北京市通州区20xx届高三第一学期期中数学(理)(答案).doc
北京市通州区2024-2025学年高三上学期期中物理试卷(含答案)
通州区2024-2025学年第一学期高三年级期中质量检测物理试卷2024年11月本试卷共10页，共100分。
考试时长90分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分本部分共14题，每题3分，共42分。
在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．如图甲所示，在一根固定不动的树枝上，小鸟有时停在A 点，有时停在B 点。
图乙为该现象的简化图，对于这两个点，下列说法正确的是（ ）甲乙A ．小鸟站在A 点时受到的支持力较小B ．小鸟站在A 点时受到的摩擦力较小C ．小鸟站在A 点时受到树枝的作用力较小D ．小鸟站在A 点时受到树枝的作用力方向为垂直树枝斜向上2．利用落体运动规律可估测人的反应时间。
如图，甲同学捏住直尺顶端，使直尺保持竖直状态，乙同学用一只手在直尺0刻线位置做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺。
当乙看到甲放开直尺后立即捏住直尺。
若乙捏住位置的刻度为h ，下列说法正确的是（ ）A ．h 越大，说明反应时间越短B ．乙同学反应时间越长，要捏住尺子时，尺子下落的速度越大C ．若乙同学手指张开的角度太大，则测得的乙同学的反应时间偏小D ．若以相等的时间间隔在该直尺的另一面重新标记出表示反应时间的刻度线，则时间刻度线在直尺上的分布是均匀的3．某同学在实验室做了如图所示的实验，铁质小球被电磁铁吸附，断开电磁铁的电源，小球自由下落，已知小球的直径为，该同学从计时器上读出小球通过光电门的时间为，g 取，则小球开始下落的位置距光电门的距离约为（）1.00cm 32.0010s -⨯210m/sA ．B ．C ．D ．4．利用速度传感器与计算机结合，可以自动做出物体的速度v 随时间t 的变化图像。
若某次实验中获得的图像如图所示，由此可以推断该物体在（ ）A ．时速度的方向发生了变化B ．时加速度的方向发生了变化C ．时的速率大于时的速率D ．内的位移为5．“歼20”是我国自行研制的第五代隐身战斗机，其作战性能位居世界前列。
2023-2024学年北京市通州区高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市通州区高一（上）期中数学试卷一、选择题。
共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A＝{3，4，5，7}，B＝{4，5，6}，则A∩B＝（）A．{3，4，5，6，7}B．{4，5}C．{x|4≤x≤5}D．{x|3≤x≤7}2．若命题p：∃x＞0，x2+x﹣1＞0，则p的否定形式为（）A．∀x＞0，x2+x﹣1≤0B．∃x≤0，x2+x﹣1＞0C．∀x≤0，x2+x﹣1＞0D．∃x＞0，x2+x﹣1≤03．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x 12B．y＝2﹣x C．y=x+1xD．y＝x34．已知函数y＝f（x）的对应关系如表所示，函数y＝g（x）的图象如图所示，则f（g（3））的值为（）A．9B．6C．3D．05．有限集合M中元素的个数记作card（M），若A，B都为有限集合，则“A∩B＝A“是“card（A）≤card （B）“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．设函数y＝x2+2ax在区间（2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≥2}B．{a|a≤2}C．{a|a≥﹣2}D．{a|a≤﹣2}7．下列命题中正确的是（）A．若ac2＞bc2，则|a|＞|b|B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ad＜bc8．向体积相同且高为H的花瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那么花瓶的形状是（）A ．B ．C ．D ．9．我们知道，函数y ＝f （x ）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x ）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f （x ）的图象关于点H （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数，则函数f(x)=x +1x+1的对称中心是（ ） A ．（﹣1，﹣1）B ．（1，1）C ．（0，0）D ．（﹣1，1）10．公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f （x ）＝ae x +be ﹣x （其中a ，b 为非零常数，e 为无理数，e ＝2.718…），则以下结论正确的是（ ）A ．若a ＝b ，则y ＝f （x ）为奇函数B ．若ab ＝1，则函数y ＝f （x ）的最小值为2C ．若ab ＞0，则方程f （x ）＝0没有实数根D ．若ab ＜0，则函数y ＝f （x ）为单调递增函数 二、填空题。
【精编】北京市通州区2019届高三第一学期期中考试数学(文)试题.doc
通州区2019-2020学年第一学期高三年级期中考试数学（文科）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合31M x x ，3Nx x ，则MN A ．1x x B ．1x x C ．3x xD ．2. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的k 值为A．3 B ．4 C ．5 D ．63.设等差数列n a 的前n 项和为n S ，若1326S ，61a ，则数列n a 的公差为A ．2B ．1C ．2D．14．最小正周期为，且图象关于直线3x对称的一个函数是A ．sin()26x y B ．sin(2)6y x C ．sin(2)6yxD ．cos(2)6yx5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱与最短棱的棱长之比为A ．2 B．3考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．4.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．侧（左）视图正（主）视图122C ．2 D．66．设a ，b 是非零向量，则2ab 是a 与b 共线的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ab ，其全程的平均速度为v ，则A ．2a b v B．v ab C ．av abD ．2a babv8.已知函数2,1,,1,xx e x f xex 若实数a ，b ，c 互不相等，且f a f b f c ，则a b c 的取值范围是A ．0,1B ．1,2 C．1,3 D．2,3第二部分（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．复数12i =2i ．10．2log 5，32，123三个数的大小关系是．11．曲线1xye在点0,2处的切线方程为．12．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC 的最大值为．13．能说明“若f x 是奇函数，则00f ”为假命题的一个函数是．14．设函数0x f xaxa，若f x 在1,单调递减，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，当FEBAP0x 时，22f x xx ．现已画出函数f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数f x 在R 上的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f x 在R 上的解析式．16．（本小题13分）已知数列n a 的通项公式为65()na n nN ，数列nb 是等差数列，且1.nnn a b b （Ⅰ）求数列n a 的前n 项和；（Ⅱ）求数列n b 的通项公式．17．（本小题13分）已知函数21cossincos2222x x x f x ．（Ⅰ）求函数f x 的最小正周期和最值；（Ⅱ）若3210f，求sin2的值．18．（本小题13分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3sin cos b Aa B ．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若3b ，sin 3sin CA ，求a ，c ．19．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PC ，PB 的中点，90ACB ．（Ⅰ）求证：EF ABC 平面；（Ⅱ）求证：EF AE ；（Ⅲ）若PA AC CB ，4AB，求几何体EFABC 的体积．20．（本小题14分）已知函数ln R f x x x a a ．（Ⅰ）若函数f x 的最大值为3，求a 的值；（Ⅱ）若当1,x时，3122fx k xf x a k x恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若1x ，2x 是函数f x 的两个零点，且12x x ，求证：121x x ．。
【最新】北京市通州区2019届高三第一学期期中考试数学(文)试题.doc
通州区2019-2020学年第一学期高三年级期中考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}31M x x =-≤<，{}3N x x =<-，则MN =A ．{}1x x < B ． {}1x x ≥C ． {}3x x ≥-D ．φ2. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的k 值为A ．3B ．4C ．5D ．6 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1326S =，61a =，则数列{}n a 的公差为 A ．2-B ．1-C ．2D ． 14．最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=+ C ．sin(2)6y x π=-D ． cos(2)6y x π=-5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱侧（左）视图正（主）视图与最短棱的棱长之比为A B ．C ． 2D ．6．设a ，b 是非零向量，则2=a b 是a 与b 共线的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ()a b <，其全程的平均速度为v ，则A ．2a bv +=B ．v =C ．a v <<D 2a bv +<<8.已知函数()2,1,,1,x x e x f x e x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 若实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围是A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,3D ． ()2,3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．复数12i=2i+- ． 10．2log 5，32-，123三个数的大小关系是 ． 11．曲线1xy e =+在点()0,2处的切线方程为 ．12．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC⋅的最大值为 ． 13．能说明“若()f x 是奇函数，则()00f =”为假命题的一个函数是 ． 14．设函数()()0xf x a x a=>-，若()f x 在()1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在R 上的解析式．16．（本小题13分）已知数列{}n a 的通项公式为65()n a n n N *=+∈，数列{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和； （Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式． 17．（本小题13分） 已知函数()21cossin cos 2222x x x f x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最值；（Ⅱ）若()10f α=，求sin 2α的值． 18．（本小题13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，s i n c o s A a B=．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若3b =，sin C A =，求a ，c ．19．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PC ，PB 的中点，90ACB ∠=︒．（Ⅰ）求证：EF ABC 平面；（Ⅱ）求证：EF AE ⊥；（Ⅲ）若PA AC CB ==，4AB =，求几何体EFABC 的体积．20．（本小题14分）已知函数()()ln R f x x x a a =-+∈． （Ⅰ）若函数()f x 的最大值为3，求a 的值； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．。
2023-2024学年北京市通州区高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合A ＝{x |0≤x ＜2}，B ＝{﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0，1，2}2．已知复数z =1−ii，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a →=(−2，0)，b →=(1，2)，c →=(1，√3)，则下列结论中正确的是（ ） A ．a →∥b →B ．a →⋅b →=2C ．|b →|=2|c →| D ．a →与c →的夹角为120°4．已知函数f(x)=x +14x+1(x ＞0)，则（ ） A ．当且仅当x =12，时，f （x ）有最小值32 B ．当且仅当x =12时，f （x ）有最小值2C ．当且仅当x ＝1时，f （x ）有最小值32D ．当且仅当x ＝1时，f （x ）有最小值25．下列命题中的假命题是（ ） A ．∀x ∈R ，(12)x ＞0B ．∃x ∈R ，x 12＞xC ．∀x ∈R ，2|x |＞1D ．∃x ∈R ，tan x ＞16．已知a =log 123，b =ln 12，c =(13)12，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a7．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，则“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tan α＝﹣2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2|﹣x |C ．f （x ）＝﹣log 2|x |D ．f(x)=|log 12x|9．已知函数f （x ）＝A cos （2x +φ）（A ＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f(3π4)=−1，将f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为g （x ），则（ ） A ．g （x ）＝sin xB ．g （x ）＝﹣sin xC ．g(x)=cos(x +π4)D ．g(x)=cos(x −π4)10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +S n+1=n 2，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①a n +2﹣a n ＝2；②若a 1＝0，则S 50＝1225； ③若a 1＝1，则S 50＝1224；④若数列{a n }是单调递增数列，则a 1的取值范围是(−14，14)．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知函数f(x)=1x+lg(x +2)，则f （x ）的定义域为 ． 12．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝﹣2，a 3＝4，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ；数列{a n }的前9项和S 9的值为 ．13．已知实数a ，b 满足关于x 的不等式ax ＞b （a ，b ∈R ）的解集为（﹣∞，﹣1），且满足关于y 的不等式y 2+3y +b ＞0的解集为R ，则满足条件的一组a ，b 的值依次为 ．14．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BA →⋅BC →=2，则BC ＝ ；若点P 满足CP →=12CA →−2CB →，则PA →⋅PB →的值为 ．15．已知函数f(x)={−x 2+x +m ，x ＜1，−12−log 3x ，x ≥1，m ∈R ，g(x)=xx 2+1，给出下列四个结论：①函数f （x ）在区间(12，+∞)上单调递减；②函数g （x ）的最大值是12；③若关于x 的方程f （x ）﹣g （x ）＝0有且只有一个实数解，则m 的最小值为12；④若对于任意实数a ，b ，不等式f （a ）≤g （b ）都成立，则m 的取值范围是(−∞，−34]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3，a ∈R ． （1）当a ＝2时，若x ∈[0，3]，求f （x ）的值域；（2）若f （x ）有两个零点，分别为x 1，x 2，且x 1x 2＞0，求a 的取值范围． 17．（14分）已知函数f(x)=2√3sinxcosx −2sin 2x +1．（1）求f(5π4)的值；（2）求f（x）的最小正周期及单调区间；（3）比较f(−π5)与f(7π8)的大小，并说明理由．18．（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，B=π3，再从下面给出的条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一．（1）求c的值；（2）求△ABC的面积．条件①：cosA=2√77；条件②：b=√72；条件③：b=√7．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19．（14分）已知函数f（x）＝e2x﹣2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）的极值；（3）若对于任意x∈R，不等式f（x）＞2（e﹣1）x+m恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知函数f(x)=e x−2x，g(x)=alnx−1x，a∈R．（1）求f′（1）的值；（2）求g（x）在区间[1，2]上的最大值；（3）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f(x)＞g(x)−cosxx成立．21．（15分）已知数列{a n}的各项均为正数，且满足a n﹣1+a n+1≥2a n（n∈N*，且n≥2）．（1）若a1＞a2；（i）请写出一个满足条件的数列{a n}的前四项；（ii）求证：存在t（t∈R），使得a n−a1＞nt(n∈N∗)成立；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：2S n≥(n2+n)a n−(n2−n)a n+1．2023-2024学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合A ＝{x |0≤x ＜2}，B ＝{﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，2}D ．{0，1，2}解：因为集合A ＝{x |0≤x ＜2}，B ＝{﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝{0，1}． 故选：B ． 2．已知复数z =1−ii，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解：z =1−i i =(1−i)(−i)i(−i)=−1−i ，故对应的点为（﹣1，﹣1），在第三象限． 故选：C ．3．已知向量a →=(−2，0)，b →=(1，2)，c →=(1，√3)，则下列结论中正确的是（ ） A ．a →∥b → B ．a →⋅b →=2C ．|b →|=2|c →|D ．a →与c →的夹角为120°解：已知向量a →=(−2，0)，b →=(1，2)，c →=(1，√3)， A 选项，因（﹣2）×2≠1×0，则a →与b →不平行，故A 错误； B 选项，因a →⋅b →=−2+0=−2，故B 错误；C 选项，|b →|=√12+22=√5，又|c →|=√12+(√3)2=2，则|b →|≠2|c →|，故C 错误； D 选项，cos〈a →，c →〉=a →⋅c →|a →||c →|=−22×2=−12，又〈a →，c →〉∈[0°，180°]， 则〈a →，c →〉=120°，即a →与c →的夹角为120°，故D 正确． 故选：D ．4．已知函数f(x)=x +14x+1(x ＞0)，则（ ） A ．当且仅当x =12，时，f （x ）有最小值32 B ．当且仅当x =12时，f （x ）有最小值2C ．当且仅当x ＝1时，f （x ）有最小值32D ．当且仅当x ＝1时，f （x ）有最小值2解：因为x ＞0，则f(x)=x +14x +1≥2√x ⋅14x +1=2，当且仅当x =14x 时，即x =12时，等号成立，所以当且仅当x =12时，f （x ）有最小值2．故选：B ．5．下列命题中的假命题是（ ） A ．∀x ∈R ，(12)x ＞0B ．∃x ∈R ，x 12＞xC ．∀x ∈R ，2|x |＞1D ．∃x ∈R ，tan x ＞1解：对于A ，因为指数函数的值域为（0，+∞），所以∀x ∈R ，(12)x ＞0，选项A 正确；对于B ，当x =14时，x 12=(14)12=12＞14，选项B 正确；对于C ，当x ＝0时，2|x |＝20＝1，选项C 错误；对于D ，当x =π3时，tanx =tan π3=√3＞1，选项D 正确．故选：C ．6．已知a =log 123，b =ln 12，c =(13)12，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为2=(12)−1＜3＜(12)−2=4，所以log 12(12)−2＜log 123＜log 12(12)−1，即﹣2＜a ＜﹣1，因为e −1＜12＜1，所以lne −1＜ln 12＜ln1，即﹣1＜b ＜0，而c =(13)12＞0，所以a ＜b ＜c ．故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，则“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tan α＝﹣2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当角α的终边过点（﹣1，2）时，根据三角函数的定义，可得tan α＝﹣2，充分性成立； 当tan α＝﹣2时，α为第二象限角或第四象限角，若α为第四象限角，则角α的终边不过点（﹣1，2），必要性不成立．所以“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tan α＝﹣2”的充分不必要条件． 故选：A ．8．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2|﹣x |C ．f （x ）＝﹣log 2|x |D ．f(x)=|log 12x|解：对于A ，f （x ）＝（x ﹣1）3在区间（0，+∞）上单调递增，故A 不符合题意； 对于B ，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝2|﹣x |＝2x ，在区间（0，+∞）上单调递增，故B 不符合题意；对于C ，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝﹣log 2|x |＝﹣log 2x ，在区间（0，+∞）上单调递减，故C 符合题意；对于D ，f(x)=|log 12x|={log 12x ，0＜x ＜1−log 12x ，x ＞1，故f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故D 不符合题意． 故选：C ．9．已知函数f （x ）＝A cos （2x +φ）（A ＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f(3π4)=−1，将f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为g （x ），则（ ） A ．g （x ）＝sin x B ．g （x ）＝﹣sin x C ．g(x)=cos(x +π4)D ．g(x)=cos(x −π4)解：由题意可知φ=π2+kπ(k ∈Z)，|φ|＜π，所以φ=π2或φ=−π2， 由f(3π4)=−1，得A cos （3π2+φ）＝﹣1， 因为A ＞0，所以cos （3π2+φ）＜0，所以φ=−π2，A =1，即f(x)=cos(2x −π2)=sin2x ，故g （x ）＝sin x ．