高中物理竞赛—电磁学(详版)-第一章 静电场1.4环路定理(共28张PPT)
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高二物理奥林匹克竞赛——静电场的环路定理-电势能(共37张PPT)
Rr 80rR 40 R
24
例3 “无限长”带电直导线的电势.
解 令 VB 0
VP
rB
E
dr
r
rB dr r 2 π ε0r
ln rB
2 π ε0 r
讨论：能否选 V 0?
oP B
r
r
rB
25
例：内外半径及带电分别为RA 、RB 、 qA 、qB
的同心球面所在空间的电势分布。
解: 由高斯定理
为dx的小园环,其面积为
dS
2
r
dx
cos
tg
2
2
cos
xdx
其上电量为 2
2
tg
dq dS
2
2
cos
xdx
2
o
R1
R2
x
32
它在o点产生的电势为
tg
2
2
xdx
dU
dq
cos 2
4 0 r 2 x2
4 0
x2tg2 x2
2
tg( 1 )dx
2
2 0
o 点总电势
U
dU
2 0
tg
2
x2 dx x1
(R2 2 0
R1 )
33
例：电荷面密度分别为 和的两块无限大均匀带电平
行平面,分别与x轴垂直相交于x1 a 、 x2 a 两点,.
设坐标原点0处电势为0,试求空间电势分布表达式并画出
其曲线。
解：由高斯定理可得埸强分布为：
E / 0 (a x a)
E 0 ( x a,a x )
q
解：设x轴沿细线方向,原点 R
在球心处,在x处取线元dx,
2022-2023年高中物理竞赛 静电场的环路定理 电势课件
qE dl qE dl qE dl
acb
adb
bda
qE dl qE dl 0
acb
bda
qE dl 0 l1 l2
令 q 1，L l1 l2 ,则有
b
c
l1
q
d
l2
a
静电场的环路定理
静场强 E 沿任一闭合曲线的环路积分为零.
静电场中场强沿任何闭合环路的线积分为零.习惯 上称为场强沿任一闭合环路的环流等于零,这是静电 场的基本性质之一,它反映了静电场是一个保守力场
电势参考点的选取原则上说是任意的,但必须保证 在参考点选定之后,计算出的电势值是确定的,有限的.参 考点的电势值也可取为非零的任意有限值.
电势零点选择方法：
① 场源电荷分布在有限区域内,选无限远处为参考
点,且 V 0
②电荷分布在无限远处,参考点选在有限区域,一般选 在无限长带电线上,无限长圆柱面上或轴线上.
3、电势差
静电场中任意两点电势的差值,称为电势差或电 压（electric potential difference ）
如对场中A、B两点有
UAB VA VB
B
P0
E
dl
A BF
P0
E
dl
B
P0
E
dl
A
B E dl
P0
A E dl A q dl
静电场中A、B两点的电势差,在数值上等于单位正 电荷在电场中从A点经过任意路径到达B点时,电场力 所做的功.
一、静电场力做功的特点
1．单个点电荷所产生的电场 在点电荷Q产生的电场
E(F)
dl
中,电场力将试探电荷q从a
b
点沿某一路径移到b点.
高中物理课件-第一章-静电场(全课件)
ＡＢ
ＯＲ
同一直线上三个点电荷的平衡系统
❖ 1.如图：在真空中同一条直线上的A、B两点
固定有电荷量分别为＋9Q和－Q的点电荷，
现引入一点电荷C，若要求这三个点电荷都只
在电场力作用下保持静止，那么引入的这个
点电荷应是正电荷还是负电荷？应放在什么
位置？电荷量是多大？
＋9Q
－Q
A
B
C
规律总结
❖ 1.三个点电荷的电性关系：同性在两边，异 性在中间.
电场强度
❖ 四、电场强度的叠加
❖ 如场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度 为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量 和.
❖ 电场强度的叠加遵循“矢量合成法则”平行四边
形定则.
❖ 例:如图,边长为√3的正三角
Ａ
形ABC的三个顶点分别固定
三个点电荷＋q、＋q、-q，
求该三角形中心Ｏ点处的
Ｏ
场强大小和方向.
Ｂ
Ｃ
思考题
❖ 1.对于E=kQ/r2来说，当r→0时E→∞是否正 确？给出解释.
❖ 2.对比场强的两种表达形式：E=kQ/r2与 E=F/q有何不同.
