高中数学 必修一 集合间的基本关系 教案

集合间的基本关系

【学习目标】

了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn 图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义。

1．一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆(或B A ⊆)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)。

2．如果集合A 是集合B 的子集(A B ⊆)，且集合B 是集合A 的子集(B A ⊆)，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =．

3．如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊆ (或B A ⊆)。

4．不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

【学习过程】

写出给定集合的子集

【例1】（1）写出集合{012}，，的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集； （2

由此猜想：含n 个元素的集合{}12,,,n a a a L 的所有子集的个数是多少？真子集的个数

及非空真子集的个数呢？

解 （1）不含任何元素的集合：∅； 含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；

含有两个元素的集合：{0，1}，{0，2}，{1，2}； 含有三个元素的集合：{0，1，2}。

故集合{0，1，2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}。

其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集。

这样，含n 个元素的集合{a 1，a 2，…，a n }的所有子集的个数是2n ，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2

规律方法 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏。

（2）集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n 个子集，有(21)n -个真子集，(21)n -个非空子集，(22)n -个非空真子集。

变式迁移1 已知集合M 满足1212{34}{5}M ⊆⊆，，，，，，写出集合M 。

解 由已知条件知所求M 为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}。

集合基本关系的应用

【例2】（1）已知集合34{|}A x x =≤≤-，211{|}B x m x m =-＜＜＋，且B A ⊆．求实数m 的取值范围；（2）本例（1）中，若将“B A ⊆”改为“A B ⊆”，其他条件不变，则实数

m 的取值范围是什么？

解 （1）∵B A ⊆，

①当B =∅时，121m m ≤-＋，解得2m ≥．

②当B ≠∅时，有321

14211m m m m --⎧⎪

+⎨⎪-+⎩

＜……，

解得12m ≤-＜， 综上得1m ≥-．

（2）显然A ≠∅，又A B ⊆，∴B ≠∅， 如图所示，

∴21121314m m m m -+⎧⎪

--⎨⎪+⎩

＜＜＞，解得m ∈∅。 规律方法 （1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合。

（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示。

（3）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的。

变式迁移2 已知25{6|}0A x x x ==－＋，1{|}B x mx ==，若B A ⊆，求实数m 所构成的集合M 。

解 由2560x x -=＋得2x =或3x =． ∴}3{2A =，

由B A ⊆知B =∅或2{}B =或3{}B = 若B =∅，则0m =； 若2{}B =，则1

m 2

=；

若3{}B =，则m 3

1=。 ∴11M 0,,23⎧⎫=⎨⎬⎩⎭

。

集合相等关系的应用

【例3】已知集合2{}A x y =，，，22{}2B x y =，，且A B =，求x ，y 的值。 解 方法一 ∵A B =，

∴集合A 与集合B 中的元素相同，

∴22x x y y =⎧⎨=⎩

或22x y y x =⎧⎨=⎩，

解得x ，y 的值为00x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或141

2x y ⎧=

⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩

验证得，当0x =，0y =时，

A={2，0，0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去。

∴x ，y 的取值为01x y =⎧⎨=⎩或141

2x y ⎧

=

⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩

规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解。

变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

，也可表示为20{}a a b ，＋，

，求a ，b ．

解 由集合相等得：0,,1b a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭

，易知0a ≠， ∴

0b

a

=，即0b =，∴21a =且2a a ≠，∴1a =-． 综上所述：1a =-，0b =.

【课堂小结】

1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“=”等表示。