初中数学中常用的求线段的长度的方法-最新教育文档

初中数学中常用的求线段的长度的方法

初中数学中学习的是平面几何，平面是由线构成的，线动就成面了，所以线段的长度的变化，影响了图形的大小，形状。

几何图形中的计算题是初中数学中常见题型，一直是数学中考中的必考题型，求线段的长度正是这类计算题中的典型代表. 纵观近年来的中考试题，不难发现，这类试题的命制均立足教材，解决途径都是运用转化的思想方法. 要求学生自己猜想、探究、发现。我在多年的初中教学中，特别是初三数学教学中，总结了几种常用的求线段的长度的方法。

一、当一条线段上有多条线段时。

1、利用观察图形的方法，直观地求线段的长度。当点把一条线段分成几条线段时，可以直观地观察图形，找出已知线段与未知线段的和差的关系，从而求出线段。

例1、已知如图，线段AB=10，点C在线段AB 上，且AC=3，求BC的长。

这题就可以直观地观察图形，找出未知线段BC=已知线段AB-已知线段AC，从而求出。

2、利用线段中点的定义，求线段的长度。当有线段中点出现时，可以考虑运用线段中点的定义。把例1 变式为点C 为线段AB的中点，线段AB=10，求BC的长。

这题可以运用线段中点的定义可以得出BC等于AB的一

半，

从而求出

3、利用数形结合的方法，用列方程的方法求线段的长度。

把例1 变式为点C、D为线段AB上的点，把AB分成2：

3：

5 三部分，线段AB=10，求线段AC、CD、DB的长度。本题通

过观察图形，找出线段之间的相等关系，

AC+CD+DB=A，B正确设元，设AC=2x，CD=3x，DB=5x. 从而列方程求解。

本类题型，通过观察图形的方法，正确找出已知线段与未知线段的关系，正确求出线段的长度。

二、当所求线段是三角形的边元素时。

1、利用直角三角形的性质勾股定理求解。

直角三角形中的一个常用定理-- 勾股定理，勾股定理是极其重要的定理，它是沟通代数与几何的桥梁，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，应用十分广泛. 是用来求线段的长度的基本方法。可以知道直角三角形的任意两边的长度，求第三边的长度。

例2：在Rt△ABC中，∠ C=90O，AB=10，BC=6，求AC 的长。分析：这题已知直角三角形的一条斜边和一条直角边，求另一条直角边，就可以运用勾股定理。

利用勾股定理求线段的长度关键是构健出直角三角形，再找

出所求的线段是这个三角形的直角边还是斜边，或者它们的关系，就可以利用勾股定理求出所要求的线段长度。

2、利用等腰三角形的性质三线合一求解。

等腰三角形是特殊的三角形，比较常见，它有一个重要性质--- 三线合一，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，这个性质非常常见，经常用来构建直角三角形，从而用勾股定理求线段的长。

如把例2 变式为已知△ABC中，AC=BC，AB=10，

BC=6，求AB 边上的高。

分析：这题首先作出等腰三角形底边上的高，构建直角三角形，利用等腰三角形的性质三线合一求出底边的一半，就可以利用勾股定理求出所要求的高。

3、利用锐角三角函数求解。

也可以用直角三角形的锐角三角函数去求线段的长度。解直角三角形的应用是初中新课标数学教材的主要内容之一，用解直角三角形的知识解决实际问题可以说是学习解直角三角形知识的目的和归宿。通过引导学生构造出直角三角形，然后用直角三角形的知识解决问题，来发展学生应用数学知识分析问题、转化问题、解决问题的意识和能力。因为直角三角形中，知道两个元素，其中至少有一个是边元素时，即可以求这个直角三角形的另外三个未知元素。

例如：北师大九年级下册P13，知识技能第3 题。

如图，SO是等腰三角形SAB的高，已知∠ ASB=120O，AB=54，求SD的长。

分析：因为三角形SAB是等腰三角形的高，由等腰三角形三线合一的性质得：SD也是底边AB的中线，顶角∠ ASB的平分线，从而可得：

AO=AB×= 54=27，∠ ASO=∠ASB=×120O=60O，则解直角三角形SAO，用cos∠ ASO即可求出SO的长。

利用直角三角形的锐角三角函数去求线段的长，关键是正确地找出已知元素，正确地选择三个三角函数中的那个三角函数去解题，从而正确地解决问题。

4、利用证明结果求解。

有些问题中，需要先根据已知条件证明出某两条线段之间具有相等或倍量关系，而其中一条线段长度是已知条件，故而求出另一条线段长。

如两个三角形全等，对应边相等，把要求的线段转化为与它相等的线段。这种方法适用于要求的线段是一个三角形的边元素，而与之对应的另一个三角形与这个三角形全等，所求的线段刚好是与之所在三角形全等的三角形的对应边，从而可求。如佛山2009 年中考试题18 题。

如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF，若CE=10cm，求DF 的长度。

分析：因为通过观察图形可以发现，要求的线段DF是△DCF 的边元素，已知线段CE是Rt△CBE的边元素，它们刚好是

对应边，用"AAS"能证明这两个三角形全等，从而可以求出DF 的长度。要利用三角形全等的方法求线段的长度，关键是观察图形发现所求的线段和已知线段分别是哪两个三角形的对应边，从而找寻出证明这两个三角形全等的方法即可解决问题。

5、利用相似三角形求解。相似三角形具有对应边成比例的性质，当要求的线段刚好是某个三角形的边元素，而刚好能够找出有另一个三角形与之相似，这两个相似三角形中刚好能够找出成比例的线段中有三个已知元素，另一个未知元素刚好是要求的线段，即可用相似三角形对应边成比例，列出等式，从而计算出这条线段的长度。

例如：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D 是⊙O 上一点，且AD//CO，AB=2，BC=，求AD的长。

分析：所求线段AD是△ABD中的边元素，还已知一元素AB，另一已知元素BC是△OCB的边元素，又因为AB为⊙O 直径。所以可知第一边OB=AB×= 2=1，∠ ADB=90。O BC是⊙O的切线，也可知道∠ OBC=90，O 由勾股定理即可以求出OC 的长度。通过AD//OC，可得∠ A=∠COB，即可以证得△

ABD∽△OCB，从而推导出，这个等式中只有一个未知量AD，即可以求出。

利用相似三角形对应边成比例是求线段长度的常见方法，关键是找出所求线段和已知线段是哪两个三角形的边元素，再找寻出证明这两个三角形相似的方法，问题即可以解决。