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高二数学导数练习题

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人教版高二数学《导数的四则运算法则含答案解析》练习

人教版高二数学《导数的四则运算法则含答案解析》练习

5.2.2导数的四则运算法则[A级　基础巩固]1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 B．－2C．2 D．0解析：选B　∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．函数y＝x2x＋3的导数是( )A.x2＋6x(x＋3)2B.x2＋6xx＋3C.－2x(x＋3)2D.3x2＋6x(x＋3)2解析：选A　y′＝(x2x＋3)′＝(x2)′(x＋3)－x2(x＋3)′(x＋3)2＝2x(x＋3)－x2(x＋3)2＝x2＋6x(x＋3)2.3．曲线f(x)＝x ln x在点x＝1处的切线方程为( )A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝x－1 D．y＝x＋1解析：选C　∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.4．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D　y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )A．1 B．±1C．－1 D．－2解析：选A　设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax30＋3，所以3x0＋1＝ax30＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax20＝3，ax20＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝07．已知曲线y1＝2－1x与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.解析：由题知y′1＝1x2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为1x20，3x20－2x0＋2，所以3x20－2x0＋2x20＝3，所以x0＝1.答案：18．已知函数f(x)＝f′(π4)cos x＋sin x，则f(π4)的值为________．解析：∵f′(x)＝－f′(π4)sin x＋cos x，∴f′(π4)＝－f′(π4)×22＋22，得f′(π4)＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x.∴f(π4)＝1.答案：19．求下列函数的导数：(1)y＝x－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x2sin x；(4)y＝x＋3x2＋3.解：(1)y′＝(x－ln x)′＝(x)′－(ln x)′＝12x－1x.(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝(x2)′·sin x－x2·(sin x)′sin2x＝2x sin x－x2cos xsin2x.(4)y′＝1·(x2＋3)－(x＋3)·2x(x2＋3)2＝－x2－6x＋3 (x2＋3)2.10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．c，13．曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．解析：y′＝－1(2x－1)2，则y′Error!＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－114．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切线与直线y＝－14x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.[C级　拓展探究]15．设f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求f n′(2)；(2)证明：f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点(记为a n)，且0＜a n－12＜2n3n＋1.解：(1)由题设f n′(x)＝1＋2x＋…＋nx n－1.所以f n′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2f n′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②①－②得，－f n′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以f n′(2)＝(n－1)·2n＋1.(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.f n(23)＝23[1－(23)n]1－23－1＝1－2×(23)n≥1－2×(23)2＞0，所以f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1为增函数，所以f n(x)在(0，23)内单调递增，因此f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点a n.由于f n(x)＝x－x n＋11－x－1，所以0＝f n(a n)＝a n－a n＋1n1－a n－1，由此可得a n＝12＋12a n＋1n＞12，故12＜a n＜23.1 2＝12a n＋1n＜12×(23)n＋1＝2n3n＋1.所以0＜a n－。

高二数学导数的计算试题

高二数学导数的计算试题

高二数学导数的计算试题1.下列四组函数中导数相等的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

按求导公式及求导法则可知，选D。

2.设则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

解：按乘积的求导法则可得，故选D。

3.对任意的，有则此函数解析式可以为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

解：按选项验证知，选B。

4.函数的导数， .【答案】, 67【解析】主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

解：的导数为，所以67。

5.已知函数且则 .【答案】【解析】主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

解：的导数为，所以，解得。

6.一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 ________【答案】1，2，4秒末；【解析】主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

解：即s的导数为0的时刻。

由=0得，所以。

7.求下列函数的导数①②【答案】①；②。

【解析】主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

解：①法一：∴法二：=+②∴。

8.如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．【答案】或。

【解析】主要考查导数的几何意义、导数公式及导数的四则运算法则。

解：切线与直线平行，斜率为4又切线在点的斜率为∵∴或∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或。

9.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．求函数y=f(x)的解析式；【答案】【解析】主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

解：由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在M(-1,f(-1))处的切线方程是，知故所求的解析式是10.若实数，满足约束条件，则的取值范围是．【答案】【解析】由约束条件作出可行域如下图，求得．利用斜率公式得结合图形可知的取值范围是，所以的取值范围是．【考点】简单的线性规划．。

高二数学导数大题练习题及答案

高二数学导数大题练习题及答案

高二数学导数大题练习题及答案一、解答题1．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数. (1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.2．已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若121322x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由.3．已知函数()()2231ln 2f x x a a x a a x =-+-+. (1)若1a =，求()f x 在[]1,2上的值域； (2)若20a a -≠，讨论()f x 的单调性. 4．已知函数()e 1()x f x ax a =-+∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性与极值；(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围. 5．已知函数()()1ln f x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值. 6．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．7．已知函数()12ln f x x x x=--. (1)判断函数()f x 的单调性；(2)设()()()28g x f x bf x =-，当1x >时，()0g x >，求实数b 的取值范围.8．已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.9．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）10．已知函数()222(0)exmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224ef x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增 当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減 综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足， 对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立， 所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 2．(1)0a ≤(2)()()21f x f x <，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分离参变量，得到ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题；（2）由（1）可得1ln x x -≥，从而判断()g x 的单调性，确定1213122x x <<<<，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出122x x +<；再次构造函数1ln ()12t tF t t -=-+，判断其单调性，由此推出2211ln ln x x x x -<-，可得结论. (1)()1x f ax ≥+恒成立，即ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立， 令ln 1()x x h x x --=，2ln ()xh x x'=， 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 递增， 故min ()(1)0h x h ==， 所以0a ≤. (2)2()121212ln 12(1ln )g x x x x x x x x '=--=--，由（1）知1ln x x -≥，所以在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0g x '≥，所以()g x 在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0g =.所以1213122x x <<<<，设()12(1ln )m x x x x =--，()12(22ln )m x x x '=--， 设()12(22ln )n x x x =--，则12(21)()x n x x -'=，13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0n x '>， 所以()m x '在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0m '=，所以()m x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()()(2)H x g x g x =+-，()()(2)12[22ln (2)ln(2)]H x g x g x x x x x x '''=--=--+--， 令()()G x H x '=，()2()12ln 2G x x x '=--，31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0G x '>，所以()H x '在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H ''>=， 所以()H x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H >=， 所以()()()22220H x g x g x =+->，()()()2212g x g x g x ->-=，而()g x 在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以212x x ->，122x x +<；设1ln ()12t tF t t -=-+，()()()221021t F t t t '--=≤+， 所以()F t 单调递减，且(1)0F =，1t >，()0F t <，所以210x F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即221121ln 121x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，即212121ln 2ln x x x x x x -<+-， 所以212121ln ln 12x x x x x x-+<-<， 所以2121ln ln x x x x -<-，即2211ln ln x x x x -<-. 所以()()21f x f x <. 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清晰明确.3．(1)5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)代入a ＝1，求f (x )导数，根据导数判断f (x )在[1，2]上的单调性即可求其值域；(2)根据a 的范围，分类讨论f (x )导数的正负即可求f (x )的单调性. (1)a ＝1，则()2121ln ,02f x x x x x =--+>，()22121(1)20x x x f x x x x x-+-=-+='=，∴()f x 在()0,∞+单调递增，∴f (x )在[]1,2单调递增，∴()()()51,2,3ln 22f x f f ⎡⎤⎡⎤∈=--+⎣⎦⎢⎥⎣⎦，即f (x )在[1，2]上值域为5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)()()()()()223232,0x a a x a x a x a af x x a a x x x x'-++--=-++==>，()10f x x a '=⇒=，22x a =， 200a a a -≠⇒≠且1a ≠，①当1a >时，21a a >>，0x a <<或2x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；②当01a <<时，201a a <<<，20x a <<或x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；③当0a <时，20a a >>，20x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，2x a >，()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当0a <时，f (x )在()20,a 单调递减，在()2,a +∞单调递增；当01a <<时，f (x )在()20,a ，(),a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减；当1a >时，f (x )在()0,a ，()2,a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减.4．(1)答案见解析 (2)(,e 3]-∞+ 【解析】 【分析】（1）求导得到()x f x e a '=-，讨论0a 和0a >两种情况，分别计算得到答案. （2）0x >时，2e 1x x x a x +++≤，令2e 1()(0)x x x g x x x+++=>，求函数的最小值，得到答案. (1)()e 1x f x ax =-+，()e x f x a '∴=-.①当0a ≤时，()e 0x f x a '=->恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极大值也无极小值；②当0a >，(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.∴函数()f x 有极小值为ln (ln )e ln 1ln 1a f a a a a a a =-+=-+，无极大值.(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，则2e 1x x x a x +++≤恒成立，即2min e 1(0)x x x a x x ⎛⎫+++≤>⎪⎝⎭. 设2e 1()(0)x x x g x x x +++=>，则()2(1)e 1()x x x g x x -++'=，令()2(1)e1()0x x x g x x-++'==，解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，()(1)g x g ∴≥，min ()(1)e 3g x g ∴==+，∴当e 3a ≤+时满足对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，∴实数a 的取值范围为(,e 3]-∞+.5．(1)递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，极小值为2e --，没有极大值 (2)3 【解析】 【分析】（1）由导数分析单调性后求解 （2）参变分离后，转化为最值问题求解 (1)函数()()1ln f x x x =+的定义域为(0,)+∞， 由()=ln 2f x x '+，令()=0f x '可得2e x -=，当2(0,)e x -∈时，()0f x '<，函数()()1ln f x x x =+在2(0,e )-上单调递减， 当2(e ,)x -∈+∞时，()0f x '>，函数()()1ln f x x x =+在2(e ,)-+∞上单调递增， ∴ 函数()()1ln f x x x =+的递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，函数()()1ln f x x x =+在2e x -=时取极小值，极小值为2e --，函数()()1ln f x x x =+没有极大值 (2)当()1,x ∈+∞时，不等式()()1m x f x -<可化为ln 1x x xm x +<-， 设ln ()1x x xg x x +=-，由已知可得[]min ()g x m <， 又()()()22ln 2(1)ln 2'ln 11()x x x x g x x x x x x +---==----， 令()ln 2(1)h x x x x =-->，则1'()10h x x=->，∴ ()ln 2h x x x =--在()1,+∞上为增函数，又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， ∴ 存在0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -= 当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(,)x +∞上单调递增， ∴ []20000000min 00ln ()=()==11x x x x x g x g x x x x +-=--， ∴ 0m x <， ∴ m 的最大值为3. 6．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln xf x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=，直线y g x 过定点()1,0， 若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.7．(1)在(0,)+∞单调递增；(2)1b ≤【解析】【分析】（1）对函数()f x 通过求导，判断出导数恒大于等于0，得到()f x 在(0,)+∞单调递增.（2）将()g x 化简整理并求导，得到222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，讨论b 的取值可确定()g x 在(1,)+∞单调性，即可得到取值范围.(1)因为()f x 的定义域为(0,)+∞，对函数()f x 求导，则222221221(1)()10x x x f x x x x x '-+-=+-==≥，∴函数()f x 在(0,)+∞单调递增. (2)因为()()()28g x f x bf x =-，所以22211()2ln 8(2ln )0=----->g x x x b x x x x对1x ∀>恒成立， 322412()28(1)'=+--+-g x x b x x x x 4232312248(2)⎡⎤=+--+-⎣⎦x x b x x x x 222322(1)2(1)1(1)4(24)--⎡⎤=+-=++-⎣⎦x x x bx x b x x x当1x >时，124++>x x ，当44≤b ，即1b ≤时，()0g x '>对1x ∀>恒成立，∴()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)g x g >=0符合题意. 当1b >时，存在01x >使得当0(1,)x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减；此时()(1)0g x g <=这与()0>g x 恒成立矛盾.综上：1b ≤.【点睛】本题考查函数恒成立条件下求解参数范围问题，属于难题.对函数()g x 求导，有222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，再利用()1=0g 的特点，可分类讨论b 的取值范围，在1b ≤时，()g x 在(1,)+∞单调递增，原式成立，此时满足要求；当1b >时，()g x 在(1,)+∞先出现递减区间，必有()0g x <出现，与已知矛盾，即可确定b 的范围.8．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围；（2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2xe a x≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--，因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-，故m 的取值范围是(],2-∞-；(2)由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤，当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，当0x >时，2e x a x≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==， 则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增， 故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4a ≤， 综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 9．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点；②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案.(1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯. 故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关.(2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦ 【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围.(1)()()()()221422(0)e e x x mx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-< 当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立 所以()f x 在[]1,2上为增函数，即()()max min 242()2,()1e e m m f x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立 ()224e 24e e m -+∴≥ 即24e m ≤-， 又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。

高二导数求参数范围练习题

高二导数求参数范围练习题

高二导数求参数范围练习题在高二数学中，导数是一个重要的概念。

它不仅在微积分中有着重要的作用，而且在实际问题中也有广泛的应用。

导数可以帮助我们研究函数的变化规律和性质。

在求参数范围的问题中，导数也扮演着重要的角色。

本文将通过几个练习题来演示如何使用导数求解参数的取值范围。

练习题一：已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a，b，c 是实数。

如果函数图像的顶点位于 x 轴上方，则参数 a 的取值范围是多少？解答：根据函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的二次函数性质，当参数 a 大于零时，函数的图像开口向上，顶点位于 x 轴上方；当参数 a 小于零时，函数的图像开口向下，顶点位于 x 轴下方。

因此，要使函数图像的顶点位于 x 轴上方，参数 a 必须大于零。

即：a > 0。

练习题二：已知函数 g(x) = |x - a| + b，其中 a，b 是实数。

若函数图像在点 (1, 3) 处有一个拐点，则参数 b 的取值范围是多少？解答：根据函数 g(x) = |x - a| + b 的绝对值函数性质，在点 (1, 3) 处有一个拐点意味着函数图像在该点两侧的斜率不相等。

求解此题需要分别考虑拐点在 (1, 3) 左侧和右侧的情况。

首先考虑拐点在 (1, 3) 左侧的情况，即 x < 1。

当 x < 1 时，函数 g(x) = |x - a| + b 可以化简为 g(x) = -(x - a) + b = -x + a + b。

此时，函数图像的斜率为 -1。

根据斜率与函数的图像关系，当参数b 大于 3 - a 时，函数图像在 (1, 3) 左侧有一个拐点。

接下来考虑拐点在 (1, 3) 右侧的情况，即 x > 1。

当 x > 1 时，函数 g(x) = |x - a| + b 可以化简为 g(x) = x - a + b。

此时，函数图像的斜率为 1。

根据斜率与函数的图像关系，当参数b 小于 3 - a 时，函数图像在 (1, 3) 右侧有一个拐点。

高二数学导数大题练习题(含答案)

高二数学导数大题练习题(含答案)