故选：A ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +S n+1=n 2，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①a n +2﹣a n ＝2；②若a 1＝0，则S 50＝1225； ③若a 1＝1，则S 50＝1224；④若数列{a n }是单调递增数列，则a 1的取值范围是(−14，14)．A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为S n+1=−S n +n 2，当n ≥2，S n =−S n−1+(n −1)2，两式相减得a n +a n +1＝2n ﹣1（n ≥2），所以a n +1+a n +2＝2（n +1）﹣1＝2n +1， 两式相减得a n +2﹣a n ＝2（n ≥2），故①错误，当a 1＝0时，令n ＝1，则S 2＝﹣S 1+1，a 1+a 2＝﹣a 1+1，得a 2＝﹣2a 1+1，所以a 2＝1，令n ＝2，则S 3＝﹣S 2+4，a 1+a 2+a 3＝﹣a 1﹣a 2+4，得a 3＝﹣2a 1﹣2a 2+4＝2a 1+2，所以a 3＝2，则a 3﹣a 1＝2，所以a n +2﹣a n ＝2，故{a n }奇数项是以a 1＝0为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以a 2＝1为首项，2为公差的等差数列，则S50＝a1+a2+a3+⋯+a49+a50＝（a1+a3+⋯+a49）+（a2+a4+⋯+a50）=(25×0+25×242×2)+(25×1+25×242×2)=1225，所以②正确；当a1＝1时，令n＝1，则S2＝﹣S1+1，a1+a2＝﹣a1+1，得a2＝﹣2a1+1，所以a2＝﹣1，令n＝2，则S3＝﹣S2+4，a1+a2+a3＝﹣a1﹣a2+4，得a3＝﹣2a1﹣2a2+4＝4，故{a n}偶数项是以a2＝﹣1为首项，2为公差的等差数列，奇数项从第二项开始以a3＝4为首项，2为公差的等差数列，则S50＝a1+a2+a3+⋯+a49+a50＝a1+（a3+⋯+a49）+（a2+a4+⋯+a50）=1+(24×4+24×232×2)+[25×(−1)+25×242×2]=1224，所以③正确；由于a n+2﹣a n＝2（n≥2），a2＝﹣2a1+1，a3＝2a1+2，则a2n＝（a2n﹣a2n﹣2）+（a2n﹣2﹣a2n﹣4）+⋯+（a4﹣a2）+a2＝2（n﹣1）﹣2a1+1＝2n﹣2a1﹣1，a2n+1＝（a2n+1﹣a2n﹣1）+（a2n﹣1﹣a2n﹣3）+⋯+（a5﹣a3）+a3＝2（n﹣1）+a3＝2n﹣2+2a1+2＝2n+2a1又数列{a n}单调递增，则必有a2n+2＞a2n+1＞a2n，且a2＞a1，所以2n+2﹣2a1﹣1＞2n+2a1＞2n﹣2a1﹣1，且1﹣2a1＞a1，解得−14＜a1＜14，所以a1的取值范围是(−14，14)，所以④正确．故选：C．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知函数f(x)=1x+lg(x+2)，则f（x）的定义域为（﹣2，0）∪（0，+∞）．解：依题意可得，{x≠0x+2＞0，解得x＞﹣2且x≠0，所以f（x）的定义域为（﹣2，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．12．已知数列{a n}是等比数列，a2＝﹣2，a3＝4，则数列{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n﹣1；数列{a n}的前9项和S9的值为171．解：由a2＝﹣2，a3＝4可得q＝﹣2，a1＝1，所以a n=a1q n−1=(−2)n−1，S9=1−(−2)91−(−2)=171．故答案为：（﹣2）n﹣1，171．13．已知实数a，b满足关于x的不等式ax＞b（a，b∈R）的解集为（﹣∞，﹣1），且满足关于y的不等式y2+3y+b＞0的解集为R，则满足条件的一组a，b的值依次为a＝﹣3，b＝3．解：因为关于x 的不等式ax ＞b （a ，b ∈R ）的解集为（﹣∞，﹣1），所以{a ＜0b =−a ，又因为关于y 的不等式y 2+3y +b ＞0的解集为R ，所以32﹣4b ＜0，解得b ＞94，所以满足条件的一组a ，b 的值依次为a ＝﹣3，b ＝3，（答案不唯一，只要满足b =−a ＞94就行）．故答案为：a ＝﹣3，b ＝3．14．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BA →⋅BC →=2，则BC ＝ 2 ；若点P 满足CP →=12CA →−2CB →，则PA →⋅PB→的值为 24 ．解：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝2，又BA →⋅BC →=2，则AB →⋅(AC →−AB →)=−2，则AB →⋅AC →=AB →2−2=2，即|AB →||AC →|cos∠BAC =2， 即cos ∠BAC =12，即∠BAC =π3，即△ABC 为等边三角形，即BC ＝2；又点P 满足CP →=12CA →−2CB →，则PA →⋅PB →=(CA →−CP →)⋅(CB →−CP →)=(2CB →+12CA →)⋅(3CB →−12CA →)=6CB →2−14CA →2+12CB →⋅CA →=6×4−14×4+12×2×2×12=24．故答案为：2；24．15．已知函数f(x)={−x 2+x +m ，x ＜1，−12−log 3x ，x ≥1，m ∈R ，g(x)=xx 2+1，给出下列四个结论：①函数f （x ）在区间(12，+∞)上单调递减；②函数g （x ）的最大值是12；③若关于x 的方程f （x ）﹣g （x ）＝0有且只有一个实数解，则m 的最小值为12；④若对于任意实数a ，b ，不等式f （a ）≤g （b ）都成立，则m 的取值范围是(−∞，−34]．其中所有正确结论的序号是 ② ． 解：函数f(x)={−x 2+x +m ，x ＜1，−12−log 3x ，x ≥1，m ∈R ，当x ∈（12，1）时，f （x ）＝﹣x 2+x +m 单调递减，当x ∈[1，+∞）时，f （x ）=−12−log 3x 单调递减，但f （x ）在（12，+∞）上不一定单调递减，如m ＝﹣1时，故①错误；因为g(x)=xx2+1=1x+1x，当x＞0时，x+1x≥2，0＜g（x）≤12；当x＜0时，x+1x≤−2，−12≤g（x）＜0，所以g（x）的值域是[−12，12]，函数g（x）的最大值是12，命题②正确；若关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0有且只有一个实数解，即f（x），g（x）有且只有一个交点，要想f（x），g（x）有且只有一个交点，则m≥12或m＝0，所以m的最小值为0，故③不正确；④由题意，可得f（0）≤g（0），所以m≤0，当m＝0时，f（x）＝﹣x2+x，f（0）＝0，f′（x）＝﹣2x+1，f′（0）＝1，此时f（x）＝﹣x2+x在x＝0处的切线方程为y＝x，又g′（0）＝1，所以g(x)=xx2+1在x＝0处的切线方程为y＝x，画出函数的图象如下．由图象可知，对任意实数a，b，不等式f（a）≤g（b）都成立，所以m的取值范围是(−∞，−34]，故④错误．故答案为：②．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a+3，a∈R．（1）当a＝2时，若x∈[0，3]，求f（x）的值域；（2）若f（x）有两个零点，分别为x1，x2，且x1x2＞0，求a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的对称轴为x＝1，且开口向上，所以f（x）在[0，1）上单调递减，在（1，3]上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝0，又f（0）＝1，f（3）＝4，所以f（x）max＝4，所以当x∈[0，3]，f（x）的值为[0，4]；（2）∵f（x）的两个零点分别为x1，x2，且x1x2＞0，∴{Δ＞0x1x2＞0，即{a2−4(−a+3)＞0−a+3＞0，解得a＜﹣6或2＜a＜3，故a的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（2，3）．17．（14分）已知函数f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x+1．（1）求f(5π4)的值；（2）求f（x）的最小正周期及单调区间；（3）比较f(−π5)与f(7π8)的大小，并说明理由．解：（1）f(x)=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，所以f(5π4)=2sin(2×5π4+π6)=2cosπ6=√3；（2）f（x）的最小正周期T=2π2=π，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z；令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z，单调递减区间为[π6+kπ，2π3+kπ]，k∈Z．（3）f(−π5)＜f(7π8)，理由如下：由（2）可知f（x）的最小正周期T=2π2=π，所以f(7π8)=f(−π8)，由（2）可知，f（x）在[−π3，π6]上单调递增，又−π3＜−π5＜−π8＜π6，所以f(−π5)＜f(−π8)，即f(−π5)＜f(7π8)．18．（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，B=π3，再从下面给出的条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一．（1）求c的值；（2）求△ABC的面积．条件①：cosA=2√77；条件②：b=√72；条件③：b=√7．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）若选条件①：因为cosA=2√77，且0＜A＜π，所以sinA=√1−cos2A=√217，因为C＝π﹣（A+B），所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√217×12+2√77×√32=3√2114，由正弦定理得asinA=csinC，所以c=asinCsinA=2×3√2114√217=3；若选条件②：因为b=√72，所以由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac，12=4+c2−744c，整理得4c2﹣8c+9＝0，此时方程无解，即这样的三角形不存在，所以条件②不能选；若选条件③：因为b=√7，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac，12=4+c2−74c，整理得c2﹣2c﹣3＝0，解得c＝3或c＝﹣1（舍去），所以c＝3；（2）由（1）可知：c＝3，所以S△ABC=12acsinB=12×2×3×√32=3√32．19．（14分）已知函数f（x）＝e2x﹣2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）的极值；（3）若对于任意x∈R，不等式f（x）＞2（e﹣1）x+m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）由f（x）＝e2x﹣2x，得f′（x）＝2e2x﹣2，又f′（0）＝0，f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1．（2）令f′（x）＝2e2x﹣2＞0，则x＞0，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝0时，f（x）取极小值f（0）＝1，无极大值，（3）由f（x）＞2（e﹣1）x+m，得e2x﹣2x＞2（e﹣1）x+m，所以e2x﹣2ex＞m，令g（x）＝e2x﹣2ex，则g′（x）＝2e2x﹣2e，令g′（x）＝2e2x﹣2e＞0，则x＞1 2，所以当x＞12时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜12时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以当x=12，g(x)取极小值也是最小值，g(12)=e−e=0，所以m＜g（x）min，即m＜0，所以m的取值范围为（﹣∞，0）．20．（16分）已知函数f(x)=e x−2x，g(x)=alnx−1x，a∈R．（1）求f′（1）的值；（2）求g（x）在区间[1，2]上的最大值；（3）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f(x)＞g(x)−cosxx成立．解：（1）由f(x)=e x−2x，得f′(x)=xe x−e x+2x2，所以f′（1）＝2，（2）由g(x)=alnx−1x，得g′(x)=ax+1x2=ax+1x2，当a≥0时，g′（x）＞0，所以g（x）在区间[1，2]上单调递增，所以g(x)max=g(2)=aln2−1 2，当a＜0时，令g′（x）＜0，则x＞−1a；令g′（x）＞0，则0＜x＜−1a，所以g（x）在(−1a，+∞)上单调递减，在(0，−1a)上单调递增，当a≤﹣1时，−1a≤1，此时g（x）在区间[1，2]上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝﹣1，当−12≤a＜0时，−1a≥2，此时g（x）在区间[1，2]上单调递增，所以g(x)max=g(2)=aln2−1 2，当−1＜a＜−12时，1＜−1a＜2，此时g（x）在区间[1，−1a]上单调递增，在(−1a，2]单调递减，g(x)max=g(−1a)=aln(−1a)+a综上，当a≤﹣1时，g（x）max＝﹣1；当−1＜a＜−12时，g(x)max=aln(−1a)+a；当−12≤a时，g(x)max=aln2−12．（3）证明：要证f(x)＞g(x)−cosxx，即证lnx+1x＜ex+cosxx，即证明xlnx＜e x+cos x﹣1，当0＜x≤1时，xlnx＜0，又e x+cos x﹣1＞1+cos x﹣1＝cos x≥cos1＞0，所以xlnx＜e x+cos x﹣1，当x＞1时，记h（x）＝e x+cos x﹣xlnx﹣1，则h′（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1，记m(x)=ℎ′(x)=e x−sinx−lnx−1，m′(x)=e x−cosx−1x，因为x＞1，m′(x)=e x−cosx−1x＞e x−1−1x＞e−1−1＞0，所以当x＞1，h′（x）单调递增，所以h′（x）＞h′（1）＝e﹣sin1﹣1＞0，所以h（x）在x＞1单调递增，所以h（x）＞h（1）＝e+cos1﹣1＞0，所以xlnx＜e x+cos x﹣1，综上，对任意x∈（0，+∞），恒有f(x)＞g(x)−cosx x．21．（15分）已知数列{a n}的各项均为正数，且满足a n﹣1+a n+1≥2a n（n∈N*，且n≥2）．（1）若a1＞a2；（i）请写出一个满足条件的数列{a n}的前四项；（ii）求证：存在t（t∈R），使得a n−a1＞nt(n∈N∗)成立；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：2S n≥(n2+n)a n−(n2−n)a n+1．解：（1）（i）∵a n﹣1+a n+1≥2a n，∴a n+1﹣a n≥a n﹣a n﹣1，又a1＞a2，∴a2﹣a1＜0，∴满足条件的数列{a n}的前四项可以为a1＝2，a2＝1，a3＝7，a4＝15．（ii）证明：∵a n+1﹣a n≥a n﹣a n﹣1（n∈N*，且n≥2），∴a n﹣a n﹣1≥a n﹣1﹣a n﹣2，a n﹣1﹣a n﹣2≥a n﹣2﹣a n﹣3，⋯，a4﹣a3≥a3﹣a2，a3﹣a2≥a2﹣a1，累加，得a n﹣a2≥（n﹣2）（a2﹣a1），则a n﹣a1≥（n﹣2）（a2﹣a1）+a2﹣a1，则a n﹣a1≥（n﹣1）（a2﹣a1）＝n（a2﹣a1）﹣（a2﹣a1），∵a2﹣a1＜0，∴a n﹣a1＞n（a2﹣a1），不妨令t＝（a2﹣a1），则存在t（t∈R），使得a n−a1＞nt(n∈N∗)成立；（2）证明：由（1）知，a n﹣a1≥（n﹣1）（a2﹣a1），同理由a n﹣1+a n+1≥2a n，得a n+1﹣a n≥a n﹣a n﹣1，∴a q﹣a q﹣1≥a q﹣1﹣a q﹣2，a q﹣1﹣a q﹣2≥a q﹣2﹣a q﹣3，⋯，a k+2﹣a k+1≥a k+1﹣a k，∴a q﹣a k≥（q﹣k）（a k+1﹣a k），则a q﹣a k≥（q﹣k）（a k+1﹣a k），∴a q﹣a n≥（q﹣n）（a n+1﹣a n），a1﹣a n≥（1﹣n）（a n+1﹣a n），a2﹣a n≥（2﹣n）（a n+1﹣a n），⋯，a n﹣1﹣a n≥﹣（a n+1﹣a n），a n﹣a n≥0，累加，得S n−na n≥−(n−1)n2(a n+1−a n)，∴2S n≥(n2+n)a n−(n2−n)a n+1．。
2017-2018学年北京市通州区高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x2+3x＜0}，则A∩B等于（）A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣3＜x＜﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x＜0} 2．（5分）已知，0＜α＜π，则=（）A．B．﹣1 C．D．﹣73．（5分）“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y=4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）函数的图象与函数g（x）=ln（x+2）的图象的交点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若++=0，且||=||，则•等于（）A．B．C．3 D．28．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）A．n（n∈Z）B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z） D．n或（n∈Z）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（，k），若﹣2与垂直，则k=．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a5+a7=4，a6+a8=﹣2，则数列{a n}的公差等于；其前n项和S n的最大值为．11．（5分）P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的取值范围为．12．（5分）若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是．13．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足，则=．14．（5分）我们可以利用数列{a n}的递推公式a n=（n∈N+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a24+a25=；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第项．三、解答题．（本大题共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求时函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c，c ﹣2bsinC=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，c=1，求a和△ABC的面积．17．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4a n﹣3（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等比数列；=a n+b n（n∈N*），且b1=2，求数列{b n}的通项公式．（Ⅱ）若数列{b n}满足b n+118．（13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．19．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．20．（14分）已知函数，g（x）=x2e ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x2+3x＜0}，则A∩B等于（）A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣3＜x＜﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x＜0}【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x+1＜0}={x|x＜﹣1}，B={x|x2+3x＜0}={x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：B．2．（5分）已知，0＜α＜π，则=（）A．B．﹣1 C．D．﹣7【解答】解：∵，0＜α＜π，∴sinα==，∴tanα==，则．故选：D．3．（5分）“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解法一：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9解法二：S6=（）×6=12a7=S7﹣S6=9故选D5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y=4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）===4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2=32，当且仅当4x=，即x=4时，取“=”；∴当x=4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）==，其中x＞0；设t=，∴4x2﹣tx+64=0，∴△=t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t=32时，x==4，∴x=4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．（5分）函数的图象与函数g（x）=ln（x+2）的图象的交点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作函数与g（x）=ln（x+2）的图象如下，，故函数的图象有两个交点．故选：B．7．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若++=0，且||=||，则•等于（）A．B．C．3 D．2【解答】解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，++=0，且=1，对于++=0则，∴点O是BC的中点，且三角形为直角三角形AB=1，CB=2，CA=•==故选：C．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）A．n（n∈Z）B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z） D．n或（n∈Z）【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[﹣1，0]，则﹣x ∈[0，1]，于是f（x）=（﹣x）2=x2．设x∈[1，2]，则（x﹣2）∈[﹣1，0]．于是，f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）2．①当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．②当﹣2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x﹣2）2在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f′（x）=2x=1，解得x=，∴y==，故其切点为，∴；由（1≤x＜2）解之得．综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或．又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n﹣，（n∈Z）．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（，k），若﹣2与垂直，则k=﹣1．【解答】解：∵，，∴=（），又，且与垂直，∴，解得：k=﹣1．故答案为：﹣1．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a5+a7=4，a6+a8=﹣2，则数列{a n}的公差等于﹣3；其前n项和S n的最大值为57．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a5+a7=4，a6+a8=﹣2，∴，解得a1=17，d=﹣3，∴S n=17n+=17n﹣+=﹣n2+=﹣（n﹣）2+，∴当n=6时，S n取最大值S6=﹣=57．故答案为：﹣3，57．11．（5分）P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的取值范围为[，5] ．【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示：x2+y2表示可行域中动点P（x，y）到原点距离的平方由图可得P与A重合，即x=1，y=2时，x2+y2取最大值5当P与B重合，即OB与直线2x+y﹣2=0垂直时，x2+y2取最小值故x2+y2的取值范围为[，5]故答案为：[，5]12．（5分）若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是4．【解答】解：∵ln（a+b）=0，∴a+b=1∴=（）（a+b）=2++≥2+2=4故答案为：413．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足，则=﹣4．