2020年高三联考文科数学试卷及答案

2020届高三年级四校联考数 学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔用答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破.第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =A ．[3,0]-B ．[3,1]-C ．[3,0)-D ．[1,0)-2．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为 A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段3．设0.7log 0.8a =，0.911log 0.9 1.1b c ==，，那么 A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c <<D ．c a b <<4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子，乙丑，丙寅，…癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…癸未，甲申，乙酉，丙戌，…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年5．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是 A ． B ．C ．D ．6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治，地理，化学，生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是 A ．16 B ．12 C ．23D ．567．若向量a ，b 满足12a b ==，，且3a b -=，则向量a ，b 的夹角为 A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．某程序框图如图所示，其中21()g x x x=+，若输出的20192020S =，则判断框内应填入的条件为 A ．2020?n < B ．2020?n C ．2020?n >D ．2020?n9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于 A ．18B ．36C ．45D ．6010．已知函数()cos sin f x x x =-，那么下列命题中假命题是 A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在[,0]π-上是增函数11．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===AB AC BC ===P ABC -外接球的体积是A ．36πB ．125π6C ．32π3D ．50π12．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则椭圆C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡的相应位置上. 13．曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为 .14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据1x ，2x ，…，100x 的方差为16，则数据121x -，221x -，…，10021x -的方差为 .15．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222+x y a =交于P Q ，两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 .16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为4a b c c a A ==，，，，，且角C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为 .B 1C 1A 1DCBA三、 解答题：满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(本小题满分12分)在等比数列{}n b 中，公比为(01)q q <<，13511111,,,,50322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，，． （Ⅰ）求数列{n b }的通项公式；（Ⅱ）设()31n n n c b -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC ⊥，D 是11B C 的中点，1112A A A B ==.（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1A CD ；（Ⅱ）异面直线1AB 和BC 所成角的余弦值为13，求几何体11A B DCA 的体积.19．(本小题满分12分)已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：该保险公司这种保险的赔付规定如下：（Ⅰ）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（Ⅱ）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付()2.5 1.5a a a ++元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付()2.5 1.50.5a a a a +++元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值； （Ⅲ）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午1030：～1130：之间上门签合同，因为续保人临时有事，外出的时间在上午1045：～1105：之间，请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少？20．(本小题满分12分)已知点()1e ，，e ⎛ ⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，其中e 为椭圆的离心率，椭圆的右顶点为D .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 过椭圆C 的左焦点F 交椭圆C 于A ，B 两点， 直线DA ,DB 分别与直线a x e=-交于N ，M 两点，求证： 0NF MF ⋅=.21．(本小题满分12分)已知函数()2()2ln f x x x ax a R =+-∈有两个极值点12x x ，，其中12x x <.（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a≥+()()12f x f x -的最小值. （二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.22．(本小题满分10分) 选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线21:4sin 20C ρρθ-+=，曲线2:cos 042C πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线12C C ，的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线1C 与y 轴交于A B ，两点，P 为曲线2C 上任一点，求PA PB +的最小值.23．(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x t =+的单调递增区间为[)2,-+∞. （Ⅰ）求不等式()121f x x +<+的解集M ； （Ⅱ）设a b M ∈，，证明：1a b ab +<+.数学（文科）参考答案一、选择题CDCCB DBACD BA 二、填空题13．10x y -+= 14．64 1516．三、解答题17．解：（Ⅰ）因为公比为(01)q q <<的等比数列{}n b 中，13511111,,,,50322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，， 所以，当且仅当135111,,2832b b b ===时成立.----------------------2分 此时公比23114b q b ==,12q = ---------------------------------3分 所以1.2nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为1(31)2nn c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭所以 123n n T c c c c =++++1231111=258(31)2222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--------------7分2311111125(34)(31)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--------8分123111111123(31)222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦--------9分11111131(31)222n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯---⋅⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-------------------------11分5135222nn +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭故数列{}n c 的前n 项和15(35)2nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭----------------------------12分18. 