD为轴截面的圆锥的体积．V1=13π⋅AE2⋅CE=52π，V2=13π⋅AE2⋅BE=π，所以V=V1−V2=32π．10. B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个正方体组成，所以表面积=4×12×6×5+ 5×62=240．11. C 【解析】V=13×12×(2+4)×2×2=412. B 【解析】设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知43R2=16a，即R2=18a，所以S球=4πR2=4π⋅18a=π2a．13. C 【解析】由三视图可得：该几何体是四棱锥（如图所示），所以BA=BC=√2，BP=1，PA=PC=√3，PD=√5，可得PA⊥AD；S△PBC=S△PBA=1 2×√2×1=√22，S△PDC=S△PDA=12×√2×√3=√62，所以该几何体的侧面积S=2S△PBC+2S△PDC=√2+√6．14. B 【解析】该几何体为一个棱长为2的正方体在两端各削去一个14圆柱，V=2×2×2−2×14×(π×12×2)=8−π．15. D16. D17. A18. C19. C 【解析】提示：分析知，围成的几何体为如图所示一个圆柱挖去一个圆锥．20. A【解析】提示：如图，作AM⊥EF于点M，BN⊥EF于点N，则可将原多面体分成一个直三棱柱和两个三棱锥，然后去求其体积．21. C 【解析】由三视图可知，该建筑物由一个圆锥、一个圆柱以及一个正方体拼接而成，故所求几何体的体积V=13×π×12×2+π×12×2+4×4×4=64+8π3.22. A 【解析】利用高、底面正三角形的边心距和斜高组成的直角三角形可得斜高为√(√66a)2+(13×√32a)2=12a，于是侧面积S=3×12×a×12a=34a2．23. D24. D25. C【解析】提示：算出一个正四棱锥的体积再乘2即可．26. B27. C 【解析】在三棱锥O−ABC中，底面OAB的面积确定，所以要使O−ABC的体积最大，则C到平面OAB的距离最大，即为球的半径．设球半径为R，则三棱锥O−ABC的体积V max=13×12×R2×R=36，解得R=6，此时球的表面积S=4πR2=144π．28. D29. A30. D31. D 【解析】设AF，AE，EF折起交于点P，因为AP⊥PF，AP⊥PE，所以AP⊥面PEF，所以V P−AEF=V A−PEF=13×1×12×12×12=124．32. B【解析】不妨设此三棱柱为正三棱柱，AB=1，AA1=2，则正三棱柱的体积V=√34×2=√32，V下面部分=13×√32×32=√34，所以V上面部分=√34，所以上下两部分的体积的比为1:133. B 【解析】由正方体外接球的直径2R等于正方体的体对角线的长，得2R=√3⋅√a26，所以R=√24a．34. A35. A【解析】设B到AC的距离为m，AC=x，棱柱的高为ℎ，可得V四棱锥B−ACQP =16xℎm，V三棱柱ABC−A1B1C1=12xℎm，V四棱锥B−ACQPV三棱柱ABC−A1B1C1=13，所以平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为1:2．36. B 【解析】提示：此组合体是过圆柱对称轴的平面截圆柱所得的半个圆柱和一个半球组成的组合体．37. C 【解析】因为EF⊥BD，EF⊥面BDDʹBʹ，EF⊂面EMFN，所以平面MENF⊥平面BDDʹBʹ成立；又因为四边形EMFN为菱形，∣MN∣2=(1−2x)2+2，所以S MENF=12∣EF∣×∣MN∣=1 2×√2×√4x2−4x+3，当x=12时，面积最小，所以②成立；四边形MENF的周长L=f(x)=4√4x 2−4x +3，在 (0,12) 上是单调递减函数，在 (12,1) 上是单调递增函数，所以命题③不正确；V Cʹ−MENF =2V Cʹ−MNF =2V M−CʹNF =16，所以 V =ℎ(x ) 为常函数．38. D 【解析】因为在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，BD ⊥平面AA 1CC 1，CE ⊂平面AA 1CC 1，所以 BD ⊥CE ，①正确；EF =√33，而 C 到 EF 的距离即为 C 到 AC 1 的距离，所以 △EFC 面积为定值，又 B点到 平面EFC 的距离为定值，所以三棱锥 E −BCF 的体积为定值，②正确；因为 EF 为定值，且在体对角线 AC 1 上，所以 EF 在底面上的投影为定值，而点 B 到 AC 的距离为定值，所以 △BEF 在底面 ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形，③正确；因为平面 ABCD 与平面 DEA 1 不重合，显然在平面 ABCD 内存在无数条与平面 DEA 1 平行的直线，④正确．39. B 【解析】设 AP =CP =a ，在 △PAC 中，利用余弦定理有 cos∠APC =a 2+a 2−22a 2=1−1a 2，又因为当 AP ⊥BD 1 时，AP 最小，当 P 与点 D 1 重合时最大，所以 a ∈[√63,√2]，所以当 AP ⊥BD 1 时，∠APC 最大，在 △BDD 1 中，BP =√33，则 P 到面 ABC 的距离为 √33√3=13．所以 V P−ABC =12×1×1×13×13=118．40. A【解析】圆锥母线为 l =√(√5)2+1=√6，高为 ℎ=√(√5)2−1=2，圆锥底面半径为 r =√l 2−ℎ2=√2，截去的底面弧的圆心角为直角，截去的弧长是底面圆周的 14，圆锥侧面剩余 34，即为 S 1=34⋅π⋅rl =34π⋅√2×√6=3√32π，截面三角形的面积为 S 2=12×2×√5=√5，底面剩余部分为S 3=34πr 2+12×√2×√2=1+3π2，所以被截后该几何体的表面积为 S =3π2+3√3π2+√5+1．第二部分 41. 3 42. 12π【解析】提示：球的半径为 √3． 43. 14π 44. 24【解析】球的半径为 √3 ，则正方体的体对角线长为 2√3 ，从而正方体的棱长为 2 ，表面积为 6×22=24 ． 45. 16π−16 46. 12π【解析】提示：由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成．47. 12+π【解析】该几何体是一个长方体和一个圆柱的组合体．由三视图可知长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面半径为1，高为1，故该组合体的体积为V=4×3×1+π×1×1=12+π．48. √349. √3【解析】三视图对应的空间几何体是以2为底、高为a的三角形作为底面，以3为高的卧放的一个三棱柱．50. 2π+2√3351. 9√3π52. 288πcm3或192πcm3．53. 24πcm2【解析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm，底面直径是6cm．所以该三棱锥的表面积S=π×32+12×6π×5=24πcm2．54. 6+π【解析】如图：该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体．所以V=3×2×1+13π×12×3=6+π.55. 456. 108+3π【解析】由三视图可知，该几何体由两个长方体和一个圆柱组成．所以V=2×6×6×32+π×12×3=108+3π．57. 48【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，所以V=13×62×4=48．58. 5359. 9π260. 13【解析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A−BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则V=13×1×1×1=13．61. 20π3【解析】三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2m、高为2m的圆锥，下面是底面圆的半径为1m、高为4m的圆柱，所以该几何体的体积是13×4π×2+4π=20π3(m3)．62. 8√3+4√3π3【解析】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组成，所以体积为12×13×π×22×2√3+13×3×4×2√3=8√3+4√33π．63. 16+8π【解析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体和半个圆柱形成，所以体积为V=2×2×4+ 12π×22×4=16+8π．64. 9√3π【解析】如下图所示：PO=√62−32=3√3，所以体积为13⋅3√3⋅π⋅32=9√3π．65. 20π3【解析】该几何体的体积为π⋅4+13π⋅22⋅2=20π3m3．66. 3【解析】由三视图可知，该几何体为上面一个三棱柱，下方一个四棱柱．故V上＝12×1×1×2=1，V下＝2×1×1=2，所以V=1+2=3．67. 3【解析】由三视图可以看出，该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱组成．体积为13×(2√2)2×√5+π×22x=12π+8√53，所以x=3．68. 9π【解析】由三视图可知，该几何体的侧面积为2π×1×3=6π，下底面面积为π×12=π，顶部为半个球的表面积12×4π×12=2π，所以该几何体的表面积为9π．69. 7π【解析】由三视图可知该几何体是由一个圆柱和半个球组成，所以表面积为π×12+2π×1×2+12×4π×12=7π．70. 33π【解析】上半部分为半个球，表面积为12×4πr2=18π．下半部分为圆锥，侧面积为12×2πr×母线=15π．所以表面积为33π．71. 18+9π【解析】由三视图可知，该几何体为两个相切的球上方加了一个长方体组成的组合体，所以其体积为V=3×6×1+2×43π×(32)3=18+9π(m3).72. 36π．73. 11274. 1375. 43π【解析】由俯视图可知，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，根据射影定理，球心为斜边中点，半径为1，所以球的体积为43πr3=43π．76. (18+2√3)cm2．77. 77π【解析】提示：依题意得20=13×12×5×6×ℎ，解出ℎ=4．可算出外接球半径为√772，所以外接球表面积为77π．78. 83π【解析】由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成．其中，圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1m，圆锥的高均为1m，圆柱的高为2m．因此该几何体的体积为V=2×13π×12×1+π×12×2=83πm3．79. 16π9+2√33【解析】由三视图可知，该几何体由23个圆锥和一个三棱锥组成，所以体积为23×13π×22×2+13×12×2√3×1×2=16π9+2√33．80. √63【解析】提示：设这个棱长为1的正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D，可求得其高为ℎ=√63，设每个面面积为S，则V A−BCD =V P−ABC +V P−ACD +V P−ABD +V P−BCD ,所以13ℎS =13d 1S +13d 2S +13d 3S +13d 4S, 得 d 1+d 2+d 3+d 4=ℎ=√63． 第三部分81. （1） 交线围成的正方形 EHGF 如图．（2） 作 EM ⊥AB ，垂足为 M ，则 AM =A 1E =4，EB 1=12，EM =AA 1=8． 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH =EF =BC =10． 于是 MH =√EH 2−EM 2=6，AH =10，HB =6．故 S 四边形A 1EHA =12×(4+10)×8=56，S 四边形EB 1BH =12×(12+6)×8=72． 因为长方体被平面 α 分为两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97（79 也正确）． 82. ∵ D ，E 分别是 AB ，AC 中点， ∴ S △ADE =14S △ABC ，∴ V 三棱锥S−ADE =14V 三棱锥S−ABC ，∴ V 四棱锥S−BCED =V 三棱锥S−ABC −V 三棱锥S−ADE =34V 三棱锥S−ABC ．∵ 三棱锥 S −ABC 的三条侧棱两两垂直，∴ V 三棱锥S−ABC =16⋅SA ⋅SB ⋅SC =16×5×4×3=10，∴ V 四棱锥S−BCED =34V 三棱锥S−ABC =34×10=152．83. （1） 因为点 E ，F 分别是棱 BC ，CD 的中点，所以AF ⊥DE又AF ⊥DD 1DE ∩DD 1=D}⇒AF ⊥面EDD 1⇒AF ⊥D 1E 又C 1D ∥B 1A C 1D ⊥面BCD 1}⇒D 1E ⊥B 1AB 1A ∩AF =A }}⇒D 1E ⊥面AB 1F.（2） V E−AB 1F =V B 1−AEF =13⋅1⋅38=18．（3） 由⑴可知：D 1E ⊥ 平面 AB 1F ，直线 B 1E ，B 1D 1 与平面 AB 1F 所成的角分别为 α，β，即 α+β=∠EB 1D 1，所以cos(α+β)=cos∠EB1D1=54+2−(14+1+1)2×√52×√2=√1010．84. （1）因为AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，所以∠ACB=90∘⇒AB为底面圆的直径⇒S侧=12⋅10⋅π⋅5=25π．圆锥的侧面展开图是一个扇形，设此扇形的中心角为θ，弧长为l，则l=10θ，所以2π×52=10θ，所以θ=π2．（2）沿着圆锥的侧棱SA展开，在展开图△ABS中，∠ASB=45∘，SA=SB=10，⇒AB2= SA2+SB2−2SA⋅SB⋅cos∠ASB⇒AB=10√2−√2．85. （1）在AC上取一点Q，使得AQQC=4，连接MQ，QN，则AMMD =AQQC=PNNC，所以QN∥AP，MQ∥CD，又CD∥AB，所以MQ∥AB．又因为AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以平面PAB∥平面MNQ，又因为MN⊂平面MNQ，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．过C作CH⊥AD，垂足为H，则CH=3×45=125，因为PA⊥平面ABCD，CH⊂平面ABCD，所以PA⊥CH，又CH⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CH⊥平面PAD，因为PC=√PA2+AC2=√41，PNNC=4，所以N到平面PAD的距离ℎ=45CH=4825，所以V P−AMN=V N−PAM=13S△PAM⋅ℎ=13×12×5×4×4825=325.86. （1）在△BAD中，因为AB=2AD=2，∠BAD=60∘，所以由余弦定理可得BD=√3．AB2=AD2+BD2，所以AD⊥BD．又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以GD⊥BD．又AD∩GD=D，所以BD⊥平面ADG．（2）由已知可得AG∥EF，AE∥GF，四边形AEFG是平行四边形．GD=AD=1，所以EF=AG=√2．EB=AB=2，所以GF=AE=2√2．过G作GM∥DC交CF于H，得FH=2，所以FC=3．过G作GM∥DB交BE于M，得GM=DB=√3，ME=1，所以GE=2．cos∠GAE=2×2√2×√2=34，所以sin∠GAE=√74．S AEFG=2×12×√2×2√2×√74=√7．该几何体的全面积S=√7+2×12×1×√3+12×1×1+12×2×2+12×(1+3)×2+12×(2+3)×1=√7+√3+9.87. （1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积V1=13Sℎ=13×π×(162)2×4=2563π(m3),如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积V2=13Sℎ=13×π×(122)2×8=2883π(m3).（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m．