【解答】解：∵AM=3，点P在AM上且满足，∴||=2∵M是BC的中点，∴=2=∴=•=﹣=﹣4故答案为﹣414．（5分）我们可以利用数列{a n}的递推公式a n=（n∈N+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a24+a25=28；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第640项．【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a24+a25=3+25=28．又因为a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．所以第8个5是该数列的第5×28﹣1=640项．故答案为：28，640．三、解答题．（本大题共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求时函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+•=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+．∴f（x）的最小正周期是T=π．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵，∴2x﹣∈[0，]，∴当2x﹣=0 时，f（x）取得最小值，当2x﹣=时，f（x）取得最大值+1．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c，c ﹣2bsinC=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，c=1，求a和△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）将c﹣2bsinC=0，利用正弦定理化简得：sinC=2sinBsinC，∵sinC≠0，∴sinB=，∵0＜B＜π，a＞b＞c，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理可得3=a2+1﹣a，即a2﹣a﹣2=0，∴a=2，∴△ABC的面积==．17．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4a n﹣3（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等比数列；=a n+b n（n∈N*），且b1=2，求数列{b n}的通项公式．（Ⅱ）若数列{b n}满足b n+1【解答】解：（Ⅰ）证明：由S n=4a n﹣3，n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．因为S n=4a n﹣3，则S n﹣1=4a n﹣1﹣3（n≥2），所以当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4a n﹣4a n﹣1，整理得．又a1=1≠0，所以{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：因为，=a n+b n（n∈N*），得．由b n+1可得b n=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=，（n≥2）．当n=1时上式也满足条件．所以数列{b n}的通项公式为．18．（13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由已知得：0+30+30+a+5=100，解得a=35，∴，．…（3分）（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则．所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为．…（7分）（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为．X的所有可能取值0，1，2，3．…（8分）则，，，．其分布列如下：所以，．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1）=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..（3分）（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x﹣=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=．②若1＜＜e，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=，③若，即a≥e2在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=；当a≥e2时，f min（x）=．…．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则即，此时，e＜a ＜．所以，a的取值范围为（e ，）…..（13分）20．（14分）已知函数，g（x）=x2e ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R ，．…（2分）当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以，函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．…（5分）（Ⅱ）依题意，“对于任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，因为f（0）=1，，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．所以应满足g（x）max≤1．…（7分）因为g（x）=x2e ax，所以g'（x）=（ax2+2x）e ax．…（8分）因为a＜0，令g'（x）=0得，x1=0，．（ⅰ）当，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，所以函数．由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．…（11分）（ⅱ）当，即a＜﹣1时，在上g'（x）≥0，在上g'（x）＜0，所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减，所以．由得，，所以a＜﹣1．…（13分）综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．…（14分）。
北京市2025届高三上学期期中考试数学试题含答案
2024北京高三（上）期中数学（答案在最后）本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.设集合{}22M x x =<，{}13N x x =-≤≤，则M N ⋃=（）A.{1x x -≤< B.{}12x x -≤<C.{}3x x <≤ D.{}23x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求集合M ，进而根据并集运算求解.【详解】因为22x <，解得x <<，即{|M x x =<<，且{}13N x x =-≤≤，所以{}3M N xx =<≤∣ ．故选：C ．2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（）A.9 B.5C.8- D.10【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.【详解】由已知3113y x =+，则2y x '=，当3x =-时，()239y '=-=，即切线斜率9k =，故选：A.3.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A .5B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.【详解】由题意知，12i z =-，213i z =-，所以()()()()2113i 2i 13i 55i 1i 2i 2i 2i 5z z -+--====---+所以21z z ==，故选：D.4.已知直线6x π=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴，则ω的值为（）A.3B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性可得,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，由此可得答案.【详解】依题意得()sin()1666f πππω=⋅+=±，所以,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，即62,Z k k ω=+∈，又08ω<<，所以2ω=.故选：C.5.若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A.a b c<< B.b c a<< C.c b a << D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c a b <<，故选：D.6.在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则EB =（）A.3144AB AC -B.3344AB AC -C.3144AB AC +D.3344AB AC +【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以()1113122244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-，故选：A ．7.在长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面11AB D 平行的概率为A.314B.514C.328D.528【答案】C 【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】八个顶点任两点连线共有28C 28=条，其中直线与平面11AB D 平行的有BD ，1BC ， 共有3条，所以该直线与平面11AB D 平行的概率为328P =.故选：C .8.已知,a b 都大于零且不等于1，则“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】log 1ab >等价于1b a >>或01b a <<<，(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，然后可判断出答案.【详解】由log 1a b >可得log log a a b a >，所以可得1a b a >⎧⎨>⎩或01a b a <<⎧⎨<⎩，即1b a >>或01b a <<<(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩所以“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的充分不必要条件故选;：A9.已知函数()22,,x x x mf x x x m⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≥B.3m ≥C.13m ≤≤D.1m ≤或3m ≥【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.【详解】因为()22211y x x x =-=--在[)1,+∞上单调递增，y x =在R 上单调递增，又()22,,x x x mf x x x m ⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，所以212m m m m ≥⎧⎨≤-⎩，解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.故选：B10.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A.36.9% B.41.5%C.58.5%D.63.4%【答案】C 【解析】【分析】由题意，0100n X X =代入解方程即可.【详解】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数y =______.【答案】()0,2【解析】【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得240x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，故定义域为()0,2.故答案为：()0,212.已知等差数列{}n a 的前n 项和为13,1,18n S a S ==，则6S =______.【答案】81【解析】【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.【详解】根据题意，知道131,18a S ==，则231417a a a a +==+，则416a =，若公差为d ，所以41315a a d -==，则5d =.故1234561,6,11,16,,21,26.a a a a a a ======则6161116212681S =+++++=.故答案为：8113.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC V 的面积是______________.【答案】332【解析】【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积.【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++- ，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC V的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14.已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+∞，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x ⎛⎫=- ∈-∞⎪⎝⎭．因为()f x 的值域为R ，则当0x ≥时，min ()3f x ≤．当0x ≥时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+∞，上单调递增，min ()=(0)3f x f ∴≤，即2log 3a ≤，解得08a <≤，即a 的最大值为8．故答案为：8．15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】②③【解析】【分析】根据给定条件，作出平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，PA =AB =4，取CD 中点，连接FG ，GH ，BD ，AC ，如图，因底面ABCD 为正方形，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，则////EH BD FG ，////EF PC GH ，EFGH 是平行四边形，令FG AC J ⋂=，有14CJ AC =，在PA 上取点I ，使14PI PA =，连接,,EI HI JI ，则////JI PC EF ，点J ∈平面EFH ，有JI ⊂平面EFH ，点I ∈平面EFH ，,EI HI ⊂平面EFH ，因此五边形EFGHI 是平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，②正确；因EF ⊂平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，而//EF PC ，则//PC 平面EFH ，直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点，③正确；PA ⊥底面ABCD ，FG ⊂平面ABCD ，有PA FG ⊥，而BD AC ⊥，//BD FG ，则AC FG ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，因此FG ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，于是得FG PC ⊥，有FG EF ⊥，而122FG BD ==，22112322EF PC PA AC ==+，矩形EFGH 面积等于6EF FG ⋅=，3334JI PC ==，而JI EH ⊥，则IE H 边EH 上的高等于3JI EF -=1362IEH S EH == ，所以截面五边形EFGHI 面积为56.故答案为：②③【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、解答题（共6题，共85分）16.已知函数()()22sin cos 2cos f x x x x =+-，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期π，单调递减区间3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2，最小值-1．【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.【小问1详解】()()()222πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+-+=- ⎪⎝⎭,∴最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 得单调递减区间为3π7ππ,π88x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x -=时，()f x ；当ππ244x -=-时，()f x 的最小值为-1.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①22cos a b c B -=，②1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ ，m n ⊥.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC V 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C ；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C ；由数量积公式结合余弦定理得出角C ；（2）由余弦定理结合基本不等式得出ABC V 周长的取值范围.【小问1详解】选①由正弦定理及22cos a b c B -=，2sin sin 2sin cos A B C B -=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，2sin cos sin B C B∴=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，又(0,)C π∈，3C π∴=.选②由1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，311sin cos cos 222C C C +=+，即311sin cos 222C C -=，1sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.(0,)C π∈ ，5,666C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，66C ππ∴-=，3C π∴=.选③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ .m n ⊥.()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=.化简得222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==.又(0,)C π∈ ，3C π∴=.【小问2详解】由余弦定理得2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又2a b+³Q 2()4a b ab +∴≤当且仅当a b =时等号成立.2233()3()4ab a b a b ∴=+-≤+，0a b ∴<+≤，当且仅当a b ==.a b c ∴++≤=又a b c +>，2a b c c ∴++>=ABC ∴周长的取值范围为.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB 所成角的正弦值为3，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）66（3）存在；BF 的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB 存在一点F 使得BF BP λ= ，且EF EB BF =+uu u r uur uu u r，即可求出EF ，利用向量的夹角公式列出关于λ的方程求解即可.【小问1详解】连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，点E 是PC 的中点，点O 是AC 的中点，所以PA ∥OE ,OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ；【小问2详解】如图，以向量DA ，DC ，DP为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，则()()1,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面EDB 的法向量(),,m x y z = ，则20DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-得2,1x z ==，所以平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面EDB 和平面PAD 的夹角为θ，则6cos cos ,66m n m n m n θ⋅====，所以平面EDB 和平面PAD 的夹角的余弦值为66；【小问3详解】由（2）知()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()1,1,1EB =- ，()1,2,2BP =-- ，(),2,2(01)BF BP λλλλλ==--<<，()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BF λλλλλλ=+=-+--=---+，由（2）知平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，设直线EF 与平面EDB 的夹角为α，则6sin cos ,,013EF m αλ===<<整理得281030λλ-+=，解得12λ=或3,4λ=故当12λ=时，32BF =；当34λ=时，94BF =则BF 的长为32或94．19.某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生.B 中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，a ()*a ∈N，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.【答案】（1）99100（2）分布列见解析，期望为32（3）{|738},5N a a a *<∈<【解析】【分析】（1）A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可；（2）6名男队员中有A ，B 中学各3人，所以选3人来自A 中学的人数X 可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望；（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a 的取值范围.【小问1详解】由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1991100100-=.【小问2详解】根据题意得，X 的可能取值为0，1，2，3.则()()031233333366,0C C C C 1901C 20C 2P X P X ⋅⋅======，()213336C C 92C 20P X ⋅===，()330363C C 13.C 20P X ⋅===所以X 的分布列为：X 0123P120920920120因此，X 的数学期望()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为2224)043233-++=(，3名女生的比赛成绩为77，a ()*a ∈N，81，平均值为1583a +，所以222158158158327781333a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()()()()222222329732158857347985a a a a a a ⨯>-+-+-=-+-+-，代入检验，可知a 最小为74，最大84，故7385a <<，N a *∈即a 的取值范围{|738},5N a a a *<∈<.20.已知函数()211ln22f x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-.