三角函数的奇偶性
三角函数的图像与性质
抓住1个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简 成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只
需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即
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揭秘3年高考
两种方法 求三角函数值域(最值)的两种方法
(1)将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通过分析ωx＋φ
的范围，结合图象写出函数的值域； (2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解 决．
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揭秘3年高考
考点自测 1．函数
)．
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1 1－cos 2x 1 1 解析 f(x)＝sin x－2＝ －2＝－2cos 2x， 故函数 2 的最小正周期为 T＝π，且为偶函数．
2
答案 D
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3．(2013· 安顺模拟)已知函数
π f(x)＝sinωx＋3(ω>0)的最小正
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揭秘3年高考
π 5π 在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为4， 4 ，再结合正弦、余 弦函数的周期是 2π，所以原函数的定义域为
π 5π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ 4 4 ，k∈Z.
法二
利用三角函数线，如图，MN 为正弦线，OM 为余弦
解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋ k的形式，再求最值(值域)； ②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化
三角函数的最值与奇偶性-课件
(2)由11－ ＋ssiinn xx>0，得(1－sin x)(1＋sin x)>0，
∴－1<sin x<1.
∴x≠kπ＋π2(k∈Z)，函数定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝lg11－ ＋ssiinn－ －xx＝lg11＋ －ssiinn
x x
＝lg11－＋ssiinn xx－1＝－lg11－ ＋ssiinn xx＝－f(x)，
[错解]
配方得
y＝－3sin
x－322＋8，
故函数的最大值是 ymax＝8.
上述解法的错误在于把题中函数与通常的二次函数
等同起来了，它们虽有相似之处但也有严格的区分，忽视了－
1≤sin x≤1 的隐含条件．
[正解] 事实上，二次函数 y＝－3t－322＋8 在 t∈[－1,1]上递 增．故原函数当 sin x＝1 时取最大值，即 ymax＝－3×1－322＋8＝ 29 4.
∴函数
f(x)＝lg11－ ＋ssiinn
x为奇函数． x
规律方法 判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于 原点对称，如果是，再验证 f(－x)是否等于－f(x)或 f(x)，进而判断 函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
【变式 1】
判断函数
f(x)＝11＋＋ssiinn
x－cos x＋cos
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
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上海高中三角函数的周期性、奇偶性和对称性
该函数是奇函数
【例1 】判断下列函数的奇偶性： (3)y sin x cos x
解： 定义域R关于原点对称
f ( ) sin cos 2 4 4 4
f ( ) sin( ) cos( ) 0 4 4 4
f ( ) f ( )且f ( ) f ( ) 4 4 4 4
该函数既不是奇函数，也不是偶函数
型如y a sin x b cos x(a 0, b 0)的函数 是非奇非偶函数
【例1】判断下列函数的奇偶性： (4)y sin x sin x 4 4 解： 定义域R关于原点对称
x k
4
,k Z
原函数图像的对称中心是点(k
4