高二数学导数大题练习题(含答案)一、解答题1．已知函数()()2e 1=-+xf x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21ea ≥时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥． 2．已知函数()ln x f x x=． (1)求曲线()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；(2)设()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，求证：212e x x >．3．已知函数()32f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值． 4．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>．(1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．5．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.6．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<． 7．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．8．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．9．设函数y =x 3+ax 2+bx +c 的图像如图所示，且与y =0在原点相切，若函数的极小值为-4.(1)求a ，b ，c 的值. (2)求函数的递减区间.10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)1a = (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；（2）由于()()(1)e 2xf x x a =+-'，令()0f x '=，得1x =-或2ln x a=，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. (1)()()(1)e 2x f x x a =+-'，则(0)2f a '=-，由已知(2)1a a -=-，解得1a = (2)()()(1)e 2x f x x a =+-'（ⅰ）当0a ≤时，e 20x a -<，所以()01f x x '>⇒<-，()01f x x '<⇒>-，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减； （ⅱ）当0a >时，令e 20x a -=，得2ln x a=， ①02e a <<时，2ln 1a>-，所以()01f x x '>⇒<-或2ln x a >，()012ln af x x <⇒-<<'，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②2e a =时，()1()2(1)e 10x f x x +=+'-≥，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；③2e a >时，2ln 1a<-，所以2ln ()0x a f x >⇒<'或1x >-，2ln ()01f x ax <⇒<<-'，则()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增．综上，0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减；02e a <<时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；2e a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；2e a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． (3) 方法一：2()ln 2(0)f x x x x x ≥--->等价于e ln 10(0)x ax x x x --+≥>当21ea ≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 令221()e ln 1,()(1)e x x g x x x x g x x x --⎛⎫=--+=+- ⎝'⎪⎭ 令21()ex h x x-=-，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增 ∵11(1)10,(2)02h h e=-<=>， ∴存在0(1,2)x ∈，使得()00h x =，即020001e,2ln x x x x -=-=- 当()00,x x ∈时，()0g x '<，则()g x 在()00,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞上单调递增∴()02min 000000001()e ln 1210x g x g x x x x x x x x -==--+=⋅+--+= ∴()0g x ≥，故2()ln 2f x x x x ≥--- 方法二： 当21a e≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 2ln 2()e ln 1e (ln 2)1x x x g x x x x x x -+-=--+=-+--令ln 2t x x =+-，则t R ∈， 令()e 1t k t t =--，则()e 1t k t =-'当0t <时，()0k t '<；当0t >时，()0k t '>∴()k t 在区间(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增． ∴()(0)0k t k ≥=，即()0g x ≥ ∴2()ln 2f x x x x ≥---， 【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 2．(1)22e 3e 0x y --=； (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，计算1e f ⎛⎫⎪⎝⎭'和1ef ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点斜式代入写出切线方程；（2）设120x x >>，由题意得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，将证明212e x x >转化为证明()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，求导判断单调性即可证明. (1)由题意，()21ln x f x x -'=，则212e e f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，1e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为()21e 2e e y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即22e 3e 0x y --=. (2)设120x x >>，由题意，()()120g x g x ==， 所以1122ln 0,ln 0x kx x kx -=-=，可得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，要证明212e x x >，只需证12ln ln 2x x +>，即()122k x x +>，因为1212ln ln x x k x x -=-，所以可转化为证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+， 即()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()211ln1011h t ⨯->-=+， 即()21ln 1t t t ->+得证，所以212e x x >.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 3．(1)32()24f x x x x =+- (2)最大值为8，最小值为4027-． 【解析】 【分析】（1）由题意可得(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩从而可求出,a b ，即可求出()f x 的解析式，（2）令()0f x '=，求出x 的值，列表可得(),()f x f x '的值随x 的变化情况，从而可求出函数的最值 (1)由题意可得，2()32f x x ax b '=++．由(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ 经检验得2x =-时，()y f x =有极大值． 所以32()24f x x x x =+-． (2)由（1）知，2()344(2)(32)f x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，得12x =-，223x =，()'f x ，()f x 的值随x 的变化情况如下表：由表可知()f x 在[3,2]-上的最大值为8，最小值为27-． 4．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围；（2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e<<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x-+-'=--=，且()10f =， 由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数，又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数， 因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min 11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-． 设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦，令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x xx x --'=-=--，当11ee 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>，所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11ex <<时，()0p x <，()0h x <， 故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-，如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 5．(1)22y x =- (2)1-(3)(),1-∞-；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，()2ln f x x =，分别求出()1f 和()1f '求解即可；（2）条件等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+求解最大值即可； （3）令()()ln 0xm x x a x x=-->，求出()m x 的单调性，得到()()11max m x m a ==--， 根据题意求解a 的范围即可；不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，题设即证明()121m x m x ⎛⎫>⎪⎝⎭成立，构造()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭， 求解单调性得到()()10x ϕϕ>=即可求解. (1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =- (2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立， 所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立， 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln xh x x -'=， 令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增， 在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0xx a x--=， 令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=， 设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-； 再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-， 当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x xy x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷， 所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==， 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x xϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义， 往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．6．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值；(2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1， 故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，则()()1f m f n =<，则()274e 1142nn n -+<⇒<<．①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'． 设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<． 综上，7m n +<．7．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1xxxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e x g x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a ⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+. 8．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0， 若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解. 9．(1)3,0a b c =-==； (2)（0，2）． 【解析】 【分析】（1）由题得到三个方程，解方程即得解； （2）解不等式()'f x ＜0即得函数的单调递减区间． (1)解：由题意知(0)0f = ，∴c ＝0 .∴()f x ＝x 3+ax 2+bx ， 所以()'f x ＝3x 2+2ax +b 由题得(0)f '＝b ＝0，∴()'f x ＝3x 2+2ax ＝0，故极小值点为x 23a =-， ∴f （23a -）＝﹣4，∴323a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭a 223a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4，解得a ＝﹣3.故3,0a b c =-==. (2)解：令()'f x ＜0 即3x 2﹣6x ＜0，解得0＜x ＜2， ∴函数的递减区间为（0，2）．10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增(2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。

高二数学导数练习题及答案

高二数学导数练习题及答案

高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。

为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。

希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。

练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。

2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。

3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。

答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。

3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。

练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。

2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。

3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。

答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。

2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。

3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。

练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。

2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。

高二数学导数试题

高二数学导数试题

高二数学导数试题1.用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．12B．10C．8D．6【答案】C【解析】设在四角截去的正方形的边长为，则铁盒容积为，而，即的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在时V有极大值.【考点】导函数的应用、函数思想.2.已知函数在处有极大值，则=（）A．6B．C．2或6D．-2或6【答案】A【解析】根据题意，由于函数在处有极大值，则可知f’(2)=0,12-8c+=0，c=4.则可知=6，当c=2不符合题意，故答案为A.【考点】函数的极值点评：主要是考查了函数极值的运用，属于基础题。

3.对于R上的可导的任意函数，若满足，则函数在区间上必有（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】根据题意，由于对于R上的可导的任意函数，若满足1<x<2时，则可知函数f(x)递增，故可知函数在区间上必有成立，故答案为A.【考点】函数的单调性点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。

4.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）【答案】A【解析】根据题意，由于函数的导函数在区间上是增函数，函数在区间上的图象对于A,递增，的导数值从小的正数开始增大，成立，对于B，由于函数递增，导数的值逐渐减小，对于C，导数值不变，对于D，导数值先增大再减小，故选A.【考点】导数的概念点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，属于基础题。

5.已知函数（1）当时，求的极小值；（2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；（3）设，求的最大值的解析式．【答案】（1）-2（2）（3）【解析】（1） 1分当时，时，，2分的极小值是 3分（2）法1：，直线即，依题意，切线斜率，即无解 4分6分法2：， 4分要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立， 6分（3）因故只要求在上的最大值. 7分①当时，9分②当时，（ⅰ）当在上单调递增，此时 10分（ⅱ）当时，在单调递增；1°当时，；2°当（ⅰ）当（ⅱ）当 13分综上 14分【考点】导数的几何意义及函数极值最值点评：利用函数在某一点处的导数值等于过改点的切线斜率可确定第二问中导数值不可能为，求函数极值最值首先求得导数，当导数等于0时得到极值点，确定单调区间从而确定是极大值还是极小值，第三问求最值要分情况讨论在区间上的单调性，对于分情况讨论题是一个难点内容6.已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】，设，所以斜率的范围倾斜角的范围【考点】函数导数计算与几何意义点评：函数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，均值不等式求最值时要注意一正二定三相等的条件7.已知函数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 直线的方程为，切点坐标为【解析】(Ⅰ) 1分在点处的切线的斜率， 2分切线的方程为. 4分(Ⅱ)设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：． 6分又直线过点，，整理，得，，，的斜率， 10分直线的方程为，切点坐标为． 12分【考点】导数的几何意义及直线方程点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，在求切线方程时要从切点入手，找到切点满足的条件即可求得其坐标8.曲线上的点到直线的最短距离是__________.【答案】【解析】直线y=2x+3在曲线y=ln（2x+1）上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x-y+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2x-y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．解：因为直线2x-y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2x-y+3=0的距离d=即曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是故答案为：【考点】点到直线的距离点评：在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键．同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用．9.已知函数,若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于函数,若，则实数的值为2，故答案为A.【考点】导数的概念点评：主要是考查了导数的概念的运用，属于基础题。

