北师大版九年级数学下册全套教案

乂务教育基础课程初中教学资料 --
第一章直角三角形的边角关系
§ 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标：
1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2. 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点：........ ....
1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系
2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系学习难点：
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习方法：
引导一探索法. 学习过程：
一、生活中的数学问题：
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子 AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
哪个更陡？你是怎样判断的？
B 2m
C F 2.5m D
≡EL-?P
二组第三组二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt △ AB I Cl和Rt△ AB2C2有什么关系？
⑵B I C l和BC L有什么关系？
AC1 AC 2
⑶如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3）呢？
⑷由此你得出什么结论？
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
A C3C2 C]例2、在△ ABC中，∠ C=90°, BC=12cm AB=20cm 求tanA 和tan
B 的值. E'l
Sm
R
1: 1.5的斜坡AD,求DB 的长.（结果保留根号）
五、课后练习:
1、 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,AB=3,BC=1,则 tanA= _______
2、 在厶 ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,贝U tanA= ________ .
3、在厶 ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则 tanC= ________
四、随堂练习：
1如图，△ ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出
tanC 吗?
2、如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B,已知点B 到山脚的垂直距离为 55m 求山的坡度•（结
3、若某人沿坡度i = 3: 4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高 ____________ 米.
4、菱形的两条对角线分别是 16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为 tan θ = ______ .
5、如图，Rt △ ABC 是 一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为12 m ,它的坡角为45 ,为了提高该堤的
防洪能力，现将背水坡改造成坡比为
4、在 Rt △ ABC 中，∠C 是直角，∠A ∠ B ∠C 的对边分别是 a 、b 、c,且 a=24,c= 25,
求 tanA 、tanB 的值.
5、若三角形三边的比是 25:24:7,求最小角的正切值
5
6、如图，在菱形ABCc 中,AE ⊥BC 于E,EC=1,tanB= ,求菱形的边长和四
12
边形AECD 勺周长.
§ 1.1从梯子的倾斜程度谈起(第二课时)
学习目标： 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义 2. 能够运用SinA 、CoSA 表示直角三角形两边的比. 3. 能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 4. 理解锐角三角函数的意义. 学习重点：
1. 理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明 .
2. 能用SinA 、CosA 表示直角三角形两边的比
3.
能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算 学习难点： 用函数的观点理解正弦、余弦和正切 .
学习方法：
探索——交流法. 学习过程：
一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图 (1)直角三角形ABC 和直角三角形ABC 2有什么关系？
AC “十 A 2C 2 BC “十 BC 2 ⑵ AC 1和 —— 有什么关系？ BC 1和 -呢？
BAI BA BA BA,
⑶如果改变A 2在梯子AB 上的位置呢？你由此可得出什么结论 ？ ⑷ 如果改变梯子 A1B 的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论 请讨论后回答.
、由图讨论梯子的倾斜程度与 SinA 和cosA 的关系:
⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>O),则糖的质量与糖水质量的比为 ____________ ;若再添加C 克糖(c>0),则糖的质 量与糖水的质量的比为 __________ .生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及 这个生活常识提炼出一个不等式 ： ___________ .
⑵、我们知道山坡的坡角越大
，则坡越陡，联想到课本中的结论:tanA 的值越大，则坡越陡，我们会得到一个
锐角逐渐变大时，它的正切值随着这个角的变化而变化的规律 ,请你写出这个规律： _______________ .
⑶、如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B=90° ,AB=a,BC=b(a>b),延长 BA BC,使 AE=CD=C,直线 CA DE 交于点 F,请运 用(2)
中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式
3
7、已知：如图，斜坡AB 的倾斜角a,且tan α = _ ,现有一小球从坡底
4
小球以多大的速度向上升高
？
A 处以20cm∕s 的速度向坡顶
B 处移动,则
8、探究:
4、
已知：如图， CD 是Rt△ ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC= AB ∙ BD.（用正弦、余弦函数的定义证明 ）
4 在厶 ABC 中,AB=AC=10,sinC= — ,贝U BC= .
