刚度矩阵

5.1 能量法求基本频率
5.1.2 多自由度求基本频率 由振型正交性进行振型分解可知，第i振型的频率 可由对应的广义刚度和广义质量按单自由度求的。但 真要如此来求，必须事先求得振型。这显然是不可能 的。 但是，根据化无限自由度为有限自由度的广义坐标 法思想，如果能够假设出满足位移约束条件的位移形 式{A}i作为第i振型近似解。则令 Mi*={A}iT[M]{A}i (2) Ki*={A}iT[K]{A}i (3) 可得第i振型的频率 i2=Ki*/Mi* (4) 此结果的近似程度完全取决于假设的振型，因此一般 只用它求基频的上界。如取自重沿运动方向作用的变 形曲线作假设振型，一般能得到很高精度的基频。
5.3 结论与讨论
频率、振型是重要的动力特性，可用能量法通过假 设第一振型求第一频率。以自重下位移作近似振型可 得较好结果。 能量法求得的频率是实际频率的上限。 在能建立整体满足位移边界条件试函数情况下，可 利用里兹法，由试函数线性组合作为动位移幅值，从 而将系统化成有限个自由度的振动问题（这实际上就 是广义坐标法），求解自由度等于组合系数个数n的 多自由度特征对，即可得到系统的n个频率和振型近 似值，这称为里兹能量法。一般用它分析无限自由度 问题。 迭代法是一种求少量几个特征对的有效方法。它有
RXY ( t1 , t 2 ) xypXY ( x , t1 ; y, t 2 )dx

(2)
2-2）自相关函数 当X(t2)=Y(t2)时,上式结果称相关函数,记作RX(t1,t2).
6.1.3 随机过程的数字特征
3）方差函数
E{[ X (t1 ) m X (t1 )][Y (t 2 ) mY (t 2 )]} C XY (t1 , t 2 ) (3)
6.1.3 随机过程的数字特征
1）随机过程X(t)的数学期望可用下式定义 概率密度函数 (1) E{ f [ X ( t )]} f ( x ) p( x , t )dx

当 f[X(t)]=Xk(t)时，称作随机过程的k阶矩,记为mk(t). 其中一阶矩为均值，二阶矩为均方值。 2）相关函数 2-1）互相关函数 两随机过程X(t)和Y(t)可用联合概率密度函数以下 式定义互相关函数
5.2 迭代法求频率、振型
5.2.3 任意初始向量均收敛于第一振型的证明 设 {A}0=ai{X}i [{X}i 为振型向量] (12) {A}1=[D]{A}0=ai[D]{X}i =aii{X}i (a) n次迭代后 {A}0=aiin{X}i (b) 上式除以1n=(1/12) n,由于1是最低频率,因此1是最 大值,所以当n足够大时=(i/1) n趋于零.也即 {A}0a11n{X}1 (13) 这就证明了不管初始向量如何假设，只要经过足够次 的迭代，总是收敛到第一振型。 从证明也可看到，在求解过程中出现计算错误也没 关系，无非增加一些迭代次数。
当满足下式条件 且T趋于无穷时
0
(5)



