2019-2020年高中数学 第三章 不等式阶段质量检测 新人教A版必修5
新人教A版必修5高中数学第三章不等式章末检测(A)
第三章 不等式章末检测(A )新人教A 版必修5一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.原点和点(1,1)在直线x +y =a 两侧,则a 的取值范围是( )A .a <0或a >2B .0<a <2C .a =0或a =2D .0≤a ≤2答案 B2.若不等式ax 2+bx -2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-2<x <-14,则a +b 等于( )A .-18B .8C .-13D .1 答案 C解析 ∵-2和-14是ax 2+bx -2=0的两根.∴⎩⎪⎨⎪⎧-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-14=-b a -⎝ ⎛⎭⎪⎫-14=-2a ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-4b =-9.∴a +b =-13.3.如果a ∈R ,且a 2+a <0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小关系是( )A .a 2>a >-a 2>-aB .-a >a 2>-a 2>aC .-a >a 2>a >-a 2D .a 2>-a >a >-a 2 答案 B解析 ∵a 2+a <0,∴a (a +1)<0,∴-1<a <0.取a =-12,可知-a >a 2>-a 2>a .4.不等式1x <12的解集是( )A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(0,2)D .(-∞,0)∪(2,+∞) 答案 D解析 1x <12⇔1x -12<0⇔2-x 2x <0⇔x -22x>0⇔x <0或x >2.5.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤3,x -y ≥-1,y ≥1,则目标函数z=4x +2y 的最大值为( )A .12B .10C .8D .2 答案B解析 画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z =4x +2y 可转化为y =-2x +z2,作出直线y =-2x 并平移,显然当其过点A 时纵截距z2最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =3,y =1得A (2,1),∴z max =10.6.已知a 、b 、c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是( )A .ab >acB .c (b -a )>0C .ab 2>cb 2D .ac (a -c )<0答案 C解析 ∵c <b <a ,且ac <0,∴a >0,c <0.而b 与0的大小不确定,在选项C 中,若b =0,则ab 2>cb 2不成立.7.已知集合M ={x |x 2-3x -28≤0},N ={x |x 2-x -6>0},则M ∩N 为( )A .{x |-4≤x <-2或3<x ≤7}B .{x |-4<x ≤-2或3≤x <7}C .{x |x ≤-2或x >3}D .{x |x <-2或x ≥3} 答案 A解析 ∵M ={x |x 2-3x -28≤0}={x |-4≤x ≤7}, N ={x |x 2-x -6>0}={x |x <-2或x >3}, ∴M ∩N ={x |-4≤x <-2或3<x ≤7}. 8.在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ),若不等式(x -a )⊗(x +a )<1对任意实数x 成立,则( )A .-1<a <1B .0<a <2C .-12<a <32D .-32<a <12答案 C解析 (x -a )⊗(x +a )=(x -a )(1-x -a )<1⇔-x 2+x +(a 2-a -1)<0恒成立⇔Δ=1+4(a 2-a -1)<0⇔-12<a <32.9.在下列各函数中,最小值等于2的函数是( )A .y =x +1xB .y =cos x +1cos x (0<x <π2)C .y =x 2+3x 2+2D .y =e x+4ex -2答案 D解析 选项A 中,x >0时,y ≥2,x <0时,y ≤-2; 选项B 中,cos x ≠1,故最小值不等于2;选项C 中,x 2+3x 2+2=x 2+2+1x 2+2=x 2+2+1x 2+2,当x =0时,y min =322.选项D 中,e x +4e x -2>2e x·4ex -2=2,当且仅当e x =2,即x =ln 2时,y min =2,适合.10.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥1x -y ≥-12x -y ≤2,目标函数z =ax +2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是( )A .(-1,2)B .(-4,2)C .(-4,0]D .(-2,4)答案 B解析 作出可行域如图所示,直线ax +2y =z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-a2<2,即-4<a <2. 11.若x ,y ∈R +,且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为( ) A .12 B .14 C .16 D .18 答案 D解析 由2x +8y -xy =0,得y (x -8)=2x ,∵x >0,y >0,∴x -8>0,得到y =2xx -8,则μ=x +y =x +2x x -8=x +x -+16x -8=(x -8)+16x -8+10≥2x -16x -8+10=18,当且仅当x -8=16x -8,即x =12,y =6时取“=”.12.若实数x ,y满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≤0,x >0,则y x -1的取值范围是( )A .(-1,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-∞,-1)D .[1,+∞) 答案 B解析 可行域如图阴影,yx -1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率,易求得yx -1>1或yx -1<-1.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.若A =(x +3)(x +7),B =(x +4)(x +6),则A 、B 的大小关系为________.答案 A<B14.不等式x -1x 2-x -30>0的解集是________________________________________________________________________.答案 {x |-5<x <1或x >6}15.如果a >b ,给出下列不等式: ①1a <1b ;②a 3>b 3;③a 2>b 2;④2ac 2>2bc 2;⑤ab>1;⑥a 2+b 2+1>ab +a +b . 其中一定成立的不等式的序号是________. 答案 ②⑥解析 ①若a >0,b <0,则1a >1b,故①不成立;②∵y =x 3在x ∈R 上单调递增,且a >b . ∴a 3>b 3,故②成立;③取a =0,b =-1,知③不成立;④当c =0时,ac 2=bc 2=0,2ac 2=2bc 2, 故④不成立;⑤取a =1,b =-1,知⑤不成立; ⑥∵a 2+b 2+1-(ab +a +b ) =12[(a -b )2+(a -1)2+(b -1)2]>0, ∴a 2+b 2+1>ab +a +b ,故⑥成立.16.一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米,那么这批货物全部运到B 市,最快需要________小时.答案 8解析 这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ,则t =400+16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v =400v +16v 400≥2 400v ×16v400=8(小时),当且仅当400v =16v400,即v =100时等号成立,此时t =8小时.三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.(12分)若不等式(1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-3<x <1}. (1)解不等式2x 2+(2-a )x -a >0;(2)b 为何值时,ax 2+bx +3≥0的解集为R .解 (1)由题意知1-a <0且-3和1是方程(1-a )x 2-4x +6=0的两根,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-a <041-a=-261-a=-3,解得a =3.∴不等式2x 2+(2-a )x -a >0即为2x 2-x -3>0,解得x <-1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <-1或x >32.(2)ax 2+bx +3≥0,即为3x 2+bx +3≥0,若此不等式解集为R ,则b 2-4×3×3≤0,∴-6≤b ≤6. 18.(12分)解关于x 的不等式56x 2+ax -a 2<0. 解 原不等式可化为(7x +a )(8x -a )<0,即⎝⎛⎭⎪⎫x +a 7⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 8<0.①当-a 7<a 8,即a >0时,-a 7<x <a8; ②当-a 7=a 8,即a =0时,原不等式解集为∅; ③当-a 7>a8,即a <0时,a 8<x <-a7.综上知,当a >0时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-a 7<x <a 8;当a =0时,原不等式的解集为∅;当a <0时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a 8<x <-a 7.19.(12分)证明不等式:a ,b ,c ∈R ,a 4+b 4+c 4≥abc (a +b +c ).证明 ∵a 4+b 4≥2a 2b 2,b 4+c 4≥2b 2c 2, c 4+a 4≥2c 2a 2,∴2(a 4+b 4+c 4)≥2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2) 即a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2.又a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c ,b 2c 2+c 2a 2≥2abc 2, c 2a 2+a 2b 2≥2a 2bc .∴2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2(ab 2c +abc 2+a 2bc ), 即a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc (a +b +c ). ∴a 4+b 4+c 4≥abc (a +b +c ).20.(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤10,0.3x +0.1y ≤1.8,x ≥0,y ≥0.目标函数z =x +0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.作直线l 0:x +0.5y =0,并作平行于直线l 0的一组直线x +0.5y =z ,z ∈R ,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M 点,且与直线x +0.5y =0的距离最大,这里M 点是直线x +y =10和0.3x +0.1y =1.8的交点.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =10,0.3x +0.1y =1.8,得x =4,y =6,此时z =1×4+0.5×6=7(万元).∵7>0,∴当x =4,y =6时,z 取得最大值.答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.21.(12分)设a ∈R ,关于x 的一元二次方程7x 2-(a +13)x +a 2-a -2=0有两实根x 1,x 2,且0<x 1<1<x 2<2,求a 的取值范围.解 设f (x )=7x 2-(a +13)x +a 2-a -2. 因为x 1,x 2是方程f (x )=0的两个实根, 且0<x 1<1,1<x 2<2,所以⎩⎪⎨⎪⎧ f,f,f⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a -2>0,7-a ++a 2-a -2<0,28-a ++a 2-a -2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a -2>0,a 2-2a -8<0,a 2-3a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <-1或a >2,-2<a <4,a <0或a >3⇒-2<a <-1或3<a <4.所以a 的取值范围是{a |-2<a <-1或3<a <4}.22.(14分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x 台(x 是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x );(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.解 (1)设题中比例系数为k ,若每批购入x 台,则共需分36x批,每批价值20x .由题意f (x )=36x·4+k ·20x ,由x =4时,y =52,得k =1680=15.∴f (x )=144x+4x (0<x ≤36,x ∈N *).(2)由(1)知f (x )=144x+4x (0<x ≤36,x ∈N *).∴f (x )≥2144x·4x =48(元).当且仅当144x=4x ,即x =6时,上式等号成立.故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.。
2019_2020学年高中数学第三章不等式单元质量测评新人教A版必修5
第三章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a <0,-1<b <0,则( ) A .-a <ab <0 B .-a >ab >0 C .a >ab >ab 2D .ab >a >ab 2答案 B解析 ∵a <0,-1<b <0,∴ab >0,a <ab 2<0,故A ,C ,D 都不正确,正确答案为B . 2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x +3y ≤12,x -y >-1,y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A .2个B .4个C .6个D .8个 答案 C解析 画出可行域后,可按x =0,x =1,x =2,x =3分类代入检验,符合要求的点有(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)共6个.3.不等式x 2-x -6x -1>0的解集为( )A .{x |x <-2或x >3}B .{x |x <-2或1<x <3}C .{x |-2<x <1或x >3}D .{x |-2<x <1或1<x <3} 答案 C解析 原不等式可化为(x +2)·(x -1)(x -3)>0,如图由穿根法可得该不等式的解集为{x |-2<x <1或x >3}.4.若a >0,b >0且a +b =4,则下列不等式恒成立的是( ) A .1ab >12B .1a +1b≤1C .ab ≥2D .1a 2+b 2≤18答案 D解析 ∵a >0,b >0,a +b =4,∴ab ≤a +b2=2.∴ab ≤4.∴1ab ≥14.∴1a +1b =a +b ab =4ab≥1,故A ,B ,C 均错误.故选D .5.若关于x 的不等式2x 2-8x -4-a ≥0在1≤x ≤4内有解,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≤-4 B .a ≥-4 C .a ≥-12 D .a ≤-12答案 A解析 ∵y =2x 2-8x -4(1≤x ≤4)在x =4时,取最大值-4,当a ≤-4时,2x 2-8x -4≥a 存在解.6.方程x 2+(m -2)x +5-m =0的两根都大于2,则m 的取值范围是( ) A .(-5,-4] B .(-∞,-4] C .(-∞,-2)D .(-∞,-5)∪(-5,-4] 答案 A解析 令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m , 要使f (x )=0的两根都大于2,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=m -22-45-m ≥0,f 2>0,-m -22>2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16,m >-5,m <-2⇒-5<m ≤-4.故选A .7.已知某线性规划问题的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ,3y ≥x ,x +y ≤4,则下列目标函数中,在点(3,1)处取得最小值的是( )A .z =2x -yB .z =2x +yC .z =-12x -yD .z =-2x +y答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图:A 中,由z =2x -y 得y =2x -z ,平移直线可得,当直线经过点A (3,1)时,截距最小,此时z 最大;B 中,由z =2x +y 得y =-2x +z ,平移直线可得,当直线经过点A (3,1)时,截距最大,此时z 最大;C 中,由z =-12x -y 得y =-12x -z ,平移直线可得,当直线经过点B 时,截距最大,此时z 最小;D 中,由z =-2x +y 得y =2x +z ,平移直线可得,当直线经过点A (3,1)时,截距最小,此时z 最小,满足条件.故选D .8.已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则(1-xy )(1+xy )有( ) A .最小值12和最大值1B .最小值34和最大值1C .最小值12和最大值34D .最小值1答案 B解析 ∵x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+y 222=14,当且仅当x 2=y 2=12时,等号成立,∴1-x 2y 2≥34≥0,∴34≤1-x 2y 2≤1.故(1-xy )(1+xy )有最小值34和最大值1.9.已知f (x )=(x -a )(x -b )+2(a <b ),且α,β(α<β)是方程f (x )=0的两根,则α,β,a ,b 的大小关系是( )A .a <α<β<bB .a <α<b <βC .α<a <b <βD .α<a <β<b答案 A。
2020高二数学人教A必修5练习:第三章 不等式 章末检测(B) Word版含解析
第三章 章末检测(B)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若a <0,-1<b <0,则有( )A .a >ab >ab 2B .ab 2>ab >aC .ab >a >ab 2D .ab >ab 2>a2.已知x >1,y >1,且14ln x ,14,ln y 成等比数列,则xy ( )A .有最大值eB .有最大值 eC .有最小值eD .有最小值 e3.设M =2a (a -2),N =(a +1)(a -3),则( ) A .M >N B .M ≥N C .M <N D .M ≤N4.不等式x 2-ax -12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A .(-3a,4a ) B .(4a ,-3a ) C .(-3,4) D .(2a,6a )5.已知a ,b ∈R ,且a >b ,则下列不等式中恒成立的是( )A .a 2>b 2B .(12)a <(12)bC .lg(a -b )>0 D.ab>16.当x >1时,不等式x +1x -1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[3,+∞) D .(-∞,3]7.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +2, x ≤0-x +2, x >0,则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A .[-1,1]B .[-2,2]C .[-2,1]D .[-1,2]8.若a >0,b >0,且a +b =4,则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a +1b ≤1 C.ab ≥2 D.1a 2+b 2≤189.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x -y ≥0,2x +y ≤2,y +2≥0,则目标函数z =|x +3y |的最大值为( )A .4B .6C .8D .1010.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( )A .甲先到教室B .乙先到教室C .两人同时到教室D .谁先到教室不确定11.设M =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c-1,且a +b +c =1 (其中a ,b ,c 为正实数),则M 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,18B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18,1 C .[1,8) D .[8,+∞)12.函数f (x )=x 2-2x +1x 2-2x +1,x ∈(0,3),则( )A .f (x )有最大值74 B .f (x )有最小值-1C .f (x )有最大值1D .f (x )有最小值113.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t的最小值为________________________________________________________________________. 14.对任意实数x ,不等式(a -2)x 2-2(a -2)x -4<0恒成立,则实数a 的取值范围是________.15.若不等式组⎩⎨⎧x -y +5≥0,y ≥a ,0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是________.16.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x =________吨.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知a >0,b >0,且a ≠b ,比较a 2b +b 2a与a +b 的大小.18.(12分)已知a ,b ,c ∈(0,+∞).求证:(a a +b )·(b b +c )·(c c +a )≤18.19.