初中数学动态几何问题

中考数学专题 动态几何问题

第一部分 真题精讲

【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．

C

M B

（1）当MN AB ∥时，求t 的值；

（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．

A

B M C

N

E D

∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥．（根据第一讲我们说梯形辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t =

． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC

即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】

（2）分三种情况讨论：

① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）

∵4

sin 5DF C CD ∠==，

∴3

cos 5C ∠=，

∴310225t

t -=⨯，

解得25

8

t =．

A

B M C

N

F D

② 当MN MC =时，如图③，过M 作MH CD ⊥于H ． 则2CN CH =，

∴()3

21025

t t =-⨯．

∴6017

t =．

A

B M C

N H

D

③ 当MC CN =时， 则102t t -=． 10

3

t =．

综上所述，当258t =、6017或10

3时，MNC △为等腰三角形．

【例2】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，

以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，3

BC，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。

【解析】：

（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下： AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．

由正方形ADEF得AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，

∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ，∴∠ACF=∠ABD．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD．

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。

（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．

理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG

可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º

G

A

B C

D E

F

∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF ⊥BD

【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X 。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.

（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ， ①点D 在线段BC 上运动时，

∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ， 易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ

AQ

=，∴

44

CP x

x =-， 2

4

x CP x ∴=-+．

②点D 在线段BC 延长线上运动时，

∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．

过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，

∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ

AQ

=，∴

44

CP x

x =+， 2

4

x CP x ∴=+．

【例3】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；

（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设

PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；

（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．

A

D

M