❖ 1.r→0时，场源电荷不能再看做点电荷，公 式E=kQ/r2不在适用.
❖ 2.E=F/q是场强的定义式，适用任何电荷激 发的电场；而E=kQ/r2只适用于点电荷激发 的电场.
第2节 库仑定律
❖ 探究影响电荷间相互作用力的因素： ❖ 实验表明： ❖ 电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，
随着距离的增大而减小. ❖ 库仑定律： ❖ 真空中的两个静止点电荷之间的相互作用力，
与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距 离的二次方成反比，作用力的方向在它们的 连线上.
ＯＲ
同一直线上三个点电荷的平衡系统
❖ 1.如图：在真空中同一条直线上的A、B两点
固定有电荷量分别为＋9Q和－Q的点电荷，
现引入一点电荷C，若要求这三个点电荷都只
在电场力作用下保持静止，那么引入的这个
点电荷应是正电荷还是负电荷？应放在什么
位置？电荷量是多大？
＋9Q
－Q
A
B
C
规律总结
❖ 1.三个点电荷的电性关系：同性在两边，异 性在中间.
电场强度
❖ 四、电场强度的叠加
❖ 如场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度 为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量 和.
❖ 电场强度的叠加遵循“矢量合成法则”平行四边
形定则.
❖ 例:如图,边长为√3的正三角
Ａ
形ABC的三个顶点分别固定
三个点电荷＋q、＋q、-q，
求该三角形中心Ｏ点处的
Ｏ
场强大小和方向.
Ｂ
Ｃ
思考题
❖ 1.对于E=kQ/r2来说，当r→0时E→∞是否正 确？给出解释.
❖ 2.对比场强的两种表达形式：E=kQ/r2与 E=F/q有何不同.
❖ 1.r→0时，场源电荷不能再看做点电荷，公 式E=kQ/r2不在适用.
❖ 2.E=F/q是场强的定义式，适用任何电荷激 发的电场；而E=kQ/r2只适用于点电荷激发 的电场.
第2节 库仑定律
❖ 探究影响电荷间相互作用力的因素： ❖ 实验表明： ❖ 电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，
随着距离的增大而减小. ❖ 库仑定律： ❖ 真空中的两个静止点电荷之间的相互作用力，
与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距 离的二次方成反比，作用力的方向在它们的 连线上.
2020年高中物理竞赛辅导课件★★静电场的环路定理
求：负极上静止电子到正极时的速度？
解：由电势差的定义可得 A q(V V ) (e)(U )
R2 R1
U
1 2
mv2
0
即
eU
1 2
mv2
v
2eU m
Va
Vb
ab
E
dl
47
定义：电场中任意点P
VP
V 0
P
的 电势 E dl
Va
Vb
ab
E
dl
单位：伏特或焦耳/库仑, 记为V或J/C, 1V＝1J/C
一、电势差和电势 Electrbic Potential
从L1ab上E一 d节l 讨 L2论ab E可 知dl
L2
L1
q0
存在与位置
有关的态函数
a
定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，
则两点间的电势差为 Va Vb ab
E
dl
即：a、b两点的电势差 =
将单位正电荷
从ab电场力作的功 46
例13. 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ， 半径分别为 R1、 R2 。
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
44
注
1º若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该 矢量场为无旋场。
静电场两个基本性 质：
高斯定理 S E dS
1
0
qi
S内
有源场
环路定理 L E dl 0 无旋场
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将 在磁场部分讨论。
45
第5节 电势差和电势 Electric Potential Difference and
结论
每一项都与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。
解：由电势差的定义可得 A q(V V ) (e)(U )
R2 R1
U
1 2
mv2
0
即
eU
1 2
mv2
v
2eU m
Va
Vb
ab
E
dl
47
定义：电场中任意点P
VP
V 0
P
的 电势 E dl
Va
Vb
ab
E
dl
单位：伏特或焦耳/库仑, 记为V或J/C, 1V＝1J/C
一、电势差和电势 Electrbic Potential
从L1ab上E一 d节l 讨 L2论ab E可 知dl
L2
L1
q0
存在与位置
有关的态函数
a
