上海市2020年高二数学第二学期期末模拟考试卷(一)
上海市第三女子中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷含解析 (1)
2020-2021学年上海市第三女子中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若，则n＝2．半径为1的球的表面积是．3．在的二项展开式中，常数项是．4．有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有种．（用数值表示）5．面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为．6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为．7．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有不同的报名方法．8．已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体的体积为．9．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是10．已知空间中两条不同的直线m、n和平面α，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α．请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若，则．（填写相应序号）11．在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC 的距离是，则B、C两点的球面距离是．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．1615．下列四个命题中真命题是（）A．空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B．经过空间中的三个点有且只有一个平面C．过球面上任意两点的大圆有且只有一个D．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条16．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种三、解答题17．从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值．18．已知n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1．（1）求n；（2）求a0+a1+a2+⋯+a n的值．19．如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB＝4，AB⊥CD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心．（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小．20．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．21．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝BC＝2．（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABC﹣A1B1C1的体积．参考答案一、填空题1．若，则n＝10解：若，则n＝6+4＝10．故答案为：10．2．半径为1的球的表面积是4π．解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12＝4π．故答案为4π．3．在的二项展开式中，常数项是20．解：由．由6﹣2r＝0，得r＝3．∴常数项是．故答案为：20．4．有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有240种．（用数值表示）解：因为甲、乙两人相邻，所以先将甲、乙两人进行捆绑，方法共有种，再将甲、乙两人看成整体进行排序共有种排法，所以共有种，故答案为：240．5．面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为8π．解：面积为4的正方形边长为2，正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得几何体是底面半径为2，母线长为2的圆柱，所以该圆柱的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×2×2＝8π．故答案为：8π．6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为60°．解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR＝2πr，∴R＝2r，∴母线与底面所成角的余弦值＝＝，∴母线与底面所成角是60°．故答案为：60°．7．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有36不同的报名方法．解：四个运动员分为3组共有种情况，将分好的3组分到三个比赛项目，共有种情况，有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有种情况．故答案为：36．8．已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体的体积为48．解：设长方体的长宽高分别为m，2m，3m（m＞0），由题意可得：，∴m2＝4，m＝2，长方体的体积：V＝m×2m×3m＝6m3＝48．故答案为：48．9．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是0.8解：设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，∴该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是：p＝1﹣（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.8．故答案为：0.8．10．已知空间中两条不同的直线m、n和平面α，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α．请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若②③，则①．（填写相应序号）解：由m⊥n，n∥α，得m∥α或m⊂α或m与α相交，相交也不一定垂直，故由①②不能得到③；由m⊥n，m⊥α，得n∥α或n⊂α，故由①③不能得到②；由m⊥α，得m必垂直于平面α内的任意一条直线，又n∥α，所以m⊥n，故由②③可得①．故答案为：②③，①．11．在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC 的距离是，则B、C两点的球面距离是π．解：根据题意，∠ABC＝90°，AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点，|O′C|＝＝，AC＝3，则BC＝OB＝OC＝3，则∠BOC＝，故B、C两点的球面距离l＝×3＝π；故答案为：π．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为．解：正方体有12条棱，从中取两条的方法数式，其中异面直线的方法数：12×4÷2＝24，所以所在的直线是异面直线的概率为：＝＝，故答案为：．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：①若m∥β，m为α内的一条直线，则α∥β或α与β相交，∴充分性不成立，②若α∥β，m为α内的一条直线，根据面面平行得性质可得m∥β，∴必要性成立，∴m∥β是α∥β的必要不充分条件，故选：B．14．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16解：由题意可知，以AA1为底面矩形的一边，则矩形可以为矩形AA1B1B，矩形AA1D1D，故阳马可以为：C1﹣AA1B1B，C1﹣AA1D1D，D1﹣AA1B1B，D1﹣AA1D1D，C﹣AA1B1B，C﹣AA1D1D，D﹣AA1B1B，D﹣AA1D1D，所以阳马的个数是8个．故选：B．15．下列四个命题中真命题是（）A．空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B．经过空间中的三个点有且只有一个平面C．过球面上任意两点的大圆有且只有一个D．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条解：空间中垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A错误；经过空间中不在同一直线上的三个点有且只有一个平面，故B错误；过球的一个直径的两个端点的大圆有无数个，故C错误；过空间任一点作两条异面直线的平行线，则所作的两条直线确定一个平面，过该点与所确定的平面垂直的直线有且只有一条，故过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，故D正确．故选：D．16．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×＝6种情形；第三类：五局为止，共有2×＝12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12＝20种情形故选：C．三、解答题17．从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值．解：将数据从小到大排序得155，159，161，162，163，166，167，168，169，170．故其平均值为＝164，其中位数为＝164.5，身高大于165cm的概率估计值为＝．18．已知n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1．（1）求n；（2）求a0+a1+a2+⋯+a n的值．解：（1）∵n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1，∴•（﹣2）n﹣2＝﹣3•（﹣2）n﹣1，解得n＝13．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+⋯+a n＝（1﹣2）13＝﹣1．19．如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB＝4，AB⊥CD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心．（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小．解：（1）连接PO，则，∴圆锥的体积为：；∵F是PA的中点，且AB＝4，∴圆柱的底面直径为2，∴圆柱的侧棱长为，∴圆柱的体积为：；则圆柱与圆锥的体积的比值为＝；（2）由题可知，OC，OB，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，﹣2，0），P（0，0，），F（0，﹣1，），C（2，0，0），则，所以cos＜＞＝，∴异面直线OF和PC所成的角的大小为arccos．20．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．【解答】（1）从1、3、5、7中任取2个数字为，从2、4、6、8中任取2个数字为，组成无重复数字的四位数；（2）从1、3、5、7中任取2个数字为，必选0，所以从2、4、6、8中任取1个数字为，0不排首位，先给0选个位置，剩余数字全排为；故含有数字0的元素的个数为＝432；（3）能被5整除分情况讨论：①选5不选0：＝108，②选0不选5：＝72，③0，5都选：＝120，所以能被5整除得方法数：108+72+120＝300，所以能被5整除的概率．21．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝BC＝2．（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABC﹣A1B1C1的体积．解：（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以，，设平面A1B1C1的法向量为，则，即，令y＝1，则z＝2，，故，所以点A到平面A1B1C1的距离为＝；（2）由（1）可知，平面A1B1C1的法向量为，又平面ABC的一个法向量为，所以，又平面ABC与平面A1B1C1所成的角为锐二面角，所以平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小为；（3）过点B1作B1E∥AB交AA1于点E，过点B1作B1F∥BC交CC1于点F，取AB的中点P，连结BP，则BP⊥AC，因为AA1⊥平面ABC，且BP⊂平面ABC，则BP⊥AA1，又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C1C，所以BP⊥平面AA1C1C，＝＝＝，故多面体ABC﹣A1B1C1的体积为．。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
2020～2021学年度第二学期期末考试高二数学答案
2021～2022学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案BDADBBCCA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10．111．1812．2214x y -=13．848(,,999-14．(],1-∞；0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎣⎦⎝⎭15．2214x y +=三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：依题意，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则代入圆的一般方程，193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩………………………3分∴D ＝2-………………………4分E ＝4，………………………5分F ＝20-，………………………6分∴x 2+y 22x -4y +20-＝0，………………………8分令x ＝0，可得24200y y +-=，………………………9分∴y ＝2-±……………………10分∴PQ ＝．……………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比为q ，则41(1)151a q q -=-………………………2分4211134a q a q a =+………………………3分因为各项均为正数，所以2q =………………………4分解得11a =………………………5分故}{n a 的通项公式为12n n a -=………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知12n n a -=，………………………7分*22()n n n b n a n n =⋅=⋅∈N ………………………8分所以1212222nn S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④………………………9分③-④得1212222n n n S n +-=+++-⨯ ……………………10分11222n n n ++=--⨯1(1)22n n +=-⨯-……………………11分所以1(1)22n n S n +=-⨯+……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1CD ，因为O ，P 分别是AC ，1AD 的中点，………………………2分所以1∥OP CD ．………………………3分又因为OP ⊄平面11CC D D ，………………………4分1CD ⊂平面11CC D D ，………………………5分所以OP ∥平面11CC D D ．………………………6分（Ⅱ）依题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得)0,0,2(A ,)2,0,0(1D ,)1,0,1(P ,)0,2,2(B ,)0,2,0(C ，)2,2,0(1C .………7分依题意)2,0,2(1-=BC ………………………8分设),,(z y x n =为平面BPC 的法向量………………………9分则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PC n PB n 得)2,1,0(=n ……………………10分因此510==BC n ……………………11分所以，直线1BC 与平面BPC 所成角的正弦值为510.………………12分解：（Ⅰ）由题意知：c ……………………1分根据椭圆的定义得：122a =+，即2a =．……………………2分2431b =-=．……………………3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………4分（Ⅱ）由题:①当直线l 的斜率不存在时，l的方程是x =．……………………5分此时||1AB =，||OP =，所以24=||=1||OP AB λ--．…………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为=(y k x ，…………7分11(,)A x y ，22(,)B x y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+3(1422x k y y x可得2222(41)1240k x x k +-+-=．显然0∆>，则212241x x k +=+，212212441k x x k -=+，...............8分因为11=(y k x，22=(y k x ，所以||AB ==221441k k +=+．....................9分所以22223||1k OP k ==+，……………………10分此时2222341==111k k k k λ+--++．……………………11分综上所述，λ为定值1-．……………………12分解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为(0)q q >，由题意得324113541114242a q a q a q a q a q⎧=⎨=+⎩，………1分解得11212q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………2分所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，………………………3分当2n ≥时，11122n n n n n nb n b S S b --+=-=-,………………………4分即11n n b b n n -=-，………………………5分∴{}nb n是首项为1的常数列，………………………6分所以1nb n=∴n b n =………………………7分（Ⅱ）设()()()212121(3)241112222n n n n n n b a n c b b n n +++++==-++，n *∈N ，……………8分()111212n n n n +=-⋅+………………………9分所以2231111111122222322(1)2n n n A n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ …………10分1112(1)2n n A n +=-+⨯……………………11分因为*n N ∈，所以12n A <.……………………12分。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(解析版)
若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；
若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；
若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．
故选A．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．
∴
因为
∴
综上所述， 中最小角为 ，故选B.
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角 平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
【答案】
【解析】
【分析】由已知中球O的半径为1，线段 的长度为 ，求得 ，求出弧AB的长度，即可得出答案.
【详解】解：因为球O的半径为1，A､B是球面上两点，线段 的长度为 ，
在 中， ，
又 ，则 ，
所以A､B两点的球面距离为 .
故答案为： .
5.正方体 中，异面直线 和 所成角的大小为________
所以 取 ，得 .
易知平面 的法向量为 .
由二面角 是锐角，得 .
所以二面角 的余弦值为 .
（3）解：假设存在满足条件的点 .
因为 在线段 上， ， ，故可设 ，其中 .
