量子力学一维定态问题
chapter 31 一维定态问题(上)
⎪⎩ 0，
x ≥a
另一组解为：
ψn
=
⎧⎪B cos ⎨
nπ
2a
x，
n
=
2k
+ 1,
x
<
a
⎪⎩ 0，
x ≥a
(12)
(11)和(12)两式可合并为一个式子
ψn
=⎪⎨⎧A′(sin
nπ
2a
xcos
nπ
2
+cos
nπ
2a
xsin
nπ
2
)
=
A′sin
nπ
2a
(x+a),
x <a
⎪⎩
0,
x ≥a
n = 1, 2 , 3, ⋅ ⋅ ⋅,
在该例中，粒子被束缚在阱内。通常把在
无限远处为零的波函数所描写的状态称为束 缚态(即粒子被约束于空间的有限区域)。一 般地，束缚态所属能级是分立的;
粒子的最低能级称为基态。在本例中是
n=1的态。基态能量为
E1
=
π2
8m a 2
≠
0，称为零点
能量，与经典粒子不同，这正是微观粒子波
动性的表现，“静止”波是没有意义的 ；
b.若势函数 V(r) 具有一阶奇点，则在奇点处波
函数Ψ连续，但波函数对空间坐标一级微商 Ψ'
不连续。但在非相对论量子力学中，在薛定谔方 程的意义下，粒子不能穿透势能为无穷大的空间 区域，故在这些区域内 Ψ＝0 ，但在该区域的边 界上，Ψ 仍然是连续函数。
现令 Ui为第i个区域中(i=1,2,….n)U(x)的(常数)
(15)
2i
将上式中的正弦函数写成指数函数，于是有
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
量子力学9-10一维定态
+∞
−∞
∫ dxe
−i
px
ψ1 ( x )
φ1 ( p )
ap πa cos 2 2 −2 ap π = − , 2 2
谁对？谁错？
(− ∞ < p < +∞ )
2.2.2 有限深对称方势阱问题
含时薛定谔方程导引
哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用 量原理与费马原理
五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设 状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数 性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设
(4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方 程 公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设
由波函数及其导数在边界上的连续性，可得到
(ln cos kx )′ x = a / 2 = (ln e − βx )′
由此得到 令
x =a / 2
k tan( ka / 2) = β
ξ = ka / 2, η = βa / 2
( 20)
( 21)
则式(20)可化为
ξ tan ξ = η
( 22)
由(15), (18), (21)得到
很快，薛定谔就通过德布罗意论文的相对论性理论，
推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于 氢原子，计算出束缚电子的波函数。但很可惜。因 为薛定谔没有将电子的自旋纳入考量，所以从这方 程推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。他只 好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩 下的非相对论性方程来计算氢原子的谱线。解析这 微分方程的工作相当困难，在其好朋友数学家赫尔 曼·外尔鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全 相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部 分，只把非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结 果，写为一篇论文。1926年，他正式发表了这论 文。
量子力学补充2-一维势阱
由式（1）得 B = 0 波函数为： (x) Asin kx
由式（2）得 Asin ka 0 于是
ka n , k n a(n 1, 2,3)
即: k 2mE n a
由此得到粒子的能量 En
En
22
( 2ma 2
)n2 ,
n 1, 2, 3
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖 之间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电 流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样 品表面的起伏。
o
n 4,E E4