【答案】（Ⅰ）10x y +--=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()2x af x x-+-'=，由20x a -+-=，分0∆>和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出12x x +=，12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为 t h（Ⅰ）因为a =时，()21122f x x x =--+，所以()f x x x'=--，那么()11f '=-，()1f =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()1y x -=--，即10x y +-=；（Ⅱ）因为()2a x af x x x x-+-'=--=，由20x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有1x =+，2x =120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(和)+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在上为增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在 t h 为减函数.综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(和)+∞上为减函数，在上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在 t h 上为减函数；（Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()20x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且12x x +=，120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()22121212121ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->，所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =，且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立，即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.设n 为正整数，集合(){}{}12|,,,,0,1,1,2,,.n n i A a a a a i n αα==∈= 对于()12,,,n n a a a A α=∈ ，设集合(){}01,,1,2,,i t i P a t t n a a i n t +=∈≤≤-==⋯-N .（1）若()()0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0αβ==，写出集合()(),P P αβ；（2）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(),s t P α∈满足s t <，令()12,,,n s n s a a a A α--∈'= ，求证：()t s P α-∈'；（3）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(){}1212,,,,3m m P s s s s s s m α=<<<≥ （），求证：()1221,2,,2k k k s s s k m ++≥+=- .【答案】（1）(){}(){}0,3,5,0,5,8,10P P αβ==；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，即可直接写出(),()P P αβ；（2）由i s i a a +=可得j t j t s a a ++-=，结合j t j a a +=可得,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，即可证明；（3）若()t P α'∈且2t n s <-则2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，进而2()s t P α+∈，由（2）可知1()k k k s s P α+-∈，分类讨论12()k k k s s n s +-<-、12()k k k s s n s +-≥-时12k k s s +-与2k s +的大小关系，即可证明.【小问1详解】(){0,3,5},(){0,5,8,10}P P αβ==；【小问2详解】因为()s P α∈，所以,1,2,,i s i a a i n s +==- ，当1j n t ≤≤-时，1j t s n t t s n s <+-≤-+-=-，所以j t s s j t s a a +-++-=，即j t j t s a a ++-=，1,2,,j n t =- ，又因为()t P α∈，所以,1,2,,j t j a a j n t +==- ，所以,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，所以()t s P α'-∈；【小问3详解】对任意()s P α∈，令12(,,,)n s n s a a a A α--'=∈ ，若()t P α'∈且2t n s <-，则,1,2,,i t i a a i n s t +==-- ，所以2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，因为()s P α∈，所以1,1,2,,j j a a j n s +==- ，所以22,1,2,,2i i t i t s a a a i n s t +++===-- ，所以2()s t P α+∈.对1,()(1,2,,2)k k s s P k m α+∈=- ，因为1k k s s +<，由（2）可知，令12(,,,)k k n s a a a α-= ，则1()k k k s s P α+-∈.若12()k k k s s n s +-<-，因为()k s P α∈，所以12()()k k k s s s P α++-∈，即12()k k s s P α+-∈，又因为11112()k k k k k k s s s s s s ++++-=+->，所以122k k k s s s ++-≥.若12()k k k s s n s +-≥-，则122()k k k m k s s s n s s +++-≥>≥，所以122k k k s s s ++->.综上，122k k k s s s ++-≥即122(1,2,,2)k k k s s s k m ++≥+=- .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..。
2019-2020学年北京市通州区高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合M ={x|x 2<36}，N ={2,4，6，8}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6} 2. 在等比数列{a n }中，a 1a 3=a 4=4，则a 6=( )A. 6B. ±8C. −8D. 83. 函数f(x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则下列各式成立的是( )A. f(−2)>f(0)>f(1)B. f(−2)>f(1)>f(0)C. f(1)>f(0)>f(−2)D. f(1)>f(−2)>f(0) 4. x 2>0是x >0的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也必要条件5. 已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，在点P(2,1)处作抛物线的切线交y 轴于点M ，过点P 作准线ι的垂线，垂足为N ，则四边形MNPF 的面积为( )A. √22B. 1C. 2D. 46. 已知△ABC 中，a =2，sinA ：sinB =√3：3，则边b =( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 3 7. 函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为( )A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)8. 长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|=10km/ℎ，水流的速度v 2的大小为|v 2|=4km/ℎ.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A′在A 的正北方向，游船正好到达A′处时，cosθ=( )A. √215B. −√215C. 25D. −25二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 设a,b ∈R,i 为虚数单位，若(a +bi)⋅i =2−5i ，则ab 的值为__________． 10. 已知a =2−13，b =log 213，c =log 0.513，则a,b,c 的大小关系是________． 11. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13=6，则3a 9−2a 10=______． 12. 已知函数f(x)在R 上单调递增，则f(a 2−a +1)_______f(34)． 13. 若函数f(x)=a−sinx cosx在区间(π6,π3)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________14. 一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有______ 个． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f(x)=sin(2x+π6)−cos2x．(1)求f(x)的最小正周期及x∈[π12,2π3]时f(x)的值域；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S △ ABC=√3，c=2，f(C+π4)=√34−12，求a，b的值．16.在△ABC中，已知AB=2，cosB=13(Ⅰ)若AC=2√2，求sin C的值；(Ⅱ)若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=43√3，求BC的长．17.已知公比为q的等比数列{a n}的前6项和S6=21，且4a1，32a2，a2成等差数列．(1)求a n；(2)设{b n}是首项为2，公差为−a1的等差数列，求数列{|b n|}前n项和为T n．18.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，点M是线段BC上一点，△ABM是边长为2的等边三角形，PA=DM=2√3．(1)求证：平面PAM⊥平面PDM；(2)若点E为PC中点，求二面角P−MD−E的余弦值．19.已知f(x)=ax3+bx2+c的图象经过点(0,1)，且在x=1处的切线方程是y=x(1)求y=f(x)的解析式；(2)求y=f(x)的极值．20.设函数f(x)=lnx−ax2(a>0)．(1)讨论函数f(x)零点的个数；(2)若函数f(x)有极大值为−1，且存在实数m，n，m<n使得f(m)=f(n)，证明：m+n>4a．2-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：M={x|−6<x<6}；∴M∩N={2,4}．故选：A．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1a3=a4=4，∴a12q2=a1q3=4，解得a1=q=±√2，则a6=a1q5=8．故选：D．3.答案：B解析：解：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(−2)=f(2)，又∵f(x)在[0,+∞)上递增，∴f(−2)>f(1)>f(0)．故选：B．利用函数f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，即可比较大小．本题主要考查大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．4.答案：B解析：解：由x2>0得到：x≠0，而x≠0推不出x>0，不是充分条件，由x>0能推出x≠0，是必要条件，∴x2>0是x>0的必要不充分条件，故选：B．根据x2>0，得到x的范围和x>0比较即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．5.答案：D解析：【分析】先利用导数确定切线的斜率，从而确定M，|PF|=|PN|=|FM|=|MN|=2，确定四边形MNPF为正方形，求出面积，本题属于容易题．【解答】解：P(2,1)在抛物线x2=4y上，，所以切线的斜率为1，切线为y=x−1，所以M(0,−1)，则y′=x2又F(0,1)，P(2,1)，纵坐标相同，|PF|=2，所以|PN|=2.所以|FM|=|MN|所以四边形MNPF为正方形．所以面积为4．故选D．6.答案：B，∴b=2√3，解析：解：已知△ABC中，a=2，sinA：sinB=√3：3，则a：b=√33故选B．△ABC中，根据a=2，sinA：sinB=√3：3，利用正弦定理可得a：b=√3，从而求得b的值．3本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是对数函数的值域，其中熟练掌握对数函数的单调性是关键，属于基础题．由指数函数的性质，易求出3x+1的值域，进而根据对数函数的性质，即可得到函数f(x)=log2(3x+1)的值域．【解答】解：∵令t=3x+1，其最小值小于1，∴函数f (x )=log 2(3x +1)∈(0,+∞)， 故函数f (x )=log 2(3x +1)的值域是(0,+∞)， 故选A ．8.答案：D解析：解：设船的实际速度为v⃗ ，v 1和v 2的夹角为θ， 北岸的点A′在A 的正北方向，游船正好到达A′处，则v ⃗ ⊥v 2⃗⃗⃗⃗ ，∴cosθ=−cos(π−θ)=−|v 2⃗⃗⃗⃗ ||v 1⃗⃗⃗⃗ |=−410=−25 故选：D ．用向量表示速度，由题意可得v ⃗ ⊥v 2⃗⃗⃗⃗ ，即可求出． 本题考查了平面向量的应用和解三角形，属于基础题．9.答案：10解析： 【分析】本题考查复数的四则运算及复数相等的充要条件，熟练掌握复数相等的充要条件是解答本题的关键． 【解答】∵(a +bi)⋅i =−b +ai =2−5i ， ∴{−b =2a =−5，解得：{a =−5b =−2．∴ab =(−5)×(−2)=10． 故答案为10．10.答案：c >a >b解析： 【分析】本题主要考查利用指数函数的性质与对数函数的性质比较大小． 【解答】解：∵0<a =2−13<1，b =log 213<0，c =log 0.513=log 23>1， ∴c >a >b ． 故答案为c >a >b ．11.答案：613解析：【分析】由已知求得a7，把3a9−2a10转化为a7得答案．本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项公式及前n项和，是基础的计算题．解析：由S13=6，得(a1+a13)×132=13a7=6，∴a7=613，则3a9−2a10=3(a1+8d)−2(a1+9d)=a1+6d=a7=613．故答案为：613．12.答案：≥解析：【分析】本题考查了函数单调性的概念，属于基础题．【解答】解：由a2−a+1−34=(a−12)2≥0可得a2−a+1≥34，已知函数f(x)在R上单调递增，则f(a2−a+1)≥f(34)．故答案为≥．13.答案：[2,+∞)解析：因为函数f(x)=a−sinxcosx 在区间(π6,π3)上单调递增所以f′(x)≥0在区间(π6,π3)恒成立，f′(x)=−cosx⋅cosx+sinx(a−sinx)cos2x =asinx−1cos2x因为cos2x>0，所以asinx−1≥0在区间(π6,π3)恒成立所以a≥1sinx因为x∈(π6,π3)，所以12<sinx<√32⇒2√33<1sinx<2所以a的取值范围是[2,+∞)．14.答案：56解析：解：含有8个元素的集合的全部子集数为S=28，由3个元素组成的子集数为T=C83=56．故答案是：56．利用集合元素子集的个数公式求解，含有n个元素的集合，它的子集个数为2n个．本题考查若一个集合含有n个元素，则其所有子集的个数为2n．15.答案：解：(1)f(x)=sin(2x+π6)−cos2x=√32sin2x+12cos2x−12(2cos2x−1)−12，=√32sin2x−12，f(x)的最小正周期π，x∈[π12,2π3]，2x∈[π6,4π3]，f(x)的值域[−54,√32−12]；(2)f(x)=√32sin2x−12，f(C+π4)=√32sin2(C+π4)−12=√34−12，∴sin(2C+π2)=12，cos2C=12，角C为锐角，C=π6，S=12absinC，S△ABC=√3，ab=4√3，由余弦定理可知：c2=a2+b2−2abcosC，a2+b2=16，解得b=2，a=2√3或b=2√3，a=2，解析：本题考查三角恒等变换，正弦函数图象及性质、余弦定理，过程较繁琐，属于中档题．(1)由两角和的正弦公式及二倍角公式，化简求得f(x)═√32sin2x−12，根据正弦函数的图象和性质，求出周期和f(x)的值域；(2)f(C+π4)=√34−12，求得C=π6，由三角形的面积公式求得ab=4√3，余弦定理求得a2+b2=16，联立求得a、b的值．16.答案：(本题满分为10分)解：(Ⅰ)∵cosB=13，∴sinB=√1−cos2B=2√23，…2分∵ABsinC =ACsinB，且AC=2√2，AB=2，∴sinC=AB⋅sinBAC =23…4分(Ⅱ)在△ABC中，设BC=a，AC=b，∵AB=2，cosB=13，∴由余弦定理可得：b2=a2+4−4a3，①…6分在△ABD 和△BCD 中，由余弦定理可得： cos∠ADB =4b 29+163−42×2b 3×4√33，cos∠BDC =b 29+163−a 22×b 3×4√33，…7分∵cos∠ADB =−cos∠BDC ， ∴4b 29+163−42×2b 3×4√33=b 29+163−a 22×b 3×4√33，解得：b 23−a 2=−6，②…9分∴由①②可得：a =3，b =3，即BC 的值为3…10分解析：(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用正弦定理即可解得sin C 的值． (Ⅱ)在△ABC 中，设BC =a ，AC =b ，由余弦定理可得：b 2=a 2+4−4a 3，①，由于cos∠ADB =−cos∠BDC ，利用余弦定理可得b 23−a 2=−6，②，联立即可得解BC 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.答案：解：(1)∵4a 1，32a 2，a 2成等差数列，∴4a 1+a 2=3a 2，即4a 1=2a 2=2a 1q ， 解得q =2， ∴S 6=a 1(1−26)1−2=21，解得a 1=13，∴a n =2n−13．(2)由(1)可知{b n }是首项为2，公差为−13的等差数列， ∴b n =−13n +73，由b n =−13n +73≥0，得n ≤7． 设S n 为{b n }的前n 项和，则S n =−16n 2+136n ，当n ≤7时，数列{|b n |}前n 项和为T n =S n =−16n 2+136n ，当n >7时，T n =2S 7−S n =16n 2−136n +14，∴T n ={−16n 2+136n,n ≤716n 2−136n +14,n >7．解析：本题考查数列的通项公式、前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的和等比数列的性质的合理运用．(1)由4a 1，32a 2，a 2成等差数列，求出公比q =2，再由等比数列{a n }的前6项和S 6=21，求出首项a 1=13，由此能求出a n ．(2)求出b n =−13n +73，设S n 为{b n }的前n 项和，当n ≤7时，数列{|b n |}前n 项和为T n =S n ，当n >7时，T n =2S 7−S n ，由此能求出数列{|b n |}前n 项和T n ． 18.答案：(1)证明：∵△ABM 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，∴CD =√3，又DM =2√3，∴CM =3，∴AD =4，∴AD 2=DM 2+AM 2，∴DM ⊥AM ．又PA ⊥底面ABCD ，，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PAM ⊥平面PDM ．(2)解：以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，则C(√3,0,0)，M(√3,3,0)，P(0,4,2√3)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2√3)设平面PMD 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{√3x 1+3y 1=04y 1+2√3z 1=0，取x 1=3，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,2)． ∵E 为PC 中点，则E(√32,2,√3)， 设平面MDE 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,2,√3) 则{√3x 2+3y 2=0√32x 2+2y 2+√3z 2=0,取x 2=3，∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,12)．由cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=1314． 结合图形易知二面角为锐角，∴二面角P −MD −E 的余弦值为1314.解析：本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(1)证明DM ⊥AM.DM ⊥PA ，推出DM ⊥平面PAM ，即可证明平面PAM ⊥平面PDM ．(2)以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，求出平面PMD 的法向量，平面MDE 的法向量，利用向量的数量积求解二面角P −MD −E 的余弦值．19.答案：解：(1)f(x)=ax 3+bx 2+c 的图象经过点(0,1)，则c =1，…(2分)f′(x)=3ax 2+2bx ，k =f′(1)=3a +2b =1…(3分)切点为(1,1)，则f(x)=ax 3+bx 2+c 的图象经过点(1,1)得a +b +c =1，得a =1，b =−1…(5分)，故f(x)=x 3−x 2+1…(6分)(2)f ′(x)=3x 2−2x >0,得x >23,x <0，令f ′(x)=3x 2−2x <0,得0<x <23…(8分)函数f(x)在(−∞,0),(23,+∞)单调递增，在(0,23)单调递减 …(9分)所以函数f(x)在x =0取得极大值为1，在x =23取得极小值为2327．解析：(1)求出c 的值，求出函数的导数，计算f′(1)，得到关于a ，b 的方程组，求出函数的解析式即可；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可． 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．20.答案：解：(1)f′(x)=1x −2ax =1−2ax 2x (x >0) 因为a >0，令f′(x)=0,得x =√12a ，f′(x)+0−f(x)单调递增最大值单调递减所以f(x)max=f(√2a )=ln√2a−2．①当a>12e时，f(x)max<0，f(x)在(0,+∞)上有没有零点；②当a=12e时，f(x)max=0，f(x)在(0,+∞)上有一个零点；③当0<a<12e时，f(x)max>0，当x趋近于0时，f(x)<0；当x趋近于正无穷大时，f(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上有两个零点．(2)由(1)知，即，解得a=12．∴f(x)=lnx−x22，∵f(m)=f(n),∴lnm−m22=lnn−n22,即m+n=2ln n mn−m，∴(m+n)2=2(1+nm)ln nmn m −1，由题意可知0<m<1<n，令nm=t,t>1，要证m+n>4a，即证m+n>2．只要证2(1+t)lntt−1>4，只要证lnt>2(t−1)1+t，只要证lnt−2(t−1)1+t>0．令ℎ(t)=lnt−2(t−1)1+t(t>1),ℎ′(t)=1t −4(1+t)2=(t−1)2t(1+t)2>0，∴ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增，∴ℎ(t)>ℎ(1)=0．即m+n>4a得证．解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的零点的个数即可；(2)结合(1)可求出a的值，由f(m)=f(n)可知0<m<1<n，化简得出m+n，构造函数，利用函数最值结合分析法证明结论即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，不等式的证明，是一道综合题．。
北京市2025届高三上学期期中考试数学试卷含答案