, 0), k Z
【例6】函数y cos(2 x ) 的图像 2 的一条对称轴是直线【 】 A. x
2
B.x
4
B
C. x
8
D. x
解： y sin 2 x
当x
一、y sin x 的奇偶性、周期性和对称性:
-2
y
1
-4
-3
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
y siin x
T 2
sin( x) sin x
直线x k
奇函数
, k Z
对称轴
对称中心
sin cos 0 tan 1
【例4】求下列函数的最小正周期： (1)y 3 sin 2 x cos 2 x
三角函数奇偶性、单调性
)-
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos 23
5
5
=cos 3 5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos
4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π
偶函数
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ]
上都是增函数 ,
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ]
上都是减函数 。
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
2
2
O
3
2 u
2
2
-1
y=y-=|ssiinnuu|
即： 增区间为 kuk,kZ
减区间为 k2 uk,kZ
k3xk,kZy为2增函数
k4xk4,kZy为减函数
4
4
2
4
所以：单调增区间为
[k2 ,k8 3](kZ)8
单调减区间为 [k38,k8 7](kZ)
(2) y=2sin(-x )
8
8
解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
2
Байду номын сангаас
+2k,
高考数学中的三角函数的奇偶性与周期性
高考数学中的三角函数的奇偶性与周期性高考数学中的三角函数是一种非常重要的数学概念，它们是用来描述三角形中各边对应角的函数。
其中最常见的三个三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
在高考中，学生需要掌握三角函数的奇偶性和周期性，这对于解答与三角函数相关的问题非常有帮助。
一、三角函数的基本定义在讲解三角函数的奇偶性和周期性之前，我们先来复习一下三角函数的定义。
在一个直角三角形中，根据三角形中的角度，我们可以定义三角函数：正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数sinA：对于一个角度为A的三角形，正弦函数的值定义为其对边长度与斜边长度的比值。
余弦函数cosA：对于一个角度为A的三角形，余弦函数的值定义为其邻边长度与斜边长度的比值。
正切函数tanA：对于一个角度为A的三角形，正切函数的值定义为其对边长度与邻边长度的比值。
在高考数学中，我们需要通过三角函数的定义，求出与之相关的各种角度、边长以及角度之间的关系。
二、三角函数的奇偶性在研究三角函数的奇偶性时，我们需要先定义一个数学概念：函数的奇偶性。
在数学中，如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它就是一个奇函数；如果一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)，那么它就是一个偶函数。
对于三角函数而言，正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)都是奇函数，而余弦函数cos(x)则是偶函数。
具体来说，我们可以证明正弦函数是奇函数。
假设有一个角度x，那么有sin(-x)=-sin(x)。
这是因为对于一个角度为-x的三角形，其对边为-x的正弦值应该是-sin(x)，而斜边和邻边长度不变，因此正弦值应该是相反数。
同样的道理，可以证明正切函数也是奇函数。
而对于余弦函数而言，我们可以证明它是偶函数。
同样假设有一个角度x，那么有cos(-x)=cos(x)。
这是因为对于一个角度为-x的三角形，其邻边和斜边长度不变，而对边长度也不变，因此余弦值应该是相等的。
因此，我们可以得出结论：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三角函数的奇偶性
三角函数的奇偶性三角函数是数学中常见的函数类型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在研究三角函数的性质时，一个重要的特征是它们的奇偶性。
本文将介绍三角函数的奇偶性，并分析其在不同象限内的取值范围。