n 3,E E3 n 2,E E2 n 1,E E1 ax
7
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
n(x)
n
A sin( a
x)
(0 x a)
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
n (x) 2dx
0a A2
sin2 (n
a
x)dx
A2
a 2
1
得到 A 2 a
最后得到薛定谔方程的解为：
n(x)
2 sin( n x)
aa
(0 x a)
8
讨论
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分 立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观 世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可 取连续的任意值。电子(m=9.1×10-31千克)在宽 为a=10Å的势阱中运动，有En=0.38n2eV,
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程，一维定态问题
本章主要介绍量子力学的基础概念和薛定谔方程的推导及其在
一维定态问题中的应用。
量子力学是描述微观世界中物质及其运动规律的理论。
在量子力学中，粒子的运动状态由波函数描述，波函数可以用来计算粒子在不同位置的概率密度。
薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。
一维定态问题是指一个粒子在一维空间中的运动状态是定态的，即粒子的波函数只包含一个能量本征态。
在一维定态问题中，薛定谔方程可以简化为一维薛定谔方程，可以通过求解该方程得到粒子的能量本征态和能量本征值。
本章将详细介绍薛定谔方程的推导过程和一维定态问题的求解
方法，包括定态薛定谔方程的解法和粒子在势阱和势垒中的运动规律。
同时还将介绍相关的数学工具和物理概念，如波函数、能量本征态、能量本征值和概率密度等。
通过学习本章内容，读者将能够了解量子力学的基本概念和薛定谔方程的应用，掌握一维定态问题的求解方法，为后续学习量子力学的进阶内容奠定基础。
- 1 -。
第一章 薛定谔方程,一维定态问题
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
第3章 一维定态问题
2 d ( x) 2mE 2 2 k ( x) 0 令： k 2 则： 2 dx
通解：
x Aeikx Beikx C coskx D sin kx
A, B, C, D 为常数，由标准条件和归一化条件确定。 ka ka a ka ka a C cos D sin 0 x C cos D sin 0 x 2 2 2 2 2 2
（3）能量间隔：
(n 1) 2 2 2 n 2 2 2 2 2 E n E n1 En (2n 1) 2 2 2m a 2m a 2m a2
n一定， a一定，
a En 0
En 2n 1 n En 2 0 En n En
2
V
a 时 2
d 2 ( x) 2 x x ( x ) ( x ) A ' e B ' e dx2
由有限条件，当
x a 2 x
( x) 0
粒子不可以进入Ⅱ区
I区： V 0
2 d 薛定谔方程： ( x) 2m E ( x) 0 dx2 2
( x)
E2
1 ( x)
n 1, 2,
a n sin x n 1, 2,3 2 a
E1
非对称二维无限深势阱
0 0 x a,0 y b V ( x, y) others
2 n12 n2 En ( 2 2) 2m a b 2
( p) ( p)
2
2
4 a
pa cos 2 2 2 2 2 a p
2
3
8.非对称一维无限深势阱
4 ( x)
V ( x)
量子力学典型例题解答讲解
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
量子力学导论第3章答案
第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mE yx n n 222π =)(2222b n a n yx +,2,1, ,sinsin2==y x y x n n n n byn axn abyxππψ若b a =，则 )(222222y x n n n n maE yx +=π ay n a x n a y x nn yxππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn b n an m n n n E z yxzy x ++=π ,,3,2,1,, ,sin sin sin 8==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n man n n E z y x ++=π ay n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsinsin sin 223⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