(12分)若a <1,解关于x 的不等式axx -2>1.20.(12分)求函数y=x+22x+5的最大值.21.(12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B 点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.22.(12分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示:第三章不等式章末检测答案(B) 1.D [∵a<0,-1<b<0,∴ab>0,ab2<0.∴ab>a,ab>ab2.∵a-ab2=a(1-b2)=a(1+b)(1-b)<0,∴a<ab2.∴a<ab2<ab.]2.C3.A [∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=(2a2-4a)-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0.∴M>N.]4.B [∵x2-ax-12a2<0(a<0)⇔(x-4a)(x+3a)<0⇔4a<x<-3a.]5.B [取a=0,b=-1,否定A、C、D选项.故选B.]6.D [∵x >1,∴x +1x -1=(x -1)+1x -1+1≥2x -11x -1+1=3.∴a ≤3.] 7.A [f (x )≥x 2⇔⎩⎨⎧ x ≤0x +2≥x 2或⎩⎨⎧x >0-x +2≥x 2⇔⎩⎨⎧x ≤0x 2-x -2≤0或⎩⎨⎧x >0x 2+x -2≤0⇔⎩⎨⎧x ≤0-1≤x ≤2或⎩⎨⎧x >0-2≤x ≤1⇔-1≤x ≤0或0<x ≤1 ⇔-1≤x ≤1.]8.D [取a =1,b =3,可验证A 、B 、C 均不正确, 故选D.]9.C [可行域如阴影,当直线u =x +3y 过A (-2,-2)时,u 有最小值(-2)+(-2)×3=-8;过B (23,23)时u 有最大值23+3×23=83.∴u =x +3y ∈[-8,83].∴z =|u |=|x +3y |∈[0,8].故选C.]10.B [设甲用时间T ,乙用时间2t ,步行速度为a ,跑步速度为b ,距离为s ,则T =s 2a +s2b =s 2a +s 2b =s ×a +b 2ab ,ta +tb =s ⇒2t =2s a +b, ∴T -2t =s a +b 2ab -2s a +b =s ×a +b 2-4ab 2ab a +b =s a -b 22ab a +b>0,故选B.]11.D [M =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1=⎝⎛⎭⎪⎫a +b +c a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b +c b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b +c c -1 =⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b +c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c +b c ≥2b a ·c a ·2a b ·c b ·2a c ·b c=8.∴M ≥8,当a =b =c =13时取“=”.]12.D [∵x ∈(0,3),∴x -1∈(-1,2), ∴(x -1)2∈[0,4),∴f (x )=(x -1)2+1x -12-1≥2x -12·1x -12-1=2-1=1.当且仅当(x -1)2=1x -12,且x ∈(0,3),即x =2时取等号,∴当x =2时,函数f (x )有最小值1.] 13.-2解析 ∵t >0,∴y =t 2-4t +1t =t +1t -4≥2-4=-2.14.-2<a ≤2解析 当a =2时,-4<0恒成立,∴a =2符合. 当a -2≠0时,则a 应满足:⎩⎨⎧a -2<0Δ=4a -22+16a -2<0解得-2<a <2.综上所述,-2<a ≤2. 15.5≤a <7解析 先画出x -y +5≥0和0≤x ≤2表示的区域,再确定y ≥a 表示的区域.由图知:5≤a <7. 16.20解析 该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,则需要购买400x次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4+4x )万元,400x ·4+4x ≥160,当1 600x=4x 即x =20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.17.解 ∵(a 2b +b 2a )-(a +b )=a 2b -b +b 2a-a=a 2-b 2b +b 2-a 2a =(a 2-b 2)(1b -1a)=(a 2-b 2)a -b ab =a -b 2a +bab又∵a >0,b >0,a ≠b ,∴(a -b )2>0,a -b >0,ab >0,∴(a 2b +b 2a )-(a +b )>0,∴a 2b +b 2a>a +b . 18.证明 ∵a ,b ,c ∈(0,+∞),∴a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,c +a ≥2ac >0,∴(a +b )(b +c )(c +a )≥8abc >0.∴abc a +b b +c c +a ≤18即(a a +b )·(b b +c )·(c c +a )≤18. 当且仅当a =b =c 时,取到“=”.19.解 不等式ax x -2>1可化为a -1x +2x -2>0.∵a <1,∴a -1<0,故原不等式可化为x -21-ax -2<0.故当0<a <1时,原不等式的解集为{x |2<x <21-a },当a <0时,原不等式的解集为{x |21-a <x <2}. 当a =0时,原不等式的解集为∅.20.解 设t =x +2,从而x =t 2-2(t ≥0), 则y =t2t 2+1.当t =0时,y =0; 当t >0时,y =12t +1t≤122t ·1t=24. 当且仅当2t =1t ,即t =22时等号成立.即当x =-32时,y max =24.21.解 (1)设DN 的长为x (x >0)米,则AN =(x +2)米. ∵DN AN =DC AM ,∴AM =3x +2x,∴S AMPN =AN ·AM =3x +22x,由S AMPN >32,得3x +22x>32.又x >0,得3x 2-20x +12>0,解得:0<x <23或x >6,即DN 长的取值范围是(0,23)∪(6,+∞).(2)矩形花坛AMPN 的面积为 y =3x +22x =3x 2+12x +12x=3x +12x+12≥23x ·12x+12=24,当且仅当3x =12x,即x =2时,矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时,矩形AMPN 的面积最小,最小值为24平方米.。
2020高中数学 第三章 不等式 阶段复习课 第3课 不等式学案 新人教A版必修5
第三课 不等式[核心速填]1.比较两实数a ,b 大小的依据a -b >0⇔a >b .a -b =0⇔a =b .a -b <0⇔a <b .2.不等式的性质3.Ax +By +C (B >0)⎩⎪⎨⎪⎧>0<0表示对应直线⎩⎪⎨⎪⎧上下方区域.4.二元一次不等式组表示的平面区域每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分就是不等式组所表示的区域. 5.两个不等式[题型探究]一元二次不等式的解法[探究问题]1.当a >0时,若方程ax 2+bx +c =0有两个不等实根α,β且α<β,则 不等式ax 2+bx +c >0的解集是什么?提示:借助函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可知,不等式的解集为{x |x <α或x >β}.2.若[探究1]中的a <0,则不等式ax 2+bx +c >0的解集是什么? 提示:解集为{x |α<x <β}.3.若一元二次方程ax 2+bx +c =0的判别式Δ=b 2-4ac <0,则ax 2+bx +c >0的解集是什么?提示:当a >0时,不等式的解集为R ;当a <0时,不等式的解集为∅.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -2>02x 2+2k +5x +5k <0的整数解只有-2,求k 的取值范围.【导学号:91432361】思路探究:不等式组的解集是各个不等式解集的交集,分别求解两个不 等式,取交集判断.[解] 由x 2-x -2>0,得x <-1或x >2.对于方程2x 2+(2k +5)x +5k =0有两个实数解x 1=-52,x 2=-k .(1)当-52>-k ,即k >52时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-k <x <-52,显然-2∉ ⎝ ⎛⎭⎪⎫-k ,-52.(2)当-k =-52时,不等式2x 2+(2k +5)x +5k <0的解集为∅.(3)当-52<-k ,即k <52时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-52<x <-k. ∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <-1,-52<x <-k ,或⎩⎪⎨⎪⎧x >2,-52<x <-k 确定.∵原不等式组整数解只有-2, ∴-2<-k ≤3,故所求k 的范围是-3≤k <2.母题探究:.(变条件,变结论)若将例题改为“已知a ∈R ,解关于x 的不 等式ax 2-2x +a <0”.[解] (1)若a =0,则原不等式为-2x <0,故解集为{x |x >0}. (2)若a >0,Δ=4-4a 2.①当Δ>0,即0<a <1时,方程ax 2-2x +a =0的两根为x 1=1-1-a 2a ,x 2=1+1-a 2a,∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1-1-a 2a <x <1+1-a 2a . ②当Δ=0,即a =1时,原不等式的解集为∅. ③当Δ<0,即a >1时,原不等式的解集为∅. (3)若a <0,Δ=4-4a 2.①当Δ>0,即-1<a <0时,原不等式的解集为错误!. ②当Δ=0,即a =-1时,原不等式可化为(x +1)2>0, ∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠-1}. ③当Δ<0,即a <-1时,原不等式的解集为R . 综上所述,当a ≥1时,原不等式的解集为∅;当0<a <1时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1-1-a 2a <x <1+1-a 2a ; 当a =0时,原不等式的解集为{x |x >0};当-1<a <0时,原不等式的解集为错误!;当a =-1时,原不等式的解集 为{x |x ∈R 且x ≠-1};当a <-1时,原不等式的解集为R . [规律方法] 不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法.①将不等式化为ax 2+bx +c >0(a >0)或ax 2+bx +c <0(a >0)的形式; ②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确 定一元二次不等式的解集.,(2)含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负,其次考 虑判别式,最后分析两根的大小,此种情况讨论是必不可少的.不等式恒成立问题已知不等式mx 2-mx -1<0.(1)若x ∈R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若x ∈[1,3]时不等式恒成立,求实数m 的取值范围;(3)若满足|m |≤2的一切m 的值能使不等式恒成立,求实数x 的取值范围.【导学号:91432362】思路探究:先讨论二次项系数,再灵活的选择方法解决恒成立问题. [解] (1)①若m =0,原不等式可化为-1<0,显然恒成立;②若m ≠0,则不等式mx 2-mx -1<0 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <0,Δ=m 2+4m <0,解得-4<m <0.综上可知,实数m 的取值范围是(-4,0]. (2)令f (x )=mx 2-mx -1,①当m =0时,f (x )=-1<0显然恒成立; ②当m >0时,若对于x ∈[1,3]不等式恒成立,只需⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0,f3<0即可,∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1=-1<0,f3=9m -3m -1<0,解得m <16,∴0<m <16.③当m <0时,函数f (x )的图象开口向下,对称轴为x =12,若x ∈[1,3]时不等式恒成立,结合函数图象(图略)知只需f (1)<0即可,解得m ∈R ,∴m <0符合题意.综上所述,实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,16. (3)令g (m )=mx 2-mx -1=(x 2-x )m -1,若对满足|m |≤2的一切m 的值不等式恒成立,则只需⎩⎪⎨⎪⎧g-2<0,g 2<0,即⎩⎪⎨⎪⎧-2x 2-x -1<0,2x 2-x -1<0,解得1-32<x <1+32.∴实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1-32,1+32.[规律方法] 对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种: 1.变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看做主元. 2.分离参数法若f (a )<g (x )恒成立,则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立,则f (a )>g (x )max . 3.数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化. 1.设f (x )=mx 2-mx -6+m ,(1)若对于m ∈[-2,2],f (x )<0恒成立,求实数x 的取值范围; (2)若对于x ∈[1,3],f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围. [解] (1)依题意,设g (m )=(x 2-x +1)m -6,则g (m )为关于m 的一次函数,且一次项系数x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34>0,所以g (m )在[-2,2]上递增, 所以欲使f (x )<0恒成立,需g (m )max =g (2)=2(x 2-x +1)-6<0, 解得-1<x <2.(2)法一:要使f (x )=m (x 2-x +1)-6<0在[1,3]上恒成立, 则有m <6x 2-x +1在[1,3]上恒成立,而当x ∈[1,3]时, 6x 2-x +1=6⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34≥69-3+1=67, 所以m <⎝⎛⎭⎪⎫6x 2-x +1min =67,因此m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,67. 法二:①当m =0时,f (x )=-6<0对x ∈[1,3]恒成立,所以m =0. ②当m ≠0时f (x )的图象的对称轴为x =12,若m >0,则f (x )在[1,3]上单调递增, 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立, 只需f (3)<0即7m -6<0, 所以0<m <67.若m <0,则f (x )在[1,3]上单调递减, 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立, 只需f (1)<0即m <6, 所以m <0.综上可知m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,67.线性规划问题已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +4y -13≤0,2y -x +1≥0,x +y -4≥0,且有无穷多个点(x ,y )使目标函数z =x +my 取得最小值,则m =________.【导学号:91432363】思路探究:先画出可行域,再研究目标函数,由于目标函数中含有参数m ,故需讨论m 的值,再结合可行域,数形结合确定满足题意的m 的值.1 [作出线性约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示.若m =0,则z =x ,目标函数z =x +my 取得最小值的最优解只有一个,不符合题意. 若m ≠0,目标函数z =x +my 可看作动直线y =-1m x +zm,若m <0,则-1m>0,数形结合知使目标函数z =x +my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个;若m >0,则-1m<0,数形结合可知,当动直线与直线AB 重合时,有无穷多个点(x ,y )在线段AB 上,使目标函数z =x +my 取得最小值,即-1m=-1,则m =1.综上可知,m =1.] [规律方法]1.线性规划在实际中的类型主要有:(1)给定一定数量的人力、物力资源,如何运用这些资源,使完成任务量最大,收到的效益最高;(2)给定一项任务,怎样统筹安排,使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.2.解答线性规划应用题的步骤:(1)列:设出未知数,列出约束条件,确定目标函数.(2)画:画出线性约束条件所表示的可行域.(3)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.(4)求:通过解方程组求出最优解.(5)答:作出答案.[跟踪训练]2.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?[解]设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧x+y≤10,0.3x+0.1y≤1.8,x≥0,y≥0,目标函数z=x+0.5y.画出可行域如图中阴影部分.作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的点M时,z取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x+y=10,0.3x+0.1y=1.8,得⎩⎪⎨⎪⎧x=4,y=6,即M(4,6).此时z=4+0.5×6=7(万元).∴当x=4,y=6时,z取得最大值,即投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.利用基本不等式求最值设函数f(x)=x+ax+1,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,求函数f(x)的最小值.【导学号:91432364】思路探究:(1)将原函数变形,利用基本不等式求解. (2)利用函数的单调性求解. [解] (1)把a =2代入f (x )=x +ax +1,得f (x )=x +2x +1=(x +1)+2x +1-1, ∵x ∈[0,+∞), ∴x +1>0,2x +1>0, ∴x +1+2x +1≥22,当且仅当x +1=2x +1, 即x =2-1时,f (x )取等号,此时f (x )min =22-1. (2)当0<a <1时,f (x )=x +1+ax +1-1若x +1+ax +1≥2a ,则当且仅当x +1=ax +1时取等号,此时x =a -1<0(不合题意), 因此,上式等号取不到.f (x )在[0,+∞)上单调递增.∴f (x )min =f (0)=a .3.某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x 元,公司拟投入16(x 2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价.[解] (1)设每件定价为t 元,依题意,有[8-(t -25)×0.2]t ≥25×8, 整理得t 2-65t +1 000≤0, 解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,x >25时,不等式ax ≥25×8+50+16(x 2-600)+15x 有解,等价于x >25时,a ≥150x +16x +15有解.∵150x +16x ≥2150x ·16x =10(当且仅当x =30时,等号成立), ∴a ≥10.2.因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的定价为每件30元.。
2020学年高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法练习新人教A版必修5