1. 正弦函数的奇偶性正弦函数sin(x)的定义域是所有实数，其图像关于原点对称。
我们可以观察到，当x取负值时，sin(x)的值与当x取正值时的值相反，这说明sin(x)是奇函数。
根据正弦函数的性质，sin(x + π) = -sin(x)，可以推导出sin(x + 2π) = sin(x)，以及sin(x + 4π) = sin(x)，以及更一般的sin(x + nπ) = sin(x)。
这意味着正弦函数是以2π为周期的周期函数，并且在每个周期内保持奇偶性不变。
2. 余弦函数的奇偶性余弦函数cos(x)的定义域也是所有实数，与正弦函数类似，余弦函数关于y轴对称。
当x取负值时，cos(x)的值与当x取正值时的值相同，这说明cos(x)是偶函数。
同样地，根据余弦函数的性质，cos(x + π) = -cos(x)，可以推导出cos(x + 2π) = cos(x)，以及cos(x + 4π) = cos(x)，以及更一般的cos(x +nπ) = cos(x)。
余弦函数也是以2π为周期的周期函数，并且在每个周期内保持奇偶性不变。
3. 正切函数的奇偶性正切函数tan(x)定义于除去一切x + (2n + 1)π/2（其中n为整数）的实数上。
正切函数在定义域内既不是奇函数也不是偶函数。
我们可以发现，tan(x + π) = tan(x)，也就是说，正切函数的周期性为π。
然而，tan(x)并不保持奇偶性不变。
当x取负值时，tan(x)的值与当x取正值时的值相反，这说明正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
4. 三角函数的取值范围在研究三角函数时，我们还需要了解它们在不同象限内的取值范围。
- 正弦函数的取值范围是[-1, 1]，在第一象限和第二象限为正，在第三象限和第四象限为负。
三角函数的单调性、奇偶性、周期性
(A)f(x+2)是奇函数
(C)f(x-2)是奇函数
(B)f(x+2)是偶函数
(D)f(x-2)是偶函数
3 .已知 函 数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4， 当 f(2001)=5 时 ， f(2002)=( )B (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
4.函数y=2sin2x+sin2x是( D ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( D ) (A)若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ (B)函数y=sinx· cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2，2kπ+ π/2)，k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D) 函 数 y=sinxcos2φ-cosxsin2φ 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 则 φ=kπ/2+π/4，k∈Z
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
1 ①y sin 4 x 1 ②y sin x 3 3 x ③y tan 4 6 ④y 2
【 解 题 回 顾 】 若 三 角 函 数 y=f(x)的 最 小 正 周 期 为 T， 则 f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必 然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判 断函数的周期性的一个有效方法是作图
5 3.已知函数 f x 5 sin x cos x 5 3 cos x 3 x R 2
2
三角函数奇偶性的判断口诀
三角函数奇偶性的判断口诀1. 三角函数奇偶性：（1）正弦函数 y=sin x，是奇函数；（2）余弦函数 y=cos x，是偶函数；（3）正切函数 y=tan x，也是奇函数；（4）余切函数 y=cot x，是偶函数。
2. 三角函数奇偶性判断口诀：（1）正弦余弦：奇偶关，正弦是奇，余弦是偶；（2）正切余切：同上关，正切是奇，余切是偶；（3）反三角：奇偶全反，反正弦是偶，反余弦是奇。
三角函数的奇偶性是指在经过偶函数（cos x）和奇函数（sin x）加工之后，运用反三角函数求出结果时候若结果仍是原函数那么其就是奇偶性，本质上决定奇偶性的是函数在坐标对称轴交换之后是否可以恢复原来的函数形式，具体表示为：sin（-x）= - sin x，即奇函数；cos （-x）= cos x，即偶函数。
要判断某个函数的奇偶性，可以通过以下步骤：（1）先把函数画出来；（2）然后把函数的图像左右对折一下；（3）比较左右两边对折之后的图像，若两边图像完全对称，则该函数就是偶函数；若两边图像不完全对称，则该函数就是奇函数。
