高考数学逆袭系列之：专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题

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所以D→M·D→N＝a2－a＋247＝a－122＋123. 所以当 a＝12时，D→M·D→N取得最小值123.
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3.已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b 的最大值为__－__54____.
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解析 不妨设e＝(1,0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)， 则a＋b＝(－1，m＋n)，
平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，
则 A(－1， 3)，C(2， 3)，
设 P(2cos θ，2sin θ)π3≤θ≤23π，
则P→C·P→A＝(2－2cos θ， 3－2sin θ)·(－1－2cos θ， 3－2sin θ)
＝5－2cos θ－4 3sin θ＝5－2 13sin(θ＋φ)，
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解析 在平行四边形 ABCD 中，因为 AB＝2，AD＝1，A→B·A→D＝－1，点 M
在边 CD 上，
所以|A→B|·|A→D|·cos A＝－1，
所以 cos A＝－12，所以 A＝120°， 以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以 A(0,0)，B(2,0)，D－12， 23.
其中
0<tan
φ＝
3 6<
33，所以
0<φ<π6，
当 θ＝π2－φ 时，P→C·P→A取得最小值，为 5－2 13.
能力 提升
数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题 型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、 数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解 析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基 本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还 有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.
则
BO＝AB·cos
60°＝32，AO＝AB·sin
60°＝3
2
3 .
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，
则 N(a＋1,0)，且－32≤a≤72.
又
D1，3
2
3，
所以D→M＝a－1，－3
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2
3，D→N＝a，－3
2
3，
当且仅当|A→B|＝|A→C|＝ 2时等号成立，
所以|B→C|min ＝ 6.
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2.(2020·天津)如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且
A→D＝λB→C，A→D·A→B＝－32，则实数
λ
1 的值为____6____，若
M，N
是线段
BC
上的动点，且|M→N|＝1，则D→M·D→N的最小值为___1_23____.
跟踪演练
1.在△ABC 中，若 A＝120°，A→B ·A→C＝－1，则|B→C|的最小值是___6___. 解析 由A→B·A→C＝－1，得|A→B|·|A→C|·cos 120°＝－1，即|A→B|·|A→C|＝2， 所以|B→C|2＝|A→C－A→B|2＝A→C2－2A→B·A→C＋A→B2 ≥2|A→B|·|A→C|－2A→B·A→C＝6，
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解析 因为A→D＝λB→C，所以 AD∥BC，则∠BAD＝120°， 所以A→D·A→B＝|A→D|·|A→B|·cos 120°＝－32， 解得|A→D|＝1. 因为A→D，B→C同向，且 BC＝6， 所以A→D＝16B→C，即 λ＝16. 在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，
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|AB| |AC|
√A.13
B.15
C.19
D.21
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则 B1t ，0，C(0，t)，A→B＝1t ，0，A→C＝(0，t)， A→P ＝|AA→→BB|＋4|A→A→CC|＝t1t ，0＋4t (0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)， P→B·P→C＝1t －1，－4·(－1，t－4)
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设
Mx，
23，－12≤x≤32，
因为M→A＝－x，－
23，M→B＝2－x，－
23，
所以M→A·M→B＝x(x－2)＋34＝x2－2x＋34 ＝(x－1)2－14.
设 f(x)＝(x－1)2－14，因为 x∈－12，32，
所以当 x＝－12时，f(x)取得最大值 2.
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本课结束
专题二 三角函数与解三角形
平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的 最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行 转化.
例 (1)已知A→B⊥A→C，|A→B|＝1t ，|A→C|＝t，若点 P 是△ABC 所在平面内的一
点，且A→P＝
→
AB
→
＋4→A→C，则P→B·P→C的最大值等于
＝17－1t ＋4t≤17－2 1t ·4t＝13，
当且仅当 t＝12时等号成立. ∴P→B·P→C的最大值等于 13.
(2)如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为π3的一段圆弧 AB 上的一点，若A→B ＝2B→C，则P→C·P→A的最小值为_5_－__2___1_3___.
解析 以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直
故|a＋b|＝ 1＋m＋n2＝2，所以(m＋n)2＝3， 即 3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，则 mn≤34， 所以 a·b＝－2＋mn≤－54， 当且仅当 m＝n＝ 23时等号成立， 所以 a·b 的最大值为－54.
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4.在平行四边形 ABCD 中，若 AB＝2，AD＝1，A→B·A→D＝－1，点 M 在边 CD 上，则M→A·M→B的最大值为____2____.