2020学年上海市金山区高二下学期期末数学试题(解析版)
上海市金山区高二下学期期末数学试题一、单选题 1．现有60个机器零件，编号从1到60，若从中抽取6个进行检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可以是（ ）A.3，13，23，33，43，53B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54D.5，10，15，20，25，30【答案】A【解析】由题意可知：，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，对此可以选出正确答案.【详解】∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，且间隔是。
∴只有A 符合要求，即后面的数比前一个数大10。
【点睛】本题考查了系统抽样的原则.2．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，有下列命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥；②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥；③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，那么//αβ； 其中正确的命题是（ ）A.①②B.②③C.②④D.②③④【答案】B【解析】根据线面垂直与线面平行的性质可判断①;由直线与平面垂直的性质可判断②;由直线与平面平行的性质可判断③;根据平面与平面平行或相交的性质,可判断④.【详解】对于①如果m n ⊥,m α⊥,//n β,根据线面垂直与线面平行性质可知αβ⊥或//αβ或αβ⋂,所以①错误对于②如果m α⊥,//n α,根据直线与平面垂直的性质可知m n ⊥,所以②正确;对于③如果//αβ,m α⊂,根据直线与平面平行的判定可知//m β,所以③正确;对于④如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,当两个平面相交时,若三个点分布在平面β的两侧,也可以满足条件,所以//αβ错误,所以④错误;综上可知,正确的为②③故选:B【点睛】本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档题.3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）．A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A 1B 成60°角的异面直线一一列出，即得答案．【详解】在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A 1B 异面且夹角成60°的直线有：AD 1，AC ，D 1B 1，B 1C ，共4条．故选：B ．【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题．4．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A.4πB.8πC.16πD.32π【答案】C 【解析】根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】由椭圆方程22149x y +=,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱 在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥当截面与底面距离为()03h h ≤≤时，截圆锥得到的截面小圆半径为r 则132h r =，即23h r = 所以截面面积为224449h r ππππ-=- 把y h =代入椭圆方程22149x y +=，可求得2293h x -=± 所以橄榄球形状几何体的截面面积为22449h x πππ=-由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为()12=24343=163V V V πππ⎛⎫=-⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭圆柱圆锥 故选:C【点睛】本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.二、填空题5．函数12y x =的定义域是________【答案】[0,)+∞【解析】将函数的指数形式转化为根式形式,即可求得其定义域.【详解】 函数12y x =即y =根据二次根式有意义条件可知定义域为[)0,x ∈+∞故答案为: [)0,+∞【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法,将函数解析式进行适当变形,更方便求解,属于基础题.6．若46n n C C =，则n =________ 【答案】10【解析】根据组合数的性质,即可求得n 的值.【详解】根据组合数的性质m n m n n C C -=所以4610n =+=故答案为:10【点睛】本题考查了组合数的简单性质,属于基础题.7．在101()2x +的二项展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示） 【答案】45256【解析】根据二项式定理展开式的通项公式,即可求得2x 项的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为()1011012rr r r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以当8r =时为2x 项则()82829101452256T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以2x 项的系数为45256故答案为:45256 【点睛】 本题考查了二项式定理展开式的应用,求指定项的系数,属于基础题.8．已知地球半径为R ，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是________ 【答案】3R π 【解析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角,进而求得两地间距离.【详解】由题意可知,同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上当甲地纬度为北纬75°,乙地纬度为北纬15°,则两地间所在的大圆圆心角为60° 所以两地的球面距离为601803R R l ππ⨯⨯==o o 故答案为3R π 【点睛】本题考查了球的截面性质,大圆及球面距离的求法,属于基础题.9．若函数()y f x =的反函数为1()f x -，且11()3x f x -+=，则(1)f 的值为________【答案】1-【解析】根据反函数的解析式,求得函数()y f x =的解析式,代入即可求得()1f 的值.【详解】因为函数()y f x =的反函数为1()f x -,且11()3x f x -+=令13x y +=则13y x += 所以31log y x =-+即函数()31log f x x =-+(0x >)所以()311log 11f =-+=-故答案为: 1-【点睛】本题考查了反函数的求法,求函数值,属于基础题.10．底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是________【答案】642+【解析】根据三视图,画出空间几何体,即可求得表面积.【详解】根据三视图可知该几何体为三棱柱,画出空间结构体如下:该三棱柱的高为2,上下底面为等腰直角三角形,2所以上下底面的面积为212222⨯⨯=侧面积为222222442⨯+=+所以该三棱柱的表面积为2442642++=+故答案为: 642+【点睛】本题考查由三视图还原空间结构体,棱柱表面积的求法,属于基础题.11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.3所以该圆锥的体积为33. 12．若52345012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则12345a a a a a ++++的值是________【答案】2【解析】利用赋值法,分别令0,1x x ==-代入式子即可求得12345a a a a a ++++的值.【详解】因为52345012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++令0x =,代入可得0123451a a a a a a =+++++令1x =-,代入可得01a -=两式相减可得123452a a a a a =++++,即123452a a a a a ++++=故答案为:2【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用,赋值法求二项式系数的值是常用方法,属于基础题.13．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是________【答案】0.8【解析】根据相互独立事件概率的计算公式,及对立事件的概率求法,即可求解.因为选择物理科目的概率为0.5,选择化学科目的概率为0.6,所以既不选择物理也不选择化学的概率为()()10.510.60.2--=所以由对立事件的性质可知至少选择一个科目的概率为10.20.8-=故答案为: 0.8【点睛】本题考查了独立事件的概率求法,对立事件的性质应用,属于基础题.14．在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都为2，若1AA a =u u u r r ，AB b =u u u r r AC c =u u u r r ，且1160BAA CAA ∠=∠=︒，则11AB BC ⋅u u u r u u u u r 的值为________【答案】4【解析】根据向量线性运算分别表示出11,AB BC u u u r u u u u r ,结合向量数量积运算即可求解.【详解】根据题意,画出空间几何体如下图:1AA a =u u u r r ,AB b =u u u r r ,AC c =u u u r r ,且1160BAA CAA ∠=∠=︒,且底面边长和侧棱长都为2则1AB a b =+uuu u r r r ,11BC AC AB a c b =-=+-uuu u r uuuu r uuu r r r r所以11AB BC ⋅u u u r u u u u r()()a b a c b =++-r r r r r 22+a a c b c b =+⋅⋅-r r r r r r221cos +cos a a c A AC b c ABC b =+⋅∠⋅∠-r r r r r r22222cos60+22cos6024=+⨯⨯-=o o【点睛】本题考查了空间向量的线性运算和数量积的应用,属于基础题.15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.25 【解析】分析：先建立空间直角坐标系，再求|BP|的最小值，最后求PBC ∆的面积的最小值.详解：以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点P(2,y,z),1(0,0,2)D ,所以1(2,,2)D P y z =-u u u u v .因为C(0，2，0),M(2，0，1),所以(2,2,1)CM u u u u v =-, 因为1,4220,22D P CM y z z y ⊥∴-+-=∴=-u u u u v u u u u v .因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-u u u v ， 所以22222(2)(2)(22)5128BP y z y y y y =-+=-+-=-+因为0≤y≤2，所以当y=65时，min 2||55BP =因为BC⊥BP,所以min 12525()22PBC S ∆=⨯=点睛：本题的关键是解题思路的确定.本题数形结合不是很方便，由于函数的方法是处理最值问题的常用方法，所以要建立空间直角坐标系，先求出函数的解析式BP ={y|0≤y≤2}，再利用二次函数研究函数的最小值.16．已知()|2|f x x m =-（m 为常数），对任意x ∈R ，均有(3)()f x f x +=-恒成立，下列说法：①()f x 的周期为6；②若()()|2|g x f x x b =+-（b 为常数）的图像关于直线1x =对称，则1b =；③若022αβ<<+，且()(3)f f αβ=+，则必有2209αβ-<+<； ④已知定义在R 上的函数()F x 对任意x 均有()()F x F x =-成立，且当[0,3]x ∈时，()()F x f x =；又函数2()h x x c =-+（c 为常数），若存在12,[1,3]x x ∈-使得112|()()|1F x h x -<成立，则实数c 的取值范围是(1,13)-， 其中说法正确的是_______（填写所有正确结论的编号）【答案】②④【解析】根据()()3f x f x +=-成立即可求得对称轴,由对称轴结合解析式即可求得m 的值,可判断①;根据()()2g x f x x b =+-及对称轴即可求得b 的值,可判断②;根据条件可得α与β的关系,结合二次函数的值域即可判断③;根据条件可知函数()F x 为偶函数,根据存在性成立及恒成立,转化为函数的值域即可判断④.【详解】对于①,因为对任意x ∈R ,均有()()3f x f x +=-成立,则()f x 的图像关于直线32x =对称,所以解得3m =.即()f x 是轴对称函数,不是周期函数,所以①错误;对于②,()()2g x f x x b =+-的图像关于直线1x =对称,可得3222b +=,解得1b =,所以②正确;对于③,()()3f f αβ=+,而由(3)()f x f x +=-可知()()3f f ββ+=-则3αβ=+或αβ=-.当3αβ=+时,代入022αβ<<+可得0262ββ<+<+,即026262βββ<+⎧⎨+<+⎩,解不等式组可得34ββ-<⎧⎨<-⎩,不等式无解,所以不成立当αβ=-时,代入022αβ<<+可得022αα<<-+,即0222ααα<⎧⎨<-+⎩,解不等式组可得023αα<⎧⎪⎨<⎪⎩,即203α<<所以2221124αβααα⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,203α<<所以2111,0244α⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭,所以③错误;对于④,由()()F x F x =-可知函数()F x 为偶函数,当[0,3]x ∈时,()23F x x =-;当[3,0]x ∈-时, ()23F x x =+.所以()F x 在[1,3]-上的值域为[0,3]()2h x x c =-+在[1,3]-上的值域为[]9,c c -因为存在12,[1,3]x x ∈-使得()()1121F x h x -<成立所以只需()()min max 01F x h x c -=-<且()()max min 931F x h x c -=--<即113cc -<⎧⎨<⎩,即实数c 的取值范围是()1,13-,所以④正确 综上可知,说法正确的是②④ 故答案为: ②④ 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性及恒成立问题的综合应用,对于分类讨论思想的理解,属于难题。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020年高二下学期期末考试数学试卷(理) 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学试卷（理） 含答案数 学 （理）刘世荣 候永红注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间：120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置。
2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。
3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
第Ⅰ卷 选择题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.{}{}{}{}{}{}{}|15,1,2,3,1,2.3.1,3.1,2.1,2,3u U x Z x A C B A B A B C D ∈≤≤==1.已知全集==,则121122.,=1+,=A.2B 2 C.2D 2z z z i z z i i ⋅--设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则 . .33.1.ln ..3.x A y x B y C y D y x x x ==-==+下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是333334.:2,80,A.2,80 B.2,80C.2,80D.2,80p x x p x x x x x x x x ∀>->⌝∀≤-≤∃>-≤∀>-≤∃≤-≤已知命题那么是{}323305.9,3,111A.1B.C.1D.1222n a a S x dx q ===⎰等比数列中，前三项和则公比或-或6.83648A.B.C.D.7799n S =执行如图所示的程序框图，若输入,则输出的＝(第6题)正视图俯视图侧视图{}{}7.3(|)1111A.B C.D 104312P B A =一个口袋中装有大小相同的1个红球和个黑球，现在有三个人依次去摸球，每个人摸出1个球，然后放回，若有两个人摸出的球为红色，则称这两个人是“好朋友”，记A=有两个人是好朋友,B=三个人都是好朋友，则 . .8. A.8+8 B.6+8C.4+8D.2+8ππππ如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为9.(11)(12)(21)(13)(22)(31)(14)(23)(32)(41)60A.(7,5)B (5,7)C.(2,10)D (10,1)⋅⋅⋅已知“整数对”按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则第个“整数对”是. .222210.2(0)1(,0)B D 1x y y px p F a b a bF 2=>-=>设抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为11.0A.36B 64 C.144D 256S ABC M SC SB AM SA S ABC ππππ-∙==-正三棱锥中，是的中点，，若侧棱的外接球的表面积为. .1112()()(1)1,()(),()()22A.(0,+)B.(1,+)C.(,0)D.(,1) x xe f x x R f f x R f x f e e +'∈=><∞∞-∞-∞.函数满足且在上的导函数则不等式为自然对数的底数的解集为第II 卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.()()13.2,3,1,32,//,a b t t a b t ==+-=已知若则5214.(1)(1)5.ax x x a ++=已知的展开式中的系数为，则37015,11x y x y x y x y +-≤⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩.已知实数满足约束条件，则的最大值是{}*20151.,2(),n n n n na n S a n N S a =+∈=16已知正项数列的前项和S 若则三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.22217.(12)1,,,,.,.42(I)tan (II)3ABC A B C a b c A b a c C ABC b π∆=-=∆本小题满分分 在中，内角所对的边分别为已知求的值；若的面积为，求的值.xx 第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.(I) 求该小区居民用电量的平均数；(II) 用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；(III) 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设为获奖户数，求的数学期望与方差.19.(12)-//II 1,P ABCD ABCD PA ABCD E PD PB AEC E PD AP AD E ACD D AE C ⊥==---本小题满分分如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为侧棱上的一点，且平面.（I ）证明：为的中点；（）设且三棱锥的大小.D()()()()22222012C:10F A B 2M .MF FB 2 1.I II ,P Q F PQM .x y a b e a b +=>>=⋅=∆本小题满分分已知椭圆的离心率点为椭圆的右焦点，点、分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，且满足求椭圆方程；是否存在直线使得直线与椭圆交于、两点，且恰为的垂心.若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由21.(12)1()ln(1).(I)()(1,(1))(II),()ln()()ln .x f x x xf x f x y x y x y x y x my m +=+++≤++本小题满分分已知求在点处的切线方程；若存在正实数使不等式成立，求实数的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
