高等数学下册习题课件：幂级数的和函数与函数展开成幂级数
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函数展开成幂级数PPT课件
n0
n0
x
(
0
an xn )dx
n0
n0
x 0
(an
x
n
)
d
x
x(R, R)
2
第2页，共25页。
二、幂级数和函数的求法
• 求部分和式的极限
•逐项求导或求积分法 （在收敛区间内）
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
(an xn )
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S*(x)
3
第3页，共25页。
第五节
18
第18页，共25页。
例3 将 f (x) 1
展开成x的幂级数.
x2 5x 6
解
1
1 x x2 x3
xn，x (1,1)
1 x
n0
f (x) 1 1 1 ，
(2 x)(3 x) 2 x 3 x
1 2
x
1 1 2 1 x
1 2
(
n0
x )n， 2
xx((2,21),1) 2
f (n)(0) n!
x n 又称为麦克劳林级数
.
待解决的问题 :
？ f (x)
n0
f
(n)( x0 n!
)(
x
x0
)n
f (x)
n
n0
f
(n) ( x0 n!
)(
x
x0
)n
Rn
(
x)
9
第9页，共25页。
3.泰勒级数的收敛定理:
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 x (,) .
3! 5!
(2n 1)!
12
二、 函数的幂级数展开
2.间接展开法
间接展开法, 就是利用已知函数的幂级数展开式, 通过幂级 数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分等）以及变量代换等, 获得所求函数的幂级数展开式.这种方法不但计算简单, 而且可以 避免研究余项.由于函数的幂级数展开式是唯一的, 因此间接法与 直接法展成的幂级数是一致的.
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 )!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、 函数的幂级数展开 例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
称为函数 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数,
特别地, 函数 f (x) 在 x0 0 处的泰勒级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n) (0) xn
第二步 求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步 写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,
11函数展开成幂级数解读
0
x
x s ( x ) dx dx , 0 1 x s( x )
得 ln s( x ) ln s(0) ln(1 x ),
即
ln s( x ) ln(1 x ) ,
s( x ) (1 x ) , x ( 1,1)
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n! 牛顿二项式展开式 注意: 在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
xs( x ) x ( 1) x
2
( 1)( n 1)
( n 1)!
xn
利用
( m 1)( m n 1) ( m 1)( m n) m ( m 1)( m n 1) ( n 1)! n! n!
x x0 lim 0, 故 lim Rn ( x ) 0, n ( n 1)! n x ( x 0 R, x 0 R )
可展成点x0的泰勒级数.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: (1) 求a n
f
(n)
( x0 ) ; n!
( 2) 讨论 lim Rn 0 或 f ( n ) ( x ) M ,
1 1 1 3 2 1 3 5 3 n ( 2n 1)!! n 1 x x x ( 1) x 1 x 2 2 4 2 4 6 ( 2n)!! [1,1]
双阶乘
2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合 等方法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
幂级数函数的幂级数展开法
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
-函数展开成幂级数
1 2 1 ln( 2 1) .
2 n1 2n 1
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级 数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连 续进行逐项求导和逐项积分.
就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具 有任意阶的导数及任意次的可积性.
,
(| x|1).
例2
求
2n 1 n1 2n
之值.
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
xn
x1
符 合 积
分
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
x2n
x1
要 求 了
n1
2n 1 2n
x2 2n
n1
1
n 1
x 2n2
1
x2
x4
1 1 x2
,
故
x2n1 n1 2n 1
x1 01 x2
d
x
1 2
x 0
x
1 1
x
1 1
d
x
1 ln1 x , ( | x | 1) . 2 1 x
例3
f (n1) ( ) xn1 | e | x |
(n 1) !
| x |n1 (n 1) !
因为
lim an 0 n n !
( 在 0 与x 之间)
2 x2 (2 x2 )2
3.
x1
高等数学11-4函数展开成幂级数
1,
R 1,
牛顿二项式展开式
(1 x )
1 x
( 1) 2!
x
2
( 1)( n 1) n!
