《二次函数》填空题专题训练

性质即可求得最大值． 【解答】 解：∵ D 是抛物线 y= ﹣ x2+6x 上一点， ∴设 D （x，﹣ x2+6x），
∵顶点 C 的坐标为（ 4， 3），
∴OC=
=5 ，
∵四边形 OABC 是菱形， ∴BC=OC=5 ， BC∥ x 轴， ∴S△BCD = × 5×（﹣ x 2+6x﹣3） =﹣ （ x ﹣ 3）2+15，
① AB=4 ； ② b2﹣ 4ac＞ 0； ③ ab＜ 0； ④ a﹣b+c＜ 0， 其中正确的结论是 ______（填写序号） ．
7．（ ?十堰）已知关于 x 的二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过点（﹣ 2， y 1），（﹣ 1， y2），（ 1，
0），且 y1＜0＜ y2，对于以下结论： ① abc＞ 0； ② a+3b+2c≤ 0； ③ 对于自变量 x 的任意一
的动点．若△ PCD 是以 CD 为底的等腰三角形，则点 P 的坐标为 ______．
14．（ ?兰州）二次函数 y=x 2+4x﹣ 3 的最小值是 ______．
15．（?大连） 如图， 抛物线
2
y=ax +bx+c
与
x
轴相交于点
A 、B（ m+2，0）与 y 轴相交于点
C，
点 D 在该抛物线上，坐标为（ m， c），则点 A 的坐标是 ______．
《二次函数》填空题专题训练
1（ ?长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的 坐标为（ 4， 3），D 是抛物线 y= ﹣ x 2+6x 上一点，且在 x 轴上方，则△ BCD 面积的最大值为 ______．
2．（ ?自贡）抛物线 y=﹣ x2+4ax+b（ a＞0）与 x 轴相交于 O、 A 两点（其中 O 为坐标原点） ， 过点 P（ 2，2a）作直线 PM⊥ x 轴于点 M ，交抛物线于点 B ，点 B 关于抛物线对称轴的对称 点为 C（其中 B、 C 不重合），连接 AP 交 y 轴于点 N，连接 BC 和 PC． （1） a= 时，求抛物线的解析式和 BC 的长； （2）如图 a＞ 1 时，若 AP⊥ PC，求 a 的值．
个取值，都有 x 2+x≥﹣ ； ④ 在﹣ 2＜ x ＜﹣ 1 中存在一个实数 x0，使得 x0=﹣
，其
中结论错误的是 ______（只填写序号） ． 8．（ ?内江）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，且
| 3b+2c| ，则 P， Q 的大小关系是 ______．
P=| 2a+b|+| 3b﹣2c| ， Q=| 2a﹣ b| ﹣
5．（ ?天水）如图，二次函数 y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交
于点 C，且 OA=OC ，则下列结论： ① abc＜ 0；②
；③ ac﹣ b+1=0 ；④ OA ?OB=
﹣ ．其中正确结论的序号是 ______ ．
6．（ ?营口）如图，二次函数 y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交 于点 C，对称轴是直线 x= ﹣1，点 B 的坐标为（ 1， 0）．下面的四个结论：
（2）如图 a＞ 1 时，若 AP⊥ PC，求 a 的值．
【分析】（ 1）根据抛物线经过原点 b=0，把 a= 、b=0 代入抛物线解析式，即可求出抛物线
解析式，再求出 B、 C 坐标，即可求出 BC 长．
（2）利用△ PCB∽△ APM ，得 = ，列出方程即可解决问题．
【解答】 解：（ 1）∵抛物线
9．（ ?通辽）如图是二次函数
2
y=ax +bx+c
图象的一部分，图象过点
直线 x= ﹣ 1，给出以下结论：
① abc＜ 0 ② b2﹣ 4ac＞ 0
A（﹣ 3， 0），对称轴为
③ 4b+c＜ 0 ④ 若 B （﹣ ， y1）、 C（﹣ ，y 2）为函数图象上的两点，则
y1＞ y2
⑤ 当﹣ 3≤ x≤ 1 时， y≥ 0， 其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）
______．
10．（ ?益阳） 某学习小组为了探究函数 y=x2﹣ | x| 的图象和性质， 根据以往学习函数的经验，
列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的
m=______ ．
﹣
x
…
﹣2
﹣ 1 ﹣ 0.5 0
0.5
1.5
1 1.5 2 …
y
…2
0.75 0
﹣ 0.25 0
﹣0.25 0 m
2…
11．（?牡丹江）已知抛物线 y=ax 2﹣3x+c（ a≠ 0）经过点（﹣ 2， 4），则 4a+c﹣ 1=______ ．
12．（ ?镇江） a、 b、 c 是实数，点 A （ a+1、 b）、 B （ a+2， c）在二百度文库函数 y=x 2﹣ 2ax+3 的图
象上，则 b、 c 的大小关系是 b______c（用 “＞”或 “＜ ”号填空） 13．（ ?梅州）如图，抛物线 y= ﹣ x2+2x+3 与 y 轴交于点 C，点 D（ 0， 1），点 P 是抛物线上
3．（ ?大庆）直线 y=kx +b 与抛物线 y= x 2 交于 A （ x1，y1）、B（ x 2，y2）两点，当 OA ⊥ OB 时，直线 AB 恒过一个定点，该定点坐标为 ______． 4．（ ?泰州） 二次函数 y=x 2﹣ 2x ﹣3 的图象如图所示， 若线段 AB 在 x 轴上， 且 AB 为 2 个 单位长度，以 AB 为边作等边△ ABC ，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点 C 的坐 标为 ______．
∴ =，
∴
=
，
整理得 a2﹣ 4a+2=0 ，解得 a=2± ， ∵a＞ 1， ∴a=2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴S△BCD 有最大值，最大值为 15， 故答案为 15． 【点评】 本题库存了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．
2．（ ?自贡）抛物线 y=﹣ x2+4ax+b（ a＞0）与 x 轴相交于 O、 A 两点（其中 O 为坐标原点） ， 过点 P（ 2，2a）作直线 PM⊥ x 轴于点 M ，交抛物线于点 B ，点 B 关于抛物线对称轴的对称 点为 C（其中 B、 C 不重合），连接 AP 交 y 轴于点 N，连接 BC 和 PC． （1） a= 时，求抛物线的解析式和 BC 的长；
参考答案
1．（ ?长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（ 4，3），D 是抛物线 y= ﹣ x 2+6x 上一点，且在 x 轴上方，则△ BCD 面积的最大值 为 15 ．
【分析】 设 D（ x ，﹣ x 2+6x），根据勾股定理求得 OC，根据菱形的性质得出 BC ，然后根据 三角形面积公式得出∴ S△BCD = × 5×（﹣ x2+6x﹣ 3）=﹣ （ x ﹣ 3）2+15，根据二次函数的
y=
﹣
2
x +4ax
+b（
a＞
0）经过原点
O，
∴b=0 ，
∵a= ，
∴抛物线解析式为 y=﹣ x 2+6x， ∵x=2 时， y=8 ， ∴点 B 坐标（ 2，8）， ∵对称轴 x=3， B、 C 关于对称轴对称， ∴点 C 坐标（ 4，8）， ∴BC=2 ． （2）∵ AP ⊥ PC， ∴∠ APC=90 °， ∵∠ CPB+∠APM=90 °，∠ APM +∠ PAM=90 °， ∴∠ CPB=∠ PAM ， ∵∠ PBC=∠ PMA=90 °， ∴△ PCB∽△ APM ，