二倍角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)

【学习目标】

1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.

2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．

3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.

【要点梳理】

要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

2sin 22sin cos ()S αααα=⋅

22222cos 2cos sin ()

2cos 112sin C αααααα

=-=-=-

22

2tan tan 2()1tan T αα

αα

=

-

要点诠释：

(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当

2

k π

απ≠

+及()4

2

k k Z π

π

α≠

+

∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、

2α是4

α

的二倍、3α是

32

α

的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2

cos

2

sin

2sin α

α

α=；

1

1

sin

2sin

cos ()2

2

2

n

n n n Z α

α

α

++=∈

2．和角公式、倍角公式之间的内在联系

在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用

2sin cos sin 2ααα=；1

sin cos sin 22ααα=．

2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=．

2

2tan tan 21tan α

αα

=-． 2．公式的变形

21sin 2(sin cos )ααα±=±；

降幂公式：2

21cos 21cos 2cos ,sin 22

αα

αα+-=

=

升幂公式：2

2

1cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=

要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型

求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；

2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如

(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，

也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；

3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】

类型一：二倍角公式的简单应用 例1．化简下列各式：

（1）4sin

cos

2

2

α

α

；（2）2

2

sin

cos 8

8

π

π

-；（3）

2

tan 37.51tan 37.5︒

-︒

． 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．

【答案】（1）2sin α（2）3 【解析】 （1）4sin

cos

22sin

cos

2sin 2

2

2

2

α

α

α

α

α=⋅=．

（2）2

2

22sin cos cos sin cos 8

88842π

π

πππ⎛

⎫-=--=-=-

⎪⎝

⎭．

（3）

22

tan 37.512sin 37.512tan 751tan 37.521tan 37.522

︒︒+=⋅=︒=-︒-︒． 【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体

变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．

举一反三：

【变式1】求值：（1）cos

sin

cos sin 12

121212π

πππ⎛

⎫⎛

⎫-+ ⎪⎪

⎝

⎭⎝⎭；（2）22cos 18π-；（3）22tan 751tan 75-o

o

．

【答案】（1）

2；（2）2

；（3）

【解析】（1）原式=2

2

cos

sin cos

12

12

6

2

π

π

π

-==

；

（2）原式=cos(2)cos

8

4

2

π

π

⨯

==

；

（3）原式=tan150tan(18030)tan 30=-=-=o

o

o

o

． 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值． 【思路点拨】解这类题型有两种方法： 方法一：适用sin 2sin 2cos α

αα

=

，不断地使用二倍角的正弦公式．

方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin 2cos 2sin α

αα

=进行化

简．