数字信号处理第3章离散傅里叶变换DFT
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
离散傅里叶变换(DFT)ppt课件
幅度为
1 N
X~ (k )，其中k
0,1, , N
N
1表示其频谱分布规律
8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示
因为周期序列不满足条件： x(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ 其DTFT可以用公式
表示。
x(n) x(n kN ),k
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)
DFS [ x(n )]
N
1
x(n)e
j 2 N
nk
一般记：
反变换：x(n)
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
6
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：
x(n)
x(n mN ) x((n))N
x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2
第三章离散傅里叶变换(DFT)
3.1.1 有限长序列的离散频域表示
我们已学过三种傅里叶分析工具，它们 分别应用于不同性质的信号。
1. 应用于连续周期信号——傅里叶级数展开
j2 kt
xa t Cke T
k
Ck
1 T
T２ －T２
xα
(t
－ｊ２
)e T
kt
dt
其中，T是信号 xa t的周期，Ck 表示了xa (t)的
离散傅里叶变换定义为
X (k)
N 1
x nWNkn
n0
0
0 k N 1 其他
西北大学信息科学与技术学院 2007年
反变换公式为
x(n)
N 1
X
k
W kn N
0 n N 1
k 0
0
其他
DFT是借用了DFS，这样就假定了序 列的周期性，但定义式本身对区间作了强制 约束，以符合有限长特点，这种约束不改变 周期性的实质，或者说，DFT隐含了周期 性。
fc n xn yn
M 1 m0
x
m
y
n m
l
RL
n
M 1 m0
x
m
r
y
n
m
rL
RL
n
r
M 1 m0
x
m
y
n
rL
m
RL
n
r
f
n
rL
Rl
n
西北大学信息科学与技术学院 2007年
圆周卷积fc (n) 等于一个周期序列的主值 序列，该周期序列是线性卷积f (n)以L为周期 进行周期延拓的结果，因此，当L ≥ L1满足 时， fc (n)必然等于f (n)，但是，如果L < L1 ， 则fc (n)不等于f (n) 。
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
数字信号处理：第3章 离散傅里叶变换(DFT)
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
x(n)WNkn X (k)
n0
同理可证明(3.1.2)式中
x(n+mN)=x(n)
~
实际上， 任何周期为N的周期序列 x 都可以看
作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)
则是
~
x
的一个周期， 即
~
x(n) x(n mN )
式和(3.2.10)式代入得到
x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n)
xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］ xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］
(3.2.12) (3.2.13) (3.2.14)
2. DFT的共轭对称性 (1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Re［x(n)］=1/2［x(n)+x*(n)］ jxi(n)=jIm［x(n)］=1/2［x(n)-x*(n)］ 由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得 DFT［xr(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(n)］
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X (k) DFT[x(n)]
1 N
N 1 n0
X (n)WNkn ,
k=0, 1, &, N-1
(3.1.2)
式中，
j 2
eN
， N称为DFT变换区间长度N≥M，
通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面
证明IDFT［X(k)］的唯一性。
则 ((n))N=n1
~
例如， N 5, x(n) x(n)5,
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
N 1 m
Y (k)
x((n' )) N WNk (n'm) WNkm
x((
n'
))
N
W kn' N
n'm
n'm
N 1
WNkm
x(n ')WNkn'
W km N
X
(k )
n '0
24
频域循环移位定理
3、频域循环移位定理
如果X(k)=DFT[x(n)]N，0≤k≤N-1，Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则
(b)、(c)和(d)所示。请计算
验证本例的8点循环卷积结
果等于h(n)与x(n)的线性卷
积结果。后面将证明，当
循环卷积区间长度L大于等
于y(n) = h(n)*x(n)的长度
yc
(1)
2
1
0
0
0
0
4
3 1
3
yc yc yc
(2)
(3)
(4)
3 4 0
2 3 4
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
0 0 0
4 1 6
0 0
1
0
10 9
列则得到有限长序列x(n)
的循环移位序列y(n)。
可见，循环移位的本质是
周期移位。
22
时域循环移位定理
2、时域循环移位定理
设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位， 即
y(n) x((n m)) N RN (n)
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
第三章离散傅里叶变换DFT一
(1)
(2)
x1(n) (n 3)
x2 (n)
1 2
(n
1)
(n)
1 2
(n
1)
X1(e j )
(n 3)e jn e j3
n
X 2 (e j )
x2 (n)e jn
n
1 e j 2
1
1 e j 2
1 cos
3.2离散时间序列的傅里叶变换
(3) x3(n) anu(n), 0 a 1 (4) x4 (n) u(n 3) u(n 4)
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
2. 时域频域各取一个周期,得到DFT
x(t) X (k0 )e jk0t (1) k
( 0
2
T
)
x(nTs )
x(t) t nTs
X (k0 )e jk0nTs
k
X
(k
0
)e
jk
2 T
nTs
主要内容
3.1连续时间信号的傅里叶变换 3.2离散时间序列的傅里叶变换
（DTFT） 3.3连续时间信号的抽样 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数
（DFS）
3.1连续时间信号的傅里叶变换
周期连续信号傅里叶级数展开
周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐 段光滑）时，可展成：
x(n)e N
N n0
(3)
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
习惯上将以上的式（2），（3）中的定标因子移 到反变换中，得到离散傅里叶变换（ DFT ）：
X
(k)
N 1 n0
