概论与数理统计 基本极限定理
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b np a np P a X b Φ( ) Φ( ) np(1 p) np(1 p)
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《概率统计》电子教案 薛震 编
第五章 基本极限定理
例3.保险公司多年统计资料表明,因被盗理赔的用户占 20%,以X表示100个理赔用户中因被盗理赔的个数, 试写出 求被盗理赔 X的概率分布,并利用拉普拉斯中心极限定理, 用户大于14且不多于30户的概率近似值. 解: (1) 易知 X ~ B 100,0.2 , 则X的分
有
1 n 1 n lim P{ X i E ( X i ) } 1 n i 1 n i 1 n
即
1 n 1 n p X i E ( X i ) ( n ) n i 1 n i 1
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第五章
基本极限定理
切比雪夫不等式与大数定律 中心极限定理
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第五章 基本极限定理
第一节 切比雪夫不等式与大数定律
一、切比雪夫不等式 二、大数定律
第五章
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第五章 基本极限定理
引 言
1.背景: 频率的稳定性,用频率代替概率的科学性. 2.内容: 用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的 一系列定理称为大数定律.
un p; 3.刻画:① lim n n
×
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un un p lim P { p } 1 , p (n ) 即 ② n n n
准差为4g,一箱装100袋,求一箱净重大于10100g的概率.
解: 设 X i 表示第i袋食品的净重,则 X1, X 2 , X100 独立
同分布,且 E ( X i ) 100 , D( X i ) 16 , 而一箱净重 X X i ,
i 1 100
由独立同分布的中心极限定理可知: X ~ N (10000,402 ) , 所以 P X 10100 1 P X 10100
(独立同分布的中心极限定理的特殊形式)
定理2: 设 un 是n重伯努利试验中事件A发生
拉普拉斯
的次数,且 P( A) p , 则有
un X1 X n , X i ~ B(1, p)
un np ~ N (0,1) (n ) np(1 p)
注: 设 X ~ B (n, p ) , 当n比较大时,对任意的a < b有
率保证这1万盏灯的正常使用.
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第五章 基本极限定理
二、大数定律
1.切比雪夫大数定律
定理2: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 , X n , 具有有
限的期望和方差, 若存在常数C使 D( X i ) C , 则 0 ,
n
X1 X 2 X n n
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第五章 基本极限定理
2.伯努利大数定律 (切比雪夫大数定律推论的特殊形式) 定理3: 设 un 是n重伯努利试验中事件A发生的次数, 且
第五章 基本极限定理
一、独立同分布的中心极限定理
(Levy-Lindeberg中心极限定理)
定理1: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 ,, X n , 服从相 同的分布, 且 E ( X i ) , D( X i ) 2 ( 0) , 则 x R , 有
n n
P ( A) p , 则有
un X 1 X n , X i ~ B(1, p) n n
un p p (n ) n
注: 该结论的实际意义在于,当试验次数很大时,便可以 用事件发生的频率来代替其概率.
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i 1 i 1 i 1 n n n
3.刻划: lim P{[ X i E ( X i )]
n i 1 i 1
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n
n
D( X i ) x} ( x)
i 1
n
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例1. 已知我校有1万盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率 均为0.8,且它们开关与否相互独立, 试用切比雪夫不等式 估计夜晚同时开灯7800-8200盏之间的概率. 解: 设X表示夜晚开灯数,则 X ~ B 10000,0.8 , 又因为E(X)=8000, D(X)=1600, 则由切比雪夫不
等式知 P{7800 X 8200} P{ X 8000 200} 1600 1 0.96 2 200 这说明只需供应8200盏灯的电力就能以相当大的概
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第五章 基本极限定理
一、切比雪夫不等式
定理1: 设X的数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) , 则 0 , 有
2
切比雪夫
或
2 P{ X } 1 2
第五章 基本极限定理
引 言
1.背景: 若一个量受到大量独立的随机因素综合影响, 则这个量通常 而每一因素在总影响中所起的作用并不大, 近似服从正态分布. 2.内容: 设独立随机变量序列 X1, X 2 , X n , 的期望 和方差都存在,则当n很大时, X i ~ N ( E ( X i ), D( X i )) .