2024—2025学年度第一学期期中练习题（答案在最后）年级：高三科目：数学考试时间：120分钟，满分：150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{|0}2xB x x =≤-，则A B = （）A.{}01x x ≤≤B.{}12x x -≤≤C.{}12x x -≤< D.{}02x x ≤≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解不等式02xx ≤-，得(2)020x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得02x ≤<，则{|02}B x x =≤<，而{}11A x x =-≤≤，所以{}12A B x x ⋃=-≤<.故选：C2.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为（）A.()0,x ∃∈+∞，e ln x x >B.()0,x ∀∈+∞，e ln x x <C.()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤D.()0,x ∃∈+∞，e ln x x≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为“()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤”.故选：D ．3.已知复数z 满足i 1z -=，则z 的取值范围是（）A.[]0,1 B.[)0,1 C.[)0,2 D.[]0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案.【详解】因为在复平面内，i 1z -=表示到点 馀य़距离为1的所有复数对应的点，即i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是 馀h .故选：D .4.若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.0y ±= B.0x ±=C.0x y ±=D.y ±=【答案】A 【解析】【分析】根据公式b a ==.【详解】由题意可知，2e =，则b a ==，所以双曲线的渐近线方程为y =0y ±=.故选：A5.直线()1:31210l a x ay ++-=和直线2:330l ax y -+=，则“53a =”是“12l l ⊥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意先求出12l l ⊥的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】由题设12l l ⊥()()31230a a a ⇔⨯++⨯-=，解得0a =或53a =.故1253a l l =⇒⊥，1253l l a ⊥⇒=/.所以“53a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B.6.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.函数()y f x =的图象关于直线712x π=对称C.函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称D.函数()y f x =在区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】B 【解析】【分析】先依据图像求得函数()f x 的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.【详解】由图象可知2,4312T A ππ==-，即T π=，所以22Tπω==，又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，又因为||2ϕπ<所以3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 错误；当712x π=时，73sin 2sin 2sin 131232x ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故B 正确；当512π=-x 时，sin 2sin 1032x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；当2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，则2[,0]3ππ+∈-x ，函数()f x 不单调递减.故D 错误．故选：B7.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=，125PF PF =，则C 的离心率为（）A.6B.22C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出21,PF PF ，在12PF F 中，利用余弦定理求得,a c 的关系，从而可得出答案.【详解】解：在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>中，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，因为125PF PF =，所以215,33a aPF PF ==，在12PF F 中，122F F c =，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222222552149999a a a a c =+-=，所以222136c a =，所以C 的离心率216c e a ==.故选：A .8.函数()2sin 41x x xf x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值来确定正确选项.【详解】()()sin ,22x xxf x f x -=+的定义域为R ，()()sin 22x xxf x f x ---==-+，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 选项.143ππ<<,()sin12201sin115522f <==<+，排除BD 选项.所以A 选项符合.故选：A9.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为30m/s ，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于6m/s ，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（）（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈）A.5B.6C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，根据题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可.【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，由题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，得0.75log 0.2x >.因为0.751lnln0.2lg55log 0.2 5.33ln0.75ln32ln2ln 4-===≈-，所以 5.3x >，即6x =.故选：B.10.已知函数2,0,()ln ,0,x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围为（）A.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x ≠0时，21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，的图象，即可得出结论．【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当x 0≠时，由题意可得21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnxx x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=2x 0lnx x >，,令h′（x ）=312l 0nxx -=，则x=12e ，所以h(x)在（0，12e）单调递增，在（12e ∞+，）上单调递减，∴y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的大致图像如图：又h(12e)=12e，若y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，则10a 2e <<，故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()4,2b = ，若向量a 在b 上的投影向量为12b，且a 与b 不共线，请写出一个符合条件的向量a的坐标________.【答案】()1,3（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，得到12a bb b b b ⋅⋅=，求得10a b ⋅=，进而可写出一个向量，得到答案.【详解】由向量()4,2b =，可得向量b = ，因为向量a 在b 上的投影向量为12b，可得12a b b b b b ⋅⋅=，可得10a b ⋅= ，设(,)a x y =，可得4210x y +=，取1,3x y ==，此时向量a 与向量b 不共线，故()1,3a =.故答案为：()1,3（答案不唯一）.12.已知(2)n x y +展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为___________.【答案】3280x y ##2380y x 【解析】【分析】令1x y ==，即可求出展开式系数和，从而求出n ，再写出展开式的通项，即可得解.【详解】解：令1x y ==，得()21243n+=，解得5n =，所以5(2)x y +的展开式的通项()555155C 22C kkk k k k kk T x y x y ---+==，则展开式的第3项为323232352C 80T x y x y ==．故答案为：3280x y 13.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点F 的距离为6，则以线段PF 的中点为圆心，PF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为________．【答案】4【解析】【分析】首先利用抛物线定义确定P 点坐标，进而可得以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线为=1x -，由题意得6PF =，结合抛物线定义知P 点到准线的距离为6，则615p x =-=，代入横坐标可得p y =±(5,P ±，所以PF 的中点坐标为或(3,，6PF =，所以以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程为(22(3)9x y -+-=或(22(3)9x y -++=，圆心到x ，所以与x 截得的弦长为4=，故答案为：4.14.印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________.【答案】(5π+【解析】【分析】根据几何体的结构特征确定其外接球球心位置，根据已知求球体半径，进而求球体表面积.1的正方体的表面上，如图，设其外接球的球心为O ，正方形ABCD 的中心为1O ，则点O 到平面ABCD 的距离1212OO +=，又122O C =，所以该多面体外接球的半径r ===故该球的表面积为(24π5π⨯=+⎝⎭.故答案为：(5π+15.已知数列 中各项均为正数，且211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，给出下列四个结论：①对任意的*N n ∈，都有1n a >；②数列 可能为常数列；③若102a <<，则当2n ≥时，12n a a <<；④若12a >，则数列 为递减数列，其中正确结论是______.【答案】②③④【解析】【分析】对于①，根据一元二次方程有解得情况，利用判别式可得首项的取值范围，可得答案；对于②，将数列每一项设成未知量，根据等式建立方程，可得答案；对于③④，由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象，利用数形结合的思想，对应数列中项在图象上的位置，可得答案.【详解】对于①，将等式211n n n a a a ++-=看作关于1n a +的一元二次方程，即2110n n n a a a ++--=，该方程有解，则140n a ∆=+≥，所以当14n a ≥-时，方程2110n n n a a a ++--=有解，即当101a <<时，一定存在数列 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故①错误；对于②，令n a x =，由题意可得2x x x -=，解得0x =（舍去）或2，常数列2,2,2, 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故②正确；由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象如下：由211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，则点()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，易知(),n n a a 在函数()f x 的图象上，对于③，当102a <<时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，则212a <<，由()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a <<，当2n ≥时，102n a -<<，由()1,n n a a -在函数()g x 的图象上，则12n a <<，由()11,n n a a --在函数()f x 的图象上，则12n n a a -<<，综上所述，若102a <<，当2n ≥时，12n a a <<，故③正确；对于④，当12a >时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，且()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a >>，当2n a >时，由()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，且(),n n a a 在函数()f x 的图象上，则12n n a a +>>，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步摖或证明过程.16.在ABC V 中，222b c a bc +-=．（1）求A ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sin B ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由83sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，由正弦定理sin sin a bA B=353214=，解得7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC V的面积为113sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()31115343sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a cA C =34327=，解得212a =，所以ABC V 的面积为112153453sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.17.已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=o，1B D AB ⊥.（1）证明：AB AC ⊥；（2）若侧面11ACC A 是正方形，求平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，证明出AB ⊥平面1OB D ，//OD AC ，由此可证得AB AC ⊥；（2）以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，因为160B BA ∠=o，12AB BB ==，故1ABB 为等边三角形，因为O 为AB 的中点，则1OB AB ⊥，因为1AB B D ⊥，111OB B D B ⋂=，故AB ⊥平面1OB D ，OD ⊂ 平面1OB D ，所以，AB OD ⊥，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则//OD AC ，因此，AB AC ⊥；（2）112AA BB == ，则四边形11ACC A 是边长为2的正方形，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则112OD AC ==，由（1）可得11sin 60OB BB == ，//OD AC ，11//BB AA ，故OD 与1BB 所成角为190A AC ∠= ，即1OD BB ⊥，又因为OD AB ⊥，1AB BB B Ç=，OD ∴⊥平面11AA B B ，1OB ⊂ 平面11AA B B ，则1OD OB ⊥，所以，OD 、AB 、1OB 两两垂直，以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -、()0,1,0D 、()1,2,0C -、(1B 、()1,0,0B，(1BB =- ，()1,1,0AD =，()0,2,0AC =，(1111,AC AC CC AC BB =+=+=- ，设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =，则1020n AD x y n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，则(1,n =-，易知平面11AA B B 的一个法向量为()0,1,0m =u r，cos ,5m n m n m n⋅<>==-=-⋅.因此，平面11ABB A 与平面1ADC夹角的余弦值为5.18.《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m ）（部分摘抄）：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.30 6.50 5.60女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，（1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X 的数学期望()E X ；（3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m ）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次试跳的成绩为a ，用2212,s s 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当2212s s =时，写出a 的值．（结论不要求证明）【答案】（1）25（2）() 1.4E X =（3） 5.81a =或 5.87a =.【解析】【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；（2）由X 的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望()E X ；（3）当两人成绩满足()1,2,3,4,5,6i i y x b i =+=的模型，方差相等.【小问1详解】甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为42105=；【小问2详解】设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件,,A B C ，以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有()25P A =，()12P B =，()12P C =，X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，则X 可能的取值为0，1，2，3，()()3113052220P X P ABC ===⨯⨯=，()()()()2113113118152252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()()()2113112117252252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()2112352220P X P ABC ===⨯⨯=，估计X 的数学期望()38720123 1.420202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】甲的6次试跳成绩从小到大排列为：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51，设这6次试跳成绩依次从小到大为()1,2,3,4,5,6i x i =，丙的5次试跳成绩从小到大排列为：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为()1,2,3,4,5,6i y i =，当 5.81a =时，满足()0.651,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立；当 5.87a =时，满足()0.641,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立.所以 5.81a =或 5.87a =.19.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证2M Ny y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段MN 的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．20.已知函数()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R .（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程.（2）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极值.（3）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2a -，求a 的取值范围.【答案】（1）340x y --=（2）极大值15ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值()12f =-；（3）(1],-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）根据()f x 在1x =处取得极值，求出a 的值，从而判断函数的单调性，求得极值；（3）分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a 的取值范围.【小问1详解】若0a =，则()2=-f x x x ，则()21f x x '=-，故()()22,23f f '==，故曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为23(2)y x -=-，即340x y --=；【小问2详解】()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R 定义域为(0),+∞，则()()221af x x a x'=-++，由于()f x 在1x =处取得极值，故()()12210,1f a a a '=-++=∴=，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+==，令()0f x '>，则102x <<或1x >，函数()f x 在10(1)2,,,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增，令()0f x '<，则112x <<，函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当12x =时，()f x 取到极大值11315ln ln 224224f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当1x =时，()f x 取到极小值()1132f =-=-；【小问3详解】由于()()()()[],1,e 21221x x a a f x x a x x x--'=-++=∈，当1a ≤时，()0f x '≥，仅在1,1a x ==时等号取得，()f x 在[]1,e 上单调递增，则()min (1)2f x f a ==-，符合题意；当1e a <<时，则1x a <<时，()0f x '<，()f x 在[]1,a 上单调递减，e a x <<时，()0f x '>，()f x 在[],e a 上单调递增，故()min ()(1)2f x f a f a =<=-，不符合题意；当e a ≥时，()0f x '<，()f x 在[]1,e 上单调递减，故()min (e)(1)2f x f f a =<=-，不符合题意；综上，可知a 的取值范围为(1],-∞.【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，从而确定最值，求得参数范围.21.已知有限数列12:,,,m A a a a 为单调递增数列．若存在等差数列121:,,,m B b b b + ，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +≤<，则称数列A 是长为m 的Ω数列．（1）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若(,,)a b c a b c R <<∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（3）设M 是集合{|063}x N x ∈≤≤的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．【答案】（1）①数列1，4，5，8是Ω数列；②数列2，4，8，16是Ω数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当b a c b -=-，b a c b -<-和b a c b ->-三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，先考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，得到存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ，再考虑集合,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++，得到存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ，进而证得集合M 中至多有27个元素，即可得到结论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．（2）①当b a c b -=-时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤，所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b -<-时，令12b b c =-，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．③当b a c b ->-时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c a b -=，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列．（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ．对于其余的k ，再考虑集合,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ．因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x x ∈N ≤≤中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ．所以集合M 中至多有643727-=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．【点睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。
