相似中的基本图形A型X型
相似三角形的基本类型总结
相似三角形的基本类型总结类型一 平行线型相关定理 平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.平行相似可分为“A”型平行相似和“X”型平行相似两种. 如图（1）（2）所示,由BC DE //可直接证得:△ADE ∽△ABC .EDCBA图（1）EDCBA图（2）1. 如图（3）所示,已知BC DE //,8:1:=∆DBC E ADE S S 四边形,则=ACAE【 】 （A ）91 （B ）31 （C ）81 （D ）212. 如图（4）所示,已知,//CD AB AD 与BC 相交于点O .若32=OC BO ,10=AD ,则=AO _________.图（3）EDCBA图（4）ODCBAFE DCBA图（5）3. 如图（5）所示,已知AC DF AB DE //,//. 求证:△DEF ∽△ABC .类型二 相交型如图（6）所示,由D B ∠=∠或AEACAD AB =,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（7）所示,由ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠或AE ACAD AB =,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（8）所示,由D B ∠=∠或E C ∠=∠或AEACAD AB =,可得△ABC ∽△ADE . 像以上三种情况,若两个三角形有一个公共角,且公共角的对边相交,若另有一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例,则这两个三角形相似.这就是相交型相似.图（6）ED CBAEDC BA图（7）图（8）EDCBA4. 如图（9）所示,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,B AED ∠=∠,射线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ,且CGDFAC AD =. （1）求证:△ADF ∽△ACG ; （2）若21=AC AD ,求FGAF的值. G FE DCBA图（9）类型三 母子型如图（10）,在Rt △ABC 中,AB CD ACB ⊥︒=∠,90,则有Rt △ACD ∽Rt △ABC ,Rt △CBD ∽Rt △ABC , Rt △ACD ∽Rt △CBD .其中,Rt △ACD ∽Rt △CBD 为姊妹型相似,Rt △ACD ∽Rt △ABC , Rt △CBD ∽Rt △ABC 为母子型相似.图（10）D CBADCBA图（11）如图（11）所示,若B ACD ∠=∠（或ACB ADC ∠=∠）,则△ACD ∽△ABC ,为母子型相似. 5. 如图（12）所示,在△ABC 中,D 为AB 上一点.已知△ADC 与△DBC 的面积比为1 : 3,且6,3==AC AD . （1）求BD 的长度; （2）求证:B ACD ∠=∠.图（12）DCBA类型四 旋转型如图（13）所示,由21,∠=∠∠=∠D B ,可以得到△ABC ∽△ADE ,我们把这种类型的相似三角形称为旋转型.图（13）21EDCBA图（14）ED CBA类型五 一线三等角型如图（14）所示,在△ABC 中,AC AB =,且B ADE ∠=∠,则△ABD ∽△DCE .像这种类型的相似三角形称为一线三等角型.6. 如图（15）所示,等边三角形ABC 的边长为6,D 是BC 边上的动点,︒=∠60EDF . （1）求证:△BDE ∽△CFD ;（2）当3,1==CF BD 时,求BE 的长.图（15）FABCE。
相似三角形的六种基本图形
B
AE
C（3）点E为BC上任意一点,若∠B=∠C=∠AEF= α, 则△ABE 与△ECF的关系
“M”型相似 60°
60° 60°
B
A EF
C
α
B
α
α
E
C
综合运用
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8, 求EF的长。
（5）直角三角形中，直角边和斜边对应成比例，两三角形相似。
相似三角形的性质
1.对应角相等、对应边成比例。
2.对应线段(高、角平分线、中线)的比都等于相似比。 3.周长的比等于相似比。 4.面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的六种基本图形
(1)
A
D
E
B
C
DE∥BC
“A”字型
(2) E D
A
B
C
DE∥BC
总结提高
相似基本图形的运用
1.利用已知相似图形直接求
α
α
α
2.学会从复杂图形中分解出基本图形
AC的长为( B)
A.4
B.4
C.6
D.4
问题探究 （1）点E为BC上任意一点，若∠B=∠C=∠AEF= 90°,
A
△ABE与△ECF相似吗？说明理由
△ABE ∽ △ECF
F（2）点E为BC上任意一点，若∠B= ∠C=∠AEF= 60°,
则△ABE与△ECF的关系还成立吗？说明理由
△ABE ∽ △ECF
(1)试找出图中的相似三角形?
△ADE ∽ △ACB ∽ △EFB (2)若EA:AB=1:2 ,AC:CD2=：__3___;
(3)若△ABC的周长为4,则△BEF的周长为___6__.