《一维定态问题》课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨一维定态问题，介绍定态和一维定态问 题的基本概念，并讲解其数学描述、求解方法以及应用领域。
导言
一维定态问题是研究物理学等领域中的一类重要问题。它提供了理解系统行 为和性质的基础，以及解决各种实际问题的方法。
定态和一维定态问题的基本概 念
例题三
借助计算机模拟，展示一维定 态问题的数值解法和仿真结果。
一维定态问题的应用
量子力学
一维定态问题在量子力学 中有广泛的应用，例如描 述电子在一维势场中的行 为。
固态物理学
研究材料中晶格振动、电 子能带等问题时，可以把 复杂的多维系统简化为一 维定态问题。
量子计算
一维定态问题为理解和实 现量子计算提供了基础， 如量子比特的储存和操作 等。
总结和展望
通过本PPT课件，我们对一维定态问题有了更深入的了解。未来，我们可以 进一步研究其在更复杂系统和实际应用中的应用。
定态是指系统在某个特定状态下具有稳定性和不变性。一维定态问题是针对 一维系统中的定态进行研究和求解的问题。
一维定态问题的数学描述
数学上，一维定态问题可以通过使用定态薛定谔方程进行描述。这个方程描述了系统的波函数和能量的 关系，是解决一维定态问题的关键。
一维定态问题的求解方法
1
经典方法
传统的求解一维定态问题的方法，如分离变量法、定态扰动法等。
2
量子力学方法
利用量子力学的基本原理和数学工具，如哈密法
借助计算机和数值计算技术，通过离散化和近似方法求解一维定态问题。
例题演示和讲解
例题一
例题二
通过实际例题，演示和讲解一 维定态问题的求解过程和方法。
通过复杂的数学方程，在黑板 上演示一维定态问题的解析求 解过程。
第2章 一维定态问题
即 V0a2 2h2 / 2m
时，才能出现最低的奇宇称能级。
由以上分析可以看出，束缚态能级是分立的，它是束 缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
18
➢§2.3 线性谐振子
自然界中广泛碰到简谐运动，任何物体在平衡位 置附近的小振动(如分子的振动、晶格的振动、原 子表面振动及辐射场的振动等)在选择了适当的坐 标之后，往往可以分解成若干个相互独立的谐振 动。另外谐振动又是复杂运动的初步近似。所以 谐振动的研究无论在理论上还是在应用上，都是 极为重要的。谐振子的本征值问题，在历史上 Heisenberg首先用矩阵力学加以解决，后来Dirac 用算子代数的方法给出了极漂亮的解。
Th7：粒子在规则势场（V无奇点）中运动，如存 在束缚态，则必定是不简并的。 1 '2 2 '1 不包含 '1/ 1 '2/ 2 1 c2
说明：对多数常见的不规则势阱，上定理也成立， 但对某些常见的不规则势阱定理不成立。
6
➢§2.2 方位势
1 一维无限深势阱 分立谱
第2章 一维定态问题
本章我们将薛定谔方程应用到几个比较简单 的力学系统中去，求出方程的解和阐明这些 解的物理意义。具体分为如下问题
1 一维定态的一般性质 2 方位势 3 线性谐振子 4 一维散射问题
1
➢§2.1 一维定态的一般性质
一维情况下，定态薛定谔方程为
[
h2 2m
d dx2
(14)
15
据波函数及其导数在|x|=a/2处的连续性，可确定粒子的能量 本征值。若只讨论能量本征值，更方便的方法是利用
'/ 或ln'
一维定态的简并问题
一维定态的简并问题
一维定态的简并问题是一个涉及到量子力学和量子统计力学的概念。
在这个问题中，我们考虑一个粒子在一维无限深势阱中的定态，也就是粒子在一维空间中被限制在了一个特定的区域内。
根据量子力学的原理，粒子的能量是由其动能和势能共同决定的。
在一维无限深势阱中，粒子的势能是无限大的，因此其能量是由动能决定的。
当粒子处于定态时，其能量是确定的，而动能也是确定的，因此粒子的波函数在一维空间中是有规律的。
然而，当粒子处于不同的量子态时，其波函数可能会表现出不同的规律性。
在某些情况下，不同的量子态可能会有相同的能量，这就是所谓的能级简并。
在一维无限深势阱中，能级简并通常出现在高激发态，因为高激发态的粒子具有更多的动量和能量，因此其波函数在一维空间中的规律性更加复杂。
简并问题在一维定态中是存在的，但并不是所有的一维定态都会有简并现象。
有些一维定态是没有简并的，也就是说它们的能量是唯一的，不会出现能级简并的情况。
这种现象被称为非简并性定理。
这个定理在一维无限深势阱中成立，但在其他情况下可能不成立。
总之，一维定态的简并问题是一个涉及到量子力学和量子统计力学的概念。
在这个问题中，我们需要考虑粒子在一维空间中的运动和能量分布，以及不同量子态之间的相互作用和简并现象。