江苏省天一中学2020-2021学年高二下学期期末学情检测高二数学试题
天一中学2020~2021学年度第二学期期末学情检测高二年级数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合，，则A∩B=A. 0，1，B.C. 0，D.2.已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.3.若且，则与的夹角是A. B. C. D.4.已知函数，在上有且仅有2个实根，则下面4个结论：在区间上有最小值点；在区间上有最大值点；的取值范围是；在区间上单调递减所有正确结论的编号为A. B. C. D.5.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A. a，b，c成公比为2的等比数列，且B. a，b，c成公比为2的等比数列，且C. a，b，c成公比为的等比数列，且D. a，b，c成公比为的等比数列，且6.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是A. 增加，增加B. 增加，减小C. 减小，增加D. 减小，减小7.若直线l是曲线的切线，且l又与曲线相切，则a的取值范围是A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面AMN，则线段的长度范围是A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则下面说法正确的是A. 曲线与x轴围成的面积等于B. 与的公切线方程为：C. 所在圆与所在圆的交点弦方程为：D. 用直线截所在的圆，所得的弦长为10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是A. 双曲线C的渐近线方程为B. 双曲线C的方程为C. 为定值D. 存在点P，使得11.如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止则下列说法正确的是A. 甲从M到达N处的方法有120种B. 甲从M必须经过到达N处的方法有9种C. 甲、乙两人在处相遇的概率为D. 甲、乙两人相遇的概率为12.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复N次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是A. ，B. 数列是等比数列C. 的数学期望ND. 数列的通项公式为N三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设复数z满足条件，那么的最大值是▲ ．14.已知F为抛物线的焦点，过F作斜率为的直线和抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，直线CD的斜率为若，则▲ ．15.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有▲ 人．参考数据及公式如下：，．16.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体。
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第1章坐标平面上的直线(基础30题专练)练习
第1章坐标平面上的直线（基础30题专练）一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）A ．250x y +-=B ．240x y +-=C ．370x y +-=D ．230x y -+=2．（2020·上海市金山中学高二期中）若直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）A B ．3C D 3．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．10C ．2D ．8-4．（2021·上海徐汇·高二期末）设0a <且b <0，则直线bx ay ab +=的倾斜角为（ ）A ．arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．arctan ⎛⎫- ⎪⎝⎭a bC ．arctan b aπ-D ．arctan a bπ-5．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知下列命题：①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α；②直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角为α，则sin 0α>.上述命题中不正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．（2021·上海青浦·高二期末）已知直线l 1∶x sin a +y =0与直线l 2∶3x +y +c =0，则下列结论中正确的是（ ） A ．直线l 1与直线l 2可能重合 B ．直线l 1与直线l 2可能垂直 C ．直线l 1与直线l 2可能平行D ．存在直线l 1外一点P ，直线l 1绕点P 旋转后可与直线l 2重合7．（2021·上海·高二专题练习）若直线0ax by c 的一个法向量(3,1)n =-，则该直线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）下列方程能表示如图所示的直线的是（ ）A 0=B ．220x y -=C ．0x y -=D ．220x y -=9．（2020·上海市嘉定区第一中学高二期中）对于直线1:0(0)l ax ay a a+-=≠，下列说法不正确的是( )A ．无论a 如何变化，直线l 的倾斜角的大小不变B ．无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限C ．无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限D ．当a 取不同数值时，可得到一组平行直线10．（2020·上海·复旦附中高二期中）已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．（2021·上海市奉贤中学高二阶段练习）直线310x y ++=的倾斜角为___________ 12．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）直线230x y +-=与直线30x y -=的夹角大小为____________（用反三角表示）．13．（2019·上海市西南位育中学高二期中）已知直线l 的法向量(3,1)n =，若l 与直线10x ay -+=的夹角为6π，则实数=a ___________.14．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段练习）过点A （-1，5）且以n =（2， 1）为法向量的直线方程为__________15．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）若恰有三组不全为0的实数对（a ，b ）满足关系式3141a b ++＝＝t 的所有可能的值为___________.16．（2021·上海市奉贤中学高二阶段练习）将直线l ：21y x =+绕其与y 轴的交点M 逆时针旋转π4得直线'l ，则'l 与两坐标轴所围成的三角形面积大小为___________.17．（2021·上海·闵行中学高二期中）若直线2y x =-的倾斜角为α，则tan α的值为______．18．（2022·上海·高三专题练习）已知实数,x y 满足22320x y x y --+-=，则22x y +的最小值为________________三、解答题19．（2021·上海·高二专题练习）已知直线l 与直线250x y +-=平行，并且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的一般式方程.20．（2021·上海·高二专题练习）当m 为何值时，直线(3)553m x y m ++=-与直线2(6)8x m y ++=.（1）相交； （2）垂直； （3）平行； （4）重合.21．（2020·上海中学高二期中）已知直线l 经过原点，且与直线1y +的夹角为30，求直线l 的方程.22．（2020·上海·上外浦东附中高二阶段练习）已知两条直线()1:120l t x y t -+-=和2:40l x ty t ++-=，当t 为何值时，1l 与2l ：（1）平行？ （2）重合？ （3）垂直？23．（2020·上海师大附中高二期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE 内修建一个矩形PQRD 的草坪，其中90AED EDC DCB ︒∠=∠=∠=，点Q 在AB 上，且//PQ CD ，QR CD ⊥，经测量70m BC =，80m CD =，100m DE =，60m AE =．（1）如图建立直角坐标系，求线段AB 所在直线的方程；（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q 的坐标并求出此最大面积（精确到21m ）24．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知直线1:42l mx y m +=+和直线2:l x my m +=，试确定m 的值，使得：（1）1l 与2l 相交； （2）1l 与2l 平行； （3）1l 与2l 垂直.25．（2020·上海市金山中学高二期中）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0),M AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上． （1）求AD 边所在直线的方程；（2）若直线:10l ax y b +++=平分矩形ABCD 的面积，求出原点与(,)a b 距离的最小值．26．（2020·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=.（1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值.27．（2020·上海市进才中学高二期中）已知xOy 平面上的直线:120l kx y k -++=，k ∈R .（1）直线l 恒过定点的坐标；（2）直线l 与x 轴负半轴和y 轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为92，求k 的值.28．（2020·上海市建平中学高二期中）已知△ABC 的三个顶点分别是(1,1)A ，(2,3)B -，(3,4)C .（1）求BC 边上的高所在直线的点法向式方程；（2）如图，若四边形ABCD 是平行四边形，求点D 的坐标.29．（2020·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点()3,2A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求过l 与1l 的交点B ，且倾斜角是直线l 的一半的直线2l 的方程.30．（2019·上海市进才中学高二阶段练习）已知两直线1:2(3)10l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=，当m 为何值时，1l 和2l（1）平行； （2）垂直？。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
(沪教版2020选修二)2022年上海高二数学同步讲义-第6章 计数原理(典型题专练)(教师版)
第6章 计数原理典型题专练一、单选题1．（2019·上海嘉定·高二期末）已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ）A ．!!mn n C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111m m m n n n C C C --++= D ．111m m m n n n C C C -+++=【答案】B【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知()!!!mn n C m n m =-，A 选项错误；由排列数的定义可知()!!mn A n n m =-，B 选项正确；由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( ) A ．240种 B ．120种 C ．96种 D ．480种【答案】A【分析】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案．【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有2510C =种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有4424A =种可能，所以不同的分法种数为1024240⨯=种，故选A.【点睛】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题．3．（2019·上海松江·高二期末）如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是A ．36B ．64C ．80D ．96【答案】C【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形..【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.4．（2018·上海中学高三阶段练习）现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种【答案】D【分析】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，分类讨论1、4同色与不同色这两种情况，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果. 【详解】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，因为1、2、3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1、4同色与不同色这两种情况.①若1、4同色，则区域1、4有4种选择，区域2有3种选择，区域3有2种选择，由分步乘法计数原理可知，此时共有43224⨯⨯=种涂色方法；②若1、4不同色，则区域1有4种选择，区域4有3种选择，区域2有2种选择，区域3只有1种选择，此时共有432124⨯⨯⨯=种涂色方法. 故不同的着色方法种数为242448+=.故选：D.【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.5．（2020·上海市七宝中学高二阶段练习）某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（ ） A ．7200种 B ．4800种 C ．2640种 D ．1560种【答案】D【分析】分两类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1，第二类，4人完成的工作数是2，2，1，1，再将工作分组，进行分配即可. 【详解】由题意，分两类：第一类，当4人完成的工作数是3，1，1，1时，首先将6项工作分成4组，一组3项，另外三组各1项，共有3111632133C C C C A 种不同方式，再分配给4个人共311146321433480C C C C A A = 种不同方式；第二类，当4人完成的工作数是2，2，1，1时，首先将6项工作分成4组，两组2项，另外两组各1项，共有221164212222C C C C A A 种不同方式，再分配给4个人共221146421422221080C C C C A A A = 种不同方式；综上，共有1560种不同安排方式. 故选：D【点睛】本题考查排列与组合的综合应用问题，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.6．（2021·上海·高二专题练习）若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ） A ．515m P - B ．1520mm P --C ．520m P -D ．620m P -【答案】D【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=.故选D.【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题7．