6.独立同分布的中心极限定理；
7.德莫夫-拉普拉斯中心极限定理.
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P{ X } 2
2
注: 切比雪夫不等式常用来在E(X)和D(X)已知时, 对事
件 { X E ( X ) } 发生的概率进行估计.
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第五章 基本极限定理
Φ(2.5) Φ(1.5) 0.927
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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第五章 基本极限定理
内容小结
1.利用切比雪夫不等式进行近似计算；
2.切比雪夫大数定律；
3.伯努利大数定律； 4.辛钦大数定律； 5.利用中心极限定理进行近似计算；
k 布列为 P X k C100 0.2k 0.8100k ,
k 0,1,,100
(2) 已知n=100,p=0.2,由拉普拉斯中心极限定理得
30 100 0.2 14 100 0.2 P 14 X 30 Φ( ) Φ( ) 100 0.2 0.8 100 0.2 0.8
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第五章 基本极限定理
3.辛钦大数定律 定理4: 设相互独立的随机变量 X1,, X n ,
服从相同的分布,且 E ( X i ) , i 1,2, , 则有
辛钦
1 n p X ( n ) i n i 1
注: 辛钦大数定律要求同分布但并不要求方差存在.
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第五章 基本极限定理
第二节 中心极限定理
第五章
一、独立同分布中心极限定理 二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
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X 10000 10100 10000 1 P{ } 40 40
1 2.5 0.0062
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第五章 基本极限定理
二、De Moivre-Laplace中心极限定理
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第五章 基本极限定理
推论: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 , X n , 服从相 同的分布, 且 E ( X i ) , D( X i ) 2 , i 1,2, 则有
1 p X i ( n ) n i 1
注: 该结论的实际意义在于,为了减少测量的随机误差, 常常用测量的平均值来代替真实值, 即
lim P{[ X i n ]
i 1
n
n x} ( x)
即
[ X i n ]
i 1
n ~ N (0,1) (n )
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第五章 基本极限定理
例2.设某食品用机器装袋,每袋净重的期望为100g, 标
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第五章 基本极限定理
例3.保险公司多年统计资料表明,因被盗理赔的用户占 20%,以X表示100个理赔用户中因被盗理赔的个数, 试写出 求被盗理赔 X的概率分布,并利用拉普拉斯中心极限定理, 用户大于14且不多于30户的概率近似值. 解: (1) 易知 X ~ B 100,0.2 , 则X的分
有
1 n 1 n lim P{ X i E ( X i ) } 1 n i 1 n i 1 n
即
1 n 1 n p X i E ( X i ) ( n ) n i 1 n i 1
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第五章
基本极限定理
切比雪夫不等式与大数定律 中心极限定理
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第一节 切比雪夫不等式与大数定律
一、切比雪夫不等式 二、大数定律
第五章
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第五章 基本极限定理
引 言
1.背景: 频率的稳定性,用频率代替概率的科学性. 2.内容: 用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的 一系列定理称为大数定律.
un p; 3.刻画:① lim n n
×
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un un p lim P { p } 1 , p (n ) 即 ② n n n
准差为4g,一箱装100袋,求一箱净重大于10100g的概率.
解: 设 X i 表示第i袋食品的净重,则 X1, X 2 , X100 独立
同分布,且 E ( X i ) 100 , D( X i ) 16 , 而一箱净重 X X i ,
i 1 100
由独立同分布的中心极限定理可知: X ~ N (10000,402 ) , 所以 P X 10100 1 P X 10100
(独立同分布的中心极限定理的特殊形式)
定理2: 设 un 是n重伯努利试验中事件A发生
拉普拉斯
的次数,且 P( A) p , 则有
un X1 X n , X i ~ B(1, p)
un np ~ N (0,1) (n ) np(1 p)
注: 设 X ~ B (n, p ) , 当n比较大时,对任意的a < b有
率保证这1万盏灯的正常使用.