定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，
则两点间的电势差为 Va Vb ab
E
dl
即：a、b两点的电势差 =
将单位正电荷
从ab电场力作的功 46
例13. 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ， 半径分别为 R1、 R2 。
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
44
注
1º若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该 矢量场为无旋场。
静电场两个基本性 质：
高斯定理 S E dS
1
0
qi
S内
有源场
环路定理 L E dl 0 无旋场
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将 在磁场部分讨论。
45
第5节 电势差和电势 Electric Potential Difference and
结论
每一项都与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。
2020年高中物理竞赛辅导课件：电磁学(真空中的静电场)04静电场的环路定理(共21张PPT)
xx+dx电荷元产生的电势：
dV
Q L
dx
4 0(L r x)
P点的总电势：
V dV Q L dx
4 0L 0 L r x
Q ln(1 L )
4 0L
r
[讨论] 若 r >> L，结果？
[例1-10]均匀带电(Q)圆环轴线上一点的电势 (V=0)．
dq
R
O
x
X
解：环上dq产生的电势：dV dq
A
B B
VA VB
E dl
A
Edl
A
0
2.电势叠加原理
q1
q2
P
qi
qN
V Vi
[来历] V
E dl
P
P ( Ei ) dl
P Ei dl
Vi
3.电势的计算
[例1-9] 均匀带电(Q)直线段延长线上一点的 电势(V=0)．
L O x x+dx
r pX
解：建立坐标轴如图
E dl
P
R 40r 2 dr
40 R
对于球面外一点P,有
V
E dl
P
Q r 40r 2 dr
Q
40r
Q
综之
V
(r
)
4
Q
0
R
4 0 r
(r R) (r R)
Note: 在场强值间断处,电势值不一定间断.
[例1-12] 无限长均匀带电直线周围的电势
P P0 r r0
设线电荷密度,V(r0)=0 轴对称与直线等距的 r 各点,电势相同.
V (r)
P0
E
dl
r0
高中物理竞赛《静电场_原理与方法》教学课件 （共46张PPT）
在A内侧有
Eq E A 0
kQ 在A外侧有 Eq E A R2
kQ EA 2 R2
kqQ F 2 2R
一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心 电势为U0．将此环靠近半径为b的接地的球，只有环中心O位于球面 上，如图．试求球上感应电荷的电量 ．
专题17-例4
O点O1点电势均为0;
q Q = Q1 q q Q1 r R R Q Q1 q C球与B球接触最终亦有 Q q q Q1 r 1 r ⑵由①式及题给条件 R 9 2 r R
q Q2 Q 9 Q2 1 若第２次C与A接触后A又获电量 Q ， 2 則 Q2 q n 9 r 10 R 1
半球面均匀分布电荷 在O点引起的场强可视 为“小瓣”球面电荷 与“大瓣”球面电荷 在O点引起的电场的矢 量和. 由对称性及半球几何关系可知
E大与E小垂直，如图所示:
Ｏ E
2
E小 E0 sin
2
E0
有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距离 为d．试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势 面的半径及其中心与电量较小电荷的距离r ．
面元周边所受张力合力大小为
64 2 0 R3
电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有 e 条电场线垂直穿过，则 E e 点电荷电场
S
球面上各处场强大小均为
E
1
kq r
2
q
q
S
12 2 2 从该球面穿出的电通量 0 8.85 10 C /N m
4 0 r
n次C、A接触后有
9 q 10 10 4.5q 1 10
Eq E A 0
kQ 在A外侧有 Eq E A R2
kQ EA 2 R2
kqQ F 2 2R
一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心 电势为U0．将此环靠近半径为b的接地的球，只有环中心O位于球面 上，如图．试求球上感应电荷的电量 ．
专题17-例4
O点O1点电势均为0;
q Q = Q1 q q Q1 r R R Q Q1 q C球与B球接触最终亦有 Q q q Q1 r 1 r ⑵由①式及题给条件 R 9 2 r R