棱锥的母线长为l=√82+42=4√5，则仓库的表面积S1=π×8×4√5=32√5π(m2),如果按方案二，仓库的高变成8m．棱锥的母线长为l=√82+62=10，则仓库的表面积S2=π×6×10=60π(m2).（3）∵V2>V1，S2<S1，∴方案二比方案一更加经济．88. （1）因为EA=ED且EEʹ⊥平面ABCD，所以EʹD=EʹA，所以点Eʹ在线段AD的垂直平分线上，同理点Fʹ在线段BC的垂直平分线上．又ABCD是正方形，所以线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点EʹFʹ都居线段AD的垂直平分线上，所以直线E′F′垂直平分线段AD．（2）连接EB，EC，设AD中点为M，由题意知，AB=2，∠EAD=∠EAB=60∘，EF=2，所以ME=√3，BE=FC=2，则多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E−ABCD和正四面体E−BCF两部分，在Rt△MEEʹ中，由于MEʹ=1，ME=√3，所以EEʹ=√2，所以V E−ABCD=13S正方形ABCD⋅EEʹ=13×4×√2=4√23．V E−BCF=V C−BEF=V C−BEA=V E−ABC=13S△ABC⋅EEʹ=13×12×4×√2=23√2,所以多面体ABCDEF的体积为V E−BCF+V E−ABCD=2√2．89. （1）在三棱锥A−BCD中，∵AB⊥平面BCD，又∵CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．又∵BD⊥CD，且BD∩AB=B，∴CD⊥平面ABD．（2）法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB=BD=1，∴S△ABD=12．∵M是AD中点，∴S△ABM=12S△ABD=14．由（1）知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C−ABM的高ℎ=CD=1，因此三棱锥A−MBC的体积为V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅ℎ=112.法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，且MN=12AB=12,又CD⊥BD,BD=CD=1，所以S△BCD=1 2 ,∴三棱锥A−MBC的体积V A−MBC=V A−BCD −V M−BCD =13AB ⋅S △BCD −13MN ⋅S △BCD=112.90. （1） 如图，因 ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连接 OB ，则 AO ⊥OB ，因为 ∠BAD =π3，故OB =AB ⋅sin∠OAB =2sinπ6=1. 又因为 BM =12，且 ∠OBM =π3，在 △OBM 中OM 2=OB 2+BM 2−2OB ⋅BM ⋅cos∠OBM=12+(12)2−2×1×12×cos π3=34,所以OB 2=OM 2+BM 2,故 OM ⊥BM ．又 PO ⊥ 底面 ABCD ，所以 PO ⊥BC ，从而 BC 与平面 POM 内两条相交直线 OM ，PO 都垂直， 所以 BC ⊥ 平面 POM ．（2）由（1）可知，OA =AB ⋅cos∠OAB =2⋅cosπ6=√3, 设 PO =a ，由 PO ⊥ 底面 ABCD 知，△POA 为直角三角形，故PA 2=PO 2+OA 2=a 2+3,由 △POM 也是直角三角形，故PM 2=PO 2+OM 2=a 2+34,连接 AM ，在 △ABM 中，AM 2=AB 2+BM 2−2AB ⋅BM ⋅cos∠ABM=22+(12)2−2⋅2⋅12⋅cos 2π3=214,由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2+PM2=AM2，即a2+3+a2+34=214,得a=√32,a=−√32(舍去),即PO=√32，此时S ABMO=S△AOB+S△OMB=12⋅AO⋅OB+12⋅BM⋅OM=12⋅√3⋅1+12⋅12⋅√32=5√3 8,所以四棱锥P−ABMO的体积V P−ABMO=13⋅S ABMO⋅PO=13⋅5√38⋅√32=5 16.91. （1）在△ABD中，因为AB=2,AD=4,∠DAB=60∘,所以BD=√AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠DAB=2√3.所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.又因为平面EBD⊥平面ABD．平面EBD∩平面ABD=BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．结合DE⊂平面EBD，可得AB⊥DE．（2）由（1）知AB⊥BD，因为CD∥AB，所以CD⊥BD，从而DE⊥BD．在Rt△DBE中，因为DB=2√3,DE=DC=AB=2,所以S△DBE=12DB⋅DE=2√3.又AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，所以AB⊥BE．因为BE=BC=AD=4,所以S△ABE=12AB⋅BE=4.又DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，故得到ED⊥平面ABD．而AD⊂平面ABD，所以ED⊥AD，因此S△ADE=12AD⋅DE=4.综上，三棱锥E−ABD的侧面积S=8+2√3.92. （1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积V1=13S⋅ℎ=13×π×(162)2×4=2563π(m3)如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积V2=13S⋅ℎ=13×π×(122)2×8=2883π(m3)（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m．圆锥的母线长为l1=√82+42=4√5(m)，则仓库的侧面积S1=π×8×4√5=32√5π(m2)；如果按方案二，仓库的高变成8m，圆锥的母线长为l2=√82+62=10(m)，则仓库的侧面积S2=π×6×10=60π(m2)．（3）因为V2>V1，S2<S1．所以方案二比方案一更加经济．93. （1）取AB的中点M，连接A1M．因为AF=14AB，所以F为AM的中点．。
高中数学8-3简单几何体的表体积第1课时柱体锥体台体的表面积与体积课后提能训练新人教A版必修第二册
第八章 8.3 第1课时A 级——基础过关练1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【答案】C【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2．(2021年银川月考)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144【答案】A【解析】由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×34×42×6＝483，所以表面积S ＝48(3＋3)．3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.故选B.4．(2021年郑州模拟)如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A ．13B ．12 C ．23 D ．34【答案】C【解析】∵V 三棱锥C －A ′B ′C ′＝13V 三棱柱ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V 四棱锥C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的( )A ．23B ．12 C ．13 D ．14【答案】C【解析】将正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′截去四个角后得到一个四面体B －DA ′C ′.设正方体的棱长为a ，则V 三棱锥B －B ′A ′C ′＝V 三棱锥A ′－ABD ＝V 三棱锥C ′－BCD ＝V 三棱锥D －A ′C ′D ′＝13×12×a ×a ×a＝a 36，∴四面体B －DA ′C ′的体积V ＝V 正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′－4V 三棱锥B －B ′A ′C ′＝a 3－2a 33＝a33，∴这个四面体的体积是原正方体体积的13.故选C.6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．【答案】2【解析】设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr ，解得r ＝1，即直径为2.7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．【答案】 3212【解析】S 表＝4×34×12＝3，V 体＝13×34×12×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝212.8．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．【答案】168π【解析】先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋（R －r ）2＝（4r ）2＋（3r ）2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157， 圆锥的高h ＝35×157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C －A 1DD 1，求棱锥C －A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．解：已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C －A 1DD 1的体积VC －A 1DD 1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12S h ＝16Sh ，余下部分体积为Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C －A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.B 级——能力提升练11．(2020年株洲期末)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔(d ǎo)，周四丈八尺，高一丈－尺，文积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少立方尺？这个问题的答案是(π≈3，1丈＝10尺)( )A ．2 112B ．2 111C ．4 224D ．4 222【答案】A【解析】由已知，圆柱底面圆的周长为48尺，圆柱的高为11尺，∴底面半径r ＝482π＝8(尺)，∴它的体积V ＝11πr 2＝2 112(立方尺)．故选A.12．(2021年哈尔滨月考)鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．图1是一个鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为( )A ．8(6＋62＋3)B ．6(8＋82＋3)C ．8(6＋63＋2)D ．6(8＋83＋2)【答案】A【解析】由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2(1＋2)的正方体截去了8个正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该鲁班锁玩具的表面积为6×4×(1＋2)2－4×12×2×2＋8×12×2×3＝8(6＋62＋3)．故选A.13．(2021年武汉模拟)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．【答案】90 138【解析】该几何体的体积V ＝4×6×3＋12×4×3×3＝90，表面积S ＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋12×4×3×2＋32＋42×3＋3×4＝138.14．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．【答案】8【解析】如图1为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图2所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.图1 图215．降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，现用上口直径为38 cm 、底面直径为24 cm 、深度为35 cm 的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量．如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，求本次降雨的降水量是多少毫米(精确到1 mm)．解：因为这次降雨的雨水正好是桶深的17，所以水深为17×35＝5(cm)．如图，设水面半径为r cm ，在△ABC 中，AC A ′C ′＝CB C ′B ，所以7r －12＝7，r ＝13.所以V 水＝13×(π×122＋π×122×π×132＋π×132)×5＝2 3453π(cm 3)．水桶的上口面积是S ＝π×192＝361π(cm 2)， 所以V 水S ＝2 3453π361π×10≈22(mm)．故此次降雨的降水量约是22 mm.16．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．设圆柱底面半径为r ，因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －RHx .所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πRHx 2(0<x <H )．(2)因为－2πR H <0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H 2时，S圆柱侧最大．故当x ＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．C 级——探索创新练17．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图1，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图2，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E ，F ，F 1，E 1分别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为( )A ． 3B ．2C ．332D ．94【答案】D【解析】设正三棱柱的底面积为S ，则VABC －A 1B 1C 1＝3S . ∵E ，F ，F 1，E 1分别为所在棱的中点．∴S AEF S ＝14，即S AEF ＝14S .∴S BCEF ＝34S .∴VBCFE －B 1C 1F 1E 1＝3×34S ＝94S .则图1中水面的高度为94.故选D.。
人教A版高一数学必修第二册第八章《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习题 2
8.3 简单几何体的表面积与体积题型1 柱体、椎体、台体的表面积与体积
一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体和圆柱的体积的比值
如图，已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO=3，则此正三
棱锥的表面积为
.