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第五章 基本极限定理
二、大数定律
1.切比雪夫大数定律
定理2: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 , X n , 具有有
限的期望和方差, 若存在常数C使 D( X i ) C , 则 0 ,
n
X1 X 2 X n n
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2.伯努利大数定律 (切比雪夫大数定律推论的特殊形式) 定理3: 设 un 是n重伯努利试验中事件A发生的次数, 且
第五章 基本极限定理
一、独立同分布的中心极限定理
(Levy-Lindeberg中心极限定理)
定理1: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 ,, X n , 服从相 同的分布, 且 E ( X i ) , D( X i ) 2 ( 0) , 则 x R , 有
n n
P ( A) p , 则有
un X 1 X n , X i ~ B(1, p) n n
un p p (n ) n
注: 该结论的实际意义在于,当试验次数很大时,便可以 用事件发生的频率来代替其概率.
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i 1 i 1 i 1 n n n
3.刻划: lim P{[ X i E ( X i )]
n i 1 i 1
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n
n
D( X i ) x} ( x)
i 1
n
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例1. 已知我校有1万盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率 均为0.8,且它们开关与否相互独立, 试用切比雪夫不等式 估计夜晚同时开灯7800-8200盏之间的概率. 解: 设X表示夜晚开灯数,则 X ~ B 10000,0.8 , 又因为E(X)=8000, D(X)=1600, 则由切比雪夫不
等式知 P{7800 X 8200} P{ X 8000 200} 1600 1 0.96 2 200 这说明只需供应8200盏灯的电力就能以相当大的概
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一、切比雪夫不等式
定理1: 设X的数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) , 则 0 , 有
2
切比雪夫
或
2 P{ X } 1 2
第五章 基本极限定理
引 言
1.背景: 若一个量受到大量独立的随机因素综合影响, 则这个量通常 而每一因素在总影响中所起的作用并不大, 近似服从正态分布. 2.内容: 设独立随机变量序列 X1, X 2 , X n , 的期望 和方差都存在,则当n很大时, X i ~ N ( E ( X i ), D( X i )) .
6.独立同分布的中心极限定理；
7.德莫夫-拉普拉斯中心极限定理.
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P{ X } 2
2
注: 切比雪夫不等式常用来在E(X)和D(X)已知时, 对事
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Φ(2.5) Φ(1.5) 0.927
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内容小结
1.利用切比雪夫不等式进行近似计算；
2.切比雪夫大数定律；
3.伯努利大数定律； 4.辛钦大数定律； 5.利用中心极限定理进行近似计算；
k 布列为 P X k C100 0.2k 0.8100k ,
k 0,1,,100
(2) 已知n=100,p=0.2,由拉普拉斯中心极限定理得
30 100 0.2 14 100 0.2 P 14 X 30 Φ( ) Φ( ) 100 0.2 0.8 100 0.2 0.8
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3.辛钦大数定律 定理4: 设相互独立的随机变量 X1,, X n ,
服从相同的分布,且 E ( X i ) , i 1,2, , 则有
辛钦
1 n p X ( n ) i n i 1
注: 辛钦大数定律要求同分布但并不要求方差存在.
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一、独立同分布中心极限定理 二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
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X 10000 10100 10000 1 P{ } 40 40
1 2.5 0.0062
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第五章 基本极限定理
二、De Moivre-Laplace中心极限定理
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第五章 基本极限定理
推论: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 , X n , 服从相 同的分布, 且 E ( X i ) , D( X i ) 2 , i 1,2, 则有
1 p X i ( n ) n i 1
注: 该结论的实际意义在于,为了减少测量的随机误差, 常常用测量的平均值来代替真实值, 即
lim P{[ X i n ]
i 1
n
n x} ( x)
即
[ X i n ]
i 1
n ~ N (0,1) (n )
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