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[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(文科) 第八章 第1讲 空间几何体的三视图和直观图[配套课件]
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考情风向标 从近几年的高考试题来看， 对本节内容的考查形式比较稳定， 多是将三视图与位置关系融为一 体．“三视图”是新课标增加的 内容，是近年高考的热点，重点 考查画实物三视图(辨析为主)或根 据三视图还原实物，并多与面积、 体积的计算交汇命题．备考中， 要重点掌握以三视图为命题背景， 研究空间几何体的结构特征的题 型．要熟悉一些典型的几何体模 型，如三棱柱、长(正)方体、三棱 锥等几何体的三视图.
结论的编号)．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直
角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等
边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：如图D26，四边形AA1C1C 为矩形；三棱锥 B1-A1BC1
就是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四
面体；三棱锥 D-A1BC1 就是每个面都是等边三角形的四面体； 三棱锥 A1-ABC 就是每个面都是直角三角形的四面体．
考点 2 几何体的三视图 例 2：(1)(2014 年新课标Ⅰ)如图 8-1-5，网格纸的各小格都 是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何 体是( )
图 8-1-5 A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
解析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可 得几何体如图 D27.
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形 (1)步骤：画轴、取点、成图． (2)图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中仍平行于 x′轴 且长度保持不变，平行于 y 轴的线段，在直观图中仍平行于 y′ 轴且长度变为原来的一半，与坐标轴不平行的线段，可通过确 定端点的办法来解决． (3)画空间图形的直观图时，只需增加一个竖直的 z′轴， 图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z′轴且长度保 持不变．
《南方新课堂_高考总复习》数学(理科)课时作业专题六立体几何Word含解析
专题六立体几何第 1课时1．(2015 年新课标Ⅱ )一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图Z6- 1，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()图 Z6-11 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 52．如图 Z6- 2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 Z6-216 32 64A. 3B. 3C. 3 D ．323．某几何体的三视图如图Z6- 3，则该几何体的体积为()图 Z6-32 4A. 3B. 3816C.3D. 34．(2016 年河北“五校结盟”质量监测 )某四周体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是 ()图 Z6-4A ．2B ．22 C.3 D ．235．已知一个几何体的三视图如图 Z6- 5，则该几何体的体积为 ( )图 Z6-52223A ．8 B. 3 C. 3 D ．76．点 A ， B ，C ，D 均在同一球面上，且 AB ， AC ，AD 两两垂直，且AB ＝ 1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为 ( )7 7 14πA ． 7πB ． 14π C.2π D. 37．(2013 年新课标Ⅰ)如图 Z6-6，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器厚度，则球的体积为()图 Z6-6500 π 3866 π3A. 3cm B. 3 cm C. 1372 π D. 2048 π3 cm 3 3cm 38． (2016 年北京 )某四棱柱的三视图如图 Z6-7，则该四棱柱的体积为 ________．图 Z6-7体9．球 O 半径为OABC 的体积是 (R＝13，球面上有三点)A， B，C， AB＝ 12 3， AC＝ BC＝ 12，则四周A．60C．6010．如图ABC 的距离为3 B．50 36 D．50 6Z6-8，已知正三角形ABC 三个极点都在半径为 2 的球面上，球心O1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是到平面( )图 Z6-87π9πA. 4 B． 2π C. 4 D． 3π11． (2017 年广东茂名一模 )过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB， AC， AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为 R，则△ BCD 的面积为 ____________．12．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， AB＝ 2， AC＝ 1，∠ BAC＝ 60°，则此球的表面积等于 ________．第 2课时1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ BAC＝ 90°，AB ＝AC＝ AA1，则异面直线BA1与 AC1 所成的角等于 ()A ． 30°B ．45° C．60° D ．90°2．(2016 年天津模拟 )如图 Z6-9，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：图 Z6-9①BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥；④平面 ADC ⊥平面 ABC .()此中正确的选项是A ．①②④B ．①②③C．②③④D．①③④)分别相等，且3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱2 2长各为2， m， n，此中 m ＋n ＝6，则三棱锥体积的最大值为()3 1 8 3 2A. 3B. 2C. 27D. 34．(2016 年辽宁葫芦岛统测) 已知四棱锥P-ABCD 的五个极点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△ PAD 中， PA＝ PD ＝2，∠ APD ＝120 °，AB＝2，则球 O 的外接球的表面积等于()A ． 16π B． 20π C． 24π D ．36π5．在矩形ABCD 中， AD＝ 2，AB ＝4， E，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A， F 折起后分别为点A′， F′，获得四棱锥A′ -BCDE .给出以下几个结论：① A′， B， C， F′四点共面；② EF′∥平面A′ BC；③若平面 A′DE ⊥平面 BCDE ，则 CE⊥ A′ D；④四棱锥 A′ -BCDE 体积的最大值为2，此中正确的选项是________(填上全部正确的序号)．6．(2017 年广东梅州一模 )如图 Z6-10 所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后获得的，此中∠ BAE＝∠ GAD ＝ 45°，AB ＝ 2AD＝ 2，∠ BAD ＝ 60°.(1)求证： BD ⊥平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．图 Z6- 107． (2017 年广东广州二模 )如图 Z6-11，ABCD 是边长为 a 的菱形，∠ BAD＝ 60°， EB⊥平面 ABCD ， FD ⊥平面 ABCD ， EB＝ 2FD ＝ 3a.(1)求证： EF ⊥ AC；(2)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值．图 Z6-118． (2017 年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝ BC＝BB1，AB1∩ A1B＝ E，D 为 AC 上的点， B1C∥平面 A1BD；(1)求证： BD ⊥平面 A1ACC1；(2)若 AB＝ 1，且 AC ·AD＝ 1，求二面角B-A1D -B1的余弦值．图 Z6- 12专题六 立体几何第 1课时1．D 分析： 由三视图，得在正方体 1 1 1 1 中，截去四周体A-A 1 1 1，如图ABCD-A B C DB DD164 ，图 D164设正方体棱长为 a ，则 V A- A 1B 1D 1 1 1 3 1 3＝ × a ＝ a .3 2 631 35 31则节余几何体体积为 a－ 6a ＝ 6a .因此截去部分体积与节余部分体积的比值为 5.应选D.2． B 分析： 几何体为如图 D165 所示的正方体中的三棱锥 E- BB 1C(E 为 AA 1 的中点 )，它的体积为1× 1× 4× 4× 4＝323 23 .应选 B.图 D165图 D1663． B分析： 由三视图知对应的几何体为如图D166 所示的正方体中的三棱锥P-ABC ，此中 PC ⊥平面 PAB ，PA ＝AB ， PC ＝ PB ＝ 2，A 到 PB 的距离为 2，故该几何体的体积为 1× 13 2 4×2× 2× 2＝ .应选 B.3 4．D分析： 如图 D167 ，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中复原出三视图的直观图，其是一个三个极点在正方体的右边面、一个极点在左边面的三棱锥，即 D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为 2,22， 2 2， 2 3.应选 D.图 D1675．D 分析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为 2 的正方体截去两个三棱锥 A-A 1PQ和 D-PC 1D 1 后节余的部分，如图D168 ，此中 Q 是棱 A 11 的中点， P 是 A 11 的中点，因此B D该几何体的体积为V ＝ 8－1× 1× 1× 1×2－ 1×1× 1× 2×2＝ 7.应选 3 2 3 2D. 图 D1686．B分析： 三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相互垂直，因此把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，因此长方体的对角线长是 12＋ 22＋ 32＝14，它的外接球半径是14，外接球的表面积是 4π× 14 2＝ 14π故.选 B.2 27．A 分析： 如图 D169 ，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－ 6＝ 2(cm)，BM ＝ 1A B ＝ 1× 822 ＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋42，∴R ＝ 5.∴V 球＝43π× 53＝5003 π(cm 3)．图 D16938.2 分析： 由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高1 3为 1，故该四棱柱的体积 V ＝ Sh ＝ 2× (1＋2)× 1× 1＝2.9．A 分析： 设△ABC 外接圆半径为 r ，由 AB ＝ 12 3，AB ＝BC ＝ 12，得 A ＝B ＝ 30°，12 3 ＝24.解得 r ＝ 12.则 O 到平面 ABC 的距离 d ＝ R 2－ r 2＝ 132－ 122C ＝ 120 °.因此 2r ＝sin 120° 1× 36 3× 5＝ 60 3.应选 A. △1× 12× 12× sin 120 ＝°36 3，因此 V＝5.又 S ABC ＝ 2O-ABC ＝310．C 分析： 依据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点 E 的球 O的截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半 径的最小值，进而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连结 O 1A ，连结O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1 是正三角形 ABC 的中心， A ，B ，C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面 ABC. 联合 O 1C? 平面 ABC ，可得 O 1O ⊥O 1C.