高考数学逆袭系列之：专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题
平面向量数量积的最值问题求解策略
平面向量数量积的最值问题，是各级各类考试的热点。
本文拟从一道填空题入手，探究平面向量数量积的最值问题的多种解法，并通过反思提炼以及解法活用，促进学生实现对知识的融会贯通和方法的灵活运用，提高学生的解题能力。
［题目］已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA·PB的最小值为。
一、多解探究平面向量具有代数和几何的双重属性，求解平面向量数量积的最值问题可以从代数角度和几何角度去寻找解题思路，代数化、坐标化和几何化都是最常见的解题策略。
思路1：利用定义代数化，直接利用平面向量数量积的定义，借助基本不等式求解。
解法1：如图1所示设||OP=x，∠APO=θ，则||PA=x2-1，cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2，所以 PA·PB=|| PA|| PB cos2θ=|| PA2cos2θ=（x2-1）(1-2x2)=x2+2x2-3≥22-3，当且仅当x2=2时等号成立，所以（PA·PB）min=22-3。
思路2：利用平面向量的基底转化运算。
解法2：如图2所示，设AB的中点为M，设||OM=x，在Rt△PAO中，由直角三角形射影定理得||OA2=||OM×||OP，||MA2=||OM||PM，所以||OP=1x，||PM=1x-x，所以 PA· PB=（ PM+ MA）·（PM+MB）=（PM+MA）（PM-MA）=|| PM2-|| MA2=||PM2-||OM||PM=()1x-x2-x1x-x)=2x2+1x2-3≥22-3，当且仅当x2成立，所以（PA·PB）min=22-3。
思路3：利用平面向量的极化恒等式加以转化。
解法3：如图2所示，在Rt△PAO中，由直角三角形射影定理有||OA2=||OM||OP，所以||OP=1||OM，PA·PB=14[]（PA+PB）2-（ PA- PB）2=14éëê（2 PM）2-|| AB2ùûú=14[]（2PM）2-（2 AM）2=|| PM2-|| AM2=（||OP-||OM）2-()||OA2-||OM2=(1||OM-||OM)2-()||OA2-||OM2 =2||OM2+1||OM2-3≥22-3，当且仅当||OM=时等号成立，所以（PA·PB）min=22-3。
平面向量数量积的最值求法分类解析
ｍ ＝ (ｍ －
５ ２ ９
) － ꎬ
２
４
所以ＰＢＰＣ∈[ －
９
ꎬ４] ꎬ选 Ｄ.
４
→
例 １０ 在 矩 形 ＡＢＣＤ 中ꎬ 点 Ｅ 在 边 ＡＢ 上ꎬ 且 ＡＥ ＝
— ３ —
→
２ ＥＢꎬＭ 是线段 ＣＥ 上一动点.
解 构造平行四边形 ＡＢＣＤ.
(１) 若 Ｍ 是线段 ＣＥ 的中
→
→
→
→
点ꎬＡＭ ＝ ｍ ＡＢ ＋ ｎ ＡＤꎬ求 ｍ ＋ ｎ
ｂｅ ＝ － ２ꎬ ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ ２ꎬ则 ａｂ 的最大值为( ) .
解 依题意ꎬ设 ｅ ＝ (１ꎬ０) ꎬａ ＝ ( ｍꎬｎ) ꎬｂ ＝ ( ｓꎬｔ) ꎬ由
ａｅ ＝ １ꎬｂｅ ＝ － ２ꎬ得 ｍ ＝ １ꎬｓ ＝ － ２. 所以 ａ ＋ ｂ ＝ ( － １ꎬｎ ＋
(ｎ ＋ ｔ) ２ ３
平面向量数量积的最值求法分类解析
李秀元
( 湖北省武穴市实验高级中学 ４３５４００)
摘 要:平面向量数量积有基于几何意义的定义式ꎬ和基于代数运算的坐标式ꎬ其运算结果呈现多样性ꎬ
对最值求法进行分类解析ꎬ促进高效复习备考.