5
在厶ABC 中，已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是 3
3
3
A.
si nA=
B.cosA=
C.ta nA=
三、例题:
例1、
如图，在 Rt △ ABC 中，∠ B=90°, AC = 200.sinA = 0.6 , 做一做:
如图, 12
在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°, cosA =
, AC = 10 , AB 等于多
13
少？SinB 呢?cosB 、SinA 呢？你还能得出类似例 1的结论吗？请用一般 式表达.
四、随堂练习：
在等腰三角形ABC 中, 1、 AB=AG= 5, BC=6 求 SinB , cosB , tanB.
2、 在厶 ABC 中，∠ C = 90° 4 ,SinA = , BC=2Q 求厶ABC 的周长和面积.
5
3、 在厶 ABC 中.∠ C=90°
, 1
若 tanA=,贝U SinA=
2
4、 五、课后练习:
1、
2、
3 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,tanA=—,贝U SinB=
4
在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,AB=41,sinA= —,贝U AC= ,ta nB=
,BC=
3、
β
4 5 4
D.cosB=
5、如图，在厶ABC 中，∠
C=90
,si nA= 3,则BC
等于()
5
AC
3 r
4 A.
B. -
C.
D.
4
3
5
5
§ 1.2 30 °、45 °、60 °角的三角函数值
学习目标：
6、Rt △ ABC 中，∠
C=90 ,已知
3
cosA=-,那么 tanA 等于()
A
4 m
3 C
4 f
5
A. _
B.
C.
D.
3
4
5
4
7、在厶ABC 中，∠ 【C=90° ,BC=5,AB=13,则 SinA 的值是
A 5
12
C
5
12 A.
B
.
C
.
D
13
13 12
5
8、已知甲、乙两坡的坡角分别为 α、 β 若甲坡比乙坡更徒些 ,则下列结论正确的是
A.tan α <tan β
B.sin α <sin
C.CoS α <CoS
D.cos α >CoS β A.
CD B.
DB C.
CB D.
AC CB
AB
CD CB
10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是 ()m
A.
100 Sin :
B.100si n
β C.
D. 100cos
COS L
11、如图，分别求∠ α , ∠ β的正弦，余弦，和正切.
12、在厶 ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是 BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
13、在 Rt △ ABC 中,∠ BCA=90 ,CD 是中线,BC=8,CD=5.求 Sin ∠ ACD,cos/ ACD 和 tan ∠ ACD.
14、在Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,sinA 和CosB 有什么关系
15、如图，已知四边形
4
ABCD
中，BC =CD =
DB
，∠
ADB =90
^os ∠
ABD
=J 求: s ^ABD :
s
^ BCD
1. 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2. 能够进行30°、45 °、60°角的三角函数值的计算.
3. 能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 学习重点： 1. 探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2. 能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.
比较锐角三角函数值的大小 . 学习难点： 进一步体会三角函数的意义 .
学习方法：
自主探索法 学习过程： 一、问题引入
［问题］为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含 30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺
请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度 二、新课
［问题］1、观察一副三角尺，其中有几个锐角
？它们分别等于多少度？
［问题］2、Sin30 °等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流. ［问题］3、cos30 °等于多少？tan30 °呢？
［问题］4、我们求出了 30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角一一 45°、60°，它们的三角函数值
分别是多少？你是如何得到的？ 结论:
角度
三角函数
Sin α
Co α
tan α
30° 〜
45°
60°
［例1］计算：
2 2
(I) Sin30 ° +cos45 ° ； (2)Sin 60° +cos 60° -tan45
2.5 m ,当秋千向两边摆动时，摆角恰好为
60°，且两边的
摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差
三、随堂练习 1.