高二数学函数与导数试题答案及解析

高二数学函数与导数试题答案及解析

高二数学函数与导数试题答案及解析1. f（x）=x5+ax3+bx-8且f（-2）=0，则f（2）等于（）A．-16B．-18C．-10D．10【答案】Ａ【解析】略2.；若．．【答案】４【解析】略3.函数，的最大值是（）A．B．-1C．0D．1【答案】D【解析】,所以当时；当时,所以函数在上单调递增,在上单调递减．所以．故D正确．【考点】用导数求最值．4.已知曲线f（x）＝ln x在点（x0，f（x））处的切线经过点（0，－1），则x的值为（）A．B．1C．e D．10【答案】B【解析】【考点】函数导数的几何意义5.函数的定义域为．【答案】【解析】函数的定义域为即函数的定义域为【考点】函数的定义域6.（本小题满分14分）北京市周边某工厂生产甲、乙两种产品．一天中，生产一吨甲产品、一吨乙产品所需要的煤、水以及产值如表所示：在会议期间，为了减少空气污染和废水排放．北京市对该厂每天用煤和用水有所限制，每天用煤最多吨，用水最多吨．问该厂如何安排生产，才能是日产值最大？最大的产值是多少？【答案】该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元．【解析】设每天生产甲种产品x吨,乙种产品y吨,建立目标函数和约束条件,利用线性规划，即可求出结果．试题解析：解：设每天生产甲种产品吨，乙种产品吨． 1分依题意可得线性约束条件4分目标函数为, 5分作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示8分将变形为当直线在纵轴上的截距达到最大值时， 9分即直线经过点M时，也达到最大值． 10分由得点的坐标为 12分所以当时， 13分因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元． 14分【考点】简单的线性规划．7.（本题满分12分）已知函数（为实数）．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；（Ⅲ）已知，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）详见解析．【解析】（1）先求导，利用导数的几何意义，再求进行求解；（2）求导，求极值点，根据函数在区间上不存在极值，得到的取值范围，根据条件存在满足，所以，所以求函数的最大值，因为含参，所以讨论对称轴于定义域的关系，求二次函数的最值，得到关于的不等式，再进行求解；（3）先判定函数的单调性，并求其最大值，得到，再进行换元，令，则，即，再代入裂项向消法求和，证明不等式．试题解析：（Ⅰ）当时，，，则，函数的图象在点的切线方程为：，即（Ⅱ），由由于函数在区间上不存在极值，所以或由于存在满足，所以对于函数，对称轴①当或，即或时，，由，结合或可得：或②当，即时，，由，结合可知：不存在；③当，即时，；由，结合可知：综上可知：或（Ⅲ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在处取得最大值即，∴，令，则，即，∴．故．【考点】1．导数的几何意义；2．函数的单调性；3．函数的极值；4．放缩法．8.设，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据指数函数的性质，可知，根据指数函数的单调性，可知，根据幂函数的单调性，可知，从而有，故C是正确的．【考点】利用指数函数的性质、幂函数的性质比较大小．9.（本小题满分10分）已知函数在处取得极值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）过点作曲线的切线,求此切线方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】第一问根据题中所给的条件，函数在处取得极值，得到函数在处的导数为零，从而得出实数的值，再带入验证，满足条件，第二问根据第一问的结果，从而确定出函数的解析式，根据过某点的曲线的切线方程的求解方法，首先设出切点的坐标，应用导数的几何意义，确定出切线的斜率，从而应用点斜式方程，写出切线方程，将带入切线方程，从而解得切点的横坐标的值，带入求得切线方程．试题解析：（Ⅰ） 1分，即解得， 4分此时在两边（附近）符号相反，所以处函数取得极值，同理，在处函数取得极值． 5分（Ⅱ）设切点坐标为．则切线方程为 7分化简，得，即， 9分所求的切线方程为：．10分【考点】函数的极值，导数的应用，切线的方程．10.设函数，．（1）判断函数在上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式成立．【答案】（1）上是增函数；（2）证明详见解析.【解析】本题主要考查了函数单调性的判断方法、导数在最大值、最小值问题中的应用、利用导数判断函数的单调性常用的方法，考查了学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用导数的办法，通过导数大于或小于0判断函数的单调性；第二问，先将化为，从而原不等式化为，即，令，利用导数研究它的单调性和最值，最后得到存在正数，使原不等式成立．试题解析：（1），令，则，当时，，∴是上的增函数，∴，故，即函数是上的增函数．（2），当时，令，则故，∴，原不等式化为，即，令，则，由得：，解得，当时，；当时，．故当时，取最小值，令，则．故，即．因此，存在正数，使原不等式成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．11.（本题满分14分）已知函数有最小值．（1）求实数的取值范围；（2）设为定义在上的奇函数，且时，，求的解析式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分类讨论将表达式中的绝对值号去掉成为有两个一次函数的分段函数，从而问题可转化于在每个分段上存在最小值，即可求解；（2）利用奇函数的性质可知，当时，，再由结合已知条件即可求解．试题解析：（1），要使函数有最小值，需，即时，有最小值；（2）∵是上的奇函数，∴，设，则，∴，即．【考点】1．分段函数；2．奇函数的性质；3．分类讨论的数学思想．12.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】数形结合法如上图．直线:是过定点P（-2，4）的动直线，曲线是以原点为圆心，2为半径的上半圆．当直线在PA位置时，即与圆相切时，由圆心到直线距离等于半径得，;当在PB位置时，．由图像知，当直线在PA与PB之间时，有两个交点，所以．故选B．【考点】直线与圆的相交问题．【方法点睛】直线与圆的位置关系常有两种方法研究：一、利用圆心到直线的距离与半径的关系判断交点个数，或由交点个数求参数范围；二、将直线代入圆的方程，利用判别式研究交点个数，或由交点个数求参数范围．但当直线与半圆或四分之一圆等相交问题，常借助图像属性结合去研究交点问题．例如本题，因研究的圆是半圆，所以数形结合方法比较好．13.已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】,构造函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，当时，与的图象有三个公共点，故选C．【考点】1．函数与方程；2．数形结合思想；3．新定义函数问题．【方法点睛】本题主要考查学生接受新知识的能力以及数学中的数学结合思想、函数与方程思想等思想方法，属难题．解决此类问题的关键是将函数的零点问题通过等价转化，将问题转化为两个函数交点的个数问题，再正确画出两个函数的图象，由数形结合进行求解．14.函数的极小值为．【答案】【解析】, 令得;令得.所以函数在上单调递减;在上单调递增.所以在处函数取的极小值为.【考点】用导数求极值.15.若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定正确的有①，②，③，④．【答案】①③【解析】令,,,恒成立.在上单调递增. ,,,即恒成立;,即.恒成立.故正确的有①③.【考点】用导数研究函数的性质.16.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，又，，故选B．【考点】1、对数式的运算；2、对数式的比较大小．【方法点睛】纵观历年数学高考试题，几乎每套题都有指数式和对数式大小比较的客观题目，结合近年来的数学高考试题，总结归纳指数式和对数式比较大小的六种解题方法．（1）单调函数法同底的指数式和对数式比较大小，就是利用指数函数和对数函数的单调性来比较；（2）中间桥梁法底不同的指数式和对数式比较大小，如果不能直接利用指数函数和对数函数的单调性来比较，可利用特殊数值（如0 或1）作为中间桥梁，进而可比较出大小；（3）特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算简化或避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解；（4）估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案；（5）数形结合法画出指数函数和对数函数的图象，利用直观的图象往往能得到更简捷的解法．特征构造法对于含有几何背景的指数式和对数式的大小问题，可根据题目特点，构造函数或利用其他几何特征进行解题．17.已知函数，那么f （1）等于10C．1D．0A．2B．log3【答案】A【解析】【考点】函数求值18.若直线与曲线恰有一个公共点，则实数k的取值范围是______________．【答案】或【解析】曲线，即（x≥0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），当直线y=x+k经过点A时，1=0+k，求得k=1；当直线y=x+k经过点B、点C时，0=1+k，求得k=-1；当直线y=x+k和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去），故要求的实数k的范围为（-1，1]∪{-2}，【考点】直线与圆的位置关系19.已知函数其中为参数．（1）记函数，讨论函数的单调性；（2）若曲线与轴正半轴有交点且交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有．【答案】（1）当时，函数在定义域上单调递增．当时，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析．【解析】第（1）小题设计为分类讨论函数的单调性．首先化简g(x)，然后对g(x)求导化简得，注意到，所以就找到的临界点，然后对和进行分类讨论求解；第（2）小题设计为证明题，实质转化为求函数的最值．先求，然后构造函数，通过求导求函数H（x）的极值，从而得函数H（x）的最小值，命题得证．试题解析：（1）证明：函数的定义域是．，，当时，则，所以，所以函数在定义域上单调递增．当时，令，则可知函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增．（2）令则或若曲线与轴正半轴有交点，则且交点坐标为又则所以曲线在点处的切线方程为，即令函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，有最小值，所以，则【考点】导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的极值，函数的最值．【方法点睛】本题以三次为背景，第(1)小题设计为分类讨论函数的单调性，其中讨论的标准就是导函数的正负性，需要一定的运算能力．第（2）小题设计为证明题，其实就是函数的恒成立问题，可以转化为函数的最值问题，求函数的最值，需转化为求函数的极值，需转化为求函数的单调性，解题思路清晰，需要有一定的运算能力．20.已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值-2．（1）试求动点的轨迹方程；（2）设直线与曲线交于两点，求．【答案】（1）（）；（2）．【解析】（1）设，表示两直线的斜率，利用斜率乘积为，建立方程化简即可得到点的轨迹方程；（2）将直线代入曲线，整理得，可求出方程的根，进而利用弦长公式可求．试题解析：（1）设点，则依题意有整理得由于，求得的曲线的方程为（）；（2）由消去得：，设，则【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线的弦长的计算，属于中档试题，本题解答中，第1问中，以斜率为载体，考查了曲线方程的求解，关键在于利用斜率公式，根据题设条件建立关于的关系式，化简整理得曲线的轨迹方程；第2问题中，熟记弦长公式，利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长，准确、仔细计算是解答的关键．21.若函数在处取得极值．（1）求的值；（2）求函数的单调区间及极值．【答案】（1）（2）单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，极大值为．【解析】（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值．试题解析：（1），由，得．（2），．由，得或．当时；②当时或．当变化时，的变化情况如下表：-+-因此，的单调递增区间是，单调递减区间是．函数的极小值为，极大值为．【考点】利用导数求过曲线上某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性22.（2015•山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【答案】（Ⅰ）f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．23.某校内有一块以为圆心，（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售，已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.（1）设（单位：弧度），用表示弓形的面积；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.（参考公式：扇形面积公式，表示扇形的弧长）【答案】(1) ；（2），.【解析】（1）由，利用扇形及三角形面积公式即得；（2）先由题意将利润表示成关于的函数关系式，再利用导数判断函数单调性求得最大值即可.试题解析：（1）因为，，所以.（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为元，种植学校观赏植物成本为元，，，，∴，设，，，，，在上为减函数；，，在上为增函数；当时，取到最小值，此时总利润最大：.答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值.【考点】1、数学建模能力；2、利用导数研究函数的单调性及最值.24.设点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数变形为表示圆的下半部分，点在直线上，圆心到直线的距离，圆的半径为2，则的最小值为【考点】1．直线和圆的位置关系；2．数形结合法25.已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）．（1）求导数f′（x）；（2）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．【答案】（1）3x2﹣2ax﹣4．（2）最大值为，最小值为．（3）[﹣2，2]．【解析】（1）按导数的求导法则求解（2）由f′（﹣1）=0代入可得f（x），先求导数，研究函数的极值点，通过比较极值点与端点的大小从而确定出最值（3）（法一）由题意可得f′（2）≥0，f′（﹣2）≥0联立可得a的范围（法二）求出f′（x），再求单调区增间（﹣∞，x1）和[x2，+∞），依题意有（﹣∞，﹣2）⊆（﹣∞，x1）[2，+∞]⊆[x2，+∞）解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．（2）由f'（﹣1）=0得，此时有．由f'（x）=0得或x=﹣1，又，所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．（3）解法一：f'（x）=3x2﹣2ax﹣4的图象为开口向上且过点（0，﹣4）的抛物线，由条件得f'（﹣2）≥0，f'（2）≥0，∴﹣2≤a≤2．所以a的取值范围为[﹣2，2]．解法二：令f'（x）=0即3x2﹣2ax﹣4=0，由求根公式得：所以f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．在（﹣∞，x1]和[x2，+∞）上非负．由题意可知，当x≤﹣2或x≥2时，f'（x）≥0，从而x1≥﹣2，x2≤2，即解不等式组得﹣2≤a≤2．∴a的取值范围是[﹣2，2]．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．26.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为．【解析】（1）第一步，先求函数的导数，第二步，再求，根据导数的几何意义，，最后代入直线方程，就是所求的切线方程；（2）设切点，首先求在切点处的切线方程，即求和，然后因为切线过点，所以将原点代入切线方程，转化为关于的方程，求出切点，最后再整理切线方程. 试题解析：（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为．【考点】本题主要考查导数的几何意义，直线方程的点斜式。

高二文科数学《导数》随堂测试试卷(2)

高二文科数学《导数》随堂测试试卷(2)

高二文科数学《导数》测试试卷（2）班级 姓名1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数4．函数f (x )＝x 3－6b 2x ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．b ＞0B ．b ＜12C ．0＜b ＜22D ．b ＜1 5．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±16．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为( ) A ．[12，12e π2] B ．(12，12e π2) C ．[1，e π2] D ．(1，e π2)7．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为( )A ．(-∞，12)∪(12,2)B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞) 8．函数y ＝3x 2－6ln x 的单调增区间为________，单调减区间为________．9．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 10．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．11．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．12．设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值点．13．已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a >1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2. (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 在区间[－2,2]上为减函数，求实数m 的取值范围．14．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax .(1)当x ＝0时，函数f (x )取得极大值，求实数a 的值；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f ′(x )≥2x 成立，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求实数a 的取值范围；。

(完整版)导数及其应用周练练习题(有详细答案).docx

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高二数学《导数及其应用》一、选择题1. f ( x0 ) 0 是可导函数 f x 在点x0处取极值的:A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2、设曲线y x2 1 在点( x, f (x ))处的切线的斜率为g ( x) ，则函数y g( x)cos x 的部分图象可以为y yy yO x O x O x O x A. B. C. D.3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为π的点是 () 4A． (0,0)B． (2,4) C.11D.11 4，，4 1624. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点 (0 ，b) 处的切线方程是x－ y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝ 1 B ．a＝－ 1，b＝1 C ．a＝ 1，b＝－ 1 D． a＝－1， b＝－1 5．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋3x－ 9，已知f ( x) 在x＝－ 3 时取得极值，则a等于 () A． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 513226.已知三次函数 f ( x)＝3x－ (4 m－ 1) x＋ (15 m－ 2m－7) x＋ 2 在x∈( －∞，＋∞ ) 是增函数，则m的取值范围是 ()A． <2 或 >4 B ．－ 4< <－ 2C． 2< <4 D ．以上皆不正确m m m m7.直线 y x 是曲线y a ln x 的一条切线，则实数 a 的值为A．1 B ．e C ．ln 2 D ．18.若函数 f(x)x312 x在区间 ( k1, k 1) 上不是单调函数，则实数k 的取值范围（）A．k3或 1k 1或k 3B． 3 k1或1 k 3C．2k2D．不存在这样的实数k9. 10 ．函数f x的定义域为a, b ，导函数 f x在 a, b 内的图像如图所示，则函数 f x在a, b 内有极小值点A． 1 个B． 2 个C．3 个D． 4 个10. 已知二次函数 f (x)ax2bx c的导数为 f '( x) ， f '(0)0 ，对于任意实数x 都有 f ( x)0 ，则f (1)的最小值为A．3B．5C． 2D．3 22二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）11. 函数y sin x的导数为 _________________ x12、已知函数f ( x)x3ax 2bx a 2在x=1处有极值为10，则 f(2)等于 ____________. 13．函数y x 2cos x 在区间 [0,] 上的最大值是214．已知函数f ( x)x3ax 在R上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是15.已知函数 f (x) 是定义在R上的奇函数， f (1)0， xf (x) f (x)0，则不等式x2（x0）x 2f (x) 0 的解集是三、解答题（本大题共 6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π，求函数f(x)的单调区间与极值．17.已知函数 f ( x) x3 3x .（Ⅰ）求 f ( 2) 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间.3（ 1）求f ( x)的单调区间和极值；（ 2）若关于x的方程 f ( x) a 有3个不同实根，求实数 a 的取值范围.（ 3）已知当x(1, )时 , f (x) k( x 1) 恒成立，求实数k 的取值范围.19. 已知 x 1 是函数 f (x) mx33(m 1) x2nx 1的一个极值点，其中m,n R, m 0（ 1）求 m 与 n 的关系式；（ 2）求 f ( x) 的单调区间；（ 3）当 x [ 1,1]，函数 y f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m的取值范围。

高二数学导数计算试题

高二数学导数计算试题

高二数学导数计算试题1.已知函数，则它的导函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，【考点】复合函数的导数.2.记，，…，．若，则的值为 .【答案】【解析】由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosx﹣xsinx，f（2）（x）=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx，f（3）（x）=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+…+f（2013）（0）=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2009﹣2011）+2013=﹣2×503+2013=1007，故答案为：1007．【考点】导数的运算．3.定义在区间上的连续函数的导函数为，如果使得，则称为区间上的“中值点”.下列函数：①；②；③；④在区间上“中值点”多于一个的函数序号为 .【答案】①④【解析】根据“中值点”的定义，设为区间上的中值点，则，①中，因为，此时区间的任一实数都为“中值点”；对于②，即；对于③即；对于④即；综上可知，选①④.【考点】1.新定义；2.导数的计算.4.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。

故A正确。

【考点】导数的计算。

5.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,解得,故选D．【考点】利用导数求函数的单调区间6.若的大小关系 ( )A．B．C．D．与x的取值有关【答案】D【解析】令g（x）=2x-3sinx，g′（x）=2-3cosx，当0＜x＜arccos时，g′（x）＜0，g（x）单调减，g（x）＜g（0）=0，2x＜3sinx．当arccos＜x＜时，g'（x）＞0，g（x）单调增加，但是g（arccos）＜0，g（）＞0，所以在区间[arccos，）有且仅有一点θ使g（θ）=0．当arccos≤x＜θ时，g（x）＜g（θ）=0，2x＜3sinx．当θ＜x＜时，g（x）＞g（θ）=0，2x＞3sinx．所以当 0＜x＜θ 时，2x＜3sinx；当x="θ" 时，2x=3sinx；当θ＜x＜时，2x＞3sinx．故选D．【考点】利用导数研究函数的单调性．7.下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】；；．故选B．【考点】本题考查导数的运算.8.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，即，解得。

高二数学导数计算试题答案及解析

高二数学导数计算试题答案及解析

高二数学导数计算试题答案及解析1.已知函数，则＝____________。

【解析】，所以【考点】导数公式的应用2.函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号是．（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】①②【解析】对于①f（x）=2x+3，满足，为恒均变函数；对于②f（x）=x2-2x+3，，，故满足，为恒均变函数；对于；③f(x)＝，，显然不满足，故不是恒均变函数；对于④f（x）=e x，，显然不满足，故不是恒均变函数；对于⑤f（x）=lnx，，显然不满足，故不是恒均变函数．故应填入：①②．【考点】１．函数的导数运算；２．判断命题的真假．3.下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3x log3e；②(log2x)′＝；③(e x)′＝e x；④()′＝x；⑤(x·e x)′＝e x＋1.A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】,所以正确的有②③.【考点】函数导数的运算.4.定义在区间上的连续函数的导函数为，如果使得，则称为区间上的“中值点”.下列函数：①；②；③；④在区间上“中值点”多于一个的函数序号为 .【答案】①④【解析】根据“中值点”的定义，设为区间上的中值点，则，①中，因为，此时区间的任一实数都为“中值点”；对于②，即；对于③即；对于④即；综上可知，选①④.【考点】1.新定义；2.导数的计算.5.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。

