江苏省高考数学二轮复习微专题3平面向量问题的基底法和坐标法

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苏教版高三数学复习课件4.2 向量的坐标表示

【知识拓展】
线段的定比分点如果点P满足，点P叫做有向线段的定比分
点．当P1、P2的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)且λ≠－1时，则P的坐标(x，y) 可由下面的公式求
出
这个公式叫做线段的定比分点公式．
1．平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理

定理：如果e1，e2是同一平面内的两个
整理得，k＝ ∴kmax＝
，当且仅当t＝，即t＝1时取等号，
(2)假设存在正实数k，t，使x∥y，则
化简得
＝0，即t3＋t＋k＝0.
(2)因为k、t为正实数，故不存在正数k使上式成立，从而不存在k、t，使 x∥y.,
【状元笔记】
向量的模与数量积．向量的模与数量积之间有关系式|a|2＝a2＝a· a，这是一个简单而重要但又容易用错的地方，由这个关系还可以得到如
也为
点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法．解题时要注
意共线向
量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造
函数和方

【例3】向量
＝(k,12)，
＝(4,5)，
＝(10，k)，
当k为何值时，A、B、C三点共线．

思路点拨：根据向量共线的充要条件，若A、B、C三点共线，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
【规律方法总结】
1．向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向
量的基本定理是平面向量坐标表示的基础．
2．利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过程大致为： (1)适当选择基底(两个彼此不共线向量)； (2)用基底显示几何问题的条件和结论； (3)利用共线向量的充要条件、向量垂直的充要条件，通过向量的运算解决平行、

解答平面向量数量积问题的三种途径

思路探寻2考点透视= OA ∙ AB + CA2= OA ∙()AO + OB + CA 2= CA 2- OA 2+ OA ∙ OB = CA 2- OA 2= CA 2-1,当CA =2时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值为3.首先根据三角形和外接圆的特点选择 OA 、OB 作为基底，并结合已知条件求出基底 OA 、OB 的数量积；然后用基底 OA 、 OB 表示出 OC 、 AB 、 CA 、CB，并根据向量的数量积公式求解.图3图4例3.如图4，在等腰直角△ABC 中，AC =2,点M 为线段AB 上的动点(包含端点)，点D 为AC 的中点，将AC 绕点D 旋转到EF ，则 ME ∙MF 的最小值为_____.解：连接MD ，则 ME ∙ MF =() MD + DE ∙()MD + ED =||MD 2-|| DE 2,当MD ⊥AB 时，MD 最小，即||MDmin=，由|| DE 2=1，可得 ME ∙ MF 最小值为-12.解答本题，需以 MD 、DE 为基底，并用基底表示出平面向量 ME 、MF ，将问题转化为求|| MD min.再结合图形的特点，确定|| MD 取最小值时的情形，即可解题.三、利用投影法运用投影法求解平面向量数量积问题，需根据平面向量数量积的几何意义，构造出相应的几何图形，通过研究几何图形中的垂直、平行等关系，确定向量投影之间的关系，从而求得平面向量的数量积.运用投影法解题，需熟练掌握并运用向量数量积的几何意义、模长公式、余弦函数的性质.例4.若在菱形ABCD 中，AC =4,则 CA ∙AB =______.解：如图5所示，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AO =AC =4，且AC ⊥BO ，∴||AB cos ∠CAB =AO =2，∴CA ∙ AB =-|| AC ∙|| AB cos ∠CAB =-8.根据题意画出图形，通过观察图形，可以确定AB在CA 方向上的投影即为|| A O ，于是连接BD ，根据菱形的性质：对角线互相垂直，构造出直角三角形，即可通过解直角三角形求出投影||A O 的长度，从而利用射影法求得 CA ∙AB 数量积的大小.图5图6例5.在△ABC 中，∠ABC =π3,点O 是△ABC 的外心， BA ∙ BO =2, BC ∙ BO =4,则 BA ∙ BC =______.解：如图6所示，设AB ，BC 中点分别为D ，E ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ,由 BA ∙BO =2，可得|| BA ∙|| BO cos ∠OBD =12||BA ∙|| BA =2，故||BA =2，由 BC ∙BO =4，可得|| BC ∙|| BO cos ∠OBE =12|| BC ∙|| BC =4,故||BC =22,所以 BA ∙ BC =|| BA ∙||BC cos ∠ABC =22.要求 BA 、 BC 的数量积，需求出向量 BA 、BC 的模长，于是根据 BO 及其在 BA 、BC 上的投影关系，分别求得|| BA 、||BC 的大小，就能根据射影法顺利求出目标向量数量积的大小.相比较而言，坐标法比较常用，且解题过程较为简单；射影法比较灵活，但通常很难想到.无论运用哪种方法，都需熟练掌握并运用平面向量的数量积公式及其几何意义、向量运算法则及其几何意义，根据已知条件和解题需求，选用合适的方法进行求解.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）50。

【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题三第3讲平面向量(含答案解析)