（2020·上海·高三专题练习）现有某病毒记作m n X Y 其中正整数m 、n （7,9m n ≤≤）可以任意选取，则m 、n 都取到奇数的概率为_____ 【答案】2063【详解】∵07m <≤，09n <≤，且m 、n N *∈，基本事件的总数是7963⨯=种，m 、n 都取到奇数的事件有4520⨯=种，由古典概型公式，m 、n 都取到奇数的概率为2063. 【考点定位】考查奇数、偶数的定义，古典概型.注意古典概型与几何概型的区别.容易题.8．（2019·上海松江·高二期末）若552x C C =，则实数x =________.【答案】2或3【分析】根据组合数的性质得解.【详解】由组合数的性质得2x =或25x +=， 所以2x =或 3.x =【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题.9．（2019·上海市延安中学高二期末）540的不同正约数共有______个． 【答案】24【分析】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，然后利用约数和定理可得出540的不同正约数个数.【详解】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯， 因此，540的不同正约数共有()()()12131124+⨯+⨯+=. 故答案为：24.【点睛】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.10．（2021·上海·高二专题练习）()41+x 的展开式中2x 的系数为________________． 【答案】6【分析】在二项展开式的通项中令x 的指数为2，求出参数值，然后代入通项可得出结果. 【详解】()41+x 的展开式的通项为414rrr T C x-+=⋅，令422r r -=⇒=，因此，()41+x 的展开式中2x 的系数为246C =. 故答案为：6.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.11．（2022·上海·高三专题练习）设常数a R ∈，若25()a x x+的二项展开式中7x 项的系数为-10，则=a ________． 【答案】-2【详解】试题分析：∵25()a x x+的展开式的通项为102103155()r rr r r r r a T C xC a x x--+==，令1037r -=，得1r =，∴7x 的系数是155aC a =，∵7x 项的系数为-10，∴510a =-，得2a =-.考点：二项式定理.12．（2019·上海市七宝中学高三开学考试）若二项式6a (x )x+展开式的常项数为20，则a =______． 【答案】1【分析】利用二项式展开的通项公式1r T +，令其指数为0，可得出r ，再写出常数项，得到a 的值．【详解】解：二项式6()a x x+展开式的通项公式：662166()r r r r r r r aT x a x x--+==，令620r -=，解得3r =．∴常项数为33620a =，则1a =．故答案为1．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．（2019·上海市川沙中学高二期末）在6(2x二项式展开式中，第五项为________. 【答案】60【分析】根据二项式()na b +的通项公式1r n r rr n T C a b -+=求解.【详解】二项式62x⎛⎝的展开式的通项公式为：()366621662=2rr rrr r r T C x C x---+= ， 令4r =，则364422416260T C x-⨯+==，故第五项为60.【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，注意1r T +是第1r +项.14．（2020·上海市大同中学高三阶段练习）在报名的2名男教师和4名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）. 【答案】16【分析】分两种情况讨论，两男一女和两女一男，然后利用分类计算原理可得出选取的方法种数.【详解】由题意可知，所选的3人中应为两男一女和两女一男，由分类计数原理可知，不同的选取方式的种数为2112242416C C C C +=.故答案为16.【点睛】本题考分类计数原理的应用，对问题合理进行分类讨论是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.15．（2019·上海市延安中学高二期末）不等式46n n C C >的解为n =______．【答案】6或7或8或9【分析】利用组合数公式得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出正整数n 的取值.【详解】46n n C C >，由组合数公式得()()!4!4!6!6!n n n n >--！，得()()4!6!6!4!n n -<-，整理得()()4530n n --<，即29100n n --<，解得110n -<<，由题意可知6n ≥且n *∈N ，因此，不等式46n n C C >的解为6n =或7或8或9.故答案为：6或7或8或9.【点睛】本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.16．（2021·上海中学高二阶段练习）计算：103237n nn n C C -+++=________（用数值作答）【答案】46【分析】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解不等式组可得3n =，再代入原式计算即可.【详解】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解得7732n ≤≤，又n N ∈，所以3n =，所以10379237910361046n n n n C C C C -+++=+=+=.故答案为：46【点睛】本题考查组合数公式的计算，要注意题目中隐含的条件，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.17．（2020·上海市行知中学高二阶段练习）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.18．（2019·上海交大附中高三期末）已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么n的展开式中的常数项为______．【答案】-20【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．【详解】∵已知()()()()()232*0121111nn n x x x x a a x a x a x n N ++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n nn n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n=的展开式的通项公式为()3161r rr r T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．19．（2019·上海市七宝中学三模）求值：1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-=________【答案】1-【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出． 【详解】1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-()()()()12201902019120182201720190201920192019201912121212C C C C =⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-()2019121=-=-．故答案为1-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．20．（2019·上海市延安中学高二期末）计算：01220181232019C C C C ++++=______．【答案】2039190【分析】将01C 变为02C ，然后利用组合数性质111k k k n n n C C C ++++=即可计算出所求代数式的值.【详解】()111,,1k k k n n n C C C n N k N k n ++*++=∈∈≤+，012201801220181220182018123201922320193320192020C C C C C C C C C C C C ∴++++=++++=+++=2039190=.故答案为：2039190.【点睛】本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.21．（2020·上海市七宝中学高三阶段练习）已知()402401234123x a a x a x a x +=++++，若数列1a 、2a 、、()141,k a k k N ≤≤∈是一个单调递增数列，则k 的最大值为____.【答案】17【分析】先由展开式通项求得k a ，根据11k k kk a a a a -+≥⎧⎨≥⎩可得k a 最大，由此求得k 的最大值.【详解】()402401234123x a a x a x a x +=++++，展开式通项为()4040140403232kk k kk k k k T C x C x --+=⋅⋅=⋅⋅⋅，14114032k k k k a C ---∴=⋅⋅， 由于数列1a 、2a 、、()141,k a k k N ≤≤∈是一个单调递增数列，11k k k k a a a a -+≥⎧∴⎨≥⎩，即141124224040141140404032323232k k k k k k k k k k k kC C C C ----------⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，解得828755k ≤≤， 因此，k 的最大值为17. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题． 22．（2022·上海·高三专题练习）已知正项等比数列{}n a 中，3123a a a =，42563a =，用{}x 表示实数x 的小数部分，如{}1.50.5=，{}2.40.4=，记{}n n b a =，则数列{}n b 的前15项的和15S 为______.【答案】5【分析】通过3123a a a =和42563a =可计算出数列{}n a 的通项公式43n n a =，即()31433n n +=，由二项式定理结合题意可得13n b =，进而可得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3123a a a =得22113a q a q =，则13q a =，由42563a =和425633q =，解得4q =，143a =，则1143nn n a a q -==.由()()11111213141113333333333nnn n n n n n n n n n C C C C -----+==++++=++++，13n b ∴=，则1511553S=⨯=，故答案为：5.【点睛】本题主要考查了等比数列中基本量的计算，二项式定理的应用，对新定义的理解是解题的关键，属于中档题.23．（2021·上海·高二专题练习）如图，我们在第一行填写整数0到()1n n ≥，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在Pasoal 三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是______.012311352148n n n --【答案】12n n -⋅【分析】将数阵倒置，记第m 行第()11k k m n ≤≤≤+个数为km T ，由此可得出所求的数为11T ，且有性质111k k k m m m T T T +++=+并且11k n T k +=-，通过112122T T T =+结合规律111k k k m m m T T T +++=+逐项推导得出1011211111n n n n n n n n T C T C T C T ++++=+++，利用组合数公式以及二项式定理可得出结果.【详解】将数阵倒置，计第m 行第()11k k m n ≤≤≤+个数为km T ，则倒置后的数阵为：11122212333312311111n n n n n T T T T T T T T T T +++++则有111k k k m m m T T T +++=+，且有11kn T k +=-. 11201121221212T T T C T C T =+=+，()()11212230112231223333232323T T T T T T T C T C T C T =+=+++=++，()()()11231223340112233413334444443434343422T T T T T T T T T T C T C T C T C T =++=+++++=+++.依此类推10112111110nn n kn n n n n n n k T C TC TC TC k ++++==+++=⋅∑， ()()()()()()111!!!!!1!!1!!kk n n n n n kC k n nC k n k k n k k n k ---=⋅==⋅=-----， 因此，()11111101112nnn kk n nn k k T C k n C n n ----===⋅==⋅+=⋅∑∑.故答案为12n n -⋅.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键在于找出一般规律并借助二项式定理进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于难题.24．（2021·上海·高二专题练习）对任意正整数i ，设函数()414034log 2i f x x i =-⋅的零点为i a ，数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，则使得n S 能被2n +整除的正整数n 的个数是________． 【答案】0【分析】要求零点，应先把函数()i f x 解析式中的对数化为相同底数，再求函数的零点可得2017i x a i ==，进而写出数列{}n a 的前n 项和201720172017123n S n =++++，用二项式定理和整除思想说明2017n 不能被2n +整除即可。
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.满足条件|z-i|=|3+4i|（i是虚数单位）的复数z在复平面上对应的点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线2.设n∈N*，则“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B. C. 2 D.4.设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f（）=，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①f（x）=；②f（x）=x3；③f（x）=|x2-1|；④f（x）=x2；不具有性质P的函数为（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=______．6.已知点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f-1（x）=______．7.不等式＞1的解为______．8.已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是______．9.函数f（x）=在区间[0，]上的最小值为______．10.若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则圆锥曲线=1的焦距是______．11.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若{a n}的各项和等于q，则首项a1的取值范围是______．12.已知点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围是______．13.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为______（结果用数值表示）14.已知函数f（x）=x+-1，若存在x1，x2，…，x n∈[，4]使得f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）=f（x n），则正整数n的最大值是______．15.在平面直角坐标系中，设点O（0，0），A（3，），点P（x，y）的坐标满足，则在上的投影的取值范围是______．16.函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3……A n…在点列{A n}中存在三个不同的点A k，A t，A p，使得△A k A t A p是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos（B+C）+3=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值．18.如图：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，BC1与底面ABCD所成角的大小为arctan2，M是DD1的中点，N是BD上的一动点，设=（0＜λ＜1）（1）当λ=时，证明：MN与平面ABC1D1平行；（2）若点N到平面BCM的距离为d，试用λ表示d，并求出d的取值范围．19.2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.对于项数为m（m≥3）的有穷数列{a n}，若存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{a n}为“等差分割数列”．（1）判断数列{a n}：1，4，8，13是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=2n（n=1，2…，m），求证：当m≥5时，数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）已知数列{a n}的通项公式为a n=4n+3（n=1，2，…，m），且数列{a n}为“等差分割数列”．若数列{b n}的首项b1=3，求数列{b n}的公差d的取值范围（用m表示）．21.已知函数y=f1（x），y=f2（x），定义函数f（x）=．（1）设函数f1（x）=，f2（x）=（）x-1（x≥0），求函数y=f（x）的值域；（2）设函数f1（x）=lg（|p-x|+1）（0，p为实常数），f2（x）=lg（0），当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），求实常数p的取值范围；（3）设函数f1（x）=2|x|，f2（x）=3•2|x-p|，p为正常数，若关于x的方程f（x）=m （m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为|3+4i|=5，满足条件|z-i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是：圆心为（0，1），半径为5的圆．故选：B．