关键词:数量积ꎻ最值ꎻ分类解析
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０２０)３１ － ０００２ － ０４
均值不等式是求最值的常用工具之一. 要想利用均
→
→
因此ꎬＰＢＰＣ ＝ ( ａ － １ꎬ － ４) ( － １ꎬｂ － ４) ＝ １７ － ( ａ
Ｃ. [ － ８ꎬ３６] Ｄ. [ － １２ꎬ３６]
解 以点 Ａ 为原点ꎬＡＢ 为 ｘ 轴ꎬＡＤ 为 ｙ 轴ꎬ建立平面
→
平面数量积最值问题 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：平面向量数量积最值问题——2022年高三数学复习微专题微课一、本专题在高考中的地位1.课标对本专题的要求知识内容知识要求了解理解掌握平面向量1.平面向量的实际背景及基本概念（1）向量的实际背景√（2）平面向量的概念和两个向量相等的含义√（3）向量的几何表示√2.向量的线性运算（1）向量加法、减法运算，并理解其几何意义√（2）向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义√（3）向量线性运算的性质及其几何意义√3.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量的基本定理及其意义√（2）平面向量的正交分解及其坐标表示√（3）坐标表示平面向量的加减法与数乘运算√（4）用坐标表示的平面向量共线的条件√4.平面向量数量积（1）平面向量数量积的含义及其物理意义√（2）平面向量的数量积与向量投影的关系√（3）数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算√（4）运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系√5.向量的应用（1）向量法解决某些简单的平面几何问题√（2）向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题√明确《考试大纲》对知识的要求层次。
“理解”“掌握”这两个层次要求的知识点往往是高考命题的首选，尤其是“掌握”，通常高考命题会进行深度挖掘，所以在复习时要重视和强化。
2.近五年全国卷考查情况分析年份题序题型考点明细单独命题综合命题分值难易程度2016年全国卷I(理) 3 选择题向量加法坐标运算与垂直√ 5 易2017年全国卷I(理) 13 填空题 向量的模长和数量积应用√ 5 易 2018年全国卷I(理) 6 选择题 向量线性运算 √ 5 易 2018年全国卷I(理) 8 选择题 抛物线、直线及数量积 √ 5 中 2019年课标全国卷I(理) 7 选择题 向量数量积、夹角 √ 5 中 2020年课标全国卷I(理) 14 填空题 向量的数量积与模 √ 5 易 2020年课标全国卷I （文）14 填空题 向量数量积与向量垂直的充要条件 √ 5 易 2021·新高考Ⅱ卷13填空题向量的数量积与模√5易二、真题回顾1．(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 2．(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a ·b ＝1，则|b |＝________． 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________．4.(2020·课标全国Ⅰ高考)设a ,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .5.(2020·课标全国Ⅱ高考)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka -b 与a 垂直,则k = .三．要点提炼考点 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.四．典型例题：例1．(2021·福建六校联考)已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC →·(PB →＋PD →)的最小值为________． 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，设P (x ，y )，则PC →＝(2－x ，2－y )，PB →＋PD →＝(2－x ，－y )＋(－x ，2－y )＝(2－2x ，2－2y )，∴PC →·(PB →＋PD →)＝(2－x )(2－2x )＋(2－y )(2－2y )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－12＋2⎝⎛⎭⎫y －322－12＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋2⎝⎛⎭⎫y －322－1. ∴当x ＝y ＝32时，PC →·(PB →＋PD →)取得最小值－1.【探究】 数量积的计算主要有基底法和坐标法，另外解方程也行，数量积的最值问题往往要用到函数思想和数形结合思想，结合求值域的方法求解．变式练习：1.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋2MD →|的最小值为________．例2．(2021·益阳模拟考试)如图所示为边长为2的正△ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在三角形外部作半圆弧BC ︵，点P 在圆弧上运动，则AB →·AP →的取值范围为( )A ．[2，33]B ．[4，33]C ．[2，4]D ．[2，5]答案 D解析 由题可知当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，此时AB →·AP →＝|AB →|·|AC →|·cos π3＝2×2×12＝2，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大，此时AB →·AP →＝2×⎝⎛⎭⎫32＋1＝5，所以AB →·AP →的取值范围为[2，5]．故选D.【探究】 本题利用数量积的定义，结合数量量积的几何意义AP →在AB →上的投影，当当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大。
专题二 第3讲 平面向量数量积的最值问题 学生版
1 第3讲 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21(2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________．数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．1．在△ABC 中，若A ＝120°，A B →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．2．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．3．已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为________．4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．。
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。
2022年高中数学考前冲刺36讲第13讲 平面向量数量积的最值问题
2
2
2.[2020 河北九校第二次联考]已知两个不相等的非零向量 a,b,满足|a|=1,且 a 与 b-a 的夹角为
60°,则|b|的取值范围是 ( )
A.(0, 3)
2
B.[ 3,1)
2
C.[ 3,+∞)D.(1,+∞)
2
【 解 析 】 如 图 D 5-2-6 所 示 , 设 OA =a, AB =b-a, 则 OB =b. 因 为 a 与 b-a 的 夹 角 为 60°, 所 以
3t)+1t(4-t)=-2t2+14t(0≤t≤4),当
22
t=72时,AP·AQ取得最大值,最大值为429,故选
C.