2020年物理竞赛—量子力学A版—第三章 一维定态问题 一维势散射问题34PPT 课件
新坐标下 Schrodinger 方程改写为：
该式是新坐标下一维线性 谐振子Schrödinger 方程，于是可以利用已 有结果得：
d2 dx2
(
x)
2
2
[
E
1 2
2
x2
V0
]
(
x)
0
d2 dx2
(
x)
2
2
[
E
1 2
2
x2
]
(
x)
0
其中 E E V0
能量本征值：
En
(n
1 2
)
En En V0
然而，量子情况与此不 同,对于基态，其几率密度 是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2
= N02 exp[-ξ2] (1)在ξ= 0处找到粒子的 几率最大； (2)在|ξ|≧1处，即在阱外 找到粒子的几率不为零,与 经典情况完全不同。
5. 几率分布
分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节 点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每 一点上都能找到粒子，没有节点。
ωn(ξ)
n=2
|10|2
ω0(ξ)
n=1
-1 0 1
n=0
-1 1
-4 -2
24
当线性谐振子处在前几个量子态时,几率分布与经典情况差别很大。当 量子数增大时，相似性随之增加。
（三）例
例1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况。
解： l （1）三维谐振子 Hamilton 算符
Hˆ
2
2
d2
（5）求归一化常数
(I)作变量代换，因为ξ=αx， 所以dξ=αdx；
量子力学典型例题分析解答
量子力学例题之迟辟智美创作第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在分歧毛病称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为那时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3 分子间的范得瓦耳斯力所发生的势能可近似地暗示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必需为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：.2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: .[证].是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数.本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值呈现的几率 , 呈现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）. 4．设氢原子处于状态求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值呈现的几率和这些力学量的平均值.[解] 能量本征值能量本征态当n=2 时本征值为的，呈现的几率为100％可能值为呈现的几率分别为：.5 .在轨道角动量和共同的本征态下,试求下列期望值(1).; (2).[解]：三测禁绝关系1.粒子处于状态式中为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测禁绝关系[解]先归一化(1) 动量平均值(2)(3)附:经常使用积分式：（1）（2）（3）第四章例题1．力学量的矩阵暗示由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和试分别：1）. 求和在态下的期望值；2）. 给出和的物理意义【解】（1）. 设态矢已归一化（粒子位置几率密度）（2）（利用化到坐标表象）又：,上式2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符（1）. 是厄密算符，（2）. 有，（3）.的本征值为0和1【证】（1）. 厄密算符的界说为厄密算符(2) 已归一化（3）. 由的本征值方程,又：即：（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基态粒子的波函数.（本题主要考查波函数在具体表象中的暗示）【解】所描述的状态，基态波函数（1）. 在x表象：（2）. 动量表象：（3）. 能量表象同样一个态在分歧表象中的暗示是分歧的，分歧的表象是从分歧正面来进行描述的.4.取和的共同表象，在角动量空间中写出,,的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法）【解】,的共同本征函数为在空间（1）. ,同样（2）利用:利用正交归一条件:同样（3）利用:矩阵:矩阵:5.