相似三角形几种基本模型
相似三角形常见模型(总结)
相似三角形常见模型(总结)第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：C D二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展C B ED A 共享性G B EF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2；（2）DAC DCE ∠=∠．A C D E B例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EBDF=AEDB4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：∠=?GBM905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△B EP的面积为y．AB PD E（第25题图）GMFEHDCBA（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB 上的高2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。
3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。
相似三角形模型总结
相似三角形模型总结相似三角形是中学数学中常见的一个概念。
相似三角形有着非常重要的应用，尤其在建筑、地图、航空等领域中被广泛地运用。
在这篇文章中，我将对相似三角形的模型及其应用进行总结。
一、相似三角形的定义相似三角形是指形状相似而大小不同的两个或多个三角形。
它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以推出相似三角形的判定定理：若两个三角形对应角度分别相等，则它们是相似的。
二、重心模型重心模型是一种抽象的几何模型，它是在研究固体对象的重心和转动惯量时得出的。
对于任意三角形 ABC，以其三条边的中点为顶点，连上互相垂直的直线，将它们相交于 G 点。
这里 G 点称为三角形 ABC 的重心，它与每个中点连成的线段相等。
同时，可以证明如果一个点在三角形内部且到三边距离的乘积等于其到三条中线距离的乘积，则该点一定是三角形的重心。
三、海龟图模型海龟图模型是一个很著名的相似三角形应用模型，它是由美国数学家T. N. Thiele 提出的。
在海龟图中，一个三角形符号代表前进一步，一个圆点符号则代表不动。
当这个图形以相似的规律继续扩展时，就能在图形中看到似乎随机且自相似的模式。
在实际操作中，我们可以将这个模型用于分形的制作和操作中，实现较好的效果。
四、印章模型印章模型是相似三角形的另一种应用模型。
在制作印章时，多会使用到相似三角形的概念。
根据相似三角形的定义，我们可以通过相似三角形来制造缩小复制的图案。
具体来说，我们可以通过将大三角形分割为单位面积相等的若干小三角形，然后根据相似的规律进行缩小，就可以得到与大三角形相似而更小的三角形。
五、三角剖分模型三角剖分模型是相似三角形的一种实际应用模型。
在三角剖分中，我们会把一个多边形分解为多个三角形，这些三角形可以保持相似性，这比将多边形分解成其它形状的图形更容易实现。
总结在本文中，我们总结了几种相似三角形的应用模型，这些模型不仅具有学术研究的意义，更能够应用于实际的生产和生活中。
相似三角形常见模型(总结)
第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．A C D E B2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：∠=︒GBM905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．A CBPD E（第25题图）GMFEHDCBA双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 求：点B 到直线AC 的距离。
初三上相似三角形常见模型
相似模型1．“A”型
变形：反“A”型
2．“8”字型
变形：反“8”字型
B
D
E
3.
双垂型
变形：字母型
4．共线三等角相似模型
如下图，ABC CDE
△∽△
图1图2图3重点是共线中的“线”上的三个角要保证相等，利用同角的补角相等近一步证明．
E
D
C
B
A
E
D
A
E
D
B
5．旋转相似模型
共顶点相似的一般三角形模型：
典型例题：
例1.已知：在△ABC中，DE∥BC，点F是线段DE上一点，连接AF并延长与BC 相交于点G.求证：DF·GC=FE·BG
例2.例2.如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝6，AB＝5，EC＝4，DB＝7.求证：△ABC∽△AED.
例3.△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15,BC边上的高AD=10,求正方形EFGH的面积.