中考复习相似基本模型之A型、X型(共20张PPT)
三.例题解析
变式2.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝ 60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s 的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E 点的运动时间为t秒(0≤t＜6)，连接DE，当△BDE是 直角三角形时，求t的值．
三.例题解析
变式2.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝ 60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s 的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E 点的运动时间为t秒(0≤t＜6)，连接DE，当△BDE是 直角三角形时，求t的值． 解析：本题也是一个动点问题，但要看清 整个运动路径，是从点A出发，向B运动， 是一个往返运动，另外，由∥ A＝60°， BC＝2cm，AB＝4cm，6s运动停止，则 从A到B返回运动到AB中点结束．
三.例题解析
例3.如图，已知△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F ，求证：△AEF∽△ACB．
三.例题解析
变式1.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC 上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、 BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°．
(1)写出图中所有的相似三角形．(注意：不得Biblioteka 加 字母和线)；三.例题解析
变式2. 如图，已知∠C＝90°，四边形CDEF是正方形， AC＝15，BC＝10，AF与ED交于点G．则EG的长 为______
(2)求证：△DCF∽△BEF．
三.例题解析
变式1.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC 上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、 BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°．
(1)写出图中所有的相似三角形．(注意：不得添加 字母和线)；
相似图形知识结构
相似三角形知识结构重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
cda b = dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 四、位似： 1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于3、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或4、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】五、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。
2023年中考数学常见几何模型之相似模型中的母子型与A(X)字型
专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型． 模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。
“ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形 斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA .1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4 【答案】B【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==， ∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===， ∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++， ∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC V 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF DN 的长．∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠∴∠DGN=∠ECN=90°，∠当CD=2，CF=2时，由CD在Rt△DCG中，CG DG=3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF V 与ABC V 互为母子三角形，则DE AB 的值可能为（ ） A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC V 中，AD 是BAC ∠的角平分线，2,AB AD ADE B =∠=∠． 求证：ABD △与ADE V 互为母子三角形．（3）如图2，ABC V 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE V 与ADC V 互为母子三角形．求AG GF 的值．V互为母子三角形，∴QV与ADCAGE4．（2022.浙江中考模拟）如图，在V ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，V ABC∽V ACD，V ABC∽V CBD，V ACD∽V CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC3．∵△ABC的面积＝12AB•CD＝12AC•BC，∴CD＝AC BCAB⋅＝125．（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝125，∴OB＝95．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t −=，解得t ＝98，即98BQ CP ==，∴915388BP BC CP =−=−=． 在△BPQ中，由勾股定理，得32PQ ===，∴点P 的坐标为273(,)402； ②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB =，∴335t t −=， 解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ===−=−=， 过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB ，∴PE BQ CO AB ⋅=，即1581255PE =，∴PE ＝910． 在△BPE中，2740BE ==， ∴92795408OE OB BE =−=−=，∴点P 的坐标为99(,)810， 综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．模型2. “A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC =，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，12DE BC =所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABC S DE S BC ==V V ∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在V ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4=．(1)若8AB =，求线段AD 的长．(2)若ADE V 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE AD BC AB=即可求出； （2）利用平行条件证明ADE EFC ∽V V ，分别求出ADE EFC V V 与、ADE ABC V V 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S、ABC S V ，最后通过BFED ABC EFC ADE S S S S =−−Y V V V 求出． (1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，∴ADE ABC △△∽，∴DE AD BC AB =， ∵DE 1BC 4=，∴AD 1AB 4=，∴118244AD AB ==⨯=； (2)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，EF AB ∥，DE =BF ，∴,AED ECF EAD CEF ∠=∠∠=∠，∴ADE EFC ∽V V ∴2ADE EFC S DE S FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭V V ， ∵DE 1BC 4=，DE =BF ，∴43FC BC DE DE DE DE =−=−=， ∴133DE DE FC DE ==，∴221139ADE EFC S DE S FC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ， ∵ADE ABC △△∽，DE 1BC 4=，∴2211416ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ， ∵1ADE S =△，∴9,16EFC ABC S S ==V V ，∴16916BFED ABC EFC ADE S S S S =−−=−−=Y V V V ．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC V 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD Y 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5+【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△::，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG =，CG DE ⊥，得出DCE V 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 DE BC的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE BC ∥，∴,ADG ABF AEG ACF △△△△::， ∴,==DG AG EG AG BF AF CF AF ，∴DG EG BF CF=． ∵BF CF =，∴DG EG =．