解法二 因为 AB=4,AC=4 3,BC=8,所以 AB2+AC2=BC2,
所以△ABC 是直角三角形,且∠A=90°,∠C=30°,∠B=60°.
设 CP=t,则 BQ=2t,且 0≤2t≤8,即 0≤t≤4,BQ与AC的夹角为 30°,CP与AB的夹角为 60°,
k
的取值范围______.
【解析】
a
kb
1, k
，b
2k a
2k ,1
，
a kb b 2k a k 2 1 1 4k 2 cos 2k k 0 ，即 k 0 ，
又 a kb ， b 2ka 不共线，∴ k
2 ，∴ k 0 且 k
2
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10.[双空题]已知平面向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|=1,若 a·b=1,则(a+b)·(2b-c)的最小值是
图 D 5-2-8
令OA=a,OB=b,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则OC=a+b,∠AOB=θ,因为 a,b 均为单位
专题9平面向量数量积的最值问题
专题9 平面向量数量积的最值问题求平面向量模的最值与范围（2022·上海建平中学高三模拟）24．在平面直角坐标系中，已知是曲线上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是参考答案：1．A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.2．C【解析】在正方形中建立如图的直角坐标系，设(),P x y ，结合向量数量积的概念可得结果.【详解】以A 点为原点建立如图所示的直角坐标系，设(),P x y ，()03,03x y ≤≤≤≤，可得()0,0A ，()3,0B ，所以(),AP x y =，()3,0AB = ，故()(),3,03AP AB x y x ⋅=⋅= ，当3x =时，AP AB ⋅最大，最大值为9，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的最值问题，利用坐标法是解题的关键，属于基础题设()(cos ,sin 0OC θθθ=≤≤ 所以()()(1cos 2a b b c +-+⋅= ()()1cos 1cos sin θθθ=+-+因为[]sin 1,1θ∈-，所以3则()1a b c OD OC OC +⋅==⋅⇒22|||||1|||a c a OA AC AC a c μλ-===+-- 221212AC AC AC AC+⨯=-≥-【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是用数量积表示出参数17．D【分析】作OA a = ，OB b = ，可知0AC BC ⋅=，可得出点C 的轨迹是以作OC c =，则c a OC OA AC -=-= 因为()()0c a c b --= ，即AC BC ⋅所以，点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，设圆心为点所以，c OC OD DC OD ==+≤【详解】()66,0BC C =∴ ，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为1 533⎛⎫（2）当1y x z =-+-与单位上半圆 21y x =-此时平行线束y 轴的截距最大，即z 最大故由圆心O 到直线1y x z =-+-的距离d 等于半径，由(1,0)D -，得PC ：=1y x --又由直线AB :1y x =-，联立直线PC 得此时的C (0,1)-，即min 0BC = （2）当直线PC 与圆弧相切于点P即圆心到直线PC 的距离12bd ==即此时的直线PC ：2y x =-+联立方程2{1y x y x =-+=-，得122C ⎛+ ⎝即此时 2max1202BC ⎛⎫⎛+=-+ ⎪ ⎪31=22DE CE CD b a -=- ，AB CB CA =-= 2234b a a b +=⋅ 23cos 4a b b ACB a b a b ⋅+⇒∠== 号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,22x y DE +=-- 23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)x y ⇒++=以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合故①正确；对②，||||OA OB AB →→-= ，由于故②错误；对③，当60AOB ∠= 时，|。
平面向量中的最值问题及求解策略
37图4ab 于是，当a I 2解：由已知有I a + tb2 cos 2^ 三2 cos 202 sin 20例2 已知丨石丨=3, I ACI = 5,则丨呢丨的a + tb)1例 1 已知a = (2,1),6 = (1,2),要使 Ib I cos 。