第 3讲平面向量1． (2016 课·标全国丙改编→1，3→31，则∠ ABC＝ ________. )已知向量 BA＝22， BC＝，22答案30°分析→→∵ |BA|＝ 1， |BC|＝ 1，→ →3BA·BC＝，∴∠ ABC ＝ 30°.cos∠ ABC＝→→2|BA|·|BC|12． (2016 ·东改编山 )已知非零向量m，n 知足 4|m|＝ 3|n|，cos〈 m， n〉＝3.若 n⊥ (tm＋ n)，则实数 t 的值为 ______．答案－ 4分析∵ n⊥ (tm＋ n)，∴ n·(tm＋n)＝0，即 t·m·n＋ n2＝ 0，∴ t|m||n|cos〈 m， n〉＋ |n|2＝0，由3212已知得 t×|n| ×＋ |n| ＝ 0，解得 t＝－ 4.433． (2016 天·津改编 )已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延伸到点F，使得 DE＝→ →2EF ，则 AF ·BC的值为 ________．答案1 8分析→→→如下图， AF ＝AD ＋DF .又 D， E 分别为 AB， BC 的中点，→1→且 DE＝ 2EF，因此 AD＝2AB，→＝→＋→＝→＋1→DF DE EF DE2DE3→ 3→＝2DE ＝4AC，→1→ 3 →→→ →因此 AF＝2AB＋4AC.又 BC＝ AC－AB，→ →1→3→→ →则 AF·BC＝AB＋AC ·(AC－ AB)241→ →1→ 2 3 →2 3 → →＝AB·AC－AB＋AC － AC·AB 2244→ 2 1→21→→＝ 4AC － 2AB －4AC ·AB.3→ →又 |AB|＝ |AC|＝ 1，∠ BAC ＝ 60°，→ → 3 1 1 1 1故AF ·BC ＝－－ ×1×1× ＝ .4 2 4 2 84． (2016 ·江浙 )已知向量a ，b ， |a|＝ 1，|b|＝ 2.若对随意单位向量 e ，均有 |a ·e|＋ |b ·e| ≤6，则a ·b 的最大值是 ________．答案12分析由已知可得：6≥|a ·e|＋ |b ·e| ≥|a ·e ＋ b ·e|＝ |(a ＋ b) ·e|，因为上式对随意单位向量e 都成立．∴ 6≥|a ＋ b|成立．∴ 6≥(a ＋ b) 2＝ a 2＋ b 2＋ 2a ·b ＝ 12＋ 22＋ 2a ·b.1即 6≥5＋ 2a ·b ，∴ a ·b ≤2.1.考察平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考察，多为填空题，难度中低档 .2.考察平面向量的数目积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、分析几何联合，以解答题形式出现.热门一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要依据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不可以盲目转变．2．在用三角形加法法例时，要保证 “首尾相接 ”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法例时，要保证 “同起点 ”，结果向量的方向是指向被减向量．例 1π(1) 设 0<θ< ，向量 a ＝ (sin 2θ， cos θ)， b ＝ (cos θ， 1)，若 a ∥ b ，则 tan θ＝ ______.2→ → → →(2) 如图，在 △ ABC 中，已知 BD ＝ 2DC ，以向量 AB ，向量 AC 作为基底，→则向量 AD 可表示为 ____________．答案 (1)1 (2)1 →＋ 2 →2 3AB 3AC 分析(1)因为 a ∥ b ，因此 sin 2θ＝ cos 2θ，即 2sin θcos θ＝cos 2θ.π 因为 0<θ< ，因此 cos θ>0，21得 2sin θ＝ cos θ，tan θ＝ 2.(2) 依据平面向量的运算法例及已知图形可知→2 →AB ＋3AC .→→→→ 2 → → 2 → → 1AD ＝AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＝AB ＋ (BA ＋ AC)＝333思想升华(1) 关于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形联合，联合图形剖析向量间的关系．追踪操练 1(1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC的一个三平分点，那么以向量 → → →AB 和向量 AD 为基底，向量 EF 可表示为__________ ．→→ →(2) 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AE ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ ＋ μ的值为 ________．答案(1)1→ － 2 →(2)12AB 3AD2分析→ → → (1)在 △ CEF 中，有 EF ＝ EC ＋CF .→ 1 →因为点 E 为 DC 的中点，因此 EC ＝ DC .2因为点 F 为 BC 的一个三平分点，因此→ 2 →CF ＝CB.3→ 1→ 2→ 1→ 2→ 1→2→因此 EF ＝ 2DC ＋3CB ＝2AB ＋3DA ＝ 2AB － 3AD.(2)→ → → 1 →1 → → 1 → →→ 1 → 因为 E 为 DC 的中点，因此 AC ＝ AB ＋ AD ＝ AB ＋AB ＋ AD ＝AB ＋ AE ，即 AE ＝－AB ＋2222→ AC ，1 1因此 λ＝－， μ＝1，因此 λ＋ μ＝ .22热门二平面向量的数目积1．数目积的定义： a ·b ＝ |a||b|cos θ.2．三个结论(1) 若 a ＝ (x ， y)，则 |a|＝ a ·a ＝ x 2＋ y 2.(2) 若 A(x 1，y 1)， B( x 2， y 2)，则→ 2 2 .|AB|＝ (x 2－ x 1 ) ＋ (y 2－ y 1 )(3)若 a＝ (x1，y1)， b＝ ( x2，y2 )，θ为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝a·b＝x1x2＋ y1y2|a||b|x12＋ y12x22＋ y22.例 2(1)如图，在矩形ABCD 中， AB＝2， BC＝ 2，点 E 为 BC 的中点，点 F在边→ →＝→ →CD 上，若 AB·AF2，则 AE ·BF的值是 ________．(2) 若 b＝cos π， cos5π，|a|＝ 2|b|，且 (3a＋b) ·b＝－ 2，则向量 a，b 的夹角1212为 ________．答案(1) 2 (2)5π6分析(1)以 A 为原点，成立如下图的坐标系，可得 A(0,0)，B(2， 0)， E(2， 1)， F(x,2)，→→∴ AB＝ ( 2，0) ，AF＝ (x,2)，→ →2x＝2，∴ AB·AF＝解得 x＝ 1，∴ F(1,2)．