人教版九年级数学上22.3实际问题与二次函数第一课时教案

22.3 实际问题与二次函数

第1课时 实际问题与二次函数（1）

※教学目标※

【知识与技能】

1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.

2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.

【过程与方法】

通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究||，让学生经历数学建模的基本过程||，体会建立数学模型的思想.

【情感态度】

体会二次函数是一类最优化问题的模型||，感受数学的应用价值||，增强数学的应用意识.

【教学重点】

通过解决问题||，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.

【教学难点】

分析现实问题中数量关系||，从中构建出二次函数模型||，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※

一、复习导入

从地面竖直向上抛出一个小球||，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时

间是多少时||，小球最高？小球运动中的最大高度是少？

提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？

（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？

（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？

（4）通过前面的学习||，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是

什么？

二、探索新知

探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地||，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时||，场地的面积S 最大？

分析：先写出S 与l 的函数关系式||，再求出使S 最大的l 值.

矩形场地的周长是60m||，一边长为l m||，则另一边长为 ||，场地的面积S= .化简得S= .当l= 时||，S 有最大值 .

探究2 某商品现在的售价为每件60元||，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格||，每涨价1元||，每星期要少卖出10件；每降价1元||，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元||，如何定价才能使利润最大？

（1）设每件涨价x 元||，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时||，每星期少卖10x 件||，实际卖出()30010x -件||，销售额为()60x +· ()30010x -元||，买进商品需付()4030010x -元.因此||，所得利润

()()()60300104030010y x x x =+---||，即2101006000y x x =-++||，其中||，0≤x ≤30.

根据上面的函数||，填空：

当x= 时||，y 最大||，也就是说||，在涨价的情况下||，涨价 元||，即定价 元时||，利润最大||，最大利润是 .

（2）在降价的情况下||，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论||，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况||，你知道如何定价能使利润最大了吗？

三、巩固练习

1.如图||，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆||，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃||，设花圃的宽AB 为x 米||，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大||，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克||，价格为每

千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元||，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数||，且当x =60时 ||，y =80；当x =50时||，y =100．在销售过程中||，每天还要支付其他费用450元．

（1）求出y 与x 的函数关系式||，并写出自变量x 的取值范围．

（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．

（3）当销售单价为多少元时||，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

答案：1.(1) ∵ AB 为x 米||，篱笆长为24米||，∴ 花圃宽为()244x －米.

∴ ()()2

244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a

=-=时||，有最大值24364ac b y a -==（平方米）. 2.（1）设y kx b =+ .根据题意||，得8060,10050.k b k b +⎧⎨

=+⎩＝解得2,200.

k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）. （2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.

（3）()2?

2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60||，∴当x =60时||，W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时||，该公司日获利最大||，为1950元.

四、归纳小结

通过这节课的学习||，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？

※布置作业※

从教材习题22.3中选取．

※教学反思※

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型||，也是某些单变量最优化的数学模 型||，如最大利润、最大面积等实际问题||，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题||，由于学生对于这一转化过程较难理解||，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出||，让学生自主建立数学模型||，在这个过程中||，教师可通过让学生画图探讨最值.总之||，在本课时的教学过程中||，要让学生经历数学建模的基本过程||，体验探究知识的乐趣.