空间向量知识点与题型归纳总结

空间向量知识点与题型归纳总结

知识点精讲

一、空间向量及其加减运算

1.空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作

AB ，其模记为a 或AB .

2.零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =. 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算

（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.

（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()

a b c a b c ++=++ 二、空间向量的数乘运算

1．数乘运算

实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的

λ倍.

2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

()a b a b λλλ+=+，()

()a a λμλμ=.

3.共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b .

4.共线向量定理

对空间中任意两个向量a ，b ()

0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量

如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，在l 上取AB a =，则式①可化为()

()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，()

12

OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式.

6.共面向量

如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

7.共面向量定理

如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，

b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.

推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC -=+，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.

（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立. 三、空间向量的数量积运算

1.两向量夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2

a b π

=

，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥.

2.数量积定义

A

a

a

α

图 8-154

O

已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅，即cos ,a b a b a b ⋅=.

零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2

a a a ⋅=.

3.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅，a b b a ⋅=⋅（交换律）

； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）. 四、空间向量的坐标运算及应用

（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；

()112233,,a b a b a b a b -=---；

()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ⋅=++；

()

112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===； 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.

（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式. ①已知()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则2

21a a a =

=+

2

21b b b ==+；

112233a b a b a b a b ⋅=++；

cos ,a b =

；

②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则(AB x =或者(),d A B AB =.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

（4）向量a 在向量b 上的射影为cos ,a b a a b b

⋅=

.

（5）设()

0n n ≠是平面M 的一个法向量，AB ，CD 是M 内的两条相交直线，则0n AB ⋅=，由此可求出一个法向量n （向量AB 及CD 已知）.