若正四棱锥的底面边长为2√2cm，体积为8cm，则它的侧面面积为.
题型2 球的表面积与体积
题型3 球的切、接问题
题型4 实际应用问题
一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土（钢筋体积略去不计，
精确到
0.01立方米）?
知高考。
高中数学必修二 8 简单几何体的表面积与体积(精练)(含答案)
8.3 简单几何体的表面积与体积(精练)【题组一 旋转体的体积】1．(2021·吉林·延边二中高一期中)阿基米德(Archimedes ，公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球(如图所示)，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为36π，则圆柱的体积为 ( )A ．36πB ．45πC ．54πD ．63π【答案】C 【解析】因为该球的体积为36π，设球的半径为R ，则34363R ππ=，解得3R =。
所以圆柱的体积为：23654V ππ=⨯⨯=，故选：C.2．(2021·河北·保定市第二十八中学高一月考)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)如图2所示，设酒杯上部分(圆柱)的体积为1V ，下部分(半球)的体积为2V ，若122V V =，则半球的半径与圆柱的高之比为( )A ．4:3B ．3:4C ．1:2D ．5:3【答案】B 【解析】设圆柱的高为h ，半径为r ，则圆柱的体积为21=V r h π.而半球的体积为332412==323V r r ππ⨯. 因为122V V =，所以324=3r r h ππ，所以3=4r h . 故选：B3(2021·全国·高一课时练习)如图所示，半径为R 的半圆内(其中∠BAC =30°)的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为_____，体积为_____．2R 356R π 【解析】如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1，在半圆中可得∠BCA =90°，又∠BAC =30°，AB =2R ，∴AC ，BC =R ，CO 1，∴1AO S 圆锥侧=π=32πR 2，1BO S 圆锥侧=π×R R 2，∴S 几何体表=S 球+11AO BO S S +=圆锥侧圆锥侧R 2，πR 2． 又V 球=43πR 3，∴V 几何体=V 球-(11AO BO V V +圆锥圆锥)=43πR 3-13×AB ×π×C 2143O =πR 3-22536R π⎫⨯=⎪⎪⎝⎭πR 3．2R ；356R π4．(2021·全国·高一课时练习)若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是__________.【解析】设圆锥的底面半径为r ，则22ππ=r ，所以1r =，圆锥的高h = 所以圆锥的体积213V r h π=5．(2021·全国·高一课时练习)若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为________． 【答案】12【解析】解析：设球体的半径为R 2312=2=33R V R R ππ⋅圆锥，343V R π球＝，33213==423R V R V ππ圆锥球． 故答案为：12【题组二 旋转体的表面积】 1．(2021·全国·高一课时练习)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=AD=2，则四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成几何体的表面积为( )A ．(60+πB ．(60+)π C ．(56+πD ．(56+)π【答案】A 【解析】四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，如图所示：因为25r AB ==，所以圆台下底面面积125S π=，又因为CD =，135ACD ∠=，所以12ED r ==，25l ==，所以圆台的侧面积()()212225535S r r l πππ=+=+⨯=.圆锥的侧面积3111122222S r l ππ=⨯⨯=⨯⨯⨯.所以几何体的表面积为(123253560S S S S πππ=++=++=+.故选：A2．(2021·山东邹城·高一期中)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )A ．圆锥的母线长为18B ．圆锥的表面积为27πC ．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°D ．圆锥的体积为【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ，以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2S l π=，又圆锥的侧面积3S rl l ππ==圆锥侧，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以233l l ππ=⨯，解得9l =，所以圆锥的母线长为9，故选项A 错误；圆锥的表面积239336S S S πππ=+=⨯⨯+⨯=圆锥侧底，故选项B 错误；因为圆锥的底面周长为236ππ⨯=，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为α，则69πα=⋅，解得23πα=， 所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C 错误；圆锥的高h =所以圆锥的体积为2133V π=⨯⨯⨯=，故选项D 正确． 故选：D ．3．(2021·重庆·垫江第五中学校高一月考)如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为则此圆锥的表面积为__________【答案】5π【解析】将圆锥侧面沿母线AB 剪开，其侧面展开图为扇形，如图，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，最短距离即为线段BM 长，则有BM = 而M 是线段AB '中点，又母线长为4，于是得22220AM AB BM +==，即2BAB π'∠=，设圆锥底面圆半径为r ，从而有：242r ππ=⋅，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S r r AB πππ=+⋅=.故答案为：5π4(2021·全国·高一课时练习)已知一块正方形薄铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米？【答案】()216cm π 【解析】由已知，可得这个无底的圆锥的母线长为8cm ，设圆锥的底面半径为cm r ，则282r ππ=⨯，所以2cm r =，所以圆锥的表面积即侧面积()22816cm S rl πππ==⨯=侧. 【题组三 多面体的体积】1．(2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)在三棱锥P ABC -中，已知5PA BC PB AC PC AB ======，则该三棱锥的体积为___________.【答案】8【解析】如图，设长方体的三条棱长为,,a b c ，由题得22220a b +==；2213a c +=；222525b c +==， 解之得2224,16,9a b c ===.所以2,4,3a b c ===. 所以该三棱锥的体积为112344243=832⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯.故答案为：82(2021·全国·高一课时练习)已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V ＝________cm 3.【答案】【解析】依题意，原几何体是由一个正方体上面接一个正四棱锥组成，其中正方体的棱长为1cm ，正方体的体积为1cm 3，正四棱锥的底面边长和侧棱长均为1cm ，体积为2113⨯=3)，所以该空间几何体的体积为(1V =cm 3.故答案为：3．(2021·全国·高一课时练习)球O 的球心为点O ，球O 3的圆锥，三棱锥V ABC -内接于球O ，已知,OA OB AC BC ⊥⊥，则三棱锥V ABC -的体积的最大值为_______．【解析】=O 的半径为r=，解得1r =， ,1OA OB OA OB ⊥==，AB ∴=AC BC ⊥，∴C 在以AB 为直径的圆上，∴平面OAB ⊥平面ABC ，∴O 到平面ABC 2，故V 到平面ABC 1+，又C 到AB∴三棱锥V ABC -的体积的最大值为，111)32⨯4．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且12AO BO CO A O B O C O =''=='，则O ABC O A B C V V --'''=___________. 【答案】18【解析】如题干图，12AO BO CO A O B O C O =''=='， 可证AB //A ′B ′，AC //A ′C ′，BC //B ′C ′.所以平面//ABC 平面A B C '''三棱锥O ABC -和三棱锥O A B C '''-高之比也为12，由等角定理得∠CAB =∠C ′A ′B ′，∠ACB =∠A ′C ′B ′，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′， 由12AO BO CO A O B O C O =''=='， 可得211()24ABC A B C S S '''==， 所以O ABC O A B C V V --'''==111428⨯=. 故答案为：185．(2021·山东·日照神州天立高级中学有限责任公司高一月考)如图是边长为1的正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、1AA 的中点，现在沿三角形GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的______.【答案】148【解析】1111113222248A FGH V -=⨯⨯⨯⨯=,所以148A FGH V V -=正方体， 故答案为：148. 6．(2021·黑龙江·哈师大附中高一期中)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，其中14AR AD =，13AP AC =，12AQ AB =，则:A PQR D BCPQ V V --=______．【答案】1:20【解析】作RG ⊥平面ABC ，作DH ⊥平面ABC ，则GH 共线，由14AR AD =，则14RG DH =， 由12AQ AB =，13AP AC =，则16APQ ABC S S =， 所以15APQBCPQ S S =， 所以11113:154203APQ R APQA PQR D BCPQ D BCPQ BCPQ S RG V V V V S DH ----⋅===⨯=⋅，故答案为：1:20【题组四 多面体的表面积】1．(2021·上海市控江中学高二期中)若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.【答案】100【解析】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高5h '=， 因此，侧面积28451002S +=⨯⨯=， 所以所求的侧面积为100.故答案为：1002(2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)已知正三棱锥O ABC -的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的侧面积为___________.【答案】【解析】由题意作出图形如图：因为三棱锥P ABC -是正三棱锥，顶点在底面上的射影D 是底面的中心，在三角PDF 中， 2PD =，DF =，PF ∴==则这个棱锥的侧面积为1342⨯⨯=故答案为：3．(2021·全国·高一课时练习)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．【答案】80+【解析】如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，过点1B 作1B F BC ⊥，垂足为点F ，在1Rt B FB 中1(84)22BF =⨯-=，18B B =，故1B F =所以111(84)2BB C C S =⨯+⨯=梯形故四棱台的侧面积4S =⨯=侧，所以448880S =⨯+⨯=+表故答案为：80+4．(2021·全国·高一课时练习)已知正四棱台两底面边长分别为4cm,8cm ，侧棱长为8cm ，则它的侧面积为_______2cm ．【答案】【解析】作出正四棱台的一个侧面如图，设,E F 分别为,AD BC 的中点，过D 作DG BC ⊥于点G ．由题知4cm,8cm,8cm AD BC CD ===，得2cm,4cm DE FC ==，解得2cm GC =，在Rt DGC △中，DG =，即斜高为，所以所求侧面积为)21(1632)cm 2⨯+⨯=．答案：5．(2021·全国·高一课时练习)若五棱台11111ABCDE A B C D E -的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为______．【答案】5【解析】S S S =+表侧两底，则30255S S S =-=-=两底表侧．故答案为：5.6(2021·全国·高一课时练习)如图，已知正三棱锥S ABC -的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高3SO =，则此正三棱锥的表面积为___________．【答案】【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h '，侧面积、底面积分别为12,S S ，过点O 作OE AB ⊥，与AB 交于点E ，连接SE ，则,SE AB SE h '⊥=．由21 2S S =，即21322a h '⋅⋅=⨯，可得a '.由SO OE ⊥，则222SO OE SE +=，即2223h ⎫''+=⎪⎪⎝⎭．h '∴=6a =．222 6S ∴=== 1 S =∴表面积 1 2 S S S =+==故答案为：【题组五 有关球的计算】1．(2021·新疆·新和县实验中学高一期末)若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是( )A ．1:B ．1:C ．2:4:9D ．【答案】A【解析】设三个球的半径分别为1R ，2R ，3R ，因为三个球的表面积之比为1:2:3，所以2221234π:4π:4π1:2:3R R R =，所以123::R R R =所以它们的体积之比为3333331231234π4π4π::::1:333R R R R R R == 故选：A.2．(2021·山东邹城·高一期中)已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2、1、1，且其顶点都在球面上，则该球的体积是( )AB ．6πC ．36πD ．【答案】A【解析】长方体1111ABCD A B C D -=长方体1111ABCD A B C D -343π⨯=⎝⎭． 故选：A ．3．(2021·全国·高一课时练习)两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是________．【解析】设大球的半径为R ，则有3334421,233R R ππ=⨯⨯=，所以R =4．(2021·全国·高一课时练习)一个底面直径是32cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9cm 且无溢出，则这个球的表面积是________．【答案】2576cm π【解析】由题意，上升的水的体积即为球的体积，若球的半径为R ，即23324923R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，解得12R =， 故这个球的表面积224412576S R πππ=⨯=⨯=．故答案为：2576cm π5．