的取值有关
( 1 ,1 );
x
n
注意:
在 x 1 处收敛性与
1
收敛域为
. x (1,1)
1 1
i
R n ( x ) f ( x ) s n 1 ( x ), lim s n 1 ( x ) f ( x )
n
lim R n ( x ) lim [ f ( x ) s n 1 ( x )] 0 ;
n n
充分性
n
f ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
n
( f (x) =它的泰勒级数 证明
f (x)
f (x) 的泰勒公式中的余项趋于0)
,
必要性 设 f ( x )能展开为泰勒级数
i0
n
f
(i)
( x0 )
i!
( x x 0 ) R n ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
n0
f
(n)
( x0 )
n!
f
(n)
( x x 0 ) 称为 f ( x ) 在点 x 0 的泰勒级数.
n
n0
(0)
x 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数.
n
n!
问题
f ( x)
高等数学：第七讲 幂级数的和函数
s(x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x R, R
n1
n1
n1
幂级数的和函数的求法
总结：当 n 在分母时，利用性质2，先求
导，后积分.
当 n 在分子时，利用性质1，先积
分，后求导.
例题2：
求幂级数 n1
1 n
xn
的和函数
S
(
x)
.
解
an
1 n
,
所以，收敛半径 R 1
f
x
x
s(t)dt
x
[
nt n1]dt
x nt n1dt xn
0
0
0
n1
n1
n1
因为： xn
x
n1 1 x
所以
S x
f
x
1
1 x2
x (1,1)
谢谢
un (x2 ) S2
n1
幂级数的和函数的概念xDSຫໍສະໝຸດ un(x) S xn1
我们称 S x 为函数项级数 un(x)的和函数，
此函数的定义域就是级数
un
(
x)
n的1 收敛域.
n1
特别地，当级数是幂级数anxn 时，它对
n0
应的和函数S x 称为幂级数的和函数.该函数
的定义域就是幂级数 anxn的收敛域.
收敛区间 (1,1)
由性质2得
Sx (
1 xn )
( 1 xn )
x n 1
n1 n
n1 n
n1
由例1得： xn1
1
所以
n1
1 x
S
x
x 0
S
'(t)dt
11-3(2) 函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
河海大学理学院《高等数学》
一、泰勒级数
f ( x)
n 0 n a ( x x ) n 0
问题 1.如果能展开, an是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
河海大学理学院《高等数学》
定理 如果函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内具有任 意阶导数, 且在 U ( x0 ) 内能展开成 ( x x0 )
x
河海大学理学院《高等数学》
余和:
1 1 1 1 rn (1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n! 1 5 10 5 , 欲使 rn 10 , 只要 n n!
ix
河海大学理学院《高等数学》
的幂级数,即 f ( x)
则其系数 1 ( n) a n f ( x0 ) n! 且展开式是唯一的.
n 0
a n ( x x0 )
n
( n 0,1,2,)
河海大学理学院《高等数学》
定义 如果 f (x) 在点x0处任意阶可导, 则幂级数
f
( n)
n 0
( x0 ) ( x x0 )n 称为 f (x) n!
河海大学理学院《高等数学》
x 例 将f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x x2 d ex 1 例 展开 ( ) 为 x 的幂级数. dx x 1 例 将f ( x ) 2 展开成( x 1)的幂级数.
x 3x 2 n 1 1 ( n) n2 求f (1), 并求 ( 1) 的和 . 2 n 3 2 n 1
河海大学理学院《高等数学》
一、泰勒级数
f ( x)
n 0 n a ( x x ) n 0
问题 1.如果能展开, an是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
河海大学理学院《高等数学》
定理 如果函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内具有任 意阶导数, 且在 U ( x0 ) 内能展开成 ( x x0 )
x
河海大学理学院《高等数学》
余和:
1 1 1 1 rn (1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n! 1 5 10 5 , 欲使 rn 10 , 只要 n n!
ix
河海大学理学院《高等数学》
的幂级数,即 f ( x)
则其系数 1 ( n) a n f ( x0 ) n! 且展开式是唯一的.
n 0
a n ( x x0 )
n
( n 0,1,2,)
河海大学理学院《高等数学》
定义 如果 f (x) 在点x0处任意阶可导, 则幂级数
f
( n)
n 0
( x0 ) ( x x0 )n 称为 f (x) n!
