最短距离问题将军饮马复习进程

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最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案

人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。

教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。

3.感悟转化思想。

过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。

；2.渗透数学建模的思想。

情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。

充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。

从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。

以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。

二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。

2020年中考复习将军饮马问题讲义

将军饮马(作对称点求最短线段终极版)背景知识：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．常用知识点：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，轴对称，平移；解题思路：找对称点，变折线为直线。

常见模型：一、两定点一动点型：如图：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小。

解题思路：连接AB，与直线的交点为点Q，即此时点P运动到点Q处，最小值为AB.证明：运用三角形三边关系：两边之和大于第三边，当A、P、B三点共线可取等于。

在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.解题思路：作定点B关于直线l的对称点C,连接AC,交直线于点Q，当点P运动到点Q，最小值为AC.证明：关键是作其中一个定点的对称点，使得PB=PC，求PA+PB的最小值，即求PA+PC的最小值。

再转化为上述题型。

PA-值最大。

引申1：此题型也可以求PB解题思路：延长AB交直线l于点Q,当点P运动到点Q，PBPA-最大值为AB.证明：三角形任意两边之差小于第三边，当A、B、P三点共线可取等于.(提示：如果两定点不在直线的同侧，可以作其中一个定点关于直线l的对称点)PA-值最小。

引申2：此题型也可以求PB解题思路：连接AB，作AB的垂直平分线角l于点P.证明：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，可得PA=PB二.两动点一定点型（两动点在角的两边上）如图，在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得△BAC 周长最短．解题思路：作点A 关于OM 的对称点'A ，作点A 关于ON 的对称点''A ，连接'''A A ，与OM 交于点B ，与ON 交于点C ，连接AB ，AC ，此△ABC 周长最短．证明：两点之间，线段最短变式1：如图：在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得AB ＋BC 最短．解题思路:作点A 关于OM 的对称点'A ，过点'A 作C A '⊥ON ，交OM 于点B ，交ON 于点C,即为所求。

将军饮马做题顺序

将军饮马做题顺序
“将军饮马”问题的做题顺序可以遵循以下步骤：
1.确定动点和定点：在题目中，将军的行走路径是动态的，而马的位置和军营是固定的。

因此，首先需要确定这些动点和定点。

2.转化动点为定点：根据“两点之间线段最短”的原则，可以通过找对称点的方法，将动点（将军的位置）转化为定点。

具体来说，就是找到将军关于河岸的对称点，这个点就是将军饮马的位置。

3.连接定点：连接军营（起点）、饮马点（转化后的定点）和B地（终点），形成一条线段。

这条线段就是将军行走的最短路径。

4.计算最短路径的长度：利用勾股定理或其他方法，计算出这条最短路径的长度。

以上就是“将军饮马”问题的做题顺序。

需要注意的是，在实际做题过程中，还需要根据题目的具体情况进行灵活处理。

(word完整版)九年级数学复习专题-------将军饮马专题1

专题一利用轴对称解决两条线短之和最小值问题一：问题的背景古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B。

问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？分析：在河边饮马的地点有许多处，把这些地点与A、B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点（P），再回到B地的路程之和。

现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的那个点来。

具体操作：在图上过A点作河边MN的垂线，垂足为C,延长AC 到A ',A '是A地对于河边MN的对称点；连结A B交河边MN于P, 那么P点就是题目所求的饮马地点。

原因：为什么饮马的地点选择在P点能使路程最短呢？因为AC= A C, AP 与BP的长度之和就是A P与B P的长度之和，即是AB的长度；而选择河边的任何其他点，如E,路程AE+EB二A 'E+BE>AB, 故P点就是符合要求的点。

（等腰三角形）（菱形）二：基本模型（K型）基础训练1、如图，正方形边长为8, M在CD上，且DM=2 N是AC上一动点，贝U ND+NM 的最小值为多少?2、如图,菱形ABCD中, / BAD=60 ,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若AB长是3,则PM+PB勺最小值为多少?3、如图,已知点P是边长为2的正三角形ABC的中线AD上的动点,E是AC边的中点,则PC+PE勺最小值是多少？4、如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2 / ACB=90 , D是BC中点，E是AB边上一动点，则EC+ED勺最小值是多少?5、如图，正三角形ABC的边长为2, M为BC中点，P为AC上一动点，贝U PB+PM 的最小值为多少？6等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PM最小值为________________ 。