第1课时 一元二次不等式的解法1.不等式6x 2+x -2≤0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-23≤x ≤12)B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤-23或x ≥12)C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12)D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤-23)解析 因为6x 2+x -2≤0⇔(2x -1)·(3x +2)≤0,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-23≤x ≤12).答案 A2.设a <-1,则关于x 的不等式a (x -a )⎝⎛⎭⎪⎫x -1a <0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 或x >1a B.{x |x >a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >a 或x <1aD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 解析 ∵a <-1,∴a (x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0⇔(x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a >0.又a <-1,∴1a>a ,∴x >1a或x <a .答案 A3.不等式2x 2-x -1>0的解集是________.解析 由2x 2-x -1>0,得(x -1)(2x +1)>0,解得x >1或x <-12,从而得原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪(1,+∞). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪(1,+∞)4.二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R)的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y6-4-6-6-46则不等式ax 2+bx +c >0的解集是________.解析 由表格可知,函数的图象开口向上,且零点为x =-2,x =3,因此图象关于x=12对称,从而不等式ax 2+bx +c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞). 答案 (-∞,-2)∪(3,+∞)5.已知关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <-2或x >-12),则ax 2-bx +c>0的解集为________.解析 由题意,-2,-12是方程ax 2+bx +c =0的两个根且a <0,故⎩⎪⎨⎪⎧-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-b a(-2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=c a, 解得a =c ,b =52c .所以不等式ax 2-bx +c >0即为2x 2-5x +2<0, 解得12<x <2,即不等式ax 2-bx +c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2[限时45分钟;满分80分]一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2016·全国Ⅰ)设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B = A.⎝⎛⎭⎪⎫-3,-32B.⎝⎛⎭⎪⎫-3,32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,3 解析 由题意得,A ={x |1<x <3},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32),则A ∩B =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,3.答案 D2.设-1<a <0,则关于x 的不等式(x -a )(ax -1)>0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 或x >1a B.{x |x >a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a<x <aD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 解析 ∵-1<a <0,∴(x -a )(ax -1)>0可化为(x -a )·a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1a >0,∴(x -a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0.又-1<a <0,∴a >1a,∴原不等式解集为1a<x <a .答案 C3.在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ,则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围为 A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)解析 由a ⊙b =ab +2a +b ,得x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2<0, 所以-2<x <1. 答案 B4.关于x 的不等式ax -b >0的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式(ax +b )(x -3)>0的解集是A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)解析 ∵关于x 的不等式ax -b >0的解集是(1,+∞),∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a -b =0, 即⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a =b . ∴不等式(ax +b )(x -3)>0⇔a (x +1)(x -3)>0⇔(x +1)(x -3)>0⇔x <-1或x >3. 答案 A5.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <-1或x >12,则f (10x)>0的解集为A.{x |x <-1或x >lg 2}B.{x |-1<x <lg 2}C.{x |x >-lg 2}D.{x |x <-lg 2}解析 由题意可知f (x )=-(x +1)(2x -1),则f (10x)=-(10x+1)(2·10x-1)>0, 即(10x+1)(2·10x-1)<0,∵10x+1>0,∴2·10x-1<0,解得x <-lg 2. 答案 D6.(能力提升)已知f (x )=(x -a )(x -b )+2(a <b ),且α,β(α<β)是方程f (x )=0的两根,则α,β,a ,b 的大小关系是A.a <α<β<bB.a <α<b <βC.α<a <b <βD.α<a <β<b解析 ∵α,β(α<β)是方程f (x )=0的两根,∴α,β为f (x )=(x -a )(x -b )+2的图象与x 轴交点的横坐标. ∵a ,b 为(x -a )(x -b )=0的根, 令g (x )=(x -a )(x -b ),∴a ,b 为g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.由于f (x )的图象可由g (x )的图象向上平移2个单位得到,故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分,共15分)7.若0<t <1,则不等式(x -t )⎝⎛⎭⎪⎫x -1t <0的解集为________.解析 ∵0<t <1,∴1t>1,所以(x -t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1t <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t ).答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t )8.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,则不等式f (x )>x 的解集为________.解析 f (x )>x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x >x ,x >0或⎩⎪⎨⎪⎧0>x ,x =0或⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-4x >x ,x <0⇔x >5或-5<x <0.∴不等式f (x )>x 的解集为(-5,0)∪(5,+∞). 答案 (-5,0)∪(5,+∞)9.(能力提升)关于x 的不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2},则关于x 的不等式bx 2-ax -2>0的解集为________.解析 ∵ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2}, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a =-2,-b a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1,∴bx 2-ax -2>0,即x 2+x -2>0, 解得x >1或x <-2. 答案 {x |x >1或x <-2}三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.(11分)解下列关于x 的不等式: (1)(7-x )(x +2)≥0;(2)-9x 2+3x -14≥0;(3)-12x 2+2x -5>0;(4)-2x 2+3x -2<0.解析 (1)原不等式化为(x -7)(x +2)≤0, 所以-2≤x ≤7.故所求不等式的解集为{x |-2≤x ≤7}.(2)原不等式化为9x 2-3x +14≤0,即⎝⎛⎭⎪⎫3x -122≤0,所以x =16. 故所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =16. (3)原不等式化为x 2-4x +10<0,即(x -2)2+6<0,故所求不等式的解集为∅.(4)原不等式化为2x 2-3x +2>0,即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -342+78>0.所以x ∈R.故所求不等式的解集为R.11.(12分)解关于x 的不等式:ax 2+(1-a )x -1>0(a ∈R). 解析 原不等式可化为(x -1)(ax +1)>0. (1)当a =0时,原不等式为x -1>0, 所以解集为{x |x >1}. (2)当a >0时,-1a<1,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1或x <-1a .(3)当a <0时,①当-1<a <0时,-1a>1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <-1a .②当a =-1时,原不等式变为-(x -1)2>0, 所以解集为∅.③当a <-1时,-1a<1,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-1a<x <1.12.(12分)已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |α<x <β},其中β>α>0,求不等式cx 2+bx +a <0的解集.解析 ∵ax 2+bx +c >0的解集为{x |α<x <β}, ∴α,β是方程ax 2+bx +c =0的两根,且a <0.∴αβ=c a ,α+β=-b a,∴c =aαβ,b =-a (α+β). ∵cx 2+bx +a <0,∴a αβx 2-a (α+β)x +a <0. 整理,得αβx 2-(α+β)x +1>0. ∵β>α>0,∴αβ>0,1α>1β,∴x 2-⎝⎛⎭⎪⎫1α+1βx +1αβ>0.∵方程x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫1α+1βx +1αβ=0的两根为1α,1β.∴x 2-⎝⎛⎭⎪⎫1α+1βx +1αβ>0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1α或x <1β,即不等式cx2+bx +a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1α,或x <1β.。
新版高中数学人教A版必修5习题:第三章不等式 检测A(1)
第三章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有().A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N解析:∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=2a2-4a-(a2-2a-3)=2a2-4a-a2+2a+3=a2-2a+3=a2-2a+1+2=(a-1)2+2>0,∴M>N.答案:A<0的解集为().2不等式x-3x+2A.{x|-2<x<3}B.{x|x<-2}C.{x|x<-2,或x>3}D.{x|x>3}解析:原不等式等价于(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3.答案:A3若集合A={x|x2-2x>0},B={x|−√5<x<√5},则().A.A∩B=⌀B.A∪B=RC .B ⊆AD .A ⊆B解析:∵x 2-2x=x (x-2)>0,∴x<0或x>2.∴集合A 与B 在数轴上表示为由图象可以看出A ∪B=R ,故选B . 答案:B4不等式组{x ≥0,x +3y ≥6,3x +y ≤6所表示的平面区域的面积等于( ).A .32B.23C.13D.3答案:D5若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是( ). A.[0,2] B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]解析:∵2x +2y =1≥2√2x+y ,∴(12)2≥2x+y ,即2x+y ≤2-2.∴x+y ≤-2.答案:D6若变量x ,y 满足约束条件{x +y -1≤0,3x -y +1≥0,x -y -1≤0,则z =2x +y 的最大值为( ).A.1B.2C.3D.4解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,z是直线y=-2x+z在y轴上的截距,当直线y=-2x+z经过点A(1,0)时,z取最大值,此时x=1,y=0,则z的最大值是2x+y=2+0=2.答案:B7若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是().A.a2+b2>2abB.a+b≥2√abC.1a +1b>√abD.3ba +a27b≥23解析:由ab>0,得a,b同号.当a<0,b<0时,B,C不成立;当a=b时,A不成立;∵ba >0,∴3ba+a27b≥2√3ba ·a27b=23.答案:D8在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域{x-2≤0,x+y≥0, x-3y+4≥0中的点在直线x+y−2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=().A.2√2B.4C.3√2D.6解析:画出不等式组{x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0表示的平面区域如图阴影部分所示.作出直线x+y-2=0.设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C ,直线x=2与直线x+y=0的交点为D. 过C 作CA ⊥直线x+y-2=0于点A , 过D 作DB ⊥直线x+y-2=0于点B ,则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行, ∴|CD|=|AB|.由{x -3y +4=0,x +y =0,得{x =-1,y =1,∴C 点坐标为(-1,1).由{x =2,x +y =0,得{x =2,y =-2,∴D 点坐标为(2,-2).∴|CD|=√9+9=3√2,即|AB|=3√2.故选C .答案:C9已知正实数a ,b 满足4a+b=30,当1a +1b 取最小值时,实数对(a,b)是( ). A.(5,10) B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)解析:1a +1b =(1a +1b )×130×30=130(1a +1b )(4a +b)=130(5+b a +4a b) ≥130(5+2√b a ·4ab)=310, 当且仅当{ba=4ab ,4a +b =30,即{a =5,b =10时取等号.故选A .答案:A10某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A 产品,每千克A 产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ).A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱 解析:设甲车间加工原料x 箱,乙车间加工原料y 箱,由题意,得{x +y ≤70,10x +6y ≤480,x ≥0,y ≥0,x ,y ∈N ,目标函数z=280x+200y.画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,目标函数过点A 时,z 取最大值.解方程组{x +y =70,10x +6y =480,得x=15,y=55,即A (15,55).所以甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱时,甲、乙两个车间每天总获利最大. 答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知x>0,y>0,若x ,y 满足x 3+y4=1,则xy 的最大值为 . 解析:∵x>0,y>0,∴1=x3+y4≥2√x 3·y4=√33√xy,则xy ≤3,当且仅当x3=y4,即x =32,y =2时,等号成立,∴xy 的最大值为3.答案:312若x ,y 满足约束条件{y -x ≤1,x +y ≤3,y ≥1,则z =x +3y 的最大值为 .如图,作出不等式组所表示的可行域.由z=x+3y ,得y=−13x +z 3.取l 0:x+3y=0,在可行域内平移直线l 0,由图可知直线过A 点时z 最大,由{y -x =1,x +y =3,得A (1,2).所以z max =1+3×2=7. 答案:713当x>1时,log 2x 2+log x 2的最小值为 . 解析:当x>1时,log 2x>0,log x 2>0,所以log 2x 2+log x 2=2log 2x +1log 2x≥2√2log 2x ·1log 2x =2√2,当且仅当2log 2x =1log 2x,即x =2√22时,等号成立,所以log 2x 2+log x 2的最小值为2√2. 答案:2√214如果实数x ,y 满足条件{x -y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0,那么y -1x -1的取值范围是 .解析:画出可行域如图中的阴影部分所示.设P (x ,y )为可行域内的一点,M (1,1),则y -1x -1=kPM. 由于点P 在可行域内,则由图知k MB ≤k PM ≤k MA .又可得A (0,-1),B (-1,0),则k MA =2,k MB =12,则12≤k PM ≤2,即y -1x -1的取值范围是[12,2].答案:[12,2]15若不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 解析:不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立,即(a+2)x 2+4x+a-1>0对一切x ∈R 恒成立. 若a+2=0,则显然不成立;若a+2≠0,则{a +2>0,16-4(a +2)(a -1)<0⇔{a >-2,16-4(a +2)(a -1)<0⇔{a >-2,a <-3或a >2⇔a>2.答案:(2,+∞)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)解不等式组{3x -2x -6≤1,2x 2-x -1>0.解由3x -2x -6≤1得2x+4x -6≤0,∴-2≤x<6.由2x 2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,∴x>1或x<−12.∴原不等式组的解集为{x |-2≤x <-12,或1<x <6}.17(8分)某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为1 200元/m 2,房屋侧面的造价为800元/m 2,屋顶的造价为5 800元.若墙高为3 m,且不计房屋背面的费用,则建造此小房的最低总造价是多少元?解设房子的长为x m,宽为y m,总造价为t元,则xy=12,且t=3×x×1200+3×y×800×2+5800 =1200(3x+4y)+5800≥1200×2√12xy+5800=34600(当且仅当3x=4y,即x=4,y=3时,等号成立).故最低总造价是34600元.18(9分)已知函数f(x)=x2-2x-8,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.解f(x)=x2-2x-8.当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,则x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1).于是对一切x>2,均有不等式x 2-4x+7x-1≥m成立.∵x2-4x+7x-1=(x−1)+4x-1−2≥2√(x-1)·4x-1−2=2(当且仅当x=3时,等号成立), ∴实数m的取值范围是(-∞,2].19(10分)解关于x的不等式x2-(3m+1)x+2m2+m<0.解∵x2-(3m+1)x+2m2+m=(x-m)[x-(2m+1)],∴方程x2-(3m+1)x+2m2+m=0的两解是x1=m,x2=2m+1.当m<2m+1,即m>-1时,原不等式的解为m<x<2m+1;当m=2m+1,即m=-1时,原不等式无解;当m>2m+1,即m<-1时,原不等式的解为2m+1<x<m.综上所述,当m>-1时,原不等式的解集为{x|m<x<2m+1};当m=-1时,原不等式的解集为⌀;当m<-1时,原不等式的解集为{x|2m+1<x<m }.20(10分)某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元,那么{x +y ≥35000,y ≥15x ,0≤x ≤50000,y ≥0,而z=0.28x+0.9y ,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A 时,z 最小,又直线x+y=35000和直线y =15x 的交点A (875003,175003),故当x =875003,y =175003时,饲料费用最低. 答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.。
2019_2020学年高中数学阶段质量检测(三)不等式(含解析)新人教A版必修5