故A正确。

【考点】导数的计算。

6.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，则，故由题【考点】导数及其运算7.已知函数的导函数为，则．【答案】2【解析】因为，所以．【考点】导数的运算法则．8.已知函数的导数处取到极大值，则的取值范围是．【答案】（－1，0）【解析】∵且在处取到极大值，则必有时，，且时，．当时，不成立；当时，有时，，时，，符合题意；当时，有时，，时，，在处取到极小值．综合可得．【考点】利用导数研究函数的极值．9.某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下，如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米56元，筛网（图中虚线部分）的建造单价为每米48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计.（1）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；（2）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）【答案】（1），最低为13120元，（2）网箱长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低【解析】（1）建造网箱的总造价为网箱四周网衣建造总造价与筛网建造总造价之和. 网箱的长x，则网箱的宽为，所以.当时，，当且仅当时取等号，此时（2）因为网箱的长不超过15米，宽不超过12米，所以（1）中等号不成立.需从单调性上考虑最值. 因为，所以在上单调递减，而时，y最小，此时宽=.⑴网箱的宽为，4分当时，，当且仅当时取此时网箱的长为16m时，总造价最低为13120元 8分⑵由题意 10分此时，在上单调递减，而时，y最小，此时宽=.网箱长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低 16分【考点】函数应用题，利用不等式及导数求函数最值10.设直线与函数，的图象分别交于M、N两点，则当MN达到最小时t的值为【答案】【解析】由题意得：，设则由得：，当，当，所以当MN达到最小时t的值为.【考点】利用导数求最值11.已知函数图象与直线相切，切点横坐标为.（1）求函数的表达式和直线的方程；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）单调减区间为，单调增区间为;(3) .【解析】（1）求函数导数，利用导数的几何意义求直线方程斜率，再利用点斜式求出方程．（2）利用导数和分别求函数的单调增减区间．（3）将不等式转化为恒成立，然后利用导数求函数的最值.解：（1）因为，所以，所以所以 2分，所以，所以切点为（1，1），所以所以直线的方程为 4分（2）因为的定义域为所以由得 6分由得 7分故函数的单调减区间为，单调增区间为 8分（3）令，则得所以在上是减函数，在上是增函数 10分，所以 11分所以当在的定义域内恒成立时，实数的取值范围是 12分.【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究曲线上某点切线方程.12.已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2B．4C．6D．【答案】B【解析】y′|x=1=4x|x=1=4，故答案为B.【考点】导数的运算.13.下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A．（x+）′=1-，∴A错误．B．（x2cosx）′=-2xsinx-x2sinx，∴B错误．C．（3x）′=3x ln3，∴C错误．D．（log2x）′=，正确．故选：D．.【考点】导数的运算．.14.函数的导数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以.【考点】积的导数15.函数的导数A．B．C．D．【答案】A【解析】根据导函数运算公式可知A正确.【考点】导函数的计算公式.16.已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由导数的计算公式，可知，故选B.【考点】导数的计算.17.设函数，(是互不相等的常数)，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于函数，则可知，，同理可知，，那么可知为零，故可知答案为A.【考点】导数的计算点评：主要是考查了导数的基本运算，属于基础题。

高二数学导数单元练习题

高二数学导数单元练习题

高二数学导数单元练习题一．选择题1.设函数f(x)在x=2处可导，且f ′(2)=1，则 =( ) A. 1 B. 2 C 1/2 D 1/42.物体运动的方程为s =41t 4-3，则t =5的瞬时速度为( )y =x 2-1与y =1-x 3在x =x 0处的切线互相垂直，则x 0等于( )A.63636363C.32 D.32或0 4.已知直线 y=x+1 与曲线y=ln(x+a)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.－25．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x ) C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)6.设函数则（ ）A.在（－∞,＋∞）单调增加B.在（－∞,＋∞）单调减少C.在（－1,1）单调减少,其余区间单调增加D.在（－1,1）单调增加,其余区间单调减少 7.函数f (x )=x (1-x 2)在［0,1］上的最大值为( ) A.932 B.922 C.923D.83 8.已知函数f (x )的导数为f ′(x )=4x 3-4x ,且图象过点(2,3)，当函数f (x )取得极大值-5时，x 的值应为( )B.0 D.±1 9．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)10．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s =41t 4- 4t 3 + 16t 2, 则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 11.函数y =x 2co sx 的导数为 （ ） A . y ′=2x co sx －x 2s i nx B . y ′=2x co sx +x 2s i nx C. y ′=x 2co sx －2xs i nx D. y ′=x co sx －x 2s i nx3()34f x x x =-，[0,1]x ∈，求函数的递减区间 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,B. ⎝⎛⎥⎦⎤-1,21 C.)⎢⎣⎡21,0 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 121. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞13．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x14. 设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．515. 3(21)y x 在0x 处的导数是 ( ) A 、 0 B 、 1 C 、 3 D 、 616. 一个物体的运动方程为21s t t 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( ) A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 17..曲线y =2x 3－3x 2共有___ _个极值.1 18. 函数443yx x 在区间[ －2,3 ]上的最小值为 ( ) A 、 72 B 、 36 C 、 12 D 、0 19. 曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为A 、( 1 , 0 )B 、( 2 , 8 ) ( )C 、( 1 , 0 )和(－1, －4)D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 20. 函数323922yx x x x 有 ( )A 、极大值5，极小值－27B 、极大值5，极小值－11C 、极大值5，无极小值D 、极小值－27，无极大值 21、已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim-+→=( )A ．2B ．1C ．21 D ．41 22、函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．423、与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是( ) A ．032=+-y x B ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x24、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-1925、曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为( b )A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y26、函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( d ’ )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）27、函数54)(3++=x x x f 的图象在1=x 处的切线与圆5022=+y x 的位置关系是( b ) A 相切 B. 相交但不过圆心 C. 过圆心 D. 相离 28、函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =( )A ．2B ．3C ．4D ．529、设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( )二、填空题 30. 函数3255y x x x 的单调区间是___________________________;31 2f xx x c 在x = 2处有极大值，则常数c 的值为_________;32 垂直于直线 2x －6y +1 = 0且与曲线3231yx x 相切的直线方程一般形式为_____________________________1033. 若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--= ___________.34. 已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __。

高二数学下册(必修三)导数 单元测试卷及答案解析

高二数学下册(必修三)导数 单元测试卷及答案解析

高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数f(x)在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f(4)+f ′(4)=( )A. 10B. 20C. 30D. 402.（5分）设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a −2)x 的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A. y =−2xB. y =3xC. y =−3xD. y =−4x3.（5分）若函数f(x)=x 2+lnx 的图像在(a,f(a))处的切线与直线2x +6y −5=0垂直，则a 的值为( )A. 1B. 2或14C. 2D. 1或124.（5分）已知函数f (x )={&ln (x +1),−1<x ⩽14 x 2+14,x >14 ，且关于x 的方程f (x )−kx =0恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是( )A. [1,54] B. [54,+∞)C. [4ln 54,1]D. [4ln 54,1]⋃[54,+∞)5.（5分）曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( )A. 1B. −π4C. π4D.5π46.（5分） 若曲线f(x)=x 4−4x 在点A 处的切线平行于x 轴，则点A 的坐标为( )A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)7.（5分）曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A. e4B. e2C. eD. 2e8.（5分）曲线f(x)=x 2+3x 在点A(1,4)处的切线斜率为( )A. 2B. 5C. 6D. 11二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）下列命题中是真命题有()A. 若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点B. 函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点C. 函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，则f′(1)=2D. 若函数f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)=2，则不等式f(x)>x+1的解集是(−∞,1)10.（5分）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=f(x)具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是()A. y=xe x B. y=cosx+1 C. y=1x3D. y=ln2log2x11.（5分）已知函数f(x)=x+√2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有()A. 函数f(x)的最小值为2√2B. 函数的值域为(−∞,−2√24]C. |MN|2的最小值为16−8√2D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值()A. 196B. 3 C. 103D. 9213.（5分）设函数f(x)=x−ln|x|x，则下列选项中正确的是()A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)−1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为45°的直线l与曲线y=lnx−2x+1相切，则直线l的方程是 ______.15.（5分）已知曲线C：y=x3−3x2+2x，直线l过(0,0)与曲线C相切，则直线l的方程是______ ．16.（5分）函数f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为__________.17.（5分）函数f(x)=√4x+1，则函数f(x)在x=2处切线的斜率为 ______.18.（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2√t(t的单位为秒，S的单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为______米/秒．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=x3+x−16．(1)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20.（12分）在抛物线C：y=ax2(a>0)上取两点A(m1,n1),B(m2,n2)，且m2−m1=4，过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(1,−3).(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交抛物线C于M，N两点，记直线OM，ON(其中O为坐标原点)的斜率分别为k OM,k ON，且k OM.k ON=−2，若ΔOMN的面积为2√3，求直线l的方程.21.（12分）已知函数f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x 2e x.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行．(1)求a的值；(2)证明：方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根．22.（12分）设f(x)=ae x+1ae x+b(a>0)(I)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y=32x；求a，b的值．(II)求f(x)在[0,+∞)上的最小值．23.（12分）已知曲线y=13x3+43，(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，∴f′(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，∴f(4)+f′(4)=17+3=20.故选：B.由已知可得f′(4)，在切线方程中取x=4求得f(4)，则答案可求．此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.求导函数f′(x)，由f′(x)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.解：由f(x)=x3+ax2+(a−2)x，得，f′(x)=3x2+2ax+(a−2)，又∵f′(x)是偶函数，∴2a=0，即a=0，∴f′(x)=3x2−2，∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=−2x，故选A.3.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=x2+lnx的导数为f′(x)=2x+1x，在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+1a，由切线与直线2x+6y−5=0垂直，可得−13(2a+1a)=−1，解得a=1或12，故选：D．求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=kx有2个交点，又k表示直线y= kx的斜率，求出k的取值范围．解：画出函数f(x)图象，可求得函数f(x)=ln(x+1)(−1<x⩽14)图象在点O(0,0)处的切线方程为y=x，过点O(0,0)且与函数f(x)=x2+14(x>14)图象相切的直线方程也为y=x，即得直线y=x为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为O(0,0)和A(12,12 )，关于x的方程f(x)−kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数f(x)图象有两个公共点，由图可知当且仅当k OB⩽k⩽k OA时符合题意，又k OA=1，k OB=ln(14+1)14=4ln54，则求得4ln54⩽k⩽1.故选C.5.【答案】C;【解析】解：∵y =13x 3，∴y ′=x 2，设曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k =y ′|x=1=12=1=tan α， ∴α=π4，即倾斜角为π4． 故选C ．欲求在x =1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k =y ′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x 4−4x 的导数为f ′(x)=4x 3−4， 设切点为A(m,n)，则n =m 4−4m ， 可得切线的斜率为k =4m 3−4=0， 解得m =1，n =−3.即A(1,−3)． 故选：B ．求得函数的导数，设出切点A(m,n)，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m ，n ，进而得到切点A 的坐标．该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积;解：f ′(x)=e xlnx +e x x，则f ′(1)=e ，f(1)=0，∴曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程为y =e(x −1)，令x=0，得y=−e，令y=0，得x=1，∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×e×1=e2.故选B.8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x+3，所以函数在A(1,4)处的切线斜率k=f′(1)=2+3=5．故选：B．求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y= f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．由题意结合知识点，逐个选项分析即可.解：选项A，若f′(x0)=0，x0不一定是函数f(x)的极值点，例如函数f(x)=x3，f′(0)=0，但x=0不是极值点，故错误；选项B，函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3−3x，在x=1处的切线为y=−2与函数还有一个公共点为(−2,−2)，故正确；选项C，因为函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f′(1)=2，故正确. 选项D，令g(x)=f(x)−x−1，因为函数f(x)的导数f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，所以函数g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又g(1)=f(1)−2=0，由不等式f(x) > x+1得g(x) > 0=g(1)，得x 1，所以不等式f(x) > x+1的解集是(−∞,1)，故正确．故选BCD.10.【答案】AB;【解析】解：由题意，可知若函数y =f(x)具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1， 对于A ，(xe x )′=1−x e x，满足条件；对于B ，(cosx +1)′=−sinx ，满足条件；对于C ，(1x 3)′=−3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到−1，不满足条件；对于D ，(ln2log 2x)′=ln2.1xln2=1x >0恒成立，正数乘以正数不可能得到−1，不满足条件． 故选：AB.分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1即可．此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题. 由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可. 解：已知f(x)=x +√2x，当x >0时，f(x)=x +√2x⩾2√24，当x <0时，f(x)=x +√2x⩽−2√24，故选项A 、B 不正确;设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0,x 02+√2x 0)，函数f(x)的导函数为f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2，则直线l 的方程为y −x 02+√2x 0=x 02−√2x 02(x −x 0)，即y =x 02−√2x 02x +2√2x 0，直线l 与g(x)=x 的交点为M(2x 0,2x 0)，与x =0的交点为N(0,2√2x 0)， 所以|MN|2=4x 02+(2x 0−2√2x 0)2=8x 02+8x 02−8√2⩾16−8√2，当且仅当x 02=1时取等号，故选项C 正确; f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2⩽1，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D 不正确.故选ABD.12.【答案】AC;【解析】此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题．求出导数，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a 的取值范围，进而可得a的可能取值．解：f(x)=23x3−x2+ax−1的导数为f′(x)=2x2−2x+a，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，则{Δ=28−8a>0a−32>0，解得3<a<72，故选：AC.13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=x−ln|x|x的定义域为{ x|x≠0}，f(−x)+f(x)=1−ln|−x|−x +1−ln|x|x=2≠0，所以f(x)不为奇函数，故A错误；由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)−1有两个零点，故B正确；由f(−x)+f(−2x)+f(x)+f(2x)=[f(−x)+f(x)]+[f(−2x)+f(2x)]=2+2=4，则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确；当x>0时，f(x)=1−lnxx ，f′(x)=−1−lnxx2，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n)，则切线的方程为y−n=lnm−1m2(x−m)，即y−1+lnmm =lnm−1m2(x−m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，设g(m)=2lnm−1−m，g′(m)=2m−1，当0<m<2时，g(m)递增，m>2时，g(m)递减，则g(m)的最大值为g(2)=2ln2−3<0，所以x>0时，不存在过原点的切线；当x<0时，f(x)=1−ln(−x)x ，f′(x)=−1−ln(−x)x2，设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0)，则切线的方程为y−t=ln(−s)−1s2(x−s)，即y−1+ln(−s)s =ln(−s)−1s2(x−s)，代入(0,0)，可得1+s=2ln(−s)，设g(s)=2ln(−s)−1−s，g′(m)=2s−1<0，所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x<0时，只存在一条过原点的切线．综上可得存在一条过原点的切线，故D正确．故选：BCD.由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】x−y+ln2−2=0;【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．解：直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan45°=1，由y=lnx−2x +1，得y′=1x+2x2，由y′=1x +2x2=1，解得x=−1(舍去)或x=2.∴切点坐标为(2,ln2)，则直线l的方程为y−ln2=1×(x−2)，即x−y+ln2−2=0.故答案为：x−y+ln2−2=0.15.【答案】y=−x或y=−14x或y=2x;【解析】求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．解：函数的导数为f ′(x)=3x 2−6x +2， 设切点为(a,b)，则k =f ′(a)=3a 2−6a +2，b =a 3−3a 2+2a ， 则切线的方程y −b =(3a 2−6a +2)(x −a)， 即y =(3a 2−6a +2)x −2a 3+9a 2−4a ， ∵直线l 过点(0,0)， ∴−2a 3+9a 2−4a =0， 即2a 3−9a 2+4a =0， 则a(a −4)(2a −1)=0， 解得a =0或a =4或a =12，当a =1时，对应的直线方程为y =−x ， 当a =12时，对应的直线方程为y =−14x ， 当a =0时，对应的直线方程为y =2x ， 故答案为：y =−x 或y =−14x 或y =2x16.【答案】(0,4-2√3) ; 【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．画f(x)={1−2x ,x ⩾012x 2+2x,x <0，的图象，结合直线g(x)=k(x −2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x 2+2x ，x <0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x 0,y 0)，由f ˈ(x)=x +2，x <0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k 的范围即可．解：依题意，画出f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0-2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2-2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2√3)，故答案为(0,4-2√3).17.【答案】23;【解析】解：由f(x)=√4x+1，得f′(x)=2(4x+1)−1 2，所以函数f(x)在x=2处切线的斜率k=f′(2)=23.故答案为：23.对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f(x)在x=2处的切线斜率．此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案】32;【解析】解：S=t+2√t，∴S′=1+√t，∴它在4秒末的瞬时速度为1+√4=32，故答案为：32．物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x3+x−16)′=3x2+1，∴在点(2,−6)处的切线的斜率k=f′(2)=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x−32．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x−x0)+x03+x0−16．又∵直线l过点(0,0)，∴0=(3x02+1)(−x0)+x03+x0−16，整理，得x03=−8，∴x0=−2，∴y0=(−2)3+(−2)−16=−26，直线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．;【解析】(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,−6)处的导数即斜率，易求切线方程．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)得y′=2ax(a>0)，则曲线在点A处的切线斜率为2am1，曲线在点A处的切线方程为y−am12=2am1(x−m1)，曲线在点A处的切线过点P(1,−3)，故am12−2am1−3=0①，同理可得曲线y=ax2(a>0)在点B处的切线方程为y−am22=2am2(x−m2)，∴am12−2am1−3=0②，①−②得m1+m2=2，m2−m1=4，∵m2−m1=4，∴m1=−1,m2=3，将m1=−1代入①，可得a=1，故抛物线方程为x2=y;(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x2−kx−b=0，∴x1+x2=k,x1.x2=−b，∴k OM.k ON=x12x1.x22x2=x1x2=−2，可得b=2，∴直线l经过点(0,2)，∴SΔ=12×|OP|×|x1−x2|=2√3，∴|x1−x2|=2√3，∴k2=4，∴k=±2，经检验k=±2,b=2符合题意，∴直线l的方程为y=2x+2或y=2x−2.;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合性较强.(1)利用导数，可以求出曲线在点A，B处的切线斜率为2am1，2am2，从而求出切线方程，得到关于m1,m2的关系式，可以求出m的值，从而求出切线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x1+x2=k,x1.x2=−b，求出b=2，根据题意列方程求出k的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f′(x)=lnx+ax+1，由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则f'（1）=2，所以a+1=2，解得a=1．…（4分）（2）令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x 2e x，x∈（1，2），则ˈ(1)=−1e ＜0，ˈ(2)=3ln2−4e2＞0，所以h（1）h（2）＜0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）可得ˈ′(x)=lnx+x+1x −2x−x2e x(e x)2=lnx+1x+1−−(x−1)2+1e x＞1−1e＞0，∴h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】(1)求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．(2)令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x2e x ，x∈(1,2)，由ˈ(1)=−1e<0，ˈ(2)=3ln2−4e2>0，可得函数ˈ(x)在(1,2)内一定有零点，进而证明ˈ′(x)>0，可得ˈ(x)在(1,2)上单调递增，即可得证．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I ）由题意得，f(x)=ae x +1aex+b ，则f ′(x)=ae x −1ae x，因为在点（2，f （2））的切线方程为y=32x ，所以{(f(2)=3f ′(2)=32)， 即{(ae 2+1ae 2+b =3ae 2−1ae 2=32)，解得{(a =2e 2b =12)…（6分）（Ⅱ）设t=e x （t ≥1），则原函数化为：y =at +1at +b ， 所以y ′=a −1at 2=a 2t 2−1at 2，令y ′=0，解得t=±1a ，（1）当a ≥1时，则y ′＞0在[1，+∞）上成立， 所以函数y =at +1at +b 在[1，+∞）上是增函数， 则当t=1（x=0）时，函数f （x ）取到最小值是a +1a +b ； （2）当0＜a ＜1时，y =at +1at +b ≥2+b ，当且仅当at=1（t=e x =1a ＞1，则x=-lna ）时，取等号， 此时函数f （x ）取到最小值是b+2，综上可得，当a ≥1时，函数f （x ）的最小值是a +1a +b ； 当0＜a ＜1时，函数f （x ）的最小值是b+2．…（12分）; 【解析】(Ⅰ)由求导公式和法则求出f ′(x)，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a 、b 的值； (Ⅱ)设t =e x (t ⩾1)，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a 进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．此题主要考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵P(2,4)在曲线y =13x 3+43上，且y ′=x 2 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x=2=4；∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y −4=4(x −2)，即4x −y −4=0．(2)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43)，则切线的斜率k=y′|x=x=x02，∴切线方程为y−(13x03+43)=x02(x−x0)，即y=x02.x−23x03+43∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02−23x03+43，即x03−3x02+4=0，∴x03+x02−4x02+4=0，∴(x0+1)(x0−2)2=0解得x0=−1或x0=2故所求的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2.切点为(2,4)，(−2,−43)∴切线方程为y−4=4(x−2)和y+43=4(x+2)即4x−y−4=0和12x−3y+20=0．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(1)根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；(3)设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．。