利用复数的几何意义可直接得出|z-i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．2.答案：A解析：解：“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，例如a n=0，故选：A．“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，可以举出反例．本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．由x=-1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=-1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=-1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，∴最小值=．故选：C．4.答案：D解析：解：①选择的两点关于原点对称即可，如图：（1）中的A，B，②同①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）,③如图，y=1与f（x）的交点，满足题意，④没有满足的点对，假设存在x1，x2∈R，使得f（）=，即（）2=得，x1=x2与x1≠x2矛盾，故④不存在，故选：D．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合条件，利用数形结合分别进行判断是解决本题的关键．5.答案：{1，4}解析：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．6.答案：log2（x-1）（x＞1）解析：解：由点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，得2=1+a2，∵a＞0，∴a=2．则y=1+2x，∴2x=y-1，得x=log2（y-1），∴f（x）的反函数f-1（x）=log2（x-1）（x＞1）．故答案为：log2（x-1）（x＞1）．把点的坐标代入函数解析式，求得a，然后求解x，把x与y互换可得f（x）的反函数f-1（x）．本题考查函数的反函数的求法，是基础题．7.答案：（0，+∞）解析：解：根据题意，＞1⇒-1＞0⇒＞0，解可得x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）．根据题意，原不等式变形可得＞0，进而分析可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是对分式不等式的变形，属于基础题．8.答案：36π解析：解：πR2=9π，R=3，V==36π．故答案为36π．由圆面积得到半径，再由体积公式得体积．本题考查球的体积公式，属于简单题．9.答案：解析：解：函数f（x）==cos2x+sin x cosx==sin（2x+），∵2x+∈[，]，∴f（x）在区间[0，]上的最小值为f（x）min=f（）=sin=-sin=-．故答案为：-．求出函数f（x）=cos2x+sin x cosx=sin（2x+），由2x+∈[，]，能求出f（x）在区间[0，]上的最小值．本题考查函数的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：6解析：解：2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则2-i也是方程的根，由韦达定理可得-m=2+i+2-i=4，解得m=-4，n=（2+i）（2-i）=5，所以双曲线方程为：．所以双曲线的焦距为：2=6．故答案为：6．利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求出m，n，然后求解椭圆的焦距即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.答案：-2＜a1≤且a1≠0解析：解：∵无穷等比数列{a n}的各项和等于公比q，∴|q|＜1，且=q，∴a1=q（1-q）=-q2+q=-（q-）2+，由二次函数可知a1=-（q-）2+≤，又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：-2＜a1≤且a1≠0故答案为：-2＜a1≤且a1≠0由题意易得=q，可得a1=-（q-）2+，由二次函数和等比数列的性质可得．本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．12.答案：[-2，4]解析：【分析】利用已知条件设出P的坐标，利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数转化求解即可，属于一般题．本题考查向量的数量积的应用，椭圆参数方程的应用，考查两角和与差的三角函数，准确设出P的坐标是解题的关键．【解答】解：点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，则==4∈[-2，4]．故答案为：[-2，4]．13.答案：0.75解析：解：甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为p=1-0.5×0.5=0.75．故答案为：0.75．利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.答案：6解析：解：函数函数f（x）=x+-1的导数为f′（x）=1-=，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，即有f（2）为最小值，且为3；最大值为f（）=，∴≥f（x n）=f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）≥3（n-1），故正整数n的最大值是6．故答案为：6求得f（x）的导数，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，求得f（x）的最值，即可得到所求n的最大值．本题考查对勾函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15.答案：[-3，3]解析：解：在上的投影：z==||•cos∠AOP=2cos∠AOP，∵∠AOP∈[，]，∴当∠AOP=时，z max=2cos=3，当∠AOP=时，z min=2cos=-3，∴z的取值范围是[-3，3]．∴故答案为：[-3，3]．先根据约束条件画出可行域，设z为在上的投影，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．16.答案：π解析：解：由ωx=kπ+，得x=，k∈Z，由题意得x=，，，…，，即A1（，1），A2（，-1），A3（，1），A4（，-1）…，由△A1A2A3是等腰直角三角形，得=-1，即=-1，得ω1=，同理△A1A4A7是等腰直角三角形得=-1，得ω2=．同理△A1A6A11是等腰直角三角形得•=-1，得ω3=．……ωn=，则ω2019==π，故答案为：π由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△A k A t A p是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列{ωn}，进行求解即可．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出{ωn}是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.答案：解：（1）∵2cos2A+4cos（B+C）+3=0,∴2（2cos2A-1）+4cos（π-A）+3=0，∴可得：4cos2A-4cos A+1=0，可得：（2cos A-1）2=0，∴解得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）由题意可得：b+c=3，可得：b=3-c，又由a2=b2+c2-2bc cos A，可得：（）2=（3-c）2+c2-2×，可得：c2-3c+2=0，解得：，或．解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cos A-1）2=0，解得cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由题意可得：b=3-c，进而利用余弦定理可求c2-3c+2=0，解方程可求c的值，进而可求b的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：连接BD1，由可知N为BD的中点，又M是DD1的中点，∴MN∥D1B，又MN⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴MN∥平面ABC1D1．（2）解：∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与底面ABCD所成的角，即tan∠C1BC==2，∴CC1=2BC=4，以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，0，2），∴=（2，2，0），=（-2，0，0），=（-2，-2，2）．∴=λ=（2λ，2λ，0），即N（2λ，2λ，0），∴=（2λ，2λ，-2），设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1可得=（0，1，1），设MN与平面BCM所成的角为α，则sinα=|cos＜＞|=||=，∴N到平面BCM的距离d=|MN|sinα==（1-λ）．∵0＜λ＜1，∴0＜d＜．解析：（1）连接BD1，则MN∥D1B，故MN∥平面ABC1D1；（2）根据tan∠C1BC=2得CC1=4，建立空间坐标系，求出平面BCM的法向量，计算与的夹角正弦值得出d关于λ的表达式．本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间距离的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得-=，即|PA|-|PB|=8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c=10，2a=8，即有c=5，a=4，b=3，则P的轨迹方程为-=1（x≥4），时刻t0时，|OP|=4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程-=1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144=0，即有△=（32m）2-28（16m2+144）=0，且x1+x2=-＞0，可得m=-，即l1：y=x-与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d==，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．解析：本题考查双曲线在实际问题中的应用，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线方程，考查化简运算能力，属于中档题．（1）设机器鼠位置为点P，由双曲线的定义和方程可得P的轨迹和方程，及时刻t0时P的坐标；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程，由判别式为0，解得m，再求平行线的距离，结合题意即可判断．20.答案：（1）解：由题意，可知：数列{b n}若存在，则b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5，可令b1=0，d=3.5，则b1=0＜1＜b2=3.5＜4＜b3=7＜8＜b4=10.5＜13＜b5=14，即数列{a n}：1，4，8，13为“等差分割数列”；（2）证明：当m≥5时，假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得：b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m．即满足：b1＜2＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜16＜b5＜32＜b6＜……，由b6＞32，b1＜2⇒b6-b1=5d＞30⇒d＞6，又由2＜b2＜4，4＜b3＜8⇒0＜b3-b2=d＜6，矛盾，故不存在这样的等差数列{b n}，即数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）解：由题意，可设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，则：b1=3＜a1=7＜b2=3+d＜a2=11＜b3=3+2d＜……＜b m=3+（m-1）d＜a m=4m+3＜b m+1=3+md，由b1=3，b2＞7⇒b2-b1=d＞4，又由b1=3，b m＜4m+3⇒b m-b1=（m-1）d＜4m，即d＜，则4＜d＜，此时，b k=3+（k-1）d＜3+（k-1），a k=4k+3，b k+1=3+kd＞3+4m（=1，2，…，m）．a k-b k=4k-（k-1）=≥0，b k+1-a k＞0，即b k＜a k＜b k+1，k=1，2，…，m恒成立．则公差d的取值范围为（4，）．解析：第（1）题要根据题意找出一个符合条件的等差数列{b n}，使得b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5成立．可假设b1=0，d=3.5即可得到一个符合条件的等差数列{b n}；第（2）题可采用反证法证明，即假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}满足条件，然后找出公差d的取值范围正好相反从而产生矛盾，则假设不成立，原命题成立；第（3）题可根据题意设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，然后根据b1=3，b2＞7以及b1=3，b m＜4m+3得出公差d的取值范围．本题第（1）题主要考查根据新定义构造一个等差数列；第（2）题主要考查反证法的应用以及对新定义的理解；第（2）题主要考查根据新定义求出公差d的取值范围．本题属较难题．21.答案：解：（l）注意到f1（1）=f2（1）=1，∵f1（x）=在[0，+∞）上单调递增，f2（x）=（）x-1在[0，+∞）上单调递减，∴当0≤x≤1时，f1（x）≤f2（x），此时f（x）=f1（x）=∈[0，1]，当x＞1时，f1（x）＞f2（x），此时f（x）=f2（x）=（）x-1∈（0，1），综上所述，函数y=f（x）的值域是[0，1]（2）由题意f1（x）≤f2（x），即lg（|p-x|+l）≤lg在0≤x≤恒成立，⇔|p-x|≤-1⇔1-≤x-p≤-1⇔在0＜x≤时恒成立，令g（x）=x+-1，（0＜x≤），h（x）=x-+1，（0＜x≤），问题等价为p≤g（x）min且p≥h（x）max，∵g（x）min=g（）=，h（x）max=h（）=-，故-≤p≤，（3）由题意f1（x）=，f2（x）=，其中p＞0，∴f1（x）＞0，f2（x）＞0，2p＞1，当x≤0时，==＜1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2-x，假设2p≤3，则当0＜x≤p时，==•22-p≤≤1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，当x＞p时，==，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，综上可知，f（x）=f1（x）=2|x|，此时f（x）在（-∞，0]上单调递减，则[0，+∞）上单调递增，这与方程f（x）=m恰有三个不同的解矛盾，不符合题意，故2p＞3，当0＜x≤p时，==•22x-p，由•22x-p≤1得x≤，∴f（x）=，当x＞p时，==＞1，f1（x）＞f2（x），∴f（x）=f2（x）=3•2x-p，则由此可知，p＞log23，f（x）=，故f（x）在（-∞，0]上单调递减，此时f（x）∈[1，+∞）f（x）在[0，]上单调递增，此时f（x）∈[1，]，f（x）在[，p]上单调递减，此时f（x）∈[3，]，f（x）在[p，+∞）上单调递增，此时f（x）∈[3，+∞），∵关于x的方程f（x）=m（m为实常数）恰有三个不同的解，∴m=3或m=，当m=3时，由f（x）=3得x=-log23或x=log23或x=p，三个解的和为p，]，当m=时，由f（x）=，得x=-或x=或x=，三个解的和为．解析：（1）根据f（x）的定义分别比较两个函数的大小即可（2）若当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），等价为f1（x）≤f2（x）恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）讨论p的范围，结合f（x）的定义比较f1（x）与f2（x）的大小，结合方程根的个数，确定判断判断取值范围即可本题主要考查函数方程的综合应用，结合条件比较f1（x），f2（x）的大小是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．。
金牌模拟试卷(二)(解析版)-2020-2021学年高二数学下学期第一次月考金牌模拟试卷