例4．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于（ )
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
例5．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．。
相似三角形常见模型(地总结)
例 2：已知：如图，△ ABC中，点 E在中线 AD上, DEB 求证：（ 1） DB 2 DE DA ； （ 2） DCE
ABC ． DAC ．
A
B
D E
C
例 3：已知：如图，等腰△ ABC中， AB＝ AC， AD⊥ BC于 D， CG∥AB， BG分别交 AD、AC于 E、F． 求证： BE 2 EF EG ．
A
B
5．（本题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）、（ 3）小题满分各 已知：如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， BC=2，AC=4， P 是斜边 AB
一个动点， PD⊥ AB，交边 AC于点 D（点 D与点 A、 C都不重合） ，E 是射 线 DC上一点，且∠ EPD=∠A．设 A、P 两点的距离为 x，△ BEP的面积为 y．
（ 1）如图 8， P 为 AD上的一点，满足∠ BPC＝∠ A．
①求证；△ ABP∽△ DPC
AP
D
②求 AP的长．
B
C
（ 2）如果点 P 在 AD边上移动（点 P 与点 A、D不重合），且满足∠ BPE＝∠ A，PE交直线 BC于点 E，
同时交直线 DC于点 Q，那么
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实用标准文案
①当点 Q 在线段 DC的延长线上时，设 AP＝ x， CQ＝ y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定
长. A
D
B
C
E
2、已知：如图，在 Rt △ ABC中， AB=AC，∠ DAE=45°．
求证：（ 1）△ ABE∽△ ACD；
（ 2） BC 2 2BE CD ．
A
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一线三等角型相似三角形
B
相似三角形的几种模型
相似三角形的几种模型相似三角形的基础模型A型模型反A型模型在△ABC中，DE∥BC 在△ABC中，∠AED＝∠B反A型模型双垂直型在△ABC中，∠ACD＝∠B 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90一直线三等角模型在Rt△ABC与Rt△CDE中，A，C，D三点共线，△A＝△BCE＝△D＝90在△ABC与△CDE中，B，C，D三点共线，△B＝△ACE＝△D半角模型正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且△ECF＝45°，连接AC，EF，GH，CH，CF相交弦定理△O中，弦AB与弦CD相交与点PAP·BP＝CP·DP切割线定理PA为△O切线，PCB为△O割线PA2＝PB·PC割线定理PAB，PCD分别为△O割线PA·PB＝PC·PD模型应用1. (2017·深圳改编)如图，线段AB是△O的直径，弦CD△AB于点H，点M是上任意一点，直线BM交直线CD于点E，直线MH交△O 于点N，连接BN交CE于点F，AH＝2，HB＝8，求HE·HF的值．2. (2018·深圳改编)如图，△ABC内接于△O，BC＝2，AB＝AC＝，点D为上的动点，在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC 延长线于点E，问AD·AE的值是否变化？若不变，请求出AD·AE的值；若变化，请说明理由．GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．4. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，C两点，与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F.AB＝BF，CF＝4，DF＝，AB是△O的切线．(1)求△O的半径r；(2)设点P是BA延长线上的一个动点，连接DP交CF于点M，交弧AC于点N(N与A，C不重合).试问DM·DN是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．。
相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)
相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．ACDEB相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的 B上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
中考中相似三角形的常见模型及典型例题
（1）A字、8字； （3）角平分线； （5）一线三等角； （7）内接矩形；
2.基本辅助线：
（2）反A、反8； （4）旋转型； （6）线束模型； （8）相似比与面积比。
（1）作平行线构造A字、8字； （2）作垂线构造直角三角形相似
3.基本问题类型：
（1）证明相似；
（2）求线段长；
（1）若点P在线段CB上，且BP=6，求线段CQ的长； （2）若BP=x，CQ=y,求y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围。
例 9 如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CD，
AD与BE相交于点F. （1）求证：△ABD≌△BCE； （2）求证：△ABE∽△FAE；
（3）当AF=7，DF=1时，求BD的长。
（量得BN=70cm）
C
C
DME
DME
A PN F
B
A PN F
B
1.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80 毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其 余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
A
A
M
EN
H
KG
∟
B Q DPC
B
E
DF C
E
AB AC BC
B
C （2）公共边平方=共线边之积：AC 2 AE • AB
反A字 型 【模型2】反“A”字型＆反“8”字型
（Ⅱ）DE拉下来经过点C，又称之为母子型，为相似常考模型：
A
A
E
B
C
AC2 AED • BC
AC2 CD • CB
AD2 BD • CD
相似三角形中的 基本模型 (共21张PPT)
连接BE并延长BE交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD=2，
ED BC
1 3
，求线段DC的长.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)求证:
EF BF
GE GB
.
(2)求证 EF GB BF GE .
