2013清华北大自主招生测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题.docx

2013 清华北大自主招生 测评试题

数学

自主招生数学与逻辑测评试题

（考试时间： 90 分钟，总分 100 分）

一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数，且 z 1 = 3,

z 12

为实数，则 z 1-z 2 的值为

z 2

（ ） A ． 3

B ． 6

C ．3

D ．23

2. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上，点 Q 在曲线 x=1+y 2 上，则 PQ 的最小值为

（）

A ．3 2

B ．3 2

C ．

3 2

D ．

3 2

2

4

8

3. 在 ABC 中，三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = （

）

5tan B

A 。3

B 。4

C 。5

D 。6

4. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠ APC =60 °，则二面角 A-PB-C

的平面角的余弦值为（ ）

A.

1 B.

1

7

7

C.

1 D.

1

P

2

2

D

M C

A B

5. 设 P 是函数 y=x+ 2

x>2 图像上任意一点，过点

P 分别向直线 y=x 和 y x

轴作垂线，垂足分别为 A 、B ，则 PA PB = （

）

A ．1

B ．2

C ．-1

D ．-2

6. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每

周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使

用 A 密码，则第七周也使用 A 密码的概率为（）（用最简分数表示）

A．43

B．

61

C．

48

D．

61 8124324381

选择题答题处： 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分)

7. 设函数f n x =x n1-x2在1

,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2

（1）求数列 a n的通项公式；

（2）求证：对任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立；

2

n+2

（3）设数列 a n的前 n 项和为S n，求证：对任意正整数 n ，都有S n<7

成16

立。

8.在平行四边形 ABCD 中， AB=x ，BC=1 ，对角线 AC 与 BD 的夹角BOC =45 ，记直线AB与CD的距离为 h x ，求 h x 的表达式，并写出x的取值范围。

9. 已知x0, y0, a x y , b x 2xy y 2 , c m xy ,

问是否存在正数m 使得对于任意正数x , y 可使 a , b , c为一个三角形的三条边？如果存在, 求出m的值; 如果不存在, 请说明理由.

10.20 个巫师孤岛聚会。在这期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别

的某些巫师；证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其他9 个巫师的诅咒。

数学与答案

（考： 90 分，分 100 分）

二、：本大共 6 小．每小 6 分，共 36 分．在每小出的四个中，只有一是符合目要求的．中学盟网

1、C 2 、C 3、B 4、B 5、C 6、B二、解答（每 16 分，

共 64 分）

7. 函数f n x =x n1-x

2在

1

,1 上的最大 a n n=1,2,3, 2

（1）求数列 a n的通公式；

（2）求：任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立；

2

n+2

（3）数列 a n的前n和 S n，求：任意正整数n，都有 S n <7 成

16立。

1

, n=1

解：（ 1 ）利用数可求得a n=8

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4n n

n +2

, n

2

n+2

4n n n +2n

（2）当 n 2 ，欲12 ,只需证 1+ 2

4

n+2n+2n

利用二式展开式可以得出。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（3 ）当 n=1,2然成立

当 n 3 由（2）可知4n n n +21 2 <

1-

1

得。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

n+2n+2n+1n+2 16 分

8. 在平行四 形 ABCD 中， AB=x ，BC=1 ， 角 AC 与 BD 的 角

BOC =45 ， 直 AB 与 CD 的距离 h x ，求 h x 的表达式，并写出

x 的取 范 。

解：由广 勾股定理（平行四 形的 角 的平方和等于四条 的平方

和） OB 2 +OC 2 = 1 AB 2 +BC 2 = 1 x 2 +1 (1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分

2 2

在 OBC 中，有余弦定理

BC 2 =OB 2 + OC 2 -2OB OC cos BOC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4

分 OB 2 +OC

2

- 2OB OC =1 (2)

由（ 1 ）（ 2 ）得 OB OC = x 2 -1

(3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分

2 2

S ABCD =4 S OBC =4 1 OB OC sin

BOC = 2OB OC =

x 2 -1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分

2

2

故 AB h x = x 2

-1 h x = x 2 -1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分

2

2x

由（ 3 ）可得 x 2 -1>0, x>1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分

因 由 (2)(3) 得

1

x 2

+1 2

x 2

-1

解得（结合 x>1） 1< x< 2+1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14

2

2 2

分

x 2 -1

上所述 h x =

,1

2x

9. 已知 x 0, y 0, a x y, b

x 2 xy y 2

, c m

xy ,

问是否存在正数 m 使得对于任意正数

x, y 可使 a,b,c 为

一个三角形的三条边？如果存在

,求出 m 的值 ; 如果不

存在 , 请说明理由 .