(2021·全国·高一课时练习)如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的表面积为________．【答案】6π【解析】如图，连接AC ，BD 交点为O ，设球的半径为r ，由题意知：SO AO OC OD OB r =====．则AB =，四棱锥的体积为21)3V r =⨯⨯=r = ∴该半球的表面积为22214362S r r r ππππ=⨯+==．故答案为：6π6．(2021·全国·高一课时练习)在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为为【答案】48π【解析】因为四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为 所以该四棱锥是正四棱锥，取正方形ABCD 的中心1O ，连接1SO ，AC ，则点1O 为AC 的中点，如图，则球心O 在1SO 上，因为正方形ABCD 边长为6AC ==，所以13AO =，因为SA =，所以1SO ==设四棱锥S ABCD -外接球的半径为r ，则11OO SO SO r =-，在1Rt AOO 中，22211AO AO OO =+，即)2223r r =+，解得：r =所以该四棱锥外接球的表面积为(224π4π48πr =⨯=.【题组六 综合运用】1(2021·全国·高一课时练习)如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x 的圆柱．(1)求出此圆锥的侧面积；(2)用x 表示此圆柱的侧面积表达式；(3)当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【答案】(1)；(2)224(02)S x x x ππ=-+<<圆柱侧；(3)π.【解析】(1)圆锥的底面半径R 与高H 均为2，则圆锥的母线长为L =2S RL ππ==⨯⨯=圆锥侧．(2)设圆柱的半径为r ， 则222r x -=，解得2r x =-，且02x <<； 所以圆柱的侧面积为222(2)24(02)S rx x x x x x ππππ==-=-+<<圆柱侧．(3)22242(1)1S x x x πππ⎡⎤=-+=--+⎣⎦圆柱侧，02x <<；当1x =时，S 圆柱侧取得最大值为2π，此时1r =，圆柱的体积为2211V r x πππ==⋅⋅=圆柱．2．(2021·贵州·高一月考)在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =6，BC =8，16AA =.(1)求三棱锥1D ABC -的体积；(2)在三棱柱111ABC A B C -内放一个体积为V 的球，求V 的最大值.【答案】(1)48；(2)323π. 【解析】(1)由长方体的几何特征知，1D 到平面ABC 的距离为116DD AA ==, 又1242ABC S AB BC =⋅=,所以11112464833D ABC ABC V S DD -=⋅=⨯⨯=； (2)设球的半径为R ，若该球与三棱柱111ABC A B C -的三个侧面均相切，则R 为ABC 的内切圆的半径，则()1242R AB AC BC ++=, 又=6+10+8=24AB AC BC ++，此时2R =；若该球与三棱柱111ABC A B C -的上下底面均相切，此时126R AA ==,3R =;所以在三棱柱111ABC A B C -内放一个体积为V 的球，该球半径最大为2，3max 4=2=3323V ππ⨯.3．(2021·浙江路桥·高一月考)如图所示，在平面五边形ABCDE 中，2AB AE CD ===，1BC =，DE =90ABC ∠=︒，90AED ∠=︒，分别沿AC ，AD 将ABC 与ADE 折起使得B ，E 重合于点P ．试求：(1)三棱锥A PCD -的体积；(2)三棱锥A PCD -的外接球的表面积．【答案】(2)8π．【解析】(1)PD =1PC =，2CD =，则222 PC PD CD PC PD +=⇒⊥，又AP PD ⊥，AP PC ⊥，PC PD D ⋂=，AP ⊥平面PCD .所以111111233232A PCD PCD V S AP PC PD PA -=⋅=⨯⋅⋅⋅=⨯⨯=△ (2)将三棱锥补成长方体知三棱锥A PCD -的外接球的直径即为长方体的体对角线长，即2R R ==，所以球的表面积为24π8πR =． 4．(2021·河北定州·高一期中)定州市某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160000cm 3(1)求正方体石块的棱长；(2)为争创全国文明城市，现将表面脏污，棱角轻微磨损的多面形石凳(图(1))打磨成一个球形的石凳，并用一种环保底漆全面粉刷.已知这种底漆一瓶的净含量为235克，可粉刷21.5m 左右，求此球形石凳最大时，一瓶环保底漆大约可以粉刷几个球形石凳？(精确到1)(π按3.14算)【答案】(1)40cm ；(2)3个.【解析】(1)设正方体石块的棱长为a ， 则每个截去的四面体的体积为3113222248a a a a ⨯⨯⨯⨯=. 由题意可得331600008483a a ⨯+=， 解得40a =.故正方体石块的棱长为40cm ；(2)当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大.此时正方体的棱长正好是球的直径，∴球形石凳的表面积224041600cm 2S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 41.51031600π⨯≈， 所以一瓶环保底漆大约可以粉刷3个球形石凳.5．(2021·湖北孝感·高一期中)如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形ABC 的边长为2cm ，侧棱14cm AA =，若侧面11AA B B 水平放置时(如下图2)，水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点．(1)求容器中水的体积；(2)当容器底面ABC 水平放置时(如图1)，求容器内水面的高度．【答案】(1))3cm ；(2)3cm ．【解析】(1)在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为)222112sin 601sin 6022S cm =⨯⨯︒-⨯⨯︒=，又高为4cm所以水的体积为)34V cm ==，(2)设图1中水高度为cm h ，则212sin 602V h =⨯⨯︒⨯=3h =． 所以当容器底面ABC 水平放置时，容器内水面的高度为3cm ．6．(2021·福建宁德·高一期中)如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为15π，底面半径为3r =.(Ⅰ)若正四棱柱的底面边长为a =(Ⅱ)求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.【答案】(Ⅰ)16123π-；(Ⅱ)【解析】设圆锥母线长为l ，高为h ，正四棱柱的高为1h(Ⅰ)由S rl π=圆锥侧，有315l ππ=，故5l =，由222h r l +=，故4h =，所以圆锥体积为2211341233V r h πππ==⨯⨯=圆锥由a =2， 由图可得11h r h r -=，所以11318433r h h r --==⨯=， 故正四棱柱的体积为21816233V a h ==⨯=正四棱柱 所以该几何体的体积为16123V V π-=-圆锥正四棱柱 (Ⅱ)由图可得12r h h r =，即13243h =，即1312h +=由13h +≥，当且仅当136h ==时左式等号成立，有112h a ⇒≤12h =，a =故正四棱柱侧面积14S h a =≤侧12h =，a =所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为7．(2021·福建福州·高一期中)如图所示的圆锥，顶点为O ，底面半径是5cm ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm ，这个平面与母线OA 交于点B ，线段AB 的长为10cm ．(提示：本题的数据有长度单位)(1)求圆台的体积和圆台的侧面积；(2)把一根绳从线段AB 的中点M 开始到点A ，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；【答案】cm 3，75πcm 2；(2)25cm. 【解析】(1)作出圆锥的轴截面和沿OA 剪开的侧面展开图，如下图由下底面半径是5cm ，上底半径为2.5cm ，AB 的长为10 cm ，可得：10OB =cm ，因此圆台的体积为：223115 2.5(33cm )V ππ=⨯⨯⨯=， 侧面积为：2520 2.510)75cm (S πππ=⨯⨯-⨯⨯=．(2)由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10π， 所以，侧面展开图的圆心角为2π，在直角三角形MOA '中15OM =，可得25(cm)MA '=，所以最短时候，绳长为25cm。
高中数学必修二 8 3 简单几何体的表面积与体积(精练)(含答案)
8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）【题组一 多面体表面积】1．（2020·全国高一课时练习）长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =.210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==.故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.故选：C.2．（2021·江苏南通市）一个正四棱锥的底面边长为2A ．8B ．12C ．16D ．20 【答案】B， 所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B3．（2020·全国高一课时练习）若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为6a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292aD ．232a 【答案】C 【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，12323OD a a =⨯⨯=，111326O D a a =⨯⨯=，116DE OD O D a ∴=-=.在1Rt DED 中，16D E a =，则1D D =a ==. 2193(2)22S a a a a ∴=⨯+=侧.故选：C4．（2020·河北沧州市一中高一月考）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ）A ．32B ．48C ．64D ．323【答案】A【解析】如图:正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成直角△POE ．∵OE =2cm ，∠OPE =30°，∴斜高h ′=PE =4sin 30o OE =，∴S 正棱锥侧=114443222ch =⨯⨯⨯=' 故选：A5．（2020·全国高一课时练习）已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的表面积为（ ）A B ．12 C ．8 D ．【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，取BC 中点E ，连接SE ，则SBE △为直角三角形，所以2SE ==， 所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△.故选：B.6．（2021·内蒙古包头市·高三期末（文））已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)81 【答案】D【解析】正四棱锥如图，设四棱锥的高OE h =，由底面边长为4，可知2OF =，斜高EF故2142h =⨯2=2h +故侧面积为(214448812h ⨯⨯==+=+， 故选：D. 7．（2020·山西吕梁市）已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+【答案】A 【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：△△△△+++=BCD ABC ADC ABD S S S S1111222222222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+故选：A8．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学）长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6 【答案】D【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，则长方体的表面积为342+2423108a a ⨯⨯⨯+⨯=，解得a =6，故选：D9．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+ 【答案】C【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ， ∴球的直径为正四棱柱的体对角线∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为= ∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×＋(2cm )，故选：C【题组二 多面体台体积】1．（2021·扶风县法门高中）正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618a =，解得a =所以该正方体的体积为3V a ==3cm .故答案为：2．（2021·湖南长沙市）如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶4【答案】B 【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为,,a b c则长方体的体积为1V abc =，四棱锥1A ABCD -的体轵为213V abc =， 所以棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为13. 故选：B.3．（2020·浙江高一期末）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m【答案】A 【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，34AB BC ==，21PO =，所以正四棱锥P ABCD -的体积为311343421809233ABCD S PO m ⨯⨯=⨯⨯⨯=， 故选：A4．（2020·辽宁沈阳市·沈阳二中高一期末）《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．4003 【答案】B【解析】(()2211+=33V S S h a b h '=+⋅ ()2211305545615333=⨯=⨯⨯=. 故选:B 5．（2021·浙江高一期末）出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD ，21PO =，34AB =，底面正方形的面积为234341156S m =⨯=，则正四棱锥P ABCD -的体积为311115621809233S PO m ⨯⨯=⨯⨯=， 故选：A6．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积；（2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【答案】（1）6+；（2）203【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥1A ABD -中，1A BD 是边长为1A AD 、1A AB 、ABD △都是直角边为2的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥1A ABD -的表面积(111231322642A BD A AD A AB ABD S S S S S =+++=⨯+⨯⨯⨯=+（2）正方体的体积为328=，三棱锥1A ABD -的体积为111142223323ABD SAA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积为420833-=. 