→→∴ AE＝ ( 2，1)，BF＝ (1－ 2， 2)，→ →∴ AE·BF＝ 2×(1－ 2)＋ 1×2＝ 2.22π25π 2 π 2 π(2) b＝ cos＋cos12＝cos＋ sin＝ 1，121212因此 |b|＝ 1，|a|＝ 2.由 (3a＋b) ·b＝－ 2，可得3a·b＋ b2＝－ 2，故 a·b＝－3，故 cos〈 a， b〉＝a·b＝－ 33＝－|a||b|2×1 2.5π又〈 a， b〉∈ [0，π]，因此〈 a， b〉＝6 .思想升华(1) 数目积的计算往常有三种方法：数目积的定义，坐标运算，数目积的几何意义；(2) 能够利用数目积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．追踪操练 2 (1)已知点 A，B，C，D 在边长为 1 的方格点图的地点如下图，→ →则向量 AD在AB方向上的投影为 ________．(2) 如图，在△ ABC 中，AB＝ AC＝ 3，cos∠ BAC＝1→→→ →3，DC＝ 2BD，则 AD·BC的值为 ________．答案(1)－5(2)－ 2 5分析(1)不如以点 A 为坐标原点，成立如下图的平面直角坐标系，易得→→AD ＝ (－ 2,3)，AB→ →→ →－ 25 AD ·AB＝ (4,2) ，因此向量 AD 在 AB方向上的投影为→＝2 5＝－ 5.|AB |→→→→→→2→ →(2) AD·BC＝ (AC＋ CD ) ·BC＝ (AC＋CB) ·BC3→2→→→2→1→→→＝[AC＋3(AB －AC)] BC·＝ ( 3AB ＋3AC) ·(AC－ AB)2 →2 1 → → 1 →2＝－3|AB|＋3AB·AC＋3|AC|＝－6＋ 1＋3＝－ 2.热门三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，拥有代数形式和几何形式的“两重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，经过向量运算作为题目条件．例 3已知函数 f(x)＝ 2cos2x＋ 23sin xcos x(x∈ R)．π(1)当 x∈[0，2)时，求函数 f( x)的单一递加区间；(2)设△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a， b，c，且 c＝3， f( C)＝ 2，若向量 m＝ (1， sin A)与向量 n＝ (2， sin B)共线，求 a， b 的值．解π (1)f(x)＝ 2cos 2x ＋ 3sin 2x ＝ cos 2x ＋ 3sin 2x ＋ 1＝2sin(2 x ＋ ) ＋1，6π π π 令－＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，26 2π π解得 k π－≤x ≤k π＋， k ∈ Z ，36π因为 x ∈ [0， 2) ，π因此 f( x)的单一递加区间为 [0，6] ．π(2) 由 f(C)＝ 2sin(2C ＋6)＋ 1＝ 2，π 1得 sin(2C ＋ 6)＝ 2，π π 13 π而 C ∈(0 ，π)，因此 2C ＋ 6∈( 6， 6 )， π 5 π因此 2C ＋＝6π，解得 C ＝ 3.6因为向量 m ＝ (1，sin A)与向量 n ＝(2 ，sin B)共线，因此sin A 1sin B＝ .2由正弦定理得 a ＝ 1，①b 2由余弦定理得π c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos，3即 a 2＋ b 2－ ab ＝9.②联立①②，解得 a ＝ 3，b ＝ 2 3.思想升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面能够利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只需依据题目的详细要求，在向量和三角函数之间成立起联系，就能够依据向量或者三角函数的知识解决问题．追踪操练 3已知 △ABC 是锐角三角形，向量m ＝ cos A ＋ π，3π， n ＝ cos B ， sin B ，且 m ⊥ n.sin A ＋3 ( )(1) 求 A －B 的值；3(2) 若 cos B ＝ 5，AC ＝8，求 BC 的长．解(1)因为 m ⊥ n ，π π因此 m ·n ＝ coscos B ＋sin A ＋ 3 sin BA ＋ 3 π＝ cos A ＋3－ B ＝0，π又 A ，B ∈ 0，2 ，因此ππ 5πA ＋－B ∈ －，，3 6 6 因此 π ππA ＋－B ＝，即 A － B ＝ .3 263π4(2) 因为 cos B ＝5， B ∈ 0，2 ，因此 sin B ＝ 5，因此 sin A ＝ sin π ππ ＝ sin Bcos ＋ cos Bsin 6B ＋664 3 3 1 4 3＋ 3＝ · ＋ ·＝，52 5 2104 3＋3由正弦定理，得BC ＝ sin A10 ×8＝ 4 3＋ 3.4sin B·AC ＝5→ 1 →1．如图，在 △ ABC 中， AD ＝ 3AB ， DE ∥ BC 交AC 于E ， BC边上的中线AM交DE于，设 → ＝， → ＝，用ABaACb N，表示向量ab→ →AN ，则 AN＝ ____________.押题依照平面向量基本定理是向量表示的基本依照，而向量表示 (用基底或坐标 )是向量应用的基础．1答案6(a ＋ b)分析因为 DE ∥ BC ，因此 DN ∥ BM ，则 △ AND ∽△ AMB ，因此 AM AN ＝ ADAB .→1 →→1 →因为 AD ＝ 3AB ，因此 AN ＝ 3AM . 因为 M 为 BC 的中点，→ 1 → → 1 因此 AM ＝ (AB ＋AC)＝(a ＋ b)，22→ 1 →1因此 AN ＝AM ＝ (a ＋ b)．362．如图，BC 、DE 是半径为 →→ → →1 的圆 O 的两条直径， BF ＝ 2FO ，则 FD ·FE＝ ________.押题依照数目积是平面向量最重要的观点，平面向量数目积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的联合是向量考察的常有形式．答案－89分析→→→1，∵BF ＝2FO ，圆 O 的半径为 1，∴ |FO |＝3→→→→→→→2→→→→→1 2 8 ∴ FD ·FE ＝ (FO ＋ OD) ·(FO ＋ OE)＝ FO ＋ FO ·(OE ＋ OD)＋ OD ·OE ＝ ( ) ＋ 0－ 1＝－ .39→ →120°sin 208 )°，则 △ABC3．在 △ABC 中，AB ＝(cos 32 °，cos 58 °)，BC ＝ (sin 60 sin ° 118 ，°sin 的面积为 ________．押题依照平面向量作为数学解题工具，经过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热门．