由上式定义的函数称为互协方差函数. 当X(t2)=Y(t2)时称为协方差函数,记作CX(t1,t2). 当t1=t2=t时的协方差称作方差,记作X2(t).而X(t)称 为均方差. 在概率论中已经知道,均值、方差、均方差等是随 机变量的重要统计特征。它们也是随机过程的重要数 字特征。
补充讲义里还介绍了相关系数、协方差的性质等， 请大家自行看一下。(P.2~3)
若连续随机变量不仅是随机事件的函数，同时还 是时间t的函数，则称此随机函数X(,t)为随机过程。 简记为X(t)。 随机过程X(,t)的任一次观察 i ，称作样本函数， 记作x(t) 。以后大写字母为过程，小写为样本。
6.1.2 随机过程的分布函数
定义 F(x,t)=P(X(t)<x) tT为随机过程X(t)的一维分 布函数。 二维、n维分布函数补充讲义上有定义，这里从略.
协方差的性质
对称性 （6-16） 同样有 RX ( t1 , t 2 ) RX ( t 2 , t1 ); RXY ( t1 , t 2 ) RYX ( t 2 , t1 ) （6-17） 非负定性 h(t ), h * (t ) 为共轭的任意复函数，则 若
C X ( t i , t j )h( t i )h* ( t ) 0
5.2 迭代法求频率、振型
下面介绍一种通过迭代求前几阶频率振型的方法。 5.2.1 迭代法求基本频率、第一振型 多自由度振型方程为 ([K]-2[M]){A}={0} 或 1/2{A}=[K]-1[M]{A} (5) 记动力矩阵 [D]=[K]-1[M] (6) = 1/2 (7) 则振型方程改为 {A}=[D]{A} (8) 由式(8)出发进行迭代，即可获得系统的基频和第 一振型。迭代公式为 {A}n+1=[D]{A}n (9) 5.2.2 迭代法求基本频率、第一振型的步骤 1）确定系统的质量、刚度矩阵。
6.1.4 随机过程按统计特征分类
如果随机过程X(t)的均值为常数，且相关函数只与 时间差=t2-t1有关，则称此过程为弱平稳随机过程。 若随机过程X(t)的任意阶分布函数当时间参数平移 时都保持不变，则称此过程为强平稳随机过程。 一般只讨论弱平稳随机过程。
6.1.5 随机过程的时域特征
补充讲义里还介绍了五点特征，其主要的特征可用 下图示意。(P.3~4)
5.2 迭代法求频率、振型
5.2.4 求高阶振型和频率 从 {A}0=aiin{X}i (b) 可以看到，如果a1=0（初始向量不包含第一振型时） 像上小节证明，迭代将收敛于第二振型。如果a1=0、 a2=0，则将收敛于第三振型，其余可类推。 教材上利用振型正交性具体推导了滤去低阶振型的 过滤矩阵求法，限于学时，这里不再细说，仅给出过 滤矩阵和动力矩阵的一般公式 过滤矩阵 [Sj]=[Sj-1]-{Aj}{Aj}T[M] (14) 动力矩阵 [Dj+1]=[D][Sj] (15) 利用改造后的动力矩阵，进行迭代即可得到高阶频 率和振型。Vibra程序中包含这种解法。
6.1.6 各态历经性简单说明
如果样本总体中各种状态在一个样本中都有反映， 从而使随机过程X(t)的数字特征可以通过分析它的一 个样本函数来得到，称此过程是各态历经的或称遍历 的。 如果X(t)是各态历经的，它一定是平稳的。但平稳 的随机过程X(t)并不一定是各态历经的，其样本的数 字特征可能是取决于样本的。
六、随机振动初步
有关的数学基础 单自由度体系的随机反应分析 几点结论

