经济数学基础作业1(电大)

（3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）； （4）利用连续函数的定义。 12．熟练掌握求导数或微分的方法。 具体方法有： （1）利用导数（或微分）的基本公式； （2）利用导数（或微分）的四则运算法则； （3）利用复合函数求导或微分法； （4）利用隐函数求导法则。
作业解答：
一．填空题
= 1 (ex xex ) 2x
（5） y eax sin bx ，求 dy ； 解： y (eax )sin bx eax (sin bx) = aeax sin bx eax cosbx b = eax (a sin bx b cos bx) dy ydx eax (a sin bx b cos bx)dx
c 0
(x ) x 1
(ax ) ax ln a
(ex ) ex
(
log
x a
)
1 x ln
a
(ln x) 1 x
(sin x) cosx
(cosx) sin x
(tan
x)
1 c os2
x
(c ot x)
1 sin 2
x
（2） y ax b ,求 y； cx d
解：
y
(ax
b)(cx
lim
x 1
x2 3x 2 x2 1 =
lim (x 1)( x 2) x1 (x 1)( x 1)
=
lim
x2
=
1
x1 x 1
2
（2） lim x 2
x2 x2
5x 6x
6 8
解：该极限属" 0 " 型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算 0
x2 5x 6
(x 2)(x 3)
A.
1 dx
2x
B.
1 dx
x ln10
C． ln 10 dx x
D． 1 dx x
解： 因为 dy ydx 1 (2x)dx 1 dx
2x ln 10
x ln 10
因此正确的选项是 B。
4．函数 f (x) 在点 x0 处可导，则（ ）是错误的 .
A . 函数 f (x) 在点 x0 处有定义
x0
x0
f (0) = a
结合（1）知：当 a b 1时， f (x) 在 x 0 处连续。
3． 求下列导数或微分：
（1）
y
x2
2x
log
x 2
22
，求
y
；
解： 利用导数代数和运算法则
y (x2) (2x ) (log2x ) (22) 2x 2x ln 2 1
x ln 2
知识要点： 导数的基本公式：
1． lim x sin x
.
x0
x
解：当 x 0 时，分子、分母的极限均为 0，且 lim sin x 1 x0 x
因此 lim x sin x lim (1 sin x ) 11 0
x0
x
x 0
x
2．设
f
(x)
x2
1,
x
0在
x
0 处连续，则 k
k, x 0
解：由函数的连续定义知：若 y f (x) 在 x 0 处连续，则 lim f (x) f (0) 。 x0
lim f (x) lim(x sin 1 b) = b
x0
x0
x
lim f (x) lim sin x =1
x0
x x0
因此当 b 1， a 取任意实数时，函数 f (x) 在 x 0 处有极限存在。
（2）因为要使 f (x) 在 x 0 处连续，则要 lim f (x) lim f (x) = f (0)
而 y(1)
1
2x 2
x 1
故切线方程是：
y 2 1 (x 1) ，即 y 1 x 3
2
22
4．设 f (x 1) x2 2x 5, 则 f (x)
。
解：先求 f (x) 的表达式 令 t x 1，则 x t 1， 因为 f (x 1) x2 2x 5,
则 f (t) (t 1)2 2(t 1) 5 t2 4
d) (cx
(ax d )2
b)(cx
d
)
= a(cx d ) (ax b)c = ad bc
(cx d )2
(cx d )2
知识要点：
(
u v
)
uv v2
uv
（3） y 1 求 y ； 3x 5
1
解： y (3x 5) 2
=
1
(3x
5)
1 2
1
(3x
5)
2
=
3
(3x
x A. lim 1 ，
x0 x
x B. lim 1
x x 0
C. lim x sin 1 1,
x 0
x
D. lim sin x 1, x x
解：
A
不正确。注意到：
x
x, x 0 x, x 0
，
因此： lim
x lim
x 1， lim
x lim x 1
x x x0
x0
x x x0
因为
lim f (x) lim (x2 1) 1
x0
x 0
f (0) k
因此，若 f (x) 在 x 0 处连续，则 k 1。
3．曲线 y x 1 在（1，2）的切线方程是 解： 根据导数的几何意义有，曲线 y x 1 在（1，2）的切线方程是： y 2 y(1)(x 1)
1
x0
x lim 不存在。 x0 x
B．正确。
C．不正确。因为 lim x 0, sin 1 1 ，由无穷小量的运算质量得：
x0
x
lim x sin 1 0,
x 0
x
D．不正确。因为 lim sin x lim 1 sin x 0
x x
x x
因此正确的选项是 B。
3．设 y lg 2x, 则 dy （ ） .