2020-2021高二下学期第一次月考金牌模拟试卷（二）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．1【答案】A【分析】根据复数的概念可得出结论.【详解】复数12z i =-的虚部为2-.故选：A.2．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 【答案】C【分析】根据导数的物理意义可求得结果.【详解】根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度是21s t t =-+在3t =时的导数值，因为12s t '=-+，所以物体在3秒末的瞬时速度是1235-+⨯=米/秒.故选：C3．()()444i i i -+=（ ）A ．815i -B ．15iC ．815i +D ．15i - 【答案】A【分析】由41i =，结合复数代数形式的乘法运算，即可化简复数.【详解】()()()()444144815i i i i i i -+=-+=-.故选：A ．4．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是（ ）A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1【答案】A【分析】直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数即可得解.【详解】函数y ＝(x 2－1)n ，可由y ＝u n ，u ＝x 2－1，利用复合函数求导.故选：A.5．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数2i -+和13i -对应的点之间的距离是（ ）A B C ．5 D ．25【答案】C【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.【详解】由于复数2i -+和13i -对应的点分别为()2,1-，()1,3-，5=.故选：C.6．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．【答案】C【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可.【详解】设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以()22,0,2a V a x x x ⎛⎫=-⋅∈ ⎪⎝⎭，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，令0V '=，得2a x =（舍） 或6a x =，当06a x <<时，0V '>，单调递增；当62a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则23max2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a ≥，故a 的最小值为3. 故选：C.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．7．在复平面xOy 内，复数z 对应的向量()1,1OZ =-，z 是复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，则复数2z z +的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．i -D ．-3【答案】B【分析】先求出z ，再求出2z z +，从而可求2z z +的虚部.【详解】因为复数z 对应的向量()1,1OZ =-，故1z i =-，故1z i =+，故()22111z z i i i +=-++=-，其虚部为1-，故选：B.8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()f x 的导函数为()'f x ，且当[0,)x ∈+∞时，()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，e 为自然对数的底数，则函数()f x 在R 上的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】为了利用条件()sin ()cos ()f x x f x x ef x ''<-，构造函数()(cos )()g x x e f x =-即可. 【详解】由()sin ()cos e ()f x x f x x f x ''<-，得(cos e)()()sin 0x f x f x x '-->.令()(cos )()g x x e f x =-，因为cos 0x e -≠，所以()0f x =等价于()0g x =.当[0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在[0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()(cos )()g x x e f x =-也是定义在R 上的奇函数，从()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，所以()g x 在R 上只有1个零点，从而可得()f x 在R 上只有1个零点.故选：B.二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ）A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z = 【答案】BC【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.【详解】 由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确； 取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误. 故选：BC10．已知函数()f x 及其导数()'f x ，若存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）A ．2()f x x =B ．()x f x e -=C ．()ln f x x =D ．1()f x x= 【答案】ACD【分析】利用“巧值点”的定义，逐个求解方程()()00f x f x '=判断即可【详解】在A 中，若2()f x x =，则()2f x x '=，则22x x =，这个方程显然有解，故A 符合要求；在B 中，若()xf x e -=，则111()ln x x x f x e e e e -'⎡⎤⎛⎫⎛⎫===-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦'，即x x e e --=-，此方程无解，故B 不符合要求；在C 中，若()ln f x x =，则1()f x x '=，由1ln x x=，令ln y x =，1y x =（0x >），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C 符合要求；在D 中，若1()f x x =，则21()f x x '=-，由211x x=-，可得1x =-，故D 符合要求． 故选：ACD ．11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是（ ）A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点 D ．12i z i +=+的虚部为15i 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12i z i+=+，判断D 选项是否正确.【详解】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+， 所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i iz i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选：BC ．12．已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则（ ） A ．()f x 的图象关于原点对称 B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为【答案】AC【分析】对A ：求出()f x 的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；对B ：利用()f x 的导数可判断；对C ：计算(2)g x π+，看是否等于()g x 即可；对D ：设cos t x =，根据对勾函数的单调性可得最值.【详解】()2tan f x x x =+的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，其定义域关于坐标原点对称， 且()2tan()2tan (2tan )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，所以()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故A 项正确；由()2tan f x x x =+，得22()1cos f x x '=+，则2()()cos cos cos g x f x x x x'==+． 22()10cos f x x '=+>恒成立，所以()f x 在,()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，并不是在R 上单调递增，故B 项错误； 由2()cos cos g x x x =+，得函数()g x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣22(2)cos(2)cos ()cos(2)cos g x x x g x x x πππ+=++=+=+，故C 项正确； 设cos t x =，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(0,1)t ∈， 此时()2()h t g x t t==+，(0,1)t ∈，根据对勾函数的单调性，()h t 在(0,1)上单调递减， ()()13g x h ∴>=，故D 项错误.故选：AC ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z -=，则12z z +=______.【答案】1【分析】根据复数的运算法则，进行计算即可．【详解】解：12||||1z z ==，12||-=z z ， ∴221122||2||3z z z z -+=，122231z z ∴=-=-；12||1z z ∴+=． 故答案为：1．14．曲线2y lnx x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 【答案】10【分析】对函数求导代入，即可得出tan 3(0)2παα=<<，进而可得结果.【详解】1212,|3x y y x x ='+'==则tan 3(0),sin cos 22ππαααα=<<∴+===（）15．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________．【答案】5 -1 2【分析】根据复数的加法法则和减法法则分别求出z 1＋z 2，z 2－z 1，再根据复数相等的定义得到方程组，解出即可.【详解】z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a )i ＝－1＋(3＋a )i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以1383b a a c =-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得152b a c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为： 5；-1；2.16．已知()32f x x x =+，()2,01ln ,02x e x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()y f g x m =+(m 为实数)有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为___________. 【答案】11ln 22+【分析】 由题可知()()0f g x m +=有两个不等实根，设()g x t =，则()f t m =-，根据()f x 在R 上单调递增，结合()g x 的图像可知，()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根，即1221ln 2x e x t =+=，构造函数12211()ln 2t h t x x e t -=-=-，利用导数研究函数的最小值，即可求解. 【详解】()32f x x x =+，求导()2320f x x '=+>，()f x ∴在R 上单调递增.函数()()y f g x m =+有两个不同零点，等价于方程()()0f g x m +=有两个不等实根.设()g x t =，则()f t m =-，又()f x 在R 上单调递增，作出函数()g x 的图像，则问题转化为()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根1x ，2x ，12x x < 则1221ln 2x e x t =+=，则11ln 2x t =，122t x e -=，12211ln 2t x x e t --=-. 设121()ln 2t h t e t -=-，(]0,1t ∈，则()1212t h t e t -'=-，()122102t h t e t -''=+> ()h t '∴在(]0,1t ∈上单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知，()0h t '=在(]0,1t ∈上有唯一零点，故()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min 111ln 222h t h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 故答案为：11ln 22+【点睛】 思路点睛：本题考查利用导数研究函数的零点及最值，利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略，研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (m ∈R )．（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（4）若复数z 是0，求实数m 的值．【答案】（1）m ＝5或－3；（2）{m |m ≠5且m ≠－3}；（3）m ＝－2；（4）m ＝－3.【分析】（1）利用虚部等于零列方程求解即可；（2）利用虚部不等于零列不等式求解即可；（3）利用实部等于零且虚部不等于零求解即可；（4）利用实部等于零且虚部等于零求解即可【详解】（1）当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，所以m ＝5或－3.（2）当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数．所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．（3）当222150,560m m m m ⎧--≠⎨++=⎩时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2. （4）当222150,560m m m m ⎧--=⎨++=⎩时，复数z 是0，所以m ＝－3.18．求下列函数的导数.（1）sin y x x =+；（2）2ln 1x y x =+. 【答案】（1）cos 1x +；（2）()22221211x x nx x x +-+.【分析】根据导数的运算法则进行求导即可．【详解】（1）函数的导数：(sin )cos 1y x x x '''=+=+；（2）函数的导数：()()()2222222111212111x nx x x x nx x y x x x +-⋅+-'==++. 【点睛】本题主要考查导数的计算，结合导数的公式以及运算法则是解决本题的关键，比较基础．19．已知复数112z i =-，234z i =+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数 【答案】（1）11(,)32-；（2）1255i -+ 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；（2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+， 则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<， 即实数a 的取值范围11(,)32-. （2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-， 所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解.20．已知函数3()f x x ax =-在[4,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 【答案】(,48]-∞【分析】由()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，可得()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即23a x 在[4,)+∞上恒成立，从而可得答案．【详解】因为()23f x x a ='-，且()f x 在区间[4,)+∞上为增函数，所以()0f x '在[4,)+∞上恒成立，即230x a -在[4,)+∞上恒成立，所以23a x 在[4,)+∞上恒成立，因为2234834x ≥⨯=所以48a ，即a 的取值范围为(,48]-∞．21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x (万元)在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：∈补助款()f x (万元)随企业原纳税额x (万元)的增加而增加；∈补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x m f x x=-+(其中m 为参数)作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件∈∈的参数m 的取值范围.【答案】（1）满足，理由见解析；（2）[]4,12-.【分析】（1）当12m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由121442x x x -+≥，结合二次函数的性质，即可得到答案；（2）求得224'()4x m f x x+=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解.【详解】（1）当12m =时，所以12()44x f x x =-+，可得2112'()04f x x=+>， 所以函数()f x 在[]4,8x ∈为增函数，满足条件①； 又由不等式121442x x x -+≥，可化为216480x x -+≤， 设()21648g x x x =-+，可得对称轴为8x =且在()4,8x ∈为递减函数且()40g =， 所以121()442x f x x x =-+≥恒成立， 综上可得，当使用参数12m =时满足条件；（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x m f x x x+=+=， 所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，当0m <时，由()'0f x =，可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，所以4≤，解得40m -≤<，综上可得，4m ≥-，由条件①可知，()2x f x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+. 当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤， 综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．已知数列()*11n n a n n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （1）证明：n a e <(*n ∈N ，e 是自然对数的底数)；（2）若不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为11ln 2-. 【分析】（1）将所要证明的不等式转化为证明()()()ln 101f x x x x =+-<≤在区间(]0,1上小于零，利用导数研究()f x 在区间(]0,1上的单调性和最值，由此证得结论成立.（2）将不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，转化为()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立，利用导数研究()g x 的单调性，结合对a 进行分类讨论，求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）要证()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立，两边取对数： 只需证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 101f x x x x =+-<≤， 即只需证明函数()f x 在区间(]0,1上小于零，由于()1x f x x =-+'， 在区间(]0,1上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且()00f =，所以在区间(]0,1上函数()0f x < 所以不等式()*11ne n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立； （2）对于不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N ，两边取对数： 只需不等式11ln 1n n a⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+， 不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N 成立，等价于在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立其中，()222(21)(1)(1)a x a x g x x ax +-=++' 由分子22(21)0a x a x +-=，得其两个实数根为10x =，2212a x a -=；当12a ≥时，20x ≤， 在区间(]0,1上，()0g x '>，函数()g x 单调递増，由于()()00g x g >=，不等式不成立112a <<时，()20,1x ∈， 在区间()20,x 上()0g x '<，在区间()2,1x 上()0g x '>；函数()g x 在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,1x 上单调递增； 且()00g =，只需()11ln 201g a =-≤+，得11ln 2a ≤-111ln 2a -<≤-时不等式成立当01a <≤时，21x ≥，在区间(]0,1上，()0g x '<，函数()g x 单调递减，且()()00g x g <=，不等式恒成立 综上，不等式(),011n a a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭>N 成立，实数a 的最大值为11ln 2-. 【点睛】可将不等式恒成立问题，转化为函数最值来求解，要注意导数的工具性作用.。