(2)解：由（1）得DG EG =，∵CG DE ⊥，∴6CE CD ==．∵3AE =，∴9AC AE CE =+=．∵DE BC ∥，∴ADE ABC V :V ． ∴13DE AE BC AC ==． (3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．在ABCD Y 中，,45=∠=∠=︒BO DO ABC ADC ．∵EG BD ∥，∴由（1）得=ME GE ，∵⊥EF EG ，∴10==FM FG ，∴∠=∠EFM EFG ．∵40∠︒=EGF ，∴40EMF ∠=︒，∴50EFG ∠=︒．∵FG 平分EFC ∠，∴50∠=∠=︒EFG CFG ，∴18030∠=︒−∠−∠−∠=︒BFM EFM EFG CFG ．∴．在Rt FMN V 中，sin 305,cos30=︒==︒=MN FM FN FM∵45,∠=︒⊥MBN MN BN ，∴5==BN MN ，∴5=+=+BF BN FN【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC V 中，4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：2DF DE =；(2)如图2，将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB ⊥时，求DN 的长．【答案】(1)见解析(2)FN EM =，理由见解析(3)103 【分析】（1）连接AF ，可得AF BC ⊥，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12DF AC ==122DE BC ==，即可得证；（2）证明DNF DME V V ∽，根据（1）的结论即可得FN ；（3）连接AF ，过点C 作CH AB ⊥于H ，证明AGD AHC V V ∽，可得12GD HC ==，勾股定理求得,GE AG ，根据3tan 4AG ADG GD ∠==，EMG ADG ∠=∠，可得3tan 4EG EMG MG ∠==，进而求得MG ，根据MD MG GD =+求得MD ，根据（2）的结论2DN DM =，即可求解． (1)证明：如图，连接AF ，Q 4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，122DE BC ∴==，AF BC ⊥，∴12DF AC ==∴2DF DE =，(2)FN =，理由如下，连接AF ，如图，Q 4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，1,2EF AC CD EF DC ∴==∥，∴四边形CDEF 是平行四边形，DEF C ∴∠=∠， Q 12DF AC DC ==，DFC C ∴∠=∠，DEF DFC ∴∠=∠， 180180DEF DFC ∴︒−∠=︒−∠，∴DEM DFN ∠=∠，Q 将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，∴EDF ∠=PDQ ∠，FDN NDE EDM NDE ∠+∠=∠+∠Q ，FDN EDM ∴∠=∠，DNF DME ∴V V ∽，NF DF EM DE ∴==，∴FN =， (3)如图，连接AF ，过点C 作CH AB ⊥于H ，Rt AFC △中，122FC BC ==,∴4AF ==， 1122ABC S BC AF AB CH =⋅=⋅V Q，BC AF HC AB ⋅∴== Q DP AB ⊥，AGD AHC ∴V V ∽，12GD AD HC AC ∴==，12GD HC ∴== Rt GED V中，5GE ===， Rt AGD V中，5AG ==，35tan 44AG ADG GD ∴∠===，EF AD ∥Q ，EMG ADG ∴∠=∠，3tan 4EG EMG MG ∴∠==，4433515MG GE ∴==⨯=，1553MD MG GD ∴=+=+=，Q DNF DME V V ∽，DN DF DM DE ∴==，103DN ∴==． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．模型3. “X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X ”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则（1）AB 与CD 是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE ＝______．【答案】 是 【分析】（1）证明△ACG ≌△CFD ，推出∠CAG =∠FCD ，证明∠CEA =90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB 的长，证明△AEC ∽△BED ，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：（1）如图：AC =CF =2，CG =DF =1，∠ACG =∠CFD =90°，∴△ACG ≌△CFD ， ∴∠CAG =∠FCD ，∵∠ACE +∠FCD =90°，∴∠ACE +∠CAG =90°，∴∠CEA =90°，∴AB 与CD 是垂直的，故答案为：是；（2）AB =AC ∥BD ，∴△AEC ∽△BED ，∴AC AE BD BE =，即23AE BE =，∴25AE BE =，∴AE =25BE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若EF BF＝2，求AN ND 的值；(3)若MN ∥BE ，求AN ND 的值． 【答案】(1)见解析(2)2737(3)27 【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌ △ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的 中点，即可证明结论； (2)利用△BMF ∽△ECF ，得12BM B EF CE F ==，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得AN AM BM BC= ，求出AN 的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF ＝ ∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得CE BC BC BM= ，可得BM 的长，由（2）同理可得答案． (1)证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ， ∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ，∵AB ＝CD ，∴12BM CE AB ==， ∴AM BM =，∴AM ＝CE ；(2)∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ∽△ECF ，∴12BM B EF CE F ==， ∵CE ＝3，∴BM ＝32，∴AM ＝92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，∴AN AM BM BC =，∴92342AN =，∴7162AN =， ∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣2716＝3716，∴272716373716AN DN ==； (3)∵MN ∥BE ，∴∠BFC ＝∠CMN ，∴∠FBC +∠BCM ＝90°，∵∠BCM +∠BMC ＝90°，∴∠CBF ＝∠CMB ，∴tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ， ∴CE BC BC BM =，∴344BM =，∴163BM =，∴162633AM AB BM =−=−=， 由（2）同理得，AN AM BM BC=，∴231643AN =，解得：AN ＝89， ∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣89＝289，∴8292879AN ND ==． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM 的长是解决（2）和（3）的关键． 3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AO AD的值为______； (2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE V ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC =，求OE 的长； ②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥．【答案】(1)等腰三角形，13(2)①OE =②见解析 【分析】（1）过点C 作CH ⊥BD 于H ，可得四边形ABHC 是矩形，即可求得AC =BH ，进而可判断△BCD 的形状，AC 、BD 都垂直于l ，可得△AOC ∽△BOD ，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E 作EF AD ⊥于点H ，AC ，BD 均是直线l 的垂线段，可得//AC BD ，根据等边三角形的性质可得30BAD ∠=︒，再利用勾股定理即可求解．②连接CD ，根据//AC BD ，得60CBD ACB ∠=∠=︒，即BCD △是等边三角形，把ABD △旋转得90ECD ABD ∠=∠=︒，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到13AF AO AB AD ==，则可得AOF ADB △∽△，根据三角形相似的性质即可求证结论． (1)解：过点C 作CH ⊥BD 于H ，如图所示：∵AC ⊥l ，DB ⊥l ，CH ⊥BD ，∴∠CAB =∠ABD =∠CHB =90°，∴四边形ABHC 是矩形，∴AC =BH ，又∵BD =2AC ，∴AC=BH=DH ，且CH ⊥BD ，∴BCD △的形状为等腰三角形，∵AC 、BD 都垂直于l ，∴△AOC ∽△BOD ，122AO AC AC DO DB AC ∴===，即2DO AO =， 133AO AO AD AO DO A AO O ∴===+，故答案为：等腰三角形，13． (2)①过点E 作EF AD ⊥于点H ，如图所示：∵AC ，BD 均是直线l 的垂线段，∴//AC BD ，∵ADE V 是等边三角形，且AE 与AC 重合，∴∠EAD =60°，∴60ADB EAD ∠=∠=︒，∴30BAD ∠=︒，∴在Rt ADB V 中，2AD BD =，AB ，又∵2BD AC =，32AC =，∴6,AD AB ==132AH DH AD ===，又Rt ADB V ，∴EH ==又由（1）知13AO AD ，∴123AO AD ==，则1OH =，∴在Rt EOH △中，由勾股定理得：OE =②连接CD ，如图3所示：∵//AC BD ，∴60CBD ACB ∠=∠=︒，∵BCD △是等腰三角形，∴BCD △是等边三角形，又∵ADE V 是等边三角形， ∴ABD △绕点D 顺时针旋转60︒后与ECD V 重合，∴90ECD ABD ∠=∠=︒，又∵60BCD ACB ∠=∠=︒，∴30ACF FCB FBC ∠=∠=∠=︒，∴2FC FB AF ==，∴13AF AO AB AD ==，又OAF DAB ∠=∠，∴AOF ADB △∽△， ∴90AFO ABD ∠=∠=︒，∴OF AB ⊥．