高二数学导数的概念和几何意义试题

高二数学导数的概念和几何意义试题

高二数学导数的概念和几何意义试题1.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】根据导数的定义知===-1，故选A.【考点】导数的定义2.已知函数，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导可得，存在与直线平行的切线，即有实数解，则，，则,得.故选A.【考点】导数的几何意义.3.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．4.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）切线方程为；（2）直线的方程为，切点坐标为.．【解析】（1）根据导数的几何意义求出在点处的切线的斜率，再用直线的点斜式写出直线方程即可；（2）先设出切点坐标，用（1）的方法求出直线的方程，把原点带入，可求直线方程及切点坐标．（1）切线方程为：，即（2）设切点为则…….①，直线方程为，直线过原点，则…….②联立①、②解得，所以直线方程为:，切点坐标为.【考点】导数的几何意义、直线方程的求法.5.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】又，所以,故，则.【考点】利用导数求函数的切线，倾斜角与斜率，基本不等式.6.曲线在点处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为，设直线的倾斜角为（），则有，从而，选A.【考点】导数的几何意义.7.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(c<0)，其图象在点A(1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)的单调递增区间是________．【答案】或或或【解析】，由题意可得且，解得。

则，因为，时，。

高中数学 导数大题突破训练30道(精选提高题) 含答案

高中数学 导数大题突破训练30道(精选提高题) 含答案

高二导数大题突破训练30道一．解答题（共30小题）1．已知函数f（x）＝，其中a为正实数，x＝是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当b＞时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．2．已知x＝4是函数f（x）＝alnx+x2﹣12x+b的一个极值点，（a，b∈R）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数y＝f（x）有3个不同的零点，求b的取值范围．3．已知函数．当x＝2时，函数f（x）取得极值．（I）求实数a的值；（II）若1≤x≤3时，方程f（x）+m＝0有两个根，求实数m的取值范围．4．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，且知当x＝﹣1时取得极大值7，当x＝3取得极小值，试求f（x）的极小值，并求a、b、c的值．5．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在与x＝1时都取得极值；（1）求a，b的值及f（x）的极大值与极小值；（2）若方程x3+ax2+bx+c＝1有三个互异的实根，求c的取值范围；（3）若对x∈[1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．6．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx其中常数a＞0（1）当a＞2时，求函数f（x）在x∈（0，a）上的极大值和极小值；（2）设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若在D内恒成立，则称P为函数y＝h （x）的“类对称点”，当a＝4时，试问y＝f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由．7．设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）＝ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1＝﹣1，x2＝2，求函f（x）的解析式；（2）若|x1|+|x2|＝2，求b的最大值．8．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a＝﹣1时，过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；（Ⅲ）设定义在D上的函数y＝g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y ＝h（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝g （x）的“转点”．当a＝8时，试问函数y＝f（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．9．已知函数，g（x）＝x+lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若x＝1是函数h（x）＝f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）是否存在正实数a，使对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．10．已知函数f（x）＝x3+bx2+4cx（x∈R）是奇函数，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处切线的斜率为﹣6，且当x＝2时，函数f（x）有极值．（1）求b的值；（2）求f（x）的解析式；（3）求f（x）的单调区间．11．已知函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1．（1）若x＝1为函数f（x）的一个极值点，试确定实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．12．已知函数f（x）＝ax3+x2﹣（2+2a）x+b（a∈R）（Ⅰ）若y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝，求y＝f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）若y＝f（x）在[﹣2，0]上存在极值点，求实数a的取值范围．13．设定义在R上的函数f（x）＝ax3+cx满足：①函数f（x）在x1、x2处取得极值，且|x1﹣x2|＝2；②函数f（x）的图象过点（1，﹣2）．（1）求f（x）的表达式；（2）求过点P（1，﹣2）与函数f（x）的图象相切的直线方程；（3）设f（x）在[t，t+2]上最大值M与最小值m之差M﹣m为g（t），求g（t）的表达式．14．已知函数在x＝a处取得极值．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设函数g（x）＝2x3﹣3af′（x）﹣6a3，如果g（x）在开区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围．15．设函数f（x）＝x3+ax2+x+1，a∈R．（1）若x＝1时，函数f（x）取得极值，求函数f（x）的图象在x＝﹣1处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间内不单调，求实数a的取值范围．16．已知：函数f（x）＝x3﹣6x2+3x+t，t∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）＝e x f（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围．17．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣1，（a∈R）．（1）求f（x）的极值点；（2）若函数f（x）在区间（0，1）内无零点，求a的取值范围．18．已知f（x）＝4x+ax2（x∈R），且f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数．（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设函数f（x）的两个极值点为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|3x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．19．已知f（x）＝e﹣x（e为自然对数的底数），g（x）＝ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求函数h（x）＝f（x）+g（x）的极小值；（Ⅱ）当t≥0时，关于t的方程f（﹣t﹣1）+ln（t+1）﹣e＝g（t）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）＝e x+﹣x（m∈R，m≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间和f（x）的极值；（2）对于任意的a∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]，都有|f（a）﹣f（b）|≤e，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+（a﹣1）]lnx+2x．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的图象在点T（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝1时，函数f（x）是否具有极值，如果有，求出极值；如果没有，请说明理由．22．已知函数f（x）＝．（a∈R，a≠0）（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥x+1恒成立，求实数a的取值范围．23．已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a，b∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x＝﹣1时有极值0，求a，b的值；（Ⅱ）若g（x）＝[f′（x）﹣b+6a]•e x，求g（x）的单调区间．24．已知函数f（x）＝x2﹣2x+2alnx，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：．25．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）且在x＝处取得极值点．（1）求a、b的值（2）求函数f（x）的单调区间．（3）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最值．26．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣ax+1，其中a∈R．（1）当a＝0时，证明：f（x）＞0；（2）当a＞0吋，讨论f（x）的零点个数．27．函数f（x）＝alnx+x2﹣4x（a∈R）．（1）当a＝﹣6时，求函数f（x）的极值；（2）若a＞0，设g（x）＝2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．28．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：．29．已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣（a∈R）（1）若f（1）是f（x）的极值，求a的值，并求f（x）的单调区间．（2）若x＞0时，f（x）＞0，求实数a的取值范围．30．设函数f（x）＝x3+4x2+4x+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（2）若函数f（x）有三个不同的零点，求c的取值范围．高二导数大题突破训练30道答案一．解答题（共30小题）1．已知函数f（x）＝，其中a为正实数，x＝是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当b＞时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．解：f′（x）＝，（Ⅰ）因为x＝是函数y＝f（x）的一个极值点，所以f′（）＝0，因此，a﹣a+1＝0，解得a＝，经检验，当a＝时，x＝是y＝f（x）的一个极值点，故所求a的值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）＝，令f′（x）＝0，得x1＝，x2＝，f（x）与f′（x）的变化情况如下：x（﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），（，+∞）．单调递减区间是（，）．当＜b＜时，f（x）在[b，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（）＝，当b≥时，f（x）在[b，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（b）＝＝．2．已知x＝4是函数f（x）＝alnx+x2﹣12x+b的一个极值点，（a，b∈R）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数y＝f（x）有3个不同的零点，求b的取值范围．解：（Ⅰ），（x＞0），…2’由已知f'（4）＝0得，，解得a＝16．…4’（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝16lnx+x2﹣12x+b，x∈（0，+∞），令＝0，解得x＝2或x＝4．当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，4）时，f′（x）＜0；x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调增区间是（0，2），（4，+∞）；f（x）的单调减区间是（2，4）．…8’（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，在（4，+∞）上单调递增，且当x＝2或x＝4时，f′（x）＝0．所以f（x）的极大值为f（2）＝16ln2﹣20+b，极小值为f（4）＝32ln2﹣32+b．…10’当且仅当f（4）＜0＜f（2），y＝f（x）有三个零点．…12’由 32ln2﹣32+b＜0＜16ln2﹣20+b，解得 20﹣16ln2＜b＜32﹣32ln2，所以，b的取值范围为（20﹣16ln2，32﹣32ln2）．…14’3．已知函数．当x＝2时，函数f（x）取得极值．（I）求实数a的值；（II）若1≤x≤3时，方程f（x）+m＝0有两个根，求实数m的取值范围．解：（I）由，则f'（x）＝x2+2ax+6因在x＝2时，f（x）取到极值所以f'（2）＝0⇒4+4a+6＝0解得，（II）由（I）得且1≤x≤3则f'（x）＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）由f'（x）＝0，解得x＝2或x＝3；f'（x）＞0，解得x＞3或x＜2；f'（x）＜0，解得2＜x＜3∴f（x）的递增区间为：（﹣∞，2）和（3，+∞）；f（x）递减区间为：（2，3）又要f（x）+m＝0有两个根，则f（x）＝﹣m有两解，分别画出函数y＝f（x）与y＝﹣m的图象，如图所示．由图知，实数m的取值范围：．4．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，且知当x＝﹣1时取得极大值7，当x＝3取得极小值，试求f（x）的极小值，并求a、b、c的值．解：∵f（x）＝x3+ax2+bx+c，∴f'（x）＝3x2+2ax+b．∵当x＝﹣1时，函数取得极大值，x＝3时，函数取得极小值．∴﹣1，3是方程f'（x）＝0的根，即﹣1，3为方程3x2+2ax+b＝0的两根．∴∴，∴f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c．∵当x＝﹣1时取得极大值7，∴（﹣1）3﹣3（﹣1）2﹣9（﹣1）+c＝7，∴c＝2．∴函数f（x）的极小值为f（3）＝33﹣3×32﹣9×3+2＝﹣25．5．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在与x＝1时都取得极值；（1）求a，b的值及f（x）的极大值与极小值；（2）若方程x3+ax2+bx+c＝1有三个互异的实根，求c 的取值范围；（3）若对x∈[1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．解：（1）∵f'（x）＝3x2+2ax+b由已知有，解得∴f'（x）＝3x2﹣x﹣2，由f'（x）＞0得x＞1或，由f'（x）＜0得﹣﹣﹣（5分）列表如下x 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增递减递增所以，当时，f（x）有极大值，当x＝1时，f（x）有极小值（2）由于方程x3+ax2+bx+c＝1有三个互异的实根，故曲线与y＝1有三个不同交点由（1）可知此时有，解得；（3）由（1）知，f（x）在x∈[1，2]上递增，此时f（x）max＝f（2）＝c+2﹣﹣（14分）要满足题意，只须c+2＜c2解得c＞2或c＜﹣16．