北京市通州区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
北京市通州区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本题8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，则∁U （M ∪N ）的元素个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2D ．3个2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y=x 3B ．y=ln|x|C ．y=﹣x 2D ．y=2x3．若，b=2﹣0.1，，则a ，b ，c 大小关系从小到大为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c4．已知f （x ）=ax 3+bx+2且f （5）=16，则f （﹣5）的值为（ ）A ．﹣12B ．﹣18C ．12D ．185．已知函数f （x ）=a x ，g （x ）=log a x （a ＞0，a ≠1），若，那么f （x ）与g （x ）在同一坐标系内的图象可能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程． 在图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数是R 上的增函数，那么实数a 的范围（ ）A ．B ．C ．（1，+∞）D ．（1，2）8．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（m 2）与时间t （月）的关系：f （t ）=a t ，有以下叙述： ①这个指数函数的底数是2；②浮萍每个月增长的面积都相等；③浮萍从4m 2蔓延到12m 2需要经过1.5个月；④对浮萍蔓延到的任意两个时间点t 1，t 2，都有成立；⑤若浮萍蔓延到2m 2、3m 2、6m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1+t 2=t 3．其中正确的是（ ）A．①③④B．①③④⑤ C．①④⑤D．②③⑤二、填空题（本题6个小题，每小题5分，共30分）9．计算的结果是．10．若a＞0且a≠1，则函数y=a x﹣2﹣1的图象必过定点．11．有以下判断：①与是同一个函数；②y=2x﹣1与y=2t﹣1是同一个函数；③y=f（x）与直线x=2的交点最多有一个；④y=1不是函数．其中正确的序号为．12．函数f（x）=x2+（2﹣k）x+1在[﹣2，2]上是单调函数，则k的取值范围为．13．函数定义域为；值域为．14．已知f是有序数对集合M={（x，y）|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对（x，y）在映射f下的m，n（m＞n），映射f由表给出：= ，使不等式x的集合是．三、解答题（本题6个小题，共80分）15．已知集合，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|5﹣a＜x＜a}，A）∩B；（1）求A∪B，（∁R（2）若C⊆（A∪B），求实数a的取值范围．16．已知函数．（1）求的值；（2）画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域和单调区间；（3）若方程f（x）=m有四个根，求实数m的取值范围，并求出这四个根的和．17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，（1）求函数f（x）的值域A；（2）解不等式f（lgx）＞f（﹣1）；（3）设函数的定义域为集合B，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．18．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨（0≤t≤24）（1）设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，写出y关于t的函数表达式；（2）求从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（3）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？19．已知f（x）=log（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，a（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．20．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当a，b∈[﹣2，2]，且a+b≠0时，有．（1）比较f（1）与f（0）的大小；（2）若m＞n，试比较f（m）与f（n）的大小；（3）若f（2）=1，f（x）≤t2﹣2bt+1，对所有x∈[﹣2，2]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．北京市通州区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题（本题8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，则∁U （M ∪N ）的元素个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2D ．3个【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出M ∪N ，再求∴∁U （M ∪N ），由此能求出∁U （M ∪N ）的元素个数．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，∴M ∪N={2，3，4，5}，∴∁U （M ∪N ）={1，6}，∴∁U （M ∪N ）的元素个数是2个．故选：C ．2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y=x 3B ．y=ln|x|C ．y=﹣x 2D ．y=2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，及对数函数和二次函数的单调性便可判断每个函数的奇偶性，以及在（0，+∞）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A ．y=x 3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；B ．y=ln|x|的定义域为{x|x ≠0}，且ln|﹣x|=ln|x|；∴该函数为偶函数；x ＞0时，y=ln|x|=lnx 为增函数；∴该选项正确；C ．y=﹣x 2在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误；D ．指数函数y=2x 的图象不关于y 轴对称，不是偶函数，∴该选项错误．故选B ．3．若，b=2﹣0.1，，则a ，b ，c 大小关系从小到大为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数的单调性得到0＜a ＜b ＜1，利用对数函数的单调性得到c ＜0，由此能比较a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵0＜＜b=2﹣0.1=＜=1，＜=0， ∴b ＞a ＞c ．故选：D ．4．已知f （x ）=ax 3+bx+2且f （5）=16，则f （﹣5）的值为（ ）A．﹣12 B．﹣18 C．12 D．18【考点】函数的值．【分析】由已知条件利用函数性质先求出125a+5b=14，由此能求出f（﹣5）．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+2，且f（5）=16，∴f（5）=125a+5b+2=16，∴125a+5b=14，∴f（﹣5）=﹣125a﹣5b+2=﹣+2=﹣14+2=﹣12．故选：A．x（a＞0，a≠1），若，那么f（x）与g（x）在同一5．已知函数f（x）=a x，g（x）=loga坐标系内的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】判断得出f（x）＞0，利用不等式得出g（）＜0，判断出a＞1，根据指数，对数函数的单调性得出答案．x（a＞0，a≠1），【解答】解：∵函数f（x）=a x，g（x）=loga∴f（x）＞0，∵，∴g（）＜0，∴a＞1，根据指数，对数函数的单调性得出：f（x），g（x）都为增函数．故选：B6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答时应充分体会实际背景的含义，根据走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步，即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：离学校的距离应该越来越小，所以排除C 与D ．由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．随着时间的增加，距离学校的距离随时间的推移应该减少的相对较快．而等跑累了再走余下的路程，则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间减少应该相对较慢．所以适合的图象为：B故答案选：B ．7．已知函数是R 上的增函数，那么实数a 的范围（ ）A ．B ．C ．（1，+∞）D ．（1，2）【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．【分析】由题意可得，由此解得a 的范围．【解答】解：由题意可得，解得 1＜a ＜2，故选D ．8．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（m 2）与时间t （月）的关系：f （t ）=a t ，有以下叙述： ①这个指数函数的底数是2；②浮萍每个月增长的面积都相等；③浮萍从4m 2蔓延到12m 2需要经过1.5个月；④对浮萍蔓延到的任意两个时间点t 1，t 2，都有成立；⑤若浮萍蔓延到2m 2、3m 2、6m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1+t 2=t 3．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①③④⑤C ．①④⑤D ．②③⑤【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据函数的图象与性质，结合图形确定函数的解析式，结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，对于⑤要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证．【解答】解：对于①，根据函数的图象知，点（1，2）在函数图象上，∴2=a 1，∴a=2，函数为f （x ）=2x ，底数是2，①正确；对于②，根据函数f （t ）=2t 的图象知，1﹣2月增加2m 2，2﹣3月增加4m 2，每个月增长的面积不相等，②错误；对于③，4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5==＜12，故③错误；对于④，函数y=f （t ）=2t 在R 上是增函数，∴y ′=f ′（x ）＞0，∴对任意t 1，t 2，都有成立，故④正确；对于⑤，令2=，3=，6=，解得x 1=1，x 2=log 23，x 3=log 26，又∵1+log 23=log 22+log 23=log 22×3=log 26，∴x 1+x 2=x 3成立，⑤正确．故答案为：①④⑤．二、填空题（本题6个小题，每小题5分，共30分）9．计算的结果是 1.6 ．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数幂和对数的运算性质化简计算即可．【解答】解： =1﹣0.4+lg2+lg5=0.6+1=1.6，故答案为：1.6．10．若a ＞0且a ≠1，则函数y=a x ﹣2﹣1的图象必过定点 （2，0） ．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】由a 0=1令x ﹣2=0，求出x 的值，再求出对应y 的值即可．【解答】解：∵a 0=1，∴令x ﹣2=0，则x=2，故y=1﹣1=0，故函数y=a x ﹣2﹣1的图象必过定点（2，0）．故答案为：（2，0）．11．有以下判断：①与是同一个函数；②y=2x ﹣1与y=2t ﹣1是同一个函数；③y=f （x ）与直线x=2的交点最多有一个；④y=1不是函数．其中正确的序号为②③．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】通过求函数的定义域和对应法则即可判断两个函数是否为同一函数，从而判断出①②的正误，根据函数的定义便可判断③正确，而y=1是常数函数，从而可判断出④错误．【解答】解：①的定义域为{x|x≠0}，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，∴该判断错误；②y=2x﹣1与y=2t﹣1的定义域和对应法则都相同，是同一函数，∴该判断正确；③对于y=f（x）中任意一个x都有唯一的y和它对应，∴y=f（x）与直线x=2的交点最多一个，∴该判断正确；④y=1为常数函数，∴该判断错误；∴正确的序号为②③．故答案为：②③．12．函数f（x）=x2+（2﹣k）x+1在[﹣2，2]上是单调函数，则k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．【考点】二次函数的性质．【分析】若函数f（x）=x2+（2﹣k）x+1在[﹣2，2]上是单调函数，则≤﹣2，或≥2，解得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+（2﹣k）x+1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若函数f（x）=x2+（2﹣k）x+1在[﹣2，2]上是单调函数，则≤﹣2，或≥2，解得：k∈（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）13．函数定义域为（﹣∞，2）；值域为（﹣2，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由9﹣3x＞0，解得x范围，可得函数f（x）的定义域．由9＞9﹣3x＞0，可得＞．可得函数f（x）的值域．【解答】解：由9﹣3x＞0，解得x＜2，可得函数定义域为（﹣∞，2）．由9＞9﹣3x＞0，可得＞=﹣2．因此函数f（x）的值域为（﹣2，+∞）．故答案分别为：（﹣∞，2），（﹣2，+∞）．14．已知f是有序数对集合M={（x，y）|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对（x，y）在映射f下的m，n（m＞n），映射f由表给出：= 8 ，使不等式x的集合是{1，2} ．【考点】映射；其他不等式的解法．【分析】根据已知中f（n，n）=n，f（m，n）=m﹣n，（n，m）=m+n，（m＞n），可求出f（3，5），进而将不等式f（2x，x）≤4转化为2x﹣x≤4，列举出满足条件的x值，可得答案．【解答】解：∵3＜5，故f（3，5）=3+5=8；∵2x＞x恒成立，故f（2x，x）=2x﹣x，当x=1时，f（2x，x）=2﹣1=1≤4成立，当x=2时，f（2x，x）=22﹣2=2≤4成立，当x≥3时，f（2x，x）＞23﹣3=5，故使不等式f（2x，x）≤4成立的x的集合是：{1，2}故答案为：8，{1，2}．三、解答题（本题6个小题，共80分）15．已知集合，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|5﹣a＜x＜a}，A）∩B；（1）求A∪B，（∁R（2）若C⊆（A∪B），求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）通过解分式不等式求得集合A，根据对数函数的定义域求得集合B，再利用数轴进行数集的交、并、补运算；（2）根据C⊆（A∪B），分C=∅和C≠∅，求得a的取值范围．【解答】解（1）={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，∵CA={x|x＜3或x≥7}，RA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}；∴（CR（2）由（1）知A∪B={x|2＜x＜10}，①当C=φ时，满足C⊆（A∪B），此时5﹣a≥a，得；②当C≠φ时，要C⊆（A∪B），则，解得．由①②得可知a的取值范围：a≤3．16．已知函数．（1）求的值；（2）画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域和单调区间；（3）若方程f（x）=m有四个根，求实数m的取值范围，并求出这四个根的和．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）利用分段函数，直接代入求值即可．（2）根据分段函数，作出函数的图象，结合图象确定函数的值域和单调区间．（3）利用方程f（x）=m有四个根，建立条件关系，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）．（2）由图象可知，函数的值域是（﹣∞，1]，单调增区间（﹣∞，﹣1]和[0，1]，减区间[﹣1，0]和[1，+∞）．（3）∵方程f（x）=m有四个根，∴根据图象可得实数m的取值范围是0＜m＜1，由图象判断f（x）是偶函数，所以这四个根的和是0．17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，（1）求函数f（x）的值域A；（2）解不等式f（lgx）＞f（﹣1）；（3）设函数的定义域为集合B，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用函数偶函数的性质，转化为求当x≥0时的取值范围即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可．（3）求出集合B，利用集合的关系建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：（1）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为x≥0时，f（x）的取值范围．当x≥0时，，故函数f（x）的值域A=（0，1]．（2）当x≥0时，则函数为减函数，∵f（lgx）＞f（﹣1），∴不等式等价为f（|lgx|）＞f（1），即|lgx|＜1，∴﹣1＜lgx＜1解得，即不等式的解集为（，10），（3）∵∴函数g（x）的定义域B={x|﹣x2+（a﹣1）x+a≥0}={x|（x﹣a）（x+1）≤0}若a≤﹣1，则B={x|a≤x≤﹣1}，此时A∩B=∅，不符合题意，故a＞﹣1，即B={x|﹣1＜x＜a}，∵A∩B≠∅，所以a＞0，综上所述，a的取值范围为a＞0．18．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨（0≤t≤24）（1）设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，写出y关于t的函数表达式；（2）求从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（3）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法；分段函数的应用．【分析】（1）t小时后蓄水池中的水量为y吨，根据条件建立方程关系即可．（2）根据函数关系转化为一元二次函数形式进行求解．（3）根据条件建立不等式关系进行求解．【解答】解：（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则（0≤t≤24）（2）令，则x2=6t（0≤x≤12）即y=400+10x2﹣120x=10（x﹣6）2+40（0≤x≤12）=40∴当x=6时，即t=6时，ymin即从供水开始到第6个小时时，蓄水池水量最少，最少水量为40吨．（3）依题意，400+10x2﹣120x＜80，得x2﹣12x+32＜0解得4＜x＜8，即，解得由，所以每天约有8小时供水紧张．（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，19．已知f（x）=loga（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据奇函数的特性，可得f（0）=0，再由f（﹣x）=﹣f（x），m≠﹣1，可得实数m的值；（2）结合对数函数的图象和性质，及复合函数同增异减的原则，可得函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性；（3）由f （）＞0，可得函数f （x ）在区间（﹣1，1）上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解不等式，可得实数b 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=log a（a ＞0，且a ≠1，m ≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，∴f （0）=0，且f （﹣x ）=﹣f （x ），即=﹣，即+==log a 1=0，故m 2=1，又∵m ≠﹣1，故m=1，（2）由（1）得f （x ）==，令t=，则t 在区间（﹣1，1）上单调递减，当0＜a ＜1时，y=log a t 为减函数，此时函数f （x ）在区间（﹣1，1）上的单调递增；当a ＞1时，y=log a t 为增函数，此时函数f （x ）在区间（﹣1，1）上的单调递减；（3）若f （）=＞0，则0＜a ＜1，由（1）得，函数f （x ）在区间（﹣1，1）上的单调递增， 若f （b ﹣2）+f （2b ﹣2）＞0，则f （b ﹣2）＞﹣f （2b ﹣2），则f （b ﹣2）＞f （2﹣2b ），则﹣1＜2﹣2b ＜b ﹣2＜1，解得：b ∈（，）20．已知f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当a ，b ∈[﹣2，2]，且a+b ≠0时，有．（1）比较f （1）与f （0）的大小；（2）若m ＞n ，试比较f （m ）与f （n ）的大小；（3）若f （2）=1，f （x ）≤t 2﹣2bt+1，对所有x ∈[﹣2，2]，b ∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （0）=0，结合条件，令a=1，b=0，得出f （1）＞f （0）；（2）只需判断函数的单调性即可．根据定义，只需分别令a=x 1，b=﹣x 2，得出函数的单调性．（3）恒成立问题可转化为1≤t 2﹣2bt+1恒成立，只需求出右式的最小值即可．构造函数记g （b ）=﹣2tb+t 2，看成关于b 的一次函数，通过讨论t ，确定函数的单调性，求出最值即可．【解答】解：（1）∵f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数∴f （0）=0∵，令a=1，b=0∴，即f （1）＞0∴f （1）＞f （0）（2）设x 1，x 2∈[﹣2，2]，且x 1＜x 2，在中，令a=x 1，b=﹣x 2则∵x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0又∵f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f （﹣x 2）=﹣f （x 2）则∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）故f （x ）在[﹣2，2]上为增函数∵m ＞n∴f （m ）＞f （n ）（3）∵f （2）=1，且f （x ）在[﹣2，2]上为增函数，对所有x ∈[﹣2，2]，b ∈[﹣1，1]总有f （x ）≤t 2﹣2bt+1恒成立∴应有1≤t 2﹣2bt+1恒成，即t 2﹣2bt ≥0对于任意b ∈[﹣1，1]恒成立记g （b ）=﹣2tb+t 2，若对所有b ∈[﹣1，1]，总有g （b ）≥0成立，则只需g （b ）在[﹣1，1]上的最小值不小于零即可．①当t=0时，g （b ）=0，满足题意；②当t ＞0时，g （b ）=﹣2tb+t 2是减函数，故在[﹣1，1]上，g （b ）在b=1处取得最小值，则需满足g （1）=﹣2t+t 2≥0，解得t ≥2或t ≤0（舍）；③当t ＜0时，g （b ）=﹣2tb+t 2是增函数，故在[﹣1，1]上，g （b ）在b=﹣1处取得最小值， 则需满足g （﹣1）=2t+t 2≥0，解得t ≤﹣2或t ≥0（舍）；综上所述，t 的取值范围为t ∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）。