q Q2 Q 9 Q2 1 若第２次C与A接触后A又获电量 Q ， 2 則 Q2 q n 9 r 10 R 1
半球面均匀分布电荷 在O点引起的场强可视 为“小瓣”球面电荷 与“大瓣”球面电荷 在O点引起的电场的矢 量和. 由对称性及半球几何关系可知
E大与E小垂直，如图所示:
Ｏ E
2
E小 E0 sin
2
E0
有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距离 为d．试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势 面的半径及其中心与电量较小电荷的距离r ．
面元周边所受张力合力大小为
64 2 0 R3
电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有 e 条电场线垂直穿过，则 E e 点电荷电场
S
球面上各处场强大小均为
E
1
kq r
2
q
q
S
12 2 2 从该球面穿出的电通量 0 8.85 10 C /N m
4 0 r
n次C、A接触后有
9 q 10 10 4.5q 1 10
高中物理竞赛辅导课件 电磁学第一章静电场 (共109张PPT)
2、电量的单位及 k的数值
在MKSA国际单位制（SI）中，常用的基本物理量及其 基本单位为：长度L（m）、温度T（K）、电流I（A）、 时间t （S） 、分子量 （mol）、质量m（kg）。
依据物理公式导出的其它物理量的单位称为导出单位， 例如： (1) 电量的单位—依据 q I t导出为 1库仑 1安培 秒
摩擦起电——摩擦引起核外电子运 动速度V变大，克服 原子核的束缚而发生转移。
感应起电——导体中自由电子在外电场力作用下从物体 的 一部分转移至另一部分。
3、物质按导电性能分类
(1) 导体 (2) 绝缘体 (3) 半导体
四、库仑定律
1、内容 真空中两个点电荷之间的相互作用力，其大小与两
者电量成正比、与它们之间的距离平方成反比，方向沿 两电荷连线，且同性相斥、异性相吸。
[说明] ：
(1) 电荷守恒是一切宏观、微观过程均遵守的规律； (2) 电荷的量子化；
电子电量大小 e 1.61019 库仑,是电荷的最小单元， 物体带电是基本电子电量的整数倍（不连续）。
三、物质的电结构 导体与绝缘体 1、物质组成与原子结构
核外电子
分子 原子
质子
原子核
中子
2、起电的物理解释
（2）电荷正负判定
同性
张角变大
已带某种已知电荷
异性
张角变小
二、静电感应 电荷守恒定律
1、静电感应
另一种重要的起电方法是静电感应，静电 感应实质上为电荷转移的过程：
A
B
A
B
(a)
(b)
(c)
(d)
2、电荷守恒定律
电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一 个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到 另一部分，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数 和是守恒的。
静电场环路定理电势能和电势.pptx
V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q
《电磁学》.ppt
q0 Edr
1 q
E 4 0 r 2 er
A
dA
L
rb ra
q0
Edr
q
q0q ( 1 1 )
4 0 ra rb
b
rb
r+dr
r
dr
dl
ra
a
q 0
E
一、静电场环路定理
任意带电体可以看作是由无穷多个点电荷组
成的，由场强叠加原理
E Ei
i
A L q0E dl L q0 Ei dl q0 L Ei dl
v E
Ev(rv);
2）通过电场强度的积分计算电势：
VP
E dl
P
电势的计算(2)—定义法
例题3、求均匀带电球面内外的电势。已知球半 径为 R，带电荷为 Q。
解：先用高斯定理求出 球面内外的电场分布。
在球面内外做与带电 球面同心的高斯球面 S
rR Qr
电势的计算(2)—定义法
rR 时
E内 dS E内4r 2 0
1Q
4 0 R
rR Qr
电势的计算(2)—定义法
E
V
OR
r
E r 关系曲线
OR
r
V r 关系曲线
电势的计算(2)—定义法
例题4、半径为 R 的均匀带电球体，带电量为 q，
求电势分布。
q R
电势的计算(2)—定义法
解
qr
E
E(r)
4
0
q
R
3
40r 2
(rR) (rR)
V E dl Edr
第一章 真空中的静电场
1.1 电荷和电荷守恒定律 1.2 库仑定律 1.3 电场 电场强度 1.4 高斯定理 1.5 电势 1.6 电场强度和电势的微分关系 1.7 E的边值关系
-高二物理竞赛电磁学第一章静止电荷的电场课件
p ql
l
-q
23
电偶极子中垂线上远点的场强：
E E E qr q(r )
4 0r3 4 0r3
E+
E
p
44q0qrl03r(3rEr4)p0pr
3
-q
Er-
r
4 0r 3
l
r+ +q
E r -3 ，比点电荷的电场的衰减得快。 24