AD AE ED AC AB BC
模型二：相交线型
例3 如图，要判断△ADE与△ACB相似，添加一个条件，不正
确的是：（C )
A. ∠ADE=∠C C. AE DE
AB CB
B. ∠AED=∠B D. AE AD
AB AC
模型二：相交线型
例4 如图，EC和BD相交于点A，且∠D=∠C, 则△EDA∽ △ BCA ; AD: AC = AE :AB
△BDC∽△CDA △BDC∽△BCA △CDA∽△BCA
练习4 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为
AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角（∠A、∠B）
向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，AD=3,BC=5，
则EF的长为
.
练习5. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD，BC＝AD
∴△EDF∽△CBF ∴DF:BF＝DE:BC 又∵ DE:BC＝ DE:AD= 2:5 ∴DF:BF＝2:5 而BF＝15 cm
∴DF＝6 cm
A B
ED F
C
模型二：相交线型
△AED∽△ACB AE AD ED AC AB CB
△AED∽△ABC
例4 如图，△ABC中，∠A=∠DBC，BC=3 ,CD=2,
9
则AC= 2 .
模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为．【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，＝S△ABC，∴S△ABF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△AEF＝2，∵S△AEF＝6S△AEF＝6×2＝12，故选：C．∴S△ABC【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝1：2．解：如图，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB＝2OE，＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BOD＝3，∴S△BDE∵AD＝BD，＝2S△BDE＝6，∴S△ABE∵AE＝CE，＝2S△ABE＝2×6＝12．故选C．∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，＝1，则S△ABC＝24．若S△EFG解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∴S△DMF∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，＝2S△DMF＝2，∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线，∴＝，＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S△ABG＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S梯形DMGB＝S梯形DMGB＝6，∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线，＝4S△BDE＝4×6＝24，∴S△ABC方法二：连接AE，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中点，∴＝，∴＝＝，＝1，∵S△EFG＝16，∴S△ACG∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，＝S△ACG＝4，∴S△AEG＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ACE＝2S△ACE＝24，故答案为：24．∴S△ABC【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；：S△EBC：S△ECD．（2）求S△ABE（1）证明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，＝4m，∴S△CDE∵＝＝，＝2m，∴S△BEC：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合题意，舍去），故选：D．【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案为：．变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案为：．实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正确，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正确．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正确．D、∵DE∥BC，∴＝，显然DE≠CF，故D错误．故选：D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A．4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则BE＝AD＝2，DE＝2，设B′C＝BC＝x，则DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（负值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故选：A．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP•AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，＝4，＝（）2＝，∵S△AEF＝36，故答案为36．∴S△BCE8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．解：∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，过B作BH⊥DE于H，则DH＝AH，BD2＝DH•DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案为：．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案为：1．②如图②，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）证明：如图1，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴点K、点B、点E在同一条直线上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周长是8．②如图2，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中点，∴NG＝EF＝×＝，故答案为：．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．解：（1）①猜想：BG ⊥DE ，BG ＝DE ；故答案为：BG ＝DE ，BG ⊥DE ；②结论成立．理由：如图2中，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG ⊥DE ．（2）∵AB ＝a ，BC ＝b ，CE ＝ka ，CG ＝kb ，∴＝＝，又∵∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，＝＝，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG⊥DE．故答案为：＝，BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．。