河海大学理学院《高等数学》
x 例 将f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x x2 d ex 1 例 展开 ( ) 为 x 的幂级数. dx x 1 例 将f ( x ) 2 展开成( x 1)的幂级数.
x 3x 2 n 1 1 ( n) n2 求f (1), 并求 ( 1) 的和 . 2 n 3 2 n 1
高等数学-幂级数
28
其中
称为傅里叶级数. 称为傅里叶级数.
(3)
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) (Dirichlet)充分条件
∑=u ( x) + u ( x) ++ u ( x) +
n=1 1 2 n
∞
上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
收敛, ∑u ( x ) 收敛,
n=1 n 0
13
如果 x0 ∈ I , 数项级数
∞
则称 x0 为级数
收敛点, ∑u ( x) 的收敛点,
n=1 n
∞
否则称为发散点. 否则称为发散点. 发散点
的所有收敛点的全体称为收敛域 收敛域, 函数项级数 ∑un ( x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n=1 ∞
所有发散点的全体称为发散域. 所有发散点的全体称为发散域. 发散域
(3)
和函数
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s(x),
∞
∑ un
∞
∞
收敛, 为绝对收敛; 收敛, 则称 ∑un 为绝对收敛;
发散, 收敛, 为条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑un 收敛, 则称 ∑un 为条件收敛.
n=1 n=1 n=1
12
5、函数项级数
(1) 定义
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在 I R 上的 函数, 函数,则
1 (1) 则当 ρ ≠ 0 时, R = ; ρ (2) 当 ρ = 0 时, R = +∞;
(3) 当 ρ = +∞ 时, R = 0.
其中
称为傅里叶级数. 称为傅里叶级数.
(3)
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) (Dirichlet)充分条件
∑=u ( x) + u ( x) ++ u ( x) +
n=1 1 2 n
∞
上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
收敛, ∑u ( x ) 收敛,
n=1 n 0
13
如果 x0 ∈ I , 数项级数
∞
则称 x0 为级数
收敛点, ∑u ( x) 的收敛点,
n=1 n
∞
否则称为发散点. 否则称为发散点. 发散点
的所有收敛点的全体称为收敛域 收敛域, 函数项级数 ∑un ( x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n=1 ∞
所有发散点的全体称为发散域. 所有发散点的全体称为发散域. 发散域
(3)
和函数
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s(x),
∞
∑ un
∞
∞
收敛, 为绝对收敛; 收敛, 则称 ∑un 为绝对收敛;
发散, 收敛, 为条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑un 收敛, 则称 ∑un 为条件收敛.
n=1 n=1 n=1
12
5、函数项级数
(1) 定义
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在 I R 上的 函数, 函数,则
1 (1) 则当 ρ ≠ 0 时, R = ; ρ (2) 当 ρ = 0 时, R = +∞;
(3) 当 ρ = +∞ 时, R = 0.
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
n
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任 意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任 意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。
高中数学(人教版)函数展开成幂级数解析优选教学课件
a2
f (x0 ) 2!
f (n) (x) n!an , x I 令 x x0
an
f (n) (x0 ) n!
a0
f (x0 ), a1
f
(x0 ) 1!
,
a2
f (x0 ) , 2!
,
an
f (n) (x0 ) n!
引言
在收敛域内
求和
幂级数 an xn n0
若在包含x0的某区间I内,等式
f (x)
f (x0 )
f (x0)x x0
f
( x0 2!
)
x
x0
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
成立,称上式为f (x)的泰勒展开式(x0=0时,称为麦克劳林展开式).
定理
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 U(x0) 内具有各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是:
研究问题
近似计算 理论研究
f (x) a0 a1x x0 a2 x x0 2 an (x x0 )n (x I )
f (x)在什么条件下能展开为幂级数; f (x) 的展开式在什么范围内成立; f (x) 的展开式是否唯一; f (x) 的展开式如何确定.
第五讲 函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
引言
在收敛域内
求和
幂级数 an xn n0
高数第9章函数项级数、幂级数-幂级数
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
1 (n) f ( x0 ) 则其系数 a n n!
且展开式是唯一的.