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ， 则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG••=••=． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB⋅⋅=． (2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽，它们互为相似；（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有条．【答案】（1）①逆；②△ACD或△CBD，逆；③△BCE，顺；（答案不唯一）；（2）△AOC∽△BOD，理由见解析；△AOC和△BOD互为顺相似；（3）3．【分析】（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；②先判断出∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；③先判断出∠ABD=∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；（2）先由△AOB∽△COD，判断出AO OBCO OD=，∠AOB=∠COD，进而得出∠AOC=∠BOD，即可得出结论；（3）先求出BP=9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）①∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB和△COD互为逆相似，故答案为：逆；②∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，Ⅰ、∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴△ABC和△ACD互为逆相似；Ⅱ、∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴△ABC和△CBD互为逆相似；故答案为：△ACD或△CBD，逆；③∵BD⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBD+∠C＝90°，∵∠EBC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△BCE，∴△ABD和△BCE互为顺相似；故答案为：△BCE，顺；（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为顺相似；理由：∵△AOB∽△COD，∴AOCO＝OBOD，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∵AOCO＝OBOD，∴OAOB＝OCOD，∴△AOC∽△BOD，∴△AOC和△BOD互为顺相似；（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB ＝25，∵AP＝16，∴BP＝AB﹣AP＝9，如图1，①过点P 作PG ⊥BC 于G ，∴∠BGP ＝90°＝∠ACB ，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBG ，∴AB BC BP BG =，∴25159BG =， ∴BG ＝15925⨯＝275＜BC ，∴点G 在线段BC （不包括端点）上， ②过点P 作PG ''⊥AC 于G ''，∴∠AG ''P ＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△APG ''，∴AB AC AP AG =''，∴252016AG =''， ∴AG ''＝201625⨯＝645＜AC ，∴点G ''在线段AC （不包括端点）上， ③过点P 作PG '⊥AB ，交直线BC 与G '，交直线AC 于H ，∵∠APG '＝∠APH ＝90°＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△G 'BP ，∴AB BC BG BP ='，∴25159BG ='，∴BG '＝25915⨯＝15＝BC ， ∴点G '和点H 都和点C 重合（注：为了说明问题，有意将点G '和点H 没画在点C 处），故答案为：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，新定义的理解和应用，理解新定义、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC V 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S =V V ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S V(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ． ∴AE AM DF DM=． 由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△． (3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅V V ，由此即可得证； （2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF P，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~V V ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证； （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅V ，12DBC S BC DN =⋅V ，由此即可得出答案． (1)证明：12ABC S BC h =⋅V Q ，12DBC BC h S '=⋅V ，ABC DBC S h S h ∴='V V ． (2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴V V ．AE AM DF DM ∴=． 由【探究】（1）可知ABC DBC SAE S DF=，ABC DBC S AM S DM ∴=． (3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AMEDNE ∠=∠=︒，AM DN ∴，AME DNE ∴~，AM AE DN DE∴=， Q 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=−=， 1.5DE =， 3.571.53AM DN ∴==， 又12ABC S BC AM =⋅V Q ，12DBC S BC DN =⋅V ， 73ABC DBC SAM S DN =∴=，故答案为：73． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值． 【答案】（1）4；（2）23【分析】（1）分别求出CD ，BC ，BD ，证明BDE BCA V V ∽，根据相似性质即可求解； （2）先证明DF AG =，再证明BEF BAG △∽△，根据相似三角形性质求解即可．【详解】解：（1）∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，30DAC ∠=︒，6AC =，∴CD =在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，∴BC =∴BD BC CD =−=//DE CA ，∴BDE BCA V V ∽∴23DE BD CA BC ==．∴4DE =．（2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM =．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DM AG AM =．∴DF AG =． ∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ===∴23EF DF =． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE ＝AB ，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ，联结BD ．（1）求证：△BND ∽△CNM ；（2）如果AD 2＝AB •AF ，求证：CM •AB ＝DM •CN ．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB =CD ，AB ∥CD ，再证明四边形BECD 为平行四边形得到BD ∥CE ，根据相似三角形的判定方法，由CM ∥DB 可判断△BND ∽△CNM ； （2）先利用AD 2=AB •AF 可证明△ADB ∽△AFD ，则∠1=∠F ，再根据平行线的性质得∠F =∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC =∠CMD ，于是可判断△MNC ∽△MCD ，所以MC ：MD =CN ：CD ，然后利用CD =AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，而BE =AB ， ∴BE =CD ，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠F AD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN ∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ，可得比例式：a c a b c d =++而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得()22ADE ABC S a S a b =+V V ．根据上述这两个式子，可以推出：()()()22ADE ABC S a a a a c ac S a b a b a b c d a b c d a b ==⋅=⋅=+++++++V V ． （2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：()()ADE ABC S ac S a b c d =++V V 方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：1212ABDADC BD AH S BD S DC DC AH ⋅==⋅V V ．借用这个结论，请你解决最初的问题． 延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABCS S =V V ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABCS S =V V ． 