已知体系的哈密顿量 , 试求出（1）. 体系能量本征值及相应的在所在的表象的正交归一化的本征矢组.（2）.将对角化，并给出对角化的么正变换矩阵【解】（1）. 久期方程解之,设正交归一的本征矢对应于本征矢归一化对应归一本征矢同样::即为的本征函数集（2）. 对角化后，对角元素即为能量本转换矩阵为6．证明：将算符矩阵对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量.【证】算符的本征矢：则 F算符在自身表象中为一对角矩阵：对另一表象力学量的本征矢的本征矢7.为厄密算符.①求算符的本征值，②在A 表象下求算符的矩阵暗示.[解]：①设的本征值为,本征函数为,则又同理算符的本征值也为.②在A表象，算符的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即设利用B为厄密算符即又取：第五章例题重点：微扰论1．一根长为，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的质点，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动.i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差发生的基态能量的一级修正.解：i ) 势能：系统的哈密顿量在小角近似下:ii )若不考虑小角近似又利用公式,同样2.一维谐振子的哈密顿量为，假设它处于基态，若在加上一个弹力作用，使用微扰论计算对能量的一级修正，并与严格解比力.解：i ),又ii) 严格解发生了变动3．已知体系的能量算符为, 其中,为轨道的角动量算符.（1）求体系能级的精确值.（2）视项为微扰项，求能级至二级近似值.[解]：i) 精确解令，并在平面上取方向：与z轴的夹角为，则与相互对易，它们的本征值分别为体系能级为ii)微扰法的精确解为本征函数本征能量按微扰论利用了公式能量二级修正为在二级近似下4．三维谐振子，能量算符为，试写出能级和能量本征函数.如这振子又受到微扰，的作用，求最低的两个能级的微扰修正.并和精确值比力.[解]：（1设的能量本征函数为代入方程(2).基态的微绕修正对基态波函数基态能级的零级, 无简并能量的二级修正:唯一不即是零的矩阵元为(3).第一激发态三度简并计算不为零的矩阵元为久期方程可求出能量的一级修正(4).精确解令基态第一激发态5．设粒子的势能函数是坐标的n次齐次函数，即试用变分法证明，在束缚态下，动能T及势能V的平均值满足下列关系（维里定理）[证]设粒子所用的态用归一化波函数描写则取试态波函数为由归一化条件那时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数.应在时，取极值6. 氢原子处于基态，加上交变电场, 电离能,用微扰论一级近似计算氢原子每秒离几率.[解]：解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰矩阵元?初态：氢原子基态末态: 自由状态为能量为, 在单元立体角的末态密度.微扰7．转动惯量为 I, 电偶极矩为 D的平面转子，置于均匀场强E（沿x方向）中，总能量算符成为,为旋转角(从x轴算起）如果电场很强，很小，求基态能量近似值.[解]：方法一与一位谐振子的能量本征方程比力有方法二用变分法，取归一化的试探波函数所得结果与方法二一致.8．设在表象中，的矩阵暗示为其中, 试用微扰论求能级二级修正[解]：在表象中，第六章例题1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）1).; (2).;(3).;(4).设则，.【证】（1）.(2).(3).(4).2．证明：并利用此结论求本征值【证】设的本征函数为则又, ,3．设为常数，证明【证】将展开成的幂级数，有，为偶数；为奇数上式4．求自旋角动量在任意方向（方位角为）的投影的本征值及本征矢（在表象），【解】在表象中，，在表象中的矩阵暗示为设的本征值为，相应本征矢为，本征方程为＝解久期方程，将代入本征方程由归一化条件对应的本征矢为同样：对应的本征矢为通过本题讨论我们发现，的本征值为，自旋算符在任意方向上的分量的本征值也是.也进一步推广，对任一种角动量算符，如有的本征值为，的本征值为则在任意方向上的分量的本征值的可能值也为.5．有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正方向，磁作用势为，设时电子的自旋向上，即求时的平均值.[解]设自旋函数在表象中体系的哈密顿算符可暗示为则自旋态所满足的薛定谔方程为同理又，自旋再由即6．在自旋态中，求【解】同理7．已知电子的态函数为其中已归一化，求（1）.同时丈量为，为的几率.（2）.电子自旋向上的几率.（3）.和平均值.