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx其中常数a＞0（1）当a＞2时，求函数f（x）在x∈（0，a）上的极大值和极小值；（2）设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若在D内恒成立，则称P为函数y＝h（x）的“类对称点”，当a＝4时，试问y＝f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由．解：（1）由函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx（常数a＞2）可知：其定义域为（0，+∞）．∴＝＝，令f′（x）＝0，解得，∵a＞2，∴．列表如图：由表格可知：当x＝1时，函数f（x）取得极大值，且f（1）＝﹣a﹣1；当x＝时，函数f（x）取得极小值，且．（2）当a＝4时，函数f（x）＝x2﹣6x+4lnx存在“类对称点”，为点P．当a＝4时，f（x）＝x2﹣6x+4lnx，∴f′（x）＝2x﹣6，设切点P（m，f（m）），则切线的斜率为f′（m）＝，则切线的方程为y﹣f（m）＝f′（m）（x﹣m），由在（0，+∞）上恒成立⇔在（0，+∞）恒成立．（*）其中为过点（x，f（x））、（m，f（m））的割线的斜率，而f′（m）为过切点P（m，f（m））的切线的斜率．要使（*）式恒成立，f′（x）必取得最小值．∵[f′（x）]′＝2＝，令f″（x）＝0，解得x＝．由表格可知：当且仅当x＝时，f′（x）取得极小值，也是最小值．即当x＝时，在（0，+∞）上恒成立．故是函数f（x）的一个“类对称点”．7．设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）＝ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1＝﹣1，x2＝2，求函f（x）的解析式；（2）若|x1|+|x2|＝2，求b的最大值．解：（1）f'（x）＝3ax2+2bx﹣a2（a＞0）．∵x1＝﹣1，x2＝2是函数f（x）的两个极值点，∴f'（﹣1）＝0，f'（2）＝0．∴3a﹣2b﹣a2＝0，12a+4b﹣a2＝0，解得a＝6，b＝﹣9．∴f（x）＝6x3﹣9x2﹣36x…（4分）（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点，∴f'（x1）＝f'（x2）＝0．∴x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2＝0的两根．∴，，∵△＝4b2+12a3，∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．∵a＞0，∴x1•x2＜0．∴．由得，∴b2＝3a2（6﹣a）．∵b2≥0，∴3a2（6﹣a）≥0，∴0＜a≤6…（8分）令h（a）＝3a2（6﹣a），则h'（a）＝﹣9a2+36a．当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）内是减函数．∴当a＝4时，h（a）有极大值为96，∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，∴b的最大值是…（12分）8．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a＝﹣1时，过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；（Ⅲ）设定义在D上的函数y＝g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y＝h（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝g（x）的“转点”．当a＝8时，试问函数y＝f（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）当a＝1时，f′（x）＝2x﹣3+＝＝，当0＜x时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．所以当x＝1时，函数f（x）取极小值f（1）＝﹣2，…5分；（Ⅱ）当a＝﹣1时，f′（x）＝2x﹣1﹣（x＞0），所以切线的斜率k＝2m﹣1﹣＝＝＝，整理可得m2+lnm﹣1＝0，显然m＝1是方程的解，又因为函数y＝x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程有唯一的实数解，即m＝1，…10分；（Ⅲ）当a＝8时，函数y＝f（x）在其图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为：h（x）＝，设F（x）＝f（x）﹣h（x），则F（x0）＝0，F′（x）＝f′（x）﹣h′（x）＝（）﹣（）＝（x﹣x0）（x﹣）若0＜x0＜2，F（x）在（x0，）上单调递减，所以当x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时＜0，若x0＞2，F（x）在（，x0）上单调递减，所以当x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时＜0，所以y＝f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“转点”，若x0＝2时，F′（x）＝，即F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，故点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y＝f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标，…15分9．已知函数，g（x）＝x+lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若x＝1是函数h（x）＝f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）是否存在正实数a，使对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．（1）解：∵，其定义域为（0，+∞），∴．∵x＝1是函数h（x）的极值点，∴h'（1）＝0，即3﹣a2＝0，∵a＞0，∴．经检验，当时，x＝1是函数h（x）的极值点，∴．（2）解：假设存在实数a，对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，e]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]max，当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）＝x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max＝g（e）＝e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0，①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数．∴[f（x）]min＝f（1）＝1+a2．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减，在（a，e]上是增∴[f（x）]min ＝f（a）＝2a.2a≥e+1，得a≥，1≤a≤e，∴≤a≤e．③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e．综上所述，存在正实数a的取值范围为．10．已知函数f（x）＝x3+bx2+4cx（x∈R）是奇函数，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处切线的斜率为﹣6，且当x＝2时，函数f（x）有极值．（1）求b的值；（2）求f（x）的解析式；（3）求f（x）的单调区间．解：（1）由函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴b＝0（2）由，有f'（x）＝ax2+4c且f'（1）＝﹣6，f'（2）＝0∴解得故（3）∵∴f'（x）＝2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）令f'（x）＞0得x＜﹣2或x＞2，令f'（x）＜0得﹣2＜x＜2∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2]，[2，+∞）；单调减区间为[﹣2，2]11．已知函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1．（1）若x＝1为函数f（x）的一个极值点，试确定实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．解：（1）∵f（x）＝2x3﹣3ax2+1，∴f'（x）＝6x2﹣6ax．依题意得f'（1）＝6﹣6a＝0，解得a＝1．所以f（x）＝2x3﹣3x2+1，f'（x）＝6x（x﹣1）．令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝1．列表如下：x（﹣∞，0）0 （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗当x＝0时，函数f（x）取得极大f（0）＝1；当x＝1时，函数f（x）取得极小值f（1）＝0．（2）∵f′（x）＝6x2﹣6ax＝6x（x﹣a），∴①当a＝0时，f′（x）＝6x2≥0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；②当a＞0时，f′（x）＝6x（x﹣a），f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0 （0，a）a（a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗由上表可知，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；③同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a＝0时，函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单增区间是（﹣∞，0）和（a，+∞），单调递减区间是（0，a）；当a＜0时，函数f（x）的单增区间是（﹣∞，a）和（0，+∞），单调递减区间是（a，0）．12．已知函数f（x）＝ax3+x2﹣（2+2a）x+b（a∈R）（Ⅰ）若y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝，求y＝f（x）的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）若y＝f（x）在[﹣2，0]上存在极值点，求实数a的取值范围．解：f′（x）＝ax2+x﹣（2+2a）（Ⅰ）由已知可得此时f′（x）＝﹣x2+x，由f′（x）＝﹣x2+x＜0 得y＝f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），（1，+∞）；（Ⅱ）由已知可得y＝f′（x）在[﹣2，0]上存在零点，且在零点两侧y＝f′（x）值异号（1）a＝0 时，f′（x）＝0⇒x＝2∉[﹣2，0]，不满足条件；（2）a≠0 时，可得在[﹣2，0]上有解且△＞0设①当g（﹣2）g（0）≤0 时，满足g（x）＝0在[﹣2，0]上有解或a≤﹣1 此时满足△＞0②当g（﹣2）g（0）＞0时，即g（x）＝0 在[﹣2，0]上有两个不同的实根则a无解综上可得实数a的取值范围为（﹣∞﹣1]∪（2，+∞）．13．设定义在R上的函数f（x）＝ax3+cx满足：①函数f（x）在x1、x2处取得极值，且|x1﹣x2|＝2；②函数f（x）的图象过点（1，﹣2）．（1）求f（x）的表达式；（2）求过点P（1，﹣2）与函数f（x）的图象相切的直线方程；（3）设f（x）在[t，t+2]上最大值M与最小值m之差M﹣m为g（t），求g（t）的表达式．解：（1）f′（x）＝3ax2+c，令f′（x）＝0得∴∴c＝﹣3a①∵函数f（x）的图象过点（1，﹣2），∴﹣2＝a+c②∴由①②解得a＝1，c＝﹣3∴f（x）＝x3﹣3x…（4分）（2）∵f'（x）＝3x2﹣3设切点坐标为∴切线方程为∵切线过P（1，﹣2）∴解之得∴过点P（1，﹣2）与函数f（x）的图象相切的切线方程为：y＝﹣2或9x+4y﹣1＝0．…（3）f'（x）＝3x2﹣3，令f'（x）＝0，x＝±1，x（﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x） 2 ﹣2所以，f（x）极大＝2，f（x）极小＝f（1）＝﹣2．…（10分）若f（x）在[t，t+2]上是增函数，必须有t+2≤﹣1或t≥1，当t≤﹣3时，m＝f（t），M＝f（t+2），g（t）＝M﹣m＝6t2+12t+2，令f（t+2）＝f（t），6t2+12t+2＝0，，当时，m＝f（t），M＝2，g（t）＝﹣t3+3t+2，当时，m＝f（t+2），M＝2，g（t）＝﹣t3﹣6t2﹣9t，当，m＝﹣2，M＝f（t），g（t）＝t3﹣3t+2，当时，m＝﹣2，M＝f（t+2），g（t）＝t3+6t2+9t+4，当t＞1时，m＝f（t），M＝f（t+2），g（t）＝6t2+12t+2．∴…（16分）14．已知函数在x＝a处取得极值．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设函数g（x）＝2x3﹣3af′（x）﹣6a3，如果g（x）在开区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围．解（1）f'（x）＝﹣x2+2bx﹣3a2由题意知f'（a）＝﹣a2+2ba﹣3a2＝0则b＝2a∴（2）由已知可得g（x）＝2x3+3ax2﹣12a2x+3a3则g'（x）＝6x2+6ax﹣12a2＝6（x﹣a）（x+2a）令g'（x）＝0，得x＝a或x＝﹣2a若a＞0，当x＜﹣2a或x＞a时，g'（x）＞0；当﹣2a＜x＜a时，g'（x）＜0所以当x＝a时，g（x）有极小值，∴0＜a＜1若a＜0，当x＜a或x＞﹣2a时，g'（x）＞0；当a＜x＜﹣2a时，g'（x）＜0所以当x＝﹣2a时，g（x）有极小值，∴0＜﹣2a＜1即所以当或0＜a＜1时，g（x）在开区间（0，1）上存在极小值．15．设函数f（x）＝x3+ax2+x+1，a∈R．（1）若x＝1时，函数f（x）取得极值，求函数f（x）的图象在x ＝﹣1处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间内不单调，求实数a的取值范围．解：（1）f'（x）＝3x2+2ax+1由f'（1）＝0得a＝﹣2∴f（x）＝x3﹣2x2+x+1当x＝﹣1时，y＝﹣3即切点（﹣1，﹣3）k＝f'（x0）＝3x02﹣4x0+1令x0＝﹣1得k＝8∴切线方程为8x﹣y+5＝0（2）f（x）在区间内不单调即f′（x）＝0在有解∴3x2+2ax+1＝0在有解∴令h（x）＝∴令解得令解得知h（x）在单调递减，在单调递增∴即h（x）∴即而当时，∴舍去综上16．已知：函数f（x）＝x3﹣6x2+3x+t，t∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）＝e x f（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围．解：（1）令f′（x）＝3x2﹣12x+3＝0，解得：x＝2±，故f（x）在（﹣∞，2﹣），（2+，+∞）递增，在（2﹣，2+）递减；（2）g′（x）＝（3x2﹣12x+3）e x+（x3﹣6x2+3x+t）e x＝（x3﹣3x2﹣9x+t+3）e x∵g（x）有三个不同的极值点∴x3﹣3x2﹣9x+t+3＝0有三个不等根；令h（x）＝x3﹣3x2﹣9x+t+3，则h′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x+1）（x﹣3），∴h（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上递增，在（﹣1，3）上递减，∵h（x）有三个零点，∴h（﹣1）＞0，h（3）＜0，∴t+8＞0，t﹣24＜0，∴﹣8＜t＜24．17．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣1，（a∈R）．（1）求f（x）的极值点；（2）若函数f（x）在区间（0，1）内无零点，求a的取值范围．解：（1）f′（x）＝（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故x＝是极小值点，无极大值点；（2）f′（x）＝（0＜x＜1），∵0＜x＜1，∴0＜2x2＜2，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，故f（x）＜f（1）＝0，函数无零点，符合题意；当a≥2时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）递减，故f（x）＞f（1）＝0，函数无零点，符合题意；当0＜a＜2时，存在x0＝∈（0，1），使得f′（x0）＝0，故f（x）在（0，）递减，在（，1）递增，又0＜＜1，f（）＝＞0，f（）＜0，故f（x）在（0，1）有零点，不合题意；综上，若函数f（x）在区间（0，1）内无零点，则a≥2或a≤0．18．已知f（x）＝4x+ax2（x∈R），且f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数．