结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是 ．【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）ac bd ;（2）ac bd ；结论应用： 32【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，可得15ADG S =V ,根据题意，进而得出152ADE S =V ,根据AM =DM ,MN AF ∥,可得FN =DN ，根据AE =2，AG =4，GN AF ∥，可得FN =2EF ，进而可得ED =5EF ，即可得出1352AEF ADE S S ==V V ． 【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ADE ACB V V ∽,∴a c c d a b =++， ∴()22()()ADE ABC S b a S c a c ac c d a b c d a d =+=++++=V V g ； 探究二：过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ⊥⊥，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN a b==+,121()()2ADEABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN c d a b a b c d AC BN ⨯==⨯=⨯=++++⨯V V ；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ⊥⊥，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b==,1212ADEABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ⨯==⨯=⨯=⨯V V ； （2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ⊥⊥，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b==,1212ADEABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ⨯==⨯=⨯=⨯V V ; 结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，∴AM =DM ，1152ADG ABCD S S ==V 平行四边形，∵AE =2，AG =4，∴11522ADE ADG S S ==V V , ∵AM =DM ,MN AF P ,∴FN =DN ，∵AE =2，AG =4，GN AF ∥,∴12EF AE FN AG ==,即：FN =2EF ,∴ED =5EF ，∴1352AEF ADE S S ==V V ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB V 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12⋅=⋅S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S 值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）2554【分析】（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出sin sin DE OD DOE BF OB BOF =⋅=⋅∠，∠，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD =OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ====，，则66OA m OM n ==，，证明△OGF ∽△OHN ，推出31522n ON OF ==，32n BN MN ON OM ==−=，则9OB ON BN n =+=，由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ， ∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF =⋅=⋅∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE ⋅⋅⋅△∠， 211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF ⋅=⋅⋅△∠， ∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ∠=∠； ∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OBOA OB BOF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠∠；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF =⋅=⋅∠，∠， ∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE ⋅⋅⋅△∠， 211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF ⋅=⋅⋅△∠， ∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ∠=∠； ∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OBOA OB BOF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠∠； （3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，∵EF CD ∥，∴∠ODC =∠OFE ，∠OCD =∠OEF ，又∵OE =OC ，∴△OEF ≌△OCD （AAS ），∴OD =OF ，∵EF AM ∥，∴△OEF ∽△OAM ，∴5==6OF OE OM OA ， 设55OE OC m OF OD n ====，，则66OA m OM n ==，，∵H 是AB 的中点，N 是BM 的中点，∴HN 是△ABM 的中位线，∴HN AM EF ∥∥，∴△OGF ∽△OHN ，∴OG OF OH ON=，。
A型、X型相似模型
A 型、X 型相似模型资料编号:202208091432关键词 平行相似 相似三角形的判定定理1平行相似平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的判定定理1两角分别相等的两个三角形相似.A 型相似模型介绍如图1、图2所示,已知,则有△ADE ∽△ABC .21∠=∠图 1图 2图1所示情形为A 型平行相似,图2所示情形为A 型非平行相似,统称为A 型相似. 模型证明A 型平行相似模型的证明（如图1）: 证明一: ∵ A A ∠=∠∠=∠,21 ∴△ADE ∽△ABC . 证明二: ∵ 21∠=∠ ∴ BC DE // ∴△ADE ∽△ABC .A 型非平行相似模型的证明（如图2）: 证明: ∵A A ∠=∠∠=∠,21∴△ADE∽△ABC.模型说明（1）对于A型平行相似,我们可以直接由平行的条件得到两个三角形相似的结论;（2）必要时我们可以作平行线来构造A型平行相似模型;（3）面对比较复杂的几何图形,从中找到A型平行相似模型往往是解决问题的关键.X型相似模型介绍如图1、图2所示,已知,则有△ADE∽△ABC.DB∠=∠图 1图 2E图1所示情形为X型平行相似,图2所示情形为X型非平行相似,统称为X 型相似.模型证明X型平行相似模型的证明（如图1）:证明一:∵,BD∠=∠12∠=∠∴△ADE∽△ABC.证明二:∵DB∠=∠∴BCDE//∴△ADE∽△ABC.X型非平行相似模型的证明（如图2）:证明: ∵,BD∠=∠12∠=∠∴△ADE∽△ABC.（1）对于A型、X型平行相似,我们可以直接由平行的条件得到两个三角形相似的结论;（2）必要时我们可以作平行线来构造A型或X型平行相似模型;（3）面对比较复杂的几何图形,从中找到A型或X型平行相似模型往往是解决问题的关键.模型举例例1.如图,AD是△ABC的角平分线,延长AD到点E,使.CE=AC（1）求证: △ABD∽△ECD;=BDAC=AB（2）若,求BC的长.,2=1,4分析:（1）由条件可知,图中存在X型平行相似.在证明AB//CE后,可以直接说明△ABD∽△ECD;（2）先利用相似三角形的性质求出边CD的长,再求出BC的长.（1）证明:∵AD平分BAC∠∠=1∠∴2∵ACCE==∠2∠∴E=∠1∠∴E∴CEAB//∴△ABD∽△ECD;（2）解: ∵ACCE=由（1）可知:△ABD ∽△ECD∴CD BDEC AB =∴ CD142=∴2=CD ∴.321=+=+=CD BD BC 例2.如图所示,在△ABC 中,D 为边AC 上一点,P 为边AB 上一点,,当AP 的长度为__________时,△ADP 与△ABC 相似.3,4,6===AD ACAB分析:本题为易错题,学生多为考虑问题不全面导致出错:只考虑了A 型平行相似的情形,而忽视了A 型非平行相似. 解: 分为两种情况:①如图所示,当时,△APD ∽△ABC .BC DP //∴436,==AP AC AD AB AP ∴;29=AP ②如图所示,当时,△APD ∽△ACB .C APD ∠=∠∴634,==AP AB AD AC AP ∴.2=AP 综上所述,当AP 的长度为或2时,29△ADP 与△ABC 相似.例3. 如图所示,已知O 是△ABC 中BC 边的中点,且,求的值. 32=AD AB DEDO分析:不难想到,本题问题的解决要么用到平行线分线段成比例定理及其推论,要么用到相似三角形的知识,且都需要平行线的条件.结合题目条件可知,我们需要添加辅助线——平行线. 解: 作,交DE 于点F . AC BF //∴,△BDF ∽△ADE . C ∠=∠1∵点O 是BC 的中点 ∴CO BO =在△BOF 和△COE 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COE BOF CO BO C1∴△BOF ≌△COE （ASA ） ∴OE OF =∵32=AD AB ∴31=AD BD ∵△BDF ∽△ADE∴31==AD BD DE DF ∴21=EF DF ∴ OE OF DF ==∴. 32=DE DO 点评 本题通过添加平行线的辅助线,即构造了一对全等三角形,又构造了A 型平行相似模型,难度较高.例4. 