北京市通州区第六中学数学高三上期中经典练习题(含解析)
一、选择题1．设实数x ，y 满足22413x xy y x y ++=+-，则代数式2413xy y x y ++-（ ）A ．有最小值631B ．有最小值413C ．有最大值1D ．有最大值20212．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A．3B．3C．3D．3-3．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．14．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．5．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1406．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40377．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-8．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )AB ．34C ．32或2D ．34或29．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ）A ．1B ．3C ．6D ．910．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．211．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6614．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2115．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________．18．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．19．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a使得1=，则14m n+的最小值为__________． 20．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.21．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅_______________．22．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.23．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 24．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 25．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 三、解答题26．在ABC∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()cos cos 0C aB b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2a b ==，求()sin 2B C -的值.27．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 28．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若c =ABC ∆的面积为4，求+a b 的值； 29．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =3a n −1. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =n a n，求数列{b n }的前n 项和T n .30．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．D 5．B 6．C 7．D 8．C 9．D 10．D 11．D12．C13．D14．A15．B二、填空题16．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理17．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可18．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC构成其中作出直线显然点A到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区19．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故20．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在21．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简22．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【23．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题24．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题25．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先利用条件把413x y +-进行等量代换，再利用换元法，结合二次函数区间最值求解. 【详解】设y t x=，则222222221114113xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-， ()222222441(1)01313x tx t x x tx t t x t x ++=+-⇒++-++=， 10(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤.221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，2min 441313xy y x y ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭，2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查最值问题，利用条件进行等量代换是求解的关键，注意齐次分式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x ，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700． 所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．5．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值.设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =21n S=+-1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,33,30b c B ===，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3． 如图，CD 为AB 边上的中线，则13322BD c ==， ∴在BCD 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或372． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．9．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++= ，可得31212log 12a a a =，进而可得()6121212673a a a a a == ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.10．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11．D解析：D【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=,所以30EDB EBD ∠=∠=, 所以90ADB ∠=,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+120=,30EBD ∠=,所以CBD ∠90=, 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos 2404BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯ 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.12．C解析：C试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.13．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.14．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．15．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.二、填空题16．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理 解析：6 【解析】 试题分析：274sin cos 222A B C +-=，274sin cos 222C C π-∴-=，274cos cos 222C C ∴-=，()72cos 1cos 22C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()22cos 11C -=，解得1cos 2C =． 所以在ABC ∆中60C =．2222cos c a b ab C =+-，()2222cos60c a b ab ab ∴=+--，()223ca b ab ∴=+-，()22257633a b c ab +--∴===．考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．17．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可解析：613. 【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解． 详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()11371313132622a a a S +⨯===， ∴7613a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==． 点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若()*,,,,m n p q m n p q Z+=+∈，则m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．18．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为255 ，即255CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.19．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：116【解析】 【分析】由7652a a a =+求得2q 122m n a a a ⋅=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n+的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q=+, 由于0n a >,所以21q q =+,解得2q 或1q =-.因为各项全为正,所以2q.由于存在两项,m n a a 122m n a a a ⋅=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n+=; 当2,3m n ==时，14116m n +=； 当3,2m n ==时,1473m n +=; 当4,1m n ==时,14174m n +=; 综上可得 14m n +的最小值为116, 故答案为116. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.20．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在解析：1【解析】 【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由0x >，可得11x +>.可令()11t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =1x =时，等号成立.故答案为：1． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简解析：【解析】 【分析】根据等比数列通项公式，求出()()12112122212n n n n aa a a ++--++=--+=，计算()22111111222222n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅即可得解.【详解】由题2nn a =， ()()12112122212n n n n a a a a ++--++=--+=()22111111222222n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅()2112224n n aa a a +-+++===.故答案为：4 【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简.22．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【解析：3(3,)2-【解析】试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0{(1)0f f ≤-≤，即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.考点：一元二次方程的根与系数的关系.【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.23．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析：5518. 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=. 故答案为：5518. 【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.24．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：1941【解析】 【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式1111S T =，代值计算可得． 【详解】∵{a n }，{b n }为等差数列，∴939393657846666222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为1941. 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．25．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形 解析：1【解析】 【分析】 【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形三、解答题 26． （Ⅰ）34C π=（Ⅱ） 【解析】 【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】()sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++=sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，∵0C π<<，∴34C π=（Ⅱ）因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422102c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴c =由sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B为锐角，所以cos B =4sin 22555B =⨯=，223cos 2cos sin 5B B B =-= ()43sin 2sin 2cos cos 2sin 525210B C B C B C ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题.27．（1）23n n a =（2）3231443n n n T +=-⋅ 【解析】【分析】（1）由题可得1231312n n a a a a a +++++=-,与已知作差可得13322n n n a a a +-=-+,整理可得113n n a a +=,进而利用等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得23n n n n n b a =⋅=,利用错位相减法求和即可. 【详解】解:（1）当2n ≥时,由1231312n n a a a a a -++++=-, 则1231312n n a a a a a +++++=-, 两式相减得13322n n n a a a +-=-+, 即11322n n a a +=, ∴113n n a a +=, 当2n =时,由12312a a =-,得229a =, ∴2113a a =, 综上,对任意1n ≥,113n n a a +=, ∴{}n a 是以23为首项,13为公比的等比数列,∴23n na =. （2）由（1）23n n n n n b a =⋅=, ∴231111233333n nT n =+⋅+⋅++⋅, 2311111112(1)33333n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅, ∴231211111333333n n x T n +=++++-⋅ 1111233n n n +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 则3231443n n n T +=-⋅ 【点睛】 本题考查了根据数列的递推公式求解数列通项,考查等比数列通项公式的应用,考查利用错位相消求解数列前n 项和.28．（1）13-（2）3【解析】【分析】 （1）根据()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理将边转化为角得()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，再利用两角和与差的三角函数化简得到()sin 3cos 10+=A C 求解.（2）由（1）知sin 3C =，根据ABC ∆的面积为4，得94ab =，再由余弦定理()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--求解.【详解】（1）因为()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，所以3sin cos sin cos sin cos 0++=A C B C C B ，所以()3sin cos sin 0++=A C B C ，所以()sin 3cos 10+=A C ，因为sin 0A ≠ ，所以1cos 3=-C . （2）由（1）知22sin 3C =，因为ABC ∆的面积为324， 所以132sin 24∆ABC S ab C ，解得94ab = ， 因为6c =，在ABC ∆中， 由余弦定理得：()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--， 所以()29a b +=，所以3a b +=. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的三角函数应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题 29． (1)a n =3n−1;(2)T n =94−6n+94×3n .【解析】试题分析：(1)由题意结合通项公式与前n 项和的关系可得a n =3n−1;(2)结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列{b n }的前n 项和T n =94−6n+94×3n .(3)试题解析：(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ①2S n －1＝3a n －1－1 ②②-①得2a n ＝3a n －3a n －1，∴＝3，(n ≥2)又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意）∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n ＝∴T n ＝＋＋＋…＋，…………………③ T n ＝＋＋…＋＋，………④③－④得：T n ＝＋＋＋…＋－ ＝－＝－∴T n ＝－.30．(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30.【解析】试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果．试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+．又因为124,,S S S 成等比数列，所以()()2111462a a d a d ⋅+=+．所以212a d d =． 因为公差d 不等于0，所以12d a =．又因为24S =，所以1a 1,d 2，所以21n a n =-．（2）因为()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以311111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭31312212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 要使20n m T <对所有n N *∈都成立，则有3202m ≥，即30m ≥．因为m N *∈，所以m 的最小值为30．考点：等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题．。
2020-2021北京市通州区宋庄中学高三数学上期中模拟试题含答案