+ I a I 22019年第6期中学数学研究平面向量中的最值问题及求解策略广东省深圳市南头中学(518052) 田彦武b I ，则z = % + y.于是问题转化为：已知x,y 满足 rX 2 + y 2 = 10,|1W%W3,求z 的最大值和最小值.1 W y W 3,不等式组所确定的区域直线的距离等于半径，即汀阿所以—6^\a + b\ +1 a-b\的最小值是4,最大值是2点.解法8：同解法3或解法6可得丨a + b\ +\a-b I = 丿5 + 4cos0 + /5 - 4cos0，设％ =/5 + 4cos0 ,y = /5 - 4cos0，贝Q x + y 2 = 10,且lW%W3,lWyW3,设z=l a + 6 I +1 a - b \，则z = % +y,下同法6用线性规划思想方法求解，略.最值问题，因为其题型的多样性，解决方法的 灵活性和题目难度的综合性而受到高考的青睐，是 高考考察的重点和热点问题.平面向量是高中数学教材中的新增内容，它的引入,不仅给高中数学教学 带来了无限生机，而且给高考数学命题注入了新的活力，这是因为向量具有代数与几何形式的双重身份，它能将数学的很多知识联系起来，成为数学知识 的一个交汇点•本文主要探讨平面向量中的最值问题，和大家共享.1.向量模的最值问题(t +■，所以当 f = - -时,1 a +tb \ 最小，且最小值为点评:本题利用向量模的定义及向量数量积的坐标运算，转化为关于t 的二次函数来求模的最小 值.取值范围是_________•解：当為与花方向相同时，I BC\取最小值为2；当石与花方向相反时，I BC\取最大值为8,故I BC\的取值范围是[2,8],点评:本题利用模不等式I I a I -I 6 I I ^1 a -b \ ^\a\ +\b\来求最值,其中当：与了同向时，有\ a -b\ =\\a\ -\b\ \ ,即此时丨：-X 丨取得最小值；当a 与6反向时，有丨a - b \ = I a I +1 6 I,即此时丨a -b \取得最大值.例3已知了是两个给定的向量，它们的夹角为0,向量C 二a + tb(t w R),求I c I 的最小值,并求此时向量了与c 的夹角.解：因为 c = a + tb ,所以丨 c I 2 = I a + tb \ 2 =\ a \ 2 + 2ta • b + t 2 \ b I 2 =丨 b \2t 2 + 2t \ a I •遊=0,即 t = 一3 cose 时,I b 是图4中的劣弧忑,其中A(3,1),B(1,3).由图知当直线y 二_%+z 与直线4B 重合时，截距Z 二4最小；当直线y=-X + Z 与弧相切于点C时，截距z 最大，此时圆心到tb I 最小，则实数£的值为_________•=1 加(“3 cose ' + i ；|2I b38QO图24图即2.2aPQ\-\BCa • ba I I sin0 I ，此时有疋所以菇• CQ = (AP - AB) ■ (AQ - AC) = AP•AQ-AP-AC-AB-AQ-AB-AC = - a -AP -AC + AB - AP = - a +AP • (AB - AC)x , - y - b) ,BCcos (120° - aex - by .---- =^cx - by a2 +APOB = x OA • OB + y OB • OBQ( - x , - y),且丨 PQ I = 2a , I BC I = a,BP = (%c,y) ,CQ中学数学研究2019年第6期I c I 2取得最小值I a I 2 sin 20,即I c I 取得最小值¥ f v 严 I a I cos0 f 、 b ■ c = b ・(a — b )I b 1 a ' C °S0)b-b=\a\-\b\ cos 。
平面向量最值问题解题方法
平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。
下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。
一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。
2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。
二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。
2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。
三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。
则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。
2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。
如何求解平面向量最值问题
有些平面向量问题采用常规方法求解较为困难， 我们可以根据题意建立合适的平面直角坐标系，给各 个向量赋予坐标，根据平面向量坐标运算法则进行运 算，进而求得最值.通过向量坐标运算，可将平面向量 最值问题转化为坐标运算问题，有利于快速求得最值.
仍以上述例题为例.
解 设：O建A 立= a如=图(1,20所) ，示c =的O平C面= (直x,角y)坐，标系，
学会从不同的角度寻找解题的途径.
（作者单位：江苏省东台市唐洋中学） 35
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∵ ∴
Oa∙Bb==b0=，(∴0, 1a)⊥，b
,
由 |c - a - b| = 1 可得
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 ，
∴点 C 在以 (1,1) 为
圆心，1 为半径的圆上，
图2
∴ |c| 的最大值为 1 + 2 .
这里根据 a ⊥ b 分别以 OA、OB 为 x、y 轴建立平面 直角坐标系，然后给各个向量赋予坐标，通过向量坐
解 答 本 题 ，主 要 运 用 了 绝 对 值 不 等 式 的 性 质
||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| ± |b| 、a + b≥ |a + b| 来建立新的不 等式，然后通过解不等式求得 |c| 的最大值.
