二倍角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2k παπ≠+及()42k k Z ππα≠+∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2cos2sin2sin ααα=；11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用2sin cos sin 2ααα=；1sin cos sin 22ααα=．2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=．22tan tan 21tan ααα=-． 2．公式的变形21sin 2(sin cos )ααα±=±；降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==升幂公式：221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用 例1．化简下列各式：（1）4sincos22αα；（2）22sincos 88ππ-；（3）2tan 37.51tan 37.5︒-︒． 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）2sin α（2）3 【解析】 （1）4sincos22sincos2sin 2222ααααα=⋅=．（2）2222sin cos cos sin cos 888842πππππ⎛⎫-=--=-=-⎪⎝⎭．（3）22tan 37.512sin 37.512tan 751tan 37.521tan 37.522︒︒+=⋅=︒=-︒-︒． 【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：【变式1】求值：（1）cossincos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22cos 18π-；（3）22tan 751tan 75-oo．【答案】（1）2；（2）2；（3）【解析】（1）原式=22cossin cos121262πππ-==；（2）原式=cos(2)cos842ππ⨯==；（3）原式=tan150tan(18030)tan 30=-=-=oooo． 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值． 【思路点拨】解这类题型有两种方法： 方法一：适用sin 2sin 2cos ααα=，不断地使用二倍角的正弦公式．方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin 2cos 2sin ααα=进行化简．【答案】116【解析】方法一： sin 20sin 50sin 70sin10sin 50sin 702cos10︒︒︒︒︒︒=︒sin 20cos 20sin 50sin 40sin 50sin 40cos 402cos104cos104cos10︒︒︒︒︒︒︒===︒︒︒sin 8018cos108︒==︒． ∴1sin10sin 30sin 50sin 7016︒︒︒︒=方法二：原式1cos 20cos 40cos802=︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos804sin 20︒︒︒︒=︒sin 40cos 40cos80sin80cos801sin16014sin 202sin 2016sin 2016︒︒︒︒︒︒===⋅=︒︒︒．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若sin 0α≠，则11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++=L ． 举一反三：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°． 【解析】原式2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20︒︒︒︒=︒︒︒=︒2sin 40cos 40cos802sin80cos804sin 208sin 20︒︒︒︒︒==︒︒ sin160sin 2018sin 208sin 208︒︒===︒︒． 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式 例3．化简下列各式： (1)4sin 1)2(2cos cos 12sin sin -+++θθθθ【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．【答案】（1）tan θ（2）sin 2cos2-【解析】(1).tan )cos 21(cos )cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθθθθθθθθθ=++=+⋅+=+++ (2)4sin 1-.2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2cos 2cos 2sin 22sin 222-=-=-=+⋅-=【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：αααα22sin 22cos 1,cos 22cos 1=-=+．经常起到消除式子中1的作用．②由于2)cos (sin sin21cos sin 22sin αααααα±=±⋅=，从而，可进行无理式的化简和运算．例4．化简：222cos 12tan sin 44αππαα-⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】 原式2cos 22sin 4cos 4cos 4απαπαπα=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭cos 2cos 22sin cos sin 2442ααπππααα==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 21cos 2αα==．【总结升华】 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．举一反三： 【变式1】（1的化简结果是 ．（2）已知3sin 5α=，且α∈(2π ，π)，则2sin 2cos αα 的值为 ．【答案】（1）sin3cos3-（2）32-【解析】（1）原式=|sin3cos3|- =sin3cos3- （2）因为3sin 5α=，且α∈(2π ，π)，所以4cos 5α=-，原式=22sin cos 3532()cos 542ααα=⨯⨯-=-． 类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用 例5．求值： （1）已知3sin()1225πθ-=，求cos()6πθ-．（2）已知sin()4m πα+=，求sin2α．【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）725（2）221m - 【解析】 （1）cos()cos cos 266122πππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=212sin 122πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =91225-⨯ =725（2）sin 2cos(2)2παα=-+=212sin 4πα⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =212sin 4πα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=221m -【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧． 举一反三：【变式1】 已知1sin cos 3αα+=，且0απ<<，求sin 2α，cos2α，tan 2α的值．【答案】89- 【解析】由1sin cos 3αα+=，得21(sin cos )9αα+=，即112sin cos 9αα+=，∴8sin 22sin cos 9ααα==- 由1sin cos 3αα+=，得1cos sin 3αα=-，∴221cos sin 3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭．即22121sin sin sin 93ααα-=-+． 整理得29sin3sin 40αα--=．解得1sin 6α+=或1sin 6α=（舍去）．∴22cos 212sin 12αα=-=-⨯=⎝⎭．∴sin 2tan 2cos 2ααα==．【总结升华】解题过程中注意角α的范围的判定．【变式2】已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．【解析】 （1）tantan 1tan 14tan 41tan 21tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得1tan 3α=-．（2）222sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 1cos 212cos 12cos αααααααααα---==++-1115tan 2326α=-=--=-． 【总结升华】 第（1）问中利用了方程的思想求tan α的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan α的式子求解，或者通过消元转化的方法求解． 类型五：二倍角公式的综合应用例6．已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求： （1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间．【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成sin()A x k ωϕ++的形式．【答案】（12 |,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）单增区间 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 单减区间 5,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）原式=1sin 2cos21x x +++ =sin 2cos22x x ++)24x π++则当22,42x k πππ+=+即|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭时，max ()2f x =（2）f (x )的单调递增区间为：222242k x k πππππ-≤+≤+，则3,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦f (x )的单调递减区间为：3222242k x k πππππ+≤+≤+，则 5,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及sin()y A x ωϕ=+的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式21sin sin cos 22ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，21sin sin cos 22ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（2）扩角降幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 例7． 已知向量(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，求函数()f x =⋅a b ．（1）求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）若8()5f θ=，求cos 224πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．【答案】（11 3()8x k k Z ππ=+∈（2）1625【解析】 （1）因为(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，所以22()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=++-=+-=-+ ⎪⎝⎭．因此，当2242x k πππ-=+，即3()8x k k Z ππ=+∈时，()f x1．（2）由()1sin 2cos 2f θθθ=--及8()5f θ=得3sin 2cos 25θθ-=，两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=．因此，16cos 22cos 4sin 44225ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．举一反三：【变式1】已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2π，52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k z ∈（Ⅱ）12- 【解析】（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x x f x +=+- 111sin cos 222x x =+-1sin().242x π=+-所以函数()f x 的最小正周期为2π.由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+.函数()f x 单调递减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . (Ⅱ)由342x ππ≤≤，得7244x πππ≤+≤.则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值12-.【变式2】已知向量m =（sinA ，cosA ），1)=-n ，m ·n =1，且A 为锐角． （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域．【答案】（1）3π（2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题意，得cos 1m n A A ⋅=-=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由A 为锐角得66A ππ-=，3A π=．（2）由（1）知1cos 2A =， 所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．因此，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32，当sin x=－1时，()f x 有最小值－3，所以所求函数()f x 的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。