则 f (x) x2 4
f (x) 2x
5．设 f (x) x sin x, 则 f ( ) 2
解：
f ( ) 2
f (x) x 2
f (x) xsin x x(sin x) sin x x cosx,
f (x) (sin x) xcosx x(cosx) cosx cosx x sin x,
= 2 cosx x sin x,
f
(
)
2 c os
sin
2
22 2 2
二．单项选择题：
1．当 x 时，下列变量为无穷小量的是（ ）
A. ln(x 1)
B. x2 x 1
1
C. e x
D. sin x x
解：无穷小量的概念：在某个变化过程中，以 0 为极限的函数。
A 中：因为 x 时， ln(x 1) ，故 x 时， ln(x 1) 不是无穷小
5x
（6） lim x2 4 x2 sin(x 2)
解：该极限属" 0 " 型，利用重要极限Ⅰ公式计算 0
lim
x2
x2 4 sin(x 2)
=
lim
x 2
(x 2)( x sin(x
2) 2)
=
lim
x2
1 sin(x
2)
.(x
2)
=4
x2
2．
设
f
(x)
x
sin 1 x
a,
b,
2 = lim
x 3
3 x 2 x
5
x2 4
x2
=
200 300
2 3
（5） lim sin 3x x0 sin 5x
解：该极限属" 0 " 型，注意到： lim sin (x) 1
0
(x)0 (x)
分子、分母分别除以 3x,5x ，利用重要极限Ⅰ公式计算
sin 3x lim sin 3x = lim 3x . 3x = 3 x0 sin 5x x0 sin 5x 5x 5
B．
1 x2
C． 1 x
D． 1 x
解：令 t 1 ，则 x 1
x
t
因为 f ( 1 ) x ，则 f (t) 1 ，
x
t
f (x) 1 x
f (x) 1 x2
因此正确的选项是 B。
三．解答题 1. 求下列极限：
（1）
lim
x 1
x2
3x x2 1
2
；
解：该极限属" 0 " 型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算 0
x
x 0
0
sin x , x 0 x
问：（1）当 a, b 为何值时， f (x) 在 x 0 处有极限存在？
（2）当 a, b 为何值时， f (x) 在 x 0 处连续？
解：（1）因为要使 f (x) 在 x 0 处有极限存在，则要 lim f (x) 和 lim f (x)
x0
x0
存在且相等，因为
量；
B 中：因为 x 时， x2 ，故 x 时， x2 不是无穷小量
x 1
x 1
C
中：因为
x
时，
1
1
0，e x
1 ，故
x
1
时， e x
不是无穷小量。
x
D 中：因为 x 时， sin x 1 sin x 0，故当 x 时， sin x 是无穷小量。
xx
x
因此正确的选项是 D。
2．下列极限计算正确的是（ ）。
图形特征。掌握函数的复合与“分解”。
4．极限的概念 ：知道 lim f (x) A 的意义； x x0
知道 lim f (x) A 的充分必要条件是 lim f (x) A 且 lim f ( x) A
x x0
x x0
x x0
5 .无穷小量的概念和性质：
了解无穷小量的概念：在某个变化过程中，以 0 为极限的函数。例如若 lim f (x) 0 ， xx0
lim
xx0
f (x)
f (x0) ；了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连
续性，会求函数的间断点。
7．导数的概念：牢记导数定义的极限表达式
f
( x0 )
lim
x0
y x
；知道函数在某点导数的
几何意义： f (x0 ) 表示曲线 y f (x) 在点 (x0, f (x0 )) 处的切线的斜率；会求曲线的切线方
程，曲线 y f (x) 在 x0 处的切线方程： y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) 。了解导数的经济意义。
8．微分的概念：函数 y f (x) 的微分： dy ydx
9．高阶导数的概念，特别是二阶、三阶导数的概念，比如二阶导数 y ( y)
10．函数极限、连续、可导与可微的关系：可微 可导 连续 极限存在。
Leabharlann Baidulim
x 2
x2
6x
8
lim
x2
(x
2)(x
4)
lim x 3 2 3 1 x2 x 4 2 4 2
（3） lim 1 x 1 ；
x0
x
解：该极限属" 0 " 型，分子有理化消去零因子，再利用四则运算法则计算 0
lim 1 x 1 ＝ lim ( 1 x 1)( 1 x 1)
x0
x
B． lim x0
f (x)
A, 但 A
f (x0 )
C．函数 f (x) 在点 x0 处连续
D．函数 f (x) 在点 x0 处可微。
解：注意到函数极限、连续、可导与可微的关系：可微 可导 连续 极限存在。
正确的选项是 B。
5．若 f ( 1 ) x ，则 f (x) （ ） . x
A. 1 x2
经济数学基础作业 1
（微分学部分第 1 章函数—第 2 章极限、导数与微分）
知识要点：
1． 函数概念：函数 y f (x), x D 的两个要素定义域和对应关系。
要求：会求函数的定义域和函数值；会判断两函数是否相同。
2．函数的性质：了解函数的四个性质，掌握函数奇偶性的判别。
3．基本初等函数和函数的复合运算：记住五类基本初等函数的表达式，知道它们的
x0 x( 1 x 1)
1 x 1
1
1
= lim
= lim
x0 x( 1 x 1) x0 1 x 1 2
（4）
lim
x
2x2 3x2
3x 2x
5 4
解：该极限属" " 型，注意到 lim
x
1 x
0(
0)
分子、分母同除以 x2 ，再利用四则运算法则计算
2x2 3x 5 lim x 3x2 2x 4
知识要点：
(ex ) ex (sin x) cosx
1
（6） y e x x x ，求 dy ；
3
5) 2
2
（4） y x xex ,求 y ；
解： y ( x ) xex x(ex )
=
1
1
x2
(ex
xex )
2
知识要点：
(x ) x 1 y f ((x)),u (x) yx f (u)(x)
知识要点：
1
x x2, (x ) x 1 (ex ) ex (uv) uv uv
11．掌握求简单极限的常用方法 求极限的常用方法有 （1）利用极限的四则运算法则； （2）利用重要极限
第一重要极限： lim sin x 1 x0 x
特点：当 x 0 时，ⅰ）分子、分母的极限为 0；
ⅱ）分子或分母中有一个含有正弦函数关系式。
第一重要极限的扩展形式： lim sin (x) 1 (x)0 (x)
则称当 x x0 时， f (x) 为无穷小量。
了解无穷小量与无穷大量的关系：无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数
为无穷大量。
知道无穷小量的性质：无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量。例如 lim x 0, x 0
sin 1 1 ，因此 lim x sin 1 0
x
x 0
x
6 ． 函 数 连 续 的 概 念 和 性 质 ： 了 解 函 数 y f (x) 在 点 x0 处 连 续 的 概 念 ：