阶段质量检测(三) 不 等 式(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求)1.已知a <0,-1<b <0,则( )A .-a <ab <0 B .-a >ab >0C .a >ab >ab 2 D .ab >a >ab 2解析:选B ∵-1<b <0,∴-a >ab >0.2.不等式x 2-x -6<0的解集为( )A.B.(-13,12)(-12,13)C .(-3,2)D .(-2,3)解析:选D 解方程x 2-x -6=0,得x 1=3,x 2=-2,∴不等式x 2-x -6<0的解集为(-2,3).故选D.3.若不等式x 2+kx +1<0的解集为空集,则k 的取值范围是( )A .[-2,2] B .(-∞,-2]∪[2,+∞)C .(-2,2) D .(-∞,-2)∪(2,+∞)解析:选A 因为不等式x 2+kx +1<0的解集为空集,对应的二次函数开口向上,所以判别式Δ=k 2-4≤0,即k 2≤4,解得-2≤k ≤2,即k ∈[-2,2],故选A.4.若x ,y 满足约束条件则z =x -y 的最小值是( ){x ≥0,x +2y ≥3,2x +y ≤3,)A .-3B .0 C. D .332解析:选A 可行域为如图所示的阴影部分,可知z =x -y 在点A (0,3)处取得最小值,∴z 最小值=-3.5.设a ,b 是两个实数,且a ≠b ,有如下三个式子:①a 5+b 5>a 3b 2+a 2b 3,②a 2+b 2≥2(a -b -1),③+>2.其中恒成立的有( )a b baA .0个B .1个C .2个D .3个解析:选B ①a 5+b 5-(a 3b 2+a 2b 3)=a 3(a 2-b 2)+b 3(b 2-a 2)=(a 2-b 2)(a 3-b 3)=(a -b )2(a +b )(a 2+ab +b 2)>0不恒成立;②(a 2+b 2)-2(a -b -1)=a 2-2a +b 2+2b +2=(a -1)2+(b +1)2≥0恒成立;③+>2或+≤-2,③式也不恒成立.故选B.a b b a a b b a6.若直线ax +by -1=0(a >0,b >0)过曲线y =1+sin πx (0<x <2)的对称中心,则+1a的最小值为( )2bA.+1 B .422C .3+2D .62解析:选C 因为曲线y =1+sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1),所以a +b =1,+1a=·(a +b )=3++≥3+2,当且仅当=,即a =-1,b =a =2-时2b(1a +2b )b a 2a b 2b a 2ab222取等号,因此+的最小值是3+2,故选C.1a 2b27.已知点(x ,y )是如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点,若目标函数z =x +ay 取最小值时,其最优解有无数个,则的最大值是( )y x -aA. B. C. D.25132723解析:选A 目标函数z =x +ay 可化为y =-x +z ,由题意知,当a <0,且直线y =-1a 1ax +z 与直线AC 重合时,符合题意,此时k AC ==1,所以-=1,a =-1,而=1a 1a 2-04-21a y x -a 表示过可行域内的点(x ,y )与点(-1,0)的直线的斜率,显然过点C (4,2)与点(-1,0)y -0x +1的直线的斜率最大,即=.2-04-(-1)258.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m 的{x +y -2≤0,x +2y -2≥0,x -y +2m ≥0)43值为( )A .-3B .1 C. D .343解析:选B 作出可行域,如图中阴影部分所示,易求A ,B ,C ,D 的坐标分别为A (2,0),B (1-m ,1+m ),C (,),2-4m 32+2m3D (-2m ,0).S △ABC =S △ADB -S △ADC =|AD |·|y B -y C |=(2+2m )1212(1+m -2+2m3)=(1+m )=,(1+m -23)43解得m =1或m =-3(舍去).9.已知a ,b ,c ∈R ,a +b +c =0,abc >0,T =++,则( )1a 1b 1cA .T >0B .T <0C .T =0D .T ≥0解析:选B 法一:取特殊值,a =2,b =c =-1,则T =-<0,排除A 、C 、D ,可知32选B.法二:由a +b +c =0,abc >0,知三数中一正两负,不妨设a >0,b <0,c <0,则T =++===.1a 1b 1c ab +bc +ca abc ab +c (b +a )abc ab -c 2abc∵ab <0,-c 2<0,abc >0,故T <0.10.若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈(0,]都成立,则a 的最小值为( )12A .0B .-2C .-3D .-52解析:选D 由对一切x ∈(0,],不等式x 2+ax +1≥0都成立,12所以ax ≥-x 2-1,即a ≥-x -.1x设g (x )=-x -,只需a ≥g (x )max ,1x而g (x )=-x -在x ∈(0,]上是增函数,1x 12所以g (x )=-x -的最大值是g ()=-.1x 125211.已知点P (x ,y )满足Error!,则(x -1)2+y 2的取值范围是( )A. B.[12,9)[12,9]C .[1,9)D.[12,3)解析:选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(不包含x 轴),(x -1)2+y 2可看成阴影部分的点(x ,y )到点A (1,0)的距离的平方.易得点A 到直线x -y =0的距离为,22点A 到点B (-2,0)的距离为3,设阴影部分的点到点A 的距离为d ,则≤d <3,所以≤(x -22121)2+y 2<9,故选A.12.已知x >0,y >0.若+>m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )2yx8xyA .m ≥4或m ≤-2B .m ≥2或m ≤-4C .-2<m <4D .-4<m <2解析:选D ∵x >0,y >0,∴+≥8.2yx8xy(当且仅当2yx=8xy时取“=”)若+>m 2+2m 恒成立,则m 2+2m <8,解之得-4<m <2.2y x 8xy二、填空题13.已知不等式x 2-ax -b <0的解集为(2,3),则不等式bx 2-ax -1>0的解集为________.解析:方程x 2-ax -b =0的根为2,3.根据根与系数的关系得:a =5,b =-6.所以不等式为6x 2+5x +1<0,解得解集为.(-,-)答案: (-,-)14.已知x >-1,则函数y =的最小值为________.x +10 x +2x +1解析:由x >-1,得x +1>0,则y ==[ x +1 +9][ x +1 +1]x +1=(x +1)++10≥6+10=16,当且仅当x +1=,即x =x +1 2+10 x +1 +9x +19x +19x +12时等号成立,所以y min =16.答案:1615.若关于x 、y 的不等式组表示的平面区域是一个三角形,则k{|x |+|y |≤2,y +2≤k (x +1))的取值范围是________.解析:不等式|x |+|y |≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD及其内部.直线y +2=k (x +1)过定点P (-1,-2),斜率为k ,要使平面区域表示一个三角形,则k PD <k ≤k PA 或k <k PC .而k PD =0,k PA ==,0-(-2)2-(-1)23k PC ==-2,故0<k ≤或k <-2.0-(-2)(-2)-(-1)23答案:(0,]∪(-∞,-2)2316.若不等式≤a ≤在t ∈(0,2]上恒成立,则a 的取值范围是________.tt 2+9t +2t 2解析:=,而y =t +在(0,2]上单调递减,故t +≥2+=,=≤tt 2+91t +9t 9t 9t 92132t t 2+91t +9t(当且仅当t =2时等号成立),因为≥,所以=+=2(+)2-≥1(当且仅当t =2131t 12t +2t 21t 2t 21t 14182时等号成立),故a 的取值范围为[,1].213答案:[,1]213三、解答题17.(本小题10分)已知集合A =x 2x 2-2x -3<3(x -1),B =12,又A ∩B =,求a +b 的值.{x |log 13 9-x 2 <log 136-2x }{x |x 2+ax +b <0}解:由2x 2-2x -3<3(x -1)=23-3x ,得x 2+x -6<0,12所以-3<x <2,故A =.{x |-3<x <2}由集合B 可得:Error!解得-1<x <3,B =,{x |-1<x <3}A ∩B =,{x |-1<x <2}所以方程x 2+ax +b =0的两个根为-1和2,则a =-1,b =-2,所以a +b =-3.18.(本小题12分)已知函数y =的定义域为R.ax 2+2ax +1(1)求a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式x 2-x -a 2+a <0.解:(1)因为函数y =的定义域为R.ax 2+2ax +1所以ax 2+2ax +1≥0,恒成立.①当a =0时,1≥0恒成立;②当a ≠0时,则{a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,)解得0<a ≤1.综上,a 的取值范围为[0,1].(2)由x 2-x -a 2+a <0得,(x -a )[x -(1-a )]<0.因为0≤a ≤1,所以①当1-a >a ,即0≤a <时,12a <x <1-a ;②当1-a =a ,即a =时,(x -)2<0,不等式无解;1212③当1-a <a ,即<a ≤1时,1-a <x <a .12综上所述,当0≤a <时,解集为(a ,1-a );12当a =时,解集为∅;12当<a ≤1时,解集为(1-a ,a ).1219.(本小题12分)已知函数f (x )=ax 2+a 2x +2b -a 3,当x ∈(-2,6)时,其值为正,而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时,其值为负.(1)求实数a ,b 的值及函数f (x )的解析式;(2)设F (x )=-f (x )+4(k +1)x +2(6k -1),问k 取何值时,函数F (x )的值恒为负值?k4解:(1)由题意可知-2和6是方程f (x )=0的两根,∴∴{-a =-2+6=4,2b -a 3a=-2×6=-12.){a =-4,b =-8.)∴f (x )=-4x 2+16x +48.(2)F (x )=-(-4x 2+16x +48)+4(k +1)x +2(6k -1)=kx 2+4x -2.k4当k =0时,F (x )=4x -2不恒为负值;当k ≠0时,若F (x )的值恒为负值,则有解得k <-2.{k <0,16+8k <0,)20.(本小题12分)一个农民有田2亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为400千克;若种花生,则每亩每期产量为100千克,但水稻成本较高,每亩每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可卖5元,稻米每千克只卖3元,现在他只能凑足400元,问这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?解:设水稻种x 亩,花生种y 亩,则由题意得即画出可行域如图阴影部分所示.{x +y ≤2,240x +80y ≤400,x ≥0,y ≥0.){x +y ≤2,3x +y ≤5,x ≥0,y ≥0,)而利润P =(3×400-240)x +(5×100-80)y =960x +420y (目标函数),可联立得交点B (1.5,0.5).故当x =1.5,y =0.5时,{x +y =2,3x +y =5,)P 最大值=960×1.5+420×0.5=1 650,即水稻种1.5亩,花生种0.5亩时所得到的利润最大.21.(本小题12分)已知函数f (x )=x 2-2x -8,g (x )=2x 2-4x -16,(1)求不等式g (x )<0的解集;(2)若对一切x >2,均有f (x )≥(m +2)x -m -15成立,求实数m 的取值范围.解:(1)g (x )=2x 2-4x -16<0,∴(2x +4)(x -4)<0,解得-2<x <4,∴不等式g (x )<0的解集为.{x |-2<x <4}(2)∵f (x )=x 2-2x -8.当x >2时,f (x )≥(m +2)x -m -15恒成立,∴x 2-2x -8≥(m +2)x -m -15,即x 2-4x +7≥m (x -1).∴对一切x >2,均有不等式≥m 成立.x 2-4x +7x -1而=(x -1)+-2x 2-4x +7x -14x -1≥2-2=2(当且仅当x =3时等号成立),(x -1)×4x -1∴实数m 的取值范围是(-∞,2].22.(本小题12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元,该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?解:(1)设该船捕捞n 年后的总盈利为y 万元,则y =50n -98-[12×n +×4]n (n -1)2=-2n 2+40n -98=-2(n -10)2+102.所以当捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.(2)年平均利润为=-2(n +-20)≤-2·(2-20)=12,当且仅当n =,yn49nn ·49n49n即n =7时“=”成立.所以,当捕捞7年后年平均利润最大,最大是12万元.。
2019-2020学年人教A版数学必修五阶段质量检测(三) Word版含答案
阶段质量检测(三) (A 卷 学业水平达标) (时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式(x +3)2<1的解集是( ) A .{x |x >-2} B .{x |x <-4} C .{x |-4<x <-2}D .{x |-4≤x ≤-2}解析:选C 原不等式可化为x 2+6x +8<0, 解得-4<x <-2.2.关于x 的不等式mx 2+8mx +28<0的解集为{x |-7<x <-1},则实数m 的值是( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选D ∵不等式mx 2+8mx +28<0的解集为{x |-7<x <-1},∴-7,-1是方程mx 2+8mx +28=0的两个根,且m >0,∴⎩⎪⎨⎪⎧-7-1=-8mm,--=28m,∴m =4.3.下列命题中正确的是( ) A .a >b ⇒ac 2>bc 2B .a >b ⇒a 2>b 2C .a >b ⇒a 3>b 3D .a 2>b 2⇒a >b解析:选C 选项A 中,当c =0时,ac 2=bc 2,所以A 不正确; 选项B 中,当a =0,b =-1时,a >b ,但a 2<b 2,所以B 不正确; 选项D 中,当a =-2,b =-1时,a 2>b 2,但a <b ,所以D 不正确. 很明显C 正确.4.(湖北高考)若变量x ,y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x +y≤4,x -y≤2,x≥0,y≥0, 则 2x +y 的最大值是( )A .2B .4C .7D .8解析:选C 由题意作出可行域如图中阴影部分所示,由⎩⎪⎨⎪⎧x +y =4,x -y =2⇒A (3,1).故2x +y 的最大值为7.5.设x ,y 为正数,则(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y 的最小值为( ) A .6 B .9 C .12D .15解析:选B x ,y 为正数,(x +y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y =1+4+y x +4x y ≥9,当且仅当y =2x 时等号成立. 6.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧-->10,x2+7x +12≤0的解集为( ) A . B . C .D .∅解析:选A⎩⎪⎨⎪⎧-->10x2+7x +12≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x -3<-5++⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <-2-4≤x≤-3⇒-4≤x ≤-3.7.已知a ,b ,c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是( ) A .ab >ac B .c (b -a )>0 C .cb 2<ab 2D .a (a -b )>0解析:选C 由已知可得,c <0,a >0,b 不一定,若b =0时,C 不一定成立,故选C.8.在如图所示的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数z =x +ay 取得最小值的最优解有无数个,则a 的一个可能值是( )A .-3B .3C .-1D .1解析:选A 若最优解有无数个,则y =-1a x +z a 与其中一条边平行,而三边的斜率分别为13,-1,0,与-1a对照可知a =-3或1,又z =x +ay 取得最小值,则a =-3.9.如果a <b <0,那么下列不等式成立的是( )A.1a <1b B .ab <b 2C .-ab <-a 2D .-1a <-1b解析:选D 对于A ,1a -1b =b -aab ,因为b -a >0,ab >0,所以1a -1b >0,故1a >1b ,故A 错,D 正确.对于B ,ab -b 2=b (a -b ), 因为b <0,a -b <0,所以ab -b 2>0,故ab >b 2,故B 错. 对于C ,a 2-ab =a (a -b ), 因为a <0,a -b <0,所以a 2-ab >0,故-ab >-a 2,故C 错.10.(福建高考)若直线y =2x 上存在点(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x≥m,则实数m 的最大值为( )A .-1B .1 C.32D .2解析:选B 如图所示.约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x≥m表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线x =m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的位置时,m 取最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3=0,y =2x ,得A 点坐标为(1,2),∴m 的最大值是1,故选B.11.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x -y -2≤0,x -y≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最大值为4,则ab的取值范围是( )A .(0,4)B .(0,4]C ..12.若正数a ,b 满足a +b =2,则1a +1+4b +1的最小值是( ) A .1 B.94 C .9 D .16解析:选B 1a +1+4b +1=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1+4b +1=14⎝⎛⎭⎪⎫1+4+b +1a +1++b +1≥14(5+24)=94,当且仅当b +1a +1=+b +1,即a =13,b =53时取等号,故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中的横线上) 13.若实数a >b ,则a 2-ab ________ba -b 2.(填不等号) 解析:a 2-ab -ba +b 2=(a -b )2. ∵a >b ,∴(a -b )2>0,∴a 2-ab >ba -b 2. 答案:>14.不等式2x 2+2x -4≤12的解集为________.解析:由已知得2x 2+2x -4≤2-1, 所以x 2+2x -4≤-1,即x 2+2x -3≤0,解得-3≤x ≤1. 答案:{x |-3≤x ≤1}15.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如面积为93平图),考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素,要求设计其横断面的方米,且高度不低于3米,记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y 米,若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x =________.解析:设横断面的高为h ,由题意得AD =BC +2·x 2=BC +x ,h =32x ,∴93=12(AD +BC )h =12(2BC +x )·32x ,故BC =18x -x2,由⎩⎪⎨⎪⎧h =32x≥ 3,BC =18x -x2>0,得2≤x <6,∴y =BC +2x =18x +3x2(2≤x <6), 从而y =18x +3x2≥2 18x ·3x2=63, 当且仅当18x =3x2(2≤x <6),即x =23时等号成立.答案:2 316.设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y≤10,2x +y≥3,0≤x≤4,y≥1表示的平面区域,则D 中的点P (x ,y )到直线x +y =10的距离的最大值是________.解析:画出可行域,由图知最优解为A (1,1),故A 到x +y =10的距离为d =4 2.答案:4 2三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知a >b >0,试比较a2+b2a2-b2与a +ba -b的大小.解:因为a2+b2a2-b2-a +b a -b =-2aba2-b2,又因为a >b >0,所以a 2>b 2>0⇒a 2-b 2>0,且-ab <0, 即-2ab a2-b2<0,所以a2+b2a2-b2<a +ba -b. 18.(本小题满分12分)解下列关于x 的不等式: (1)1<x 2-3x +1<9-x ; (2)x -ax -a2<0(a ∈R). 解:(1)∵1<x 2-3x +1<9-x , ∴x 2-3x +1>1且x 2-3x +1<9-x . ∴x >3或x <0且-2<x <4. ∴-2<x <0或3<x <4.∴原不等式1<x 2-3x +1<9-x 的解集为 {x |-2<x <0或3<x <4}. (2)原不等式等价于(x -a )(x -a 2)<0.①当a =0时,原不等式为x 2<0,∴x ∈∅. ②当a =1时,原不等式为(x -1)2<0,∴x ∈∅. ③当0<a <1时,a >a 2,∴原不等式的解集为{x |a 2<x <a }. ④当a <0或a >1时,a 2>a , ∴原不等式的解集为{x |a <x <a 2}.综上,当a =0或a =1时的不等式的解集为∅; 当0<a <1时,不等式的解集为{x |a 2<x <a }; 当a <0或a >1时,不等式的解集为{x |a <x <a 2}.19.(本小题满分12分)已知关于x 的不等式kx 2-2x +6k <0(k ≠0). (1)若不等式的解集是{x |x <-3或x >-2},求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围. 解:(1)因为不等式的解集为 {x |x <-3或x >-2},所以-3,-2是方程kx 2-2x +6k =0的两根, 且k <0 .由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧--=6,-+-=2k,解得k =-25.(2)因为不等式的解集为R ,所以⎩⎪⎨⎪⎧k <0,Δ=4-4k·6k<0,即⎩⎪⎨⎪⎧k <0,k >66或k <-66.所以k <-66. 即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-66. 20.(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解:设矩形温室的左侧边长为a m ,后侧边长为b m , 则ab =800. 蔬菜的种植面积S =(a -4)(b -2)=ab -4b -2a +8=808-2(a +2b ).S ≤808-42ab =648(m 2),当且仅当a =2b ,即a =40 m ,b =20 m 时,S 最大值=648 m 2.所以当矩形温室的左侧边长为40 m ,后侧边长为20 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为648 m 2. 21.(本小题满分12分)一个农民有2亩田,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为400千克;若种花生,则每亩每期产量为100千克,但水稻成本较高,每亩每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可卖5元,稻米每千克只卖3元,现在他只能凑足400元,问:这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?解:设种水稻x 亩,种花生y 亩,则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x +y≤2,240x +80y≤400,x≥0,y≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y≤2,3x +y≤5,x≥0,y≥0,画出可行域如图阴影部分所示.而利润P =(3×400-240)x +(5×100-80)y =960x +420y (目标函数),可联立⎩⎪⎨⎪⎧x +y =2,3x +y =5,得交点B (1.5,0.5).