一维单原子链

第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子
第n个原子
m
a
µn-2µn-1µnµn+1µn+2
第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子
第n个原子
m
a
µn-2µn-1µnµn+1µn+2
a
一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系
q
v p ω=
2
.
2
1∑=q
q
Q 2
21∑⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑
•
•
=
q
iqna q n t Q Nm
t ,
)e (1)(μ∑∑∑′−′−′
=n
q q
inaq q .
q ina q .
,
t Q t Q
N T )e ()e (21∑∑∑′
+′−′
=
q n
q q ina q
q .
q .,
N
t Q t Q
)
(e
1)
()(2
1∑∑′
−′′
=q q
q
q q
q t Q
t Q
,
)()(21,.
.
δ
∑−=
q
q
q
t Q
t Q
)
()(2
1.
.
∑
=q
q
q
t Q
t Q
)
()(2
1
.
*.)
()(*
t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示：
势能∑−=
q
inaq
q n e
Q N
m 1μ∑−−−=
'
'
)1('
11q aq n i q n e Q
N
m μ∑−−=
n
n n U 21)(21
μμβ1
(')'(')
','
1{[1]}(
)
2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e e
m
N
β
−++==
+−−∑∑}2{2∑−−−−=
q
iaq iaq q
q e e Q Q m
β
{1cos()}
q q
q
Q Q
aq m
β
−=
−∑代入上式，得：
*{1cos()}q
q
q
U Q Q aq m
β
=
−∑利用
)}cos(1{22aq m
q −=
β
ω2*
12q q q q
U Q Q ω=
∑2
221∑=
q
q q Q U ω系统势能所以
2
2
21∑=
q
q q Q U ω哈密顿量
2221()2q q q
q
H T U Q Q ω=+=
+∑ ——系统复数形式的简正坐标
t
i q q q e
A Nm Q ω=势能
动能
∑=
q
q Q T 2
21 1
()[()()]2
Q q a q ib q =
+)]()([2
1
)(*q ib q a q Q −=
∑=
q
q Q T 2
21
2
2
21∑=
q
q q Q U ω∑>+=
22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=
222
)]()([21q q q b q a U ω能量本征值
q
q n n q
ωε=)2
1
(+=2
()/exp()()
2
q
q n q q n Q H ξϕωξ=−
=本征态函数
一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正
坐标为宗量的谐振子波函数。

哈密顿量:
2222200
11[()()][()()]22q q q H a q b q a q b q ω>>=
+++∑∑
声子系综是无相互作用的声子气组成的系统，每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的，晶格振动的问题转化为声子系统问题的研究。

9.声子
晶格振动的能量量子；或格波的能量量子。

一个格波也就是一种振动模式，称为一种声子。

当这种振动模处于时，说明有个声子。

q q n ω=)2
1
(+q n q ω=声子具有能量
、准动量
，可以看作是准粒子，
声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用。

q
G =模型运动方程试探解
色散关系
波矢q 范围
一维无限长原子链，m ，a ，β晶格振动波矢的数
目=晶体的原胞数
B--K 条件波矢的数目
()()
11..
+−−−−−=n n n n n m μμβμμβμ()
naq t i n A −=ωμe 2sin
2
aq m
β
ω=a
q a π
π≤<−
N
n n +=μμn -2n
n +1
n +2
n -1a
m m
o a π−a
πω
m
2
β总结：本节研究思路。