∵球的半径 R ＝ 2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝ R 2－ O 1O 2＝ 3.又∵E 为 AB 的中点， △ABC 是等边三角形． ∴32 27O 1E ＝ AO 1sin 30 ＝°2 .∴OE ＝OO 1＋ O 1E ＝ 2 .过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，2 2 329 截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝ R －OE ＝ 2.可得截面面积为 S ＝ πr ＝ 4π故.选 C.2 3 2分析： 方法一，由条件知 A-BCD 是正四周体，△ BCD 是正三角形， A ，B ，11. 3 R C ，D 为球上四点，将正三棱锥A-BCD 增补成一个正方体AGBH -FDEC ，如图 D170. 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH -FDEC 有共同的外接球， △BCD 的边长就是正方风光的对角线，设正方体 AGBH -FDEC 的棱长为 a ，则正方体外接球半径 R 知足： a 2＋ a 2＋ a 2 ＝(2R)2，解得2422 228211823 ＝ 2 3a ＝ R .因此 BC ＝ a＋ a ＝R .因此△BCD 的面积 S ＝BC ×BD sin 60 ＝°× R ×2 333223R 2.图 D170图 D171方法二，由条件 A-BCD 是正四周体， △ BCD 是正三角形， A ， B ， C ， D 为球上四点， 球心 O 在正四周体中心，如图 D171.设 BC ＝ a ，CD 的中点为 E ， O 1 为过点 B ，C ， D 截面圆的圆心，2 23 3 则截面圆半径 r ＝O 1B ＝ 3BE ＝ 3×2 a ＝ 3 a.2 3 2 6正四周体 A-BCD 的高 AO 1＝ a － 3 a＝ 3 a.∴ 截面 BCD 与球心的距离d ＝ OO 1＝ 63 a －R.32 2622 6在 Rt △BOO 1 中， 3 a＝ R － 3 a －R，解得 a ＝ 3 R.∴△ BCD 的面积为11 2 6 2 3 2 32S ＝BC ×BCsin 60 ＝° ×3 R× 2 ＝ 3 R .2 212． 8π 分析： ∵三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3， AC ＝ 1，1 2 22AB ＝ 2，∠BAC ＝ 60°，∴2×1× 2× sin 60°× AA 1＝ 3.∴AA 1＝ 2.∵BC ＝ AB ＋ AC －2AB ·ACcos60°＝ 4＋ 1－ 2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为BC ＝ 2R.∴R ＝ 1.故外接球的 R ，则sin 60 °半径为12＋ 12＝ 2，外接球的表面积等于 4π× ( 2)2＝8π.第2课时1． C 分析： 延伸 CA 到 D ，使得 AD ＝ AC ，则 ADA 1C 1 为平行四边形，∠ DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角．又△ A 1DB 为等边三角形．∴∠ DA 1B ＝ 60°.2． B 分析： 由题意知， BD ⊥平面 ADC ，故 BD ⊥AC ，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高， 平面 ABD ⊥平面 ACD ，因此 AB ＝ AC ＝ BC ，△BAC 是等边三角形， ②正确；易知 DA ＝ DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3． D 分析： 直接求三棱锥的体积很困难，由于不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥 A-CB 1 1 切合题意，设AA 1＝ x ， A 1 D 1＝ y ，Dx 2＋ y 2＝ 2，1 1＝ z ，有2＋ z2＝m 2， 2 22 222＝4，z ＝ 22x A By 2＋ z 2 ＝n 2 ，11 2 22三棱锥体积 V ＝ 3V 长方体 ＝ 3xyz ＝ 3 xy ≤ 3 .因此三棱锥体积的最大值为 3 .应选 D.图 D1724．B 分析： 取 AD 的中点为 E ，连结 PE ，则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得， PE ⊥平面 ABCD ，于是以点 E 为原点，以 ED ，EP 分别为 x ，z 轴成立空间直角坐标系，此中AC 与 BD 订交于 F 点．于是可得E(0,0,0) ， D( 3， 0,0)， A(－ 3， 0,0)， P(0,0,1) ， C( 3，2,0)，B(－ 3，2,0)，F(0,1,0) ，设球 O 的球心的坐标为 →O(0，1，z 0)，则 OP ＝ (0，－ 1,1－ z 0 )， → → → － 1 2 2 ＝ 2 OB ＝(－ 3，1，－ z 0)，由 |OP|＝ |OB|，得 ＋ 1－ z 0 3＋ 1＋ z 0.解之，得 z 0＝－ 1.因此球心→ 5，由球的表面积公式知， S ＝ 4πr 2 ＝4π× ( 5) 2O(0,1，－ 1)．于是其半径为 |OP|＝ ＝ 20π故.选 B.5． ②③6． (1) 证明： 在△BAD 中，∵AB ＝ 2AD ＝ 2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得 BD ＝ 3. ∵AB 2＝AD 2＋ BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴GD ⊥BD .又 AD ∩ GD ＝ D ，∴BD ⊥平面 ADG.(2)解： 以 D 为坐标原点，成立如图 D173 所示的空间直角坐标系 D-xyz.图 D173∵∠ BAE ＝∠ GAD ＝ 45°， AB ＝ 2AD ＝ 2，∴ A(1,0,0) ，B(0， 3， 0)， G(0,0,1)， E(0， 3，2)， C(－ 1， 3，0)．→ →． ∴ AE ＝ (－ 1， 3， 2)，AG ＝ (－ 1,0,1) 设平面 AEFG 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→n ·AE ＝－ x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 0， 故有→n ·AG ＝－ x ＋ z ＝ 0.令 x ＝ 1，得 y ＝－ 33，z ＝ 1.n ＝ (1，－ 33， 1)．而平面 ABCD 的一个法向量为→，DG＝ (0,0,1)→→21 DG·n∴ cos 〈DG＝7 .， n〉＝→|DG | |·n|故平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为7．解： (1) 证明：连结 BD，如图 D174.由于 ABCD 是菱形，因此AC⊥BD.由于 FD ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，因此 AC ⊥FD .由于 BD ∩FD ＝ D，因此 AC⊥平面 BDF .由于EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，因此 EB ∥FD .因此 B， D， F，E 四点共面．由于 EF ? 平面 BDFE ，因此 EF⊥AC. 21 7 .图 D174 图 D175(2)如图 D175，以 D 为坐标原点，分别以→→的方向为 y 轴， z 轴的正方向，成立DC，DF空间直角坐标系D-xyz.能够求得3 1 3 1 3Aa，－2a， 0 ， B 2 a，2a， 0 ， F 0， 0，2 a ， C(0 ， a,0) ，23 1E 2 a，2a， 3a .→→＝3 1 3因此 AB＝ (0， a,0)， AF －2 a，2a，2 a . 设平面 ABF 的法向量为n＝( x， y， z)，→＝0，ay＝ 0，n·AB则→即－3 1 3 ＝0，n·AF 2 ax＋2ay＋2 az＝ 0.取 x＝ 1，则平面 ABF 的一个法向量为n＝(1,0,1)．→ 3 1，由于 CE＝2 a，－2a，3a→| →| 3 6n·CE因此 |cos〈n，CE〉|＝|n|CE→＝8 .| |因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为38 6 .8． (1) 证明：如图 D176，连结 ED，∵平面 AB1C∩平面 A1BD ＝ED， B1C∥平面A1BD ，∴B1C∥ED.∵E 为 AB1的中点，∴ D 为 AC 的中点．∵AB＝ BC，∴BD ⊥AC.①方法一，由 A1A⊥平面 ABC， BD? 平面 ABC，得 A1A⊥BD ，②由①②及 A1A， AC 是平面 A1ACC1内的两条订交直线，∴BD ⊥平面 A1ACC1.方法二，∵ A1A⊥平面 ABC， A1A? 平面 A1 ACC1，∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.又平面 A1ACC 1∩平面 ABC＝ AC，∴BD ⊥平面 A1ACC1.图 D176 图 D177(2)由 AB＝ 1，得 BC ＝BB1＝ 1.1 2由 (1)知 DA＝2AC，由 AC·DA＝1，得 AC ＝ 2.∵AC2＝ 2＝ AB2＋ BC2，∴ AB⊥ BC.以 B 为原点，成立空间直角坐标系B-xyz 如图 D177，1 1则 A1(1,0,1) ，B1(0,0,1) ， D 2，2， 0 .→→ 1 1.因此 B1A1＝ (1,0,0) ，B1D＝，，－12 2设 m＝(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，→→m·B1A1＝x＝0，m⊥B1A1，则得→ 1 1→y－ z＝ 0.m⊥B1D，m·B1D＝x＋2 2令 z＝ 1，得m＝ (0,2,1) ．设 n＝(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，→，→ a bn⊥BD n·BD＝＋＝0，则得 2 2→→n⊥BA1，n·BA1＝a＋c＝0.令 c＝ 1，得n＝ (－1,1,1) ．依题意知二面角B-A1D -B1为锐二面角，设其大小为θ，则 cos θ＝ |cos〈n，m〉 |＝|n·m|＝3＝155. |n| ·|m| 5× 315 即二面角 B-A1 D-B1的余弦值为5 .。
《2016南方新高考》理科数学高考大一轮总复习课件：第10章 第3讲 圆的方程
31
高中新课标总复习
由于平行四边形的对角线互相平分， x x0－3 y y0＋4 故2＝ 2 ，2＝ 2 .
x0＝x＋3 从而 ，N(x＋3，y－4)在圆上， y0＝y－4
理 数
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点 9 12 21 28 (－5， 5 )和(－ 5 ， 5 )(点 P 在直线 OM 上时的情况)．
理 数
解析：因为点 P(x，y)关于直线 y＝x 对称的点为 P'(y，x)， 所以(1,2)关于直线 y＝x 对称的点为(2,1)， 所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关于直线 y＝x 对称的圆的方 程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
21
高中新课标总复习
理 数
二
与圆有关的最值问题
【例 2】已知实数 x、y 满足 x2＋y2＋2x－2 3y＝0，求 x＋
2
的轨迹方程．
41
高中新课标总复习
4 2 【解答过程】(1)由|AB|＝ 3 ， 可得|MP|＝ |AB| 2 |MA| － 2 ＝
2
理 数
2 22 1 1 － 3 ＝3.
2
由射影定理，得|MB|2＝|MP|· |MQ|，故得|MQ|＝3. 在 Rt△MOQ 中， |OQ|＝ |MQ|2－|MO|2＝ 32－22＝ 5， 故 Q 点的坐标为(± 5，0)． 所以直线 MQ 的方程是 2x＋ 5y－2 5＝0 或 2x－ 5y＋2 5＝0.
y 的最小值．
22
高中新课标总复习
理 数
【思路点拨】 把圆的普通方程化为参数方程， 利用两角和 π 的正弦公式化简 x＋y 可得 x＋y＝ 3－1＋2 2sin(θ＋4)，再利 用正弦函数的有界性求得 x＋y 的最小值．
[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第三章 第7讲 正弦定理和余弦定理[配套课件]
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⊙转化与化归思想在解三角形中的应用
例题：(2013 年陕西)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分
别为 a，b，c，若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为
( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 解析：方法一:bcosC+ccosB=b× 2ab ＋c× 2ac 2a2 π ＝ 2a ＝a＝asinA，∴sinA＝1，即A＝2. ∴△ABC为直角三角形．故选A. 方法二：由bcosC＋ccosB＝asinA，得 sinBcosC＋sinCcosB＝sinA· sinA. ∴sinB＋C＝sinA＝sinA· sinA， π ∴sinA＝1，即A＝2. ∴△ABC为直角三角形．故选A.