故当x =1.5,y =0.5时,P 最大值=960×1.5+420×0.5=1 650,即种水稻1.5亩,种花生0.5亩时,所得到的利润最大.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2-2x -8,g (x )=2x 2-4x -16. (1)求不等式g (x )<0的解集;(2)若对一切x >2,均有f (x )≥(m +2)x -m -15成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)g (x )=2x 2-4x -16<0, ∴(2x +4)(x -4)<0,∴-2<x <4, ∴不等式g (x )<0的解集为{x |-2<x <4}. (2)∵f (x )=x 2-2x -8,当x >2时,f (x )≥(m +2)x -m -15恒成立, ∴x 2-2x -8≥(m +2)x -m -15, 即x 2-4x +7≥m (x -1). ∴对一切x >2,均有不等式x2-4x +7x -1≥m 成立.而x2-4x +7x -1=(x -1)+4x -1-2≥2-4x -1-2=2(当且仅当x =3时等号成立),∴实数m 的取值范围是(-∞,2].(B 卷 能力素养提升)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式x 2-(2a +1)x +a 2+a <0的解集为( ) A .(1,a +2) B .(a ,a +1)C .(-∞,a )∪(a +1,+∞)D .(-∞,1)∪(a +2,+∞)解析:选B x 2-(2a +1)x +a 2+a =·(x -a )<0,因为a +1>a ,所以原不等式的解集为(a ,a +1). 2.设M =2a (a -2),N =(a +1)(a -3),则有( ) A .M >N B .M ≥N C .M <ND .M ≤N解析:选A 因为M -N =2a 2-4a -(a 2-2a -3)=a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,所以M >N . 3.如图所示的阴影部分表示的区域用二元一次不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≥0,x -2y +2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -1≤0,x -2y +2≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -1≥0,x -2y +2≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≤0,x -2y +2≥0解析:选A 由题意知(1,0)在阴影区域,故把(1,0)代入A ,B ,C ,D ,得B ,C 不成立.(1,1)也在阴影区域,把(1,1)代入A ,D ,得A 成立,D 不成立.4.已知0<x <1,a =2x ,b =1+x ,c =11-x ,则其中最大的是( )A .aB .bC .cD .不确定解析:选C 因为1+x ≥2x ,11-x -(1+x )=x21-x >0,所以c =11-x最大.5.已知a ,b ,c ∈R ,给出下列命题:①若a >b ,则ac 2>bc 2;②若ab ≠0,则a b +b a ≥2;③若a >|b |,则a 2>b 2.其中真命题的个数为( )A .3B .2C .1D .0解析:选C 当c =0时,ac 2=bc 2=0,故①为假命题;当a 与b 异号时,a b <0,b a <0,故②为假命题;因为a >|b |≥0,所以a 2>b 2,故③为真命题.6.在关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0的解集中恰有两个整数,则a 的取值范围是( ) A .(3,4) B .(-2,-1)∪(3,4) C .(3,4]D .解析:选D 由题意得,原不等式为(x -1)(x -a )<0.当a >1时,解得1<x <a ,此时解集中的整数为2,3,则3<a ≤4;当a <1时,解得a <x <1,此时解集中的整数为0,-1,则-2≤a <-1.故a ∈.7.若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈(0,+∞)都成立,则a 的最小值是( ) A .0 B .-2 C .-3D .-52解析:选B 原不等式可化为a ≥-x -1x,因为-x -1x ≤-2,当且仅当x =1时等号成立,所以a ≥-2,则a 的最小值为-2.8.(重庆高考)若log 4(3a +4b )=log 2ab ,则a +b 的最小值是( ) A .6+2 3 B .7+2 3 C .6+4 3D .7+4 3解析:选D 因为log 4(3a +4b )=log 2ab , 所以log 4(3a +4b )=log 4(ab ),即3a +4b =ab ,且⎩⎪⎨⎪⎧3a +4b>0,ab>0,即a >0,b >0,所以4a +3b=1(a >0,b >0),a +b =(a +b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +3b=7+4b a +3ab≥7+24b a ·3ab=7+43, 当且仅当4b a =3ab时取等号,选D.9.已知不等式组⎩⎨⎧3x≥y≥0,x +ay≤2(a >0)表示的平面区域的面积是32,则a 等于( )A. 3 B .3 C. 2D .2解析:选A 将已知中不等式组转化为⎩⎪⎨⎪⎧x≥0,y≥0,3x -y≥0,x +ay -画出平面区域如图,可知该区域是一个三角形,底边OM =2,设高为h ,其面积等于12·2h =32,所以h =32.解方程组⎩⎨⎧3x =y ,x +ay =2得y =2a +33,所以2a +33=32,解得a = 3. 10.若不等式ax 2+bx +c >0的解集为(-2,1),则不等式ax 2+(a +b )x +c -a <0的解集为( ) A .{x |x <- 3 或x >3} B .{x |-3<x <1} C .{x |-1<x <3} D .{x |x <-3或x >1}解析:选D 由已知得方程ax 2+bx +c =0的两个根分别为x 1=-2,x 2=1且a <0,∴b a =1,c a =-2,∴不等式ax 2+(a +b )x +c -a <0可化为x 2+⎝⎛⎭⎪⎫1+b ax +c a-1>0,即x 2+2x -3>0,解得x <-3或x >1. 11.y =3+x +x21+x (x >0)的最小值是( )A .2 3B .-1+2 3C .1+2 3D .-2+2 3解析:选B y =3+x +x21+x =31+x +x =31+x +x +1-1≥23-1,当且仅当31+x =1+x 即x =3-1时取等号,此时y 有最小值23-1.12.已知点M (x ,y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1,x -y +1≥0,2x -y -2≤0,若ax +y 的最小值为3,则a 的值为( )A .1B .2C .3D .4解析:选C 由各选项知a 取正值,设ax +y =z ,结合图形易得当直线y =-ax +z 过点(1,0)时,ax +y 取得最小值,a =3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中的横线上) 13.设a >0,-1<b <0,则a ,ab ,ab 2三者的大小关系为________. 解析:∵-1<b <0, ∴b <b 2<1.又a >0,∴ab <ab 2<a .该题也可用特例法做出判断: 如取a =1,b =-12.则ab =-12,ab 2=14,显然ab <ab 2<a . 答案:ab <ab 2<a14.已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则16x +4y的最小值为________.解析:因为a ⊥b ,所以a ·b =(x -1,2)·(4,y )=4x -4+2y =0,即4x +2y =4,则 16x +4y =24x+22y≥224x·22y=224x +2y =224=8,当且仅当x =12,y =1时等号成立.答案:815.若x >0,y >0,2x +1y=1,且x +2y >m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是________.解析:因为x >0,y >0,且2x +1y =1,所以x +2y =(x +2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +1y =4+4y x +x y ≥4+4=8,要使x +2y >m2+2m 恒成立,须使m 2+2m <8,解得-4<m <2.答案:(-4,2)16.规定记号“⊙”表示一种运算,定义a ⊙b =ab +a +b (a ,b 为正实数),若1⊙k <3,则k 的取值范围为________.解析:由题意得k +1+k <3,即(k +2)(k -1)<0,且k >0,因此k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知a >b >0,d >c >0,求证:a c >bd .证明:a c -b d =ad -bc cd.∵a >b >0,d >c >0,∴ad >bc ,cd >0,即ad -bc >0,cd >0. ∴a c -b d >0,即a c >b d. 18.(本小题满分12分)若不等式ax 2+5x -2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x<2,(1)求a 的值;(2)求不等式ax 2-5x +a 2-1>0的解集.解:(1)依题意,可知方程ax 2+5x -2=0的两个实数根为12和2,由根与系数的关系得:12+2=-5a,解得:a =-2.(2)由(1)知不等式ax 2-5x +a 2-1>0化为2x 2+5x -3<0,解得-3<x <12,即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x -3<x<12.19.(本小题满分12分)解关于x 的不等式:ax 2-(a +2)x +2<0. 解:(1)当a =0时,原不等式可化为-2x +2<0,即-x +1<0,即x >1;(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2a <0,①若a <0,则原不等式可化为(x -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2a >0, 由于2a <0,则2a <1,故解得x <2a或x >1;②若a >0,则原不等式可化为(x -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2a <0,则有ⅰ.当a >2时,则有2a <1,故解得2a <x <1;ⅱ.当a =2时,则有2a =1,故此时不等式无解;ⅲ.当0<a <2时,则有2a >1,故解得1<x <2a .综上分析,得原不等式的解集为:当a <0时,解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx<2a 或x>1; 当a =0时,解集为{x |x >1};当0<a <2时,解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x1<x<2a ;当a =2时,解集为∅;当a >2时,解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2a <x<1.20.(本小题满分12分)设z =2x +y ,变量x ,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x -4y≤-3,3x +5y≤25,x≥1.(1)求z 的最大值z max 与最小值z min ;(2)已知a >0,b >0,2a +b =z min ,求1a +1b 的最小值及此时a ,b 的值.解:(1)满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x -4y≤-3,3x +5y≤25,x≥1的可行域如图,将目标函数z =2x +y 变形为y =-2x +z ,它表示斜率为-2的直线,观察图形,可知当直线过点A 时,z 取得最大值,当直线过点B 时,z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧x -4y +3=0,3x +5y -25=0解得A (5,2),所以z max =12,由⎩⎪⎨⎪⎧x -4y +3=0,x =1解得B (1,1),所以z min =3,(2)∵2a +b =3,∴1a +1b =13(2a +b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =1+2a 3b +b 3a ≥1+22a 3b ·b 3a =1+223, 当且仅当2a 3b =b 3a ,即a =6-322,b =32-3时,等号成立.∴1a +1b 的最小值为1+223,此时a =6-322,b =32-3.21.(本小题满分12分)关于x 的方程x 2-2(m +2)x +m 2-1=0. (1)m 为何实数时,方程有两正实数根?(2)m 为何实数时,方程有一个正实数根、一个负实数根? 解:法一:(1)由已知,得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ=b2-4ac =+--,x1+x2=m +,x1x2=m2-1>0,解得-54≤m <-1或m >1,即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-54,-1∪(1,+∞). (2)由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0,x1x2=m2-1<0,解得-1<m <1.所以m 的取值范围是(-1,1).法二:(1)设f (x )=x 2-2(m +2)x +m 2-1, 因为方程有两正实数根, 所以函数图象如图所示, 则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,-b2a =m +2>0,=m2-1>0.解得m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-54,-1∪(1,+∞).(2)因为方程有一正实数根、一负实数根,则函数图象如图所示,由题意知,满足f (0)<0⇒m 的取值范围是(-1,1).22.(本小题满分12分)某餐馆一天中要购买A ,B 两种蔬菜,A 、B 蔬菜每斤的单价分别为2元和3元.根据需要,A 蔬菜至少要买6斤,B 蔬菜至少要买4斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元.(1)写出一天中A 蔬菜购买的斤数x 和B 蔬菜购买的斤数y 之间的不等式组;(2)在给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面区域(用阴影表示),并求出它的面积. 解:(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y≤60,x≥6,y≥4.(2)画出的平面区域如图,A (6,4),由⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y =60,x =6,求得C (6,16),由⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y =60y =4求得B (24,4),∴S △ABC =12AB ·AC =12×18×12=108.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5练习:第三章 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时 一元二次不等式的应
一、选择题1.不等式ax 2+5x +c >0的解集为{x |13<x <12},则a 、c 的值.( ) A .a =6,c =1B .a =-6,c =-1C .a =1,c =1D .a =-1,c =-6解析:由题意知,方程ax 2+5x +c =2的两根为x 1=13,x 2=12由根与系数的关系得x 1+x 2=13+12=-5a, x 1·x 2=13×12=c a. 解得a =-6,c =-1答案:C2.(2012·湖南师大附中月考)若关于x 的不等式ax -b >0的解集为(1,+∞),则关于x 的不等式ax +b x -2>0的解集为( ) A .(-1,2)B .(-∞,-1)∪(2,+∞)C .(1,2)D .(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:因为关于x 的不等式ax -b >0的解集为(1,+∞),所以a >0,且b a=1,即a =b ,所以关于x 的不等式ax +b x -2>0可化为x +1x -2>0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞). 答案:B3.不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x )的图象为()解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a<0,-2+1=1a ,-2×1=-c a,解得a =-1,c =-2,则函数y =f (-x )=-x 2+x +2.答案:C4.对于任意实数x ,不等式(a -2)x 2-2(a -2)x -4<0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,2)B .(-∞,2]C .(-2,2)D .(-2,2]解析:当a -2≠0时,错误!⇔错误!⇔-2<a <2.当a -2=0时,-4<0恒成立.综上所述,-2<a ≤2.答案:D二、填空题5.若方程x 2+(m -3)x +m =0有实数解,则m 的取值范围为________.解析:方程x 2+(m -3)x +m =0有实数解,则Δ=(m -3)2-4m ≥0,解得:m ≤1或m ≥9,答案:{m |m ≤1或m ≥9}6.若集合A ={x |ax 2-ax +1<0}=∅,则实数a 的值的集合为________.解析:(1)当a =0时,满足题意;(2)当a ≠0时,应满足⎩⎪⎨⎪⎧a>0,Δ≤0,解得0<a ≤4. 综上可知,a 值的集合为{a |0≤a ≤4}.答案:[0,4]7.用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗?________(用“能”或“不能”填空);若“能”,当长、宽分别为________m ,________m(若不能,此处不填)时,所围成的矩形的面积最大.解析:设矩形一边的长为x m ,则另一边的长为(50-x ) m,0<x <50.由题意,得x (50-x )>600,即x 2-50x +600<0,解得20<x <30.所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成一个面积大于600 m 2的矩形.用S 表示矩形的面积,则S =x (50-x )=-(x -25)2+625(0<x <50).当x =25时,S 取得最大值,此时50-x =25.即当矩形的长、宽都为25 m 时,所围成的矩形的面积最大.答案:能 25 258.函数f (x )=1ax2+3ax +1的定义域是R ,则实数a 的取值范围为________. 解析:由已知f (x )的定义域是R.所以不等式ax 2+3ax +1>0恒成立.(1)当a =0时,不等式等价于1>0,显然恒成立;(2)当a ≠0时,则有⎩⎪⎨⎪⎧a>0,Δ<0⇔错误!⇔错误!⇔0<a <错误!.由(1),(2)知,0≤a <49. 答案:{a |0≤a <49} 三、解答题9.(2012·亳州高二检测)若不等式(1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-3<x <1}.(1)解不等式2x 2+(2-a )x -a >0;(2)b 为何值时,ax 2+bx +3≥0的解集为R?解:(1)由题意知1-a <0,且-3和1是方程(1-a )x 2-4x +6=0的两根,∴⎩⎨⎧ 1-a<0,41-a=-2,61-a =-3,解得a =3.∴不等式2x 2+(2-a )x -a >0,即为2x 2-x -3>0,解得x <-1或x >32. ∴所求不等式的解集为{x |x <-1或x >32}. (2)ax 2+bx +3≥0,即为3x 2+bx +3≥0,若此不等式解集为R ,则b 2-4×3×3≤0,∴-6≤b ≤6.10.某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ,年用电量为a 千瓦时.本年度计划将电价降价到0.55元/ kW ·h 至0.75元/ kW ·h 之间,而用户期望电价为0.4元/ kW ·h .经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式;(2)设k =0.2a ,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价).解:(1)设下调后的电价为x 元/ kW ·h ,依题意知,用电量增至k x -0.4+a ,电力部门的收益为 y =⎝⎛⎭⎫k x -0.4+a (x -0.3)(0.55≤x ≤0.75). (2)依题意,有错误!整理,得⎩⎪⎨⎪⎧x2-1.1x +0.3≥0,0.55≤x≤0.75. 解此不等式,得0.60≤x ≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/ kW·h时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.。
2020_2021学年高中数学第三章不等式单元质量评估测评2含解析新人教A版必修5