25学年高二数学上学期期中模拟卷(上海专用,测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章)解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（上海专用）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．“点A 在直线l 上”用符号语言可以表示为 .【答案】A lÎ【解析】A 在直线l 上，即A lÎ故答案为：A lÎ2．在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，则直线AB 到平面11CDD C 的距离为 ．故答案为：2.3．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是 ．【答案】8π【解析】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2π24π´=，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为24π8π´=.故答案为：8π4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AC 所成的角为 ．正方体1111ABCD A B C D -因此1ACD Ð是异面直线A 而112AD CD AC ===所以异面直线1A B 与AC 5．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为30°，则该圆锥的高为 ．6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且132A B O C O A ¢¢¢==¢¢¢=，，，则原梯形的面积为 .易得24OA O A ¢¢==，1AB A B ¢¢==，OC O =故原梯形的面积为：113482S =´+´=（），故答案为：8.7．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的为.8．已知球的两个平行截面的面积分别为49π，400π且两个截面之间的距离是9，则球的表面积为．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD 与底面ABCD所成的二面角的大小是．【答案】45°【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD，又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．故答案为：45°．10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 .（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成60°角.11．设AB 和CD 都是平面a 的垂线，其垂足分别为,B D .已知5,9,3AB CD BD ===，那么线段AC =.【答案】5或205【解析】如图所示，因为可得//AB CD ，且AB ^如图（1）所示，当点,A12．如图，平面OAB ^平面a ，OA a Ì，OA AB =，120OAB Ð=°．平面a 内一点P 满足PA PB ^，记直线OP 与平面OAB 所成角为q ，则tan q 的最大值是 ．过点B 作BH OA ^，交OA 的延长线于点取AH 的中点为E ，连接PE ，过点P 作Q 平面OAB ^平面a ，且平面OAB I 平面当且仅当PE OP ^，即OP 是圆E 的切线时，角tan q 取得最大值为：22PE PE OP OE PE ==-二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列说法错误的是（ ）A ．一个棱柱至少有5个面B ．斜棱柱的侧面中没有矩形C ．圆柱的母线平行于轴D ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【解析】由棱柱的性质可知A 正确，B 错误；由圆柱的性质可知C 正确；由正棱锥的性质可知D 正确.故选：B14．已知l 是直线，,a b 是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ）A ．若//,//l l a b ，则//a bB ．若,//a b a ^l ，则l b ^C ．若,//l l a b ^，则a b ^D ．若//,//l a a b ，则//l b【答案】C【解析】若,//,,m l m l l a b a b Ç=ËË，则有//,//l l a b ，故可判断A 错误.若,//,m l m l a b a Ç=Ë，则//l b 或l b Ì，故B 错误.若,//l l a b ^，则b 存在直线与l 平行，所以a b ^，故C 正确.若//,//l a a b ，则//l b 或l b Ì，故D 错误.故选：C.15．《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF ，其中////AB DC EF ，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a 、b 、c ，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m 、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n （如图）．羡除的体积公式为()6a b c mn V ++=，过线段AD ，BC 的中点G ，H 及直线EF 作该羡除的一个截面a ，已知a 刚好将羡除分成体积比为5:4的两部分．若4AB =、2DC =，则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6故选：B16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则以下命题正确的序号为（ ）①直线1BD ^平面11AC D②平面1B CD 与平面BCD 的夹角大小为π2③三棱锥11P AC D -的体积为定值④异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42éùêúëûA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①④【答案】B 【解析】如图，连接11B D ，正方形1111D C B A 中，1111AC B D ^，Q 正方体的棱1BB ^平面1111D C B A ，11AC Ì平面1111D C B A ，111BB A C \^，1111BB B D B =Q I ，111,BB B D Ì平面11BB D ，所以11A C ^平面11BB D ，又1BD Ì平面11BB D ，所以111A C BD ^，同理11A D BD ^．1111A C A D A =Q I ，111,A C A D Ì平面11AC D ，所以1BD ^平面11AC D ，①正确；因为CD ^平面1BCB ，1B C Ì平面1BCB ，所以1CD B C ^，又平面1B CD I 平面BCD CD =，BC CD ^，ÌBC 平面BCD ，1B C Ì平面1B CD ，三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，已知,,,E F G H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111,,,AB BC CC C D 的中点，且EF 与H G 相交于点Q ．(1)求证：点Q 在直线DC 上；(2)求异面直线EF 与11A B 所成角的大小．【解析】（1）平面ABCD I 平面11CDD C DC =，由于Q EF ÎÌ平面ABCD ，Q HG ÎÌ平面11CDD C ，所以Q DC Î，也即点Q 在直线DC 上. （6分）（2）根据正方体的性质可知11//A B DC ，所以异面直线EF 与11A B 所成角为DQE Ð， （8分）由于//,,AB DC E F 分别是,AB BC 的中点，所以45DQE FEB Ð=Ð=°，所以异面直线EF 与11A B 所成角的大小为45°.（14分）18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 是AC 与BD 的交点，=45ADC Ðo ，2AD AC ==，^PO 平面ABCD ，2PO =，M 是PD 的中点．(1)证明：//PB 平面ACM(2)求直线AM 与平面ABCD 所成角的大小．【解析】（1）连接MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 与BD 的交点，所以O 为BD 的中点， （2分）又M 为PD 的中点,所以//PB MO .因为PB Ë平面,ACM MO Ì平面ACM ，所以//PB 平面ACM . （6分）（2）取DO 中点N ,连接MN ,AN ，因为M 为PD 的中点,所以//MN PO ,且112MN PO ==,由^PO 平面ABCD ，得MN ^平面ABCD ，所以MAN Ð是直线AM 与平面ABCD 所成的角. （8分）因为底面ABCD 为平行四边形，且45ADC Ð=o ，2AD AC ==，所以45ACD Ð=o ，则90DAC Ð=o ，在Rt DAO V 中,2,1AD AO ==,所以DO =从而12AN DO ==19．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm ，圆柱高为30cm ，底面的周长为24πcm .(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到30.1cm ）；(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元）【解析】（1）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为1h ，圆柱高为2h ，则由题意有2π24πr =，得12cm r =，圆锥高116cm h ==，所以“笼具”的体积2232111πππ14430144165088π15984.4cm 33V r h r h æö=+=´+´´=»ç÷èø. （6分）（2）圆柱的侧面积2122π720πcm S rh ==，圆柱的底面积22π144πS r ==，圆锥的侧面积3π240πS rl ==，所以“笼具”的侧面积21231104πcm S S S S =++=侧.（12分）故造50个“笼具”的最低总造价为41104π5081104π138.71025´´=»元.（14分）答：这种“笼具”的体积约为315984.4cm ；生产50个笼具需要138.7元.20．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AD BC ，90BCD Ð=°，PA PB =，PC PD =．(1)证明：CD 与平面PAD 不垂直；(2)证明：平面PAB ^平面ABCD ；(3)如果CD AD BC =+，二面角P BC A --等于60°，求二面角P CD A --的大小．【解析】（1）若CD ^平面PAD ，则CD PD ^， 由已知PC PD =，得90PCD PDC Ð=Ð<°，（2分）这与CD PD ^矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直． （4分）（2）取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF 、EF ，由PA PB =，PC PD =，得PE AB ^，PF CD ^，EF \为直角梯形的中位线，（6分）EF CD \^，又PF EF F =I ，∴CD ⊥平面PEF ， （8分）由PE Ì平面PEF ，得CD PE ^，又AB PE ^且梯形两腰AB 、CD 必交，PE \^平面ABCD ,又PE Ì平面PAB ，\平面PAB ^平面ABCD ,（10分）（3）由（2）及二面角的定义知PFE Ð为二面角P CD A --的平面角,作EG BC ^于G ，连PG ，由于PE ^平面ABCD ,ÌBC 平面ABCD ,故PE BC ^,EG BC ^,,,EG PE E EG PE Ç=Ì平面PEG ,故^BC 平面PEG PG Ì平面PEG ,所以 PG BC^故PGE Ð为二面角P BC A --的平面角, （12分）即60PGE Ð=°，由已知，得11()22EF AD BC CD =+=，又12EG CF CD ==．EF EG \=，Rt F Rt PE PEG \@V V ． 60PEF PGE \Ð=Ð=°，故二面角P CD A --的大小为60°． （18分）21．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面ABC ⊥平面11ABB A ．(1)求证：直线1//A D 平面11BC D ；(2)设直线1AB 与直线1BD 的交点为点E ，若三角形ABC 是等边三角形且边长为2，侧棱1AA =直线1BC 与1AB 互相垂直，求异面直线1A D 与1BC 所成角；(3)若12,AB AC BC A AB ===Ð=111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C -的高．【解析】（1）斜三棱柱111ABC A B C -中，1D 为11A B 的中点，D 为AB 的中点，所以11111122A D AB AB BD ===，且11A D BD //，所以四边形11A D BD 为平行四边形，所以11//A D BD ，（2分）因为1BD Ì平面11BC D ，1A D Ë平面11BC D ，所以1//A D 平面11BC D ；（4分）（2）因为AC =BC ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，CD Ì平面ABC ，所以CD ⊥平面11ABB A ，故11C D ⊥平面11ABB A ，所以111C D AB ^,又1BC 与1AB 互相垂直，1111BC C D C Ç=,111,BC C D Ì面11BC D 故1AB ^面11BC D ,得11^AB BD .即11B D E V 为直角三角形，（6分）在11ABB A Y 中，1,D D 为中点，11//A D BD ，所以E 为1AB 的三等分点，设1B E t =，由余弦定理可得：222111*********cos 21B E AB A B AA t A B A B D AB A B +-Ð====×解之：t =11π,6A B A Ð=故112D E =11111113//,,.22D E B D A B AB BD EB AB \==\=11C D ⊥平面11ABB A ，111,C D BD \^在11BD C △中，11tan D BC Ð=.1A D 与1BC 所成的角为 （10分）（3）过B 作1BP AA ^于P ，过P 作1FP CC ^于F ，连BFBPF \V 为直截面，小球半径为BPF △的内切圆半径因为2,AB AC BC ===222AC BC AB +=，故AC ⊥BC ，则112CD AB == （12分）设,BP =所以2AP t =，由222AB BP AP =+解得t =BP AP ==；由最小角定理11cos cos cos A AC A AB BAC Ð=ÐÐ==1sin PF AC A AC =Ð （14分）由CD ^面11ABB A ,易知1BP CC ^，BF PF BP \===内切圆半径为：13r =则12sin h r r r A AB =++Ð=（18分）。
高二下学期期末考试数学试题(图片版)
，则 .………………………………………10分
故函数在 和 上单调递增…………………………………………11分
在 上单调递减.………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由A∩B＝{3,7}得 2＋4 ＋2＝7，解得 ＝1或 ＝－5.………………4分
所以 ， 在 上单调递减，……………………………………10分
.………………………………………………………………………11分
所以 最小值为 .…………………………………………………………………12分
所以至少一种产品研发成功的概率为 .………………………………………5分
(2)依题意, ,……………………6分
由独立试验同时发生的பைடு நூலகம்率计算公式可得:
;………………………………………………7分
;…………………………………………………8分
;……………………………………………………9分
;…………………………………………………………10分
所以 的分布列如下:
………………………………………………………………………………………11分
则数学期望 .