2．(2013年上海)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别 7 为a，b，c.若a＝5，c＝8，B＝60° ，则b＝________.
解析：b＝ a ＋c －2accosB＝ 49＝7.
2
2
1 25＋64－2×5×8×2＝
3．(2014年湖北)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 π 2π π 或 3 3 a，b，c.已知A＝6，a＝1，b＝ 3，则B＝________.
2A－B
2
＋4sinAsinB＝2＋ 2.
思维点拨:(1)由二倍角的余弦公式把4sin
2A－B
2 +4sinAsinB=
2＋ 2 降次，再用两角和的余弦公式求cos(A＋B)，由三角形内 角和定理可求得cosC，从而求得角C. (2)根据三角形的面积公式求出边a，再由余弦定理求边c.
解：(1)由已知，得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋ 2. 化简，得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝ 2. 2 3π ∴cos(A＋B)＝－ 2 ，∴A＋B＝ 4 . π 又A＋B＋C＝π，∴C＝4. 1 1 2 (2)∵S△ABC＝ absinC＝ a×4× ＝6，∴a＝3 2 2 2 由余弦定理，得 c ＝a ＋b －2abcosC＝18＋16－2×3 ∴c＝ 10.
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第1讲-直线的方程演示文档.ppt
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【互动探究】 2．已知点 A(3,4)． (1) 经过点 A ， 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ____________________； (2)经过点 A，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直 线方程为____________________； (3)经过点 A，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍 的直线方程为____________________．
(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围．
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解：设直线方程为ax＋by＝1， 因为直线经过点P(2,1)，故有2a＋1b＝1，所以b＝a－a 2. (1)当S＝3时，S＝12ab＝12a·a－a 2＝3， 有a－a2 2＝±6，即a2－6a＋12＝0或a2＋6a－12＝0， 前一个方程Δ<0无解，后一个方程Δ>0有两个不相等的 解，所以这样的直线共有2条．
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考点 1 直线的倾斜角和斜率 例 1：已知两点 A(－2，－3)，B(3,0)，过点 P(－1,2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围． 解：方法一：如图 D23，直线 PA 的斜率是
图 D23
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k1＝－2－1－－－32＝5. 直线PB的斜率是 k2＝3－0－－21＝－12. 当直线l由PA变化到与y轴平行的PC位置时，它的倾斜角由 锐角α(tanα＝5)增至90°，斜率的变化范围是[5，＋∞)； 当直线l由PC变化到PB位置时，它的倾斜角由90°增至 βtanβ＝－12，斜率的变化范围是－∞，－12.
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(2)|PA|·|PB|＝ k12＋1· 4＋4k2 ＝ k42＋4k2＋8≥4. 当且仅当2k＝2k，即k＝－1时，|PA|·|PB|取得最小值4. 此时直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.
《南方新课堂·高考总复习》数学(文科)一轮复习练习：第七章 解析几何(含答案解析)
第七章解析几何第1讲直线的方程1．过点(4，－2)，斜率为－33的直线的方程是()A.3x＋y＋2－4 3＝0B.3x＋3y＋6－4 3＝0C．x＋3y－2 3－4＝0D．x＋3y＋2 3－4＝02．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝03．(2014年广东惠州一模)已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为()A．－2或1 B．2或1C．－2或－1 D．2或－14．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条5．过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________．6．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是__________．7．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．8．已知点P是直线l上的一点，将l绕点P按逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到l1：x＋2y ＋1＝0，若继续按逆时针旋转(90°－α)，则得到直线l2：x－y－2＝0，则l的方程为____________．9．(2013年新课标Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12 10．求经过点A ()－2，2，且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小的直线的方程．第2讲 两直线的位置关系1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k)y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或22．(2012年浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋14．已知两条直线l 1：mx ＋y －2＝0和l 2：(m ＋2)x －3y ＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．2或12D ．－2或125．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32B ．－2 C.32和－1 D.32，－1和－126．(2014年福建)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝07．(2013年四川)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．8．两条平行直线x ＋ay －a －1＝0与2x ＋a 2y ＋5＝0之间的距离是____________．9．已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．10．已知点A(－3,5)，B(2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上求一点P ，使得||PA ＋||PB 最小．第3讲 圆的方程1．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a<－2或a>23 B ．－23<a<0C ．－2<a<0D ．－2<a<232．(2014年新课标Ⅱ)设点M(x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C ．[－2，2] D.⎣⎡⎦⎤－22，22 3．若点P(1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝04．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．2＋22D ．1＋2 2 5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是( ) A.5＋3 B ．6 5＋14 C ．－5＋3 D ．－6 5＋146．(2015年山东东营模拟)点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝17．已知奇函数y ＝f(x)的导函数f′(x)<0在R 恒成立，且x ，y 满足不等式f(x 2－2x)＋f(y 2－2y)≥0，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[0,2 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,8]8．(2014年山东)已知圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为2 3，则圆C的标准方程为____________________．9．(2013年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．10．(2014年新课标Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为点M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．第4讲 直线与圆的位置关系1．(2015年安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b ＝( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或122．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公共切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．(2015年广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝04．(2013年山东)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y ＋3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝05．(2014年浙江)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a ＝( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－86．(2015年重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2107．(2015年山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32 或－23C ．－54或－45D ．－43或－348．过点(2,4)的直线l 与曲线y ＝1＋4－x 2总有两个不同的交点，则直线l 的斜率的取值范围是________．9．已知两点M(－1,0)，N(1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点A(t,4)是动点P 的轨迹上的一点，K(m,0)是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4的位置关系．10．(2015年广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B.(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k(x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．第5讲 椭 圆1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．20D ．5或32．(2012年新课标)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.453．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284．(2013年新课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.335．(2015年新课标Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．6．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________.7．(2013年福建)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．8．(2013年大纲)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，34B.⎣⎡⎦⎤38，34C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎦⎤34，1 9．(2014年江苏)如图X7-5-1在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B 的坐标是(0，b)，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C.(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．图X7-5-110．(2015年陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图X7-5-2，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E的方程．图X7-5-2第6讲 双曲线1．(2015年浙江)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．2．(2015年安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 3．(2015年湖南)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.534．(2015年天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝4 7x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 5．(2014年大纲)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 26．(2014年广东，由人教版选修1-1P 68-3改编)若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等7．(2015年新课标Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 28．(2015年新课标Ⅰ)已知M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 上的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，2339．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．10．(2012年广东佛山一模)已知圆C 1：(x －4)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y －2)2＝1，圆C 1，C 2关于直线l 对称．(1)求直线l 的方程；(2)直线l 上是否存在点Q ，使点Q 到点A(－2 2，0)的距离减去点Q 到点B(2 2，0)的距离的差为4？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．第7讲 抛物线1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么当点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)3．(2014年广东揭阳一模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线x －2y ＋4＝0与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－454．(2015年上海)抛物线y 2＝2px(p>0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝__________.5．(2013年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4 2，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．46．以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定7．(2015年浙江)如图X7-7-1，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图X7-7-1A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋18．(人教版选修1-1P 64-6)如图X7-7-2是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，则水位下降1 m 后，水面宽________m.图X7-7-29．(2015年福建)如图X7-7-3，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．图X7-7-310．(2012年新课标)如图X7-7-4，设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A 为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一条直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．图X7-7-4第8讲 轨迹与方程1．如图X7-8-1，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )图X7-8-1A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆2．当动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝123．已知椭圆的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ|＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线4．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b25．(由人教版选修1-1P 42-7改编)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交直线MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．(由人教版选修1-1P 54-5改编)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交直线MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是( )① ② ③④ ⑤A ．①③⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③ 8．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为2 3，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为____________．