答案38分析→ 2 2°|AB|＝ cos 32 °＋ cos 58＝ cos 232°＋ sin 232°＝1，→33，BC ＝2 cos 28 ，°－ 2 sin 28°→323 23 因此 |BC|＝＋－2 sin 28 ＝2.2 cos 28 °°→ →33 °则 AB ·BC ＝ cos 32 °×2cos 28－°sin 32 ×° sin 2823＝2 (cos 32 cos ° 28 －°sin 32 sin ° 28 ) °＝333，2 cos(32 ＋°28°)＝ 2cos 60 ＝° 4→ →3 → →4 1AB ·BC ＝ . 故 cos 〈 AB ， BC 〉＝ →→ ＝ 3 2 |AB| ×|BC| 1×2→ → °， 180°]，因此〈 → →又〈 AB ， BC 〉∈ [0 AB ， BC 〉＝ 60°，→ →故 B ＝ 180°－〈 AB ， BC 〉＝ 180°－ 60°＝ 120°.故 △ ABC 的面积为1 →S ＝ 2×|AB|→×|BC|sin B1 3 ＝ ×1××sin221203 ＝° .84．如图，在半径为1 的扇形 AOB中，∠ AOB ＝60°，C为弧上的动点， AB 与OC交于点P ，→ →则 OP ·BP 的最小值是 _______________________________________ ．押题依照此题将向量与平面几何、最值问题等有机联合，表现了高考在知识交汇点命题的方向，此题解法灵巧，难度适中．答案－116分析→ → →→→→→→→→→2 ＝ 60 °，因为 OP ＝ OB ＋ BP ，因此 OP ·BP ＝ (OB ＋ BP) ·BP ＝OB ·BP ＋ BP .又因为∠ AOB OA ＝ OB ，因此∠ OBA ＝ 60°， OB ＝ → → →1 → →→1→→21.因此 OB ·BP ＝ |BP |cos 120＝°－|BP|，因此 OP ·BP ＝－ |BP|＋ |BP|22→1 2 11→1 → →1＝ (|BP|－ )－≥－，当且仅当 |BP|＝时， OP ·BP 获得最小值－.4 16 16416A 组专题通关1．在 △ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若→ →→ 1 →→AD ＝ 2DB， CD ＝ CA ＋ λCB ，则 λ＝ ________.3答案23分析在 △ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，→→ →1→→→→→→ 2 → → 2 → → 1 → 2 → ∵ AD ＝ 2DB ，CD ＝ CA ＋ λCB ，∴ CD ＝ CA ＋ AD ＝ CA ＋ AB ＝ CA ＋3 (CB － CA)＝ CA ＋ CB ，3333∴ λ＝ 2.32． △ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量→ →a ，b 知足 AB ＝ 2a ， AC ＝ 2a ＋ b ，则以下结论正确的选项是 ________．① |b|＝ 1; ② a ⊥ b ；→③ a ·b ＝ 1; ④ (4a ＋ b)⊥BC.答案 ④分析→ → →在 △ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝ 2a ＋ b － 2a ＝ b ，得 |b|＝ 2.又 |a|＝ 1，因此 a ·b ＝ |a||b|cos 120 ＝°－ 1，→ 2因此 (4a ＋ b) ·BC ＝ (4a ＋ b) ·b ＝ 4a ·b ＋ |b|＝ 4×(－ 1)＋ 4＝ 0，→因此 (4a ＋ b)⊥ BC.→ → → → → →3．在等腰 △ ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝ 2，BC ＝ 2BD ，AC ＝ 3AE ，则 AD ·BE ＝ ________.答案－43分析由已知获得→ → 1→→→1 →1 →2 1 → → 1 → → 1 → 2，AD ·BE ＝(AB ＋ AC) ·(BA ＋ AC) ＝－2AB ＋ AB ·AC ＋2 AC ·BA ＋ AC2366→ → 1212△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC ＝ 90 °， AB ＝ AC ＝2，因此 AD ·BE ＝－ 2×2 ＋ 0＋0＋ 6×24＝－ 3.4． (2016 ·津蓟县期中天 )已知向量 a ， b 知足 (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1， |b|＝ 2，则 a与 b 的夹角为 ________．答案π 3分析设 a 与 b 的夹角为θ，∵ (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1，|b|＝ 2，∴ 1＋a ·b － 8＝－ 6，∴ a ·b ＝ 1＝|a||b |cos θ，∴ cos θ＝ 1，2π又∵ θ∈ [0，π]，∴ θ＝3.5． (2016 安·徽江淮十校第二次联考 )已知平面向量 a 、b(a ≠0， a ≠b)知足 |a|＝ 3，且 b 与 b － a 的夹角为 30°，则 |b|的最大值为 ________．答案 6分析→ → → → →令OA ＝ a ， OB ＝ b ，则 b － a ＝ OB －OA ＝AB ，如图，∵ b 与 b － a 的夹角为 30°，∴∠ OBA ＝30°，→→→→，∴由正弦定理|OA| ＝ |OB|得， ∵ |a| ＝ |OA |＝ 3 sin ∠ OBA sin ∠ OAB |b|＝ | OB | ＝6·sin ∠ OAB ≤ 6.6．已知向量 a ＝ (2,1)，b ＝ (－ 1， 2)，若 a ， b 在向量 c 方向上的投影相等，且 (c － a) ·(c － b) ＝－ 5，则向量 c 的坐标为 ________．21 3答案 (2，2)分析设 c ＝ (x ， y)，依据题意有x 2＋ y 2－ x － 3y ＝－ 5，22x ＋ y ＝－ x ＋ 2y ，1，x ＝ 2解得3y ＝ 2.→→ → 7．设向量 OA ＝ (5＋ cos θ，4＋ sin θ)， OB ＝ (2,0) ，则 |AB|的取值范围是 ________．答案[4,6]分析→ → →＝ (－ 3－ cos θ，－ 4－ sin θ)，∵AB ＝OB －OA → 2 2 2 ∴ |AB| ＝ (－ 3－cos θ) ＋( －4－ sin θ)＝ 6cos θ＋ 8sin θ＋26＝ 10sin(θ＋ φ)＋ 26，此中 tan φ＝ 3，4→ 2 →∴ 16≤|AB | ≤ 36，∴ 4≤|AB| ≤ 6.8．设向量 a ＝ (a 1， a 2)， b ＝ (b 1， b 2)，定义一种向量积 a?b ＝ (a 1b 1， a 2b 2)，已知向量 m ＝(2 ， 1 π →2)，n ＝ (，0)，点 P(x ，y)在 y ＝ sin x 的图象上运动， Q 是函数 y ＝ f(x)图象上的点，且知足 OQ3→为坐标原点 )，则函数 y ＝ f( x)的值域是 ________．