相似三角形典型模型及例题
:相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
（六）双垂型：二：相似三角形判定的变化模型8字型拓展旋转型：由A字型旋转得到一线三等角的变形一线三直角的变形2:相似三角形典型例题(1)母子型相似三角形例1:如图，梯形ABCDh AD// BC对角线AC BD交于点O, BE// CD交CA延长线于E.求证：OC2=OA OE .例2：已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD上, . DEB =/ABC .求证：(1) DB2二DE DA ；(2) . DCE 二DAC .例 3:已知：如图，等腰△ ABC中, AB= AC ADL BC于D, CG/ AB BG分别交AD AC于E、F. 求证：BE2=EF EG .1、如图，已知AD^^ ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2二FB FC .2、已知：AD是Rt△ ABC中/A的平分线，/ C=90 , EF是AD的垂直平分线交 AD于 M EF、BC的延长线交于一点No 求证：⑴△ AM0A NMD; (2)ND 2=NC- NB3、已知：如图，在△ ABC中，/ ACB=90 , CDL AB于 D, E是 AC上一点，CF丄 BE于 F。
相似三角形的八大基本模型
相似三角形的八大基本模型1、等腰三角形：等腰三角形是一种三角形，它的两条边长相等，称为等腰三角形。
它的三个角也是等角，每个角度都是60度，是一个等边三角形。
它也有着金字塔形状。
2、等边三角形：等边三角形是三角形中最常见的一种，它的三个边长都是相等的，因此得名等边三角形。
由于边长是相等的，因此三个角也是等角，每个角度都是60度。
此外，它也有着正三角形的特性。
3、直角三角形：直角三角形是一种三角形，它的一个角是90度，成为直角三角形。
直角三角形一般分为狭角三角形和钝角三角形两种，其中，狭角三角形的两个直角边都要大于第三条斜边，而钝角三角形则相反，其两个直角边都要小于第三条斜边。
4、相似三角形：相似三角形是指三角形中，由一条射线形成的两个三角形，三条边长的比值相等的三角形。
它的内角和外角相似，但是边长和面积都不同。
由此可以知道，如果两个三角形边长比值相同，则该两个三角形为相似三角形。
5、等分直角三角形：等分直角三角形是指一个直角三角形中，由底边一个端点引分出来的两条斜边上的各个点，连接起来后形成的直角三角形。
由于它的特点，两个边长和底边的面积比例也是相同的，每个等分点也和其他两个等分点是相等的。
6、正交三角形：正交三角形是指两个直角三角形中的一类，由其相似的三条边构成，两个斜边互相垂直相交，而三条边长分别是直角三角形中底边和邻边之和。
正交三角形属于相似三角形，具有和相似三角形一样的特性。
7、正三角形：正三角形是一种特殊的三角形，它的三个角都是60度，每个角度都相同，其三条边长也相等，为了符合这种特性，它也有其称之为正三角形的原因。
它有着明显的金字塔形状，但是每个角度都是60度，因此可以说它的金字塔形状是平行的。
8、稜角三角形：稜角三角形是一种特殊的三角形，它的其中一个角是60度，另外两个角都小于60度，一般不会大于60度，这种三角形因此也有着金字塔形状，但是由于角度上的不同，边长也不同。
其中，由三角形的垂足作为原点，内角和外角大小关系也要满足，且两个内角和一个外角和要等于180度。
相似三角形典型模型及例题
1：类似三角形模子一：类似三角形剖断的根本模子（一）A字型.反A字型（斜A字型）（平行）（不服行）（二）8字型.反8字型（平行）（不服行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型类似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为布景,一个与等腰三角形的底角相等的极点在底边地点的直线上,角的双方分离与等腰三角形的双方订交如图所示：（五）一线三直角型：三直角类似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型类似平日是以矩形或者正方形形为布景,或者在一条直线上有一个极点在该直线上移动或者扭转的直角,几种罕有的根本图形如下：当标题标前提中只有一个或者两个直角时,就要斟酌经由过程添加帮助线结构完全的三直角型类似,这往往是许多压轴题的冲破口,进而将三角型的前提进行转化.（六）双垂型：二：类似三角形剖断的变更模子扭转型：由A字型扭转得到8字型拓展CB EDA共享性一线三等角的变形2：类似三角形典范例题（1）母子型类似三角形例1：如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC.BD交于点O,BE∥CD交CA延伸线于E．求证：OEOAOC⋅=2．GAB CE F例2：已知：如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上求证：（1（2例3：已知：如图,等腰△ABC 中,AB ＝AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分离交AD .AC 于E .F ．1.如图,已知AD 为△ABC 的角等分线,EF 为AD的垂直等分线．求证：2.已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的等分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直等分线交AD 于M,EF.BC 的延伸线交于一点N.求证：(1)△AME∽△NMD;3.已知：如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F.求证：EB·DF=AE·DB4.,AB=AC,高AD与BE 交于垂足为F,延伸AD 到G,使DG=EF,M 是AH的中点.5已知：如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,BC =2,AC =4,P 是斜边AB 上的一个动点,PD ⊥AB ,交边AC 于点D （点D 与点A .C 都不重合）,E 是射线DC 上一点,且∠EPD =∠A ．设A .P 两点的距离为x ,△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ;（2）求y 关于x 的函数解析式,并写出它的界说域; （3）当△BEP 与△ABC 类似时,求△BEP 的面积．AD EB（2）双垂型1.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD.CE分离是AC.AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE;（2）△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED2.如图,已知锐角△ABC,AD.CE分离是BC.AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分离是27和求：点B到直线AC的距离.（3）共享型类似三角形1.△ABC是等边三角形,DBCE在一条直线上,∠DAE=120°,已知BD=1,CE=3,求等边三角形的边长.2.