【例】电场中的电偶极子
在均匀电场中，受合力为零。
• （1）当q0的位置限制在Ox轴上变化时，求q0 的受力平衡位置，并讨论平衡的稳定性；
• （2）试定性地画出试验电荷q0所受的合力F与 q在Ox轴上的位置x的关系图线。
• 在正方形的四个顶点分别有电量为Q的固 定点电荷，在正方形对角线交点上放置 一个质量为m、电量为q的自由点电荷。 将q沿某一对角线移动一个很小的距离， 证明q将作简谐振动, 并求振动周期。
电子（质子）是自然界带有最小电荷量的粒
子。任何带电体或微观粒子所带的电荷量都
是电子（质子）电荷量的整数倍。
密立根（likan）带电油滴实验 （ 19061917 ,1923年诺贝尔物理奖）
宏观电磁学—电荷值连续
5
点电荷： ——理想模型, 若带电体的线度<<带电体间的距离，则带电
体可看成点电荷。
面元Si可定义两个指向
Si Ei
lim S 0
i
Ei
Si
S
EdS
S
的正负依赖于面元指向的定义
3、通过闭 合曲面S的电通量 规定dS 的方向指向外为正
dS E
S
EdS
S
35
EdS
dS E
S
Q
l
-q
23
电偶极子中垂线上远点的场强：
E E E qr q(r )
4 0r3 4 0r3
E+
E
p
44q0qrl03r(3rEr4)p0pr
3
-q
Er-
r
4 0r 3
l
r+ +q
E r -3 ，比点电荷的电场的衰减得快。 24
【例】电场中的电偶极子
在均匀电场中，受合力为零。
• （1）当q0的位置限制在Ox轴上变化时，求q0 的受力平衡位置，并讨论平衡的稳定性；
• （2）试定性地画出试验电荷q0所受的合力F与 q在Ox轴上的位置x的关系图线。
• 在正方形的四个顶点分别有电量为Q的固 定点电荷，在正方形对角线交点上放置 一个质量为m、电量为q的自由点电荷。 将q沿某一对角线移动一个很小的距离， 证明q将作简谐振动, 并求振动周期。
电子（质子）是自然界带有最小电荷量的粒
子。任何带电体或微观粒子所带的电荷量都
是电子（质子）电荷量的整数倍。
密立根（likan）带电油滴实验 （ 19061917 ,1923年诺贝尔物理奖）
宏观电磁学—电荷值连续
5
点电荷： ——理想模型, 若带电体的线度<<带电体间的距离，则带电
体可看成点电荷。
面元Si可定义两个指向
Si Ei
lim S 0
i
Ei
Si
S
EdS
S
的正负依赖于面元指向的定义
3、通过闭 合曲面S的电通量 规定dS 的方向指向外为正
dS E
S
EdS
S
35
EdS
dS E
S
Q
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小结：
求一点电势要已知这点到无穷远的场强分 布；
电势叠加要先求各带电体单独存在时的电 势，然后再叠加；
电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠 加容易
2004.2.
北京大学物理学院王稼军编写
电场强度和电势
已知场强 已知电势
可求电势 可否求场强？
等势面
等势面与电力线处处正交 证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元
Δn 很小， 场强E变化不大
U U
E lim
n 0 n n
2004.2.
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E U(gradU)
i j k x y z
矢量微分算符
直角坐标系表示
E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反 在数学场论中把
U : 称作梯度
A: 称作散度 A: 称作旋度
例题
1
4 0
Qa r2
E3
1
4
0
Qa Qb r2
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0 r Ra Ra r Rb
r Rb
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III
U3
r E3
dl
1
4 0
Qa
Qb r
II
U2
E dl
r
Rb r
E2
dl
Rb E3 dl
Qa (1 1 ) Qa Qb 1 (Qa Qb )
位移dl电场力所做的元功
dA q0 E dl q0Edlcos 0 cos 0
E dl
2
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等势面密集处场强大，稀疏处场强小
证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以 点电荷为例，其电势为
Q到q1的 距离
每项均与路径无关，只与位置有关
任意有限大的带电体产生的电场
可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组
结论：在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关
2004.2.