9．(2011年新课标)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．10．(2013年新课标Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系1．(2014年辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记抛物线的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43 B ．－1C ．－34D ．－122．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝8 33yB ．x 2＝16 33yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y3．(2014年新课标Ⅱ)设点F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 34．已知双曲线E 的中心为原点，P(3,0)是E 的焦点，过点P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 5．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.6．如图X7-9-1，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是______________．图X7-9-17．椭圆x 2＋4y 2＝4的长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________．8．(2015年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为______．9．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点．(1)设椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎫22，32到F 1，F 2两点的距离之和等于2 2，写出椭圆C 的方程； (2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F 2，且斜率为1的直线与其相交于A ，B 两点，求△ABF 1的面积；(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，试探究k PM ·k PN 的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．专题四 圆锥曲线的综合及应用问题1．已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为( )A ．8B ．5C ．4D ．92．已知点F 1，F 2是x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A ．4B ．5C ．2D ．13．若点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－2 3，＋∞)B ．[3＋2 3，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 4．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF 1|的最大值为________．5．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1.(1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ⎝⎛⎭⎫－54，0，证明：MA →·MB →为定值．7．(2014年北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)，点B 在直线l 1：y ＝－1上，点M 满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，点M 的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设直线l2：y＝kx＋m与曲线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝－1相交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．第七章 解析几何 第1讲 直线的方程1．B 2.C3．C 解析：由|a －2＋1|a 2＋1＝|5a ＋6＋1|a 2＋1，得a 2＋3a ＋2＝0，∴a ＝－1或a ＝－2. 4．C 解析：设过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ， 则有直线的方程为y －3＝k(x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M(0,2k ＋3)，N ⎝⎛⎭⎫－2－3k ，0. 再由12＝12|OM|·|ON|＝12|2k ＋3|×|－2－3k |，可得|4k ＋9k ＋12|＝24，即4k ＋9k ＋12＝24，或4k ＋9k ＋12＝－24.解得k ＝32或k ＝－9－6 22或k ＝－9＋6 22，故满足条件的直线有3条．5．3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 解析：当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0.6．－137．x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 解析：设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1.∵A(－2,2)在此直线上， ∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a|·|b|＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．8．x ＋y ＝0 解析：根据题意，点P 为直线l 1与l 2的交点，解得点P 的坐标为(1，－1)．又直线l 与直线l 2垂直，直线l 2的斜率为1，∴直线l 的斜率为－1.由点斜式知，l 的方程为y ＋1＝－1(x －1)，即x ＋y ＝0.9．B 解析：由题意画出图形，如图D103(1)． 由图可知，直线BC 的方程为x ＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b ，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1.可求N(0，b)，D ⎝⎛⎭⎫－ba ，0. ∵直线y ＝ax ＋b 将△ABC 分割为面积相等的两部分， ∴S △BDM ＝12S △ABC .又S △BOC ＝12S △ABC ，∴S △CMN ＝S △ODN ，即12×⎪⎪⎪⎪－b a ×b ＝12(1－b)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1.整理，得b 2a＝－2a ＋1.图D103∴－2b 2＝1＋a a .∴1b －1＝1＋1a.∴1b ＝1＋1a＋1，即b ＝11＋1a ＋1，可以看出，当a 增大时，b 也增大． 当a→＋∞时，b→12，即b<12.当a→0时，直线y ＝ax ＋b 接近于y ＝b.当y ＝b 时，如图D103(2)，S △CDM S △ABC ＝CN 2CO 2＝－212＝12. ∴1－b ＝22.∴b ＝1－22. ∴b>1－22. 由上分析可知1－22<b<12.故选B. 10．解：方法一，设所求直线方程为x a ＋yb ＝1(a<－2，b>2)．∵－2a ＋2b ＝1，∴a ＝2b 2－b.∴围成的三角形的面积S ＝－12ab ＝－b 2·2b 2－b ＝b 2b －2＝(b ＋2)＋4b －2＝⎣⎡⎦⎤－＋4b －2＋4≥2－4b －2＋4＝8. 当且仅当b －2＝4b －2，即b ＝4时，S 最小．此时a ＝－4，b ＝4.故x －y ＋4＝0即为所求．方法二，设所求直线方程为y －2＝k(x ＋2)，显然k>0， 由题意，S ＝12||2k ＋2·⎪⎪⎪⎪－2k －2＝4＋2⎝⎛⎭⎫k ＋1k ≥8. 当且仅当k ＝1时取等号，故x －y ＋4＝0为所求直线方程．第2讲 两直线的位置关系1．C 2.A 3.A4．A 解析：∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，∴对角互补，两条直线垂直，即m(m ＋2)－3＝0.解得m ＝1或m ＝－3.故选A.5．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点P(－1，－2)．若点P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12，此时三条直线交于一点P ；若k ＝32或k ＝－1时，有两条直线平行．故k≠－12，32和－1. 6．D 解析：圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，且直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的斜率为1，方程是y ＝x ＋3.7．(2,4) 解析：如图D104，由题意知，AC 与BD 相交，两线交点E 为所求的点．AC ：y ＝2x ，BD ：y ＝－x ＋6，联立，得x ＝2，y ＝4.图D1048.72或11 510 解析：∵两直线平行，∴当a≠0时，12＝a a 2≠－a －15.∴a ＝2.此时两直线的方程为x ＋2y －3＝0与2x ＋4y ＋5＝0.∴两平行直线之间的距离为d ＝|－6－5|22＋42＝11 510.当a ＝0时，两直线方程为x ＝1与x ＝－52，此时两平行直线之间的距离为d ＝1－⎝⎛⎭⎫－52＝72. 9．解：正方形中心G(－1,0)到四边的距离均为 |－1－5|12＋32＝610. 设与已知直线平行的一边所在直线的方程为 x ＋3y ＋c 1＝0，则|－1＋c 1|10＝610，即|c 1－1|＝6.解得c 1＝－5或c 1＝7.故与已知边平行的直线的方程为x ＋3y ＋7＝0.设正方形另一组对边所在直线的方程为3x －y ＋c 2＝0， 则－＋c 2|10＝610，即|c 2－3|＝6.解得c 2＝9或c 2＝－3.故正方形另两边所在直线方程为 3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在直线方程分别为 x ＋3y ＋7＝0，3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.10．解：由题意知，点A ，B 在直线l 的同一侧．由平面几何性质可知，先作出点A 关于直线l 的对称点A′，然后连接A′B ，则直线A′B 与l 的交点P 即为所求．事实上，设点P′是l 上异于点P 的点，则||P′A ＋||P′B ＝||P′A′＋||P′B >||A′B ＝||PA ＋||PB .设A′(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x ＋3·34＝－1，3·x －32－4·y ＋52＋4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.∴A′(3，－3)．∴直线A′B 的方程为18x ＋y －51＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，18x ＋y －51＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝3.∴P ⎝⎛⎭⎫83，3.第3讲 圆的方程1．D 解析：由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a<23.2．A 解析：如图D105，当M(1,1)，N(1,0)，显然∠OMN ＝45°合题意，根据对称性．故选A.图D1053．D4．B 解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心(1,1)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|2＝2，所求距离的最大值为2＋1.故选B.5．A 解析：将x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0转化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝32，x 2＋y 2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即－2＋12＋3＝5＋3.故选A.6．A 解析：设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 的中点为M(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.7．D 解析：因为函数y ＝f(x)为奇函数，所以f(x 2－2x)≥f(2y －y 2)，由函数y ＝f(x)的导函数f′(x)<0在R 恒成立，知函数y ＝f(x)为减函数，∴x 2－2x≤2y －y 2，∴(x －1)2＋(y －1)2≤2，故x 2＋y 2的最小值为0，最大值为直径2 2，从而x 2＋y 2的最小值为0，最大值为直径的平方8.8．(x －2)2＋(y －1)2＝4 解析：因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以设圆心为(2a ，a)．因为圆C 与y 轴的正半轴相切，所以a>0，r ＝2a.又因为圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，所以a 2＋(3)2＝(2a)2，a 2＝1，a ＝1，则圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y±1)2＝3. 10．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x ，y)，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y)． 由题设知，CM →·MP →＝0， 故x(2－x)＋(y －4)(2－y)＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)知，M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故点O在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，从而ON ⊥PM. 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13.故l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0.则点O 到l 的距离为d ＝|－8|12＋32＝4105. 又点N 到l 的距离为|1×1＋3×3－8|10＝105，则|PM|＝22－⎝⎛⎭⎫1052＝4105.所以S △POM ＝12×4105×4105＝165.第4讲 直线与圆的位置关系1．D 解析：∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|32＋42＝1⇒b＝2或12.故选D.2．B3．D 解析：依题可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则有|0＋0＋c|22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.故选D.4．A 解析：方法一，设过点(3,1)的切线为y －1＝k(x －3)，变形可得kx －y ＋1－3k ＝0.由圆心(1,0)到切线的距离d ＝|k ＋1－3k|k 2＋1＝1，得k ＝43.联立切线与圆的方程可得切点A ，B的坐标，可得直线AB 的方程．方法二，以点(3,1)与圆心(1,0)的连线为直径求得圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54， ⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54，－2＋y 2＝1.两式相减，得2x ＋y －3＝0.故选A.5．B 解析：由圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0配方，得 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ， 所以圆心为(－1,1)，r ＝2－a.圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，所以(2)2＋22＝r 2＝2－a ，a ＝－4.6．C 解析：圆C 标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a×1－1＝0，a ＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝|AC|2－r 2＝－4－2＋－1－2－4＝6.故选C.7．D 解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为：y ＋3＝k(x －2)，即kx －y －2k －3＝0，由因为光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理，得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.8.⎝⎛⎦⎤512，34 解析：化简曲线y ＝1＋4－x 2并整理得x 2＋(y －1)2＝4(y≥1)，如图D106，k 1＝4－12－－＝34，设切线斜率为k 2，切线方程为y －4＝k 2(x －2)，k 2x －y ＋4－2k 2＝0，利用点到直线的距离公式得d ＝|－1＋4－2k 2|k 22＋1＝2,4k 22＋4＝4k 22－12k 2＋9，k 2＝512，所以512<k≤34.图D1069．解：(1)设P(x ，y)，则MN →＝(2,0)，NP →＝(x －1，y)，MP →＝(x ＋1，y)． 由|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →， 得2－2＋y 2＝2(x ＋1)，化简，得y 2＝4x.所以动点P 的轨迹方程为y 2＝4x. (2)由A(t,4)在轨迹y 2＝4x 上， 则42＝4t ，解得t ＝4，即A(4,4)． 当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4， 此时直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离．当m≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－m(x －m)， 即4x ＋(m －4)y －4m ＝0.圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK 的距离为 d ＝|2m ＋8|16＋－2，令d<2，解得m<1； 令d ＝2，解得m ＝1； 令d>2，解得m>1. 综上所述，当m<1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相交；当m ＝1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相切； 当m>1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离．10．解：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设线段AB 的中点Μ(x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1Μ垂直于直线l. 设直线l 的方程为y ＝mx(易知直线l 的斜率存在)， 所以kC 1Μ·m ＝－1，y 0＝mx 0.所以y 0x 0－3·y 0x 0＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0， 即⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94. 