7、在三角形ABC中，点D,E分别为AB,AC边上的中点，BC=6 BC边上的高为4,若点P为BC边上一个动点，则三角形PDE周长的最小值是多少？8、如图，在矩形ABCD中, AD=3 / CAB=30、点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，贝U AQ+PQ勺最小值是多少？提咼训练1、如图，在直角三角形ABC中、/ ACB=90 , AC=6,BC=8 AD为/BAC的平分线。

(完整)初三复习将军饮马(终稿)

初三复习专题最短路径问题——将军饮马班级: 姓名：将军饮马问题=最短距离问题=轴对称问题一、基本模型（2条线段和最小）：1、如图，在定直线l 的同侧有两定点A,B,在直线l 上求作点P ，使PA+PB 最小。

二、模型变型（3条线段和最小） 2、如图，点P 是∠MON 内的一定点，分别在OM 、ON 上作点A 、B ，使△PAB 的周长最小。

【例1】如图，∠M O N =45°，P 是∠M O N 内一点，PO=10，A ,B 分别是O M 、O N 上的动点，则△ABP 周长的最小值为。

【方法归纳：】1、作图的一般步骤是：①② ③ 2、计算最短线段长度的方法：【例2】、已知抛物线2(1)4y x =--+交x 轴于A(-1,0)、B （3,0）两点，交y 轴于点D （0，3），又已知点E （2,3），点F （0，1）。

点G 为对称轴PQ 上一动点，试问在x 轴上是否存在一点H ，使D,G,H,F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由。

ON三、模型再变型（线段+点到线距离之和最小）3、如图，点P 是∠MON 内的一定点，在射线OM 、ON 上分别找两个点A 、B ，使PA+AB 最小。

【例3】、如图2，菱形ABCD 中，AB=10，∠B=135°，E 是AB 上一动点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为．【变式】、已知直线1l 和2l 交于M 点，夹角为30°，点A 在1l 上且AM=10，P 是2l 上一动点，则P 点到A 点的距离与1l 的距离之和的最小值为。

四、将军饮马+平移模型4、如图，已知有两个定点A 、B ，在定直线l 有两个动点P 、Q ，且PQ 长度不变，求作点P 、Q 使得AP+PQ+BQ 最小。

（A 、B 异侧）（A 、B 同侧）【例4】、如图，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两边A 处和B 处，现准备合作修建一座桥，桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？请做出示意图。

路径最短-将军饮马

A
G´
E E
FF
B
变式训练
将军饮马
提升能力
如图,正方形EFGH的边EF在正方形ABCD的边BC上.若AB=4,EF=2,则AG+DH的
2 13
最小值为_____.
造桥选址---两定两动(定长)
D
A
H
B
E
G´
G
F C
M
课堂小结
将军饮马
知识梳理
你收获了什么？
你还有什么疑惑呢？
课堂小结
将军饮马
知识梳理
B.(0，)
B)
C.(0,2.5) D.(0，)
y
A
河边
C
E
E
B
D
O
D´
x
将军饮马---两定一动
变式训练
知识点一
如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB
边上一动点，则EC+ED的最小值是
。
A
E
C
D
B
典例精讲
将军遛马---两定两动
知识点二

【例2】如图,点A(a,3)B(b,1)都在双曲线y= 上,点C,D分别是x轴,y轴上
谢谢大家的聆听
与指导！
知识点三
N1
ＭＭ2
N
a
b
N2
B
如图,MN即为所求
A´N1+N1B+M1N1
AM1+M1N1+N1B=_____________
A´N+MN+NB ＝A´B+MN
AM+MN+NB=__________