( n 0,1,2,)
证明 an ( x x0 ) n 在U ( x0 )内收敛于f ( x),即
n 0
f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 ) n Leabharlann 的收敛半径为 R,其和函数为
s( x ) ,则在 ( x0 R, x0 R) 内幂级数可以逐项积分和
an 即 s( x)dx ( an x )dx ( x x0 ) n 1. x0 x0 n 0 n 0 n 1
x n
即 s( x) ( an ( x x0 ) n ) (an ( x x0 ) n ) nan ( x x0 ) n 1.
收敛区间( , ) .
中央财经大学
数学分析
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim 2 n a n n 1 n
1 R , 2
1 1 即 x 收敛, 2 2
x (0,1)收敛,
( 1)n n 令 t 2 x 3 , 原级数变为 t . n 0 2n 1
由于
an 1 lim 1 n a n
3 1 因此 , 当 t 1 , 即 x 时 , 原幂级数收敛 , 2 2 3 1 当 t 1 , 即 x 时 , 原幂级数发散 , 2 2
例2
a n 1 n 解 (1) lim lim 1 R 1 n a n n 1 n
高等数学课件D12_3_1幂级数
R a o b R x
a n x n a n r n (n 0 ,1 ,2 , )
而 0rR,由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 a n r n
n0
绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 证毕
说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛
区间可包含此端点. 2020/12/8
高等数学课件
n 0
n 1
再证级数 n an xn1的收敛半径 RR.
n1
由前面的证明可知 RR.若将幂级数 nanxn1在
2020/12/8
高等数学课件
n1
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[0,x](x R)上逐项,得积 分 anxn, 因逐项积分所得
n1
级数的收敛半径不会缩小, RR.于R 是 R. 证毕
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理4 . 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同,即
S(x)anxn
nan
xn1,
x(R,R)
n0
n1
0xS(x)dxan n0
xxndx
0
an n0n1
xn1,
x(R,R)
注: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯
故假设不真. 所以若当 xx0 时幂级数发散 , 则对一切
满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕
2020/12/8
高等数学课件
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由Abel 定理可以看出, a n x n 的收敛域是以原点为
中心的区间.
n0
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
11-4函数展开成幂级数
第三节 函数展成幂级数 （2）
高等数学（ 高等数学（下）
河海大学理学院
一、Taylor级数
∞ n −1
x 上节例题 ∑ ( −1) = ln(1 + x ) ( −1 < x ≤ 1) n n =1 研究的是给定一个幂级数，如何求它的和函数. 研究的是给定一个幂级数，如何求它的和函数.
反过来，给定一个函数，能否展成幂级数？ 反过来，给定一个函数，能否展成幂级数？ ∞ 是否存在幂级数在其收 f ( x) = ∑an ( x − x0 )n 即:是否存在幂级数在其收 敛域内以f(x)为和函数 为和函数. 敛域内以 为和函数 n=0 问题: 如果能展开 如果能展开, 是什么? 问题 1.如果能展开 an 是什么 2.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一 3.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
1 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3⋅ 5 3 )! n (2n−1 ! n x − x +L+ (−1) x +L =1− x + 2 2⋅ 4 2⋅ 4⋅ 6 (2n)!! 1+ x (−1,1] 2.间接法 2.间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量 代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 代换 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐 项积分等方法 求展开式. 等方法,求展开式 项积分等方法 求展开式
高等数学（ 高等数学（下）
n
假设 f(x) 能展成幂级数 , 即 f ( x) = ∑an ( x − x0 )
n=0
∞
n
因为幂级数在收敛域内无穷次可微 , 所以 f(x)能 能 展成幂级数的必要条件是具有任意阶导数 .
高等数学（ 高等数学（下）
河海大学理学院
一、Taylor级数
∞ n −1
x 上节例题 ∑ ( −1) = ln(1 + x ) ( −1 < x ≤ 1) n n =1 研究的是给定一个幂级数，如何求它的和函数. 研究的是给定一个幂级数，如何求它的和函数.