如图,在△ABC 中,,高,矩形EFPQ 的一边QP 在10,45=︒=∠BC C 8=AD BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:; BCEFAD AH =（2）设,当为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;x EF =x （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为秒,矩形EFPQ 与△t ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与的函数关系式.t 图图17图（1）证明:∵四边形EFPQ 是矩形 ∴ PQ EF //∴ BC EF //∴△AEF ∽△ABC . ∵ BC AD ⊥∴ EF AH ⊥∴; BCEFAD AH =（上面的结论是解决此类问题的重要一步,上面的书写为此类问题的规范书写） （2）由（1）可得: 108xAH =∴ x AH 54=∴ x AH AD DH EQ 548-=-==∴x x x x EQ EF S EFPQ 8545482+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=矩形配方得:=EFPQ S 矩形()205542+--x ∴当时,矩形EFPQ 的面积最大,其最大值为20;5=x （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,由（2）可知: 4,5===PF EQ EF ∵︒=∠45C ∴△PCF 是等腰直角三角形 ∴ 4==PC PF ∴ 9=+=PC PQ QC 分为三种情况:①如图1,当≤＜4时,设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ,则△FMN 是等腰直角0t 三角形图 1∴t FN MF ==22120t S S S FMN EFPQ -=-=∆矩形∴;20212+-=t S ②当4≤＜5时,如图2所示,t 图2t QC t ME -=-=9,5∴; ()()[]28449521+-=⨯-+-=t t t S ③当5≤＜9时,如图3所示,设EQ 交AC 于点K ,则. t t QC QK -==9∴ ()()22921921-=-=t t S 图 3综上所述, S 与的函数关系式为:t()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+-<≤+-=959215428440202122t t t t t t S 说明:在第（3）问题中,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分与运动时间有关,运动时间不同,重叠部分的形状也不相同,因此要对时间进行分类讨论,根据不同时间段求面积S .注意:当时,如图4所示;当时,如图5所示;当时,面积S =0,故在这里不4=t 5=t 9=t 再给出图形.图 4)图 5。
相似中的基本图形A型X型
相似中的基本图形---A 型.X 型基本图形:A 型 X 型一、可以判断A 、X 型相似的条件：1、 2、 3、 4、（注意：在A 型中可以直接由由平行得到，在X 型中不可以直接由平行得到相似，需要由平行得到角相等，再由角相等判断三角形相似）上述四个条件中任意一个都可以判断△ADE ∽△ABC二、若△ADE ∽△ABC ，则有下列结论： 1） 2 3、4、周长比：5、面积比：6、等积式：例1、如图，△ABC ，AD=2，BD=3，AE=1，若DE ∥BC ，求CE 的长。
基础练习：1、如图1，在△ABC 中DE=2，BC=5，CE=4，若DE ∥BC ，则AE= 。
2、在△ABC 中D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，已知AD ：DB=2：3，则S △ADF ：S △BCED = 。
3、已知D 、E 两点分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为3：7，则AD ：DB= 。
4、如图2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BE 、CD 交于点O ，则△ADE ∽ ，相似比K 1= ；△ODE ∽ ，相似比K 2= 。
A B D E C AEDB CA B D EC AB D E CB A COD E5、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中有相似三角形 对。
6、如图，AB ∥EF ∥DC ，若每两个相似的三角形构成一对，那么图中的相似三角形有 对，它们分别是 。
7、如图，在△ABC 中，AB ⊥BC ，BD ⊥AC 于D ，DE ∥AB 交BC 于E ，则图中与△ABC 相似的三角形的有 个，它们分别是 。
8、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AC ，则图中与△ABC 相似的三角形为9、如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 交于点O ，则DE ：BC= ；S △OED ：S △OBC = 10．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：1）AE BF EC FC =；2）AD ABBF BC=；3）EF DE AB BC =；4）CE EACF BF=，其中正确的比例式的个数有 对。
相似基本图形—“X”型
相似基本型—“X”型一、基本型：条件AB ∥CD⑴ ⑵ ⑶ (4) 每个图中相似的三角形是⑴ ；⑵ ； ⑶ ； ⑷ ；若AB ︰CD=2︰3，则S △ABE ︰S △DCE = ；S △ACE ︰S △BDE = ；S △ABC ︰S △AEC = ； S △AEC ︰S △DEC = 二、基本型变式1.“蝴蝶”型：条件 ∠A=∠C ，隐含条件∠AEB= ， 则①△AEB ∽ ， ②BEAE=③“蝴蝶”型与“X”型区别是 .2.双“蝴蝶”型：若∠EAB=∠ECD ，且∠ =∠ ；则△AEB ∽ ，那么① △AEC ∽△BED 吗？为什么？ . ∵△AEB ∽ ， ∴BEAE=，∴____________________，且∠AEC= ∴△AEC ∽ .②点A 、B 、D 、C 四点共圆吗？为什么？3.双高型中的双蝴蝶型 在△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 与CE 相交于点O.则 ①△BOE ∽ ；理由是 ；②△EOD ∽ ；理由是 . ③点B 、C 、D 、E 共圆吗？为什么？三、图形识别练习1.如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥BD ，DO ︰OC=1︰2，S △AOC =36，则S △BOD= .2.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB=4，CD=7，AD=10，则AP= .3.如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于F ，①若32=BC BE ，则=BDBF. ②若E 是BC 的中点，则S △BEF ︰S △ADF= ；S △ABF ︰S △AFD= ；S △BEF ︰S △ABD= ；S △BEF ︰SABCD= .C N B C M BM N B CCB A1题 2题 3题 4题 5题 6题 4.如图，AD 与BC 相交于点E ，∠B=∠D ，AB=3，CD=2，CE=1.5，则AE= .5.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 与CE 相交于点O ，BC=10，DE=4，OC=5，则CD= .6.如图，⊙O 的直径AB=7，两弦AC 、BDE 相交于点，弦CD=27，且BD=5，则DE= . 7.已知正方形ABCD ，过点B 作∠EBF=45°，BE 交直线AC 于E ，BF 交AC 于G ，交直线CD 于F. ⑴如图1，当点E 在AC 上，点F 在CD 上时，求证：CF+2AE=BC⑵如图2，当点E 在CA 的延长线上，点F 在CD 的延长线时，CF 、AE 、BC 的数量关系是___________； ⑶在⑵的条件下，连接EF ，若AE=42，CG=32，求EF 长.B图1E图2CBABDBBBA。
相似三角形分类整理(超全)
第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c,A D aB E bC F c可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD ECAE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝dc，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc 。
如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么dc b a =。
②合比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a ±=±。
图1ABCD E图2ABCDE图3ABCD③等比性质：如果d c b a ==∙∙∙=n m (b+d+∙∙∙+n ≠0)，那么ba n db mc a =+∙∙∙+++∙∙∙++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.典例剖析例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km.② 若b a =32 则b b a +=__________. ③ 若 b a b a -+22=59则a ：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为．【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，＝S△ABC，∴S△ABF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△AEF＝2，∵S△AEF＝6S△AEF＝6×2＝12，故选：C．∴S△ABC【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝1：2．解：如图，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB＝2OE，＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BOD＝3，∴S△BDE∵AD＝BD，＝2S△BDE＝6，∴S△ABE∵AE＝CE，＝2S△ABE＝2×6＝12．故选C．∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，＝1，则S△ABC＝24．若S△EFG解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∴S△DMF∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，＝2S△DMF＝2，∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线，∴＝，＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S△ABG＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S梯形DMGB＝S梯形DMGB＝6，∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线，＝4S△BDE＝4×6＝24，∴S△ABC方法二：连接AE，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中点，∴＝，∴＝＝，＝1，∵S△EFG＝16，∴S△ACG∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，＝S△ACG＝4，∴S△AEG＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ACE＝2S△ACE＝24，故答案为：24．