绪论中介绍动荷载时已指出，脉动风、地震地面运 动等等动荷载是非确定性荷载，在事件未发生前荷载 的大小、规律是不可预知的，因此对这样荷载激励下 的反应分析就无法用前面介绍的方法，而要用随机振 动理论来分析。 大家在工程数学“概率论”里已学习随机变量的概 率统计分析方法。本章在此基础上加以引伸，简单介 绍随机过程有关知识等，但它不是目的，它仅作为进 一步介绍单自由度随机反应分析的必要准备。 随机振动理论是结构动力学的一个分支，内容非常 丰富，本章只作最基本概念的介绍，为进一步学习打 一基础。想进一步学习的可参阅各种《随机振动》教 材和专著。
6.1 有关的数学基础包括
6.1.1 随机过程 6.1.2 随机过程的分布函数 6.1.3 随机过程的数字特征 6.1.4 随机过程按统计特征分类 6.1.5 平稳随机过程的时域特性 6.1.6 各态历经性简单说明 6.1.7 Fourier分析的回顾 6.1.8 平稳随机过程的谱密度
6.1.1 随机过程
5.2 迭代法求频率、振型源自文库
2）计算动力矩阵 [D]=[K]-1[M] (6) 3）任意假设一个初始迭代向量{A}0 。 4）按式 {A}n+1=[D]{A}n (10) 由“初始向量”求“迭代向量”。 5）将{A}n+1个元素除以{A}n+1中最大元素值an+1,max进 行规格化。 6）以规格化后的向量作为新的“初始向量”再求 “迭代向量”。重复这个过程直到相邻两次结果达到 精度要求为止，规格化向量即为振型。 7）用 12=Ai,n/Ai,n+1 (i=1,2, … ) (11) 求频率。
i 1 i 1 n n
C X ( t1 , t 2 ) C X ( t 2 , t1 );
C XY ( t1 , t 2 ) CYX ( t 2 , t1 )
(6-18)
C X ( t1 , t1 ) CY ( t 2 , t 2 ) 2C XY ( t1 , t 2 ) 这一性质可由 来证明。 设 g (t ) 是确定性函数，令
5.3 结论与讨论
可求指定精度频率、振型，求解过程能自动修正的优 点。 但要求高阶振型、频率必须先求其前各阶振型，通 过滤去低阶振型的办法修正动力矩阵，一般只用它求 前3~8阶振型和频率。求更高频率时很不经济。 将里兹法思想和迭代法思想相结合，产生了一种称 作“子空间迭代法”，它是目前结构分析求特征值的 常用方法，有余力的同学可参考内容更多的动力学教 材或专著。 在迭代过程中可通过数学处理（思路是将刚度矩阵 减去某待求频率预估值平方乘质量矩阵作为修正刚度 矩阵）来加快迭代收敛速度，详细内容可看参考书。。
五、实用计算方法

能量法求基本频率 迭代法求频率、振型 结论与讨论
由前两章的分析可以看到，频率、振型是动力系统 的重要动力特性，特别是对线性系统用振型分解法作 多自由度分析时，必须事先求出频率、振型。 作为数学的特征值问题，可以有很多方法求全部特 征值和部分特征值。对于本科初学者，由于一般结构 分析只需要很少的前几个振型即可获得足够的精度， 因此，本章仅介绍两种求频率振型的实用方法。 由于工程结构和各种构筑物的的阻尼比很小，从单 自由度d=(1-2)1/2 可见d。因此频率振型分析都 对无阻尼自由振动问题来进行。
5.1 能量法求基本频率
5.1.3 多自由度求基本频率的步骤 1）确定系统的质量、刚度矩阵。 2）沿运动方向作用自重，按静力问题求运动方向的 位移。 3）由上述位移结果按自由度顺序排成列阵，并进行 规格化（最大元素为1）得{A}1近似解。 4）用下列公式求广义质量、广义刚度 M1*={A}1T[M]{A}1 (2) K1*={A}1T[K]{A}1 (3) 5）求第一振型的频率 12=K1*/M1* (4) 如果系统是无限自由度的，应如何求它的基频近似 值？请大家考虑。
6.1.7 Fourier分析的回顾
任意周期为T的函数X(t)均可展成Fourier级数
X ( t ) (ai cos i t bi sin i t )
i 1

(4)
6.1.7 Fourier分析的回顾
式中
i=2i/T
2 T2 a i T X ( t ) cos i tdt T 2 2 T2 bi T X ( t ) sin i tdt T 2
(6-19)
E {([ X ( t1 ) m X ( t1 )] [Y ( t 2 ) mY ( t 2 )]) 2 } 0
则 （6-20） Y 特别当 g (t ) m X (t ) 时，则 (t ) 的均值将等于 零，但它们具有相同的协方差函数。
Y (t ) X (t ) g(t ) C X ( t1 , t 2 ) CY ( t1 , t 2 )
5.1 能量法求基本频率
5.1.1 单自由度求频率 单自由度无阻尼自由振动解答为Asin(t+)， 当t+=n时位移等于零，因此势能为零，速度为 A，动能为m(A)2/2。 当t+=(n+1)/2时，速度为零、动能等于零，位 移为A，势能为kA2/2。 由无阻尼、能量守恒可得 Tmax=m(A)2/2=kA2/2=EP,max 设=1时最大动能为Tmax，由此即可得 =(EP,max/Tmax)1/2 (1)