反过来，给定一个函数，能否展成幂级数？ 反过来，给定一个函数，能否展成幂级数？ ∞ 是否存在幂级数在其收 f ( x) = ∑an ( x − x0 )n 即:是否存在幂级数在其收 敛域内以f(x)为和函数 为和函数. 敛域内以 为和函数 n=0 问题: 如果能展开 如果能展开, 是什么? 问题 1.如果能展开 an 是什么 2.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一 3.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
1 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3⋅ 5 3 )! n (2n−1 ! n x − x +L+ (−1) x +L =1− x + 2 2⋅ 4 2⋅ 4⋅ 6 (2n)!! 1+ x (−1,1] 2.间接法 2.间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量 代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 代换 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐 项积分等方法 求展开式. 等方法,求展开式 项积分等方法 求展开式
高等数学（ 高等数学（下）
n
假设 f(x) 能展成幂级数 , 即 f ( x) = ∑an ( x − x0 )
n=0
∞
n
因为幂级数在收敛域内无穷次可微 , 所以 f(x)能 能 展成幂级数的必要条件是具有任意阶导数 .
函数展开成幂级数的·方法
( m 1)( m n 1) ( m 1)( m n) m ( m 1)( m n 1) 利用 ( n 1)! n! n!
在(1,1)内, 若
(1 x ) s( x )
2 ( 1 ) ( 1)( n 1) n1 2 2 x x x 2! n! s( x )
s( x ) 令 ( x ) , (1 x )
(0) s(0) 1,
(1 x ) s( x ) (1 x ) 1 s( x ) 且 ( x ) (1 x )2 (1 x ) 1[(1 x ) s( x ) s( x )] 0. 2 (1 x )
1 2 n n 2n ( 2) ( x ) ( 1 ) x 2 1 x n 0 n 0
( 1 x 1)
2n
( 3) cos x (sin x ) [ ( 1) n
( x )
n 0
x n x ] ( 1) ( 2n 1)! n 0 ( 2n)!
xn 1 2 1 n ( 3)1 x x x e x 2! n! n 0 n! an1 n! lim lim 0, R . ( x ) n an n ( n 1)!
e x x n 1 (4) Rn ( x ) x e ( n 1)! ( n 1)!
若 lim Rn ( x ) 0, 则( 3)中的幂级数为 f ( x )的展开式.
n
f
( n)
Example 1. 将f ( x ) e x 展开成x的幂级数. Solution. (1) f ( n) ( x ) e x
在(1,1)内, 若
(1 x ) s( x )
2 ( 1 ) ( 1)( n 1) n1 2 2 x x x 2! n! s( x )
s( x ) 令 ( x ) , (1 x )
(0) s(0) 1,
(1 x ) s( x ) (1 x ) 1 s( x ) 且 ( x ) (1 x )2 (1 x ) 1[(1 x ) s( x ) s( x )] 0. 2 (1 x )
1 2 n n 2n ( 2) ( x ) ( 1 ) x 2 1 x n 0 n 0
( 1 x 1)
2n
( 3) cos x (sin x ) [ ( 1) n
( x )
n 0
x n x ] ( 1) ( 2n 1)! n 0 ( 2n)!
xn 1 2 1 n ( 3)1 x x x e x 2! n! n 0 n! an1 n! lim lim 0, R . ( x ) n an n ( n 1)!
e x x n 1 (4) Rn ( x ) x e ( n 1)! ( n 1)!
若 lim Rn ( x ) 0, 则( 3)中的幂级数为 f ( x )的展开式.
n
f
( n)
Example 1. 将f ( x ) e x 展开成x的幂级数. Solution. (1) f ( n) ( x ) e x
高等数学C课件
1 2 n n 1 x x ( 1) x , x (1,1) 1 x x dx ln(1 x ) 0 1 x
1 2 1 3 n 1 x x x x ( 1) , x (1,1] 2 3 n
n
注
利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛性.
问题
用怎样的多项式去逼近给定的函数 误差又如何呢
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§8.4 函数的幂级数展开
定理 1（泰勒中值定理） 如果函数 y f ( x) 在包含 x0 的 某个开区间 (a, b) 内具有直到 n 1阶导数， x 为该区间内 的任一点，则 f ( x) 可以表示为
f ' ( x0 ) f '' ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) f ( x) 在点 x0 处的 n 阶泰勒公式 n! f ( n1) ( ) 其中， Rn ( x) ． ( x x0 ) n1 （ 介于 x 和 x0 之间） (n 1)!