因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m|m 2＋1<2， 所以m 2<45.所以y 20＝m 2x 20<45x 20.所以3x 0－x 20<45x 20. 解得x 0>53或x 0<0.又因为0<x 0≤3，所以53<x 0≤3.所以M(x 0，y 0)满足⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94⎝⎛⎭⎫53<x 0≤3. 即Μ的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x≤3.(3)由题意知直线L 表示过定点T(4,0)，斜率为k 的直线．结合图形(如图D107)，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝⎛⎭⎫53，－2 53按逆时针方向运动到⎝⎛⎭⎫53，2 53的圆弧．根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧． 设P ⎝⎛⎭⎫53，－2 53，则k PT ＝2 534－53＝2 57，而当直线L 与轨迹C 相切时，⎪⎪⎪⎪3k 2－4k k 2＋1＝32， 解得k ＝±34.在这里暂取k ＝34，因为2 57<34，所以k ΡΤ<k.图D107结合图形(如图D107)，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0≤k≤2 57或k ＝34时，直线L与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当－2 57≤k<0或k ＝－34时，直线L 与x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点．综上所述，当－2 57≤k≤2 57或k ＝±34时，直线L ：y ＝k(x －4)与曲线C 只有一个交点．第5讲 椭 圆1．D 解析：焦距2c ＝2，∴c ＝1，故m －4＝c 2＝1或4－m ＝c 2＝1，即m ＝5或m ＝3.故选D.2．C 解析：△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF 2|＝|F 2F 1|＝2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ⇔e ＝ca ＝34. 3．C 解析：方法一，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝2＝100，② ①2－②，得|PF 1|·|PF 2|＝48.则12PF F S＝12×48＝24. 方法二，利用公式12PF F S＝b 2tan θ2，得 12PF F S＝b 2tan 90°2＝24×tan45°＝24.故选C. 4．D 解析：设|PF 2|＝x ， ∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2x ，|F 1F 2|＝3x. 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， ∴2a ＝3x,2c ＝3x. ∴C 的离心率为e ＝2c 2a ＝33.5.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 解析：设圆心为(a,0)，则半径为4－a ，则(4－a)2＝a 2＋22，解得a ＝32，故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 6．2 120° 解析：∵a 2＝9，b 2＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7.∴|F 1F 2|＝2 7. 又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2. 又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－722×2×4＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.7.3－1 解析：由直线方程y ＝3(x ＋c)⇒直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c,0)．∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， ∴∠MF 2F 1＝π6，即F 1M ⊥F 2M.在Rt △F 1MF 2中，F 1F 2＝2c ，F 1M ＝c ，则F 2M ＝3c. ∴由椭圆的第一定义，得2a ＝c ＋3c. ∴c a ＝21＋3＝3－1. 8．B 解析：由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.9．解：(1)由题意，F 2(c,0)，B(0，b)， |BF 2|＝b 2＋c 2＝a ＝2， 又点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上， ∴169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 2，b3a 2＋c 2，kF 1＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c ＝b 33a 2c ＋c3，k AB ＝－bc ， 由F 1C ⊥AB ，k 1F ·k AB ＝b 33a 2c ＋c 3×⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，即b 4＝3a 2c 2＋c 4.∴(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4.化简，得e ＝c a ＝55.10．解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca. 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2.解得离心率c a ＝32.(2)解：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心Μ(－2,1)是线段ΑΒ的中点， 且|AB|＝10.易知，ΑΒ不与x 轴垂直， 设其直线方程为y ＝k(x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－＋1＋4k 2，x 1x 2＝－＋2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－＋1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB|＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝521＋x 22－4x 1x 2＝2－.由|AB|＝10，得2－＝10.解得b 2＝3.故椭圆Ε的方程为x 212＋y 23＝1.第6讲 双曲线1．2 3 y ＝±22x 解析：由题意得：a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，∴焦距为2c ＝2 3，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x.2．C 解析：由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ，C 项的渐近线方程为 y 24－x 2＝0，即y ＝±2x.故选C. 3．D 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.4．D 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，由点(2，3)在渐近线上，所以b a ＝32，双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝4 7x 准线方程x ＝－7上，所以c ＝7，由此可解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1.故选D.5．C 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，焦点(c,0)到渐近线的距离为d ＝||bc a 2＋b 2＝||bc c ＝b ＝3，离心率为e ＝ca＝2，b 2＝c 2－a 2＝4a 2－a 2＝3，a 2＝1，c ＝2, 则C 的焦距等于4.6．D 解析：实数k 满足0<k<5,5－k>0,16－k>0，曲线x 216－y 25－k ＝1的焦距为221－k ，曲线x 216－k －y 25＝1的焦距也为221－k.故选D.7．D 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，如图D108，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN|＝a ，|MN|＝3a ，故点M 的坐标为M(2a ，3a)，代入双曲线方程得a 2＝b 2＝a 2－c 2，即c 2＝2a 2，所以e ＝ 2.故选D.图D1088．A 解析：由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故选A. 9．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6 2kx －9＝0.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－k 2＞0，x A＋x B＝6 2k1－3k 2＜0，x A x B＝－91－3k 2＞0，解得33<k<1. ∴当33<k<1时，直线l 与双曲线左支有两个交点． 10．解：(1)因为圆C 1，C 2关于直线l 对称，圆C 1的圆心C 1的坐标为(4,0)，圆C 2的圆心C 2的坐标为(0,2),显然直线l 是线段C 1C 2的中垂线， 线段C 1C 2中点的坐标是(2,1)， C 1C 2的斜率是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝0－24－0＝－12.所以直线l 的方程是y －1＝－1k (x －2)，即y ＝2x －3.(2)假设这样的点Q 存在．因为点Q 到点A(－2 2，0)的距离减去点Q 到点B(2 2，0)的距离的差为4， 所以点Q 在以A(－2 2，0)和B(2 2，0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即c ＝2 2，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝4.所以点Q 在曲线x 24－y 24＝1(x≥2)上．又点Q 在直线l 上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 24－y 24＝1，消元，得3x 2－12x ＋13＝0. Δ＝122－4×3×13<0，方程组无解， 所以直线l 上不存在满足条件的点Q.第7讲 抛物线1．C 2.A3．D 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x －2y ＋4＝0，消去y ，得x 2－2x －8＝0.解得x 1＝－2，或x 2＝4.不妨设点A 在y 轴左侧，则A(－2,1)，B(4,4)，F(0,1)．方法一，由题意，得|AF|＝－2＋0＝2，|BF|＝42＋32＝5，|AB|＝36＋9＝3 5.由余弦定理，得cos ∠AFB ＝AF 2＋BF 2－AB 22AF·BF ＝－45.方法二，由抛物线的定义，得|AF|＝1－(－1)＝2，|BF|＝4－(－1)＝5，可求AB ＝3 5. ∵FA →＝(－2,0)，FB →＝(4,3)， ∴FA →·FB →＝|FA →||FB →|cos ∠AFB ＝－8. ∴cos ∠AFB ＝－82×5＝－45.4．2 解析：因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.5．C 解析：设P(x 0，y 0)，则|PF|＝x 0＋2＝4 2，∴x 0＝3 2.∴y 2＝4 2x 0＝4 2× 3 2＝24，∴|y 0|＝2 6.∵F(2，0)，∴S △POF ＝12|OF|·|y 0|＝12×2×2 6＝2 3.6．B 解析：方法一，设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2.设过F 的直线与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为C ，则由抛物线的定义，得|AB|＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝p ＋x 1＋x 2，则圆心C 到准线的距离为12(x 1＋x 2)＋p 2＝12(p ＋x 1＋x 2)＝12|AB|.故以焦点弦为直径的圆与其准线相切．方法二，设M 为AB 的中点，由A ，M ，B 分别向准线l 作垂线，垂足依次是A 1，M 1，B 1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|MM 1|，即|MM 1|＝12|AB|.∴以焦点弦为直径的圆与其准线相切．7．A 解析：S △BCF S △ACF ＝BC AC ＝x B x A ＝|BF|－1|AF|－1.8．2 6 解析：设水面与桥的一个交点为A ，如图D109，建立直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，代入点A ，得p ＝1.设水位下降1 m 后水面与桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝－2×(－3)，x 0＝±6，所以水面的宽度为2 6 m.图D1099．解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋p2.因为|AF|＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x.(2)方法一，因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2 2)． 由A(2,2 2)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2－，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G(－1,0)，所以k GA ＝ 2 2－02－－＝2 23，k GB ＝－2－012－－＝－2 23，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 方法二，设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2 2)． 由A(2,2 2)，F(1,0)可得直线ΑF 的方程为 y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2－，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而Β⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G(－1,0)，故直线GA 的方程为2 2x －3y ＋2 2＝0. 从而r ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217.又直线GΒ的方程为2 2x ＋3y ＋2 2＝0， 所以点F 到直线GΒ的距离 d ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217＝r.这表明以点F 为圆心且与直线GΑ相切的圆必与直线GΒ相切． 10．解：设准线l 于y 轴的焦点为E ，圆F 的半径为r ， 则|FE|＝p ，|FA|＝|FB|＝|FD|＝r ， E 是BD 的中点， (1)∵∠EFD ＝90°，∴|FA|＝|FB|＝|FD|＝2p ，|BD|＝2p.设A(x 0，y 0)，根据抛物线定义，得|FA|＝p2＋y 0.∵△ABD 的面积为4 2，∴S △ABD ＝12|BD|⎝⎛⎭⎫y 0＋p 2＝12×2p×2p ＝4 2. 解得p ＝2.∴F(0,1)，FA|＝2 2，∴圆F 的方程为：x 2＋(y －1)2＝8. (2)∵A ，B ，F 三点在同一条直线m 上， ∴AB 是圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝12|AB|，∴∠ABD ＝30°.∴m 的斜率为33或－33. ∴直线m 的方程为：y ＝±33x ＋p2.∴原点到直线m 的距离d 1＝34p. 设直线n 的方程为y ＝±33x ＋b.代入x 2＝2py 得，x 2±2 33px －2pb ＝0.∵n 与C 只有一个公共点， ∴Δ＝43p 2＋8pb ＝0.∴b ＝－p 6.∴直线n 的方程为：y ＝±33x －p 6.∴原点到直线n 的距离d 2＝312p. ∴坐标原点到m ，n 距离的比值为3.第8讲 轨迹与方程1．A 解析：由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r ＞|OF|.∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．2．C3．A 解析：|QF 1|＝|PF 1|＋|PQ|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．4．B 解析：方法一(直接法)：设A(x 1，y 1)，M(x 0，y 0)，则B(－x 1，－y 1)，k AM ·k BM＝y 0－y 1x 0－x 1 · y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21。
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第4讲-直线与圆的位置关系学习课件.ppt
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考点 2 圆与圆的位置关系 例 2：若圆 x2＋y2－2mx＋m2－4＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4my ＋4m2－8＝0 相切，则实数 m 的取值集合是__________．
解析：∵圆(x－m)2＋y2＝4 的圆心为 O1(m,0)，半径 r1＝2， 圆(x＋1)2＋(y－2m)2＝9 的圆心为 O2(－1,2m)，半径 r2＝3，两 圆相切，∴|O1O2|＝r1＋r2 或|O1O2|＝r2－r1.∴ m＋12＋2m2＝
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3．已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点，且
圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，则圆 C 的方程为
__(_x_＋__1_)2_＋__y_2_＝__2__．
4．经过圆 x2＋2x＋y2＝0 的圆心 C，且与直线 x＋y＝0 垂
直的直线方程是_x_－__y_＋__1_＝__0__．
5．(2015年广东广州一模)直线x＋ay＋1＝0与圆x2＋(y－
1)2＝4的位置关系是( A ) A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
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考点 1 直线与圆的位置关系 例1：(2014 年广东珠海一模)已知圆 C：x2＋y2－8y＋12＝0， 直线 l：ax＋y＋2a＝0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切；
∴m－3λ＝0，即 m＝3λ. ∴圆的方程化为 x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0，
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即 x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0. ∴圆心 M－1＋2 λ，3－λ. 又圆心 M 在 PQ 上， ∴－1＋2 λ＋2(3－λ)－3＝0.∴λ＝1. ∴m＝3.