解：（Ⅰ）如图，连结1AC 交1A C 于点E ，连结DE ---------------------------1分 因为在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是矩形所以 点E 是1A C 的中点---------------------------------------------2分因为D 是11B C 的中点所以 DE ∥1AB ---------------------------------------------------3分因为1AB ⊄平面1A CD ，DE ⊂平面1A CD所以 1AB ∥平面1A CD ---------------------------------------------4分（Ⅱ）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱 所以 111AA AC ⊥因为1111111A B AC A A A B ⊥=，所以 111AC B C =---------------------------------------------------5分因为异面直线1AB 和BC 所成角的余弦值为13所以11cos AB C ∠=--------------------------------------------6分 因为1111112A A A B A A A B ==⊥，所以 1AB 分根据余弦定理，在11AB C ∆中，222111111111=2cos AC B C AB B C AB AB C +-⋅⋅∠可得11B C 分因为111111=2A B AC A B ⊥，，所以 由勾股定理可得 11=3A C 因为11111111111,,C A A B C A A A A A A B A ⊥⊥=所以111C A A B ⊥平面同理111A B AC ⊥平面------------------------------------------------9分所以 11111=A B DCA D A AB D AA C V V V --+--------------------------------10分113112223132232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 2=所以 几何体11A B DCA 的体积为2.----------------------------------12分19. 解：0.90.70.2 1.50.06 2.50.0340.01 1.035a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；----4分（Ⅱ）由题意可得本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值00.7 2.50.240.0650.03 5.50.010.945a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；-----8分（Ⅲ）设保险公司销售人员到达的时间为x ，续保人离开的时间为y ，(),x y 看成平面上的点，全部结果所构成的区域为()31=,10.511.5,1011412x y x y ⎧⎫Ω≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭， 则区域Ω的面积()11133S Ω=⨯=---------------------------------9分 事件A 表示续保人在离开前见到销售人员，所构成的区域为()31=,,10.511.5,1011412A x y y x x y ⎧⎫≥≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭---10分 即图中的阴影部分，其面积()11715==2412336S A ⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭------------------11分 EB 1C 1A 1DCBA11112103411.510.5y xO 所以()5536P ==1123A ，即续保人在离开前见到销售人员的概率是512--------12分 （备注：第Ⅰ、Ⅱ参考答案中的表格填写正确各得2分；示意图不要求作出）20. 解：（Ⅰ）依题意得22222211341e a b e ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得222,1a b ==所以 椭圆C 的方程为2212x y +=-----------------------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2ae=， -----------------------------------------------4分 如图，设()11,A x y ，()22,B x y ，()32,N y -，()42,M y -， 把直线1l x my =-：代入椭圆方程，得()222210m y my +--=所以12122221,22my y y y m m +=⋅=-++--------------------------5分 因为M B D 、、三点共线，得422222y y x =---------------------------6分 所以()()224222222212y y y x my ----==--- ①-------------7分同理，由N A D 、、三点共线，得()1312212y y my --=-- ②-------------8分因为3434=2121NF MF y yk k y y ⋅=⋅-+-+ ③-------------9分所以把①②代入③得2122NF MF y y k k ---⋅=(()()()212221212211y y m y y m y y +=-++++--10分=分=1-所以 0NF MF ⋅=--------------------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）依题意得()f x 的定义域为(0+)∞，，222()x a x f x x-+'=----------1分因为函数()f x 有两个极值点1212x x x x <，，所以方程222=0x ax -+有两个不相等的正根1212x x x x <，，所以21212=160021a a x x x x ⎧∆->⎪⎪+=>⎨⎪⋅=⎪⎩--------------------------------------------3分解得4a >此时()f x 在1(0)x ，和2(+)x ∞，上单调递增，在12()x x ，上单调递减 所以 实数a 的取值范围是()4+∞，-------------------------------4分 （Ⅱ）因为1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个根，所以122ax x +=，121x x = 因为211220x ax -+=，222220x ax -+=所以 21122ax x =+，22222ax x =+---------------------------------6分所以()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x x ax x x ax -=+--+-22221112222ln (22)2ln (22)x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⎣⎦⎣⎦2221122ln 2ln x x x x =-+-222111222ln x x x x x x -=+ 2111222ln x x x x x x =-+--------------------------------8分 令12x t x =()01t <<，1()2ln h t t t t=-+，则 222221221(1)()10t t t h t t t t t -+---'=--+==< 即()h t 在()0，1上单调递减------------------------------------------10分因为a ≥ 所以122a x x +=≥ 所以221212()x x x x +≥ ，即 22121212212x x x x e x x e ++≥++ 所以 12211x x e x x e +≥+ ， 即 11t e t e+≥+ 所以 1()()0t e t e --≥，01t <<所以 10t e <≤------------------------------------------------------11分 因为 ()h t 在10e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减 所以()h t 的最小值为112h e e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即()()12f x f x -的最小值为12e e--.--------------------------------12分 22. 解：（Ⅰ）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 所以曲线1C 的直角坐标方程为22420x y y +-+=-----------------2分因为()cos cos +sin 1422πρθρθρθ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭----------------4分所以曲线2C 的直角坐标方程为10x y ++=------------------------5分（Ⅱ）因为曲线1C 与y 轴交于((020,2A B +，，两点------------6分点A 关于直线10x y ++=的对称点为()1A '---------------8分所以PA PB A B '+≥==所以PA PB +分23. 解：（Ⅰ）依题意得2t =--------------------------------------------------1分所以不等式()121f x x +<+化为2121x x ++<+当2x <-时，原不等式化为2121x x --+<--，0x <，得2x <-------2分当122x -≤<-时，原不等式化为+2+121x x <--，43x <-， 得423x -≤<------------------------------------------3分 当12x ≥-时，原不等式化为+2+12+1x x <，2x >，得2x >------------4分 所以，不等式()121f x x +<+的解集4=23M x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或----------5分 （Ⅱ）要证明1a b ab +<+，只需证明()222212ab ab a ab b ++>++即要证明()22210ab a b --+>--------------------------------------6分 因为423a b x x x ⎧⎫∈<->⎨⎬⎩⎭，或，所以221616,99a b ≥≥---------------8分 因为()()()()22222222111110ab a b a b b b a --+=--+=-->--------9分所以()22210ab a b --+> 即1a b ab +<+得证 ---------------------------------------------10分。