【题组三 旋转体的表面积】1．（2021·浙江丽水市）经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π 【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则l =，由题可知)2122⨯=，∴2r l ==，侧面积为rl π=，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ）A ．81πB ．100πC ．168πD ．169π 【答案】C【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r ，则下底面半径4r r '=，高4h r =则它的母线长510l r ====∴2r，8r '=. ∴()(82)10100S r r l πππ'=+=+⨯=侧，22100464168S S r r ππππππ'=++=++=表侧.故选：C3．（2020·全国高一课时练习）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ）A ．94B ．3C ．12D ．36【答案】B【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r 、R ，设圆锥的母线长为L ，截得小圆锥的母线长为l ，∵圆台的上、下底面互相平行 ∴14l r L R ==，可得L=4l ∵圆台的母线长9，可得L ﹣l =9 ∴3L 4=9，解得L=12， ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3故选B4．（2020·全国高一课时练习）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A ．3B ．5C ．6D ．7 【答案】D【解析】设圆台较小底面圆的半径为r ，由已知有另一底面圆的半径为3r ，而圆台的侧面积公式为(3)4384,7r r l r r πππ+=⨯⨯==，选D.5．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高一期末）圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．5πD ．2π 【答案】A【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2，圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π ,故选：A6．（2021·广西河池市·高一期末）已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________．【答案】4【解析】设圆柱的高为h ，有28h ππ=，得4h =．故答案为：4.7．（2021·河南焦作市·高一期末）已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】4π【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为a ，圆柱的底面半径为r ()02r <<，则由224r a-=，可得42a r =-，所以圆柱的侧面积()22242484(1)4S r r r r r πππππ=⋅-=-+=--+，所以1r =时，该圆柱的侧面职取最大值4π. 故答案为：4π．8．（2020·北京高一期末）将底面直径为8，高为最大值为______.【答案】【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，4r =，解得2h r =；所以()2224S rh r r r ππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r时，S 圆柱侧取得最大值为故答案为：. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.9．（2021·陕西西安市·西安中学高一期末）若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________. 【答案】4:1【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意得：22l r ππ=,即4l r ，所以其侧面积是214S rl r ππ==，底面积是22S r π=，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4:1 故答案为：4:1【题组四 旋转体的体积】1．（2020·山东菏泽市·高一期末）若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ） A ．4π3cm B ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm【答案】C【解析】设圆锥母线长为l ，则侧面积为123152S l r l πππ=⋅==，故5l =.故圆锥的高4h =，圆锥体积为21123V r h ππ==3cm .故选：C.2．（2021·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【答案】128π【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ， 则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=∴该容器的容积为3128cm π.故答案为128π.3．（2020·湖南长沙市·高一期末）圆锥的母线与底面所成的角为60︒，侧面积为8π，则其体积为________.【答案】3【解析】如图所示，圆锥的母线与其底面所成角的大小为60︒，60SAO ∴∠=︒，由题意设圆锥的底面半径为r ，则母线长为2l r =，高为h =圆锥的侧面积为8π，2228S rl r r r ππππ∴==⋅⋅==侧面积，解得2r ，h =∴圆锥的体积为2211233V r h ππ=⋅⋅=⨯⨯=圆锥．故答案为：3．4．（2020·江苏南京市·高一期末）把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ） A ．23πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】正方体棱长为2，所以正方体底面正方形的内切圆半径为1，面积为21ππ⨯=，以此内切圆为底、高为2的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为22ππ⨯=. 故选：C5．（2020·山东日照市·高一期末）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（ ） A ．61.73 B ．61.71C ．61.70D ．61.69【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则230r π=，所以=5r ， 故221135410033V r h π==⨯⨯⨯=（立方尺）， 因此10061.731.62V =≈（斛）. 故选：A.6．（2020·江苏无锡市·高一期末）某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ） A ．24π米3 B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米3【答案】B【解析】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为21614483V ππ=⨯⨯⨯=立方米； 仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为22618963V ππ=⨯⨯⨯=立方米. 所以新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为2148V V π-=立方米. 故选：B. 【题组五 球】1．（2021·天津滨海新区）在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为外接球的体积为（ ）A ． BC ．D ．【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则111111B D AC AB AD B C D C ======，由于三棱锥11A B CD -的表面积为所以)121442AB CS S==⨯=a ==，所以正方体的外接球的体积为34632π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．2．（2020·广东高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==，若此长方体的八个顶点都在体积为92π的球面上，则此长方体的表面积为（ ） A ．16 B ．18C ．20D ．22【答案】A【解析】根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长， 因为长方体外接球的体积为92π，设外接球半径为R ， 则33924R ππ=，解得32R =，因此2R =22AB BC ==，所以3=12BB =，因此长方体的表面积为：1122248416S AB BC AB BB BC BB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=. 故选：A.3．（2020的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．3【答案】B的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,13⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3． 故选：B ．4．（2021·全国高一）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）A ．343a π B ．3aC 3aD ．316a π【答案】D【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的12， 所以球的半径为2a ，所以球的体积为334326a a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.5．（2021·湖南邵阳市·高一期末）一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ） A ．12π B ．36πC ．108πD ．4π【答案】B【解析】设球的半径为R ,球的体积为3436=3R ππ,解得3R =,则球的表面积244936R πππ=⨯=， 故选：B6．（2020·浙江高一期末）已知正方体外接球的体积是323π，那么该正方体的内切球的表面积为_____________． 【答案】163π【解析】设正方体棱长为a ，则3432323ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得a =∴内切球半径为23a r ==，表面积为21643S ππ=⨯=⎝⎭． 故答案为：163π．【题组六 组合体的体积表面积】1．（2020·全国高一课时练习）如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．【答案】20 323-【解析】由图形观察可知，几何体的面共有2(242)20⨯⨯+=个， 该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积. 两个四棱柱的体积和为222432V =⨯⨯⨯=. 交叉部分的体积为四棱锥S ABCD -的体积的2倍.在等腰ABS 中，SB SB =边上的高为2，则SA =由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形ABCD 的菱形. 设AC 的中点为H ，连接,BH SH 易证SH 即为四棱锥S ABCD -的高，在Rt ABH 中， 2.BH ==又AC SB ==所以 1222ABCDS=⨯⨯=因为BH SH =，所以112233ABCDS ABCD V S -=⨯=⨯=四棱柱所以求体积为3223233-⨯=-故答案为：20；323-2．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.【答案】366π-【解析】因为222345+=，所以底面是直角三角形， 所以上、下底面内切圆半径34512r +-==， 所以剩余部分几何体的体积21346163662V ππ=⨯⨯⨯⨯=-⨯-， 所以剩余部分几何体的体积为366π-.3．（2021·江西九江市）在底面半径为2，高为面积之比为1：4，求圆柱的表面积.【答案】1)π【解析】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，即圆柱底面半径1r =，若设圆柱的高为h 12=，即h = ∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，即：2221)S rh r πππ=+=.。
人教A版高中数学必修第二册课后习题第八章立体几何初步 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积A级必备知识基础练1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )A.36π,144πB.36π,36πC.144π,36πD.144π,144π2.圆台上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为5,则圆台的体积为( )A.40πB.52ππC.50πD.21233.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于( )A.4√2B.8C.8√2D.8√3π,则此圆锥的侧面积4.若一个圆锥的高和底面直径相等,且它的体积为23为( )A.√5πB.√3πC.√2πD.2√5π5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛6.圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为( )A.18√5πB.9(1+2√5)πC.9√5πD.9(1+√5)π7.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为.8.一个正方体的外接球、正方体、正方体的内切球的表面积之比为.B级关键能力提升练9.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( )A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶210.(多选题)已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,过点C作CD⊥AB,垂足为D,下列说法正确的是( )A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15πB.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36πC.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25πD.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π11.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.12.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是长方形,底面周长为8,PD=3,且PD是四棱锥的高.设AB=x.