立体几何的翻折问题
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3 3
2
2
D
C
CH
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（ , ] 所成角的范围是 3 2
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1 3 3 3 q 0), C (0， ,0), A(0， cos , sin q ) 则 D( ,0， 2 2 2 2 1 3 3 1 q E( , cos , sin q ) 0) B ( ,0， 4 4 4 2 B 3 3 3 3 BE ( , cosq , sin q ), FC (0, ,0) 4 4 4 2
设二面角 A BD C 的大小为q ，
建立空间直角坐标系 向量法：
z
A E D C
F
y
3 3 cos q cos q 1 8 cos BE , FC 8 cos q 3 2 9 3 3 * 4 16 16 2 1 1 q [0, ] cos BE , FC [ , ] ， 向量 BE, FC 的夹 2 2
5）面AD'E绕AE翻折形成两个同底的圆锥.
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二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
1、 （2016 联考试题）平面四边形 ABCD 中，AD=AB= 2 ，CD=CB= 现将△ABD 沿对角线 BD 翻折成 A ' BD ， 则在 A ' BD 5 ,且 AD AB ， 折起至转到平面 BCD 的过程中， 直线 A ' C 与平面 BCD 所成最大角的 正切值为_______
角范围是 [
2
, ] BE, CF 3 3 ∴异面直线
所成角的范围是
（
, ] 3 www.themegallery.com 2 .
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几何本质：圆锥
D
H E
H E
C
F
D
A
A F
C
B
B
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变式：取BC中点K，连接EK , DK , 则将ABD沿BD旋转 过程中，令二面角A - BD - C的平面角为，则（ ） A. E ' FK B. E ' FK C. E ' DK D. E ' DK
A'
D E A F
F
E'
C
E' D
K
B
B
K
C
①特例法 当 0 时，EFK 0 当 180 时， EFK 180
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E ' DK
EDK
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故答案为 B.
③从几何本质上讲， DEF 绕 BD 旋转形成以圆 O 为底面的 两个圆锥 D O ，圆锥 F O ，
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立体几何动态问题的基本类型：
点动问题；线动问题； 面动问题；体动问题； 多动问题等
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一、面动问题（翻折问题）
（一）请学生们用草稿纸演示翻折过程:
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A
2 2 2 CF FH CH 3 21 cos CFH 则 4 CH 4 ， 2* CF * FH
.
E H
3 3 2 15 2 CH CH 2 4 F 16 3 3 3 2* * B 4 2 4 5 4 3 21 1 1 2 CH CH cos CFH [ , ] 4 3 4 4 2 2 2 [ CFH 的取值范围是 , ] ，但异面直线 BE 与
翻折过程中的范围与最值问题的破解方法： 1、特殊法（极端情形），关注特殊位置、特殊图形、特殊点等. 2、建立角或者边的关系的函数，转化为函数的最值问题. 3、充分挖掘翻折过程中点、线、面的几何本质.
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A. ( 6 , 3 )
B. ( 6 , 2 ]
, ] ( C. 3 2
, 2 ) D. ( 3 3
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定义法: 对于异面直线所成的角，如利用平 行线转化为平面角，把空间问题转化为平面问题
过 F 作 FH ∥ EB ， 交 AD 于 H .设菱形 ABCD 的边长为 1，
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一、面动问题（翻折问题）
一线：垂直于折痕的线即DF AE.
（二）翻折问题的一线五结论
五结论:
1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；折线两 侧的几何量和位置关系发生改变； 2）DHF是二面角D - AE - F的平面角；
3）D在底面上的投影一定在射线DF上；
4) 点D '的轨迹是以H为圆心，DH ' 为半径的圆；
O C
二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
3、 （ 2015 年浙江·理 8）如图，已知 ABC ， D 是 AB 的 中 点 ， 沿直 线 CD 将 ACD 折 成 ACD ， 所 成二 面 角
A CD B 的平面角为 ，则
（
） D. ACB
A. ADB B. ADB C. ACB
EFK EFE, EOE
在等腰△ OEE 与等腰△ FEE 中， ； 边 EE 共底，腰 FE FE OE OE ，D ∴ EF E EO E ，故 E FK
A E E' Fwk.baidu.comK B
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D A B
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A
C
E B
D C
二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
2 （2015 年 10 月浙江省学业水平考试 18） .如图， 在菱形 ABCD 中， ∠BAD=60° ，线段 AD，BD 的中点分别为 E，F。现将△ABD 沿对 角线 BD 翻折，则异面直线 BE 与 CF 所成角的取值范围是
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（ , ] 所成角的范围是 3 2
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1 3 3 3 q 0), C (0， ,0), A(0， cos , sin q ) 则 D( ,0， 2 2 2 2 1 3 3 1 q E( , cos , sin q ) 0) B ( ,0， 4 4 4 2 B 3 3 3 3 BE ( , cosq , sin q ), FC (0, ,0) 4 4 4 2
设二面角 A BD C 的大小为q ，
建立空间直角坐标系 向量法：
z
A E D C
F
y
3 3 cos q cos q 1 8 cos BE , FC 8 cos q 3 2 9 3 3 * 4 16 16 2 1 1 q [0, ] cos BE , FC [ , ] ， 向量 BE, FC 的夹 2 2
5）面AD'E绕AE翻折形成两个同底的圆锥.