＝ m?OP ＋ n(此中 O1 1 答案 [－ 2， 2]分析令 Q(c ，d)，由新的运算可得→ →1 π π 1sin x)， OQ ＝ m?OP ＋ n ＝(2x ，sin x)＋ ( ， 0)＝ (2x ＋，233 2π， 11∴c ＝2x ＋ 3π1消去 x 得 d ＝sin( c － )，22 6d ＝ 2sin x ，1 1π1 1] ．∴ y ＝ f( x)＝ sin(x －)，易知 y ＝ f(x)的值域是 [－，2262 2π9．设向量 a ＝ ( 3sin x ， sin x)， b ＝(cos x ，sin x)， x ∈ [0， 2]．(1) 若 |a|＝ |b|，求 x 的值；(2) 设函数 f(x)＝ a ·b ，求 f(x)的最大值．解(1)由 |a|2＝ ( 3sin x)2＋ (sin x)2＝ 4sin 2x ，222＝ 1，|b| ＝(cos x) ＋ (sin x) 及 |a|＝ |b|，得 4sin 2x ＝ 1.π1π又 x ∈ [0， ]，进而 sin x ＝，因此 x ＝ .22 62(2) f(x)＝ a ·b ＝ 3sin x ·cos x ＋ sin x＝3 1 1π 1，2sin 2x － cos 2x ＋＝ sin(2x － )＋ 2262π π π1，当 x ＝ ∈ [0， ] 时， sin(2 x －)取最大值326因此 f( x)的最大值为32.10．已知向量 a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos x ， sin x)， c ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)，此中 0<α<x<π.π(1) 若 α＝4，求函数 f(x)＝ b ·c 的最小值及相应 x 的值；π (2) 若 a 与 b 的夹角为，且 a ⊥ c ，求 tan 2α的值．3解 (1)∵ b ＝ (cos x ， sin x)，πc ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)， α＝ 4，∴ f(x)＝ b ·c＝ cos xsin x ＋ 2cos xsin α＋sin xcos x ＋2sin xcos α＝ 2sin xcos x ＋ 2(sin x ＋ cos x)．π令 t ＝ sin x ＋cos x 4<x<π ，则 2sin xcos x ＝ t 2 －1，且－ 1<t< 2.则 y ＝ t 2＋ 2t － 1＝ t ＋2 2－3，－ 1<t< 2，2 2∴ t ＝－ 2时， y min ＝－3，此时 sin x ＋ cos x ＝－ 2， 2 2 2 即 2sin x ＋ π＝－ 2，42π π π 5π，∵ <x<π，∴ <x ＋ <424 4 π 7 11π∴ x ＋＝ π，∴ x ＝12 .46∴函数 f(x)的最小值为－ 3，相应 x 的值为 11π2 12.π(2) ∵ a 与 b 的夹角为，3π a ·b∴ cos＝＝ cos αcos x ＋ sin αsin x3 |a| ·|b|＝ cos(x － α)．π∵ 0< α<x<π，∴ 0<x － α<π，∴ x － α＝3.∵ a ⊥ c ，∴ cos α(sin x ＋ 2sin α)＋ sin α(cos x ＋ 2cos α)＝ 0，π∴ sin(x ＋ α)＋ 2sin 2α＝ 0，即 sin 2α＋3 ＋ 2sin 2α＝ 0.5 sin 2α＋ 3 3. ∴ 2cos 2α＝0，∴ tan 2α＝－52B 组能力提升11．已知非零单位向量a 与非零向量b 知足 |a ＋b|＝ |a － b|，则向量 b － a 在向量 a 上的投影为 ________．答案－1分析因为 |a ＋ b|＝ |a － b|，因此 (a ＋ b)2＝ (a － b)2，2解得 a ·b ＝ 0，因此向量 b － a 在向量 a 上的投影为 |b － a|cos 〈 a ， b － a 〉＝a ·(b －a)＝0－|a||a||a|＝－ |a|＝－ 1.→ → →AB AC12．已知点 P 为 △ ABC 所在平面内一点，且知足 AP ＝ λ( → ＋ →)(λ∈ R)，则直线 |AB|cos B |AC|cos CAP 必经过 △ ABC 的 ________心．答案垂→ → →AB AC分析 ∵BC ·( → ＋ → )|AB|cos B |AC|cos C→ →＝－ |BC|＋ |BC|＝ 0，→ → →AB AC∴ BC 与 λ( → ＋ →)垂直，|AB|cos B |AC|cos C→ →AP 经过 △ABC 的垂心．∴ AP ⊥ BC ，∴点 P 在 BC 的高线上，即直线13．若 a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，若〈 a ，b 〉为钝角，则实数 λ的取值范围是 ______________．答案3 (－ ∞，－ 3)∪( －3，－ )2分析3 ∵ a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，∴ a ·b ＝ 3(2＋ λ)＋ λ<0，得 λ<－ .若 a ，b 共线，则 λ(2＋ λ)2－ 3＝ 0，解得λ＝－ 3 或λ＝1.即当λ＝－ 3 时， a， b 方向相反，3又〈 a， b〉为钝角，则λ<－且λ≠－ 3.14．在直角坐标系xOy 中，已知点A(1,1)， B(2,3)， C(3,2) ，点 P(x， y)在△ABC 三边围成的地区 (含界限 )上．→→→→(1) 若 PA＋PB ＋ PC＝ 0，求 |OP|；→→→(2) 设 OP＝mAB＋ nAC(m， n∈ R)，用 x， y 表示 m－n，并求 m－n 的最大值．解 (1)方法一→ →→∵ PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→又 PA＋ PB＋ PC＝ (1－ x,1－ y)＋ (2－x,3－ y)＋ (3－ x,2－ y)＝(6 －3x,6－ 3y)，6－ 3x＝ 0，x＝2，∴解得6－ 3y＝ 0，y＝2，→→即 OP＝ (2,2)，故 |OP|＝ 2 2.方法二→→→∵PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→→→→则 (OA－ OP)＋(OB －OP) ＋(OC－OP) ＝0，→1→→→→2.∴ OP＝3(OA＋ OB＋ OC)＝(2,2)，∴ |OP|＝ 2→→→(2) ∵ OP＝mAB＋ nAC，x＝ m＋2n，∴ (x， y)＝ (m＋ 2n， 2m＋ n)，∴y＝ 2m＋ n，两式相减得， m－ n＝ y－ x.令 y－x＝ t，由图知，当直线y＝ x＋t 过点B(2,3) 时， t 获得最大值 1，故 m－ n 的最大值为1.。