计算： (1)
sin60 ° -tan45
［例2］ 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 .(结果精确到0.01 m)
⑵cos60
° +tan60
2 sin45
+sin60 ° -2cos45
Sin 30
⑸(、2 +1)-1
+2sin30 ° -
8 ； ⑹(1+ ..2)0
- I 1-sin30
1+(1)-1
四、课后练习：
1、 R t △ ABC 中，N A =60： c =8 ,贝U a = ____ , b= _____ ；
2、 在厶 ABC 中，若 c =2*：：3, b = 2,,则 tan B= ____ ,面积 S=
⑺ Sin 60
1 -ta n60
⑻ 2-3-( . 2003 + ∏ ) 0-cos60 ° -
1-迈
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为
30° .高为7 m ,扶梯的长度是多少？
3.如图为住宅区内的两幢楼，它们的高 AB= CD=30 m 两楼问的距离 AC=24 m 现需了解甲楼对乙楼的采光 影响情况•当太阳光与水平线的夹角为 30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
?(精确到 0.1 m ， , 2 ≈ 1.41，
,3 ≈ 1.73)
⅛ _
严
□
π口
口
3、 在厶ABC 中, AC BC = 1: A /3 , AB= 6, ∠ B = , AC = BC =
4、 等腰三角形底边与底边上的高的比是 2 : ,3 ,则顶角为
(A ) 600
5、有一个角是
(B) 900 (C 1200
30的直角三角形，斜边为
(D ) 1500
1cm ,则斜边上的高为
(A ) -Cm
4
(B ) -Cm
2 (C )
C m 4
(D )-3 cm
2
6、在 ABC 中,
• C =90 ,若
.B =2∙ A ,贝U tanA 等于(
).
(A )
√3 (B)-^
3
(C )仝
2
(D)- 2
7、如果∠ a 是等边三角形的一个内角，那么
CoS a 的值等于(
).
(A )
(BV
2
(D 1
方米a 元，则购买这种草皮至少要(
).
(A ) 450a 元
(B ) 225a 元
(C ) 150a 元
(D) 300a 元
9、计算：
⑴、Sin 2 60 cos 2 60
⑵、Sin60 -2sin30 cos30
⑶、Sin 30 -cos 2 45
⑷、2cos45* + √3
30
米
150
已知这种草皮每平
“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环
境,
&某市在
⑸、.2 si n600.3cos450l 、3cos600⑹、0—
5sin30 -1
⑺、2sin230 ∙tan30 cos60 tan60 °⑻、Sin245 - tan230
10、请设计一种方案计算 tan 15 °的值。

§ 1.4 船有触礁的危险吗
学习目标：
1. 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用
2. 能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
学习重点：
1. 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用
2. 发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
学习难点：
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图学习方法：
探索一一发现法
学习过程：
一、问题引入：
海中有一个小岛 A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处,
往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行
途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流.
二、解决问题：
1、如图，小明想测量塔 CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进 50m至B处.测
得仰角为60° .那么该塔有多高?（小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m）
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼
梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确
到
0.0l m）
三、随堂练习
1. 如图，一灯柱 AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB= 5 m,现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少？
3•如图，某货船以 20海里/时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经16小时的航行到达，
到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以 40海里/时的速度由 A 向北偏西60°方向
移动，距台风中心 200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1) 问：B 处是否会受到台风的影响 ？请说明理由. (2)
为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物
四、课后练习:
1.有一拦水坝是等腰楼形，它的上底是6米,下底是10米,高为2 3米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角
2. 如图，太阳光线与地面成 60°角，一棵大树倾斜后与地面成
36°角，这时测得大树在地面上的影长约为
10
米，求大树的长(精确到0.1米).
3.
如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠ QPN=30 ,点A 处有一所学校，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周 围
100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 MN±沿PN 的方向行驶时，学校是否会受到噪声影响 ？请 说明理由.
4.
如图，某地为响应市政府“形象重于生命”的号召 ，在甲建筑物上从点 A 到点E 挂一长为30米的宣传条幅
2.如图，水库大坝的截面是梯形 ABCD 坝顶 AD= 6m 坡长 CD= 8m.坡底 BC = 30m ∠ ADC=135 (1)
求∠ ABC 的大小：
⑵ 如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料
3
?(结果精确到0.01 m )
?（供选用数据：..2 ≈ 1.4 , .、3 ≈ 1.7）
A D
在乙建筑物的顶部 D点测得条幅顶端 A点的仰角为40° ,测得条幅底端 E的俯角为26° ,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长（精确到0.1米）.