中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)

x （1）求a，b的值；
（2）点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时.
①求直线PQ的解析式；②求四边形PABQ周长的最小值。
y
y
B．
A
Q
PO
x
B ． B′
A
Q
PO
x
A′
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)
典例探究
例7
如图，已知点A（
1 2
，y1），B（2，y2）为反比例函数
y
1 的图 x
象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当AP-BP最大时，点
P的坐标是（ D ）
A、（ 1 ，0） B、（ 1 ，0） 2
C、（ 3 ，0） 2
D、（ 5 ，0） 2
y
A
y x 5 2
B
O
P
P
x
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)
梳理体系
【将军饮马问题模型5】同侧两点差的最值问题
A
B l
P （1）
|PA-PB|最大问题
A
B
P
l
（2）
|PA-PB|最小问题
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)
y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C

最短路径(将军饮马)问题(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 24-25学年八年级数学上册

专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△PAB的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形PAQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON 上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC ∆中，3,4AB AC ==，EF 垂直平分BC ，交AC 于点D ，则ABP 周长的最小值是（）A ．12B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP BP +的值最小，即可得到ABP 周长最小．解：∵EF 垂直平分BC ，∴点B ，C 关于EF 对称．∴当点P 和点D 重合时，AP BP +的值最小．此时AP BP AC +=，∵3,4AB AC ==，ABP ∴ 周长的最小值是347AP BP AB AB AC ++=+=+=，故选：C ．【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在ABC V 中，1216AB AC ==，，20BC =．将ABC V 沿射线BM 折叠，使点A 与BC 边上的点D 重合，E 为射线BM 上的一个动点，则CDE 周长的最小值．【答案】24【详解】设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF 先根据折叠的性质可得12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，再根据两点之间线段最短可得当点E 与点F 重合时，CDE 周长最小，进而求解即可．解：如图，设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF ，由折叠的性质得：12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，20128CD BC BD ∴=-=-=，CDE ∴ 周长8CD DE CE AE CE =++=++，要使CDE 周长最小，只需AE CE +最小，由两点之间线段最短可知，当点E 与点F 重合时，最小值为AC ，∴CDE 周长为：681624AC +=+=．故答案为：24．【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，45MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数为（）A ．45︒B ．90︒C ．100︒D ．135︒【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，连接A B ''，此时PAB 的周长最小为A B ''，求出A B ''即可．解：如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，然后连接A B ''，∵点A '与点P 关于直线OM 对称，点B '与点P 关于ON 对称，∴A P OM B P ON A A AP B B BP ''''⊥⊥==，，，，∴A APA B BPB ''''∠=∠∠=∠，，∵A P OM B P ON ''⊥⊥，，∴180MON A PB ''∠+∠=︒，∴18045135A PB ''∠=︒-︒=︒，在A B P ''△中，由三角形的内角和定理可知：18013545A B ''∠+∠=︒-︒=︒，∴45A PA BPB ''∠+∠=︒，∴1354590APB ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，45AOB ∠=︒，点M N 、分别在射线OA OB 、上，5MN =，15OMN S = ，点P 是直线MN 上的一个动点，点P 关于OA 的对称点为1P ，点P 关于OB 的对称点为2P ，连接1OP 、2OP 、12PP ，当点P 在直线MN 上运动时，则12OPP 面积的最小值是．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC V 中，3AB =，4BC =，5AC =，AB BC ⊥，点P 、Q 分别是边BC 、AC 上的动点，则AP PQ +的最小值等于（）A ．4B ．245C ．5D ．275【答案】B 【分析】作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，得到当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到A Q AC '⊥时，A Q '最小，进行求解即可．解：作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是ABC V 的角平分线，若P Q 、分别是AD 和AC 边上的动点，则PC PQ +的最小值是．AD 是BAC ∠的平分线，1QAD Q AD∴∠=∠在AQD 与1AQ D 中【考点4】两定两动型；【例4】如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，=''CP CD DE CP CD DE ++++，'P OE ∠''P C D E 、、、在一条直线上，且''P E ''=9048=42OP E ∠︒-︒︒，'='''=7842CP P OP P OP E ∠∠-∠︒-︒=【答案】44βα-=︒【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．OQM OQM NQP '∴∠=∠=∠，OPQ ∠∴1(180)2PQN AOB α∠=︒-=∠+∠44βα∴-=︒，故答案为：44βα-=︒．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中∠ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE =CF ，当BF ＋CE 取最小值时，∠AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出∠AFB 的度数即可．解：如图，作CH ⊥BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，∵AC=BC ，∴CH=AC ，∵∠HCB=90°，AD ⊥BC ，∴AD//CH ，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH ≌△AEC ，∴FH=CE ，∴FH+BF=CE+BF 最小，此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度．【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．∵CAB ∠的角平分线交∴FAP ∠∠=∵AP AP =，∴APF APE ≌∴PF PE =，第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为．【答案】12【分析】以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，可证得△ECB ≌△DCA 从而得到BE=AD ，再根据三角形的三边关系即可得出结论．解：如图1，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，∵CE=CD ，CB=CA ，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA ，∴△ECB ≌△DCA （SAS ），∴BE=AD ，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则AD 的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD 转化为BE 从而求解，是一道较好的中考题．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值为．在Rt DFC △中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=，122()2AD DC AD DC +=+2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=︒，2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，点M 为线段AB 中点，2AC =，8BD =，8AB =，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，证明'' A MB 为等边三角形，即可解决问题．解：如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，∵120CMD ∠=︒，∴60∠+∠=︒AMC DMB ，∴60''∠+∠=︒CMA DMB ，∴60''∠=︒A MB ，∵MA MB MA MB ''===，∴'' A MB 为等边三角形∵14CD CA A B B D CA AM BD ''''<++=++=，∴CD 的最大值为14，故选：C ．【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角ABC V 中，302A BC ∠=︒=，，ABC V 的面积是6，D 、E 、F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．6D ．7∴AM AE AN ==，MF =∵BAC BAD DAC ∠=∠+∠∴MAN MAB BAD ∠=∠+∠∴(2MAN BAE EAC ∠=∠+∠。