∴S△ABC【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；：S△EBC：S△ECD．（2）求S△ABE（1）证明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，＝4m，∴S△CDE∵＝＝，＝2m，∴S△BEC：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合题意，舍去），故选：D．【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案为：．变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案为：．实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正确，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正确．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正确．D、∵DE∥BC，∴＝，显然DE≠CF，故D错误．故选：D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A．4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则BE＝AD＝2，DE＝2，设B′C＝BC＝x，则DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（负值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故选：A．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP•AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，＝4，＝（）2＝，∵S△AEF＝36，故答案为36．∴S△BCE8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．解：∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，过B作BH⊥DE于H，则DH＝AH，BD2＝DH•DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案为：．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案为：1．②如图②，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）证明：如图1，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴点K、点B、点E在同一条直线上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周长是8．②如图2，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中点，∴NG＝EF＝×＝，故答案为：．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．解：（1）①猜想：BG ⊥DE ，BG ＝DE ；故答案为：BG ＝DE ，BG ⊥DE ；②结论成立．理由：如图2中，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG ⊥DE ．（2）∵AB ＝a ，BC ＝b ，CE ＝ka ，CG ＝kb ，∴＝＝，又∵∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，＝＝，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG⊥DE．故答案为：＝，BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．。
2015年初三数学二轮专题复习——A(X)、K字形问题学习
2015年初三数学专题复习——A（X）、K字形问题学习一、考点梳理：1.相似三角形的两个常见基本图形：①A型（斜A型）、X型（斜X型）；②K字型。
2.相似三角形的判定：两角相等；两边对应成比例及夹角相等；三边对应成比例。
.二、解题策略：A、X字形问题的研究策略：两个三角形公共一角、或一组角互为对顶角、或一组等角可作为寻找相似的隐含条件，再加上所夹该角的两边对应成比例，即可得相似。
K字型研究策略：如果有“K字形”直接用K字形得三角形相似，构建方程解决问题，如果没有完整的“K字形”想办法补出“K字形”来解决问题。
模块一：前置学习1．如图，△ABC中，AB=12，AC=15，AD=10，在线段AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，并求AE的长。
2．变式：若点D在AC边上，在线段AB上找点E，使得△ADE与△ABC相似，其它条件不变呢？【思考】在上题中，试就AD的长，研究点E个数的不同情况.我的收获：B模块二：课堂探究1.例题讲评：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始沿线段AO 以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始沿线段BA 以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒． （1）求直线AB 的解析式；（2）当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？（3）当t 为何值时，△APQ 的面积最大？最大面积是多少？【变式】：在平面直角坐标系中，已知直线y=﹣x+6分别与x 轴、y 轴交于点B 、A ，设点P 是线段AB 上的动点，点P 以每秒2个单位的速度从点A 向点B 运动．设运动时间为t 秒（0＜t ＜5）．（1）设△POB 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式； （2）试探究：当t 为何值时，△OPA 为等腰三角形？【当堂检测】如图，A （8，0）、B （0，6），请在x 轴上找一个点C （C 与A 不重合），使得以B 、O 、C 为顶点的三角形与AOB △相似时，求点C 的坐标.【小结】解题策略： ①找隐含条件（公共角），确定一对对应点 ②根据两组不对应点进行分类讨论③根据对应关系画图（一图一解）④列比例式并转化为方程求解 ⑤检验 【注意点】①做题时要将已知条件标注在图中，注明动点的运动方向②当一对点确定对应关系后，只要分两种情况进行讨论③基本图形“A ”型和“斜A ”型2.例题讲评：1．基本图形：共同特征：顶点在一条直线上：三等角→△ABP∽△PDC；三等角加上一组对应边相等→△ABP≌△PDC。
20171005相似三角形几种基本模型
相似三角形基本模型经典模型“平行旋转型”图形梳理：AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’F'CBBCAEF 旋转到AE‘F’ABCAEF 旋转到AE‘F’特殊情况：B 、'E 、'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAB CEFE'F'AEF 旋转到AE‘F’C ，'E ，'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBA母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、B(3)DB(2)D“反A 共角共边型”、 “蝶型”）（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
（5）母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．2、几种基本图形的具体应用：（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·AB ；（3）满足1、AC 2=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ． （4）当AD AEAC或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE∽△ACB ．BEACD12ABCD E12AAB BCC DD EE12412BBC (D)。
相似三角形基本模型——A、X模型与练习
相似三角形基本模型——A 、X 型相似模型模型解读： A 、X 模型已知:∠1＝∠2 结论:△ADE ∽△ABC模型分析如图，在相似三角形的判定中，而得出A 型或8型相似，在做题时，中由平行线所产生的相似三角形。
典型示例例1.如图，在△ABC 中，中线AF 、BD 、CE 相交于点O 。
求证: OF OA ＝OE OC ＝OD OB ＝12例2.如图，点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于H 若AF DF ＝2。
求HFBG的值。
、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥相交于点O ，若S △DOE :S △COA ＝1:25，则S △BDE 与的比是 。
中，G 是BC 延长线上的一点，AG 与E ，与DC 交于点F ，此图中的相似三角形共有中，AD 是角平分线，求证: AB AC ＝ BDCD4.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB－90°，D是边BC的中点，E在AB上，且AE: BE＝2:1。
求证:CE⊥AD。
5.已知：如图O是□ABCD的对角线交点，E是AB延长线上的一点，DE交AC于G，交BC于F①找出图中所有基本图形及相关比例线段 (1个A型5个X型共6种情形)②求证：DG2=EG•FG③求证：DC•DE=DF•AE 6.在△ABC中，点D在直线AB上，在直线BC上取一点E，连接AE，DE，使得 AE=DE，DE交AC于点G，过点D作DF ∥AC，交直线BC于点F，∠EAC=∠DEF．(1)当点E在BC的延长线上，D为AB的中点时，如图1所示．①求证：∠EGC=∠AEC；②若DF=3，求BE的长度；(2)当点E在BC上，点D在AB的延长线上时，如图2所示，若CE=10，5EG=2DE，求AG的长度．。
1.相似三角形基本类型1AX型