二、借助平面几何知识求解
平面向量是连接“数”与“形”的纽带.在求解平面
解：∵ a∙b= 0 ，a ，b 是单位向量，∴ |a + b| = 2 ，
∵ a + b≥ |a + b| ，
∴ |c - a - b| = |c -(a + b)| ≥ ||c| - |a + b|| = ||c| - 2| ，
高考数学专题二 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
微专题19
平面向量的数量积 及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一， 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向 量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标 函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值 或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份， 所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难 度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆 心(0,0)到点32，2的距离为52， 所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245， 即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t， 则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9， 由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9， 由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1， 所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9， 所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9， 令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
破解平面向量最值问题的两个“妙招”
平面向量最值问题一般与动点、参数有关.这类问题具有较强的综合性，通常会考查平面向量的基本定理、共线定理、运算法则、公式，平面几何图形的性质.本文结合例题探讨一下破解平面向量最值问题的两个妙招.一、建立坐标系当遇到与等腰三角形、平行四边形、矩形、圆等规则平面几何图形有关的问题时，可根据几何图形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求得各个点的坐标，各条线段的方向向量，便可通过向量的坐标运算求得目标式，再利用二次函数的性质、基本不等式等求得目标式的最值，即可解题.例1.在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为边CD 上的动点，则 AE ∙ BE 的最小值为_____.解：以点D 为原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设E ()0,t ，t ∈[]0，3，则A ()1,0，B æèçø32，C ()0,3，因为 AE ∙ BE =()-1×æèöø-32+t æèçøt-=t 2+32=æèçøt 2t +2116，所以当t = AE ∙ BE 取最小值2116.解答该题，需根据已知条件AD ⊥CD ，来建立平面直角坐标系.求得点A 、B 、C 、D 、E 的坐标，并设出点E 的坐标，便可根据向量的数量积公式求得AE ∙BE 的表达式，最后根据二次函数的性质求得最值.二、几何性质法平面向量具有“数”“形”两重身份.因此在解答平面向量问题时，往往可采用几何性质法来求解.可根据向量的三角形法则、平行四边形法则，绘制相应的几何图形，将向量之间的关系转化为几何关系，灵活运用平面几何图形的性质，如圆、矩形、三角形、平行四边形的性质，寻找到使目标式取最值的临界情形，从而求得最值.例2.已知A 、B 是圆C ：()x -12+()y -22=4上的两点，若平面内存在一点Q 使得 QC =λ QA +()1-λQB ，λ∈R ，点P 在直线l ：3x +4y +4=0上，求 PA ∙PB 的最小值.解：∵ QC =λ QA +()1-λQB ，λ∈R ，∴A 、B 、C 共线，即AB 是圆C 的直径，∵ BA = PA -PB ，2 PC = PA + PB ,∴ BA 2= PA 2+ PB 2-2 PA ∙ PB ，①4 PC 2= PA 2+ PB 2+2 PA ∙PB ，②由①②可得 PA ∙ PB = PC 2-14BA 2= PC 2-4，∵点C ()1,2到直线l ：3x +4y +4=0距离为3，∴ PC 2最小值为9，即 PA ∙PB 的最小值为5.解答本题,需先根据平面向量的共线定理证明A 、B 、C 三点共线，根据圆对称性得出结论：AB 是圆C的直径，然后利用向量的模的公式和向量的数量积公式求得 PA ∙ PB 的表达式，将求 PA ∙PB 的最小值转化为求|| PC 的最小值.而C 为顶点，P 点在直线l 上，只需根据点到直线的距离公式即可求得最小值.例3.已知e 为单位向量，非零向量a 与e的夹角为π3，b 2-4e ∙b +3=0，求||||a -b 的最小值.解：设 OA =a ，OB =b， OC =e ，若OC 在x 轴上，且点A 位于第一象限中，∵a 与e 的夹角为π3，∴点A 在斜率为π3的射线上，考点透视马小芹39设点B 为()x ,y ，由b 2-4e ∙b+3=0得()x -22+y 2=1，即点B 在圆()x -22+y 2=1上，∵||||a -b =|| OA - OB =|| BA ，∴||||a -b 的最小值为点B 到射线OA 的最短距离，即圆心()2,0到射线y =3x 的距离减去半径，∴||||a -b min=3-1.