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 第七章解析几何 Word版含解析
第七章 解析几何第1讲 直线的方程1．过点(4，－2)，斜率为－33的直线的方程是( )A.3x ＋y ＋2－4 3＝0B.3x ＋3y ＋6－4 3＝0 C ．x ＋3y －2 3－4＝0 D ．x ＋3y ＋2 3－4＝02．已知经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．23．已知点A (1，－2)，B (5,6)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( ) A ．－2或1 B ．2或1 C ．－2或－1 D ．2或－14．直线l 与直线y ＝1，直线x ＝7分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A.13B.23 C ．－32 D ．－135．若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为__________________________．6．若直线l 先沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，则直线l 的斜率是__________．7．(2016年北京)已知A (2,5)，B (4,1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．88．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．9．直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程； (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．10．过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截得的线段AB 以P 为中点，求直线l 的方程．11．求经过点A ()－2，2，且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小的直线的方程．第2讲 两直线的位置关系1．(2016年湖北模拟)若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( )A ．－2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 2．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．103．先将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋14．已知两条直线l 1：mx ＋y －2＝0和l 2：(m ＋2)x －3y ＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．2或12D ．－2或125．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32 B ．－2 C.32和－1 D.32，－1和－126．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．27．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )A ．4B ．6 C.345 D.3658．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 9．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0，l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为2 2，则m 的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是__________．(写出所有正确答案的序号)10．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程为__________________．11．已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．12．已知点A (－3,5)，B (2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上求一点P ，使得||P A ＋||PB 最小．第3讲 圆的方程1．(2016年新课标Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．22．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是( ) A.5＋3 B ．6 5＋14C ．－5＋3D ．－6 5＋143．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 4．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的方程为______________________．5．(2015年新课标Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．6．(2016年浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．7．(2015年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________．8．已知圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，则圆C 的标准方程为____________________．9．(2013年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．10．(2014年新课标Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为点M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及△POM的面积．11．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．第4讲 直线与圆的位置关系1．(2015年安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b ＝( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或122．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2 3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y ＋3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 4．(2015年重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210 5．(2015年山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32 或－23C ．－54或－45D ．－43或－346．由直线y ＝x ＋1上的动点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7 D ．3 7．(2017年广东调研)若直线x ＋y ＝1与曲线y ＝a －x 2(a >0)恰有一个公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝12B ．a >1或a ＝12C.12≤a <1D.12<a <1 8．(2016年新课标Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝____________.9．(2016年吉林实验中学三模)已知圆C 的圆心C 在第一象限，且在直线3x －y ＝0上，该圆与x 轴相切，且被直线x －y ＝0截得的弦长为2 7，直线l ：kx －y －2k ＋5＝0与圆C 相交．(1)求圆C 的标准方程；(2)求出直线l 所过的定点；当直线l 被圆所截得的弦长最短时，求直线l 的方程及最短的弦长．10．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．11．(2015年广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．第5讲 椭 圆1．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.322．椭圆x 249＋y224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．283．点P 在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此椭圆的离心率是( )A.57B.56C.45D.354．(2016年新课标Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.345．(2016年湖南常德模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，线段OB 的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P ，设直线P A ，PB ，PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，若k 1·k 2＝－14，则k 3·k 4＝( )A.32 B ．－83 C ．－38D ．－4 6．椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________.7．(2016年江苏)如图X7-5-1，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图X7-5-18．(2015年陕西)如图X7-5-2，椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.图X7-5-29．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．第6讲 双曲线1．(2015年湖南)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.532．(2017年新课标Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)3．如图X7-6-1，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过焦点F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )图X7-6-1A.13B.15 C ．2 D. 34．(2017年新课标Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.325．(2015年新课标Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 上的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－2 23，2 23 D.⎝⎛⎭⎫－2 33，2 33 6．(2016年天津)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y212＝1 7．(2017年黑龙江哈尔滨质检)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．68．(2017年山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为______________．9．(2016年上海)双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且|AB |＝4，求直线l 的斜率．10．(2016年江西上饶横峰中学第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝3相切，过双曲线C 的左焦点且斜率为3的直线与圆O 相切．(1)求双曲线C 的方程；(2)P 是圆O 上在第一象限内的点，过P 且与圆O 相切的直线l 与C 的右支交于A ，B 两点，△AOB 的面积为3 2，求直线l 的方程．第7讲 抛物线1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．(2013年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．43．(2016年辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.524．已知M 是y ＝x24上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．2B ．4C ．8D ．105．(2016年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 6．(2015年浙江)如图X7-7-1，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图X7-7-1A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋17．(2017年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3 8．(2017年江西南昌二模)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83B.8 33C.163D.16 339．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为4 2，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点F 是椭圆C 1的顶点．(1)求C 1与C 2的标准方程；(2)若C 2的切线交C 1于P ，Q 两点，且满足FP →·FQ →＝0，求直线PQ 的方程．10．(2017年北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．第8讲 轨迹与方程1．当动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝122．已知椭圆的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线3．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b24．已知双曲线C 1：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1 的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝8yC ．x 2＝4 2yD ．x 2＝8 2y5．记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线 6．(2017年天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为____________．7．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程为________________．8．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为2 3，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为____________．9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左右焦点．(1)设椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎫22，32到F 1，F 2两点距离之和等于2 2，写出椭圆C 的方程；(2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F 2且斜率为1的直线与其相交于A ，B ，求△ABF 1的面积；(3)在(1)的条件下，设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，试探究k PM ·k PN 的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论．10．(2016年新课标Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系1．(2014年新课标Ⅱ)设点F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12 D ．7 32．(2015年山东日照模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )A.32B.2 32C.9 32D.2 3273．已知双曲线E 的中心为原点，P (3,0)是E 的焦点，过点P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 4．(2013年新课标Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 5．如图X7-9-1，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(0,3)的直线与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若|AF |＋|BF |＝6，则点D 的横坐标为____________．图X7-9-1 图X7-9-26．如图X7-9-2，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是______________．7．椭圆x 2＋4y 2＝4的长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________．8．(2015年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．9．(2015年陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图X7-9-3，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图X7-9-310．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1,0)且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)求四边形ACBD 的面积的最大值．第七章 解析几何 第1讲 直线的方程1．B2．B 解析：由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3.3．C 解析：由|a －2＋1|a 2＋1＝|5a ＋6＋1|a 2＋1，得a 2＋3a ＋2＝0.∴a ＝－1，或a ＝－2.4．D 解析：设P (a,1)，Q (7，b )， ∵线段PQ 的中点坐标为(1，－1)， ∴由中点坐标公式，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋72＝1，b ＋12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3.故P (－5,1)，Q (7，－3)．直线l 的斜率为1＋3－5－7＝－13.故选D.5．x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0 解析：方法一，设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意，得M (3,2)．若a ＝0，即直线l 过点(0,0)和(3,2)．所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a ＝1.所以a ＝5.此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.方法二，易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)．令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k .所以3－2k ＝2－3k .解得k ＝－1或k ＝23.所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)．即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.6．－137．C 解析：线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x ≤4，即2x ＋y －9＝0,2≤x ≤4.