因此，我们可以把三角函数奇偶性的判断口诀分为以下几点：（1）正弦（sin x）函数是奇函数，也就是反三角函数（arcsin x）也是奇函数；（2）余弦（cos x）函数是偶函数，也就是反三角函数（arccos x）也是偶函数；（3）正切（tan x）函数是奇函数，也就是反三角函数（arctan x）也是奇函数；（4）余切（cot x）函数是偶函数，也就是反三角函数（arccot x）也是偶函数。
总之，如果想要快速判断某个三角函数的奇偶性，我们只需要记住以下口诀就好了：正弦余弦，奇偶关；正切余切，同上关；反三角，奇偶全反。
使用这个口诀就可以轻松掌握三角函数奇偶性。
初中数学 什么是三角函数的奇偶性质
初中数学什么是三角函数的奇偶性质三角函数的奇偶性质是指在特定的角度范围内，三角函数的值具有对称性质。
奇函数是指当自变量取相反数时，函数值也取相反数；偶函数是指当自变量取相反数时，函数值保持不变。
在数学中，正弦函数、正切函数和余切函数是奇函数，而余弦函数、正割函数和余割函数是偶函数。
下面将详细介绍三角函数的奇偶性质。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集合，值域为闭区间[-1,1]。
正弦函数的奇偶性质非常明显，即sin(-x) = -sin(x)。
也就是说，当自变量取相反数时，正弦函数的值也取相反数。
这意味着正弦函数是一个奇函数。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，其定义域为实数集合，值域为闭区间[-1,1]。
余弦函数的奇偶性质是cos(-x) = cos(x)，也就是说，当自变量取相反数时，余弦函数的值保持不变。
这意味着余弦函数是一个偶函数。
3. 正切函数（tan）正切函数是一个周期函数，其定义域为实数集合，值域为全体实数。
正切函数的奇偶性质是tan(-x) = -tan(x)，也就是说，当自变量取相反数时，正切函数的值也取相反数。
这意味着正切函数是一个奇函数。
4. 余切函数（cot）余切函数也是一个周期函数，其定义域为实数集合，值域为全体实数。
余切函数的奇偶性质是cot(-x) = -cot(x)，也就是说，当自变量取相反数时，余切函数的值也取相反数。
这意味着余切函数是一个奇函数。
5. 正割函数（sec）正割函数是一个周期函数，其定义域为实数集合中除去若干个奇数倍的π/2之外的所有实数，值域为(-∞, -1]∪[1, +∞)。
正割函数的奇偶性质是sec(-x) = sec(x)，也就是说，当自变量取相反数时，正割函数的值保持不变。
这意味着正割函数是一个偶函数。
6. 余割函数（csc）余割函数也是一个周期函数，其定义域为实数集合中除去若干个奇数倍的π之外的所有实数，值域为(-∞, -1]∪[1, +∞)。
数学三角函数的周期性与奇偶性教案
数学三角函数的周期性与奇偶性教案引言:三角函数是数学中重要的一类函数，其中包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本教案将重点讲解三角函数的周期性与奇偶性，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、周期性的定义及性质周期性是指函数在某一区间内的值与在另一区间内的值具有相同的规律性重复出现。
对于三角函数而言，周期性是其重要的特征之一。
1. 正弦函数的周期正弦函数以2π为一个完整周期，在区间[0，2π]上，它的值从0逐渐增加到1，再减小到0。
随后，在区间[2π，4π]、[4π，6π]以此类推，其值又重复了之前的规律。
2. 余弦函数的周期余弦函数同样以2π为一个完整周期，在区间[0，2π]上，余弦函数的值从1逐渐减小到0，再减小到-1，最后又回升到1。
在后续的相同区间中，其值再次按照这一规律重复。
二、奇偶性的定义及性质奇偶性是指函数的性质是否与自身的轴对称有关。
在三角函数中，奇偶性与函数的图像关系密切。
1. 正弦函数的奇偶性正弦函数是一个奇函数，即f(x) = -f(-x)，在函数的图像中，关于y轴对称。
对于正弦函数而言，当x取负值时，对应的y值相反，图像关于y轴对称。
2. 余弦函数的奇偶性余弦函数是一个偶函数，即f(x) = f(-x)，在函数的图像中，关于y轴对称。
对于余弦函数而言，当x取负值时，对应的y值不变，图像关于y轴对称。
三、周期性与奇偶性在解题中的应用周期性和奇偶性是解三角函数问题时常常使用的重要工具，能够简化计算和推导的过程。
1. 利用周期性求解函数值对于三角函数而言，当我们得知函数在一个完整周期内的取值情况后，就可以通过周期性来求解其他区间内的函数值。
例如，已知正弦函数在[0，π/2]上的值是1/2，那么根据正弦函数的周期为2π，可以很容易地计算出正弦函数在[π/2，3π/2]、[3π/2，5π/2]等区间上的值。
2. 利用奇偶性简化计算在一些特定情况下，奇偶性可以帮助我们简化计算。