…………………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数 …………………………………………………1分
所以 ………………………………………………………………3分
当 ＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；……………………………………………………5分
当 ＝－5时，因为2- =7，集合B中元素重复．…………………………………6分
2020年上海市奉贤区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年中考数学二模试卷一、选择题（本题共6题）1．下列计算中，结果等于a2m的是（）A．a m+a m B．a m•a2C．（a m）m D．（a m）22．下列等式成立的是（）A．（）2＝3B．＝﹣3C．＝3D．（﹣）2＝﹣3 3．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，那么实数m的值可以是（）A．0B．1C．2D．34．甲、乙、丙、丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差S2（秒2）如表所示．如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那么应该选的同学是（）甲乙丙丁777.57.5S2 2.1 1.92 1.8A．甲B．乙C．丙D．丁5．四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相平分．添加下列条件，一定能判定四边形ABCD 为菱形的是（）A．∠ABD＝∠BDC B．∠ABD＝∠BAC C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠BCA 6．如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是（）A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：9a3b÷3a2＝．8．如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是．9．方程＝4的解是．10．二元一次方程x+2y＝3的正整数解是．11．从分别写有数字1，2，4的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字分别作为点M的横坐标和纵坐标，那么点M在双曲线y＝上的概率是．12．如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而．（填“增大”或“减小”）13．据国家统计局数据，2019年全年国内生产总值接近100万亿，比2018年增长6.1%．假设2020年全年国内生产总值的年增长率保持不变，那么2020年的全年国内生产总值将达到万亿．14．已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点．设，，那么＝．（结果用、表示）．15．某校计划为全体1200名学生提供以下五种在线学习的方式：在线听课、在线答题、在线讨论、在线答疑和在线阅读．为了解学生需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成扇形统计图（如图）．由这个统计图可知，全校学生中最喜欢“在线答疑”的学生人数约为人．16．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12．如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，点D在圆A外，那么圆C的半径长r的取值范围是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，联结AE，那么∠CAE的度数是度．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：．20．先化简，再求值：，其中x＝．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y 轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C 的纵坐标为4．（1）求直线AB的表达式；（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．22．如图1，由于四边形具有不稳定性，因此在同一平面推矩形的边可以改变它的形状（推移过程中边的长度保持不变）．已知矩形ABCD，AB＝4cm，AD＝3cm，固定边AB，推边AD，使得点D落在点E处，点C落在点F处．（1）如图2，如果∠DAE＝30°，求点E到边AB的距离；（2）如图3，如果点A、E、C三点在同一直线上，求四边形ABFE的面积．23．已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．（1）求证：AD＝DE；（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．25．如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．（1）当点F与点B重合时，求CP的长；（2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域；（3）如果GP＝GF，求△EPF的面积．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列计算中，结果等于a2m的是（）A．a m+a m B．a m•a2C．（a m）m D．（a m）2【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．解：A、a m+a m＝2a m，故此选项不合题意；B、a m•a2＝a m+2，故此选项不合题意；C、（a m）m＝，故此选项不合题意；D、（a m）2＝a2m，故此选项符合题意．故选：D．2．下列等式成立的是（）A．（）2＝3B．＝﹣3C．＝3D．（﹣）2＝﹣3【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．解：（）2＝3，A正确；＝3，B错误；＝＝3，C错误；（﹣）2＝3，D错误；故选：A．3．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，那么实数m的值可以是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后对各选项进行判断．解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，所以m可以取0．故选：A．4．甲、乙、丙、丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差S2（秒2）如表所示．如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那么应该选的同学是（）甲乙丙丁777.57.5S2 2.1 1.92 1.8A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．解：∵乙的平均分最好，方差最小，最稳定，∴应选乙．故选：B．5．四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相平分．添加下列条件，一定能判定四边形ABCD 为菱形的是（）A．∠ABD＝∠BDC B．∠ABD＝∠BAC C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠BCA 【分析】先由对角线AC、BD互相平分得出四边形ABCD是平行四边形，再按照平行四边形基础上菱形的判定方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐个选项分析即可．解：如图所示，设四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形．选项A，由平行四边形的性质可知AB∥DC，则∠ABD＝∠BDC，从而A不符合题意；选项B，∠ABD＝∠BAC，则AO＝BO，再结合对角线AC、BD互相平分，可知AC＝BD，从而平行四边形ABCD是矩形，故B不符合题意；选项C，由平行四边形的性质可知AD∥BC，从而∠ADB＝∠CBD，当∠ABD＝∠CBD时，∠ADB＝∠ABD，故AB＝AD，由一组邻边相等的平行四边形的菱形可知，C符合题意；选项D，∠ABD＝∠BCA，得不出可以判定四边形ABCD为菱形的条件，故D不符合题意．综上，只有选项C一定能判定四边形ABCD为菱形．故选：C．6．如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是（）A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN【分析】根据三角形的高的概念得到AD⊥BC，根据垂线段最短判断．解：∵线段AN是△ABC边BC上的高，∴AD⊥BC，由垂线段最短可知，AM≥AN，故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：9a3b÷3a2＝3ab．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．解：原式＝3ab．故答案为：3ab．8．如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是x≠3．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0求解可得．解：根据题意知3﹣x≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．9．方程＝4的解是x＝15．【分析】将无理方程化为一元一次方程，然后求解即可．解：原方程变形为：x+1＝16，∴x＝15，x＝15时，被开方数x+1＝16＞0‘∴方程的解为x＝15．故答案为x＝15．’10．二元一次方程x+2y＝3的正整数解是．【分析】把y看做已知数求出x，即可确定出正整数解．解：方程x+2y＝3，变形得：x＝﹣2y+3，当y＝1时，x＝1，则方程的正整数解为，故答案为：11．从分别写有数字1，2，4的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字分别作为点M的横坐标和纵坐标，那么点M在双曲线y＝上的概率是．【分析】列表得出所有等可能的情况，然后判断落在双曲线上点的情况数，即可求出点M在双曲线y＝上的概率．解：列表如下：1241（2，1）（4，1）2（1，2）（4，2）4（1，4）（2，4）所有可能的情况有6种；落在双曲线y＝上的点有：（1，4），（4，1）共2个，则P＝＝．12．如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．13．据国家统计局数据，2019年全年国内生产总值接近100万亿，比2018年增长6.1%．假设2020年全年国内生产总值的年增长率保持不变，那么2020年的全年国内生产总值将达到106.1万亿．【分析】利用增长率的意义得到2020年全年国内生产总值100×（1+6.1%），然后进行计算即可．解：根据题意得：100×（1+6.1%）＝106.1（万亿），答：2020年的全年国内生产总值将达到106.1万亿；故答案为：106.1．14．已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点．设，，那么＝﹣+．（结果用、表示）．【分析】由三角形法则可知：＝+，只要求出，即可解决问题．解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC∴＝＝，∵E是AB的中点，∴AE＝AB＝，∵＝+，∴＝﹣+，故答案为：﹣+．15．某校计划为全体1200名学生提供以下五种在线学习的方式：在线听课、在线答题、在线讨论、在线答疑和在线阅读．为了解学生需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成扇形统计图（如图）．由这个统计图可知，全校学生中最喜欢“在线答疑”的学生人数约为360人．【分析】先根据各部分所占百分比之和为1求出D类型人数所占百分比，再乘以总人数即可得．解：∵最喜欢“在线答疑”的学生人数占被调查人数的百分比为1﹣（20%+25%+15%+10%）＝30%，∴全校学生中最喜欢“在线答疑”的学生人数约为1200×30%＝360（人），故答案为：360．16．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是40海里．【分析】根据已知方向角得出∠P＝∠PAB＝30°，进而得出对应边关系即可得出答案．解：如图所示：由题意可得，∠PAB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠PAB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12．如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，点D在圆A外，那么圆C的半径长r的取值范围是1＜r＜8．【分析】四边形ABCD是矩形，可得∠B＝90°，AD＝BC＝12，AB＝5，根据勾股定理，得AC＝13，分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，点D在圆A外，根据圆与圆相切的性质即可求出r的取值范围．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝12，AB＝5，根据勾股定理，得AC＝＝13，∵分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，∴13﹣5＝8，∵点D在圆A外，∴13﹣12＝1，∴1＜r＜8，所以圆C的半径长r的取值范围是1＜r＜8．故答案为：1＜r＜8．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，联结AE，那么∠CAE的度数是125度．【分析】依据折叠的性质即可得到∠DAE的度数，再根据三角形内角和定理即可得到∠BAC的度数，进而得出∠CAE的度数．解：如图所示，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝35°，∴∠BDC＝110°，由折叠可得，∠CDE＝∠CDB＝110°，DE＝DB＝AD，∴∠BDE＝360°﹣110°×2＝140°，∴∠DAE＝∠BDE＝70°，又∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣35°＝55°，∴∠CAE＝55°+70°＝125°，故答案为：125．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：．【分析】直接利用二次根式的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝＝﹣2++1＝﹣1．20．先化简，再求值：，其中x＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．解：原式＝＝，当时，原式＝．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y 轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C 的纵坐标为4．（1）求直线AB的表达式；（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，利用平行线分线段成比例得到＝＝1，则OH＝OA＝2，则点C的坐标为（2，4），然后利用待定系数法求直线AB 的解析式；（2）把C点坐标代入y＝中求出m＝8，再利用直线解析式确定点B的坐标为（0，2），接着利用BD∥x轴得到点D纵坐标为2，根据反比例解析式确定点D坐标，然后根据两点间的距离公式计算CD的长．解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，∴＝＝1，∵A（﹣2，0），∴AO＝2，∴OH＝OA＝2，∵点C的纵坐标为4，∴点C的坐标为（2，4），设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，解得，∴直线AB的表达式y＝x+2；（2）∵反比例函数y＝的图象过点C（2，4），∴m＝2×4＝8，∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，∴点B的坐标为（0，2），∵BD∥x轴，∴点D纵坐标为2，当y＝2时，＝2，解得x＝4，∴点D坐标为（4，2），∴CD＝＝2．22．如图1，由于四边形具有不稳定性，因此在同一平面推矩形的边可以改变它的形状（推移过程中边的长度保持不变）．已知矩形ABCD，AB＝4cm，AD＝3cm，固定边AB，推边AD，使得点D落在点E处，点C落在点F处．（1）如图2，如果∠DAE＝30°，求点E到边AB的距离；（2）如图3，如果点A、E、C三点在同一直线上，求四边形ABFE的面积．【分析】（1）过点E作EH⊥AB轴，垂足为H，根据矩形的性质得到∠DAB＝90°，AD∥EH，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEH，求得∠AEH＝30°，解直角三角形即可得到结论；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H．根据矩形的性质得到AD＝BC．得到BC＝3cm．根据勾股定理得到cm，根据平行线分线段成比例定理得到cm，根据四边形的性质得到AD＝AE＝BF，AB＝DC＝EF．求得四边形ABCD是平行四边形，于是得到结论．解：（1）如图2，过点E作EH⊥AB轴，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴AD∥EH，∴∠DAE＝∠AEH，∵∠DAE＝30°，∴∠AEH＝30°．在直角△AEH中，∠AHE＝90°，∴EH＝AE•cos∠AEH，∵AD＝AE＝3cm，∴cm，即点E到边AB的距离是cm；（2）如图3，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵AD＝3cm，∴BC＝3cm，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，∴cm，∵EH∥BC，∴，∵AE＝AD＝3 cm，∴，∴cm，∵推移过程中边的长度保持不变，∴AD＝AE＝BF，AB＝DC＝EF，∴四边形ABCD是平行四边形，∴cm2．23．已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．（1）求证：AD＝DE；（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）根据平行线分线段成比例定理得到，，得到，整理得到CE2＝AE•EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．【解答】证明：（1）∵BC2＝CE•CA，∴，又∠ECB＝∠BCA，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE＝∠CAB，∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，∴∠BEC＝∠DAE，∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE；（2）∵DF⊥AC，AC⊥BC，∴∠DFE＝∠BCA＝90°，∴DF∥BC，∴，∵DC∥AB，∴，∴，∴CE2＝AE•EF，∵AD＝DE，DF⊥AC，∴AF＝EF，∴CE2＝AE•AF．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣2．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣2．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．25．如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．（1）当点F与点B重合时，求CP的长；（2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域；（3）如果GP＝GF，求△EPF的面积．【分析】（1）如图1，连接EO，交弦CD于点H，根据垂径定理得EO⊥AB，由勾股定理计算，可得EH的长，证明∠HPE＝∠HGE＝45°，则PE＝GE．从而可得结论；（2）如图2，连接OE，证明△PEH∽△EFO，列比例式可得结论；（3）如图3，作PQ⊥AB，分别计算PE和EF的长，利用三角形面积公式可得结论．解：（1）连接EO，交弦CD于点H，∵E为弧CD的中点，∴EO⊥AB，∵CD∥AB，∴OH⊥CD，∴CH＝，连接CO，∵AB＝10，CD＝8，∴CO＝5，CH＝4，∴，∴EH＝EO﹣OH＝2，∵点F与点B重合，∴∠OBE＝∠HGE＝45°，∵PE⊥BE，∴∠HPE＝∠HGE＝45°，∴PE＝GE，∴PH＝HG＝2，∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2；（2）如图2，连接OE，交CD于H，∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°，∴∠PEH＝∠OFE，∵∠PHE＝∠EOF＝90°，∴△PEH∽△EFO，∴，∵EH＝2，FO＝y，PH＝4﹣x，EO＝5，∴，∴．（3）如图3，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，∵GP＝GF，∴∠GPF＝∠GFP，∵CD∥AB，∴∠GPF＝∠PFQ，∵PE⊥EF，∴PQ＝PE，由（2）可知，△PEH∽△EFO，∴，∵PQ＝OH＝3，∴PE＝3，∵EH＝2，∴，∴，∴，∴．。
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上海市高二第二学期期末模拟考试卷（一）一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B 两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T 的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V==．故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为： +1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10] ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可；（2）求出斜高，在计算侧面积．•h==64．【解答】解：（1）V=S正方形ABCD∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米．（2）取底面ABCD的中心O，AD的中点M，连结PO，OM，PM．则PO⊥平面ABCD，PM⊥AD，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5，===20．∴S△PAD=4S△PAD=80．∴S侧面积∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板．20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线y=x+2代入﹣=1得x2﹣4x﹣14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|====3，则半径R=，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=．（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，则k OA=，k OB=，则k OA•k OB=====﹣．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【解答】解：（1）∵（2﹣i）α=3﹣4i，∴a==2﹣i，∴α+β=2+m﹣2i，∵|α+β|＜2||，∴（2+m）2+4＜4（4+1），解得﹣6＜m＜2，∴m的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜，＞|，sinβ=|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴PA==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos．（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴=（﹣2，0，2），=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，1，1）．∴=1，=2．∴cos＜＞==，cos＜＞==．∴sinα=，sinβ=．∴=．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化简即可得出．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，根据|MN|≥0.5，可得r≥++．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣的最小值，即可得出r的取值范围．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x1﹣1）（x2﹣1）+=0．即可证明．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+=1．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥++=+1．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣=﹣=﹣，∴．综上可得：r的取值范围是∪．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，B．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，∴x1+x2=，x1x2=．则=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）×﹣×+1+=0．∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．。