江苏省大港中学高三数学总复习教案：平面向量平面向量的数量积的坐标表示 Word版含解析

第十三教时教材：平面向量的数量积的坐标表示目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

过程：一、复习：1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示2．平面向量数量积的运算3．两平面向量垂直的充要条件4．两向量共线的坐标表示：二、课题：平面两向量数量积的坐标表示1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ⋅i = 1，j ⋅j = 1，i ⋅j = j ⋅i = 02．推导坐标公式：∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j∴a ⋅b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ⋅j + x 2y 1i ⋅j + y 1y 2j 2= x 1x 2 + y 1y 2从而获得公式：a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 2例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：a ⋅b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -23．长度、角度、垂直的坐标表示1︒a = (x , y ) ⇒ |a|2 = x 2 + y 2 ⇒ |a | =22y x +2︒若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+- 3︒ co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=4︒∵a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。

证：∵AB =(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)∴⋅=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥∴△ABC 是直角三角形三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x 。

巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题

下来，进行比较，哪些是对的？活动３：各小组代表将本组画的平面图形画在黑板上，
每组轮流进行，要求不重复。经过充分地交流与合作，最后可以达成正方体的平面
展开图共有１１种的共识。
问题二：请将这１１种平面图形进行分类，你发现其中蕴含的规律了吗？
学生在实验操作中有分工、有合作，人人参与活动，并且通过自己的思考、实践以及与他人的讨论，寻求合理的答案，使他们获得了数学活动的经验，体会到合作的乐趣，提高了学生的参与机会。
五、利用有效的评价。促进学生持续参与有效的评价在学生学习过程中能起到激励、调控和导向的作用。应该在评价中关注以下四个方面：第一，学生参与活动的态度。包括对问题情景关注和参与活动积极主动。第二，学生参与活动的广度。注意考虑学生参与学习活动的人数、活动的方式多样、活动的时间充分等。第三，学生参与活动的深度。重点考虑学生能否提出有意义的问题或能发表个人见解、能否按要求正确操作以及能否倾听、协作、分享等因素。第四，学生参与与他人的合作。从以下两点来进行评价：（１）学生参与小组学习时间、次数；（２）小组学习和讨论是实质性的交流。．附：有效参与的学生评价指标（０～５分）
丁ｘ／－Ｙ），接下来缺
向量并不具备上述条件，比如：
Ｍ点坐标了．
【学法指导】
巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题
顾俊华
（江苏省吴县中学，江苏吴县２１５１５１）
摘要：本文主要介绍了在求平面向量数量积时的两种常用的方法：基底法和坐标法，对这两种方法的使用条件做了
适当的阐述，并通过对比对这两种方法之间的差异和联系进行了适当的分析．

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量基本定理及坐标表示

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。

高三数学平面向量平面向量的坐标运算苏教版(理)知识精讲

高三数学平面向量平面向量的坐标运算苏教版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：平面向量平面向量的坐标运算二、本周教学目标：高考要求：1、了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；2、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题．三、本周知识要点：1、平面向量的坐标表示：一般地，对于向量a ，当其起点移至原点O 时，其终点的坐标（x,y ）称为向量a 的直角坐标．记作在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，则a xi yj =+．（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．2、平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- （3）若a =（x,y ），则λa =（λx,λy ）（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= （5）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ 若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3、向量的运算：运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法 1、平行四边形法则 2、三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+ )()(c b a c b a ++=++ AB BC AC += 向量三角形法则1212(,)a b x x y y -=--)(b a b a-+=-AB BA =-【典型例题】例1、平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=，回答下列问题（1）求满足a mb nc =+的实数m,n ；（2）若()()//2a kc b a +-，某某数k ；（3）若d 满足()()//d c a b -+，且5d c -=，求d 解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m （2）()()34,2,25,2a kc k k b a +=++-=-()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k （3）()()4,1,2,4d c x y a b -=--+=由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x例2、已知).1,2(),0,1(==b a （1）求|3|b a +；（2）当k 为何实数时，k -a b 与b a 3+平行，平行时它们是同向还是反向？解：（1）因为).1,2(),0,1(==b a所以3(7,3)a b +=则22|3|7358a b +=+=（2）k -a b(2,1)k =--，b a 3+(7,3)=因为k -a b 与b a3+平行所以3(2)70k -+=即得13k =-此时k -a b7(2,1)(,1)3k =--=--，b a 3+(7,3)=则b a 3+3()ka b =--，即此时向量b a3+与ka b -方向相反例3、已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及OP OA t AB =+⋅,试问: （1）当t 为何值时,P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第三象限?（2）四边形OABP 是否能成为平行四边形?若能,则求出t 的值若不能,说明理由．解：（1）(13,23)OP OA t AB t t =+=++，则(13,23)P t t ++若P 在x 轴上，则230t +=，所以23t =-；若P 在y 轴上，则0t 31=+，所以13t =-；若P 在第三象限，则⎩⎨⎧<+<+0t 320t 31，所以32t -<（2）因为(1,2),(33,33)OA PB t t ==-- 若OABP 是平行四边形，则OA PB = 所以331332t t -=⎧⎨-=⎩此方程组无解；故四边形OABP 不可能是平行四边形．例4、如图，设抛物线y 2=2px （p>0）的焦点为F 经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O ．解法一：设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,F （2p ,0），则C （,2p -y 2）则)y ,2p(OC ),y ,x (OA ),y ,2p x (FB ),y ,2p x (FA 2112211-==-=-=→--→--→--→--∵→--FA 与→--FB 共线 ∴0y )2px (y )2p x (1221=---即2211y )2p x (y )2p x (-=- （*）而p2y x ,p 2y x 222211== 代入（*）式整理得，y 1·y 2=－p 2因为212121221211y y y y y py )2p (p 2y )2p (x ==-=-=- ∴→--OA 与→--OC 是共线向量，即A 、O 、C 三点共线，也就是说直线AC 经过原点O解法二：设A （x 1,y 1），C （2p-,y 2），B （x 2,y 2）欲证A 、O 、C 共线，只需且仅需OC OA k k =，即2p yx y 211-=又p2y x 211=∴ 只需且仅需y 1y 2=－p 2，用韦达定理易证明．点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了．例5、已知向量(,)u x y =与(,2)v y y x =-的对应关系用()v f u =表示．（1）证明：对于任意向量,a b 及常数m ，n 恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+成立；（2）设(1,1),(1,0)a b ==，求向量()f a 及()f b 的坐标；（3）求使()(,)f c p q =，（p ，q 为常数）的向量c 的坐标．解：（1）设1212(,),(,)a a a b b b ==，则1122(,)ma nb ma nb ma nb +=++，故222211()(,22)f ma nb ma nb ma nb ma nb +=++-- )2,()2,(122122b b b n a a a m -+-=，∴()()()f ma nb mf a nf b +=+（2）由已知得()f a =（1，1），()f b =（0，－1）（3）设c =（x ，y ），则()(,2)(,)f c y y x p q =-=， ∴y=p ，x=2p －q ，即c =（2p －q ，p ）例6、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3,1），B （－1,3），若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（）()()511.22=-+-y x A 01123.=-+y x B 02.=-y x C 052.=-+y x D解法一：设()y x C ,，则()()(),,3,1,1,3OC x y OA OB ===-由OC OA OB αβ=+得()()()()βαβαββαα3,33,,3,+-=-+=y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=133βαβαβαy x先消去β，由αβ-=1得⎩⎨⎧-=-=αα2314y x再消去α得052=-+y x 所以选取D ．解法二：由平面向量共线定理，当OC OA OB αβ=+，1=+βα时，A 、B 、C 共线．因此，点C 的轨迹为直线AB ，由两点式直线方程得052=-+y x 即选D ．小结：1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算．2、两个向量平行的坐标表示．3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1、若向量()3,2-=x a与向量()2,1+=y b 相等，则（）A 、x=1,y=3B 、x=3,y=1C 、x=1,y= －5D 、x=5,y= －1 2、点B 的坐标为（1,2），AB 的坐标为（m,n ），则点A 的坐标为（） A 、()n m --2,1B 、()2,1--n m C 、()n m ++2,1D 、()m n ++2,13、已知向量()3,x a = ，()1,3-=b , 且a 与b共线，则x 等于（） A 、1- B 、9 C 、9- D 、14、已知()5,2-=a ，︱b ︱=︱a2︱，若b 与a 反向，则b 等于（）A 、（－4,10）B 、（4,－10）C 、（－1 , 25）D 、（1,25-）5、向量AB =（2,－1），AC =（－4,1）则BC = （）A 、（－2,0）B 、（6,－2）C 、（－6,2）D 、（－2,2）6、设向量()11,y x a = 、()22,y x b = ，0 ≠a ，则“a ∥b ”是“x 1y 2=x 2y 1”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、不充分不必要条件 7、平行四边形ABCD 的三个顶点为A （－2,1）、B （－1,3）、C （3,4），则点D 的坐标是（） A 、（2,1） B 、（2,2） C 、（1,2） D 、（2,3）8、与向量()5,12=d不．平行的向量是 A 、()5,12--B 、⎪⎭⎫⎝⎛135,1312C 、()5,12- D 、()10,24 9、已知向量()1,2-=a，()3,1-=b ，则b a 32-的坐标是10、已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =（2,5），AB =（－2,3），则CD 坐标为，DO 坐标为，CO 的坐标为．11、已知OA =（x 1,y 1），OB =（x 2,y 2），线段AB 的中点为C,则OC 的坐标为．12、已知A （－1,－2），B （4,8），C （5,x ），如果A ，B ，C 三点共线，则x 的值为． 13、已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ,向量m 与b a 23-平行,︱m ︱=4137求向量m 的坐标．试题答案1、B2、A3、C4、B5、C6、C7、B8、C9、()11,7- 10、()3,2-；()1,2--；()4,0-11、⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x12、1013、()16,44=m 或()16,44--=m。