(1)当x=3时,求三棱锥A-PBC的体积;(2)求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值.参考答案8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.B 球的半径为3,表面积S=4π×32=36π,体积V=43π×33=36π.2.B 作出圆台的轴截面如图所示,上底面半径MD=2,下底面半径NC=6,过点D 作DE 垂直NC,垂足为点E,则EC=6-2=4,CD=5,故DE=3.即圆台的高为3,所以圆台的体积为V=13×3×(π×22+π×62+√π×22×π×62)=52π.3.B 设正方体棱长为x,球半径为R,则S 球=4πR 2=4π, ∴R=1.∵正方体内接于球,∴√3x=2R=2,∴x=2√3,∴S 正=6x 2=6×2√32=8.4.A 如图所示,设圆锥的底面半径为r,则高为h=2r,所以圆锥的体积为V圆锥=13π·r 2·2r=23π,解得r=1,h=2,l=√ℎ2+r 2=√4+1=√5,则此圆锥的侧面积为S 侧面积=πrl=π×1×√5=√5π.故选A.5.B 设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=14×13·πR 2h=112×π×16π2×5.∵π≈3,∴V≈3209(立方尺).∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).6.D ∵圆锥的高h 和底面半径r 之比h ∶r=2∶1,∴h=2r,又圆锥的体积V=18π,即13πr 2h=2πr 33=18π,解得r=3,∴h=6,母线长为l=√ℎ2+r 2=√62+32=3√5,则圆锥的表面积为S=πrl+πr 2=π×3×3√5+π×32=9(1+√5)π. 7.4R 设圆柱的高为h,则3×4π3R 3=πR 2·h,解得h=4R.8.3π∶6∶π 设正方体的棱长为2a,外接球半径为R,内切球半径为r,则2R=2√3a,R=√3a,2r=2a,r=a.所以,外接球、正方体、内切球的表面积之比为S 1∶S 2∶S 3=(4πR 2)∶[6×(2a)2]∶(4πr 2)=[4π(√3a)2]∶(24a 2)∶(4πa 2)=12π∶24∶4π=3π∶6∶π.9.CD 依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR 2,∴A 错误;圆锥的侧面积为πR×√5R=√5πR 2,∴B 错误;球的表面积为4πR 2,∵圆柱的侧面积为4πR 2,∴C 正确;∵V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3,V 圆锥=13πR 2·2R=23πR 3,V 球=43πR 3,∴V 圆柱∶V 圆锥∶V 球=2πR 3∶23πR 3∶43πR 3=3∶1∶2,∴D 正确.10.AD 以BC 所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,∴侧面积为π×3×5=15π,体积为13×π×32×4=12π,∴A正确,B 错误;以AC 所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为π×4×5=20π,体积为13×π×42×3=16π,∴C 错误,D 正确.11.解该组合体的表面积S=4πr 2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr 3+πr 2l=43π×13+π×12×3=13π3.12.解(1)当x=3时,AB=3,BC=1,S △ABC =12AB·BC=32,因此V A-PBC =V P-ABC =13PD·S △ABC=32.(2)将四棱锥P-ABCD 补成长方体ABCD-A 1B 1C 1P,则四棱锥P-ABCD 的外接球和长方体ABCD-A 1B 1C 1P 的外接球相同.因为AB=x,则BC=4-x,0<x<4,所以球的半径R=√AB 2+BC 2+PD 22=√2x 2-8x+252,当x=2时,R 取得最小值√172. 故四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积的最小值为4πR 2=17π.。
8.3简单几何体的表面积与体积同步练习- 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册第八章
15．直三棱柱 的各个顶点都在球O的球面上，且 ．若球O的表面积为 ，则这个三棱柱的体积是_________．
16．在长方体 中， ，点 为线段 上一点，且 平面 ，则三棱锥 的外接球体积为_______ Nhomakorabea___.
A． B． C． D．
4．已知三棱锥 的棱长均为1，现将三棱锥 绕着 旋转，则 所经过的区域构成的几何体的体积为（）
A． B． C． D．
5．已知某几何体的三视图如下所示，则该几何体的表面积为（）
A． B．
C． D．
6．已知球与棱长为 的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（）
A． B． C． D．
19．已知下列几何体三视图如图.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体外接球的体积.
20．如图，长方体 由， ， ， ，过 作长方体的截面 使它成为正方形.
（1）求三棱柱 的外接球的表面积；
（2）求 .
21．正四棱台 的下底边长 ，它的内切球半径为3．
（1）求正四棱台的表面积 ；
（2）求 与底面 所成角的正弦值．
A．该正方体的核长为2B．该正方体的体对角线长为
C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为
10．在四面体 中， ， ，直线 ， 所成的角为60°， ， ，则四面体 的外接球表面积为（）
A． B． C． D．
11．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点， ，则下列结论正确的是（）
四、解答题
17．如图，长方体 的体积是24，E为 的中点，平面 将长方体分成三棱锥 和多面体 两部分．
2023~2024学年人教A版(2019)必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》易错题集二
2023~2024学年人教A 版（2019）必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》易错题集二考试总分：66 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，，，则（ ）A.B.C.D.2. 已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为，则球的内接正方体的棱长为（ ）A.B.C.D.3. 已知正三棱柱中，侧面的面积为，则正三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）A.B.ABCD 1O =x +y +z AO −→−AB −→−AC −→−AD −→−x y z ∈R x +y +z =34131214A B C O AB =BC =CA =2O ABC 2O 123–√3283ABC −A 1B 1C 1BCC 1B 14ABC −A 1B 1C 1C. D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）4. 如图，正四棱台的高为，，，则下述正确的是()A.B.C.三棱锥外接球的半径为D.点到面的距离为5. 已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ）A.异面直线与所成角为B.点到平面的距离为C.四面体的外接球体积为D.动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆6. 我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的球称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为，则下列说法中正确的有( ).A.正方体的棱切球的半径为B.正四面体的棱切球的表面积为C.等长正六棱柱的棱切球的体积为D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为7. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）ABCD −A 1B 1C 1D 123–√A =4D 12–√A ⊥C D 1D 1AB =42–√∠CA =B 145∘−CA B 1D 123–√D A C B 123–√ABCD 2AC BD 60∘A BCD 26–√3ABCD π6–√P BCD AP AC 60∘P 12–√π24π357π12AC SO O B O A C SO =OC =2A.圆锥的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为C.的取值范围是D.若，为线段上的动点，则的最小值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）8. 将正方形沿对角线折起，得到三棱锥，使得，若三棱锥的外接球的半径为，则三棱锥的体积为________.9. 在四面体中，与都是边长为的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的表面积为________.10. 在一个棱长为的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥），且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的体积的最大值是________．11. 在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为________.12. 如图，在一个正方形内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形．将四个等边三角形折起来，使，，，重合于点，且折叠后的四棱雉的外接球的表面积是（如图），则四棱锥的体积是________．SO 4π2–√S −ABC 83∠SAB (,)π4π3AB =BC E AB SE +CE 2(+1)3–√ABCD AC −ABC D ′B =4D ′−D ′ABC 22–√−ABC D ′ABCD △ABD △BDC 2ABD ⊥BDC 12A −BCD △ABD △CBD 2A −BD −C 60∘1S 1S 2S 3S 4S 1S 2S 3S 4S S −ABCD 16π2S −ABCD四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ）13. 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为．试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．14. 已知三棱柱中，四边形与四边形为全等的矩形，，是的中点．若，证明：平面若是等边三角形，求点到平面的距离．）八\15. 如图，在直三棱柱中， 侧面，是上的中点，且.求证： 平面；若三棱锥的体积是，求异面直线和所成角的大小．316R r (1)R r (2)ABC −A 1B 1C 1ABB 1A 1ACC 1A 1A =2=4A 1A 1B 1E CC 1(1)AB ⊥AC AE ⊥E A 1B 1(2)△ABC A 1AEB 1101ABC −A 1B 1C 1AB ⊥B C B 1C 1E CC 1BC =1,B =2B 1(1)E ⊥B 1ABE (2)A −BEA 13–√3AB A 1C 1参考答案与试题解析2023~2024学年人教A 版（2019）必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》易错题集二一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1.【答案】A【考点】棱锥的结构特征空间向量的数乘运算空间向量【解析】根据正四面体的性质求出棱锥的高，根据等体积法求出内切球的半径，建立坐标系，求出各向量的坐标，代入坐标运算即可解出．【解答】解：设正四面体的高为，延长交于，则为的中点．∴，，∴，设内切球半径为，则，∴，∴，以为原点，建立如图所示的空间坐标系，则，，，，AM DM BC E E BC DE =3–√2DM =DE =233–√3AM ==A −D D 2M 2−−−−−−−−−−√6–√3r =⋅AM =4××r V A−BCD 13S △BCD 13S ⋅BCD r ==AM 46–√12OM =6–√12M M −xyz A (0,0,)6–√3B (,−,0)123–√6C (−,−,0)123–√6D (0,,0)3–√3O (0,0,)6–√12(0,0,−)−→−–√(,−,−)−→−–√–√∴，，，，，解得．∴．故选.2.【答案】D【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：设该球的半径为，可得，所以，设内接正方体的棱长为，所以，所以，故选．3.【答案】D【考点】球内接多面体球的表面积和体积=(0,0,−)AO −→−6–√4=(,−,−)AB −→−123–√66–√3=(−,−,−)AC −→−123–√66–√3=(0,,−)AD −→−3–√36–√3=x +y +z AO −→−AB −→−AC −→−AD −→− x −y =01212−x −y +z =03–√63–√63–√3−x −y −z =−6–√36–√36–√36–√4x =y =z =14x +y +z =34A r =+r 222(×)233–√2r =43–√3a 3=a 2(2×)43–√32a =83D棱锥的结构特征【解析】画出图形，设出侧面的边长，利用面积列出关系式，转化求解外接球的半径的最小值，然后求解表面积的最小值即可．【解答】如图：设＝，＝，球的半径为，外接球的球心为，底面三角形的中心为，由侧面的面积为，可得＝，外接球的表面积取最小值时，∵＝＝，∴＝＝，当且仅当，＝，＝．此时外接球取得最小值：•＝．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）4.【答案】A,B,D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱台的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：，连接，，.由题意得，，，∴.BCC 1B 1BC a BB 1b R O O 1BCC 3B 14ab 7A 1O 1×a R ≥ab 4b 4πA AD 1C D 1AC A =C =4D 1D 12–√A ⊥C D1D 1AC ==8A +D 21D 1C 2−−−−−−−−−−−√Rt △ABC在中，，，∴，故正确；，在中，，，∴，∴.又，∴，故正确；，∵，∴，故错误；，∵，∴点到面的距离等于正四棱台的高，即，故正确.故选.5.【答案】B,C【考点】异面直线及其所成的角球的表面积和体积球内接多面体点、线、面间的距离计算【解析】分别对，，，各个选项进行判断即可．【解答】解：对于，如图：在等边三角形中，为边上的高，在等边三角形中，为边上的高，∴，，∴平面，∴.故不正确；对于，在四面体中，过作平面于点，则为底面正三角形的重心.Rt △ABC AB =BC A +B =A B 2C 2C 2AB =BC =42–√A B △CA B 1C =A =4B 1B 12–√AC =8+A =A B 1C 2B 21C 2∠A C =B 190∘C =A B 1B 1∠CA =B 145∘B C 2R ==2(4+(4+(22–√)22–√)23–√)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√19−−√R =19−−√C D =V D−A C B 1V −ADC B 1D A C B 123–√D ABD A B C D A ABD AE BD BCD CE BD AE ⊥BD CE ⊥BD BD ⊥ACE BD ⊥AC A B ABCD A AH ⊥BCD H H BCD H =2–√棱长为，则，.故正确；对于，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是，正方体的对角线长为：，则外接球的体积为：.