最短路径(将军饮马)问题资料讲解

最短路径（将军饮马）问题与拓展相关定理或公理：①线段公理：两点之间，线段最短。

由此可以推出两边之和大于第三边；②垂线段性质：垂线段最短。

问题提出：唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。

如图，将军在观望烽火后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后再走到B 点的营地。

怎样走才能使总的路程最短？模型【1】一定直线，异侧两定点已知：直线l 和它异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小模型【2】一定直线，同侧两定点已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小模型【3】两定直线，两定点已知：∠MON 内部有两点P 、Q ，在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使四边形PQBA 周长最小模型【4】两定直线，一定点已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使△PAB 周长最小A l A M O N P Q ON P模型【5】两定直线，一定点已知：∠MON内部有一点P在OM、ON上分别作点A、B，使AB＋PB最小注意：模型4与模型5的联系与区别变式：线段之差最大问题模型【6】一定直线，同侧两定点已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使︱PA－PB︱最大模型【7】一定直线，异侧两定点已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使︱PA－PB︱最大造桥选址问题利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。

原题再现如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。

桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。

（人教版八年级上册第86页）MO NPllAB变式拓展模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线求作一条线段CD （长度不变），使AC ＋CD ＋DB 最小巩固练习1、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAD ＝110°，在BC 上存在一点M ，在CD 上存在点N ，使△AMN 的周长最短，则∠MAN 的度数为；2、如图，Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5， BD 平分∠BAC ，点E 、F 分别为BD 、BC 上的动点，连接CE 、EF ，则C E ＋EF 的最小值是______3、如图，若AP ＝4，∠CAB ＝30°，在AB 上有一动点M ，AC 上有一动点N ，则 PMN 周长的最小值是____________4、如图，△ABC 在平面直角坐标系中，且A (1，3)、B (－4，1)、若M （a-1，0）、N （a ，0），当BM ＋MN ＋NA 最小时，直接写出a 的值是_________．几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．l D A B C 第1题图 D C B A BA C P DC AB E F例1、如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足是点D ，点E 为直线AD 上一点，以CE 为边作等边三角形CEF ，则DF 的最小值是________练习：1、如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，点D 为BC 中点，，点E 为直线BC 上一点，以AE 为边作等边三角形AEF ，则DF 的最小值是________2、平面直角坐标系中，C (0，4)，K (2，0)，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，当点A 在x 轴上运动，BK 取最小值时，点ABC B。