微专题3平面向量问题的“基底法”和“坐标法”(含答案)

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F →的最小值为________．(例1)变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π3，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________．变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F→＝________．2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________．3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE→＝3332，则AB 的长为________．(第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________．5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC→⊥AB →，则实数m n＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12PC →，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________．(第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC→且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3.(1) 求AB →·AC →的值；(2) 求λ＋μ的值．微专题。

2020版江苏步步高二轮数学板块三高考提能平面向量问题

平面向量问题一、“基底法”与“坐标法”解决平面向量问题，首先要表示向量．解题中通常有“基底法”与“坐标法”两种方法表示向量．1．已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [－2,6]解析如图建立平面直角坐标系，令C (－2,0)，A (1，3)，B (1，－3)，设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π)，则P A →·PB →＝(2cos θ－1)2＋4sin 2θ－3＝2－4cos θ，∴P A →·PB →的取值范围是[－2,6]．2.如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．答案2918解析方法一基底法因为DF →＝19λDC →，DC →＝12AB →，所以CF →＝DF →－DC →＝19λDC →－DC →＝1－9λ9λDC →＝1－9λ18λAB →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →.又AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝AB →＋BC →＋1－9λ18λAB →＝1＋9λ18λAB →＋BC →. 所以AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9λ18λAB →＋BC →＝1＋9λ18λAB →2＋λBC →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋λ·1＋9λ18λAB →·BC → ＝1＋9λ18λ×4＋λ＋19＋9λ18×2×1×cos 120°＝29λ＋12λ＋1718≥229λ·12λ＋1718＝2918. 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23(舍负)时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.方法二坐标法以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝⎛⎭⎫12，32，D ⎝⎛⎭⎫－12，32.所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ.AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋19λDC →＝⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋32×32λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2λ2·29λ＝2918. 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23(舍负)时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.3．在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π3，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________．答案37解析方法一设BP →＝λBN →，CP →＝μCM →，λ∈(0,1)，μ∈(0,1)，如图(1)， AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBN →＝AB →＋λ(BA →＋AN →) ＝AB →＋λ⎝⎛⎭⎫－AB →＋13AC →＝(1－λ)AB →＋λ3AC →. AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋μCM →＝AC →＋μ(CA →＋AM →) ＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫－AC →＋12AB →＝(1－μ)AC →＋μ2AB →. 于是⎩⎨⎧1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得⎩⎨⎧λ＝35，μ＝45.即AP →＝25AB →＋15AC →.所以|AP →|2＝125(4×|AB →|2＋2×2AB →·AC →＋|AC →|2)＝125⎝⎛⎭⎫4×100＋2×2×10×15×12＋225 ＝37，故|AP →|＝37.方法二因为B ，P ，N 三点共线，有AP →＝xAB →＋(1－x )AN →＝xAB →＋1－x 3AC →.同理，因为C ，P ，M 三点共线，有AP →＝yAM →＋(1－y )AC →＝y 2AB →＋(1－y )AC →，根据向量相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y2，1－x3＝1－y .解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，于是AP →＝25AB →＋15AC →.(下同方法一)方法三以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系，由已知可得C (15,0)，N (5,0)，B (5,53)，M ⎝⎛⎭⎫52，532，于是BN 所在直线方程为x ＝5.CM 所在直线方程为y ＝－35(x －15)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－35(x －15)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23，故P (5,23)，故AP ＝52＋(23)2＝37.4．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．答案 1解析方法一基底法取向量a ，b 作为平面向量的一组基底，设c ＝m a ＋n b .由|c |＝1，得|m a ＋n b |＝1，可得(m a )2＋(n b )2＋2mn a ·b ＝1，由题意，知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0. 整理得m 2＋n 2＝1.而a－c＝(1－m)a－n b，b－c＝－m a＋(1－n)b.故由(a－c)·(b－c)≤0.得[(1－m)a－n b]·[－m a＋(1－n)b]≤0，展开，得m(m－1)a2＋n(n－1)b2≤0，即m2－m＋n2－n≤0.又m2＋n2＝1，故m＋n≥1.而a＋b－c＝(1－m)a＋(1－n)b.故|a＋b－c|2＝[(1－m)a＋(1－n)b]2＝(1－m)2a2＋2(1－m)(1－n)a·b＋(1－n)2b2＝(1－m)2＋(1－n)2＝m2＋n2－2(m＋n)＋2＝3－2(m＋n)．又m＋n≥1，所以3－2(m＋n)≤1.故|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.故|a＋b－c|的最大值为1.方法二坐标法因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以a⊥b.令OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，因为a⊥b.所以OA⊥OB.分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则A (1,0)，B (0,1)．设C (x ，y )，则c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1. 则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x ,1－y )．故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－x )×(－x )＋(－y )×(1－y )≤0. 整理，得1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1. 