[解]首先验证态函数是否归一化[erfwfff1]①同时丈量为, 为的几率②电子自旋向上的几率：③8．考虑由两个相同粒子组成得体系.设可能的单粒子态为，试求体系的可能态数目.分三种情况讨论（1）.粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子.[解]①玻色子构成的系统，系统态函数必需是对称的a. 如两个粒子处于同一单粒子态: 共三种对称的波函数为共三种,因而，对玻色子可能态数为六种，①费米子构成的系统，系统态函数必需是反对称的全同费米子不能处于同一态上（泡利原理）.反对称波函数的形式只能是共三种.②对经典粒子，全同粒子是可区分的，粒子体系波函数没有对称性要求，波函数形式只要求都可以）的有三种，的有六种的共九种.9．试写出自旋的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数.[解]自旋的两电子构成的是费米子体系，体系状态的波函数是反对称的每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波它们所构成的对称波函数形式为它们所构成的反对称波函数形式为二电子体系的自旋部份的对称或反对称波函数为：总的波函数：10．证明：组成正交归一系.[证]①②③11．两个自旋为的粒子有磁相互作用，设它们的质量很年夜，动能可以忽略，求此系统的所有能量本征值和本征函数.[解]对两个自旋为的系统，总自旋量子数对的本征函数为本征值为能量本征值对的本征函数。
第五章-一维定态问题
§5 - 5 一维定态问题在势场)(r V 中运动的粒子的薛定谔方程：),(])(2[),(i 22t V mt t r r r ψψ+∇-=∂∂ ,对应定态薛定谔方程：) ()(]) (2[22r r r ψψE V m=+∇- ,(三维)) ()(]) (d d 2[222x E x x V xm ψψ=+- ,(一维)用定态薛定谔方程来处理一些一维问题，量子体系的许多特征都可以在这些比较简单的问题中体现出来。
一 势能曲线势能是保守力场中只与位置相关的函数。
势能曲线给出了一个系统的势能分布及描绘了保守力的分布。
保守力 ＝ 势能的负值x pdF E dx =-x 区间 pd E dx x F(0, a) < 0 > 0 (沿x 方向) 势阱(a: 不受力的平衡位置)：粒子将被 (a, c) > 0 < 0 (反x 方向) 束缚其中(b, c) > 0 < 0 (反x 方向) 势垒(c ：不稳定平衡位置)：粒子易于(c, d) < 0 > 0 (沿x 方向)离开平衡位置若粒0k aE E E =+若粒子越过该势垒，能量守恒要求0 ank c k E E E E =+< 所以， 这个粒子不可能越过势垒bd。
研究一个量子体系（如氢原子，金属中的自由电子的运动，双原子分子，原子核的结构，一个原子核与另一核的相互碰撞、散射等），几乎都可以从体系的能量关系出发进行分析，而绕开相互作用的力，研究一个波动的微观粒子在一个势场中运动规律。
这就要解粒子在势场中运动的薛定谔方程，得出相应的运动规律。
二无限深方势阱离散谱( 1 ) 无限深方势阱粒子处在无限深方势阱中⎩⎨⎧∞<<=)0(.)0(,0)(a x x a x x V ≥或≤(5. 65) ● 势阱外势阱壁无限高，在势阱壁上及势阱外波函数为零(粒子不可能穿透无限高的势阱壁))0(.0)(a x x x ≥或≤=ψ● 势阱内当0 < x < a 时，一维定态薛定谔方程可化为02d d 222=+ψψE m x.(5. 66) 令Em k 2=,(5. 67)则方程(5. 66)的解可表示为)(sin )(δψ+=x k A x ,(5. 68)其中A ，k 和δ 是待定常量: A 由归一化条件确定，k 和δ由边条件确定。
大学课件 量子力学 一维定态问题
V ( x) V (a) 1 V 1! x
1 2V
(x
xa
a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V(x)
a
x
V (a) V0
V 0
x xa
1）空间反射：空间矢量反射的操作
r r
(r ,
t)
(r,
t
)
2）如果有：
(r, t) (r, t)
(r, t) (r, t)
称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
(r,
t)
(r ,
t
)
称波函数具有负宇称（或奇宇称）；
3）如果在空间反射下，
(r, t) (r, t)
则波函数没有确定的宇称。
-a 0 a
（1）列出各势域的 Sch. — 方程
2
2
d2 dx 2
(
x)
V
(
x )
(
x)
E ( x)
d2 dx 2
( x)
2
2
[V
( x)
E ]
( x)
0
势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d 2
（1）一维运动 （2）一维无限深势阱 （3）宇称 （4）讨论