将军饮马问题--利用轴对称求最短距离

课题将军饮马--应用轴对称变换求线段和最短课型复习课时间2017.3.31 授课教师裴岩教学目标1.掌握简单的轴对称图形的性质并能应用解决实际问题。

2.在丰富的现实情境中，经历归纳、观察、分析、交流等数学活动过程，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称的直观体验和理解，发展学生有条理的思考和语言表达能力.3.数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强数学应用意识.教学重点理解轴对称图形的有关性质，并体验轴对称在现实生活中的广泛应用.教学难点轴对称的有关性质在现实生活中的应用.教学准备多媒体课件教学过程活动环节教师活动学生活动设计意图激疑引趣, 提出问题一.激疑引趣,提出问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？聆听、了解从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想.探索新知，解决问题二、探索新知，解决问题活动一：任务驱动启迪智慧------利用轴对称的性质尝试解决问题1、梳理所学，完成任务清单。

问题一：在直线上找一点C，使AC最短？将军骑马从城堡A出发，到一条笔直的小河边饮马。

问：在河边的什么位置饮马,将军所走的路径最短？问题二：在直线上找一点C，使CA+CB最小？将军骑马从城堡A出发，到军营B去，途中经过一条笔直的小河。

将军问：在小河的什么地方饮马可使他所走的路程最短？问题三分析：当点C在直线l 的什么位置时，AC+C B的和最小？独立思考、画图分析，并展示交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.探索新知，解决问题问题三：联想如果点A、B在直线l的异侧时问题三：对比分析思考：能把A、B两点从直线l的同侧转化为异侧吗？问题三：作法及思路分析1.作点B关于直线l的对称点B′ ，连接CB′。

数学人教八年级上册课题学习最短路径--将军饮马问题

B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
P
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点P,使AP+BP最短问题.
问题1 假如A、B是直线l异侧两个点，你能得到最短路径P所在位置吗？
解：连接AB,与直线l相交于一点P.
A
P
l
根据“两点之间，线段最短”，
B
可知这个交点即为所求.
问题2
如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？
13.4课题学习最短路径 ----将军饮马
一．复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？
①
②
②最短，因为两点之间，线段最短.
A
③
B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有
线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短.
A BC
Dl
3.在以前学习三角形中，有哪些有关线段大小的结论？ AB+A=10，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB
的最小值为
.
[请小组讨论，能不能得到答案？]
变式1. 两点一线
将军带着马从营房出发，先去草地吃草，再去河边喝水，最后回到
营房，怎么走路径最短？
P'
A
M P
O N B
P''
请同学们先分析出定点、动点、对称轴，做出你的画法 [再请同学们小组交流谈论]
B.轴对称的性质
C.两点之间，线段最短及轴对称的性质 D.以上都不正确
2.P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC 上求作一点M，使△PQM的周长最短

[初中++数学]第十三章+单元专题复习+最短路线之将军饮马+课件+人教版八年级数学上册+

3
例题—变式二
1
如图，在∠MON内有两点
P，Q，在OM，ON上分别找
两点A，B，使四边形PABQ的
周长最小。
A
C四边形PABQ=AP+PQ+QB+AB
=AP1+PQ+Q1B+AB
O
=P1Q1+PQ
A
M
P
Q
B
B
1
如图，点A，B即可使四边形PABQ的周长最小。
N
3
例题—拓展
A，B与直线L的位置关系
米,20米。DE=120米,求PA+PB最小值。
（2）解由题知： E=BE=20米；
EF=AD=30米；AF=DE=120米
所以，在Rt AF中，由勾股
2
2
2
定理知： + =
2
所以， =120 2 +50 2 =1302
所以， A =130米
所以，PA+PB的最小值为130米。
A
F
B 30米
P
L
E
D
P 20米
1
120米
2
精例讲解—例题
如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一
点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点。则BQ+QE的最
10
小值为——。
关
找对称
键
关两点之间，线
键段最短。
BQ+QE最小值=DQ+QE
=DE= +
= +
=
D
Q
A
E
C
B
3
例题—变式一