1 4 x 2n 1 2 x ( 1) n cos x 1 x 4! ( 2n)! 2!
x ( ,)
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§8.4 函数的幂级数展开
例6 将 f ( x ) ln(1 x )展开为x的幂级数. 1 , 而 解 [ln(1 x )] 1 x
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§8.4 函数的幂级数展开
二、泰勒级数
问题 对已知函数 f ( x)，能否确定一个幂级数，
在其收敛域内以 f ( x) 为和函数．
若存在这样的幂级数，称函数 f ( x) 可以展成幂级数．
《高等数学教学课件》第三节 幂级数
设幂级数 an x n的收敛半径为R, 和函数为s( x), n0
则在( R, R)内, s( x)可导, 且有逐项求导公式
s( x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x ( R, R)
n0
n1
n1
幂级数 nan x n1与 an x n有相同的收敛半径.
设sn
n
( 1) k 1
k1 (2k 1)(2k 1)!
rn
s sn
un1
1
104
(2n 1)(2n 1)!
(2n 1)(2n 1)! 104
取n 3, 7 7! 104
1 sin x
3
(1) k 1
11
dx
1 0.9461.
0x
k1 (2k 1)(2k 1)! 3 3! 5 5!
n0
an n
x 1
n1与
n0
an
x
n具有相同的收敛半径.
例1、求幂级数 x n 的收敛半径,收敛区间及收敛域,并求和函数.
解 lim
1
n0 n 1
1 lim n 1 1; R 1;
n n (1)n
n0 n 1 s( x)
2 莱
n 1 n n 2 1n 布 尼 兹 级 数,收 敛. n0 n
解
1
( x)n (1)n x n
1 x 1.
1 x n0 x
1
n0
dx
x
(1)n x ndx
( 1) n
x x ndx
ln(1 x)
(1)n
n0
x n1 n1
x 0
0 1 x
(1)n
n0
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1 3n
1 2n
]xn
(2 x2) 。
四、解答题
1.求幂级数 xn1 的收敛域与和函数。 n1 n2n
解：∵
lim n
n
an
lim n
n
1 n2n
11 1 lim
n 2 n n 2
，
∴R2 ，收敛区间为（-2，2），
当 x 2 时，得 (1)n1 1 ，收敛的；
n1
2n
当 x2 时，得
]t
n
(
3 2
t
3 2
),
f
(
x
)
[
n0
1 2n1
(1)n
2n 3n1
](
x
1)n
(1 x 2
5 ).
2
3.
将函数
f
(
x
)
1 x2
展开成( x1) 的幂级数.
解:
∵
f
(
x
)
1 x2
(
1 x
)
，
而 1
1
(1)n( x 1)n , (0 x 2).
x 1 ( x 1) n0
∴
f (x)
0 n0
2n1
0 n0
2n1
(1)n
x 2n2 (1 x1)
n0(2n1))2n 2)
解法 2： arctan x (1)n1 x 2n1 ( 1 x1),
n1
2n1
ln
1 x 2
1ln(1 x 2 ) 1
(1)n1
x 2n ( 1 x1),
2
2 n1
n
∴ f ( x) xarctanxln 1 x2
x (1)n1 x2n1 1 (1)n1 x2n
n1
2n1 2n1
n
(1)n1(
1
1 )x2n
n1
2n1 2n
(1)n1
1
x2n( 1 x1).
n1
(2n1)2n
3． f ( x) ln(6 x x 2 )
解： f ( x) ln(6 x x 2 ) ln[( 2 x)(3 x)] ln(2 x)ln(3 x)
1 x2
( 1 ) x
(1)n n( x 1)n1
1
n1 2n
，发散的，故收敛域为[-2，2）。
设和函数 S( x)
1
x n1 ，S(0) 1 ，
n1 n2 n
2
S( x) 1
1
( x )n
1
[
1
( x )n]
x n1n 2
x n1 n 2
1 ln(1 x
x 2
)（2
x0
或0
x2
）。
∴
S
(
x)
1
x
ln(1 ),
2 x0或0x2,
x
2
1, x0.