而a ＋b －c ＝(1－x ,1－y )．则|a ＋b －c |＝(1－x )2＋(1－y )2＝3－2(x ＋y ).因为x ＋y ≥1，所以3－2(x ＋y )≤1. 即|a ＋b －c |≤1.所以|a ＋b －c |的最大值为1. 二、向量共线的充要条件向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)．5.如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ →过△ABC 的重心，记CA →＝a ，CB →＝b ，CP →＝m a ，CQ →＝n b ，则1m ＋1n＝________.答案 3解析 CG →＝23CM →＝13a ＋13b ＝13m CP →＋13n CQ →，∵P ，G ，Q 三点共线，∴13m ＋13n ＝1，∴1m ＋1n＝3.6.如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12PC →，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________．答案 83解析由题意知AP →＝23AB →＋13AC →＝23λAM →＋13μAN →，因为M ，N ，P 三点共线，所以23λ＋13μ＝1.因此λ＋2μ＝(λ＋2μ)·⎝⎛⎭⎫23λ＋13μ＝43＋4μ3λ＋λ3μ≥43＋24μ3λ×λ3μ＝83.当且仅当4μ3λ＝λ3μ，即λ＝43，μ＝23时取等号．故λ＋2μ的最小值为83.7.如图，A ，B ，C 是圆O 上三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D .若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析由题意可设OD →＝xOC →(x <－1)， ∴OD →＝xm ·OA →＋nx ·OB →， ∵A ，B ，D 三点共线， ∴mx ＋nx ＝1， ∴m ＋n ＝1x ，又x <－1，∴－1<m ＋n <0，故m ＋n 的取值范围是(－1,0)．8．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB→|CB →|，则xy 的最大值为________．答案 3解析由已知得sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝cos A ·sin C ， ∴sin A cos C ＝0，又∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，又0<C <180°，∴C ＝90°， ∴AB →·AC →＝|AC →|2＝9，∴|AC →|＝3，又S △ABC ＝12|CB →||AC →|＝6，∴|CB →|＝4，∴CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，又P 在线段AB 上， ∴x 3＋y4＝1， ∴1≥2x 3·y4，即xy ≤3，当且仅当x 3＝y4，即x ＝32，y ＝2时取等号，故(xy )max ＝3.三、极化恒等式遇到共点向量的数量积问题，考虑极化恒等式： a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．9．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是________．答案－32解析设BC 的中点为O ，OA 的中点为M ，连结OP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PO →·P A →＝2|PM →|2－12|AO →|2＝2|PM →|2－32≥－32，当且仅当M 与P 重合时取等号．10．在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是BC ，AC上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值为________．答案 154解析设EF 的中点为M ，连结CM ，DM ，则CM ＝12，即点M 在如图所示的圆弧上，则DE →·DF →＝|DM →|2－|EM →|2＝|DM →|2－14≥⎪⎪⎪⎪CD －122－14＝154. 11．已知MN 是边长为26的等边△ABC 的外接圆的一条动弦，MN ＝4，P 为△ABC 的边上的动点，则MP →·PN →的最大值为________．答案 4解析取MN 的中点D ，则MP →·PN →＝－PM →·PN →＝－⎝⎛⎭⎫PD →2－14MN →2＝4－PD →2≤4，当且仅当点P 与点D 重合时取到最大值4. 12．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个单位向量，且a ⊥b ，则(c －a )·(c －b )的最大值是________．答案 1＋ 2解析如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为线段AB 的中点，则有OA ⊥OB ，(c －a )·(c －b )＝AC →·BC →＝CA →·CB →＝CM →2－MB →2＝CM →2－⎝⎛⎭⎫222≤⎝⎛⎭⎫1＋222－12＝1＋ 2.四、向量与三角形的“四心”三角形的“四心”：外心(外接圆圆心)：三边垂直平分线的交点；内心(内接圆圆心)：三条角平分线的交点；重心：三条中线的交点；垂心：三条高线的交点．以下填空题，在“外心”“内心”“重心”“垂心”中选填．13．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝(OC →＋OA →)·CA →＝0，则O 点是△ABC 的________．答案外心解析由已知得(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝(OB →＋OC →)·(OC →－OB →)＝(OC →＋OA →)·(OA →－OC →)＝0⇔OB →2－OA →2＝OC →2－OB →2＝OA →2－OC →2＝0 ⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.所以O 点是△ABC 的外心．14．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 点是△ABC 的________．答案重心解析如图所示，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则OA →＋OB →＝－OC →，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OAC 1B ，设OC 1与AB 交于点D ，则D 为AB 的中点，有OA →＋OB →＝OC 1→，得OC 1→＝－OC →，即C ，O ，D ，C 1四点共线，即CD 为△ABC 的中线，同理AE ，BF 亦为△ABC 的中线，所以O 是△ABC 的重心．15．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 点是△ABC 的________．答案垂心解析由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，即OB →·(OA →－OC →)＝0，得OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.∴O 是△ABC 的垂心．16．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，若aOA →＋bOB →＋cOC→＝0，则O 点是△ABC 的________．答案内心解析因为OB →＝OA →＋AB →，OC →＝OA →＋AC →，则(a ＋b ＋c )OA →＋bAB →＋cAC →＝0，得AO →＝bc a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|. 因为AB →|AB →|与AC →|AC →|分别为AB →和AC →方向上的单位向量，设AP →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则AP 平分∠BAC .又AO →，AP →共线，知AO 平分∠BAC ，同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，所以O 点是△ABC 的内心．。

高中数学第2章平面向量2.3-2.3.2平面向量的坐标运算课件苏教版必修4

题型 1 平面向量的坐标表示
[典例 1] 如图所示，已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B、点 D、A→B与A→D的坐标．

一、平面向量的坐标表示
对于向量 a，当它的起点移至原点 O 时，其终点的坐标(x，y)称为向量 a 的(直角)坐标，记作 a＝(x，y)．
若分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，则 a＝xi＋yj.
对平面向量的坐标表示的理解： (1)向量 a 与有序实数对(x，y)一一对应．
(2)向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如右图所示，A→1B1是表示 a 的有向线段， A1，B1 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则向量 a 的坐标为 x＝x2－x1，y＝y2－y1，即 a 的坐标为(x2－x1，y2－y1)．
第2章平面向量
1．平面向量的坐标表示． (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底． (2)坐标：对于平面内的一个向量 a，有且仅有一对实数 x，y，使得 a＝xj＋y i，则有序实数对(x，y)叫作向量 a 的坐标．记作 a＝(x，y)．