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N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
比较上面二式可得关系式
0kN-1
X(k)X(z) , j2k ze N
0kN-1
X(k)X(zj) 2k, N
0kN-1
3/30/2021
数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
(3.1.3) (3.1.4)
3/30/2021
图数3字.1信.1号处X理(第k3)章与离X散(e傅j里ω)叶的变关系
N1
X(k mN) x(n)WN(kmN)n
n0
N1
x(n)WNkn X(k)
n0
同理可证明(3.1.2)式中
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x(n+mN)=x(n)
数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
~
实际上， 任何周期为N的周期序列 x 都可以看
作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)
数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
式中，
e
j2 N
， N称为DFT变换区间长度N≥M，
通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面
证明IDFT［X(k)］的唯一性。
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有
IDFT[X(k)] 1 N1 Nk0
N1
[
m0
x(m)WNmk]WNkn
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位
设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移 位定义为
y(n)=x((n+m))NRN(N)
(3.2.2)
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数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
3/30/2021
图数3字.2信.1号处理循第3环章移离散位傅过里叶程变示意图
y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］， 则y(n) 的N点DFT为
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3/30/2021
数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
则是
~
x
的一个周期， 即
~
x(n) x(nmN)
m
~
x(n) x(n)RN(n)
(3.1.5) (3.1.6)
为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
~
x(n)x(n)N (3.1.7)
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数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
3/30/2021
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓
7
X (k)
3
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
j 3k
e8
sin(
4
sin(
k) k)
,k
0,1, ,15
16
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数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
3.1.2 DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N1
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn
M为整数， 则有
所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。
3/30换DFT
~
如果x(n)的长度为N， 且 x (n)=x((n))N， 则可写
出
~
x
(n)的离散傅里叶级数表示为
~
N1 ~
N1
N1
X(k) x(n)WNkn x((n))NWNkn x(n)WNkn (3.1.8)
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn, k=0,1,&,N-1(3.1.1)
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] N 1 N n 0 1X ( n ) W N k n ,k = 0 ,1 ,& ,N - 1 ( 3 .1 .2 )
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N1
m0
x(m)
1 N1 Nk0
Wk(mn) N
N1
N 1 W k0
k(mn) N
{1 0
mnM N,MM为整数 mnM N,MM为整数
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数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］=x(n),
0≤n≤N-1
由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。
数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N表示n对N求余， 即如果
n=MN+n1， 0≤n1≤N-1，
则 ((n))N=n1
~
例如， N5,x(n)x(n)5,
~
x(5) x((5))5 x(0)
~
x(6) x((6))5 x(1)
换DFT
3.1.3 DFT的隐含周期性
前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长
序列， 但由于WknN的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式 中的X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m，
总有
W N kW N (km N), k,m ,N均为整数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
n0
n0
n0
x~(n)N 1X ~(k)WNkn
1N1 Nn0
X(k)WNkn
(3.1.9)
式中 ~ X(k) x(k)RN(k)
(3.1.10)
3/30/2021
数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.1 线性性质
如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为 N1和N2。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
3/30/2021
数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则
7
X (k)
3
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
j 3k
e8
sin(
2
k)
,k
0,1, , 7
sin( k )
8
3/30/2021
数字信号处理第3章离散傅里叶变 换DFT
设变换区间N=16， 则
换DFT
2. 时域循环移位定理 设x(n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循 环移位， 即
y(n)=x((n+m))NRN(n) 则
Y(k)=DFT［y(n)］