第三章单元质量评估(二)时间:120分钟 满分:150分一、选择题(每小题5分,共60分)1.设M =2a (a -2),N =(a +1)(a -3),则有( A ) A .M >N B .M ≥N C .M <N D .M ≤N解析:因为M -N =2a 2-4a -(a 2-2a -3)=a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,所以M >N . 2.下列命题中正确的是( C ) A .a >b ⇒ac 2>bc 2B .a >b ⇒a 2>b 2C .a >b ⇒a 3>b 3 D .a 2>b 2⇒a >b解析:选项A 中,当c =0时,ac 2=bc 2,所以A 不正确;选项B 中,当a =0,b =-1时a >b ,但a 2<b 2,所以B 不正确;选项D 中,当a =-2,b =-1时,a 2>b 2,但a <b ,所以D 不正确.很明显C 正确.3.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧21-x,x ≤1,1-log 2x ,x >1,则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( D )A .[-1,2]B .[0,2]C .[1,+∞) D.[0,+∞) 解析:当x ≤1时,由21-x≤2,知x ≥0,即0≤x ≤1.当x >1时,由1-log 2x ≤2,知x ≥12,即x >1,∴满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0,+∞).4.函数y =3x 2+6x 2+1的最小值是( D ) A .32-3 B .-3 C .6 2 D .62-3 解析:y =3⎝⎛⎭⎪⎫x 2+2x 2+1=3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1+2x 2+1-1≥3(22-1)=62-3.(当且仅当x 2+1=2时等号成立)5.当点(x ,y )在直线x +3y -2=0上移动时,3x +27y+1的最小值是( D ) A .339 B .1+2 2 C .6 D .7解析:由题意知x +3y =2,3x +27y +1≥23x ·27y +1=23x ·33y +1=23x +3y+1=2×3+1=7.6.若函数f (x )=log 2(x 2-2ax -a )的定义域为R ,则a 的取值范围为( A ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(0,2) D .(-2,0)解析:已知函数的定义域为R ,即x 2-2ax -a >0对任意x ∈R 恒成立,∴Δ=(-2a )2+4a <0.解得-1<a <0.7.已知0<c <1,a >b >1,下列不等式正确的是( D ) A .c a>c bB.aa -c >bb -cC .ba c >ab cD .log a c >log b c解析:由函数f (x )=c x(0<c <1)单调递减可得,c a<c b,选项A 错误;∵0<c <1,a >b >1,∴aa -c -bb -c =c b -a a -c b -c <0,∴a a -c <b b -c ,选项B 错误;显然ba c >0,ab c>0,且ba c abc=⎝ ⎛⎭⎪⎫a bc -1,∵a >b >1,∴a b >1,∵0<c <1,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c -1<1,∴ba c <ab c ,选项C 错误.故选D.8.已知x >1,y >1,且lg x,2,lg y 成等差数列,则x +y 有( B ) A .最小值20 B .最小值200 C .最大值20 D .最大值200解析:由题意得4=lg x +lg y ,所以xy =104,所以x +y ≥2xy =200,当且仅当x =y=100时取等号,即x +y 有最小值200,故选B.9.已知点M 的坐标(x ,y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -4≥0,x -y -2≤0,y -3≤0,N 为直线y =-2x +2上任意一点,则|MN |的最小值是( B )A.55 B.255C .1 D.172解析:作出可行域及直线y =-2x +2,如图所示,直线y =-2x +2与直线2x +y -4=0平行,取直线2x +y -4=0上的点A (2,0),由点到直线的距离公式得,|MN |的最小值为|2×2+0-2|22+12=255,故选B. 10.记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≥0,3x -y -3≤0,x +y -1≥0所表示的平面区域为D ,若对任意(x 0,y 0)∈D ,不等式x 0-2y 0+c ≤0恒成立,则c 的取值范围是( D )A .(-∞,4]B .(-∞,2]C .[-1,4]D .(-∞,-1]解析:由已知得到可行域如图:由题意可知c ≤-x +2y 恒成立,即c ≤(-x +2y )min ,设z =-x +2y ,当目标函数z =-x +2y 经过A (1,0)时,z 取得最小值,最小值为-1,所以c ≤-1,故选D.11.已知正实数a ,b 满足4a +b =30,使得1a +1b取得最小值的实数对(a ,b )是( A )A .(5,10)B .(6,6)C .(10,5)D .(7,2)解析:∵a ,b >0,∴1a +1b =130(4a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =130⎝ ⎛⎭⎪⎫5+b a +4a b ≥130(5+24)=310,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a =4a b,4a +b =30时取“=”.这时a =5,b =10.12.已知D =⎩⎨⎧x ,y⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x +y -2≤0,x -y +2≤0,3x -y +6≥0,给出下列四个命题:p 1:∀(x ,y )∈D ,x +y ≥0;p 2:∀(x ,y )∈D,2x -y +1≤0;p 3:∃(x ,y )∈D ,y +1x -1≤-4;p 4:∃(x ,y )∈D ,x 2+y 2≥2.其中真命题是( D )A .p 1,p 2B .p 2,p 3C .p 3,p 4D .p 2,p 4解析:作出可行域,如图阴影部分所示(三角形ABC 及其内部),其中A (-2,0),B (0,2),C (-1,3).当直线z =x +y 过点A 时取最小值-2<0;当z =2x -y +1过点B 时取最大值-1;可行域内的点(x ,y )与点(1,-1)连线的斜率y +1x -1的最大值为0+1-2-1=-13>-4,同理,y +1x -1的最小值为2+10-1=-3>-4;可行域内的点(x ,y )到原点的距离的平方的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|0-0+2|22=2,故选D.二、填空题(每小题5分,共20分)13.函数y=2-x-4x(x>0)的值域为(-∞,-2].解析:当x>0时,y=2-⎝⎛⎭⎪⎫x+4x≤2-2x×4x=-2.当且仅当x=4x,即x=2时取等号.14.某几何体的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则1x+1y的最小值为2105.解析:由三视图可知该几何体为三棱锥,底面三角形的直角边长为1,y,有一条侧棱垂直于底面,设该侧棱长为m,则有⎩⎪⎨⎪⎧m2+y2=4,m2+1=x2,整理得x2+y2=5≥2xy,∴xy≤52,∴xy ≤102.∴1x+1y=x+yxy≥2xyxy=2xy≥2102=2105,当且仅当x=y时等号成立.15.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x+x2,x≥0,x-x2,x<0.若f(a)>f(2-a),则实数a的取值范围是a>1.解析:画出函数y =f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +x 2,x ≥0,x -x 2,x <0表示的图象如图,结合图象可知,函数y=f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +x 2,x ≥0,x -x 2,x <0在定义域(-∞,+∞)内是增函数,则a >2-a ,即a >1.16.若点M (x ,y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3,y ≤3,x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点,且不等式2x -y +m ≤0恒成立,则m 的取值范围是m ≤1-2 3.解析:由题意得m ≤-2x +y 恒成立,则m ≤(y -2x )min .设z =y -2x ,则直线y =2x +z 在点(3,1)处的纵截距最小,为1-23,所以m ≤1-2 3.三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(本小题10分)已知关于x 的不等式kx 2-2x +6k <0(k ≠0). (1)若不等式的解集是{x |x <-3或x >-2},求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围.解:(1)因为不等式的解集为{x |x <-3或x >-2},所以-3,-2是方程kx 2-2x +6k =0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧-3×-2=6,-3+-2=2k ,解得k =-25.(2)因为不等式的解集为R ,所以⎩⎪⎨⎪⎧k <0,Δ=4-4k ·6k <0,即⎩⎪⎨⎪⎧k <0,k >66或k <-66. 所以k <-66.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-66. 18.(本小题12分)已知x ,y ∈(0,+∞),x 2+y 2=x +y . (1)求1x +1y的最小值;(2)是否存在x ,y 满足(x +1)(y +1)=5?并说明理由.解:(1)由题意可知1x +1y =x +y xy =x 2+y 2xy ≥2xyxy=2,当且仅当x =y =1时,等号成立.所以1x +1y的最小值为2.(2)不存在.理由:因为x 2+y 2≥2xy ,所以(x +y )2≤2(x 2+y 2)=2(x +y ),又x ,y ∈(0,+∞),所以0<x +y ≤2,从而有(x +1)(y +1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x+1+y+122≤4,因此不存在x,y满足(x+1)(y+1)=5.19.(本小题12分)某咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g、咖啡4 g、糖3 g,乙种饮料每杯分别用奶粉4 g、咖啡5 g、糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3 600 g、咖啡2 000 g、糖3 000 g.如果甲种饮料每杯能使该咖啡馆获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元,每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,那么每天应配制两种饮料各多少杯,能使该咖啡馆获利最大?解:设每天配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,咖啡馆每天获利z元,则⎩⎪⎨⎪⎧9x+4y≤3 600,4x+5y≤2 000,3x+10y≤3 000,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N.目标函数z=0.7x+1.2y.在平面直角坐标系内作出可行域,如图所示,作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至l1位置时,直线经过可行域上的A点,此时z=0.7x+1.2y取得最大值.联立得⎩⎪⎨⎪⎧4x+5y=2 000,3x+10y=3 000,解得A(200,240).故每天应配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯,能使该咖啡馆获利最大.20.(本小题12分)设函数f(x)=x3+11+x,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)34<f(x)≤32.证明:(1)因为1-x+x2-x3=1--x41--x=1-x41+x,由于x∈[0,1],所以1-x41+x≤11+x,即1-x+x2-x3≤11+x,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x ≤1得x ≥x 3,故f (x )=x 3+11+x ≤x +11+x =x +11+x -32+32=x -12x +12x +1+32≤32.由(1)得f (x )≥1-x +x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34≥34,又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1924>34,所以f (x )>34.综上所述,34<f (x )≤32.21.(本小题12分)已知函数f (x )=x 2-2x -8,g (x )=2x 2-4x -16, (1)求不等式g (x )<0的解集;(2)若对一切x >2,均有f (x )≥(m +2)x -m -15成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)g (x )=2x 2-4x -16<0,∴(2x +4)(x -4)<0,∴-2<x <4,∴不等式g (x )<0的解集为{x |-2<x <4}.(2)∵f (x )=x 2-2x -8.当x >2时,f (x )≥(m +2)x -m -15恒成立,∴x 2-2x -8≥(m +2)x -m -15,即x 2-4x +7≥m (x -1).∴对一切x >2,均有不等式x 2-4x +7x -1≥m 成立.而x 2-4x +7x -1=(x -1)+4x -1-2≥2x -1×4x -1-2=2(当且仅当x =3时等号成立),∴实数m 的取值范围是(-∞,2].22.(本小题12分)已知函数f (x )=ax 2+1bx +c(a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数,当x >0时,f (x )有最小值2,其中b ∈N *,且f (1)<52.(1)求函数f (x )的解析式;(2)函数f (x )图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点?若存在,求出这两点的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),即ax 2+1b -x +c =-ax 2+1bx +c ,∴bx +c =bx -c ,∴c =0.∵a >0,b >0,∴f (x )=ax 2+1bx =a b x +1bx≥2ab 2,当且仅当x =1a时,等号成立.∴2a b 2=2,∴a =b 2.由f (1)<52,得a +1b <52,即b 2+1b <52,∴2b 2-5b +2<0.解得12<b <2. 又b ∈N *,∴b =1,a =1,∴f (x )=x +1x.(2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上,则它关于(1,0)的对称点(2-x 0,-y 0)也在y =f (x )的图象上,则x 20+1x 0=y 0,且2-x 02+12-x 0=-y 0,消去y 0,得x 20-2x 0-1=0,解得x 0=1± 2.∴y =f (x )的图象上存在两点(1+2,22),(1-2,-22)关于(1,0)对称.。
2019_2020学年高中数学第三章不等式单元质量测评新人教A版必修5
第三章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a <0,-1<b <0,则( ) A .-a <ab <0 B .-a >ab >0 C .a >ab >ab 2D .ab >a >ab 2答案 B解析 ∵a <0,-1<b <0,∴ab >0,a <ab 2<0,故A ,C ,D 都不正确,正确答案为B . 2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x +3y ≤12,x -y >-1,y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A .2个B .4个C .6个D .8个 答案 C解析 画出可行域后,可按x =0,x =1,x =2,x =3分类代入检验,符合要求的点有(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)共6个.3.不等式x 2-x -6x -1>0的解集为( )A .{x |x <-2或x >3}B .{x |x <-2或1<x <3}C .{x |-2<x <1或x >3}D .{x |-2<x <1或1<x <3} 答案 C解析 原不等式可化为(x +2)·(x -1)(x -3)>0,如图由穿根法可得该不等式的解集为{x |-2<x <1或x >3}.4.若a >0,b >0且a +b =4,则下列不等式恒成立的是( ) A .1ab >12B .1a +1b≤1C .ab ≥2D .1a 2+b 2≤18答案 D解析 ∵a >0,b >0,a +b =4,∴ab ≤a +b2=2.∴ab ≤4.∴1ab ≥14.∴1a +1b =a +b ab =4ab≥1,故A ,B ,C 均错误.故选D .5.若关于x 的不等式2x 2-8x -4-a ≥0在1≤x ≤4内有解,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≤-4 B .a ≥-4 C .a ≥-12 D .a ≤-12答案 A解析 ∵y =2x 2-8x -4(1≤x ≤4)在x =4时,取最大值-4,当a ≤-4时,2x 2-8x -4≥a 存在解.6.方程x 2+(m -2)x +5-m =0的两根都大于2,则m 的取值范围是( ) A .(-5,-4] B .(-∞,-4] C .(-∞,-2)D .(-∞,-5)∪(-5,-4] 答案 A解析 令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m , 要使f (x )=0的两根都大于2,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=m -2--m ,f ,-m -22>2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16,m >-5,m <-2⇒-5<m ≤-4.故选A .7.已知某线性规划问题的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ,3y ≥x ,x +y ≤4,则下列目标函数中,在点(3,1)处取得最小值的是( )A .z =2x -yB .z =2x +yC .z =-12x -yD .z =-2x +y答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图:A 中,由z =2x -y 得y =2x -z ,平移直线可得,当直线经过点A (3,1)时,截距最小,此时z 最大;B 中,由z =2x +y 得y =-2x +z ,平移直线可得,当直线经过点A (3,1)时,截距最大,此时z 最大;C 中,由z =-12x -y 得y =-12x -z ,平移直线可得,当直线经过点B 时,截距最大,此时z 最小;D 中,由z =-2x +y 得y =2x +z ,平移直线可得,当直线经过点A (3,1)时,截距最小,此时z 最小,满足条件.故选D .8.已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则(1-xy )(1+xy )有( ) A .最小值12和最大值1B .最小值34和最大值1C .最小值12和最大值34D .最小值1答案 B解析 ∵x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+y 222=14,当且仅当x 2=y 2=12时,等号成立,∴1-x 2y 2≥34≥0,∴34≤1-x 2y 2≤1.故(1-xy )(1+xy )有最小值34和最大值1.9.已知f (x )=(x -a )(x -b )+2(a <b ),且α,β(α<β)是方程f (x )=0的两根,则α,β,a ,b 的大小关系是( )A .a <α<β<bB .a <α<b <βC .α<a <b <βD .α<a <β<b答案 A解析 ∵α,β为f (x )=0的两根,∴α,β为f (x )=(x -a )(x -b )+2 与x 轴交点的横坐标.∵a ,b 为(x -a )(x -b )=0的根, 令g (x )=(x -a )(x -b ),∴a ,b 为g (x )与x 轴交点的横坐标.∴f (x )图象可由g (x )图象向上移2个单位得到,由图知选A .10.已知直线l 过点P (2,1),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为( )A .1B . 2C .2 2D .4 答案 D解析 设直线l 为x a +y b=1(a >0,b >0),则2a +1b=1,故1=2a +1b≥22a ·1b=22ab,即ab ≥8,当且仅当a =2b =4时,等号成立.于是△OAB 的面积为S =12ab ≥4.故选D .11.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y (单位:10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示),若要使其营运的年平均利润最大,则每辆客车需营运( )A .3年B .4年C .5年D .6年 答案 C解析 设二次函数为y =a (x -6)2+11.又图象过点(4,7),代入得7=a (4-6)2+11,解得a =-1,∴y =-x 2+12x -25.设年平均利润为m ,则m =y x=-x -25x+12≤2,当且仅当x =25x,即x =5时取等号.12.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y -1≥0,x -y +2≥0,x +4y -8≤0,且目标函数z =ax +y 仅在点(4,1)处取得最大值,则原点O 到直线ax -y +17=0的距离d 的取值范围是( )A .(417,17]B .(0,417)C .⎝⎛⎦⎥⎤1722,17 D .⎝⎛⎭⎪⎫0,1722答案 B解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y -1≥0,x -y +2≥0,x +4y -8≤0作出可行域,如下图可行域,∵目标函数z =ax +y 仅在点A (4,1)取最大值, 当a =0时,z =y 仅在点(0,2)取最大值,不成立; 当a <0时,目标函数z =ax +y 的斜率k =-a >0, 目标函数在(4,1)取不到最大值.当a >0时,目标函数z =ax +y 的斜率k =-a ,小于直线x +4y -8=0的斜率-14,∴a >14.综上,a >14.原点O 到直线ax -y +17=0的距离d =171+a2<417,则原点O 到直线ax -y +17=0的距离d 的取值范围是(0,417).故选B .第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.若x =(a +3)(a -5),y =(a +2)(a -4),则x 与y 的大小关系是________. 答案 x <y解析 因为x -y =(a +3)(a -5)-(a +2)(a -4)=(a 2-2a -15)-(a 2-2a -8)=-7<0,∴x <y .14.若关于x 的不等式ax 2-6x +a 2<0的解集是(1,m ),则m =________. 答案 2解析 由题意知a >0且1是方程ax 2-6x +a 2=0的一个根,∴a =2, ∴不等式为2x 2-6x +4<0,即x 2-3x +2<0, ∴1<x <2,∴m =2.15.若不等式x 2<|x -1|+a 在区间(-3,3)上恒成立,则实数a 的取值范围为________.答案 [7,+∞)解析 由x 2<|x -1|+a 得a >x 2-|x -1|,令f (x )=x 2-|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x +1,1≤x <3,x 2+x -1,-3<x <1,∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤-3,-12上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,3上单调递增, ∵f (-3)=5,f (3)=7,∴f (x )<7,∴a 的取值范围是[7,+∞).故答案为[7,+∞). 16.不等式(x 2-x +1)(x 2-x -1)>0的解集是________. 答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <1-52或x >1+52 解析 ∵x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34>0,∴(x 2-x -1)(x 2-x +1)>0可转化为解不等式x 2-x -1>0, 由求根公式知,x 1=1-52,x 2=1+52.∴x 2-x -1>0的解集是{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <1-52或x >1+52. ∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <1-52或x >1+52. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ,求面积最大时斜边的长.解 设一条直角边长为x cm(0<x <10),则另一条直角边长为(10-x ) cm , 面积S =12x (10-x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +-x 22=252(cm 2), 等号在x =10-x ,即x =5时成立, ∴面积最大时斜边长L =x 2+-x2=52+52=52(cm).18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2-2x -8,g (x )=2x 2-4x -16. (1)求不等式g (x )<0的解集;(2)若对一切x >2,均有f (x )≥(m +2)x -m -15成立,求实数m 的取值范围. 解 (1)g (x )=2x 2-4x -16<0, ∴(2x +4)(x -4)<0,∴-2<x <4, ∴不等式g (x )<0的解集为{x |-2<x <4}.(2)∵f (x )=x 2-2x -8,当x >2时,f (x )≥(m +2)x -m -15恒成立, ∴x 2-2x -8≥(m +2)x -m -15对一切x >2恒成立.∴x 2-4x +7x -1≥m 对一切x >2恒成立,又x -1>1,x 2-4x +7x -1=x -1+4x -1-2≥2x -4x -1-2=2(当且仅当x =3时等号成立), ∴实数m 的取值范围是(-∞,2].19.(本小题满分12分)实系数方程x 2+ax +2b =0的一个根大于0且小于1,另一个根大于1且小于2,求b -2a -1的取值范围. 解 令f (x )=x 2+ax +2b ,则方程x 2+ax +2b =0的一个根在(0,1)内另一个根在(1,2)内,即为f (x )与x 轴的交点分别位于(0,1)和(1,2)之间,从而有⎩⎪⎨⎪⎧f ,f,f ,即⎩⎪⎨⎪⎧b >0,1+a +2b <0,2+a +b >0.则点(a ,b )对应的区域为图中三角形区域ABD ,其中A (-3,1),B (-1,0),D (-2,0).而b -2a -1的几何意义为区域内的点(a ,b )与C (1,2)连线的斜率,则有14=k AC <b -2a -1<k BC =1,即b -2a -1的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14,1.20.(本小题满分12分)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≤0,x >0,y ≤2.(1)若z =yx,求z 的最大值和最小值,并求z 的取值范围; (2)若z =x 2+y 2,求z 的最大值与最小值,并求z 的取值范围.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≤0,x >0,y ≤2作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z =y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此y x的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在).而由⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1=0,y =2,得B (1,2),则k OB =21=2.∴z max 不存在,z min =2, ∴z 的取值范围是[2,+∞).(2)z =x 2+y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方. 因此x 2+y 2的范围最小为|OA |2(取不到),最大为|OB |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1=0,x =0,得A (0,1),∴|OA |2=(02+12)2=1,|OB |2=(12+22)2=5. ∴z 的最大值为5,没有最小值. 故z 的取值范围是(1,5].21.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,且f (-1)=0,是否存在常数a ,b ,c ,使得不等式x ≤f (x )≤12(x 2+1)对一切实数x 恒成立?并求出a ,b ,c 的值.解 已知f (-1)=a -b +c =0,①若存在常数a ,b ,c ,使得x ≤f (x )≤12(x 2+1)恒成立,则令x =1,得1≤f (1)≤1.∴f (1)=a +b +c =1.②由①②,得b =12,a +c =12,则f (x )=ax 2+12x +12-A .∵x ≤f (x )≤12(x 2+1)对一切实数x 都成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 2+12x +12-a ≥x ,ax 2+12x +12-a ≤12x 2+恒成立,即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2-12x +12-a ≥0,⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12x 2+12x -a ≤0恒成立.a .对于不等式ax 2-12x +12-a ≥0恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=4a 2-2a +14≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧a >0,⎝ ⎛⎭⎪⎫a -142≤0,∴a =14.b .对于不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12x 2+12x -a ≤0恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧a -12<0,Δ=4a 2-2a +14≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧a <12,⎝ ⎛⎭⎪⎫a -142≤0,∴a =14.∴a =14时,x ≤f (x )≤12(x 2+1)对一切实数x 都成立,∴存在常数a =14,b =12,c =14, 使得不等式x ≤f (x )≤12(x 2+1)对一切实数x 都成立. 22.(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个,所用原料分别为A ,B 两种规格的金属板,每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用一张A 种规格的金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;用一张B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A ,B 两种规格金属板各取多少张,才能完成计划,并使总的用料面积最省?解 设A ,B 两种金属板各取x 张、y 张,用料面积为z ,则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +6y ≥45,5x +6y ≥55,x ≥0,y ≥0,目标函数z =2x +3y (x ,y ∈N *).作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域,如下图所示.z =2x +3y 变为y =-23x +z 3,得斜率为-23,在y 轴上的截距为z 3. 当直线z =2x +3y 过可行域上的点M 时,截距最小,z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x +6y =55,3x +6y =45,得M 点的坐标为(5,5).此时z min=2×5+3×5=25(m2).因此,两种金属板各取5张时,用料面积最省.。
新人教A版必修5高中数学第三章不等式章末检测(B)
第三章 不等式章末检测(B )新人教A 版必修5(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若a <0,-1<b <0,则有( )A .a >ab >ab 2B .ab 2>ab >aC .ab >a >ab 2D .ab >ab 2>a2.已知x >1,y >1,且14ln x ,14,ln y 成等比数列,则xy ( )A .有最大值eB .有最大值 eC .有最小值eD .有最小值 e 3.设M =2a (a -2),N =(a +1)(a -3),则( ) A .M >N B .M ≥N C .M <N D .M ≤N4.不等式x 2-ax -12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A .(-3a,4a ) B .(4a ,-3a ) C .(-3,4) D .(2a,6a )5.已知a ,b ∈R ,且a >b ,则下列不等式中恒成立的是( )A .a 2>b 2B .(12)a <(12)bC .lg(a -b )>0 D.ab>16.当x >1时,不等式x +1x -1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,2]B .[2,+∞)C .[3,+∞)D .(-∞,3]7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2, x ≤0-x +2, x >0,则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A .[-1,1]B .[-2,2]C .[-2,1]D .[-1,2] 8.若a >0,b >0,且a +b =4,则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a +1b≤1C.ab ≥2D.1a 2+b 2≤189.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,2x +y ≤2,y +2≥0,则目标函数z =|x +3y |的最大值为( )A .4B .6C .8D .1010.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( )A .甲先到教室B .乙先到教室C .两人同时到教室D .谁先到教室不确定11.设M =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a-1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b-1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c-1,且a +b +c =1 (其中a ,b ,c 为正实数),则M 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,18 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18,1C .[1,8)D .[8,+∞)12.函数f (x )=x 2-2x +1x 2-2x +1,x ∈(0,3),则( )A .f (x )有最大值74B .f (x )有最小值-113.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t的最小值为________________________________________________________________________.14.对任意实数x ,不等式(a -2)x 2-2(a -2)x -4<0恒成立,则实数a 的取值范围是________.15.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +5≥0,y ≥a ,0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是________.16.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x =________吨.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知a >0,b >0,且a ≠b ,比较a 2b +b 2a与a +b 的大小.18.(12分)已知a ,b ,c ∈(0,+∞).求证:(a a +b )·(b b +c )·(c c +a )≤18.19.(12分)若a<1,解关于x的不等式axx-2>1.20.(12分)求函数y=x+22x+5的最大值.21.(12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.22.(12分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)第三章不等式章末检测答案(B)1.D [∵a<0,-1<b<0,∴ab>0,ab2<0.∴ab>a,ab>ab2.∵a-ab2=a(1-b2)=a(1+b)(1-b)<0,∴a<ab2.∴a<ab2<ab.]2.C3.A [∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=(2a2-4a)-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0.∴M>N.]4.B [∵x2-ax-12a2<0(a<0)⇔(x-4a)(x+3a)<0⇔4a<x<-3a.]5.B [取a=0,b=-1,否定A、C、D选项.故选B.]6.D [∵x >1,∴x +1x -1=(x -1)+1x -+1≥2x -11x -1+1=3.∴a ≤3.] 7.A [f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x +2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0-x +2≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2-x -2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2+x -2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0-1≤x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0-2≤x ≤1⇔-1≤x ≤0或0<x ≤1⇔-1≤x ≤1.]8.D [取a =1,b =3,可验证A 、B 、C 均不正确, 故选D.]9.C [可行域如阴影,当直线u =x +3y 过A (-2,-2)时,u 有最小值(-2)+(-2)×3=-8;过B (23,23)时u 有最大值23+3×23=83.∴u =x +3y ∈[-8,83].∴z =|u |=|x +3y |∈[0,8].故选C.]10.B [设甲用时间T ,乙用时间2t ,步行速度为a ,跑步速度为b ,距离为s ,则T =s 2a +s2b =s 2a +s 2b =s ×a +b2ab,ta +tb =s ⇒2t =2s a +b, ∴T -2t =s a +b 2ab -2s a +b =s ×a +b2-4ab2ab a +b=s a -b 22ab a +b>0,故选B.]11.D [M =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1=⎝⎛⎭⎪⎫a +b +c a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b +c b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b +c c -1 =⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b +c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c +b c ≥2b a ·c a ·2a b ·c b ·2a c ·bc=8. ∴M ≥8,当a =b =c =13时取“=”.]12.D [∵x ∈(0,3),∴x -1∈(-1,2), ∴(x -1)2∈[0,4),∴f (x )=(x -1)2+1x -2-1≥2x -2·1x -2-1=2-1=1.当且仅当(x -1)2=1x -2,且x ∈(0,3),即x =2时取等号,∴当x =2时,函数f (x )有最小值1.] 13.-2解析 ∵t >0,∴y =t 2-4t +1t =t +1t -4≥2-4=-2.14.-2<a ≤2解析 当a =2时,-4<0恒成立,∴a =2符合. 当a -2≠0时,则a 应满足: ⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0Δ=a -2+a -解得-2<a <2. 综上所述,-2<a ≤2. 15.5≤a <7解析 先画出x -y +5≥0和0≤x ≤2表示的区域,再确定y ≥a表示的区域.由图知:5≤a <7. 16.20解析 该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,则需要购买400x次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4+4x )万元,400x·4+4x ≥160,当1 600x=4x 即x =20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.17.解 ∵(a 2b +b 2a )-(a +b )=a 2b -b +b 2a-a=a 2-b 2b +b 2-a 2a =(a 2-b 2)(1b -1a)=(a 2-b 2)a -b ab =a -b 2a +bab又∵a >0,b >0,a ≠b ,∴(a -b )2>0,a -b >0,ab >0, ∴(a 2b +b 2a )-(a +b )>0,∴a 2b +b 2a>a +b .18.证明 ∵a ,b ,c ∈(0,+∞), ∴a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0, c +a ≥2ac >0,∴(a +b )(b +c )(c +a )≥8abc >0.∴abc a +b b +c c +a ≤18即(a a +b )·(b b +c )·(c c +a )≤18. 当且仅当a =b =c 时,取到“=”.19.解 不等式ax x -2>1可化为a -x +2x -2>0.∵a <1,∴a -1<0,故原不等式可化为x -21-ax -2<0.故当0<a <1时,原不等式的解集为{x |2<x <21-a},当a <0时,原不等式的解集为{x |21-a<x <2}. 当a =0时,原不等式的解集为∅.20.解 设t =x +2,从而x =t 2-2(t ≥0),则y =t2t 2+1.当t =0时,y =0;当t >0时,y =12t +1t≤122t ·1t=24. 当且仅当2t =1t ,即t =22时等号成立.即当x =-32时,y max =24.21.解 (1)设DN 的长为x (x >0)米, 则AN =(x +2)米. ∵DN AN =DC AM ,∴AM =x +x,∴S AMPN =AN ·AM =x +2x,由S AMPN >32,得x +2x>32.又x >0,得3x 2-20x +12>0,解得:0<x <23或x >6,即DN 长的取值范围是(0,23)∪(6,+∞).(2)矩形花坛AMPN 的面积为y =x +2x =3x 2+12x +12x11 =3x +12x +12≥23x ·12x+12=24, 当且仅当3x =12x,即x =2时, 矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时,矩形AMPN 的面积最小,最小值为24平方米.22.解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨,获得利润z 万元.依题意可得约束条件:⎩⎪⎨⎪⎧9x +4y ≤3604x +5y ≤2003x +10y ≤300x≥0y ≥0作出可行域如图. 利润目标函数z =6x +12y ,由几何意义知,当直线l :z =6x +12y 经过可行域上的点M 时,z =6x +12y 取最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +10y =3004x +5y =200,得x =20,y =24,即M (20,24).答 生产甲种产品20吨,乙种产品24吨,才能使此工厂获得最大利润.。
2019_2020学年高中数学第三章不等式单元质量测评(含解析)新人教A版必修5
