矢量运算及微积分初步

k i j i k j k k 0
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A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
( AyBz AzBy )i ( AzBx AxBz ) j ( AxBy AyBx )k
写成行列式
i
j
k
A B Ax Ay Az Bx By Bz
f (x) f (x0 ) , x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
精品课x件 x0
x x0
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2）导数的定义
定义 设函数 y f (x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f (x0 x) f (x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数
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2) 矢量积（叉积、外积） A B C 是一个轴矢量
大小：平行四边形面积
C A B ABsin (0 )
C
B A
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绪论
方向：右手螺旋
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绪论
矢积的性质：
A B B A
A ( B C) A B AC
A A 0
A(BC) B( A•C) C( A• B)
A A1e1 A2 e2
常用 e1e2 称为正交分解
三维空间中应有3个不共面的矢量
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•矢量在直角坐标系下的表示 （二维推广到三维）
y
Ay
A
A Axi Ay j
Ax x
模： A Ax2 Ay2
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j
三维： A Axi Ay j Azk
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4）由定义求导数 步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
依此类推，可以定义高阶导数。
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3）导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
o
y f (x)
T M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
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一单位
A
A
A
A
矢量的图示
等矢量
负矢量
矢量平移（大小和方向不变），矢量不变
A
A
A
B
B
B
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•矢量的模与单位矢量
矢量的大小称为矢量的模，用 A 或 A 表示
矢量 eA ，其模为１、方向与 A 相同，称为 A 单位矢量
A AeA
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直角坐标系
z
i
k j
y
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出，函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
模：A Ax2 Ay2 Az2
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
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•矢量的积
绪论
1) 标量积（点积、内积） 两个矢量的点积为一标量。
A B AB cos 为A与B的夹角
若B为单位矢， A B为A在B方向的投影
交换律： A• B B • A 分配律： A• ( B C) A• B A •C
y f (x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
数 y f (x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
dy dx
或
x x0
df (x) dx
, x x0
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即
y
x x0
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f (x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
矢量分析、微积分 知识初步
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绪论
3. 矢量 矢量
•矢量和矢标量理和标量
普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量 标量：只有大小（一个数和一个单位）的量，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温 度等。 矢量：既有大小又有方向的量，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电 场强度等。
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直角坐标系下的表示
因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以
i i 1; i j 0;
j j 1; i k 0;
k k 1 jk 0
A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
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x i 、 j、 k 为Ｘ、Ｙ、Ｚ方向的单位矢量。
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矢量运算基本规律
绪论
矢量结合法则 1) 矢量加法：遵从平行四边形定则
交换律： A B B A
结合律： A (B C) ( A B) C
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简化为
C AB
B
A
A
B C AB
矢量合成的三角形法则
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4. 导数
y
1）问题的提出——切线问题
如图, 如果割线MN绕点M旋 转而趋向极限位置MT,直线 MT就称为曲线C在点M处的 切线.
极限位置即
o
y f (x)
N
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CM
x0
T
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为
tan y y0 x x0
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 （A B) • C (C A) • B (B C) • A
(B A) • C
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直角坐标系下的表示（右手系）
z
z
右手系
左手系
y
x
x
i j k; j i k; i i 0;
y
jk i k j i j j 0
R
D
C AB
R ABCD
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绪论
2) 矢量的数乘
大小
A
C
方向
C A 0 C平行于 A
0 C平行于－A
结合律： ( A) ( ) A 分配律： ( A B) A B
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绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为：