（1） 一维运动
当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其
Schrodinger 方程为：
Hˆ [ 2 2 V ( x, y, z)] ( x, y, z) E ( x, y, z) 2
量子力学 曾谨言 第五版 第三章知识点
所以，当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。 做空间反射变换：
x → −x
ψ ( x) → ψ (− x)
ˆ 代表空间反射变换： P ˆψ ( x= ) ，用算符 P
ψ (− x)
宇称本征方程：
ˆψ ( x) = λψ ( x) P
可证 λ 为实数。只有当 λ 为实数时，该方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对
1
作者：张宏标（任课教师）
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
称为它的简并度。 (ii)、当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 [证] 分能级无简并和有简并两种情况来证明 (1)、能级无简并情况：对应能级 E ，只有一个独立的本征波函数。 设ψ ( x) 为能量值为 E 的本征波函数，能量本征方程：
作者：张宏标（任课教师） 2
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
应，而测量值总是实数。
ˆ 的本征值 λ 。 宇称（Parity） ：空间反射变换算符 P
宇称的可能取值：
因此，在 x = x0 点，ψ ′( x) 不连续， 连接条件为：
ψ ′( x0 + ε ) −ψ ′( x0 − ε ) = −
2mV0 ψ ( x0 ) 。 2
′ −ψ 2ψ 1′ = (v)、若ψ 1 ( x) 和ψ 2 ( x) 都是能级本征值 E 所对应的本征波函数，则有ψ 1ψ 2 常数 。 ′ = ψ 2ψ 1′ 。 而对于束缚态（即 lim ψ ( x) → 0 ） ，则为ψ 1ψ 2
05-一维定态问题的一般性质
且f (t) ~ exp(iEt / ) 。若已知t=0时体系处于某
一个能量本征态： (r ,t 0) En (r ) ，则在t>0 后，体系状态为 (r , t) En (r ) exp(iEnt / ) 通常
称这样的态为定态。（粒子的概率、平均值）
2、简并
如果系统的能级是分立的，即 E En，若对 同一个能级，有两个及其以上的本征函数与
其对应，则称这个能级是简并的。
15
一维无限深方势阱中的能量本征值与本征态为
E En
2 2n2
2ma2
，n=1，2，3
实际中，简并的情 况远比非简并的多，
2 n x
与对称性相关。
n
(
x)
sin( a
a
), 0 x a;
n 1, 2,3,
0,
x 0, x a.
V (x) V *(x)为实数，E也是实数，有
[
2 2m
2 x 2
V (x)]
* ( x)
E
* ( x)
*(x)也是方程解，对应的能量也是E。19
二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2)
推论1
对应于能量的某个本征值E，能量本征方程的解
(x)不简并，则这个解可取为实函数。 【证】 (x)是能量本征方程对应E的一个解，根据
2 a
cn
n1
sin
n x
a
n1
cn n
(x)
完备
8
一、正交、归一、完备态（3）
数学上， (x)
2 a
cn
n1
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2 2
(1)
2 d2 h ( V(x))u (x) Eu (x) 2 2 2m dx2
(2)
u1 ( 2 ) u2 (1)
从而得
u2
d2
dx2
u 1 (x) u1
d2
dx2
u2 (x) 0
于是
( x) u1u2(x) c u u 2 1
现先证明位势若有有限大小间断时，波函 数的导数仍连续。由方程
(
d
2
2
V(x))u(x) Eu(x)
2m dx 2
即
d
h2 d2 2m dx2
u(x) [(E V(x)]u(x)
d2 由于 [E V(x)]u(x) 存在，即 dx 2 u(x) 存在，
即 dx
u(x)
的导数存在，所以 d u(x) dx
隧穿效应和扫描隧穿显微镜
V0 V(x) 0 x 0
(1) 阶梯位势：讨论最简单的定态问题
x 0
当 E V0
2 2 d
(
V0 )u(x) Eu(x) x 0
2
2m dx 2
2m dx 2
( h2 d2
2m dx2
V(x))u(x) Eu(x)
（1）定理 1：一维运动的分立能级(束缚态) ， 一般是不简并的。