6. 某民航飞机在大连海域失事，为调查失
事原因，决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子，如图所示,
一潜水员
在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行，在A处测得黑匣子 B在北偏东60°的方向，划行半小时
后到达
C处，测得黑匣子B在北偏东30 °的方向，在潜水员继续向东划行多少小时黑匣子B最近,
并求最近距离.
7. 以申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交
通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树
AB,在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离 B点3
米远的D处测得树的顶点 A的仰角为60° ,树的底部B点的俯角为30° ,如图所示，问距离 B点8米
远的保护物是否在危险区内？
8. 如图，某学校为了改变办学条件，计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空
地上（BD=21米）,再建一幢与甲教学等高的乙教学楼（甲教学楼的高AB=20米）,
设计要求冬至正午时，太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处，已知该地区冬至正午时太阳偏南，太阳光线与水平线夹角为30° ,试判断：计划所建的乙教学楼是否符合设计要求？并说明理由.
9. 如图，两条带子，带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成α 角, 如果重叠部分的面积为 4cm2,求α的度数.南
甲
教
学
楼。

乙
教
学
楼十一
5.如图，小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ ADC=60 ,点B的仰角为∠ BDC=45 ;在E处测得A 的仰角为∠ E=30° ,并测得DE=90米,求小山高BC和铁塔高AB（精确到0.1米）.
__ a
1.5 测量物体的高度1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容
请你根据以上的条件，计算出河宽CD（结果保留根号）.
2.下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分
3. 学习完本节内容后，某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题
同学填写的活动报告，请你根据有关测量数据，求旗杆高AB（计算过程填在下表计算栏内活动报告
测量示意图
J.C
α =28°
旗杆高AB的计算过程（精确到0.1m）
计算
4. 某市为促进本地经济发展，计划修建跨河大桥，需要测出河的宽度 AB,在河边一座高度为点D处
测得点A,点B的俯角分别为α =30°, β =60° ,求河的宽度（精确到0.1米）
,下表是小明,用计算器计
课题利用测倾器测量学校旗杆的高
测量数据BD的长
测倾器的高
BD=20.00m
CD=1.21m
倾斜角
300米的山顶观测
5. 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中光的反射定律 ,利用一面镜子和一根皮尺，设计如图（1）的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7（米）的点E处，然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算树AB的高度（精确到0.1米）
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为 2. 5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是____________ .
（2）在图（2）中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a,b,c, α , β等表示测得的数据____.
（4）写出求树高的算式:AB= ____________ .
(1)
6. 在1:50000的地图上，查得A点在300m的等高线上,B点在400m的等高线上，在地图上量得 AB的长为2.5cm, 若要在
A、B之间建一条索道，那么缆索至少要多长？它的倾斜角是多少？
（说明:地图上量得的 AB的长,就是A,B两点间的水平距离 AB ,由B向过A且平行于地面的平面作垂线,
垂足为B',连接AB ,则∠A即是缆索的倾斜角.）
7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把
镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D,这是恰好在镜子里看到树梢顶点A,再
用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高
度.（精确到0.1米）
■：■>■■■■
A
太阳光线
C
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为 度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器） 测量方案，回答下列问题： （1） 在你设计的方案中，选用的测量工具是（用
工
具的序号填写） _________________________ （2） 在右图中画出你的测量方案示意图；
（3）
你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用 的数据： （4）写出求树高的算式：AE =
第一章回顾与思考
等腰三角形的一腰长为 6cm ,底边长为6, 3cm ,则其底角为（
300 B 600 90
1200
2、 某水库大坝的横断面是梯形, 坝内斜坡的坡度 =1: 3 ,坝外斜坡的坡度i = 1:1 ,则两个坡角的和为 900 B 600 C 750
D
1050
3、 如图，在矩形
3 ABCD 中, DE⊥ AC 于 E,设∠ ADE=,且 COS , AB = 4, 5 则AD 的长为（ ）
.