借几何直观助将军饮马——最短路径问题课例回

借几何直观助将军饮马——最短路径问题课例回几何直观是《新课标》的核心概念之一.它就是凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，使抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，帮助学生突破数学理解上的难点.几何直观是数形结合思想地更好体现，通过图形的直观性质来阐明数与数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透. 下面就是对人教版八年级上的数学活动——将军饮马问题所进行的课例回顾：环节 1 课例解析本节课围绕的教学关键问题是:如何培养学生用图形分析和解决问题的能力?（1）内容解析.本节课的主要内容是借助几何直观解决将军饮马问题.解决这类问题的关键是学生在理解了“形动”（点在直线上的位置变化）与“数变”（两条线段之和的变化）之间的对应关系后，通过画出图象系将图象的运动变化过程直观呈现出来，然后再由观察、分析、归纳等思维活动发现使两条线的和最小时点的确切位置.在这一个过程中，图形使实际问题具体化、形象化，有助于学生探索解决问题的思路，获得结果.通过本节课的学习，将有助于培养学生用图形分析和解决问题的能力，体会几何直观在数学学习中的重要作用. 体现了几何直观能将“复杂问题变得简明形象，有助于学生理解数学”的作用.（2）学情分析.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答：“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如何在上 l 找点 C，使 AC 与CB 的和最小”，需要将其转化为“直线 l 异侧的两点，与 l 上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线 l 的异侧的两点，与 l 上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用.（3）目标分析.通过以上分析，将本节课的教学目标确定为：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会几何直观在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想、数学结合思想.（4）基本思路.本节课设计主要分为三个活动.活动 1：提出问题 1，通过解决问题回顾解决两条线段之和最小的依据“两点之间，线段最短”.首先通过提出问题，借助几何画板引导学生分析两条线段之和的大小与点的位置变化之间的关系，并启发学生通过画出图，对问题进行直观分析，然后引导学生对分析问题的思维方法进行回顾.问题 1 已知在平面直角坐标系中，点 A、B 分别在直线 l 的异侧，请你在直线上取一点 C，使点 C 到点 A、B 的距离之和最小.活动 2：问题变式，深化直观分析.在问题 1 的基础上，引出将军饮马问题，让学生经历“实践-反思-再归纳-再反思”的学习过程，提高用图象直观分析和解决问题的能力，积累活动经验.活动 3：课堂小结，梳理学习收获.环节 2 片断回放下面回放活动 2 的教学过程.问题 2 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图 1 所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到军营B 地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?图 1追问 1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢?师生活动：将 A、B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线追问 2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它进一步抽象为数学的问题吗?师生活动：学生认真思考后交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地；（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点.设 C 为直线 l 上的一个动点，上面的问题转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小.（4）并通过画图和几何画板等度量等发现，点 C 位置变化，AC 与 CB 的和也发生变化（如图 2）.图 2［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题，更有利于分析问题、解决问题.追问 3，你能尝试解决这道新出现的问题吗?师生活动：学生认真思考后交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）在转化思想的指引下，利用轴对称将“同侧两条线段之和”转化为“异侧两条线段之和”；作法：作点 B 关于直线 l 对称点B’，连接CB’，∵点B’、B 关于直线 l 对称，∴CB= CB’∴AC+CB= AC+CB’但是这个点 C 并不一定是能使 AC+CB 取最小值(点 C 是直线 l 上的任意一点).当 AC+CB 最小值的问题转化为求AC+CB’的最小值问题后，即转化为问题 1，连接AB’交直线 l 于点 D.∵AD+BD< AC+B’C=AC+BC即 AD+BD< AC+BC∴点 D 即为所求.［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题运用直观想象，将两线段在直线同侧的问题，转化为两线段在直线异侧的问题，提高学生的几何直观能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.环节 3 教学反思本节课作为数学活动课，关注学生的思维发展，围绕“如何培养学生用图形分析和解决问题的能力”这一教学关键问题，主要有以下两个突出的做法：实践反思，深化学生主动画图、用图分析问题的意识.针对部分学生缺乏借助图形解决问题的意识，我没有急于给出借助图形解决问题的方法，而是结合具体的问题情境，以生生互动及教师追问的形式，帮助出现困难或错误的同学，在实践反思的过程中，逐步认识到图形对理解及解决问题的不可替代的作用.在问题 1 的解答中，学生有以下几种画图：如图 5，连接 AB 交直线 l 于点 C，则 AC+BC 的值最小.在直线 l 上任意取一点C’（如图 6），连接AC’、BC’，依据“两点之间线段最短可得”，AC+BC图 6在问题 2 的解决中更是借助直观想象，通过轴对称变换把同侧两条线段之和转化为异侧两条线段之和.整节课始终鼓励学生画图、用图，借助几何直观从而最终深化用图形分析问题、解决问题的意识，即“以形解数”.本节课教学虽已结束，教学过程中暴露出的学生的思维障碍，引起了我的深度思考：日常教学中，该如何培养学生用图形分析和解决出现问题的能力呢?1.在教学中使学生掌握基本的作图能力，养成规范作图的习惯这里的画图包括尺规作图和借助直尺等画图工具画图，画图对理解概念、寻求解题思路都有很大的帮助。