相似三角形基本模型（一）模型1X字型及其变形（AB//CD即∠A=∠D）（∠A=∠C或∠B=∠D）有一组隐含的等角(对顶角),此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得另一组对角相等,另外,若题中未明确相似三角形对应顶点,则需要分2类讨论.如第2个图中可找条件∠A=∠C或∠A=∠D.1、如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A.AD：AB=AE：ACB.DF：FC=AE：ECC.AD：DB=DE：BCD.DF：BF=EF：FC2、如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD=30°;②S▱ABCD =AC.BC;③OE:AC=√3:6;④S△OCF=2S△OEF成立的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE=AD，连接CE交BD于点F，则的值是__________4、(2014南宁23题8分)如图,AB//FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证:△ADE≌△CFE;(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长5、如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过点B作BF⊥DE,垂足为F,BF交DC边于点G.(1)求证:GD·AB=DF·BG;(2)连接CF,求证:∠C FB=45°模型2 A 字型及其变形：A 字型、反A 字型（斜A 字型）（平行∠ADC=∠B ） （不平行∠ADC=∠C ）1、已知：如图，△ABC 中，∠DEB=∠ABC ，点E 在中线AD 上, ．求证：（1）BD 2=DE ·DA （2）∠DCE=∠DAC2、如图,在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上的点，且BD=2AD,CE=2AE.求证:（1）△ADE ∽△ABC;（2）DF ·BF=EF ·CF3、如图，已知△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，求证：△AEF ∽△ACB.4、如图，AD 与BC 相交于E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD，求证：1AB ＋1CD ＝1EF .A BC D E C B D E 隐含条件：公共角相等综合练习(一)1、如图1，△ABC 与△ADE 相似，且∠ADE=∠B ，则下列比例式中正确的是（ D ）2、如图2,在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 的中点,则下列结论:①BC=2DE;②△ADE ∽ABC ③ .其中正确的有( A )A.3个B.2个C.1个D.0个3、如图3,在▱ABCD 中，若BE:EC=4:5,则BF:FD=（ C ）A ．4:5 B. 4:10 C. 4:9 D . 5:94、如图4,在▱ABCD 中,E 是AD 延长线上一点，上一点,BE 交AC 于点F,交DC 于点G,则下 列结论中错误的是（ D ）A. △ABE ∽△DGE B . △CGB ∽△DGE C. △BCF ∽△EAF D. △ACD ∽△GCF5.(贵阳中考)如图5,在方格纸中,△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上,要使△ABC ∽△EPD,则点P 所在的格点为（ C ）A.P 1B.P 2C.P 3D. P 4图1 图2 图3 图4 图56、(2018江西)如图,在△ABC 中,AB=8,BC=4,CA=6,CD//AB,BD 是∠ABC 的平分线,BD 交AC 于点E,求AE 的长.7、如图,AB ∥GH ∥CD,点H 在BC 上,AC 与BD 交于点G,AB=2,CD=3.求GH 的长8、已知:如图,D 是AC 上一点,BE//AC, AE 分别交BD,BC 于点F,G,∠1=∠2,探 索线段BF,FG,EF 之间的关系,并说明理由.AB CD E9、如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且.(1)求证:△ADF△ACG (2)若 ,求的值.10、如图,△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q.若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，求AQ的长.11、如图所示，在△ABC中,AB=8cm，BC=16cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动.点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P、Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？试说明理由12、如图,矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从D以1cm/秒的速度移动，若P、Q同时出发,用t表示移动时间（0≤t≤6),求当t何值时,△APQ与ABC相似?。
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相似中的基本图形---A
型.X 型 基本图形:
A 型
X 型
一、 可以判断A 、X 型相似的条件： 1、
2、
3、
4、 （注意：在A 型中可以直接由由平行得到，在X 型中不可以直接由平行得到相似，需要由平行得到角相等，再由角相等判断三角形相似）上述四个条件中任意一个都可以判断△ADE ∽△ABC
二、若△ADE ∽△ABC ，则有下列结论：
1）
2
3、
4、周长比：
5、面积比：
6、等积式：
例1、如图，△ABC ，AD=2，BD=3，AE=1，若DE ∥BC ，求CE 的长。
基础练习：
1、如图1CE=4，若DE ∥BC ，则
2、在△ABC D 作DE ∥BC 交AC 于E S △ADF ：S △BCED
3、已知D 、、AC 上，DE ∥BC 长之比为3：DB= 。
4、如图2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BE 、CD 交于点O ，则△ADE ∽ ，相似比K 1= ；△ODE ∽ ，相似比K 2= 。
5、如图，E 是平行四边形ABCD 的边似三角形 对。
6对，它们分别是7的三角形的有 个，它们分别是8、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，GF 9、如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 10．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB EF DE AB BC =；4）CE EA CF BF =，其中正确的比例式的个数有11．如图，在△ABC 中，AB=15，AC=12，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB ，交AC 的延A B D E
C A E
D B C
C C
B A D
C E
长线于点E ，那么CE 等于 。
12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 上的点，
DC 交BF 于F ，且AD=13AB ，AE=12
EC ，求证：1）△DEF ∽△CBF ；2）D F ·BF=EF ·CF 13．在△ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 的中点，F 是
BC 延长线上的一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则
BC= ，△ADE 与△ABC 的周长之比为 ，
△CFG 与△BFD 的面积之比为 14、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC
的中点，F 是BE 的中点，AE ，DF 交于点H ，则S △EFH ：S △ADH =
15．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，S △AOD ：S △COB =1：9，则S △ODC ：S △OBC = 。
16．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ：EC=2：1，AE 与BD 交于点F ，则三角形AFD 与四边形DFEC 的面积之比是 。
17、如图，在△ABC 中，BC=12，点D 、E 是AB 的三等分点，F 、G 是AC 的二等分点，则DE+FG+BC= 。
18、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= 。
19、已知点D 是AD 边的中点，AF ∥BC ，CG ：GA=3：2，则AF=
20、如图，在△ABC 中，∠BAC=900，AD ⊥BC ，PA=PD ，BP 交AC 于E ，EF ⊥BC ，FE 与BA 的延长线相交于点G ，求证：EF 2=A E ·EC 。
21、在△ABC 中，AB=AC=6，作边AC 的垂直平分线，与AC 交于点D ，与直线AB 交于点E ，与直线BC 交于点F ，若DE=4，则CF= 。
（画出图像，写出解答过程）
22、在△ABC 中，D 为AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE ，连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H 。
1）求证：AH=CE
2）如果AB=4AF ，EH=8，求DF 的长。
23、如图，在正方形ABCD ，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 重合，交此三角板旋转，两边分别交直线BC 、CD 于EF
1）线段BE 、DF 、EF 之间又有怎样的数量关系。
2）作直线BD 交直线AE 于点P ，若EF=10，CE=8，求AP 的长。
24、如图，D 为△ABC 的边上的一点，E 为CB 的延长线上一点，且EF AC FD BC
=，求证：AD=EB
25、如图，E 、F 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且BE=CF ，EF 的延长线
与BC 的延长线交于点D ，求证：AB DF AC DE
= 26、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，在AD 上任取一点O ，过O 作BO 交AC 于点F ，作CO 交AB 于E ，边结EF 。
求证：EF ∥BC
27、已知，如图，在△ABC 中，F 为AB 边上的点，2BF=AF ，过F 作FE ⊥BC 于点E ，直线EF 与直线AC 交于点D ，若EF=3，BE=4，∠C=450，求DF 的长。
C
28、如图，把RT△ABC绕直角顶点C顺时针旋转900得到Rt△DCE，连接AD，延长AB交DE于F，当DF=2，EF=3，时，过D作DG∥AE，交AF的延长线于G ，连接GE，求GE的长。
29、如图，菱形ABCD，CE⊥AB，M为射线AD上一点，MN⊥BC于N，若BC=10，AE=2，直线MN与直线CE、DE分别交于P、Q两点，若EP=2CP时，求PQ的长。