例如，已知某函数是奇函数，且已知在一个区间的取值情况，我们就可以利用奇偶性推导出其他区间内函数值的情况，而不需要进行繁琐的计算。
学习三角函数奇偶性应关注的几个问题
学习三角函数奇偶性应关注的几个问题函数的奇偶性是函数的重要性质，是高考考查的重要内容。
函数的奇偶性最典型的数学模型是三角函数的奇偶性，它能准确地描绘出函数奇偶性的特性，因此准确全面地掌握三角函数的奇偶性，对于深刻认识函数的性质具有重要意义。
1判断三角函数奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称根据函数奇偶性的定义，函数f(x)的定义域内任意一个x，都必须满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，即任意一个x，必有一个-x对应。
可见函数的奇偶性是一个整体性质，是对于整个定义域而言的。
函数具有奇偶性的一个必要条件是：其定义域关于原点对称，三角函数的奇偶性也不例外。
尽管如此，在研究三角函数的奇偶性时，考试们往往会忽略，因为三角函数的定义域不像其他初等函数那样一眼可以看出。
事实上，上例使用了约分化简的方法，化简过程中，约去时，没有检验其是否为零。
它也是函数化简后定义域的一个组成部分，但不属于原函数的定义域，可见原函数定义域不关于原点对称，所以还是为非奇非偶函数。
而化简过程不是恒等变形导致误判的根本原因。
因此判断函数奇偶性时，如果忘记判断定义域是否关于原点对称时，还可以检查约分过程中可能出现的不恒等现象，以及化简得到的最简结果的定义域的对称性作为补救措施。
2三角函数奇偶性的两个特殊性质1）f(0)=0是函数y=asin(ωx+φ)为奇函数的充要条件三角函数y=asin(ωx+φ)为奇函数，则由于f(0)有意义，图像必过原点，即满足f(0=0).反过来，因为f(x)=asin(ωx+φ)得图像是中心对称图形，若f(0)=0，原点必是对称中心，f(x)=asin(ωx+φ)的图像关于原点成中心对称。
所以y=asin(ωx+φ)为奇函数。
这一点与一般的初等函数有很大的区别，即对于一般的函数来讲，f(0)=0仅仅是函数为奇函数的必要不充分条件。
同理，对于函数y=atan(ωx+φ)，只要其中心(kπ-ω2,0)或(kπ-ω+π22,0)，(k∈z)中有一个落在原点处，该函数就是奇函数。
【word】 学习三角函数奇偶性应关注的几个问题
学习三角函数奇偶性应关注的几个问题《数学之友》2010年第24期解索学习三角函数奇偶性应关注的几个问题杨建柏(江苏省海头高级中学,222111)函数的奇偶性是函数的重要性质,是高考考查的重要内容.函数奇偶性最典型的数学模型是三角函数的奇偶性,它能准确地描绘出函数奇偶性的特性,因此帮助学生准确全面地掌握三角函数的奇偶性,对于其深刻认识函数的性质具有重要意义.1判断三角函数奇偶性,首先判断函数的定义域是否关于原点对称根据函数奇偶性的定义,函数_厂()的定义域内任意一个X,都必须满足-厂(一)=)或一)=一.厂(),即任意一个,必有一个一对应.可见函数的奇偶性是一个整体性质,是对于整个定义域而言的.函数具有奇偶性的一个必要条件是:其定义域关于原点对称,三角函数的奇偶性也不例外.尽管如 此,在研究三角函数的奇偶性时,考生们往往会忽略 定义域,因为三角函数的定义域不像其他基本初等 函数那样容易看出.例1判断函数/()=;的奇偶性.错解1:厂()==cos,,(一)=l—Sl似COS(一X)=COSX=),所以-厂()为偶函数.错解2一)==c.s,又厂()c0s(1一sinx)=—————■——一=COSX,l—Slnx即厂(一)=fl),所以)为偶函数.错因分析:解法中虽然得到了f(一)=-厂(),但是厂()的定义域为{l≠昔+2kTr,kEZ}不关于原点对称)为非奇非偶函数.事实上,上例使用了约分化简的方法,化简过程中,约去1一sinx时,没有检验其是否为零.它是函 数化简后定义域的一个组成部分,但不属于原函数 的定义域,可见原函数定义域不关于原点对称,所以 还是非奇非偶函数.而化简过程不是恒等变形是导致误判的根本原因.因此判断函数奇偶性时,如果忘记判断定义域是否关于原点对称,还可以检查约分过程中可能出 现的不恒等变化,以及化简得到的最简结果的定义 域的对称性作为补救措施.2三角函数奇偶性的两个特殊性质2.1/0)=0是函数),=Asin(+)为奇函数的充要条件三角函数Y=Asin(o)x+)为奇函数,由于厂(0)有意义,图像必过原点,即满足-厂(0)=0.反过来,因 为)=Asin(fOX+)的图像是中心对称图形,若0):0,原点必是对称中心,f()=Asin(+)的图像关于原点成中心对称.所以),=Asin(+)为奇函数.这一点与一般的初等函数有很大的区别, 即对于一般的函数来讲,f(0)=0仅仅是函数为奇函数的必要不充分条件.同理,对于函数Y=Atan(+),只要其中心(竺,.)或I,.ff:,.1,(∈z)中有一个落在原点处,该函数就是奇函数.值得注意的是正切函 数有2类对称中心,一个在图形上,一个在图形外. 