ln[2(1 x )ln[3(1 x )]ln2ln(1 x )ln3ln(1 x ),
2
3
2
3
∵
ln(1
x 2
)
(
n1
x )n 2 n
n1 nx2nn
(2 x2),
ln(1
x )
( x )n (1)n1 3
3 n1
n
(1)n1
n1
xn n3n
(3 x3),
∴
f
( x)ln2 ln3 1[(1)n1 n1n
3
1 3
(1)n
n1
(
x 3
3
)n
1 3
(1)n n1 3n
(
x
3)n
,
其中 1 x 3 1，即 0 x 6 ，故应选（D）。 3
三、将下列函数展开成 x 的幂级数
1． f ( x) 1ln1 x 1arctanx x. 4 1 x 2
解：
f (
x)
11 (
4 1 x
1 1 x
)
1 2
n1
( xa)n n
在点 x 2
收敛，则实数
a
的取值范围是（ A）
（A）1 a 3 ； （B）1 a 3 ； （C）1 a 3 ； （D）1 a 3 。
解：令 x a t ，
(xa)n
tn ，
n1 n
n1 n
收敛半径 R1 ，收敛域为t[1,1) ，
故
( xa)n 的收敛域为[a1, a 1) 。
S(0)
x
0
1 1 t2
dt
1 2
ln
1 1
x x
,
x (1, 1).
1
n1(2n1)4n
n1
( 1 )2n 2 2n1
1 2 n1
( 1 )2n1 2 2n1
1 2
S(
1 ) 2
1 2
1 ln1 2 1
1
2 1
1ln3. 4
2
2．已知 n1 xn ( x ) ，则其和函数S( x) ( x1)e x ，
n1 n
∵ 2[a 1, a 1) ，∴ a 1 2 a 1 ，∴1a 3 。
2．将 f ( x) 1 展成( x3) 的幂级数，其收敛域为（ D）
x （A）(1, 1) ；（B） (6, 0) ；（C） (3, 3) ；（D）(0, 6) 。
解： f ( x) 1
1
1
1
x 3 x3 3 1 x3
n0 n!
级数
n1 的和为
3e
1 2
2。
n0 n!2n
解： S( x) n1x n ( x n1 )( x n1 )( x x n )
n0 n!
n0 n!
n0 n!
n0 n!
(xex )(x1)e x ( x).
n0
n1 n!2n
S(
1 ) 2
3e 2
1 2
.
二、选择题
1．设
f
(
x)
1 1 x
2
(1)n
n0
x
2n
(
1
x1),
f ( x) f (0) x (1)n t 2ndt
x
(1)
n
t
2n
dt
0
0
n0
n0
(1)n x 2n1 (1 x1),
n0
2n1
f ( x) f (0) x (1)n t 2n1 dt x(1)n t 2n1 dt
2
2．将函数
f
(x)
x4 2x2 5x3
展开成( x1)
的幂级数。
解：令 x 1 t, x t 1 ，
f
(
x)
2
x
x4 2 5x3
2(t
t 14 1)2 5(t 1)3
2t
t
2
5 t6
t5 1 1 (t 2)(2t 3) t 2 2t 3
1 1
t2 2t
1 1 2 1 t
1 2
(
n0
t 2
)n
1 n0 2n1
tn
(2 t 2),
2
1 1 1 (1)n( 2t)n (1)n
2t 3 3(1 2t) 3n0
3 n0
2n 3n1
tn
( 3 t 2
3), 2
3
∴
2t
t
2
5 t6
n0
1 2n1
t
n
(1)n
n0
2n 3n1
t
n
[
n0
1 2n1
(1)n
2n 3n1
1
1 x2
1
1 1 x4
1
x4 1 x4
x
n1
4n
(1
x 1).
f
(
x)
f
x
(0) 0
x 4ndx
x
0
x4ndx
n1
n1
x4n1
(1 x1).
n1 4n1
2． f ( x) xarctan xln 1 x 2 .
解法 1： f ( x)arctan x x x arctan x, 1 x 2 1 x 2
习题课
一、填空题
1．已知 x2n1 ( x 1 ) ，则其和函数S( x)
n1 2n1
1 ln 1 x 2 1 x，
级数
1
1 ln3
的和为 4 。
n1(2n1)4n
解： S( x) x2n1 , x(1, 1) ， n1 2n1
S
(
x) x
n1
2n2
1 1 x2
,
x(1, 1) ，
S(x)