（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设函数f（x）的两个极值点为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|3x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）∵f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数．∴f′（x）＝4+2ax﹣2x2≥0，在区间[﹣1，1]上恒成立．∴f′（﹣1）＝4﹣2a﹣2≥0，f′（1）＝4+2a﹣2≥0，解得﹣1≤a≤1．∴A＝[﹣1，1]．（2）函数f（x）的两个极值点为x1、x2，∴x1+x2＝a，x1x2＝﹣2．∴|3x1﹣x2|＝|2（x1﹣x2）+（x1+x2）|≤2|（x1﹣x2|+（x1+x2）＝2+|a|，∵a∈A，设h（a）＝2+|a|，a∈[﹣1，1]，则h（a）是偶函数，且在[0，1]上单调递增．∴|3x1﹣x2|的最大值为h（1）＝7．设g（t）＝m2+tm+1＝tm+（m2+1），t∈[﹣1，1]，g（t）≥|3x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，则，解得m≤﹣3或m≥3．∴存在实数m≤﹣3或m ≥3，使得不等式m2+tm+1≥|3x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立．19．已知f（x）＝e﹣x（e为自然对数的底数），g（x）＝ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求函数h（x）＝f（x）+g（x）的极小值；（Ⅱ）当t≥0时，关于t的方程f（﹣t ﹣1）+ln（t+1）﹣e＝g（t）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝1时，h（x）＝f（x）+g（x）＝e﹣x+x，h′（x）＝﹣e﹣x+1，令h′（x）＝0，解得：x＝0，x，h′（x），h（x）的变化如下：x（﹣∞，0）0 （0，+∞）h′（x）﹣0 +h（x）递减极小值递增∴h（x）极小值＝h（0）＝1；（Ⅱ）设φ（t）＝f（﹣t﹣1）+ln（t+1）﹣e﹣g（t）＝e t+1﹣at+ln（t+1）﹣e，令t+1＝x（x≥1），F（x）＝e x﹣ax+lnx﹣e+a，x≥1，F′（x）＝e x﹣a+，设t（x）＝F′（x）＝e x﹣a+，t′（x）＝e x﹣，由x≥1得，x2≥1，∴0＜≤1，∵e x≥e，t′（x）＝e x﹣＞0，t（x）在（1，+∞）单调递增，即F′（x）在（1，+∞）单调递增，F′（1）＝e+1﹣a，①当e+1﹣a≥0，即a≤e+1时，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞F′（1）≥0，F（x）在（1，+∞）单调递增，又F（1）＝0，故当x≥1时，关于x的方程e x﹣ax+lnx﹣e+a＝0有且只有一个实数解，②当e+1﹣a＜0，即a＞e+1时，F′（1）＜0，F′（lna）＝a﹣a+＞a﹣a＝0，又lna＞ln（e+1）＞1，故∃x0∈（1，lna），F′（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，又F（1）＝0，故当x∈（1，x0]时，F（x）＜0，在[1，x0）内，关于x的方程e x﹣ax+lnx﹣e+a＝0有一个实数解x＝1，又x∈（x0，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，且F（a）＝e a+lna﹣a2+a﹣e＞e a﹣a2+1，令k（x）＝e x﹣x2+1（x≥1），s（x）＝k′（x）＝e x﹣2x，s′（x）＝e x﹣2＞e﹣2＞0，故k′（x）在（1，+∞）单调递增，又k′（1）＞0，故k（x）在（1，+∞）单调递增，故k（a）＞k（1）＞0，故F（a）＞0，又a＞＞x0，由零点存在定理可知，∃x1∈（x0，a），F（x1）＝0，故在（x0，a）内，关于x的方程e x﹣ax+lnx﹣e+a＝0有一个实数解x1，此时方程有两个解．综上，a≤e+1．20．已知函数f（x）＝e x+﹣x（m∈R，m≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间和f（x）的极值；（2）对于任意的a∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]，都有|f（a）﹣f（b）|≤e，求实数m的取值范围．解：（1）f′（x）＝e x+x﹣1，f″（x）＝e x+，显然f″（x）＞0，故f′（x）递增，而f′（0）＝0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，当x＝0时，f（x）取极小值1，无极大值；（2）由题意，只需f（x）max﹣f（x）min≤e，由（1）知，f（x）在[﹣1，0）递减，在（0，1]递增，故f（x）在[﹣1，1]上的最小值是f（0）＝1，最大值是f（1）和f（﹣1）的较大者，而f（1）﹣f （﹣1）＝（e+﹣1）﹣（++1）＝e﹣﹣2＞0，故f（1）＞f（﹣1），故f（x）在[﹣1，1]上的最大值是e+﹣1，故e+﹣1﹣1≤e，解得：m ≥或m≤﹣，故实数m的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知函数f（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+（a﹣1）]lnx+2x．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的图象在点T（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝1时，函数f （x）是否具有极值，如果有，求出极值；如果没有，请说明理由．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），当a＝﹣1时，f（x）＝（﹣x2+x﹣2）lnx+2x，f（1）＝2，点T的坐标为（1，2），f′（x）＝（﹣2x+1）lnx﹣，f′（1）＝0，所以a＝1时，函数f（x）的图象在点T（1，2）处的切线方程是y＝2．（2）a＝1时，f（x）＝（x2﹣3x）lnx+2x，f′（x）＝（2x﹣3）lnx+x﹣1，f′（1）＝0，设h（x）＝f′（x），h′（x）＝2lnx﹣+3，h′（1）＝0，设p（x）＝h′（x），p′（x）＝，在定义域（0，+∞）内，x2＞0，2x+3＞0，p′（x）＞0，p（x）即h′（x）在（0，+∞）上递增，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，对∀x∈（0，+∞）都有f′（x）＝h（x）≥h（1）＝0，f（x）在（0，+∞）递增，所以a＝1时，函数f（x）没有极值．22．已知函数f（x）＝．（a∈R，a≠0）（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥x+1恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，而f（x）在x＝0处无定义，故f（x）的极小值是f（2）＝，无极大值；（2）f′（x）＝＞0，当a＞0时，解得：x＞2或x＜0，故函数在（﹣∞，0），（2，+∞）递增，当a＜0时，解得：0＜x＜2，故函数在（0，2）递增；（3）∵≥x+1，∴a≥，令g（x）＝，则g′（x）＝＝，∵x∈（0，+∞），令g′（x）＞0，解得：1﹣＜x＜1+，∴g（x）在（0，1+）递增，在（1+，+∞）递减，即g（x）max＝g（1+）＝，故a≥．23．已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a，b∈R）．（Ⅰ）若f（x）在x＝﹣1时有极值0，求a，b的值；（Ⅱ）若g（x）＝[f′（x）﹣b+6a]•e x，求g（x）的单调区间．解：（Ⅰ）由题意得f′（x）＝3x2+6ax+b，则，解得：或，经检验当a＝1，b＝3时，函数f（x）在x＝﹣1处无极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a＝2，b＝9；（Ⅱ）g（x）＝[f′（x）﹣b+6a]•e x＝3（x2+2ax+2a）•e x，故g′（x）＝3（x+2）（x+2a）•e x，故a＝1时，g′（x）≥0，函数g（x）在R上递增，当a＞1时，在（﹣∞，﹣2a）递增，在（﹣2a，﹣2）递减，在（﹣2，+∞）递增，当a＜1时，在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，﹣2a）递减，在（﹣2a，+∞）递增．24．已知函数f（x）＝x2﹣2x+2alnx，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：．（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，所以在（0，+∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，即x2﹣x+a＝0在（0，+∞）上有两个不相等的根x1，x2．所以解得．（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2﹣x+a＝0的两个不等的实根，所以其中．故＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2aln （x1x2）＝2alna﹣2a﹣1，令g（a）＝2alna﹣2a﹣1，其中．故g'（a）＝21na＜0，所以g（a）在上单调递减，则，即．25．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）且在x＝处取得极值点．（1）求a、b的值（2）求函数f（x）的单调区间．（3）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最值．解：（1）∵函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）∴f（1）＝2，∴a+b＝1，又函数f（x）在x＝处取得极值点，∴f'（）＝0 因f'（x）＝3x2+2 ax+b∴2a+3b＝﹣1 解得a＝4，b＝﹣3，经检验x＝是f（x）极值点…（6分）（2）由（1）得f'（x）＝3x2+8x﹣3，令f'（x）＞0，得x＜﹣3或x＞，令f'（x）＜0，得﹣3＜x＜，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（，+∞），函数f（x）的单调减区间为（﹣3，）（3）由（2）知，又函数f（x）在x＝处取得极小值点f（）＝f（﹣1）＝6，f（1）＝2 函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为6，最小值为…（12分）26．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣ax+1，其中a∈R．（1）当a＝0时，证明：f（x）＞0；（2）当a＞0吋，讨论f（x）的零点个数．（1）证明：当a＝0时，f（x）＝xe x﹣1+1，f′（x）＝（x+1）e x﹣1．∴x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴x＝﹣1时，函数f（x）取得极小值，∴f（x）≥f（﹣1）＝1﹣＞0．∴当a＝0时，f（x）＞0．（2）解：由（1）可得：xe x﹣1+1＞0．∴当a＞0时，∀x∈（﹣∞，0]时，f（x）＞0，即函数f（x）在x∈（﹣∞，0]时，f（x）无零点．故只需要研究函数f（x）在[0，+∞）上零点的情况．由xe x﹣1﹣ax+1＝0，变形为：a＝e x﹣1+，（x＞0）．令g（x）＝e x﹣1+，（x＞0），y＝a．g′（x）＝e x﹣1﹣，在（0，+∞）上单调递增，且g′（1）＝0．∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（1）＝2．分类讨论：0＜a＜2时，y＝a与函数g（x）的图象在（0，+∞）上无交点，即函数f（x）无零点．a＝2时，y＝a与函数g（x）的图象在（0，+∞）上有唯一交点，函数f（x）有唯一零点．a＞2时，lna+1，g（1）＝2，g（）＝+a＞a，g（lna+1）＝a+．y＝a与函数g（x）的图象在（0，+∞）上有两个交点，即函数f（x）有两个零点．综上可得：0＜a＜2时，函数f（x）无零点．a＝2时，函数f（x）有唯一零点．a＞2时，函数f（x）有两个零点．27．函数f（x）＝alnx+x2﹣4x（a∈R）．（1）当a＝﹣6时，求函数f（x）的极值；（2）若a＞0，设g（x）＝2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣6时，f（x）＝﹣6lnx+x2﹣4x，定义域为（0，+∞），，令f′（x）＝0，得x＝3，x＝﹣1（舍），当0＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＞3时，f′（x）＞0，∴当x＝3时，f（x）由极小值f（3）＝﹣3﹣6ln3，无极大值；（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x），在[1，e]上存在x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在x0，使得h（x0）＜0，∴h（x）＝x+﹣alnx在[1，e]上的最小值小于0．又h′（x）＝1﹣＝，当1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上递减，h（x）的最小值为h（e），由h（e）＝e﹣可得a，∵，∴；当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上递增，此时h（x）最小值为h（1），由h（1）＝1+1+a＜0可得a＜﹣2；当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）的最小值为h（1+a）＝2+a﹣aln（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，此时，h（1+a）＝2+a﹣aln（1+a）＞2，∴不存在x0，使得h（x0）＜0成立．综上，a的范围为：a＜﹣2，或a．28．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：．解：（1），①若，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；②若，解x2﹣x+a＞0，得，或，解x2﹣x+a＜0，得，此时f（x）在上单调递减．在上单调递增，在上单调递增．综上，当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增．（2）由（1）知时，f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1，x2是方程x2﹣x+a＝0的两根，所以x1+x2＝1，x1•x2＝a，所以＝，令，所以g（x）在上单调递减，所以，所以29．已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣（a∈R）（1）若f（1）是f（x）的极值，求a的值，并求f（x）的单调区间．（2）若x＞0时，f（x）＞0，求实数a的取值范围．解：（1）函数的定义域为（﹣1，+∞），函数的导数f′（x）＝﹣，若f（1）是f（x）的极值，则f′（1）＝0，即f′（1）＝﹣＝＝0得a＝0，此时f′（x）＝﹣，由f′（x）＝0得x＝1，当x＞﹣1时，f′（x），f（x）的取值变化为x（﹣1，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣ 0 +f（x）单调递减极小值单调递增则f（x）的单调递减区间为（﹣1，1），递增区间为（1，+∞）．（2）因为f（0）＝0，f′（x）＝﹣＝，记h（x）＝ae x+x2﹣1，则h（0）＝a﹣1，且h′（x）＝ae x+2x，当h（0）＝a﹣1≥0，即a≥1时，h′（x）＝ae x+2x＞0，（x＞0），h（x）＝ae x+x2﹣1，在（0，+∞）上单调递增，故x＞0时，h（x）＞h（0）＝a﹣1≥0，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（x）≥f（0）＝0，符合．当h（0）＝a﹣1＜0，即a＜1时，则存在m＞0使得x∈（0，m）时，h（x）＜0，此时f′（x）＜0，f（x）在（0，m）上单调递减，当0＜x＜m时，f（x）＜f（0）＝0，不符合，综上实数a的取值范围是[1，+∞）．30．设函数f（x）＝x3+4x2+4x+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（2）若函数f（x）有三个不同的零点，求c的取值范围．解：f′（x）＝3x2+8x+4．（1）因为f（0）＝c，f′（0）＝4，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y＝4x+c．（2）令f′（x）＝0，得：3x2+8x+4＝0，解得：x＝﹣2或，f（x）与f′（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：x（﹣∞，﹣2）﹣2f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗c↘↗所以，当c＞0且时，存在x1∈（﹣4，﹣2），，，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0．由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）＝x3+4x2+4x+c有三个不同的零点。