引力
引入引力势能
重力
引入重力势能
势函数
弹性力
引入弹性势能
（位）
静电力
引入静电势能
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电势能、电势差、电势
电场力 的功
定义
Q
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 P E dl WPQ WP WQ (WQ WP )
电势能的 改变量
q0在 P点 的电势能
P Ek dl
U P1 U P2 U Pk U pi
i
连续带电体有
UP P E dl dU
1 dq 1 dq 1 dq
dU
4 0
P r 2 4 0 (
r
P 4 0
rP
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讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。
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求电势 用电势定义求：
U P
E dl
P
用电势叠加原理求 UP dU
P35例题11－12自己看 补充题两个均匀带电的同心球面，半径分别为Ra和Rb，
带电总量分别为Qa和Qb,求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区内的电势 分布 方法一：已知场强求电势
E1 0
E2
q0在 Q点 的电势能
电势增量
可以与重力做功类比
电场力做正功，电势能将减少 电场力做负功，电势能将增加
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电势的定义
0 电场付出能量，能量减少
APQ WPQ
( 电 势 能 的 减 少，与 场 源 和q0均 有 关
0 电场吸收能量，能量增加
从中扣除q0,即引入电势
U (r) 1 q
4 0 r
微分
dU (r)
1
4 0
q r2
dr
因为相邻等势面电势差为一定值，所以有
dr r , dU U
r 4 0 r 2 U
q
半径之差∝r2
定值
而
E
1 r2
r 越 大 r 2越 大，等 势面 间 距越 大，越 稀，E越 小
r 越 小 r 2越 小，等 势面 间 距越 小，越 密，E越 大
2020高中物理竞赛
电磁学
§4 环路定理
静电场力做功与路径无关
电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 讨论静电场的环流
流速场的环流
0 有旋
v dl 0 无旋
静电场：电力线不闭合
Edl 0
可以猜到静电场的环流为零
证明
单个点电荷产生的场
把试探电荷q0从P移到Q
APQ
电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取
可以任意选取
选择零点原则：场弱、变化不太剧烈
问题
选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电 势吗？
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地与无穷远的电势差
实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场 是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生 的
4 0 r Rb 4 0Rb 4 0 r Rb
I
U1
E dl
r
Ra r
E1
dl
Rb Ra
E2
dl
Rb E3 dl
0 1 (Qa Qb ) Qa Qb 1 (Qa Qb )
4 0 Ra Rb 4 0Rb 4 0 Ra Rb
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电势梯度
场有分布，沿各方向存在不同的方向微商
梯度：最大的方向微商
如 速度梯度 温度梯度等
沿l的方向微商可以表示为
U
U
lim
l l o l
若取垂直方向，即场强方向n，则沿该方向的
方向微商为 U lim U 显然 n l cos
n n o n
有
U n
Q
F dl
P
Q
Q
F cosdl Fdr
P
P
rQ Fdr qq0
rP '
4 0
rQ dr r rP' 2
APQ
qq0
4 0
rQ dr r rP ' 2
qq0
4 0
1 rp'
1 rQ
q0
rQ E(r)dr
rP '
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
点电荷组产生的场
q1, q2 , , qn
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电子伏特
电子伏特：能量单位
带有电量+e或-e的粒子飞跃一个电势差为1V的 区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得 这么多能量（动能）——1eV
1eV 1.601019C 1V 1.601019 J
1keV 103eV 千 1MeV 106 eV 兆 1GeV 109 eV 吉 1TeV 1012 eV 太
方法二：电势叠加
内壳单独存在
外壳单独存在
r Ra r Ra
U内
Qa
4 0Ra
U外
Qa
4 0r
r Rb r Rb
U内
Qb
4 0Rb
U外
Qb
4 0r
各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的
电势的叠加 Ⅰ：
Ⅱ： Ⅲ：
U1内 U 2内 U 1内 U 2内
U1外 U 2外
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[解]电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极 A. 静电场力是保守力，按能量守恒
1 2
mev
2
eU KA
(1.601019) (3 000)
J
4.801016 J
电子到达阳极时获得的动能为
v 2eUKA me
24.801016 9.111031
m/s
3.25107 m/s
谢谢观看！
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E dl
P
两点之间电势差可表为两点电势值之差
Q
Q
UPQ
Edl
P
Edl
P
E dl U (P) U (Q)
单位：1V(伏特）＝1J/C
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电势叠加原理
Ui
1
4 0
qi ri
点电荷组有
UP
Edl
P
P E1 dl
P E2 dl
WPQ
q0
APQ q0
UPQ
Q
E dl
P
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功
单位正电荷的电势能差
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空间某点的电势值
为了确定某点的值，还需要选择零点
一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
U ( p) U P
AP q0
U l
1
cos
,或 U l
U n
cos
U l
U n
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结论：两等势面间U沿Δn 方向的变化率比沿 其他任何方向的变化率都大
电势梯度
方向： 沿电势变化最快的方向