已知：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△ACD; （2(4)一线三等角型类似三角形例1：如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1,FC=3时,求BE例2：（1）,,;,并写出函数的界说域;D ECADBE F（2）,,,.例3：已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＜BC ,且AD ＝5,AB ＝DC ＝2． （1）如图8,P 为AD 上的一点,知足∠BPC ＝∠A ．①求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）假如点P 在AD 边上移动（点P 与点A .D 不重合）,且知足∠BPE ＝∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么①当点Q 在DC 的延伸线上时,设AP ＝x ,CQ ＝y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域;②当CE ＝1时,写出AP 的长．例4：如图,的中点,ABC PQAB CDCAB CDABC（1（2,; （31.如图,在△ABC 中,边上, (1) 求证：△ABD ∽△DCE;(2),; (3),试解释△ADE 是什么三角形,并解释来由．2.如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,联络DE,射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ;（2）当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长;（3）联络DF ,假如△DEF 与△DBE 类似,求FC 的长．3.已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＜BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点．（1）如图,P 为BC 上的一点,且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ;（2）假如点P 在BC 边上移动（点P 与点B .C 不重合）,且知足∠EPF =∠C ,PF 交直线CD 于点F ,同时交直线AD 于点M ,那么①当点F 在线段CD的延伸线上时,设BPDF,并写出函数的界说域;ABCDE,求BP的长．4.如图,动点,（1; （2）证实个中一对三角形类似;（3,; （4(5)一线三直角型类似三角形例1.已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,点P 是AD 上的一个动点,且和点A,D 不重合,过点P 交边AB 于点E,求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值规模. 例2.AB 上的一点,点P 是AC上的一个动点段BC 于点Q,（不与点B,C 重合）,x 的函数关系,并写出界说域. 1.点D 是BC 的中点,点E 是AB 边上的动点AC 于点F （1）.求AC 和BC 的长EDCBAPB（2）.,求BE 的长.（3）.贯穿连接EF,,求BE的长.2.在直角三角形ABC 中是AB 边上的一点,E 是在AC 边上的一个动点,（与A,C 不重合）BC 订交于点F.(1).当点D 是边AB 的中点时,(2).（3）.求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域3.如图,的一个动点,（1,;（2,. 4.如图,(图1) (1); (2),;(图2)(3),并写出界说域.F CBAQPDCBAQPDC BA。
(完整版)相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)
相似三角形模型分析大全1、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6）双垂型：2、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展B一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：．OE OA OC ⋅=2例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ．ABC DEB ∠=∠求证：（1）； （2）．DA DE DB ⋅=2DAC DCE ∠=∠ACDEB例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：．EG EF BE ⋅=2相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：．FC FB FD ⋅=22、已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND =NC·NB23、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BCGBM90求证：∠=︒5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高A（第25题图）求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=6，求：点B 到直线AC 的距离。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
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相似三角形基本模型
经典模型
“平行旋转型”
图形梳理：
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
F'C
B
B
C
AEF 旋转到
AE‘F’
A
B
C
AEF 旋转到AE‘F’
特殊情况：B 、'E 、'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’C
B
A
A
B C
E
F
E'
F'AEF 旋转到AE‘F’
C ，'E ，'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
母子型
已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．
相似三角形常见的图形
1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、
“反A 共角共边型”、 “蝶型”）
A
E
A
D
E
4
1
B
(3)
D
B
(2)
D
（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”“三垂直型”）
(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
（5）母子型
已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．
2、几种基本图形的具体应用：
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB
；
（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
（4）当AD AE
AC
或AD·AB=AC·AE时，△
ADE∽△ACB．
B
E
A
C
D
1
2
B
B
C(D
)。