相似三角形判定复习(一)

∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO ·EC. 分析：欲证 ED2=EO·EC，即证：
D
C
ED EC EO =ED，只需证DE、EO、EC
O E
所在的三角形相似。
AB BC CA A'B' B'C' C'A'
△ABC∽△A'B'C'
思考： 对于两个直角三角形，我们还
可以用“HL”判定它们全等。那么， 满足斜边的比等于一组直角边的比 的两个直角三角形相似吗？
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
∠C=∠C' =90o
C'
A C = AB A'C' A' B '
(2)∵∠A＝∠A
P
∴当AC:AP=AB:AC 时，
△ACP∽△ABC.
B
A C
一.填空选择题:
1.(1)△ ABC中,D、E分别是AB、AC上的点，且
∠AED=∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而
AD DE (AC) = BC
(2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，
连结ED， 则△ AED与△ ABC的相似比为
E 3
AC
C.AB2=CD·BC
D.AB2=BD·BC
B
DC
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上 的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A， 把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形___4____组。
解: ∵ DE∥BC
∴∠ADE= ∠B,
∠EDC=∠DCB=∠A
① ∵ DE∥BC
复习（一）
一、相似三角形的判定定理：
A'
定理1：两角对应相等，两三角形相似。
∠A= ∠B=
∠A' ∠B'
△ABC∽△A'B'C'
B' A C'
定理2：两组边的比相等且夹角相等，
两三角形相似。
AB A'B'
BC B'C '
△ABC∽△A'B'C'
∠B= ∠B'
B
C
定理3：三组边的比相等，两三角形相似。
A AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故
B 证明D M：①∵∠BC A是C对=9应0°边MD、M∴∴E∠∠的BM比=A例∠D中E= ∠项E。
M为斜边BC中点
又 ∵ ∠DMA=
∴AM=BM=BC/2
∠AME
∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
∴ AC2=AD·AB
似，本题可证。
2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ∽△ MEA ② AM2=MD ·ME
E
分析：已知中与线段有关的条件仅有
AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两
个角对应相等去判定两个三角形相似。
∴△ADE ∽ △ABC
D
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② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B
∴△ADE∽ △CBD
③ ∵ △ADE ∽ △ABC
B
△ADE ∽ △CBD
∴ △ABC ∽ △CBD
④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC
∴ △ADC ∽ △DEC
A E
C
1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC（用两种方法证明）.
A
E
3
2
证明二：∵ ∠BEO= ∠CDO
D
∠ BOE=∠COD
O
B 证1明1一：
C
∴ △BOOBE ∽OE△COD ∴ OC OD
∵BD⊥AC，CE⊥AB
OB OC
∴∠ABD+∠A=90°， 即 OE OD
求证：AC2=AD·AB 分析:要证明AC2=AD·AB，需
C
要先将乘积式改写为比例
A
D
B
式
AC AD
=AACB，再证明AC、
证明:∵
∠ACD= ∠ ∠A = ∠ A
ABC
AD、AB所在的两个三角形相
∴ △ABC △ACD 似。由已知两个三角形有二个
∴
AC AB AD =AC
角对应相等，所以两三角形相
__1_:2___. A
A
D E
B
C
D
E
B
C
2.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED和△ ABC的相似比为＿2:＿5 ＿.
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6,和它相似 的三角形乙的最大边为10cm， 则三角形乙的 最短边为___5___cm.
4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为
求证：EA2 = EF·EG .
A
D
E
B
F
C
G
证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED
EA AB EF BE AB ∴ EG =DG EA =ED= DG
EA EF ∴ EG =EA
分析：要证明 EA2 = EF·EG ，
EA EF 即 证明 EG =EA 成
立，而EA、EG、EF三 条线段在同一直线上， 无法构成两个三角形， 此时应采用换线段、换 比例的方法。可证明： △AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
证明：∵ AB∥CD ∴ ∠C=∠A
A
F
B
∵ AO=OB，DF=FB
∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB
∴ ∠C= ∠FDB
又 ∵ ∠DEO= ∠DEC
∴ △EDC∽△EOD
ED EC ∴ EO =ED ，即 ED2=EO ·EC
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、
边 BC、边DC的延长线于E、F、G .
6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则
DC=__2_cm___.
A
A
D
E
D
B
C
B
C
5.如图，△ADE∽ △ACB,DE:BC=_1_:3_
6. 如图，D是△ABC一边BC上一点，
2 D
A 3
连接AD,使△ABC ∽ △DBA
7
的条件是（ D ）.
B
A.AC:BC=AD:BD B.AC:BC=AB:AD
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
解：(1)∵∠A＝∠A ∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC.
∠ACE+∠A= 90°
又∵ ∠BOC= ∠EOD
∴ ∠ABD= ∠ACE
∴ △BOC ∽△EOD
又∵ ∠A= ∠A
∴ ∠1= ∠2