2020-2021北京市通州区宋庄中学高三数学上期中模拟试题含答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9004．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S5．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A．3323B．5323C．7323D．83237．若x，y满足2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x=-的最大值为（）．A．8-B．4-C．1D．28．如图，有四座城市A、B、C、D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km；C在B的北偏东30°方向，且与B相距6013km，一架飞机从城市D出发以360/km h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（）A．120km B．606km C．605km D．3km9．等比数列{}n a的前三项和313S=，若123,2,a a a+成等差数列，则公比q=（）A．3或13-B．-3或13C．3或13D．-3或13-10．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，11a=，且满足21,,n n nS S S++成等差数列，则3a 等于( )A．12B．12-C．14D．14-11．已知正项数列{}n a*12(1)()2nn na a a n N+=∈L，则数列{}na的通项公式为（）A．n a n=B．2na n=C．2nna=D．22nna=12．若正数,x y满足40x y xy+-=，则3x y+的最大值为A．13B．38C．37D．1二、填空题13．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．15．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．16．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.17．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 18．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 22．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 23．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 25．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3cos A A =+，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 4．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒， 在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB=∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos902904BF BD DF BD DF BDF=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g10800=,所以BF=km.故一架飞机从城市D出发以360/km h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有.故选D.【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.9．C解析：C【解析】很明显等比数列的公比1q≠，由题意可得：()231113S a q q=++=，①且：()21322a a a+=+，即()211122a q a a q+=+，②①②联立可得：113aq=⎧⎨=⎩或1913aq=⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q=3或13.本题选择C选项.10．C解析：C【解析】试题分析：由21,,n n nS S S++成等差数列可得，212n n n nS S S S+++-=-，即122n n na a a++++=-，也就是2112n na a++=-，所以等比数列{}n a的公比12q=-，从而2231111()24a a q==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n项和.11．B解析：B【解析】【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12．A解析：A【解析】【分析】分析题意，取3x y+倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。
2020-2021北京市通州区第三中学高三数学上期中第一次模拟试卷(附答案)
后一个音是最初那个音的频率的 2 倍， a13 2a aq12 q 212 ，所以 f2 a7 q4 3 2 ，故选 D f1 a3
【点睛】 ：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等 比数列。
2．B
解析：B 【解析】
【分析】 由已知条件推导出 an=b1b2…bn-1，由此利用 b10b11=2，根据等比数列的性质能求出 a21． 【详解】
C．an=n+2
D．an=（ n+2）·3n
5．中华人民共和国国歌有 84 个字， 37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式，
旗杆正好处在坡度15 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆
顶部的仰角分别为 60 和 30 ，第一排和最后一排的距离为10 2 米（如图所示），旗杆底
A． 8 9
B． 2 3
C． 64 81
D． 125 243
9．已知锐角三角形的边长分别为 1，3， a ，则 a 的取值范围是（ ）
A． 8,10
B． 2 2, 10
C． 2 2,10
D． 10,8
10．设{an}是首项为 a1 ，公差为-2 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 S1 ， S2 ， S4 成等
y)
满足约束条件
x
2
y
3
0
，则实数
m
的取值范围为ຫໍສະໝຸດ x m_______．
15．在 ABC 中， a,b, c 分别为内角 A, B,C 的对边，若
2sin B
sin
A sin C, cos B
3 5
，且 SABC
6 ，则 b __________．
【推荐】北京市通州区2019届高三第一学期期中考试数学(文)试题.doc
通州区2019-2020学年第一学期高三年级期中考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}31M x x =-≤<，{}3N x x =<-，则MN =A ．{}1x x < B ． {}1x x ≥C ． {}3x x ≥-D ．φ2. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的k 值为A ．3B ．4C ．5D ．6 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1326S =，61a =，则数列{}n a 的公差为 A ．2-B ．1-C ．2D ． 14．最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=+ C ．sin(2)6y x π=-D ． cos(2)6y x π=-5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱侧（左）视图正（主）视图与最短棱的棱长之比为A B ．C ． 2D ．6．设a ，b 是非零向量，则2=a b 是a 与b 共线的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ()a b <，其全程的平均速度为v ，则A ．2a bv +=B ．v =C ．a v <<D 2a bv +<<8.已知函数()2,1,,1,x x e x f x e x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 若实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围是A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,3D ． ()2,3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．复数12i=2i+- ． 10．2log 5，32-，123三个数的大小关系是 ． 11．曲线1xy e =+在点()0,2处的切线方程为 ．12．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC⋅的最大值为 ． 13．能说明“若()f x 是奇函数，则()00f =”为假命题的一个函数是 ． 14．设函数()()0xf x a x a=>-，若()f x 在()1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在R 上的解析式．16．（本小题13分）已知数列{}n a 的通项公式为65()n a n n N *=+∈，数列{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和； （Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式． 17．（本小题13分） 已知函数()21cossin cos 2222x x x f x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最值；（Ⅱ）若()10f α=，求sin 2α的值． 18．（本小题13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，s i n c o s A a B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若3b =，sin C A =，求a ，c ．19．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PC ，PB 的中点，90ACB ∠=︒．（Ⅰ）求证：EF ABC 平面；（Ⅱ）求证：EF AE ⊥；（Ⅲ）若PA AC CB ==，4AB =，求几何体EFABC 的体积．20．（本小题14分）已知函数()()ln R f x x x a a =-+∈． （Ⅰ）若函数()f x 的最大值为3，求a 的值； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．。
2022-2023高三上期中 通州 答案
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （11）(1,0)(0,)-+∞ （12）2,1x x x ∃∈+<R （13）6-（14）0 （15）(1,)e ；e （16）②③④ 说明：（15）题两空前3后2；（16）题全选对5分，漏选3分，其他情况0分。
三、解答题（共6小题，共80分） （17）（本小题12分） 解：（Ⅰ）()sin 22f x x x =π2sin(2)3x =- . …………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为π. …………………………………………6分 （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-，于是当ππ233x -=-，即0x =时，函数()f x 取得最小值 当ππ232x -=，即5π12x =时，函数()f x 取得最大值2. ………………………………12分（18）（本小题12分） 解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a cA C=得， 75πsin sin 4A =， 所以sin 10A =…………………………………………4分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得2225727b b =+-⨯解得b =b =因为5b c =<=与已知b c >矛盾，所以b =所以1sin 142S ab C ==. …………………………………………12分（法2）也可以由sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ 当A 为锐角时，4sin 5B =当A 为钝角时，3sin sin 52B C =<=，与已知b c >矛盾 所以4sin 5B =所以1sin 142S ac B ==.（19）（本小题13分） 解：选择条件①，条件②（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 因为126a a +=，12a =，所以24a =，212a q a ==. 所以2nn a =. …………………………………………4分因为1342b a b +=，所以有2813d +=+，解得3d =所以32n b n =-. …………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2nn a = ，32n b =n - .所以322n n n a c b ==⨯-. …………………………………………10分从而数列{}n c 的前n 项和1233(2222)2n nSn =⨯++++-2(12)3212n n ⨯-=⨯-- 622 6.n n =⨯-- …………………………………………13分选择条件①，条件③（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，因为126a a +=，12a =，所以24a =，212a q a ==. 所以2nn a =. …………………………………………4分因为12323b b b a ++=，所以有14b d +=，解得3d =.所以32n b n =-. …………………………………………8分（Ⅱ）解法同上选择条件②，条件③（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 于是有22213,336q d d q ⎧+=+⎨+=⎩，解得2,3q d =⎧⎨=⎩.所以2nn a =，32n b n =- . …………………………………………8分（Ⅱ）解法同上（20）（本小题14分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln 1f x x x=+-，(1)0f =. 211()f x x x'=-，(1)0f '=. 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =.……………………………………4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. …………………………………………5分 221()a x af x x x x-'=-=. 令()0f x '=，解得x a =当a ≤0时，有()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 当0a >时，函数()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减.所以a ≤0时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；0a >时函数()f x 单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a . …………………………………………10分 （Ⅲ）ln ln s t ->s ts-. …………………………………………14分（21）（本小题14分） 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .()(sin cos )x f x x x '=+e . …………………………………………1分令()(sin cos )0x f x x x '=+>e 解得π3π2π2π44k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调递增区间为π3π(2π,2π)Z 44k k k -+∈.………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）()e (sin cos )x g x x x =+，曲线()y g x =与直线2y x =在区间(0,π)上交点的个数等价于()2g x x =的根个数.…………………………………………5分 于是有e (sin cos )2x x x x +=. 即e (sin cos )20x x x x +-=设()e (sin cos )2x F x x x x =+-. ()2e cos 22(e cos 1)x x F x x x '=-=-.设()e cos 1x H x x =-.π()e (cos sin )cos()4x x H x x x x '=-=+.此时，x ，()H x '，()H x 变化情况如下：于是有(0)0H =，π()(0)04H H >=，π(π)e 10H =--<.由零点存在定理可知()e cos 1x H x x =-在(0,π)存在唯一零点. ………………………11分 设()e cos 1x H x x =-零点为0x ，则有()F x 在0(,π)x x ∈上单调递减，在0(0,)x 单调递增. 因为(0)1F =，0()(0)1F x F >=，π(π)e 2π<0F =--.所以()F x 在(0,π)上存在唯一零点，即曲线()y g x =与直线2y x =在区间(0,π)上交点的个数为1. ………………………14分（22）（本小题15分） 解：（Ⅰ）{}n b 与{}n a “接近”因为102()3n <⨯2≤3，110()2n -<≤1，又因为112()23()113()2nn n -⨯=<所以有11112()()032n n --<⨯-<所以1112()()132n n -⨯-+≤1所以{}n b 与{}n a “接近”. …………………………………………4分 （Ⅱ）假设12d d ≠,不妨设12d d <， 则2111(1)()n n b a n d d b a -=--+- 令2111(1)()1n d d b a --+-=， 则112111a b n d d +-=+-.当112110a b d d +--+1≤时，令0N =，当n N >时有2111(1)()1n n b a n d d b a -=--+->.此时{}n b 与{}n a 不“接近”.当1121110a b d d +-+>-时，令112111a b N d d ⎡⎤+-=+⎢⎥-⎣⎦，当n N >时有2111(1)()1n n b a n d d b a -=--+->此时{}n b 与{}n a 不“接近”.同理得12d d >时，{}n b 与{}n a 不“接近”. 综上12d d ≠，{}n b 与{}n a 不“接近” 与{}n b 与{}n a “接近”矛盾， 所以有12d d =所以“1d =2d ”是“{}n b 与{}n a “接近””的必要条件.…………………………………9分（Ⅲ）因为{}n a 是公差为d 的等差数列， 所以1(1)n a a n d =+-.若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a “接近”， 则N n *∀∈，都有n n b a -≤1. 即n n b a --1≤≤1. 即1n n n a b a +-1≤≤. 则112n n n n b b a a ---+-≤ 即12n n b b d --+≤当2d -≤时，N n *∀∈，都有120n n b b d --+≤≤ 与21b b -，32b b -，43b b -，，201200b b -中至少有100个正数矛盾.当0d =时，可取1()2n n n b a =-则nn n b a -1=()21<，且21b b -，32b b -，43b b -，，201200b b -均为正数,符合题意.当0d >时，可取12n n b a =+ 则112n n b a -=<，且21b b -，32b b -，43b b -，，201200b b -均为正数,符合题意.当20d -<<时，可取(1)n n n b a =+-则1n n b a -=，221221220n n n n b b a a d ---=-+=+> 即21b b -，32b b -，43b b -，，201200b b -中有100个正数.综上所述d 的取值范围是(2,)-+∞. …………………………………………15分。
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通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期中考试
数学（理科）试卷参考答案及评分标准
第一部分（选择题共 40分）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C B A C B
第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．i
1
2 3
10．log25 e2
11．2x y 2 0
12．1
13．f x 1 x
14．0,1
三、
15．解：（Ⅰ）图略； 3 分函数 f x 的单调增区间为1,0 和 1, ； 6 分（Ⅱ）设 x 0 ，则 x 0 ．7 分因为函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且当x 0 时， f x x2 2 x ，
所以 f x f x x 2
2x x 0 ．10 分
2 x x2
x 2 2x, x 0 ，
所以 f x
2x, x 0 ．
x 2
16．解：（Ⅰ）由 f x
cos 2
x
sin x
cos
x
1 ，得
2
2
2 2
f x
1 1 cosx 1
sin x 1 2
cos x
．
2
2 2
2
4
所以 f
x 的最小正周期为 2
，最大值为
2
，最小值为
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f
2 cos 4
3 2 ，
2
10
所以 cos
4
3 ．
5
所以 sin 2 cos
2
2
cos2
4
1 2cos
2
4
1
18 7． 25 25
13 分
3分
2 ； 6分
2
7分
8分
10分
12 分
13 分
17．解：（Ⅰ）在 ABC 中，，
由正弦定理
a b
2分
sin A
，得 b sin A a sin B ．
sin B
由 3b sin A
a cosB ，得
b sin A
3
a cos B ．
3
所以 sin B
3
cos B ．
4分
3
因为 0 B ，所以sin B 0 ，因而 cosB 0 ．
所以 tan B sin B 3
，cos B 3
所以 B ．
6
a c （Ⅱ）由正弦定理得
sin A ，
sin C
而 sin C 3sin A ，
所以 c 3a ①
由余弦定理 b2 a c 2ac cos B ，得 9 a2 c2 2ac cos ，
6 即a2 c2 3ac 9 ②
把①代入②得 a 3，c 3 3 .
a
18．解：（Ⅰ）因为函数 f x 图象的对称轴为x，
2
所以当 a 0 ，即 a 0 时，g a f x
max f 1 a2 a 2；
2
当 a 0 ，即 a 0 时，g a f x
max f 1 a 2 a 2 ．
2
所以 g a a2 a 2, a 0, a2 a 2, a 0.
（Ⅱ）假设存在符合题意的实数m, n ，则
由（Ⅰ）可知，当 a R 时，g a 2, ．
所以若 a m, n ，有 g a 5m,5n ，则0 m n ．所以 g a a2 a 2 ，且为单调递增函数．
g m m2m 25m,
所以
g n n2n 2 5n, 6分9分
12分13分
1分3分5分6分
8分9分11分12分
m 22,
所以13 分n 2 2.
19.（Ⅰ）解：函数 f x 的定义域为0,
因为 f x 1 1 x
x ，x x
所以在0,1 内， f x 0 ， f x
． 1 分
2 分单调递增；
在 1, 内， f x 0 ， f x 单调递减．
所以函数 f x 在 x 1 处取得唯一的极大值，即 f x 的最大值 f 1 ln1 1 a ．因为函数 f x 的最大值为 3 ， 3 分所以 ln1 1 a 3 ，
解得 a 4 ． 4 分
（Ⅱ）因为当 x 1, 时，f x 3 xf x a 2 k 2 恒成立，
k 1
x
所以 ln x x
3
1 x a
2 ，
a k 1
x
所以 x ln x 1 k x 3 ，即 x ln x 1 k x 3 0 ．令 g x x ln x 1 k x 3 ，则 g x ln x 2 k ．
因为k 2 ，
所以g x 0 ．
所以g x 在 1, 单调递增．所以g x g 1 1 2k ，所以 1 2k 0 ，
所以 k 1
．即实数 k 的取值范围是
2
5 分
6 分
7 分
1
,2 ；8 分
2
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：x1 0,1 ， x2 1, ．
所以1
0,1 ．9 分x2
因为 x1，x2是函数f x 的两个零点，
所以 f x1 f x2 0 ．10 分
因为 f x1 f 1
f x2
1
x2
f
x2
ln x2 x2 ln
1
1
x2 x2
2ln x2
1
11 分
x2．
x2
令 h x 2ln x 1
x ，x
2 1 x2 2x 1 x 2
则h x 1 1
．
x x 2 x 2 x 2 所以在 1, ， h x 0 ， h x 单调递减．所以 h x h 1 0 ．
所以 f x1 f 1
0 ，即 f x1
1
13 分x2
f ．
x2
由（Ⅰ）知， f x 在 0,1 单调递增，
所以 x1 1
，x2
所以 x1 x2 1．14 分20．解：（Ⅰ）根据题意, 数列a n 满足 S n 2a n 1,
当 n 1时, a 1 S 1 1 .
当 n 2 时 , a n S n
S
n 1
1 , a n
2a n 2a n 1 ，
即 a n
2a n 1 ．
所以数列 a n 是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
所以 a n
2n 1 ， n N ；
又由已知 b n
2 log 2 a n ，得 b n 2 log 2 2n 1 n 1 ．
b n
n 1
1 n 1
（Ⅱ）依题意得
n
， n
N ．
c n
2n 1
1
a n
2
n
n 1
因为 c n 1
c n
n 2
1 n 1
1
2
2
n 1
n 2
n n 1
1 n
1
1 0
，
2
2 2 2
所以当 n 1时， c n 取得最大值 c 1 2 ．
因为 c n x 2
2x 1 对于一切的正整数 n 恒成立，
所以 2 x 2 2x 1． 解得 x
1或 x 3 ，
所以实数 x 的取值范围是
x x
1或
x
3 ；
（Ⅲ）假设存在 a m ,a n , a k m n k, m, n, k N ，使 a m , a n , a k 成等差数列，
则 2a n
a m a k ，即 2 2n 1
2m 1
2k 1 ．
两边同时除以 2m 1 ，得 2n
m 1 1 2k m ①．
因为 2n m 1 为偶数， 1 2k m 为奇数，这与①矛盾．
1 分
2 分
3 分
4 分
5 分
6 分
7 分
8 分
9 分
10 分
11 分
12 分
13 分
所以不存在a m, a n , a k m n k, m, n, k N，使a m, a n, a k成等差数列．14 分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。