故正确；对于，很显然点的轨迹是一段圆弧.故不正确.故选．6.【答案】B,C,D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积球内接多面体【解析】利用新定义，对选项逐个判断即可.【解答】解：，由新定义可知，正方体的棱切球的半径为正方体的中心到各棱的距离，故半径为，故错误；，由新定义可知，正四面体的棱切球的球心为正四面体的中心，球心到正四面体的顶点的距离为，故半径为，故棱切球的表面积为，故正确；，由新定义可知，等长正六棱柱的棱切球的球心为等长正六棱柱的中心，故半径为，棱切球的体积为，故正确；，由新定义可知，棱切球在每个面的截面即为该面的棱切圆，故底面的截面面积为，侧面的截面面积为，故截面面积之和为，故正确.故选.7.2BH =23–√3AH ==A −B B 2H 2−−−−−−−−−−√236–√B C 2–√6–√π×(=π436–√2)36–√C D P D BC A =+()122()122−−−−−−−−−−−−√2–√2A B ×=−12(×)3–√2232−−−−−−−−−−−−−−√346–√4=−()6–√42()122−−−−−−−−−−−−−−√2–√44π×=()2–√42π2B C 1×=4π3134π3C D π×=()122π4π×=(×)3–√2132π12+4×=π4π127π12D BCD【答案】A,B,D【考点】余弦定理柱体、锥体、台体的体积计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】解：在中，，则圆锥的母线长，半径对于选项：圆锥的侧面积为，故选项正确；对于选项：当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为，故选项正确；对于选项：当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，，达到最大值，又因为与，不重合，则，又，可得，故选项不正确；对于选项：由，得，又，则为等边三角形，则，将以为轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，，如图：则，因为，，所以,则，故选项正确；故选．三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）Rt △SOC SC ==2S +O O 2C 2−−−−−−−−−√2–√l =22–√r =OC =2A SO πrl =4π2–√AB OB ⊥AC △ABC =×4×2=4S △ABC 12S −ABC ××SO =×4×2=13S △ABC 1383B C B A ∠ASB =0B C ∠ASB =π2B A C ∠ASB ∈(0,)π22∠SAB +∠ASB =π∠SAB ∈(,)π4π2C D AB =BC,∠ABC =,AC =490∘AB =BC =22–√SA =SB =22–√△SAB ∠SBA =60∘△SAB AB △ABC △AB S 1△AB S 1∠BA =S 160∘=C (SE +CE)min S 1B =BC =2，∠BC =∠BA +∠ABC =S 12–√S 1S 1150∘=+B −2×B ×BC ×cos =8+8+8=16+8S 1C 2S 1B 2C 2S 1150∘3–√3–√C S 1=2+23–√=C =2(+1)(SE +CE)min S 13–√D ABD8.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，三棱锥的外接球的球心位于的中点，所以，又，所以，易得平面，．故答案为：．9.【答案】【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的中点，连接，过作于点，易知四边形为矩形，连接，设.连接，则三点共线，162–√3−ABC D ′O AC |O |=|OB|=2D ′2–√|B |=4D ′D ⊥OB O ′D ⊥O ′ABC −ABC =×2××4×2=V D 132–√122–√2–√162–√3162–√3π203△BDC O 1O OO 1O ⊥O1BDC BD M AM ，M O 1O OG ⊥AM G O MG O 1OA ，OC OA =R ，O =MG =h O1MC ，M ，C O1MA =MC =3–√易知，所以.在和中，，即，解得，所以外接球表面积.故答案为：.10.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱锥的结构特征【解析】由题意求出正四面体棱长与正四面体的外接球的半径的关系，再由外接球的直径等于正方体的棱长求解．【解答】解：如图，设正四面体的棱长为，过作底面，连接 并延长交于，则，可得.设正四面体的外接球的半径为，则，∴，解得．1MA =MC =3–√OG =M =,C =O 13–√3O 123–√3Rt △AGO Rt △O C O 1G +G =O ,+=O A 2O 2A 2O 1C 2O 1O 2C 2(−h +=,3–√)2()3–√32R 2+=()23–√32h 2R 2h =，=3–√3R 253=4π=S 球O R 220π320π3643–√A −BCD x A A ⊥O 1BCD BO 1CD E B =BE =O 12323−x 2(x)122−−−−−−−−−−√=x 3–√3A ==x O 1−x 2(x)3–√32−−−−−−−−−−−−√6–√3A −BCD rB +(A −r =O 12O 1)2r 2+=(x)3–√32(x −r)6–√32r 2r =x 6–√4要使正四面体可以在棱长为的正方体内任意转动，则，得．∴该正四面体的体积的最大值是：．故答案为：.11.【答案】【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】由题意折起的三棱锥为一条侧棱垂直于底面，由一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，求出折起的三棱锥的棱长，进而求出外接球的表面积．【解答】解：由题意，取中点，连结，，∵和均为边长为的等边三角形，∴，，.又二面角的平面角为，即，则为正三角形.又，则，如图所示，设和的外心分别为点，，4122r =x =126–√2x =46–√V =⋅⋅x 133–√4x 26–√3=2–√12x 3=⋅(42–√126–√)3=643–√643–√52π9BD E AE CE △ABD △CBD 2AE =CE AE ⊥BD CE ⊥BD 60∘∠AEC =60∘△AEC BD =2AE =3–√△ABD △BCD P Q则，过点，在平面内作和的垂线交于点，则为该三棱锥的外接球球心，易知，，∴，，∴球的半径为，∴该三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.12.【答案】【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ）13.【答案】解：，，，，，PE =QE =AE =133–√3P Q ACE AE CE O O ∠OEP =30∘OP =PE ⋅tan =30∘13PA =AE =2323–√3O OA ==P +P O 2A 2−−−−−−−−−−√13−−√3S =4π=πR 2529π529(1)π=×4πr 2316R 2r =R 3–√2O ==R O 1−R 2r 2−−−−−−√12=B =BO +O =R +R =R h 大O 1O 11232=A =OA −O =R −R =R h 小O 1O 11212:=:=3:1V V h h.．【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，，，.．14.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】【解答】15.:=:=3:1V 大V 小h 大h 小(2)(+):=(π+π):πV 大V 小V 球13r 2h 大13r 2h 小43R 3=:=⋅=r 2h 小R 3r 2R 2h 小R 38(1)π=×4πr 2316R 2r =R 3–√2O ==R O 1−R 2r 2−−−−−−√12=B =BO +O =R +R =R h 大O 1O 11232=A =OA −O =R −R =R h 小O 1O 11212:=:=3:1V 大V 小h 大h 小(2)(+):=(π+π):πV 大V 小V 球13r 2h 大13r 2h 小43R 3=:=⋅=r 2h 小R 3r 2R 2h 小R 38【答案】证明：连接，∵，，是上的中点，，为等腰直角三角形，即，∴，即.∵ 平面，平面，∴，且，∴平面．解：∵，∴，到平面的距离相等，由得，故，解得：．∵，∴异面直线和所成角为，在中，，∴∴异面直线和所成角的大小为．【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角【解析】无无【解答】证明：连接，∵，，是上的中点，，为等腰直角三角形，即，∴，即.∵ 平面，平面，∴，且，∴平面．解：∵，∴，到平面的距离相等，由得，故(1)BE BC =1B =2B 1E CC 1△BCE △E B 1C 1∠BEC =∠E =B 1C 1π4∠BE =B 1π2BE ⊥E B 1AB ⊥B C B 1C 1E ⊂B 1ABC E ⊥AB B 1AB ∩BE =B E ⊥B 1ABE (2)AB//A 1B 1A 1B 1ABE (1)BE =E =B 12–√==V A−BEA 1V −ABE A 1V −ABE B 1=×E 13S △ABE B 1=××AB ×BE ×E =1312B 13–√3AB =3–√AC//A 1C 1AB A 1C 1∠CAB Rt △ABC tan ∠CAB ==CB AB 3–√3∠CAB =30∘AB A 1C 130∘(1)BE BC =1B =2B 1E CC 1△BCE △E B 1C 1∠BEC =∠E =B 1C 1π4∠BE =B 1π2BE ⊥E B 1AB ⊥B C B 1C 1E ⊂B 1ABC E ⊥AB B 1AB ∩BE =B E ⊥B 1ABE (2)AB//A 1B 1A 1B 1ABE (1)BE =E =B 12–√==V A−BEA 1V −ABE A 1V −ABEB 1×E1ABE，解得：．∵，∴异面直线和所成角为，在中，，∴∴异面直线和所成角的大小为．=×E 13S △ABE B 1=××AB ×BE ×E =1312B 13–√3AB =3–√AC//A 1C 1AB A 1C 1∠CAB Rt △ABC tan ∠CAB ==CB AB 3–√3∠CAB =30∘AB A 1C 130∘。
2019-2020学年度新人教A版必修第二册8.3.2、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积分层作业
课时分层作业(二十三)圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为() A．πQ B．2πQ C．3πQ D．4πQB[正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S＝2πrl＝2π·Q·Q＝2πQ.故选B.]2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A．2 B．2 2C．4 D．8C[圆台的轴截面如图，由题意知，l＝12(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.]3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4π B．3π C．2π D．πC[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.] 4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．210 B．2 5 C．3 D．2A[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝22＋62＝210.故选A.]5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A．1∶3 B．1∶ (3－1) C．1∶9 D.3∶2B[由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶3，故截面把圆锥母线分为1∶(3－1)两部分，故选B.]二、填空题6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为．2[设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.]7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)3[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为π2＋10×6＋62)×93(10π×142＝3(寸)．]8．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是．7000π3 3 cm 3 [180°＝20－10l ×360°，∴l ＝20， h ＝103，V ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)·h ＝70003π3(cm 3)．] 三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．[解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 圆锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157， 圆锥的高h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫61572－⎝ ⎛⎭⎪⎫1572＝53， V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π.10．如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？[解] 因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×20＝60π(cm 3)，设水面下降的高度为x cm ，则小圆柱的体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫2022x ＝100πx .所以有60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6.故杯里的水将下降0.6 cm.[等级过关练]1．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是( ) A.C 34πS B.4πS C 3 C.CS 2π D.SC 4πD [设圆柱底面半径为r ，高为h ，则⎩⎨⎧Ch ＝S C ＝2πr， ∴r ＝C 2π，h ＝S C .∴V ＝πr 2·h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2π2·S C ＝SC 4π.] 2．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b .那么圆柱被截后剩下部分的体积是 ．πr 2(a ＋b )2[采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr 2(a ＋b )2.]。
新教材人教A版数学必修二检测 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
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课堂检测·素养达标
1.一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由6a2=4πR2得=，
所以===.(其中a为正方体的棱长，R为球的半径)
2.直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A.144π，144π
B.144π，36π
C.36π，144π
D.36π，36π
【解析】选D.R=3，S=4πR2=36π，V=πR3=36π.