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二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
1、 （2016 联考试题）平面四边形 ABCD 中，AD=AB= 2 ，CD=CB= 现将△ABD 沿对角线 BD 翻折成 A ' BD ， 则在 A ' BD 5 ,且 AD AB ， 折起至转到平面 BCD 的过程中， 直线 A ' C 与平面 BCD 所成最大角的 正切值为_______
角范围是 [
2
, ] BE, CF 3 3 ∴异面直线
所成角的范围是
（
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几何本质：圆锥
D
H E
H E
C
F
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A
A F
C
B
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变式：取BC中点K，连接EK , DK , 则将ABD沿BD旋转 过程中，令二面角A - BD - C的平面角为，则（ ） A. E ' FK B. E ' FK C. E ' DK D. E ' DK
A'
D E A F
F
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C
E' D
K
B
B
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①特例法 当 0 时，EFK 0 当 180 时， EFK 180
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E ' DK
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故答案为 B.
③从几何本质上讲， DEF 绕 BD 旋转形成以圆 O 为底面的 两个圆锥 D O ，圆锥 F O ，
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立体几何动态问题的基本类型：
点动问题；线动问题； 面动问题；体动问题； 多动问题等
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一、面动问题（翻折问题）
（一）请学生们用草稿纸演示翻折过程:
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A
2 2 2 CF FH CH 3 21 cos CFH 则 4 CH 4 ， 2* CF * FH
.
E H
3 3 2 15 2 CH CH 2 4 F 16 3 3 3 2* * B 4 2 4 5 4 3 21 1 1 2 CH CH cos CFH [ , ] 4 3 4 4 2 2 2 [ CFH 的取值范围是 , ] ，但异面直线 BE 与
翻折过程中的范围与最值问题的破解方法： 1、特殊法（极端情形），关注特殊位置、特殊图形、特殊点等. 2、建立角或者边的关系的函数，转化为函数的最值问题. 3、充分挖掘翻折过程中点、线、面的几何本质.
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A. ( 6 , 3 )
B. ( 6 , 2 ]
, ] ( C. 3 2
, 2 ) D. ( 3 3
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定义法: 对于异面直线所成的角，如利用平 行线转化为平面角，把空间问题转化为平面问题
过 F 作 FH ∥ EB ， 交 AD 于 H .设菱形 ABCD 的边长为 1，
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一、面动问题（翻折问题）
一线：垂直于折痕的线即DF AE.
（二）翻折问题的一线五结论
五结论:
1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；折线两 侧的几何量和位置关系发生改变； 2）DHF是二面角D - AE - F的平面角；
3）D在底面上的投影一定在射线DF上；
4) 点D '的轨迹是以H为圆心，DH ' 为半径的圆；
O C
二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
3、 （ 2015 年浙江·理 8）如图，已知 ABC ， D 是 AB 的 中 点 ， 沿直 线 CD 将 ACD 折 成 ACD ， 所 成二 面 角
A CD B 的平面角为 ，则
（
） D. ACB
A. ADB B. ADB C. ACB
EFK EFE, EOE
在等腰△ OEE 与等腰△ FEE 中， ； 边 EE 共底，腰 FE FE OE OE ，D ∴ EF E EO E ，故 E FK
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D A B
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二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
2 （2015 年 10 月浙江省学业水平考试 18） .如图， 在菱形 ABCD 中， ∠BAD=60° ，线段 AD，BD 的中点分别为 E，F。现将△ABD 沿对 角线 BD 翻折，则异面直线 BE 与 CF 所成角的取值范围是