「中考数学」将军饮马问题之线段和最短分类总结

「中考数学」将军饮马问题之线段和最短分类总结唐朝诗人李颀（qí ）的诗《古从军行》开头两句说:'白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. '诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B 地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传.将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。

所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。

而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。

比如题目经常会出现线段a+b 这样的条件或者问题。

一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。

【模型一】一定直线，异侧两定点1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使PA+PB 最小。

【模型二】一定直线，同侧两定点2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使PA+PB 最小。

【模型三】一定点，两定直线3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B，使△PAB 的周长最小.【模型四】两定点，两定直线4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点A，B，使四边形 PAQB 的周长最小。

【模型五】一定直线、一定点、一动点5.已知直线l和定点A,在直线k上找一点B(点A、B在直线l同侧),在直线l上找点P,使得AP+PB最小。

【中考2020】专题突破（2）将军饮马之最短路径

【中考2020】专题突破（2）将军饮马之最短路径写在前面转眼间，距离中考已不足3个月，今年，新冠肺炎疫情已在全球蔓延，国内多地也延期开学，为了广大初三考生能在未来的中考中取得好成绩，笔者开设了《中考2020》专题突破的系列专栏，结合自身收集的好题与优质公众号的内容，以及笔者的《领跑数学二轮专题复习》，对一些热门中考内容作一个整理，今天分享将军饮马最短路径！【导入】：唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．在平面几何中，涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；②垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折、旋转、平移变换，把一些线段进行转化即可应用①② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”模型。

【模型总结及例题讲解】--小编从四个角度具体分析01定点与定直线线段和最小值问题，可通过变换（轴对称变换、旋转变换、平移变换）将动点变换到异侧且有公共点，构造三角形，从而运用三角形的两边之和大于第三边--两点之间线段最短），来解决线段最值问题。

看上述表格：我们举出反例（点P'），此时，点A、P'、B构成一个三角形，则转化为三角形三边关系；【延伸】：以下三种情况（定点与定直线）也可看为另一种（定点与定角）【例题讲解】：视频1：（包含1道例题、1道变式训练题）视频2：（包含1道例题、2道变式训练题）【有时候定直线是隐含的】-两个定点一个动点和两个动点一个定点02定点与定角【例题讲解】：视频1：（包含1道例题、1道变式训练题）图文1：（包含6道例题）一定两动两直线：图文2：（包含4道例题）两定两动两直线：[变式训练题可查看模拟考及期末测试卷]03两定点与一定长【例题讲解】：图文1：（沈阳市2019年中考第25题）04三动点-直线型与圆弧型直线型：从而得到一个重要结论：锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形周长最小【例题】：直线—沈阳2015年中考数学第25题圆弧—陕西2018年中考数学第25题。