例2将函数厂()=tan(2+寻)的图像平移后得到奇函数g()的图像,要使平移距离最近,则(A)向右平移詈单位(B)向左平移詈单位(c)向右平侈ql”半ta_(D)向左平移单位错解:将函数):tan2+寻)的图像向右平移詈后,得到g(x)=tan2x.故选A.错因分析:函数)=tan2+等)的图像有两类对称中心(一詈,o),(+,ff,o),(∈z).将距离原点最近的两个点(一詈,0),(下转第9l页) ?R9?《数学之友》2010年第24期错解:函数的单调增区间为[0,+O0).错误的原因在于没有考虑定义域,本题需考虑一11>0,即定义域为{I≤一1或≥1}给出的答案已经超过了定义域的范围,比如说=0时函数无 意义,所以说答案[0,+∞)是错误的.正解:先求定义域一1≥0,即函数的定义域为{I≤一1≥1}.令t=一1,因为￡=一1在[1,+∞)是增函数,函数g(￡)=也是增函数,所以由复合函数的单 调性可知函数,()=一1在[1,+∞)上单调递增,即函数的单调递增区间为[1,+∞).5定义域在求函数奇偶性中的作用判断函数的奇偶性,应先考虑函数的定义域是否关于坐标原点对称,如果定义域关于坐标原点对 称,那么该函数才有可能成为奇函数或偶函数,否则 该函数是非奇非偶函数.例5判断函数f(x)=一1,∈[0,3]的奇偶性错解:因为一)=(一)一1=一1=厂(),所以函数I厂()=一1,∈[0,3]为偶函数.此种解法没有考虑函数的定义域是否关于坐标原点对称,这是学生判断函数的奇偶性时很容易忽 略的一点,所以导致了解题的错误.正解:因为函数I厂()=一1,∈[0,3]的定义域为[0,3],不关于坐标原点成中心对称,所以此函 数为非奇非偶函数.(上接第89页)fqT,0l平移到坐标原点,分别得,1,至Ug()=tan2x和g()=一tan2x,而g()=一tan2x的对称中心是(0,0),也是奇函数,容易忽略. 正确答案是D.2.2.f(0)=±A是函数Y=Asin(+)为偶函数的充要条件三角函数Y=Asin(+)图像是轴对称图形,厂(0)=±A说明图像在与Y轴交点处取得最值,也 就是说Y轴是其一条对称轴,偶函数的图像是关于 Y轴对称的,所以三角函数Y=Asin(+)是偶函数.反过来,三角函数Y=Asin(+)是偶函数,函数图像在与Y轴交点处取得最值,即-厂(0)=±A. 3三角函数奇偶性在计算中的应用y,J3已知函数)=(ER)最6定义域在求函数周期中的作用函数的周期性是指:对于函数Y=厂(),如果存在 —个不为零的常数T,使得取定义域内的每一个值时 +T)=)都成立,那么就把函数Y=,()叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.在定义中也强调了”取定义域内的每一个值”,所以在考虑函数的周期性时一定要考虑函数 的定义域.例6下列关于函数)=sin2x,∈[0,lOw]的说法中正确的序号是.(1)函数.厂():sin2x,∈[0,10w]的值域为[一1,1];(2)函数/()=sin2x,∈[0,10~r]是奇函数;(3)函数)=sin2x,∈[0,l0叮T]的最小正周期为叮r;(4)函数)=sin2x,E[0,l01T]的单调增区间为l0,等1.L厶J正确的答案应该是(1).其中(3)是错误的,因为函数的定义域为[0,1O耵],所以函数根本不存在周期性.综上所述,在求函数解析式,最值,值域,单调性,奇偶性,周期性等问题中,都需要先考虑函数的定义域.这种训练能够帮助学生完善思维的严谨性, 进而提高其学习水平.≯\pppp≯大值为,最小值为m,则+m=.分析:奇函数的图像关于原点对称,显然其最大值与最小值互为相反数,本题可以考虑利用这一性质.解)=1+,m≤+≤,m一1≤≤一1.而函数g():为奇函数,最大值为M一1,最小值为m一1,满足M一1+m 一1:0,即+m=2.总之,三角函数的奇偶性与其他函数的奇偶性在概念上是一致的,都要求定义域关于原点对称.不同的是三角函数本身是中心对称图形,正余弦函数 还同时是轴对称图形.因而判断三角函数的奇偶性 有自己独特的方法.即只需对称中心落在原点便是 奇函数,最高点或最低点在Y轴上便是偶函数. ?91?。
学习三角函数奇偶性应关注的几个问题
函数 的奇偶 性 ， 它能 准 确地 描 绘 出 函数奇 偶 性 的特
性， 因此 帮 助学生 准 确 全 面地 掌 握 三角 函数 的 奇 偶 性 ， 于其 深 刻认 识 函数 的性质 具有 重要 意义． 对
案 已经超过 了定 义域 的范 围 ， 比如说 ＝ ０时 函数无
个不为零的常数 Ｔ使得 取定义域内的每一个值时 ， ＋Ｔ ） ）＝ 都成 立 ， 么就把 函数 Ｙ＝ （ 叫做周 那 ， ）
２ 三 角 函数 奇 偶 性 的 两个 特 殊 性 质
１ 判断三角 函数奇偶性 ， 首先判 断 函数 的定
义 域 是 否 关 于 原 点 对 称
根 据 函数奇 偶性 的定 义 ， 函数 ＿ ） 定 义域 内 厂 的 （ 任意一 个 Ｘ 都 必须满 足 － ）＝ ， 厂 （一 ） 或 一 ）＝
