例某工厂用AB两种配件生产甲乙两种产品每生产一讲解材料

zzp
例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种 肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐 10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。若生产 1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥 料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各 多少车皮，能够产生最大的利润？
zzp
例3: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产 品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作 8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
线 4 x＋ y 1 0
性 约 束 条
1 8 x ＋ 1 5 y 6 6
x
0
件 y 0
画出直线y＝－2x ，当直线
把Z＝x＋0.5y变形为y ＝－2x＋2z，它表示斜 率为－2，在y轴上的截 距为2z的一组直线系。
y
经过可行域上的点M时，
截距2z最大，即z最大。
容易求得M点的坐标为
M
（2，2），则Zmax＝3
相关数据列表如下：
甲种产品 乙种产品
A种原料
4
1
B种原料
12
9
利润
2
1
资源限额 10 60
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设生产甲、乙两种产品的吨数
分别为x、y
4 x y 10
12 x 9 y 60
x
0
y 0
利润 P2xy
何时达到最大？
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例题分析：关于取整数解的问题
例 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每 张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
目标函数为 z=x+y
作出可行域（如图）
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例题分析
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数z= x+y
y 15
B(3,9)
9
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
y =-x
2 1 0 12 78
x
18
27
作出一组平行直线 y= -x+z， 2x+y=15
y
共有：
•4 ••• •••••
9
+
2
(
7+5+ = 41
3
当点P在可允许的取值范围变化时,
求 截 距 z的 最 值 ,即 可 得 z的 最 值 . 3
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变式：求利润z=x+3y的y最大值.
x 2y 8
4 4
x y
16 12
x
0
y 0
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y 1 x4
2
y1x z
33
zm ax23311
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解线性规划应用问题的一般步骤：
x
答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能 够产生最大利润，最大利润为zzp3万元。
o
练习3：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需 要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生 产1t乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利 润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何 安排生产才能使利润最大？
分析：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车 皮数，于是满足以下条件（注意先列表） y
4 x ＋ y ≤ 1 0
1 8 x ＋ 1 5 y ≤ 6 6
x
≥
0
x
y ≥ 0
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o
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，
能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，
约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：
规格类型 钢板类型
第一种钢板 X张
A规格 2
B规格 1
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C规格 1
第二种钢板 y张
1
2
3
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问
各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所
用钢板张数最少。
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
{2x+y≥15, x+2y≥18,
x+3y≥27, x≥0 x∈N* y≥0 y∈N*
1）理清题意，列出表格：
2）设好变元并列出不等式组和目标函数
3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；
4）在可行域内求目标函数的最优解 法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的 方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处 取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优 解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
在可行域内打出网格线， 将直线y=-x+11.4继续向上平移， 经过可行域内的整点B(3,9)和C(4z,8zp)时，z=x+y=12是最优解.答:(略)
在可行域内找出最优解整数解问题的一 般方法是：
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括
把例3的有关数据列表表示如下:
甲产品 乙产品 (1件) (1件)
资源限额
A种配件
4
0
16
B种配件
0
4
12
所需时间
1
2
8
利润(万元)
2
3
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解：设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
y
线 x 2 y 8 x 2 y 8
性 约束条件
4 4 x
x y
0
1 1
6 2
y 0
即
x y
4 3
x
0
y 0
4 3
0
4
8
将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内
所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y 都是有意义的.
问题：求利润2x+3y的最大值.
zzp
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少? 把z=2x+3y变形为y=-3 2x+3 z,这是斜率为-3 2, 在y轴上的截距为z的直线, 3
边界的情况下） 2.若区域“顶点”不是整点,那么在可行域内找整数解一般采用打 网络法。
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巩固练习1:
x 0
y
不等式组
y
0
表示的平面区域内的整数点共有
4
4 x 3 y 12
3
（ ）个
2
1
0
1
2
34
x
zzp
4x+3y=12
练习2：求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、 纵坐标为整数）的个数。