高二数学导数大题练习及详细答案

高二数学导数大题练习及详细答案

高二数学导数大题练习及详细答案一、解答题 1．已知函数()1e -=xx f x . (1)求()f x 极值点；(2)若()()4g x f x =-，证明：2x >时，()()f x g x >成立. 2．已知曲线()1f x x=(1)求曲线在点(1,1)P 处的切线方程． (2)求曲线过点(1,0)Q 的切线方程． 3．已知函数321()33f x x x ax =-+(1)若()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π，求a 的值； (2)若1a =-，求()f x 的单调区间.4．已知2e 1()(0),()e ()2x x m f x m g x x ax ax a x =≠=--∈R ． (1)当0x >时，讨论()f x 的单调性；(2)若12m =-，对12[1,),[0,)x x ∀∈+∞∀∈+∞，使得()()21g x f x >恒成立，求a 的取值范围．5．已知()2ex x af x -=．(1)若()f x 在3x =处取得极值，求()f x 的最小值； (2)若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围．6．已知函数()2()2e =+-xf x x a ．(1)讨论函数的单调性；(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值．7．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.8．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点.9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值． 10．已知函数2()ln f x a x x =+，其中a R ∈且0a ≠． (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：2()1f x x x ≤+-； (3)求证：对任意的*n N ∈且2n ≥，都有：222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211e n⎛⎫+< ⎪⎝⎭．（其中e 2.718≈为自然对数的底数）【参考答案】一、解答题1．(1)极大值点为2x =，无极小值点； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；（2）令()()()()4e 31e e xx x x F x f x g x --=-=-，利用导数求出函数()F x 的最小值即得证. (1)解：由题意，得()2e xx f x -'=， 令()0f x '>，得2x <；()0f x '<，得2x >； 列表如下：所以极大值点为2x =，无极小值点. (2)证明：()()()4e 34e x x g xf x -=-=，令()()()()4e 31e e xx x x F x f x g x --=-=-， ∴()()()()42442e e e 22e e ex xx x x x x F x +----'=-=. 当2x >时，20x -<，24x >，从而42e e 0x -<，∴()0F x '>，()F x 在()2,+∞上是增函数，∴()()221120e e F x F >=-=. ∴当2x >时，()()f x g x >成立. 2．(1)20x y +-= (2)440x y +-= 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()21f x x'=-，得到曲线在点(1,1)P 处的切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）设切线坐标为00(,)A x y ，得出切线的方程为020011()y x x x x -=--，根据点(1,0)Q 在切线上，列出方程求得0x 的值，代入即可求解.(1)由题意，函数()1f x x=，可得()21f x x '=-， 所以()11f '=-，即曲线在点(1,1)P 处的切线的斜率为1k =-， 所以所求切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. (2)解：设切点坐标为00(,)A x y ，则切线的斜率为201k x =-，所以切线的方程为020011()y x x x x -=--， 因为点(1,0)Q 在切线上，可得020011(1)x x x -=--，解得012x =， 所以所求切线的方程为124()2y x -=--，即440x y +-=. 3．(1)23(2)单调增区间为：(,1)-∞-，(3,)+∞ ；单调减区间为:(1,3)- 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）求出函数导数，解相应不等式，可得函数的单调区间. (1)由321()33f x x x ax =-+，可得2()23f x x x a '=-+， 故由()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π得(1)1f '=， 即21231,3a a -+==； (2)1a =-时，321()33f x x x x =--，2()23f x x x '=--，令2()230f x x x '=-->，则1x <- 或3x > ， 令2()230f x x x '=--<，则13x ，故()f x 的单调增区间为：(,1)-∞-，(3,)+∞ ；单调减区间为:(1,3)- . 4．(1)答案见解析 (2)(,e)-∞ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负可求出函数的单调区间，（2）将问题转化为()()min max g x f x >，而max e ()(1)2f x f ==-，所以问题再转化为()min e2g x >-，然后分0a ≤，01a <≤和1a >三种情况求解()g x 的最小值即可(1)由e ()(0)x m f x m x =≠，得2e (1)()x m x f x x '-=． ①0m >，当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减； 当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增． ②0m <，当(0,1),()0,()x f x f x ∈>'单调递增； 当(1,),()0,()x f x f x <'∈+∞单调递减． (2)依题意得()()minmax e ,()2x x g x f f x x >=-，∴2e (1)()2x x f x x -'=，即当[1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '≤单调递减， ∴max e()(1)2f x f ==-．()()e (1)(1)e (0)x x g x x ax a x a x =+--=+-≥'．1）当0a ≤时，e 0x a ->，∴在[0,)+∞上，()0,()'>g x g x 单调递增，∴min e ()(0)02g x g ==>-恒成立．2）当0a >时，令()0g x '=，则得121,ln x x a =-=， ①当01a <≤时，ln 0,()a g x ≤'在[0,)0,()g x +∞≥单调递增， ∴min e ()(0)02g x g ==>-恒成立． ②当1a >时，ln 0a >．当[0,ln )x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减； 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0,()'>g x g x 单调递增．∴ln 22min 11()(ln )ln e (ln )ln (ln )22a g x g a a a a a a a a ==⋅--=-．∴21e (ln )22a a ->-恒成立，即2(ln )e a a <恒成立．令ln a t =，则e t a =，∴22(ln )e t a a t =，令2()e (0)t t t t ϕ=>，∴()2()2e e e (2)t t tt t t t t ϕ'=+=+．当(0,)t ∈+∞时，()0,()t t ϕϕ'>单调递增，且(1)e ϕ=， ∴1t <，即ln 1a <． ∴(1,e)a ∈．综上所述a 的取值范围为(,e)-∞． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为()min e 2g x >-，然后利用导数分情况求解()g x 的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 5．(1)2e - (2)[)1,+∞ 【解析】 【分析】（1）先求得函数的导函数，然后利用极值的必要条件求得a 的值，进而判定导数的正负区间，得到函数的单调性，然后结合左右两端的极限值与极小值，求得函数的最小值；（2）分离参数得到2(1)e x a x x ≥--对于任意[)1,x ∞∈+恒成立.构造函数，利用导数求得不等号右侧的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数a 的取值范围. (1)∵()2ex x af x -=，∴()()()2222e e 2e e x xxx x x a x x a f x ⋅--⋅--'==-， ∵()f x 在3x =处取得极值，()2332330e af -⨯-'=-=，∴3a =， ∴()23e x x f x -=，()223(1)(3)e e x xx x x x f x --+-'=-=-，当1x <-时，()’0f x <；当13x 时，()’0f x >；当3x >时，()’0f x <. ∴()f x 在(],1-∞-上单调递减，在[]1,3-上单调递增，在[)3,+∞上单调递减. 又∵当3x >时，()0f x >，()12e 0f -=-<， ∴()f x 的最小值为2e -. (2)由已知得221(1)e ex x x ax a x x -≤-⇔≥--对于任意[)1,x ∞∈+恒成立.令2()(1)e x g x x x =--，则()2e (2e )x x g x x x x '=-=-，在1≥x 时，()(2e )0x g x x '=-<，所以函数()g x 在1≥x 时上单调递减， 所以max ()(1)1g x g ==， 所以a 的取值范围是[)1,+∞． 6．(1)答案见解析 (2)4 【解析】 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）由(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)()'2(22)e x f x x x a =++-①当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，(11x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减，(1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增； 当1a >时，()f x在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，在(11--上单调递减.(2)2e (2)(e 1)x x x a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)e 1x x x a +≤-， 2e (2)()e 1x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-， 令2()2e 22x h x x x x =---，()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，3334443393338()e 2e 4(e )042162223h =---<-=-<，(1)2e 50h =->， 所以存在03(,1)4x ∈使得0()0h x =，即020002e 22xx x x =++，当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增； 那么()()00202000e 222e 1x x x a g x xx +≤==++-，03(,1)4x ∈，故034()()(1)54g g x g <<<=，由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围.7．最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况. 【详解】由()31443f x x x =-+，得()24f x x '=-令()0f x '=.得2x =±1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x =-舍去， 列表如下：()f x ∴的极小值为()423f =-又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()31f =， 所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 8．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明. (1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--.令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】 【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得()'f x ，对参数a 进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性； （2）构造函数()ln 1g x x x =-+，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明； （3）根据（2）中所求得2211ln 1n n ⎛⎫+<⎪⎝⎭，结合累加法即可求证结果. (1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a a xf x x x x'+=+=，①当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<220a x +<，所以()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，当x >220a x +>，所以()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a >时，函数()f x 在(0,)+∞上调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. (2)当1a =时，2()ln f x x x =+，要证明2()1f x x x ≤+-， 即证ln 1≤-x x ，即ln 10x x -+≤， 设()ln 1g x x x =-+，则1()xg x x-'=，令()0g x '=得，可得1x =， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<． 所以()(1)0g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，故2()1f x x x ≤+-. (3)由（2）可得ln 1≤-x x ，（当且仅当1x =时等号成立）， 令211x n=+，1,2,3,n =，则2211ln 1n n ⎛⎫+<⎪⎝⎭， 故2211ln 1ln 123⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (222)111ln 123n ⎛⎫++<++ ⎪⎝⎭…21111223n +<++⨯⨯…()11n n +- 1111223⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…11111lne 1n n n ⎛⎫+-=-<= ⎪-⎝⎭，即222111ln[111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211]lne n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 故222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)11e n ⎛⎫+<⎪⎝⎭. 【点睛】本题考察利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，属综合困难题.。

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高二数学导数练习题一、选择题1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是可导函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A .充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D.必要非充分条件2.下列求导数运算正确的是( )A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x3. 32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319B ．316C ．313D ．3104.对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为（ ）A ．4)(x x f =B ．2)(4-=x x fC ．1)(4+=x x fD ．2)(4+=x x f5函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个a bx y)(x f y ?=O6.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)+∞⋃-∞-,33,B ．]3,3[-C ．()()+∞⋃-∞-,33,D ．)3,3(-7. 函数xx y ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．3108..曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T (1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )9.若曲线y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，则整数a 的值是（ ）．A ．1B ．0或1C ．1或2D ．0或1或210.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为( )A ．(-∞，12)∪(12,2)B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞)二、填空题11.过原点作曲线x e y 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .12. 若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________13.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值．.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-15.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.高二数学导数练习题班级 姓名 学号 2015-4-24一、选择题（10×5′= 50′） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题（5×5′= 25′）11、________________ 12、_________________ 13、_______________14、________________ 15、_________________ 三、解答题（4×12′+13′+14′= 75′）16.已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

17.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。

18.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．19. 已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）、求实数k 的取值范围；（2）、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．设函数20.设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>．（1）若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围；21. 22)1ln()1()(x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]1,11[--∈e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围。

已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值(1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 答案 一、选择题5.解析:由题意可知球的体积为34()()3V t R t π=，则'2'()4()()c V t R t R t π==，由此可得'4()()()c R t R t R t π=，而球的表面积为2()4()S t R t π=， 所以'2'()4()8()()v S t R t R t R t ππ==表＝， 即''''228()()24()()()()()()c c v R t R t R t R t R t R t R t R t ππ⨯表＝＝＝＝，故选D解析：'2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，24120a a ∆=-≤⇒≤二、填空题12.（1，e ）, e －y －2=0 14.]41,0[ 三、解答题15.解析：因为xx x f x x x f +-+='+-+=12)1(2)()1ln()1()(22所以（1）令0120]11)1[(212)1(2)(2>++⇒>+-+=+-+='xx x x x x x x f 12-<<-⇒x 或x >0，所以f (x )的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；…（3分）令0120]11)1[(212)1(2)(2<++⇒<+-+=+-+='xxx x x x x x f )(,201x f x x 所以或-<<<-⇒的单调减区间（－1，0）和（－∞，－2）。

……（5分）（2）令201)1(0)(2-==⇒=+⇒='x x x x f 或（舍），由（1）知，f (x )连续，.2)(,]1,11[,,2)1(,1)0(,21)11(222---∈-=-=+=-e x f e ex e e f f e e f 的最大值为时当所以因此可得：f (x )<m 恒成立时，m>e 2－2 （9分） （3）原题可转化为：方程a =(1+x )－ln(1+x )2在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根。

,9ln 3)2(,4ln 2)1(,1)0(,20)()12(.)2,1()(,0)(,)2,1(,)1,0()(,0)(,)1,0(,1:,0)(,121)(,)1ln()1()(2-=-====∴>'∈∴<'∈=='+-='+-+=g g g x x x g x g x g x x g x g x x x g xx g x x x g 又点处连续和在分单调递增在时当单调递减在时当解得令则令且2－ln4<3－ln9<1，∴)(x g 的最大值是1，)(x g 的最小值是2－ln4。

所以在区间[0，2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a 的取值范围是：2－ln4<a ≤3－ln9 ………………… （14分） 16.解析：（1）当1a =时32()f x x x x m =+-+， ∵()f x 有三个互不相同的零点，∴32()0f x x x x m =+-+=即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根． 令32()g x x x x =--+，则/2()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+ ∵()g x 在(,1)-∞-和1(,)3+∞均为减函数，在1(1,)3-为增函数， ∴15()(1)1,()()327g x g g x g =-=-==极小极大 所以m 的取值范围是5(1,)27- ………………4分 （2）由题设可知，方程/22()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根，∴/2/2(1)320(1)3200f a a f a a a ⎧=+-<⎪-=--<⎨⎪>⎩，解得3a > ………8分（3）∵/22()323()(),3a f x x ax a x x a =+-=-+又0a >，∴当x a <-或3a x >时，/()0f x >；当3a a x -<<时，/()0f x <．∴函数()f x 的递增区间为(,)(,),3a a -∞-+∞和单调递减区间为(,)3a a - 当[]3,6a ∈时，[]1,2,33aa ∈-≤-， 又[]2,2x ∈-，∴{}max ()max (2),(2)f x f f =-而2(2)(2)1640f f a --=-<，∴2max ()(2)842f x f a a m =-=-+++， 又∵()1f x ≤在[]2,2-上恒成立，∴2max ()18421f x a a m ≤-+++≤即， 即[]29423,6m a a a ≤--∈在上恒成立．∵2942a a --的最小值为87-， ∴87.m ≤- ………13分 17.解析：（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩…………………5分（Ⅱ）∵()()()'230f x x a a =-≠,当0a <时，()'0f x >， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =是()f x 的极大值点，x =是()f x 的极小值点.……………12分18.解析：''''()()()()()()()()()y x a x b x c x a x b x c x a x b x c =---+---+---()()()()()()x b x c x a x c x a x b =--+--+--20.解法一：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km, 则 ∵BD=40,AC=50－x ,∴BC=222240+=+x CD BD又设总的水管费用为y 元，依题意有：y=3a(50－x)+5a2240+x (050)x <<y ′=－3a +22405+x ax ,令y ′=0,解得x =30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x =30(km)处取得最小值，此时AC=50－x =20(km) ∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 解法二：设∠BCD=θ,则BC=θsin 40,CD=)20(,cot 40πθθ<<,θcot 4050-=AC设总的水管费用为f(θ),依题意，有f(θ)=3a (50－40·cot θ)+540sin a θ⋅=150a +40a ·θθsin cos 35-∴f '(θ)=40a 22(53cos )sin (53cos )(sin )35cos 40sin sin a θθθθθθθ''-⋅--⋅-⋅=⋅令f '(θ)=0,得cos θ=53根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时sin θ=54,∴cot θ=43,∴AC=50－40cot θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.。

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