4、 (A) 3 (B)T (C)T 在课外活动上, 老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝, 2
面积为450 cm ,则对角线所用的竹条至少需（
)• 苴 /、
(A) 30 .2Cm (B) 30cm (C) 60cm ( D) 60、2cm 5、如果 J 是锐角，且Sin 2∙= I 1QOS 2
35 = 1 ,那么：■ 口 0. 6、如图，在坡度为1: 2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米. 6米,
7、如图,P 是∠〉的边0A ±—点，且P 点坐标为（3,4）,则Sin ：■
COS ：
= 8、支离旗杆 20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为 ：•，如果测角仪高为 1.5
米.那么旗杆的有为 米（用含二I 的三角比表示）. 9、在Rr ABC 中∠ A v∠ B, CM 是斜边AB 上的中线，将AACM 沿直线CM 折叠，点 A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于
度. 4
3
10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形 .按工程设计要求路面宽度为
10米，坡
1、 2.5米的标杆一根；④高
角为55 ,路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）•
11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABG现可直接测量到N A = 30.AC = 40米，BC = 25米，请你
求出这块花圃的面积•
12、如图，在小山的东侧 A处有一热气球，以每分钟 28米的速度沿着与垂直方向夹角为30的方向飞行，半
小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B, 5分钟后，在D处测得着火点B
的俯角是15 ,求热气球升空点 A与着火点B的距离.
13、如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了 12分钟，然后
沿坡角为20的坡面以3千米/时的速度到达山顶 A点，用了 10分钟.求山高（即AC的长度）及A、B两点
的水平距离（即 BC的长度）（精确到0.01千米）.
B.
14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。

在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵数AB,在地面
上事先划定以B为圆心，半径与 AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离
B点3米远的D处测得树的顶端A 点的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°（如图）.为距离B点8米远的保护物是否在危险区
内？
15、如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从 M到N的走向为南偏东30° .在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区 .取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75° .已
知MB = 400m,通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区
B ∖A
16、如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距 A地的正东方向且距 A地40海里的B
地训练•突然接到基地命令，要该军舰前往 C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治•已知C岛在A的北偏
患病渔民送到基地医院？（精确到 0.1小时）
17、如图，客轮沿折线 A— B-C从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮•两船同时起航，
并同时到达折线 A-B-C上的某点E处.已知AB = BC =200海里，∠ ABC = 90 ,客轮速度是货轮速度的2倍.
（1）选择：两船相遇之处 E点（）
A. 在线段AB上
B. 在线段BC上
C. 可以在线段 AB上，也可以在线段 BC上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）
第二章二次函数
§ 2.1二次函数所描述的关系
学习目标：
1. 探索并归纳二次函数的定义.
2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习重点：
1. 经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验
2. 能够表示简单变量之间的二次函数.
学习难点：
经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验学习方法：
讨论探索法. 学习过程：
m 2
_2
【例1】函数y= （m + 2） X + 2x — 1是二次函数，则 m= _________ .
【例2】下列函数中是二次函数的有（）
东60°方向，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把
1
1 ①y=x +
:② y=3 （X- 1） 2
+ 2;③ y= （x+ 3） 2
— 2x 2
;④ y= 2 + X •
X
X
A • 1个
B • 2个
C. 3个 D • 4个
【例3】正方形的边长是 5,若边长增加X,面积增加y,求y 与X 之间的函数表达式.
20，若其边长增加X ,面积增加y ,求y 与X 之间的表达式.
X, 一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存,
到期支取时，银行将扣除利息的 20%作为利息税•请你写出两年后支付时的本息和
y （元）与年利率 X 的函
数表达式.
【例5】某商场将进价为 40元的某种服装按 50元售出时，每天可以售出 300套.据市场调查发现，这种服 装每提高1元售价，销量就减少 5套，如果商场将售价定为 X ,请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达
式.