第三章 单元质量测评=本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点P (x 0,y 0)和点A (1,2)在直线l :3x +2y -8=0的异侧,则( ) A .3x 0+2y 0>0 B .3x 0+2y 0<0 C .3x 0+2y 0<8 D .3x 0+2y 0>8 答案 D解析 ∵3×1+2×2-8=-1<0,P 与A 在直线l 异侧,∴3x 0+2y 0-8>0. 2.设M =2a (a -2)+7,N =(a -2)(a -3),则有( ) A .M >N B .M ≥N C .M <N D .M ≤N 答案 A解析 M -N =(2a 2-4a +7)-(a 2-5a +6)=a 2+a +1=a +122+34>0,∴M >N .3.设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a +b =2,则必有( ) A .1≤ab ≤a 2+b 22B .ab <1<a 2+b 22C .ab <a 2+b 22<1 D .a 2+b 22<ab <1答案 B 解析 ∵ab ≤a +b 22,a ≠b ,∴ab <1. 又∵a 2+b 22>a +b2>0,∴a 2+b 22>1,∴ab <1<a 2+b 22.4.若a >b >0,全集U =R ,A ={x |ab <x <a },B ={x |b <x <⎭⎬⎫a +b 2,则(∁U A )∩B 为( ) A .{}x |b <x ≤ab B .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ab <x <a +b2C .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪b <x <a +b 2 D .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a +b2或x ≥a答案 A解析 ∁U A ={x |x ≤ab 或x ≥a }, 又B =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫b <x <a +b 2且a >b >0,∴ab >b ,a +b2<a .∴(∁U A )∩B ={x |b <x ≤ab }.故选A .5.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A .32B .23C .43D .34 答案 C解析 作出平面区域如图所示为△ABC ,由⎩⎪⎨⎪⎧x +3y -4=0,3x +y -4=0,可得A (1,1), 又B (0,4),C 0,43,∴S △ABC =12·|BC |·|x A |=12×4-43×1=43.故选C .6.若x ∈0,12时总有log a 2-1(1-2x )>0,则实数a 的取值范围是( )A .|a |<1B .|a |< 2C .|a |> 2D .1<|a |< 2 答案 D解析 ∵x ∈0,12,∴0<1-2x <1.又∵此时总有log a 2-1(1-2x )>0, ∴0<a 2-1<1,∴1<|a |<2.7.已知正实数a ,b 满足4a +b =30,当1a +1b取最小值时,实数对(a ,b )是( )A .(5,10)B .(6,6)C .(10,5)D .(7,2) 答案 A解析 1a +1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b ·130·30=130⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b (4a +b )=130⎝ ⎛⎭⎪⎫5+b a +4a b ≥130⎝⎛⎭⎪⎫5+2b a ·4a b =310. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a =4a b,4a +b =30,即⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =10时取等号.故选A .8.已知正数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z =4-x·12y 的最小值为( )A .1B .1324C .116D .132答案 C解析 由于z =4-x ·12y =2-2x -y,又不等式组表示的平面区域如图所示.易知m =-2x -y经过点A 时取得最小值,由⎩⎪⎨⎪⎧2x -y =0,x -3y +5=0,得A (1,2),所以z min =2-2×1-2=116.故选C . 9.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA →·(PB →+PC →)的最小值是( )A .-2B .-32C .-43D .-1答案 B解析 以BC 为x 轴,BC 的垂直平分线AD 为y 轴,D 为坐标原点建立坐标系,则A (0,3),B (-1,0),C (1,0).设P (x ,y ),所以PA →=(-x ,3-y ),PA →·(PB →+PC →)=2PA →·P D →=2x 2-2y (3-y ) =2x 2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫y -322-32≥-32, 当P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32时,所求的最小值为-32.故选B . 10.若ax 2+bx +c >0的解集为{x |-2<x <4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx +c 应有( ) A .f (5)<f (-1)<f (2) B .f (2)<f (-1)<f (5) C .f (-1)<f (2)<f (5) D .f (5)<f (2)<f (-1) 答案 A解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧b =-2a ,c =-8a ,且a <0.∴f (x )=ax 2-2ax -8a =a (x -1)2-9a , ∴其图象开口向下,对称轴为x =1, ∴f (-1)=f (3).∴f (5)<f (-1)<f (2).故选A .11.以原点为圆心的圆全部都在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x -3y +6≥0,x -y +2≥0内,则圆面积的最大值为( )A .18π5B .9π5C .2πD .π答案 C解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示,由图可知,最大圆的半径为点(0,0)到直线x -y +2=0的距离,即|0-0+2|12+-2=2,所以圆面积的最大值为π×(2)2=2π.故选C .12.设x ,y ,z 为正数,且2x=3y=5z,则( )A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z 答案 D解析 令2x=3y=5z=k (k >1), 则x =log 2k ,y =log 3k ,z =log 5k , ∴2x 3y =2lg k lg 2·lg 33lg k =lg 9lg 8>1,则2x >3y , 2x 5z =2lg k lg 2·lg 55lg k =lg 25lg 32<1,则2x <5z .故选D . 第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知x =1是不等式k 2x 2-6kx +8≥0的解,则k 的取值范围是________. 答案 (-∞,2]∪[4,+∞)解析 x =1是不等式k 2x 2-6kx +8≥0的解,把x =1代入不等式得k 2-6k +8≥0,解得k ≥4或k ≤2.14.某校今年计划招聘女教师a 名,男教师b 名,若a ,b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a -b ≥5,a -b ≤2,a <7.设这所学校今年计划招聘教师最多x 名,则x =________.答案 13解析 由题意得x =a +b ,如图所示,画出约束条件所表示的可行域,作直线l :b +a =0,平移直线l ,再由a ,b ∈N ,可知当a =6,b =7时,x 取最大值,∴x =a +b =13.15.已知不等式xy ≤ax 2+2y 2,若对任意x ∈[1,2],且y ∈[2,3],该不等式恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案 [-1,+∞)解析 依题意得,当x ∈[1,2],且y ∈[2,3]时, 不等式xy ≤ax 2+2y 2,即a ≥xy -2y 2x 2=y x -2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x -142+18. 在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2,2≤y ≤3表示的平面区域,注意到yx可视为该区域内的点(x ,y )与原点连线的斜率,结合图形可知,y x 的取值范围是[1,3],此时-2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x -142+18的最大值是-1,因此满足题意的实数a 的取值范围是[-1,+∞).16.已知函数f (x )=x +1x +b (b 为常数).当x ∈[-1,2]时,f (x )>-1x +b2恒成立,则b的取值范围为________.答案 b >1 解析 ∵f (x )>-1x +b2,∴x +1x +b >-1x +b2⇔(x +b )(x +1)>-1且x +b ≠0,(※)易知当x =-1时,不等式(※)显然成立;当-1<x ≤2时, b >-1x +1-x =1-⎝⎛⎭⎪⎫1x +1+x +1, ∵x +1>0,∴1x +1+(x +1)≥2 1x +1x +=2,当且仅当x =0时,等号成立,故b >-1. 而-b ∉[-1,2],故b <-2或b >1. 综上所述,b >1.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设函数f (x )=4x 2+ax +2,不等式f (x )<c 的解集为(-1,2). (1)求a 的值; (2)解不等式4x +mf x -4x 2>0.解 (1)∵函数f (x )=4x 2+ax +2, 不等式f (x )<c 的解集为(-1,2),∴-1+2=-a4,∴a =-4.(2)不等式转化为(4x +m )(-4x +2)>0, 可得m =-2,不等式的解集为∅;m <-2,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <-m 4;m >-2,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-m4<x <12.18.(本小题满分12分)设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2kx +1-k 2=0的两个实根,求x 21+x 22的最小值.解 由题意,得x 1+x 2=2k ,x 1x 2=1-k 2. Δ=4k 2-4(1-k 2)≥0, ∴k 2≥12.∴x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2 =4k 2-2(1-k 2) =6k 2-2≥6×12-2=1.∴x 21+x 22的最小值为1.19.(本小题满分12分)在△ABC 中,A (3,-1),B (-1,1),C (1,3),写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组(包括边界).解 由两点式,得AB ,BC ,CA 的直线方程并化简为AB :x +2y -1=0,BC :x -y +2=0,CA :2x +y -5=0,如图所示,可得不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -1≥0,x -y +2≥0,2x +y -5≤0.20.(本小题满分12分)已知函数y =ax 2+2ax +1的定义域为R ,解关于x 的不等式x 2-x -a 2+a <0.解 ∵函数y =ax 2+2ax +1的定义域为R ,∴ax 2+2ax +1≥0恒成立. 当a =0时,1≥0,不等式恒成立;当a ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,解得0<a ≤1.综上,0≤a ≤1.由x 2-x -a 2+a <0,得(x -a )[x -(1-a )]<0. ∵0≤a ≤1,∴(1)当1-a >a ,即0≤a <12时,a <x <1-a ;(2)当1-a =a ,即a =12时,x -122<0,不等式无解;(3)当1-a <a ,即12<a ≤1时,1-a <x <a .∴原不等式的解集为:当0≤a <12时,原不等式的解集为{x |a <x <1-a };当a =12时,原不等式的解集为∅;当12<a ≤1时,原不等式的解集为{x |1-a <x <a }. 21.(本小题满分12分)某客运公司用A ,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A ,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的往返营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?解 设应配备A 型车、B 型车分别为x 辆,y 辆,营运成本为z 元;则由题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤21,y -x ≤7,36x +60y ≥900,x ∈N ,y ∈N ;z =1600x +2400y ;作平面区域如图,故联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x +7,y =15-0.6x ,解得x =5,y =12;此时,z =1600x +2400y 有最小值1600×5+2400×12=36800元. 22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2+2x +a ,g (x )=f xx. (1)若不等式f (x )<0的解集是{x |a <x <1},求a 的值; (2)若x <0,a =4,求函数g (x )的最大值;(3)若对任意x ∈[1,+∞),不等式g (x )>0恒成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)根据题意,方程x 2+2x +a =0的两根分别为a 和1,将1代入得a =-3.(2)由a =4,则g (x )=f x x =x 2+2x +4x =x +4x+2,因为x <0,所以-x +4-x ≥2-x ·4-x=4, 所以g (x )≤-4+2=-2.当且仅当x =4x,即x =-2(舍去正值)时,等号成立.所以g (x )的最大值为-2.(3)依题意当x ∈[1,+∞)时,x 2+2x +a >0恒成立, 所以a >-(x 2+2x ),令t =-(x 2+2x ),x ∈[1,+∞), 则t =-(x 2+2x )=1-(x +1)2, 所以当x =1时,t max =1-(1+1)2=-3, 所以a >-3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2019-2020年高中数学 第三章 不等式阶段质量检测 新人教A 版必修5一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分) 1.不等式(x +3)2<1的解集是( ) A .{x |x >-2} B .{x |x <-4} C .{x |-4<x <-2}D .{x |-4≤x ≤-2}2.设M =2a (a -2),N =(a +1)(a -3),则有( ) A .M >N B .M ≥N C .M <ND .M ≤N3.下列命题中正确的是( ) A .a >b ⇒ac 2>bc 2B .a >b ⇒a 2>b 2C .a >b ⇒a 3>b 3D .a 2>b 2⇒a >b4.(xx·安徽高考)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x +2y ≥3,2x +y ≤3,则z =x -y 的最小值是( ) A .-3 B .0 C.32D .35.设x ,y 为正数,则(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y 的最小值为( )A .6B .9C .12D .156.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧-x ->10,x 2+7x +12≤0的解集为( )A .[-4,-3]B .[-4,-2]C .[-3,-2]D .∅7.已知a ,b ,c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是( ) A .ab >ac B .c (b -a )>0 C .cb 2<ab 2D .a (a -b )>08. 在如图所示的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数z =x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则a 的一个可能值是( )A .-3B .3C .-1D .19. 若直线y =2x 上存在点(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为( )A .-1B .1 C.32D .210.已知x >0,y >0.若2y x +8x y>m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .m ≥4或m ≤-2B .m ≥2或m ≤-4C .-2<m <4D .-4<m <2二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 11.函数y =2-x -4x(x >0)的值域为________.12.不等式2x 2+2x -4≤12的解集为________.13.已知不等式x 2-ax -b <0的解集为(2,3),则不等式bx 2-ax -1>0的解集为________.14.设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y ≤10,2x +y ≥3,0≤x ≤4,y ≥1,表示的平面区域,则D 中的点P (x ,y )到直线x +y =10的距离的最大值是________.三、解答题(共4小题,共50分) 15.(12分)解下列关于x 的不等式 (1)1<x 2-3x +1<9-x (2)ax 2-x -a 2x +a <0(a <-1)16.(12分)已知关于x 的不等式kx 2-2x +6k <0(k ≠0). (1)若不等式的解集是{x |x <-3或x >-2},求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围.17.(12分)一个农民有田2亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为400千克;若种花生,则每亩每期产量为100千克,但水稻成本较高,每亩每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可卖5元,稻米每千克只卖3元,现在他只能凑足400元,问这位农民对两种作物各种多少亩,才能得到最大利润?18.(14分)已知函数f (x )=x 2-2x -8,g (x )=2x 2-4x -16, (1)求不等式g (x )<0的解集;(2)若对一切x >2,均有f (x )≥(m +2)x -m -15成立,求实数m 的取值范围.答 案阶段质量检测(三) 不等式1.选C 原不等式可化为x 2+6x +8<0, 解得-4<x <-2.2.选A 因为M -N =2a 2-4a -(a 2-2a -3)=a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,所以M >N . 3.选C 选项A 中,当c =0时,ac 2=bc 2,所以A 不正确;选项B 中,当a =0,b =-1时a >b ,但a 2<b 2,所以B 不正确;选项D 中,当a =-2,b =-1时,a 2>b 2,但a <b ,所以D 不正确.很明显C 正确.4.选A 可行域为如图所示的阴影部分,可知z =x -y 在点A (0,3)处取得最小值,∴z 最小值=-3.5.选B x ,y 为正数,(x +y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y =1+4+y x +4x y≥9,当且仅当y =2x 等号成立.6.选A ⎩⎪⎨⎪⎧-x ->10x 2+7x +12≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x -3<-5x +x +⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <-2-4≤x ≤-3⇒-4≤x ≤-3.7.选C 由已知可得,c <0,a >0,b 不一定,若b =0时,C 不一定成立,故选C. 8.选A 若最优解有无数个,则y =-1a x +z a 与其中一条边平行,而三边的斜率分别为13、-1、0,与-1a对照可知a =-3或1,又因z =x +ay 取得最小值,则a =-3. 9.选B 如图所示: 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,表示的可行域如阴影部分所示.当直线x =m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的位置时,m 取最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3=0,y =2x ,得A 点坐标为(1,2),∴m 的最大值是1,故选B.10.选D ∵x >0,y >0.∴2y x +8x y ≥8(当且仅当2y x =8xy时取“=”).若2y x +8x y>m 2+2m 恒成立,则m 2+2m <8,解之得-4<m <2.11.解析:当x >0时,y =2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4x ≤2-2x ×4x =-2.当且仅当x =4x,x =2时取等号.答案:(-∞,-2]12.解析:由已知得2x 2+2x -4≤2-1,所以x 2+2x -4≤-1,即x 2+2x -3≤0,解得-3≤x ≤1.答案:{x |-3≤x ≤1}13.解析:方程x 2-ax -b =0的根为2,3.根据韦达定理得:a =5,b =-6,所以不等式为6x 2+5x +1<0,解得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-13.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-1314.解析:画出可行域,由图知最优解为A (1,1),故A 到x +y =10的距离为d =4 2.答案:4 215.解:(1)∵1<x 2-3x +1<9-x , ∴x 2-3x +1>1且x 2-3x +1<9-x . ∴x >3或x <0且-2<x <4. ∴-2<x <0或3<x <4.∴原不等式1<x 2-3x +1<9-x 的解集为{x |-2<x <0或3<x <4}. (2)由ax 2-x -a 2x +a <0 ∴(x -a )(ax -1)<0因a <-1∴(x -a )⎝⎛⎭⎪⎫x -1a >0,当a <-1时,1a>a ,所以x <a ,或x >1a.∴不等式的解集为{x |x <a ,或x >1a}.16.解:(1)因为不等式的解集为{x |x <-3或x >-2},所以-3,-2是方程kx 2-2x +6k =0的两根且k <0 .由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧--=6,-+-=2k,解得k =-25.(2)因为不等式的解集为R ,所以⎩⎪⎨⎪⎧k <0,Δ=4-4k ·6k <0,即⎩⎪⎨⎪⎧k <0,k >66或k <-66.所以k <-66. 即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-66. 17.解:设水稻种x 亩,花生种y 亩,则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤2,240x +80y ≤400,x ≥0,y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤2,3x+y ≤5,x ≥0,y ≥0,画出可行域如图阴影部分所示而利润P =(3×400-240)x +(5×100-80)y =960x +420y (目标函数),可联立⎩⎪⎨⎪⎧x +y =2,3x +y =5,得交点B (1.5,0.5).故当x =1.5,y =0.5时,P 最大值=960×1.5+420×0.5=1 650,即水稻种1.5亩,花生种0.5亩时所得到的利润最大. 18.解:(1)g (x )=2x 2-4x -16<0, ∴(2x +4)(x -4)<0,∴-2<x <4, ∴不等式g (x )<0的解集为{x |-2<x <4}. (2)∵f (x )=x 2-2x -8.当x >2时,f (x )≥(m +2)x -m -15恒成立, ∴x 2-2x -8≥(m +2)x -m -15, 即x 2-4x +7≥m (x -1).∴对一切x>2,均有不等式x2-4x+7x-1≥m成立.而x2-4x+7x-1=(x-1)+4x-1-2≥2 x-4x-1-2=2(当且仅当x=3时等号成立),∴实数m的取值范围是(-∞,2].2019-2020年高中数学 第三章 两角和与差的正、余弦(1)教案 苏教版必修3一、课题:两角和与差的正、余弦(1)二、教学目标:1.进一步熟悉两角和与差的正(余)弦公式,能正确运用公式进行简单的 三角函数的化简、求值;2.掌握一些角的变换技巧,能选择恰当的公式解决有关问题;3.了解由三角函数值求角的方法。
三、教学重、难点:公式的运用。
四、教学过程: (一)复习: 1.及公式; 2.练习 3(1)(2)(3). (二)新课讲解: 例1:已知,,(1)求的值.; (2)求.解:(1)由得cos α==,又由得sin β==, , .(2), , 所以,.说明:求某一角的一般方法:(1)确定此角的范围;(2)求出此角的某一三角函数值;(3)确定此角。
例2:已知,且,求的值。
分析:,所以应选用求的值。
解:,∴,又∵,∴8sin()617πα-==, ∴sin()coscos()sin 6666ππππαα=-+-=, =cos()cossin()sin 6666ππππαα---. 例3:已知,,,求的值。
解:由得,, 又∵,,∴5sin()13αβ-==,4cos()5αβ+==-,所以,cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ=+-++-.五、小结:1.掌握求角的一般方法;2.寻找角之间的关系,选择恰当的公式解决有关问题。