因为P (x ，y )在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7.故2x －y 的最大值为7.8．解：由题意知，直线l 的斜率为32.故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b .直线l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，解得b ＝－35.所以直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.9．解：(1)如图D128设直线l 的方程为图D128x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92.所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6. 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.10．解：方法一，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与直线l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x ＋y ＋3＝0，解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1.∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6.解得k ＝8. 故所求的直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 方法二，设直线l 1与AB 的交点A 的坐标为(x 1，y 1)，∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴直线l 2与AB 的交点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，(6－x 1)＋(－y 1)＋3＝0.解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫113，163，由两点式得直线l 的方程为y －0163－0＝x －3113－3，即8x －y －24＝0. 11．解：方法一，设所求直线方程为x a ＋yb ＝1(a <－2，b >2)．∵－2a ＋2b ＝1，∴a ＝2b 2－b. ∴围成的三角形的面积S ＝－12ab ＝－b 2·2b 2－b ＝b 2b －2＝(b ＋2)＋4b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b －2)＋4b －2＋4 ≥2(b －2)·4b －2＋4＝8.当且仅当b －2＝4b －2，即b ＝4时取等号，S 最小．此时a ＝－4.故x －y ＋4＝0即为所求．方法二，设所求直线方程为y －2＝k (x ＋2)，显然k >0，由题意，得S ＝12||2k ＋2·⎪⎪⎪⎪－2k －2＝4＋2⎝⎛⎭⎫k ＋1k ≥8. 当且仅当k ＝1时取等号，故x －y ＋4＝0为所求的直线方程．第2讲 两直线的位置关系1．C 解析：∵直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，∴－2m ＋1＝－m3.解得m ＝2或－3.2．A 解析：由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0.∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3．A4．A 解析：∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，∴对角互补，两条直线垂直，即m (m ＋2)－3＝0.解得m ＝1或m ＝－3.故选A.5．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点P (－1，－2)．若点P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12，此时三条直线交于一点P ；若k ＝32或k ＝－1，则有两条直线平行．故k ≠－12，32和－1. 6．D 解析：由直线垂直，可得a 2＋(b ＋2)(b －2)＝0，变形可得a 2＋b 2＝4.由基本不等式，可得4＝a 2＋b 2≥2ab .∴ab ≤2.当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴ab 的最大值为2.7．C 解析：由题可知坐标纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3.它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.8．2 解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8.则直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0. ∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.9．①⑤ 解析：两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，设直线m 与l 1的夹角为θ，则有sin θ＝22 2＝12.所以θ＝30°.而l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.10．2x ＋3y ＋1＝0 解析：因为点P (2,3)在已知直线上，所以2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0. 所以2(a 1－a 2)＋3(b 1－b 2)＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23.所以所求直线方程为y －b 1＝－23(x －a 1)．所以2x ＋3y －(2a 1＋3b 1)＝0，即2x ＋3y ＋1＝0. 11．解：正方形中心G (－1,0)到四边的距离均为 |－1－5|12＋32＝610. 设与已知直线平行的一边所在直线的方程为 x ＋3y ＋c 1＝0，则|－1＋c 1|10＝610，即|c 1－1|＝6.解得c 1＝－5(舍去)或c 1＝7.故与已知边所在直线平行的直线的方程为x ＋3y ＋7＝0. 设正方形另一组对边所在直线的方程为3x －y ＋c 2＝0， 则|3×(－1)＋c 2|10＝610，即|c 2－3|＝6.解得c 2＝9或c 2＝－3.故正方形另两边所在直线方程为 3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在直线方程分别为 x ＋3y ＋7＝0，3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.12．解：由题意知，点A ，B 在直线l 的同一侧．由平面几何性质可知，先作出点A 关于直线l 的对称点A ′，再连接A ′B ，则直线A ′B 与l 的交点P 即为所求．事实上，设点P ′是l 上异于点P 的点，则||P ′A ＋||P ′B ＝||P ′A ′＋||P ′B >||A ′B ＝||P A ＋||PB .设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x ＋3·34＝－1，3·x －32－4·y ＋52＋4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.∴A ′(3，－3)．∴直线A ′B 的方程为18x ＋y －51＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，18x ＋y －51＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝3.∴P ⎝⎛⎭⎫83，3.第3讲 圆的方程1．A 解析：由x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0配方，得(x －1)2＋(y －4)2＝4，所以圆心坐标为(1,4)，半径r ＝2.因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，所以|a ＋4－1|a 2＋12＝1.解得a ＝－43.故选A.2．A 解析：将x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0转化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝32，x 2＋y 2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即(－2)2＋12＋3＝5＋3.故选A.3．D 解析：由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0.整理，得a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋2 b a ×2ab ＝3＋2 2.当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4．2＜m ＜4 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1 解析：∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m －8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)＞0. ∴2＜m ＜4，当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.5.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 解析：设圆心为(a,0)，则半径为4－a .则(4－a )2＝a 2＋22.解得a ＝32.故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 6．(－2，－4) 5 解析：由题意，得a 2＝a ＋2，所以a ＝－1或2.当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5，a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不表示圆． 7．(x －1)2＋y 2＝2 解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝(1－2)2＋(0＋1)2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.8．(x －2)2＋(y －1)2＝4 解析：因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以设圆心为(2a ，a )．因为圆C 与y 轴的正半轴相切，所以a >0，r ＝2a .又因为圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，所以a 2＋(3)2＝(2a )2，所以a ＝1.则圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3. 10．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)知，M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13.故直线l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0.则点O 到直线l 的距离为d ＝|－8|12＋32＝4105. 又点N 到直线l 的距离为|1×1＋3×3－8|10＝105，则|PM |＝2 2－⎝⎛⎭⎫1052＝4105.所以S △POM ＝12×4105×4105＝165.11．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )，令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0，且Δ＞0，解得b ＜1，且b ≠0. (2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，且x 2＋Dx ＋F ＝0这与x 2＋2x ＋b ＝0，是同一个方程，故D＝2，F ＝b .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入，得出E ＝－b －1. 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)． 证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b ＋1)×1＋b ＝0，右边＝0. 所以圆C 必过定点(0,1)． 同理可证圆C 必过定点(－2,1)．第4讲 直线与圆的位置关系1．D 解析：∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b |32＋42＝1⇒b＝2或12.故选D.2．D 解析：易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2；圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切．∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，∴a ＋b ≤3 2(当且仅当a ＝b ＝3 22时取“＝”)，∴a ＋b 的最大值为3 2.3．A 解析：方法一，设过点(3,1)的切线为y －1＝k (x －3)，变形可得kx －y ＋1－3k ＝0.由圆心(1,0)到切线的距离d ＝|k ＋1－3k |k 2＋1＝1，得k ＝43或k ＝0.联立切线与圆的方程可得切点A ，B 的坐标，可得直线AB 的方程．方法二，以点(3,1)与圆心(1,0)的连线为直径求得圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54，(x －1)2＋y 2＝1.两式相减，得2x ＋y －3＝0.故选A.4．C 解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝6.故选C.5．D 解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为：y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.又因为反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1.整理，得12k 2＋25k＋12＝0.解得k 1＝－43，或k 2＝－34.故选D.6．C 解析：如图D129，切线长|PM |＝|PC |2－1，显然当|PC |为圆心C 到直线y ＝x＋1的距离，即3＋12＝2 2，所以|PM |最小值为7.故选C.图D1297．B 解析：曲线y ＝a －x 2表示一个半圆，如图D130.当直线与半圆相切时，满足条件，即12＝a ，解得a ＝12；图D130当直线的横截距小于圆的半径时，满足条件，即1<a ，a >1.综上所述，a 的取值范围是a ＝12或a >1.故选B.8．4 解析：由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6.代入圆的方程，并整理，得y 2－3 3y ＋6＝0.解得y 1＝2 3，y 2＝ 3.所以x 1＝0，x 2＝－3. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2 3.又直线l 的倾斜角为30°，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，|CD |＝|AB |cos 30°＝4.9．解：(1)设圆心C (a ，b )，a ＞0，b ＞0，半径为r ， 则b ＝3a ，r ＝3a .则圆心C (a,3a )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －3a |12＋12＝2a ，则有(2a )2＋(7)2＝(3a )2.即a 2＝1. ∵a ＞0，∴a ＝1. ∴圆心C (1,3)，半径为3.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.(2)∵直线l ：kx －y －2k ＋5＝0，即(x －2)k －(y －5)＝0. ∴直线l 过定点M (2,5)．∴|CM |＝5，k CM ＝2.当弦长最短时，直线l 与直线CM 垂直，即k l ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －12＝0. 最短弦长为2r 2－|CM |2＝4.10．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m . 若此方程表示圆，则5－m >0，即m <5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x ，得(4－2y )2＋y 2－2(4－2y )－4y ＋m ＝0， 即5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165，①y 1y 2＝m ＋85.②由OM ⊥ON 知y 1x 1·y 2x 2＝－1.即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，代入上式，得(4－2y 1)(4－2y 2)＋y 1y 2＝0， 即16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0.将①②代入上式，得16－8×165＋5×m ＋85＝0.解得m ＝85.(3)将m ＝85代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，得25y 2－80y ＋48＝0.解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45. ∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85，|MN |＝⎝⎛⎭⎫－45－1252＋⎝⎛⎭⎫125－452＝85. ∴所求圆的半径为45.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165. 11．解：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)， 由圆的性质可得C 1Μ垂直于直线l .设直线l 的方程为y ＝mx (易知直线l 的斜率存在)， 所以kC 1Μ·m ＝－1，y 0＝mx 0.所以y 0x 0－3·y 0x 0＝－1.所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94. 因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m |m 2＋1<2.所以m 2<45.所以y 20＝m 2x 20<45x 20.所以3x 0－x 20<45x 20. 解得x 0>53或x 0<0.又因为0<x 0≤3，所以53<x 0≤3.所以M (x 0，y 0)满足⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94⎝⎛⎭⎫53<x 0≤3. 即Μ的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线．结合图形(如图D131)，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝⎛⎭⎫53，－2 53按逆时针方向运动到⎝⎛⎭⎫53，2 53的圆弧．根据对称性，只需讨论在x 轴下方的圆弧．设P ⎝⎛⎭⎫53，－2 53，则k PT ＝2 534－53＝2 57，而当直线L 与轨迹C 相切时，有⎪⎪⎪⎪3k 2－4k k 2＋1＝32， 解得k ＝±34.在这里暂取k ＝34.因为2 57<34，所以k ΡΤ<k .结合图形(如图D132)，可得在x 轴下方的圆弧，当0<k ≤2 57或k ＝34时，直线L 与x轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当－2 57≤k <0或k ＝－34时，直线L与x 轴上方的圆弧有且只有一个交点．当k ＝0时，显然也只有一个交点．综上所述，当－2 57≤k ≤2 57或k ＝±34时，直线L ：y ＝k(x －4)与曲线C 只有一个交点．图D131 图D132第5讲 椭 圆1．C 解析：左焦点为F 1(－c,0)，PF 1⊥x 轴．当x ＝－c 时，c 2a 2＋y 2P b 2＝1⇒y 2P ＝b 2⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2＝b 4a 2⇒y P ＝b 2a(负值不合题意，已舍去)，点P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 由斜率公式，得k AB ＝－b a ，k OP ＝－b 2ac.∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ⇒－b a ＝－b2ac ⇒b ＝c .∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴c 2a 2＝12⇒e ＝c a ＝22.2．C 解析：方法一，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝100，②①2－②，得|PF 1|·|PF 2|＝48.则12PF F S ＝12×48＝24.方法二，利用公式12PF F S ＝b 2tan θ2，得12PF F S＝b 2tan90°2＝24×tan 45°＝24.故选C. 3．A 解析：设|PF 1|＝m ＜|PF 2|，则由椭圆的定义可得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －m ，而|F 1F 2|＝2c .因为△F 1PF 2的三条边长成等差数列，所以2|PF 2|＝|PF 1|＋|F 1F 2|，即2(2a －m )＝m ＋2c .解得m ＝13(4a －2c )．即|PF 1|＝13(4a －2c )．所以|PF 2|＝2a －13(4a －2c )＝13(2a ＋2c )．又∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即⎣⎡⎦⎤13(4a －2c )2＋⎣⎡⎦⎤13(2a ＋2c )2＝(2c )2. 整理，得5a 2－2ac －7c 2＝0，解得a ＝75c 或a ＝－c (舍去)．故e ＝c a ＝57.4．A 解析：方法一，设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c.从而直线AM 的方程为y ＝y 0a －c(x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c.同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c.∵2y N ＝y E ，∴2a ＋c ＝1a －c.∴a ＝3c .∴e ＝c a ＝13.方法二，如图D133，设OE 的中点为N ，由题意知 |AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a.图D133∵PF ∥y 轴，∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋c a. 又|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c 2a. ∴a ＝3c .故e ＝c a ＝13.5．C 解析：设P (m ，n )，A (－a,0)，B (a,0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由于线段OB 的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P ，因此m ＝a 2.若k 1·k 2＝－14，则n －0a 2－(－a )·n －0a 2－a ＝－14.解得n ＝34a ，即P ⎝⎛⎭⎫a 2，34a .代入椭圆方程，可得14＋316·a 2b 2＝1，即a ＝2b ，则c ＝a 2－b 2＝3b ，则k 3·k 4＝32b b －(－3b )·32b b －3b ＝341－3＝－38.6．2 120° 解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7.∴|F 1F 2|＝2 7.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2.又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－(2 7)22×2×4＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.7.63 解析：由题意，得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，FB →·FC →＝0，因此⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝0，即c 2－⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.8．(1)解：由题设知，c a ＝22，b ＝1.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0. 由已知得Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0. 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.9．解：(1)因为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)． 则2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝4 2.解得a ＝2 2.又由b 2＝a 2－c 2，得b ＝2.所以椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴， 则点E (0,2 2)，F (0，－2 2)． 则OE →·OF →＝－8.若直线l 不垂直于x 轴，不妨设其方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)． 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到： (2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0. 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k2. 所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8.因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2. 所以OE →·OF →的取值范围是(－8,2]．第6讲 双曲线1．D 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a .∴9(c 2－a 2)＝16a 2.∴e ＝c a ＝53.故选D.2．C 解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率e ＝a 2＋1a＝1＋1a2< 2.故选C.3．A 解析：设|AB |＝3x ，|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ，所以|BF 1|＝2a ＋4x ，|AF 1|＝5x －2a .所以|AB |＝4a －x ＝3x .解得a ＝x .所以|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a .由题意有36a 2＋16a 2＝4c 2，c 2a2＝13，e ＝13.4．D 解析：由c 2＝a 2＋b 2＝4，得c ＝2，所以F (2,0)．将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y＝±3.所以|PF |＝3.又点A 的坐标是(1,3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32.故选D.5．A 解析：由题设知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 2－1<0.解得－33<y 0<33.故选A. 6．D 解析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，A (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b 2.∴4×4b 2＋4×4b 2＋4·b 2＝2b .解得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D. 7．B 解析：由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6.故|PF 1|＝8.又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知△F 1PF 2为直角三角形，因此12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝24. 8．y ＝±22x 解析：∵|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p 2＝y A ＋y B ＋p ＝4×p2，∴y A ＋y B ＝p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ⇒a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0⇒y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，得a ＝2b .∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .9．解：(1)设A (x A ，y A )．由题意，得F 2(c,0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4.因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |. 即4(1＋b 2)＝3b 4.解得b 2＝2. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .(2)由已知得F 2(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k (x －2)得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点， 所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 由x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，。
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第七章 第3讲 圆的方程完整版.ppt
交于点B，其延长交圆于点C′，
则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－ 3)2＝7－4 3.
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【规律方法】方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以 3 为半径的圆. y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,y－x
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1．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( A )
A．x2＋(y－4)2＝25
B．x2＋(y＋4)2＝25
C．(x－4)2＋y2＝25
D．(x＋4)2＋y2＝25
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( D )
A．(2,3) C．(－2，－3)
B．(－2,3) D．(2，－3)
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【互动探究】 1．(2013 年江西)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y＝1 相切，则圆 C 的方程是__(_x－__2_)_2_＋__y_＋__32__2＝__2_45___．
解析：设圆心为(2，－r＋1)，圆的方程为(x－2)2＋(y＋r－
1)2＝r2，将(0,0)代入，得r＝
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5．两圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r，圆心距为 d. 两圆相外离⇔d>R＋r⇔公切线条数为 4 条； 两圆相外切⇔d＝R＋r⇔公切线条数为 3 条； 两圆相交⇔R－r<d<R＋r⇔公切线条数为____2____条； 两圆内切⇔d＝R－r⇔公切线条数为 1 条； 两圆内含⇔d<R－r⇔无公切线．
值问题；
③形如(x－a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为圆心已定的 动圆半径的最值问题．
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【互动探究】 2．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则 2x－y 的最 大值为__5_＋___5__，最小值为_5_－____5__． 解析：令b＝2x－y，则b为直线y＝2x－b在y轴上的截距的 相反数．当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由 |2×2＋51－b|＝1，解得b＝5± 5.所以2x－y的最大值为5＋ 5， 最小值为5－ 5.
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圆心，以 3为半径的圆．
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图D24
设
y x
＝k，即y＝kx，由圆心(2,0)到y＝kx的距离为半径时直
线与圆相切，斜率取得最大或最小值．
由|2kk2－＋01|＝ 3，解得k2＝3，k＝± 3.
∴yxmax＝ 3，xymin＝－ 3.
方法二：由平面几何知识，有OC＝2，PC＝ 3 ，∠POC
＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°，
方法二：从数的角度，选用一般式．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为－D2 ，－E2， 52＋22＋5D＋2E＋F＝0，
∴32＋22＋3D＋2E＋F＝0， 2×－D2 －－E2－3＝0，课件ຫໍສະໝຸດ D＝－8， 解得E＝－10，
F＝31.
∴圆的方程是x2＋y2－8x－10y＋31＝0. 方法三：从形的角度． AB为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P应在AB的中垂线 x＝4上，则由2x＝x－4y，－3＝0， 得xy＝＝45，， 即圆心P(4,5)． ∴半径r＝|PA|＝ 10. ∴圆的方程是(x－4)2＋(y－5)2＝10. (2)设点A关于直线x＋2y＝0的对称点为A′， ∵AA′为圆的弦， ∴A与A′的对称轴x＋2y＝0过圆心．
课件
【规律方法】1 确定一个圆的方程，需要三个独立条 件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题 设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.因 此利用待定系数法求圆的方程时，不论是设哪一种圆的方程都 要列出系数的三个独立方程.
2研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思 想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量.总之，要 数形结合，拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到 直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.
第 3 讲 圆的方程
课件
1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程．
1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．确 定一个圆最基本的要素是圆心和半径．
课件
2．圆的标准方程 (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为_(a_，__b_)_，半 径为r的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程 为______x_2＋__y_2_＝__r_2____． 3．圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为 x＋D2 2＋ y＋E2 2＝ D2＋E42－4F.故有：
课件
5．两圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r，圆心距为 d. 两圆相外离⇔d>R＋r⇔公切线条数为 4 条； 两圆相外切⇔d＝R＋r⇔公切线条数为 3 条； 两圆相交⇔R－r<d<R＋r⇔公切线条数为____2____条； 两圆内切⇔d＝R－r⇔公切线条数为 1 条； 两圆内含⇔d<R－r⇔无公切线．
课件
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以 －D2 ，－E2 为圆心， 以 D2＋2E2－4F为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2 ，－E2； (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形． 4．点M(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系 点M在圆内⇔x20＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0； 点M在圆上⇔x20＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0； 点M在圆外⇔x20＋y02＋Dx0＋Ey0＋F___>_____0.
课件
【互动探究】 1．(2013 年江西)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y＝1 相切，则圆 C 的方程是__(_x－__2_)_2_＋__y_＋__32__2＝__2_45___．
解析：设圆心为(2，－r＋1)，圆的方程为(x－2)2＋(y＋r－
1)2＝r2，将(0,0)代入，得r＝
则yxmax＝tan60°＝ 3，xymin＝tan120°＝－ 3.
课件
3．若直线 y＝x＋b 平分圆 x2＋y2－8x＋2y＋8＝0 的周长，
则 b＝( D )
A．3
B．5
C．－3
D．－5
4．以点(2，－1)为圆心，且与直线 x＋y＝6 相切的圆的方 程是_(_x_－__2_)_2＋__(_y_＋__1_)_2＝__2_25__．
课件
考点 1 求圆的方程
例 1：(1)求经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2x－y－3＝ 0 上的圆的方程．
课件
1．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( A )
A．x2＋(y－4)2＝25
B．x2＋(y＋4)2＝25
C．(x－4)2＋y2＝25
D．(x＋4)2＋y2＝25
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( D )
A．(2,3) C．(－2，－3)
B．(－2,3) D．(2，－3)
课件
设圆心P(－2a，a)，半径为R， 则R＝|PA|＝ －2a－22＋a－32. 又弦长2 2＝2 R2－d2，d＝|－2a－2a＋1|， ∴R2＝2＋3a－2 12，4(a＋1)2＋(a－3)2＝2＋3a－2 12. ∴a＝－7或a＝－3. 当a＝－7时，R＝ 244；当a＝－3时，R＝ 52. ∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋ 7)2＝244.
(2)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在这个 圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2 2,求圆的方程．
解：(1)方法一：从数的角度，选用标准式． 设圆心 P(x0，y0)，则由|PA |＝|PB|，得 (x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2.
课件
又2x0－y0－3＝0，两方程联立，得xy00＝ ＝45， . ∴|PA|＝ 10. ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
5 2
，故圆的方程为(x－2)2＋
y＋32
2
＝245.
课件
考点 2 与圆有关的最值问题
例2：已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)yx的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1)方法一：如图D24，方程x2＋y2－
4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3表示以点(2,0)为