偶性．
（竺 Ｉ ，，ｚ有 落 ， ．（）一 。 ｆ 中个 ） ：∈ 或 ， 。 １
在原 点处 ， 函数就是 奇 函数． 该 值得 注意 的是正 切 函 数有 ２类 对称 中心 ， 个在 图形 上 ， 一 一个在 图形外 ．
错解 １厂 ）＝ ：（
ｌ — Ｓｌ 似
＝ｃｓ，（一 ｏ ， ）＝
例 １ 判 断 函数 ／（ ）＝ ； 的 奇
为奇 函数． 这一 点与一般 的初 等 函数 有很 大 的区别 ，
即对 于一般 的函数 来 讲 ，（ ｆ ０）＝０仅 仅是 函数 为 奇 函数 的必要 不充 分条件． 同理 ， 对于 函数 Ｙ＝Ａａ （ ＋ ） 只要 其 中 心 ｔ ， ｎ
但是厂 的定义域为｛ ≠ ２Ｔｋ 不关 （） ｌ 昔＋ ｋ ，Ｅ ｒ Ｚ｝
六种三角函数性质
六种三角函数性质、公式三角函数包括。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时y max=1x=2kπ-2π时y min=-1［-1,1］x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数在(kπ-2π，在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)y=secx的性质：(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；（6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；(7) 正割函数是无界函数；（8）正割函数的导数：（secx）′=secx×tarx；（9正割函数的不定积分：∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+Cy=cscx的性1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}2、值域：{y|y≤-1或y≥1}3、奇偶性：奇函数4、周期性：最小正周期为2π5、图像：图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z 余割函数与正弦函数互为倒数第一部分三角函数公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)=sinα/(1-cosα) ·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinαsec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot21+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2。
三角函数的周期性、奇偶性、对称性-高考数学复习
π
直线 x ＝ 对称，则函数 g ( x )＝
6
sin x ＋ a cos x 的图象(
C )
(1)因为函数 f ( x )＝ a sin x ＋ cos x ( a 为常数， x ∈R)的图象关于直线 x
π
π
＝ 对称，所以 f (0)＝ f
6
3
＝ sin x ＋
3
2 3
cos x ＝
sin
3
3
，所以1＝
π
＝ k π， k ∈Z，即φ＝ k π－ ， k ∈Z.
4
π
＋＋
4
π
为奇函数，所以φ＋
4
因此，选项D正确.
3.
π
(2024·河北衡水模拟)已知 x 0＝ 是函数 f ( x )＝
6
cos
π
2
− 3 cos φ＋
cos 3 x sin φ的一个极小值点，则 f ( x )的一个单调递增区间是(
＋
则f
π
−
4
＝－ 2 sin 2 −
π
4
＝ 2 cos 2 x ，为偶函数，A正确.
π
π
令2 x ＝ ＋ k π， k ∈Z，则 x ＝ ＋ π， k ∈Z，
2
4
2
π
即 f ( x )的对称轴为 x ＝ ＋ π， k ∈Z，B错误.
4
2
因为 x ∈
π
π
，
3
2
，所以2 x ∈
所以 f ( x )单调递增，C正确.
(1)(2024·江苏苏州模拟)已知函数 f ( x )＝ cos (π－ x )－ cos
C. π
数学三角函数奇变偶不变
数学三角函数奇变偶不变
在数学中，三角函数指的是用来描述三角形的函数。
常用的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数在不同的区间内都有着独特的性质。
•奇变：当一个函数在区间内部奇偶性发生改变时，我们称这个函数为“奇变”。
例如，当x∈(-π,π)时，正弦函数的值在区间内部奇偶性不变，但是当x∈(-2π,2π)时，正弦函数的值在区间内部奇偶性发生改变。
因此，正弦函数是奇变函数。
•偶不变：当一个函数在区间内部奇偶性不变时，我们称这个函数为“偶不变”。
例如，当x∈(-π,π)时，余弦函数的值在区间内部奇偶性不变。
因此，余弦函数是偶不变函数。