首先以单位向量e 作为解题的突破口，假设e 为水平方向的单位向量，然后将问题中的各个条件转换为几何关系，如将“a 与e 的夹角为π3”转化为“点A 在斜率为π3的射线上”；根据()x -22+y 2=1，将点B 看作圆()x -22+y 2=1上的点，将“||||a -b 的最小值”转化为“点B 到射线OA 的最短距离”等，根据圆的性质来求最值.运用几何性质法解答平面向量最值问题，需仔细研究向量的几何意义，联系直线、中点的向量表达形式，把向量以点和图形的形式呈现出来，将向量的最值问题等价转化为平面几何中的距离、角度的最值问题，结合平面几何图形的性质来求解.虽然平面向量最值问题较为复杂，但是我们只要能根据图形的特点建立合适的平面直角坐标系，根据向量的几何意义构造平面几何图形，便能通过向量的坐标运算，利用平面几何图形的性质，求得问题的答案.本文系江苏省陶研会立项课题《高中生小组合作学习下数学错题反思的有效性研究》（课题批准文号：JSTY624）研究成果（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）考点透视特殊与一般思想是重要的数学思想.在解答数学问题时，将特殊问题一般化，有助于了解、掌握问题的本质和通性通法；将一般问题特殊化，有利于快速找到解题的突破口.下面主要谈一谈特殊与一般思想在解答不等式问题中的应用.一、将一般性的问题特殊化将一般性的问题特殊化，需把研究对象或问题从原有的范围缩到较小范围或个别情形进行考查.在一般情况下成立的命题，在一些满足题意的特殊情形下也必然成立.因此，在解答某些含有参数、不确定变量的不等式问题时，可以从题目中的已知条件出发，通过尝试寻找特殊情形，如赋特殊值，考查特殊数，取特殊点、特殊位置，考虑特殊图形等，从中寻得启示.获得结果后，再对其进行验证，便可快速解题.例1.如图，若数轴上A 、B 两点分别表示实数a 、b ，则下列结论正确的是（）.A.a +b >0B.ab >0C.|a |-|b |>0D.a -b >0分析：题目中的A 、B 、a 、b 的大小均不确定，很难直接得到正确的选项，不妨运用特殊与一般思想，将问题特殊化，根据题意给a 、b 赋予特殊值，将其代入四个选择中进行运算，即可得到正确的答案.解：通过观察数轴，可以得出a <-1，0<b <1，令a =-2，b =0.5，则a +b =-1.5<0，ab =-1<0，|a |-|b |=1.5>0，a -b =-2.5<0，故选C.对于选择题，可通过特殊个例来寻求满足一般情况的结论，将其推广到一般性的问题上，从而获得一般性问题的答案.在运用特殊与一般思想解题时，要关注一些特殊情形：如区间的端点、曲线的切点、中点等，从特殊情形入手，以便将一般性的问题特殊化.例2.已知x i ≥0(i =1,2,3,…,n )，且∑i =1nx i =1，求证：1≤∑i =1n x i ≤n .分析：该例题中的未知量较多，不容易入手，根据化多为少的原则应想办法减少未知量的个数，让问题纪婷吴明忠40。
专题 平面向量数量积的最值的求法
好题集锦之平面向量系列题五——与向量数量积有关的最值问题如何解读平面向量的数量积？我觉得应该从四个方面入手：1. 定义，侧重于模长和夹角；2. 几何意义，侧重于从图形入手体现几何意义；3. 坐标，依附于坐标系建立等量关系；4.极化恒等式，通过极化恒等式将数量积等价转化。
方法一 几何处理【例1】（2020新高考Ⅰ卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AB AP ⋅的取值范围是( ) A.(2,6)- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-【答案】A【解析】因为PAB AB AP AB AP ∠=⋅cos ||||其中PAB AP ∠cos ||表示AP 在AP 方向上的投影结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小. 又有2,8-=⋅=⋅AB AF AB AC ，，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，)6,2(-∈⋅AB AP ，故选A.【题后反思】该题中涉及的图形是正六边形，属于规则图形，可以通过建立直角坐标系求数量积的范围。
方法二 基底处理/坐标处理【例2】如图，在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，90BAD ∠=︒，4AD =，2AB BC E ==，是AD 的中点，AC 与BE 交于点F G ,是DF (包含D F ,两端点)上任意一点，则CG DG ⋅的最小值是( )A.165-B.125-C.85- D.45- 【答案】C【解析】（基底法）以AD AB ,为基底，设)10(≤≤=λλDF DG ，连接CE .因为4AD =，2AB BC E ==，是AD 的中点，//BC AD ，90BAD ∠=︒，所以四边形ABCE 是边长为2的正方形所以12AF AC =. 因为AD AB BC AB AD AF DA DF 4321)(21-=++-=+= 所以AD AB DG 432λλ-=， AD AB AD AB DG DG CD CG )4321()12(21λλ-+-=+-=+= 所以58)52(1016)4321(434)12(212--=⨯--⨯-=⋅λλλλλCG DG 因为01λ≤≤，所以当且仅当25λ=时，CG DG ⋅取得最小值，为85- （坐标法）以A 为坐标原点，AD ，AB 为x ，y 轴建立坐标系则])1,0[)(1,13(),2,2(),0,4(∈+-+λλλG C D 所以]1,0[,212102∈+-=⋅λλλCG DG 当且仅当53=λ时，58)(min -=⋅CG DG 【题后反思】在解题时，坐标系比较容易建立，基底也好选择，但是大家可以尝试利用数量积的几何意义解题，即向量CG 在向量DG 上的投影与DG 的模的乘积来分析最值。
高考数学复习知识点讲解课件5---平面向量数量积的最值与范围问题
cos π3＝12，
所以|A→B＋A→C|＝2 3，
由
平
面
向
量
模
的
三
角
|
→ AP
|
＝
|(
→ AP
－
→ AB
－
→ AC
)
＋
(
→ AB
＋
A→C)|≥||A→P－A→B－A→C|－|A→B＋A→C||＝2 3－1.