【例6】如图2-1-1 ,正方形 ABCD 的边长为4, P 是BC 边上一点，QP⊥ AP 交DC 于Q ,如果BP=X, △ ADQ 的面积为y,用含X 的代数式表示y •
【例7】某高科技发展公司投资 500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金 1500万元，进行批量生产.已知生产每件产品的成本为
40元.在销售过程中发现，当销售单价定为
100元
时，年销售量为20万件；销售单价每增加 10元，年销售量将减少1万件•设销售单价为 X （元），年销售量 为y （万件），年获利（年获利=年销售额—生产成本—投资）为 Z （万元）. （1）试写出y 与X 之间的函数表达式（不必写出
X 的取值范围）；（2）试写出Z 与X 之间的函数表达式（不
必写出X 的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售 量分别为多少万件？ （
4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低
于1130万元.请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价
X （元）应确定在什么范围内？
1、已知正方形的周长为
2、已知正方形的周长是
X ,面积为
y ,求y 与X 之间的函数表达式.
3、已知正方形的边长为 X ,若边长增加5 ,求面积y 与X 的函数表达式.
【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是 A
D
B
【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题:
（1）在第n个图中，第一横行共有 ________ 块瓷砖，每一竖列共有 _________ 块瓷砖（均用含n的代数式
表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为 y,请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n 的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？
课后练习：
1. ____________________________________________________ 已知函数y=aχ2+ bx + C （其中a, b, C是常数），当a _____________________________________________________ 时，是二次函数；当 a_, b _______ 时，是一次函数；当a_ , b_ , C_时，是正比例函数.
m2 n
2 .当m _____ 时，y= （ m-2） X 是二次函数.
3. 已知菱形的一条对角线长为a,另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线
a的关系.
4. 已知：一等腰直角三角形的面积为 S,请写出S与其斜边长a的关系表达式，并分别求出a=1, a=、2,
a=2时三角形的面积.
5.在物理学内容中, 如果某一物体质量为m,它运动时的能量E与它的运动速度V之间的关系是
1
E= "2 mv
（m为定值）
（1）若物体质量为
V
12345
6
7
8
E
（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E扩大为原来的多少倍?
6.下列不是二次函数的是（）
1 ,填表表示物体在V取下列值时, E的取值:
7 .函数y= (m - n) X 2
+ mx + n 是二次函数的条件是( )
A . m 、n 为常数，且m≠ 0 B. m 、n 为常数，且m≠ n C. m 、n 为常数，且n≠ 0
D. m 、n 可以为任何常数
&半径为3的圆，如果半径增加 2x,则面积S 与X 之间的函数表达式为(
)
A . S=2 π ( X + 3)2
B . S=9π + X
C . S=4 π χ2
+ 12x + 9 D . S=4 π X 2
+ 12x + 9 π 9.下列函数关系中，可以看作二次函数
y=ax 2
+ bx + C (a≠0)模型的是(
)
A .在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B .我国人口年自然增长率为 1%,这样我国人口总数随年份的变化关系
C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D .圆的周长与圆的半径之间的关系. 10 .下列函数中，二次函数是(
)
2
6
A . y=6x 2
+ 1
B . y=6x + 1
C . y= + 1
X
11 .如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135 °的两面墙，另外两边是总长为
30米的铁栅栏.(1)求梯形的面积 y 与高X 的表达式；(2)求X 的取值范围.
12 .在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为 R,通过的电流强度为 I ,则导线在单位时间所产生的热量 Q=RI 2
.若某段导线电阻为 0 . 5欧姆，通过的电 流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量
Q= _________ .
13 .某商人如果将进货单价为 8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在他采用提高售出价， 减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高
1元，其销售量就要减少 10件.若他将售出价定为 X 元,
每天所赚利润为y 元，请你写出y 与X 之间的函数表达式？
14 .某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为 面积S ( m 2
)如何表示？
15 .⑴已知：如图菱形 ABCD 中，∠ A=60 °,边长为a,求其面积S 与边长a 的函数表达式.
⑵菱形ABCD ,若两对角线长a ： b=1 :
3 ,请你用含a 的代数式表示其面积 S .
⑶菱形ABCD , ∠ A=60 °,对角线BD=a ,求其面积S 与a 的函数表达式.
a (m ),则正方体需要涂漆的表 A D。