3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
( )
A.12π
B.π
C.8π
D.4π
【解析】选A.设正方体棱长为a则a3=8，所以a=2.
所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2=12π.
4.半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________.
【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为r，高为h，
则所以
所以它的体积为×π×12×=π.
答案：π
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人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷（2）一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A. 4π(r+R)2B. 4πr2R2C. 4πrRD. π(R+r)22.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. 43πa2 B. 73πa2 C. 83πa2 D. 163πa23.在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是()A. 4πB. 9π2C. 6π D. 32π34.体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A. 12πB. 48πC. 8πD. 64π5.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）6.已知正三棱柱底面边长是2，该三棱柱的体积为8√2，则该正三棱柱外接球的表面积是．7.已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的体积是_________．8.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为____．9.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，则三棱锥A−A1B1C的体积是______ ．10.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．11.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为_______．12.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则v1的值是_______．v2三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）13.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2√2，AD=2，求四边形ABCD绕AD选择一周所成几何体的表面积及体积．14.一个正四棱台的上、下底面边长分别为4cm和10cm，高为4cm，求正四棱台的侧面积和体积．15.如图，底面ABCD是边长为4的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=2，EF//BD，且2EF=BD．(1)求证：BF⊥AC：(2)求几何体ABCDEF的体积．16.三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点，求四棱锥S−BCED的体积．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查球与圆台的组合体问题，属于中档题，解题关键要知道圆台是球的外切圆台，圆台的母线是R+r，则易计算出圆台的高为2√Rr，它就是球的直径，从而得球的表面积．解：由题意知，圆台的母线长为R+r，设圆台的高为h，由直角三角形的勾股定理知：ℎ=√(R+r)2−(R−r)2=2√Rr，∴球的半径为ℎ2=√Rr，则球的表面积为4πRr．故选C．2.答案：B解析：本题主要考查了三棱柱的结构特征，以及外接球表面积的求解，属于基础题..由题意作出图形，易知球心在三棱柱上、下底面的中心O，O1连线的中点O2处，利用几何关系即可求出答案．解：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a．设O，O1分别为下、上底面的中心，且球心O2为O1O的中点，又AD=√32a，AO=√33a，OO2=a2，设球的半径为R，则R2=|AO2|2=13a2+14a2=712a2，所以S球=4πR2=4π×712a2=73πa2．故选B．3.答案：B解析：本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．根据已知可得直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的内切球半径为32，代入球的体积公式，可得答案． 解：∵AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，∴AC =10．要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r ．则12×6×8=12×(6+8+10)·r ，所以r =2．2r =4>3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大．由2R =3，即R =32．即直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的内切球半径为32，此时V 的最大值43π⋅(32)3=9π2，故选B .4.答案：B解析：此题考查球的表面积公式的应用，先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积.解：正方体体积为64，可知其边长为4，正方体的体对角线长为√42+42+42=4√3，即为外接球的直径，所以半径为2√3，所以球的表面积为4π(2√3)2=48π.故选B ． 5.答案：D解析：本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题． 由题意画出图形，证明三棱锥P −ABC 为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O 的体积．解：如图，由PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形可知，三棱锥P −ABC 为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心．连接BO 并延长，交AC 于G ，则AC ⊥BG ，又PO ⊥AC ，PO ∩BG =O ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC ．∵E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∴EF//PB ．又∠CEF =90°，即EF ⊥CE ，∴PB ⊥CE ，AC ∩CE =C ，得PB ⊥平面PAC ，∴正三棱锥P −ABC 的三条侧棱两两互相垂直．把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D =√PA 2+PB 2+PC 2=√6，半径为√62，则球O 的体积为43π×(√62)3=√6π． 故选D ．6.答案：48π解析：由底面边长和体积求得高，进而求得外接球半径，得解．此题考查了三棱柱外接球，难度不大．解：如图，M，N为上下底面中心，∵底面为正三角形，且边长为2，∴S△ABC=√3，AM=2√33，∴√3×MN=8√2，∴MN=8√63，∴外接圆半径OA=√AM2+OM2=2√3，∴外接球表面积为48π．故答案为：48π．7.答案：8√23π解析：本题考查球的体积，球的内接体的知识，是基础题．球的直径就是正方体的对角面长，以此求出球的半径，然后直接求出球的体积．解：由题设知球O的直径为2√2，R=√2，故其体积V=43πR3=8√23π.故答案为8√23π.8.答案：43解析：本题考查正方体的结构特征，及正四棱锥的体积计算．解：由正方体各面的中心围成的几何体为正八面体，是两个正四棱锥，底面为边长为√2，高为1，∴体积为2×13×(√2)2×1=43．故答案为43．9.答案：43解析：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．由V A−A1B1C =V C−AA1B1，利用等积法能求出三棱锥A−A1B1C的体积．解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，∴BC⊥平面AA1B1，且BC=2，又S△AA1B1=12×2×2=2，∴V A−A1B1C=V C−AA1B1=13×S△A1B1C×BC=13×2×2=43．故答案为43．10.答案：118.8解析：本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．该模型体积为V ABCD−A1B1C1D1−V O−EFGH=6×6×4−13×(4×6−4×12×3×2)×3=132(cm3)，再由3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量．解：该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1，挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，∴该模型体积为：V ABCD−A1B1C1D1−V O−EFGH=6×6×4−13×(4×6−4×12×3×2)×3=144−12=132(cm3)，∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9=118.8(g)．故答案为：118.8．11.答案：解析：本题考查圆柱的体积，考查计算能力，正确认识圆柱的侧面展开图与几何体的关系，是解题的突破口，本题是基础题．通过侧面展开图是一个边长为2的正方形，求出底面半径，求出圆柱的高，然后求圆柱的体积．解：圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，所以底面半径为：1π，底面面积为：1π；所以圆柱的高为：2，所以圆柱的体积为：1π×2=2π故答案为2π．12.答案：32解析：本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．解：设球的半径为R，则球的体积为：43πR3，圆柱的体积为：πR2⋅2R=2πR3．则V1V2=2πR34πR33=32．故答案为32．13.答案：解：如图，∵∠ADC=135°，∴∠CDE=45°，又CD=2√2，∴DE=CE=2，又AB=5，AD=2，∴BC=5．则圆台上底面半径r1=2，下底面半径r2=5，高ℎ=4，母线长l=5，圆锥底面半径r1=2，高ℎ′=2，∴S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面,=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2√2，=(4√2+60)π；V=V圆台−V圆锥=13π(25+10+4)×4−13π×4×2=1483π．解析：本题考查了旋转体的结构特征，面积和体积计算，属于中档题．画出四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体，然后求出圆台的底面积、圆台的侧面积及圆锥的侧面积作和得答案；由圆台的体积减去圆锥的体积求得几何体的体积．14.答案：解：由题意，斜高ℎ′=√32+42=5，则正四棱台的侧面积为12×4×(4+10)×5=140；体积为13×(42+102+√42×102)×4=208．解析：求出正四棱台的斜高，即可求正四棱台的侧面积和体积．本题考查求正四棱台的侧面积和体积，考查学生的计算能力，求出斜高是关键．15.答案：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又ED⊥平面ABCD∴ED⊥AC而ED∩BD=D∴AC⊥平面EFBD；又BF⊂平面EFBD，∴AC⊥BF．(2)解：V ABCDEF=V A−BDEF+V C−BDEF=2V A−BDEF 又BD=4√2，EF=2√2V=13×12(4√2+2√2)×2×2√2×2=16．解析：(1)运用线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)将多面体分割成棱锥A−BDEF和C−BDEF，则V ABCDEF=V A−BDEF+V C−BDEF=2V A−BDEF，运用三棱锥的条件公式即可得到体积．本题主要考查线面垂直的判定和性质，同时考查割补思想，以及棱锥的体积公式．16.答案：解：∵D、E分别是AB、AC中点，∴S△ADE=14S△ABC，∴S BCED=34S△ABC，∴V S−BCED=34V S−ABC，∵AS⊥BS，AS⊥CS，BS∩CS=S，∴AS⊥面BSC∴V S−ABC=V A−BSC=13AS⋅S△BSC=13×5×12×4×3=10，∴V S−BCED=34V S−ABC=34×10=152．解析：求四棱锥S−BCED的体积，转化为求V S−BCED=34V S−ABC，求三棱锥S−ABC的体积，即可求出结果．本题考查几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．。