当且仅当A→P－A→B－A→C与A→B＋A→C方向相反时，等号成立. 因此|A→P|的最小值为 2 3－1.
＝4(1－t)＋4t＋(1＋t－t2)×2×2×－12 ＝2t2－2t＋2＝2t－122＋32，
1234
因为0≤t≤1， 所以当 t＝12时，2t2－2t＋2 取得最小值32， 即A→M·A→N的最小值为32.
1234
4.已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝1，则|c－b|的 取值范围是__[__5_－__1_，___5_＋__1_]_.
|BC| |CD|
1234
→→ 解析 设|B→M|＝|C→N|＝t,0≤t≤1，
|BC| |CD| A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋tB→C＝A→B＋tA→D， A→N＝A→B＋B→C＋C→N＝A→B＋B→C＋tC→D＝A→B＋A→D－tA→B＝(1－t)A→B＋A→D， 所以A→M·A→N＝(A→B＋tA→D)·[(1－t)A→B＋A→D] ＝(1－t)A→B2＋tA→D2＋(1＋t－t2)A→B·A→D
√A.－12
B.－32
C.－14
D.－1
解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐 标原点建立平面直角坐标系，
平面向量数量积的最值问题求解策略
平面向量数量积的最值问题求解策略
林芬
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2024()8
【摘要】文章从一道求解平面向量数量积的最值的填空题入手,探究平面向量数量积的最值问题的多种解法,通过反思提炼,以提高学生的解题能力。
【总页数】3页(P24-26)
【作者】林芬
【作者单位】福建闽侯县第六中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.平面向量数量积最值问题的求解策略
2.平面向量的数量积及运算律平面向量数量积的坐标表示
3.例谈平面向量数量积的求解策略
4.全面把握因题择宜——例析平面向量数量积问题的求解策略
5.例析平面向量数量积范围的常用求解策略
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数量积的最值问题
数量积的最值问题数量积的最值问题是高中数学中一个经典的问题。
它可以应用于很多实际问题例如优化问题、几何问题等等。
通过 quantities of product 最值问题的学习和应用，可以提高数学思维和解决实际问题的能力。
本文将围绕最值问题逐步展开阐述，以期帮助读者更好地理解这一概念。
一、数量积的定义数量积也称内积，是在欧几里得空间中定义的一种运算。
如果有两个向量，a和b，那么a和b的数量积表示为a·b或者是a b，其定义方式如下所示：a·b=|a|·|b|·cosθ其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ为a与b夹角的余弦值。
从定义中可以看出，向量a和b的数量积的值等于向量a的模与向量b的模相乘后再乘上余弦值。
而a和b之间的夹角越小，余弦值越大，那么a·b的值也越大，或者说积最值最大。
二、数量积的最值问题在解决数量积最值问题时，我们需要考虑以下问题：1. 向量a和b分别是什么？2. 如何求出a和b之间的夹角？3. 如何确定最大最小值？下面我们将一一讨论这三个问题。
1. 向量a和b的确定想要确定向量a和b的值，我们需要考虑向量的点坐标或者向量常用的性质。
例如，对于平面直角坐标系中的两个向量，a和b可以分别表示为：a=(x1,y1)，b=(x2,y2)其向量的模也可以根据勾股定理求出来。
2. 夹角的计算根据前面所述的公式，我们很容易求出a·b的值，但是夹角需要我们单独计算。
我们可以使用两个向量的坐标或者属性求出他们之间的夹角。
假设向量a和向量b分别为(x1,y1)和(x2,y2)，那么a和的夹角可以通过以下方法计算：cosθ= (x1*x2+y1*y2)/(|a|·|b|)θ = cos-1((x1*x2+y1*y2)/(|a|·|b|))3. 最大最小值的确定对于任意两个向量，只需要通过上面提到的公式求出其数量积的值，就可以确定他们之间的最大最小值了。
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所以|B→C|min ＝ 6.