简并度（degeneracy）：一个力学量的某个 测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波 函数中测得，则称这一 测量值是具有 n 重简 并度。 如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应 ， 则称这能量本征值是 n 重简并的。 证：假设 u1 , u 2 是具有同样能量的波函数
(c是与 x 无关的常数)
对于束缚态 x , ui 0（或在有限区域有 (x) u1u 某值使 u 2u1 2 (x) 0 ），所以 c＝0
( x) u1u2(x) 0 u u 2 1
若
u2 (x)u 1 (x)
不是处处为零，则有
u 2 u1 (ln u 2 ) (ln u1 ) u 2 u1
2 d2 h ( V(x))u (x) E u (x) （1） 1 1 1 2m dx2 2 d2 h ( V(x))u (x) E u (x) （2）
2m dx2
u * (1) u (2)*
2 1
2
2 2
h2
2m
* * (u* (x)u (x) u (x)u (x)) (E E )u 1 2 1 2 2 (x)u 1 (x) 2 1
量子力学一维定态问题
现在从最简单的问题来应用所得的原理和 方程：一维，不显含时间的位势。如
V(r) V(x) V(y) V(z)
V(r) V(r)
则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题 是解决三维问题的基础。
§3.1一般性质 设粒子具有质量 m ，沿 x 轴运动，位势 为 ，于是有 V(x)
连续，也就是波函数导数连续。
对于位势是无穷时 设
2
E V0
2
( V0 )u(x) Eu(x) 2 2m dx d
x 0
2 d
2
令
2m dx 2
u(x)
Eu(x)
x 0
k
2mE
2
2m(V0 E) Κ 2
所以，
2u u
k 2 u u
x 0
x 0
得解
Bex Cex u(x) Asin(kx ) x0 x 0
要求波函数有界，所以C＝0，
要求波函数 x=0 处连续，且导数连续
Asin B kA cos B
1 1 tan k K 当 E 给定，
V0 ,
(E1 E 2 )
u* 2 u1dx
d * * (u u u u 2 1 1 2 )dx 2m dx
h2
* h2 * (x) u1 (x)u 2 (x) ) 0 (u 2 (x)u1 2m
从而证得
*u dx 0 u 21
（3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列， 一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值
范围内有 n 个节点（即有 n 个 x 点使
u n (x i ) 0，不包括边界点或∞远）。
基态无节点（当然处处不为零的波函数没 有这性质，如 eim (它是简并的)，同样，
多体波函数由于反对称性，而可能无这性质） （4）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空 间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积
(
h2 d2
2m dx
V(x))I (x) E I (x) n n n 2
但对束缚态，没有简并，所以只有一个解， 因而 R n 和 In 应是线性相关的，所以
因此，
In R n
u n (x) (1 i)R n (x)
Ae i R n (x)
（2）不同的分立能级的波函数是正交的
tan 0 sin 0.
所以，
B 0
Asin kx x 0 u(x) x 0 0
于是，当 V0 , 方程有解
这表明，在无穷大的位势处，波函数为0， 边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导 数的连续性。当然，概率密度和概率通量矢总 是连续的。
§3.2
推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然 可保留一相位因子）。
证
(
V(x))u (x) E u (x) n n n 2m dx2
R n (x), In (x) 都是实函数）
h2 d 2
则
令 u n (x) R n (x) iIn(x)（ h2 d2 2m dx2
(
V(x))R n (x) En R n (x)
u 1 (x) Au2 (x)
应当注意: ⅰ. 分立能级是不简并的，而对于连续谱 时，若一端 u 0 ，那也不简并。但如两端 都不趋于0（如自由粒子），则有简并。 ⅱ．当变量在允许值范围内（包括端点）， 波函数无零点，就可能有简并存在。(因常数 c≠0)。 ⅲ．当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因 这时可能导致 u2 (x)u 1 (x) 处处为零。