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2.(2020·天津)如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且
A→D＝λB→C，A→D·A→B＝－32，则实数
λ
1 的值为____6____，若
M，N
是线段
BC
上的动点，且|M→N|＝1，则D→M·D→N的最小值为___1_23____.
专题二 三角函数与解三角形
平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的 最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行 转化.
例 (1)已知A→B⊥A→C，|A→B|＝1t ，|A→C|＝t，若点A→P＝
→
AB
→
＋4→A→C，则P→B·P→C的最大值等于
故|a＋b|＝ 1＋m＋n2＝2，所以(m＋n)2＝3， 即 3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，则 mn≤34， 所以 a·b＝－2＋mn≤－54， 当且仅当 m＝n＝ 23时等号成立， 所以 a·b 的最大值为－54.
1234
4.在平行四边形 ABCD 中，若 AB＝2，AD＝1，A→B·A→D＝－1，点 M 在边 CD 上，则M→A·M→B的最大值为____2____.
跟踪演练
1.在△ABC 中，若 A＝120°，A→B ·A→C＝－1，则|B→C|的最小值是___6___. 解析 由A→B·A→C＝－1，得|A→B|·|A→C|·cos 120°＝－1，即|A→B|·|A→C|＝2， 所以|B→C|2＝|A→C－A→B|2＝A→C2－2A→B·A→C＋A→B2 ≥2|A→B|·|A→C|－2A→B·A→C＝6，
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解析 因为A→D＝λB→C，所以 AD∥BC，则∠BAD＝120°， 所以A→D·A→B＝|A→D|·|A→B|·cos 120°＝－32， 解得|A→D|＝1. 因为A→D，B→C同向，且 BC＝6， 所以A→D＝16B→C，即 λ＝16. 在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，
1234
1234
解析 在平行四边形 ABCD 中，因为 AB＝2，AD＝1，A→B·A→D＝－1，点 M
在边 CD 上，
所以|A→B|·|A→D|·cos A＝－1，
所以 cos A＝－12，所以 A＝120°， 以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以 A(0,0)，B(2,0)，D－12， 23.
＝17－1t ＋4t≤17－2 1t ·4t＝13，
当且仅当 t＝12时等号成立. ∴P→B·P→C的最大值等于 13.
(2)如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为π3的一段圆弧 AB 上的一点，若A→B ＝2B→C，则P→C·P→A的最小值为_5_－__2___1_3___.
解析 以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直
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设
Mx，
23，－12≤x≤32，
因为M→A＝－x，－
23，M→B＝2－x，－
23，
所以M→A·M→B＝x(x－2)＋34＝x2－2x＋34 ＝(x－1)2－14.
设 f(x)＝(x－1)2－14，因为 x∈－12，32，
所以当 x＝－12时，f(x)取得最大值 2.
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本课结束
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所以D→M·D→N＝a2－a＋247＝a－122＋123. 所以当 a＝12时，D→M·D→N取得最小值123.
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3.已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b 的最大值为__－__54____.
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解析 不妨设e＝(1,0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)， 则a＋b＝(－1，m＋n)，
其中
0<tan
φ＝
3 6<
33，所以
0<φ<π6，
当 θ＝π2－φ 时，P→C·P→A取得最小值，为 5－2 13.
能力 提升
数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题 型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、 数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解 析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基 本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还 有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.
则
BO＝AB·cos
60°＝32，AO＝AB·sin
60°＝3
2
3 .
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，
则 N(a＋1,0)，且－32≤a≤72.
又
D1，3
2
3，
所以D→M＝a－1，－3
2
3，D→N＝a，－3
2
3，
|AB| |AC|
√A.13
B.15
C.19
D.21
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则 B1t ，0，C(0，t)，A→B＝1t ，0，A→C＝(0，t)， A→P ＝|AA→→BB|＋4|A→A→CC|＝t1t ，0＋4t (0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)， P→B·P→C＝1t －1，－4·(－1，t－4)
平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，
则 A(－1， 3)，C(2， 3)，
设 P(2cos θ，2sin θ)π3≤θ≤23π，
则P→C·P→A＝(2－2cos θ， 3－2sin θ)·(－1－2cos θ， 3－2sin θ)
＝5－2cos θ－4 3sin θ＝5－2 13sin(θ＋φ)，